資源簡介

第2課時　用空間向量研究夾角問題
[學習目標]　1．會用向量法求線線、線面、面面夾角．(直觀想象、數學運算)
2．能正確區分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關系．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　
問題1．兩條異面直線、直線和平面、兩個平面的夾角的向量計算公式分別是什么？
問題2．直線和平面的夾角與直線方向向量、平面法向量的夾角有什么關系？
問題3．兩個平面的夾角和二面角有什么區別？
問題4．用向量解決空間線面夾角問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　兩異面直線所成的角
探究問題1　如何求兩個向量a，b的夾角？
探究問題2　能否借助兩個向量的夾角來求兩異面直線所成的角．
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[新知生成]
利用向量方法求兩條異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝_______．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)如圖所示，在空間直角坐標系中有長方體ABCD A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′與A′D夾角的余弦值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　求異面直線所成角的步驟
(1)確定兩條異面直線的方向向量．
(2)確定兩個向量夾角的余弦值的絕對值．
(3)得出兩條異面直線所成的角．
[學以致用]　1．《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，△SAB，△SCD是直角圓錐SO的兩個軸截面，且cos ∠BOC＝，則異面直線SA與BC所成角的余弦值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．如圖，在四棱錐P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝BC，E為CD的中點，F為PC的中點，則異面直線BF與PE所成角的正弦值為(　　)
A． B． C． D．
探究2　直線與平面所成的角
探究問題3　直線的方向向量與平面的法向量所成的角是直線與平面所成的角嗎？
探究問題4　設直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為v，平面的法向量為n，則θ與〈v，n〉有什么關系？
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[新知生成]
利用向量方法求直線與平面所成的角
利用向量方法求直線與平面所成的角
直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝______．
[典例講評]　2．如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E為PD中點，且PA＝1．
(1)求證：PB∥平面ACE；
(2)求直線BE與平面PCD所成角的余弦值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　利用向量法求直線與平面所成角的基本步驟
(1)建立空間直角坐標系．
(2)求直線的方向向量．
(3)求平面的法向量n．
(4)計算：設線面角為θ，則sinθ＝．
[學以致用]　3．如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分別為C1C，BC的中點．求A1B與平面AEF所成角的正弦值．
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探究3　兩平面的夾角
探究問題5　兩個平面的夾角與二面角的平面角有什么區別？
探究問題6　設n1，n2分別是平面α1，α2的一個法向量，平面α1與平面α2的夾角為θ，則θ與〈n1，n2〉的關系是什么？
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[新知生成]
利用向量方法求兩個平面的夾角
(1)平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中___________的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
(2)若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角，設平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝____________．
[典例講評]　3．(2023·新高考Ⅱ卷)如圖，三棱錐A BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點．
(1)證明：BC⊥DA；
(2)點F滿足，求二面角D AB F的正弦值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　利用坐標法求兩個平面夾角的步驟
(1)建立空間直角坐標系．
(2)分別求出兩個面所在平面的法向量的坐標．
(3)求兩個法向量的夾角．
(4)確定兩平面夾角的大?。?br/>[學以致用]　4．(2023·北京卷)如圖，四面體P ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，PA⊥平面ABC．
(1)求證：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A PC B的大?。?br/>_____________________________________________________________________
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1．已知空間兩異面直線所成的角的取值集合為A，直線與平面所成角的取值集合為B，則(　　)
A．A＝B B．A B
C．B A D．A∩B＝
2．若異面直線l1，l2的方向向量分別是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，則異面直線l1與l2所成角的余弦值等于(　　)
A．－ 　B． C．－ D．
3．如圖，在四棱錐P ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，平面PCD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且PD＝AB＝1，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角θ滿足(　　)
A．θ＝ B．cos θ＝
C．tan θ＝ D．sin θ＝
4．如圖所示，點A，B，C分別在空間直角坐標系Oxyz的三條坐標軸上，＝(0，0，2)，平面ABC的一個法向量為n＝(2，1，2)，平面ABC與平面ABO的夾角為θ，則cos θ＝________．
1．知識鏈：(1)用向量求兩條異面直線所成的角．
(2)用向量求直線與平面所成的角．
(3)用向量求兩個平面的夾角．
2．方法鏈：向量法、化歸轉化．
3．警示牌：混淆兩個向量的夾角和空間角的關系，不能正確理解空間角的概念、把握空間角的范圍．
8/8(共54張PPT)
第1課時　用空間向量研究距離問題
第一章 空間向量與立體幾何
1.4　空間向量的應用
1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
[學習目標]　能用向量方法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題．(直觀想象、數學運算)
整體感知
(教師用書)
空間中的距離問題包括兩點間的距離、點到直線的距離、平行線之間的距離、點到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、平行平面之間的距離、異面直線的距離等．空間兩點間的距離即為以這兩點為起點和終點的向量的模．本節主要研究點到直線、點到平面、平行線之間、平行平面之間的距離，這些距離都可以通過求投影向量的長度得到．
[討論交流]　
問題1．空間點到直線、點到平面的距離的向量計算公式是什么？
問題2．相互平行的直線、平面間的距離可分別轉化為什么距離求解？
問題3．用向量解決空間線面距離問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　點到直線的距離
探究問題1　給定一條直線l和直線l外一點P，如何用向量的方法求點P到直線l的距離？
探究建構
[提示]　取直線l上一點A，它的單位方向向量用u表示，過P作PQ⊥l(圖略)，點Q為垂足．這樣，要解決的問題是：利用直線l上的點A，直線的單位方向向量u和直線外的一點P求線段PQ的長度．
探究問題2　為了求線段PQ的長度，如何將“探究問題1”中的條件與線段PQ聯系起來？
[提示]　作向量(圖略)，構造Rt△APQ，通過勾股定理求出線段
PQ的長度，即PQ＝．
[新知生成]
點到直線的距離
設直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是l外一點，＝a，則向量在直線l上的投影向量＝(a·u)u，點P到直線l的距離PQ＝ ．
【教用·微提醒】　(1)點到直線的距離，即點到直線的垂線段的長度，由于直線與直線外一點確定一個平面，所以空間點到直線的距離問題可轉化為空間某一個平面內點到直線的距離問題．
(2)兩條平行線之間的距離可以轉化為其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離．所以兩條平行線之間的距離可以用點到直線的距離公式解決．
[典例講評]　1．如圖所示，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求點B到直線A′C的距離．
[解]　依題意有A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)．
法一：＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)，
方向上的投影向量的模為．
所以點B到直線A′C的距離為
d＝．
法二：取直線A′C的方向向量＝(1，2，－3)，a＝＝(0，2，0)，
u＝，
則a2＝4，a·u＝，
所以點B到直線A′C的距離為．
反思領悟　用向量法求點到直線的距離的一般步驟
(1)建立空間直角坐標系．
(2)求直線的單位方向向量u．
(3)計算所求點與直線上某一點所構成的向量a．
(4)利用公式PQ＝計算點到直線的距離．
[學以致用]　1．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點B到直線A1C1的距離．
[解]　連接BC1．以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直線A1C1的方向向量＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)，取a＝＝(0，3，1)，u＝．
所以點B到直線A1C1的距離
d＝．
探究2　點到平面的距離
探究問題3　你能類比點到直線的距離公式的推導過程，推導出點到平面的距離公式嗎？
[提示]　第一步，確定平面α的法向量n；
第二步，選擇“參考向量”；
第三步，確定向量向法向量n的投影向量；
第四步，求投影向量的模長，得到PQ＝＝＝．
[新知生成]
點P到平面α的距離
如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度．因此PQ＝＝＝ ．
【教用·微提醒】　實質上，n是直線l的方向向量，點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度．
[典例講評]　2．在三棱錐S-ABC中，棱長SA＝a，SB＝b，SC＝c，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求點S到底面ABC的距離．
[解]　如圖所示，以S為原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標系，則S(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)．
所以＝(－a，b，0)，＝(－a，0，c)，＝(a，0，0)．
設n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，
則
取x＝bc，得y＝ac，z＝ab，
則n＝(bc，ac，ab)是平面ABC的一個法向量．
由于點S到底面ABC的距離等于向量在法向量n上的投影向量的長度，
因此，點S到底面ABC的距離
d＝
＝
＝．
發現規律　試寫出向量法求點面距離的步驟
[提示]　(1)建系：建立恰當的空間直角坐標系．
(2)求點坐標：寫出(求出)相關點的坐標．
(3)求向量：求出相關向量的坐標，α內兩不共線向量，平面α的法向量n)．
(4)求距離d＝________．
[學以致用]　2．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，點E為CC1的中點，求點D1到平面BDE的距離．
[解]　以點D為原點，建立空間直角坐標系Dxyz如圖所示，
則D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，故＝(1，1，0)，＝(0，1，1)．
設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥，n⊥．
故有所以
所以取x＝1，則y＝－1，z＝1，
所以n＝(1，－1，1)．
因為點D1到平面BDE的距離d＝，＝(0，0，2)，
所以·n＝2，|n|＝，
所以d＝＝，即點D1到平面BDE的距離為．
探究3　直線、平面到平面的距離
探究問題4　類比兩條平行直線間的距離，如何求直線與平面或兩個平行平面間的距離？
[提示]　在直線上或其中一個平面上取一定點，則該點到另一個平面的距離即為直線與平面或兩平行平面之間的距離．
[新知生成]
1．如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉化為________的距離求解．
2．如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解．
【教用·微提醒】　只有線面(或面面)平行時，才有線面(面面)距離．
點到平面
【鏈接·教材例題】
例6　如圖1.4-18，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F為線段AB的中點．
(1)求點B到直線AC1的距離；
(2)求直線FC到平面AEC1的距離．
[分析]　根據條件建立空間直角坐標系，用坐標表示相關的點、直線的方向向量和平面的法向量，再利用有關公式，通過坐標運算得出相應的距離．
[解]　以D1為原點，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-18所示的空間直角坐標系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，
所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝，
＝＝＝．
(1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，
則a2＝1，a·u＝．
所以，點B到直線AC1的距離為＝＝．
(2)因為＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1．所以點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．
設平面AEC1的法向量為n＝(x，y，z)，則
所以所以
取z＝1，則x＝1，y＝2．
所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一個法向量．
又因為＝，所以點F到平面AEC1的距離為
＝＝．
即直線FC到平面AEC1的距離為．
[典例講評]　3．設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2．
(1)求直線B1C到平面A1BD的距離；
(2)求平面A1BD與平面B1CD1間的距離．
[解]　 (1)如圖建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，所以＝(2，0，2)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，所以∥，即CB1∥DA1，又CB1 平面A1BD，DA1 平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD，所以直線B1C到平面A1BD的距離等于點B1到平面A1BD的距離．
設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則
令x＝1，則n＝(1，－1，－1)，又＝(0，2，0)，所以點B1到平面A1BD的距離d＝，即直線B1C到平面A1BD的距離為．
(2)由(1)知B1C∥平面A1BD，同理，D1B1∥平面A1BD，B1C∩D1B1＝B1，所以平面A1BD∥平面B1CD1，即平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點B1到平面A1BD的距離．由(1)知，點B1到平面A1BD的距離d＝．所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為．
反思領悟　用向量方法研究空間距離問題的一般步驟：(1)確定法向量．(2)選擇參考向量．(3)利用公式求解．
[學以致用]　3．已知邊長為4的正三角形ABC，E，F分別為BC，AC的中點．PA＝2，且PA⊥平面ABC，設Q是CE的中點．
(1)求證：AE∥平面PFQ；
(2)求AE與平面PFQ間的距離．
[解]　如圖所示，以A為坐標原點，平面ABC內垂直于AC邊所在直線的直線為x軸，AC所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系．∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分別是BC，AC的中點，
∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，
F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，
P(0，0，2)．
(1)證明：∵＝＝(，3，0)，
∴．∵AE與FQ無交點，∴AE∥FQ．又FQ 平面PFQ，AE 平面PFQ，∴AE∥平面PFQ．
(2)由(1)知，AE∥平面PFQ，∴點A到平面PFQ的距離就是AE與平面PFQ間的距離．設平面PFQ的法向量為n＝(x，y，z)，＝(0，2，－2)，＝，∴n·＝x＋y＝0．令y＝1，則x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一個法向量為n＝(－，1，1)．連接QA，則＝，∴所求距離d＝＝．
【教用·備選題】　如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中點，求直線A1B1與平面ABE間的距離．
[解]　因為A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，所以A1B1∥平面ABE，所以A1B1到平面ABE的距離就是點A1到平面ABE的距離．
如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)．
過點C作AB的垂線交AB于點F，易得BF＝，
所以B(1，2，0)，所以＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．
設平面ABE的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
所以y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．
因為＝(0，0，2)，
所以點A1到平面ABE的距離d＝＝＝．
所以直線A1B1與平面ABE間的距離為．
1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，則點A到直線BC的距離為(　　)
A． B．1 C． D．2
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
A　[∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，
＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，∴點A到直線BC的距離為：
d＝＝1×＝．]
2
3
題號
1
4
√
2．已知平面α的一個法向量為n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，2)在α內，則平面外一點P(－2，1，2)到平面α的距離為(　　)
A．4 　　 B．2 　　C． 　　 D．3
B　[∵P(－2，1，2)，A(－1，3，2)，∴＝(1，2，0)，
又n＝(－2，－2，1)是平面α的一個法向量，
∴P到平面α的距離為d＝＝＝2．故選B．]
3．兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量為n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是(　　)
A． 　　B． 　　C． 　　 D．3
2
3
題號
4
1
√
B　[∵兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，∴兩平面間的距離d＝＝＝．故選B．]
4．已知AB∥平面α，平面α的一個法向量為n＝(1，0，1)，平面α內一點C的坐標為(0，0，1)，直線AB上的點A的坐標為(1，2，1)，則直線AB到平面α的距離為_____．
2
4
3
題號
1
　[因為AB∥平面α，所以直線AB到平面α的距離可轉化為點A到平面α的距離，易知＝(1，2，0)，所以點A到平面α的距離d＝＝＝，即直線AB到平面α的距離為．]
　
1．知識鏈：(1)點到直線的距離、兩條平行線之間的距離．
(2)點到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、兩個平行平面之間的距離．
2．方法鏈：向量法、幾何法、轉化法．
3．警示牌：(1)求兩條平行線之間的距離，在其中一條直線上找到一點，轉化為點到直線的距離．
(2)求直線與平面之間的距離、兩個平行平面之間的距離，在直線或其中一個平面上找到一點，轉化為點到平面的距離．
(3)應注意點要選取適當，以方便求解為主．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．用空間向量求點到直線的距離的方法是什么？
[提示]　已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直
線l外一點，則點P到直線l的距離為．
2．用空間向量求點到平面的距離的方法是什么？
[提示]　已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離是．
3．如何用空間向量求直線和平面、平面和平面間的距離？
[提示]　先證明直線和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距離轉化為點到平面的距離，最后利用點到平面的距離公式求解．
異面直線間的距離
設直線a，b異面，向量a，b分別為它們的一個方向向量，如何求出這兩條異面直線間的距離呢？
閱讀材料
如圖1所示，過直線a上任意一點A作b′∥b，過直線b上任意一點B作a′∥a，則a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a與b′，a′與b均可確定一個平面，依次記作α，β．由立體幾何的知識可以證明：平面α，β均由直線a，b唯一確定，與點A，B的位置無關，且α∥β．于是，異面直線a，b間的距離就轉化為平行平面α，β間的距離，故只需先求出這兩個平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的長度即可．
如何求這兩個平行平面的法向量呢？
設n是平行平面α，β的一個法向量，顯然有n⊥a，n⊥b．因為向量a，b不共線，所以滿足這個條件的所有向量都平行．也就是說，只需找到與向量a，b均垂直的向量即可．
如圖2所示，設點A，B分別是異面直線a，b上任意一點，向量a，b分別是直線a，b的方向向量，向量n是與向量a，b均垂直的向量，則異面直線a，b間的距離為d＝．
課時分層作業(十)
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用空間向量研究距離問題
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鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
第1課時　用空間向量研究距離問題
[學習目標]　能用向量方法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題．(直觀想象、數學運算)
[討論交流]　
問題1．空間點到直線、點到平面的距離的向量計算公式是什么？
問題2．相互平行的直線、平面間的距離可分別轉化為什么距離求解？
問題3．用向量解決空間線面距離問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　點到直線的距離
探究問題1　給定一條直線l和直線l外一點P，如何用向量的方法求點P到直線l的距離？
探究問題2　為了求線段PQ的長度，如何將“探究問題1”中的條件與線段PQ聯系起來？
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[新知生成]
點到直線的距離
設直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是l外一點，＝a，則向量在直線l上的投影向量＝(a·u)u，點P到直線l的距離PQ＝________________．
[典例講評]　1．如圖所示，在空間直角坐標系中有長方體ABCD A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求點B到直線A′C的距離．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　用向量法求點到直線的距離的一般步驟
(1)建立空間直角坐標系．
(2)求直線的單位方向向量u．
(3)計算所求點與直線上某一點所構成的向量a．
(4)利用公式PQ＝計算點到直線的距離．
[學以致用]　1．已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點B到直線A1C1的距離．
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探究2　點到平面的距離
探究問題3　你能類比點到直線的距離公式的推導過程，推導出點到平面的距離公式嗎？
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[新知生成]
點P到平面α的距離
如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度．因此PQ＝＝＝________．
[典例講評]　2．在三棱錐S ABC中，棱長SA＝a，SB＝b，SC＝c，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求點S到底面ABC的距離．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　試寫出向量法求點面距離的步驟
(1)建系：建立恰當的空間直角坐標系．
(2)求點坐標：寫出(求出)相關點的坐標．
(3)求向量：求出相關向量的坐標，α內兩不共線向量，平面α的法向量n)．
(4)求距離d＝________．
[學以致用]　2．已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，點E為CC1的中點，求點D1到平面BDE的距離．
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探究3　直線、平面到平面的距離
探究問題4　類比兩條平行直線間的距離，如何求直線與平面或兩個平行平面間的距離？
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[新知生成]
1．如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉化為________的距離求解．
2．如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解．
[典例講評]　3．設正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2．
(1)求直線B1C到平面A1BD的距離；
(2)求平面A1BD與平面B1CD1間的距離．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　用向量方法研究空間距離問題的一般步驟：(1)確定法向量．(2)選擇參考向量．(3)利用公式求解．
[學以致用]　3．已知邊長為4的正三角形ABC，E，F分別為BC，AC的中點．PA＝2，且PA⊥平面ABC，設Q是CE的中點．
(1)求證：AE∥平面PFQ；
(2)求AE與平面PFQ間的距離．
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1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，則點A到直線BC的距離為(　　)
A． B．1 C． D．2
2．已知平面α的一個法向量為n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，2)在α內，則平面外一點P(－2，1，2)到平面α的距離為(　　)
A．4 B．2 C． D．3
3．兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量為n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是(　　)
A． B． C． D．3
4．已知AB∥平面α，平面α的一個法向量為n＝(1，0，1)，平面α內一點C的坐標為(0，0，1)，直線AB上的點A的坐標為(1，2，1)，則直線AB到平面α的距離為________．
1．知識鏈：(1)點到直線的距離、兩條平行線之間的距離．
(2)點到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、兩個平行平面之間的距離．
2．方法鏈：向量法、幾何法、轉化法．
3．警示牌：(1)求兩條平行線之間的距離，在其中一條直線上找到一點，轉化為點到直線的距離．
(2)求直線與平面之間的距離、兩個平行平面之間的距離，在直線或其中一個平面上找到一點，轉化為點到平面的距離．
(3)應注意點要選取適當，以方便求解為主．
異面直線間的距離
設直線a，b異面，向量a，b分別為它們的一個方向向量，如何求出這兩條異面直線間的距離呢？
如圖1所示，過直線a上任意一點A作b′∥b，過直線b上任意一點B作a′∥a，則a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a與b′，a′與b均可確定一個平面，依次記作α，β．由立體幾何的知識可以證明：平面α，β均由直線a，b唯一確定，與點A，B的位置無關，且α∥β．于是，異面直線a，b間的距離就轉化為平行平面α，β間的距離，故只需先求出這兩個平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的長度即可．
如何求這兩個平行平面的法向量呢？
設n是平行平面α，β的一個法向量，顯然有n⊥a，n⊥b．因為向量a，b不共線，所以滿足這個條件的所有向量都平行．也就是說，只需找到與向量a，b均垂直的向量即可．
如圖2所示，設點A，B分別是異面直線a，b上任意一點，向量a，b分別是直線a，b的方向向量，向量n是與向量a，b均垂直的向量，則異面直線a，b間的距離為d＝．
7/7課時分層作業(十)　用空間向量研究距離問題
一、選擇題
1．直線l的方向向量為m＝(1，0，－1)，且l過點A(1，1，1)，則點P(－1，2，1)到l的距離為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．2
2．Rt△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，則點P到斜邊AB的距離是(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
3．(多選)在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，E為A1D1的中點，M為AA1的中點，則(　　)
A．C1到直線CE的距離為
B．A1到平面MBD的距離為
C．E到平面ABM的距離為
D．C到直線MD的距離為1
4．已知在四棱錐P ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，則點P到底面ABCD的距離為(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．2
5．在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中點，且AB＝BC＝BB1＝1，則直線AB1到平面BC1D的距離為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
二、填空題
6．已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，則點C到直線AB的距離為________．
7．如圖所示，直三棱柱ABC A1B1C1的側棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，則點B1到平面A1BC的距離為________．
8．已知直線l的方向向量為m＝，若點P(－1，1，－1)為直線l外一點，A(4，1，－2)為直線l上一點，則P到直線l的距離為________．
三、解答題
9．如圖，多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．
(1)求BF的長；
(2)求點C到平面AEC1F的距離．
10．在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D中，E，F分別為棱AA1，BB1的中點，M為棱A1B1上的一點，且A1M＝λ(0＜λ＜2)，設點N為ME的中點，則點N到平面D1EF的距離為(　　)
A．λ　　　B．　　　C．λ　　　D．
11．(多選)已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，點E，O分別是A1B1，A1C1的中點，點P在該正方體內部且滿足，則下列說法正確的是(　　)
A．點A到直線BE的距離是
B．點O到平面ABC1D1的距離為
C．平面A1BD與平面B1CD1之間的距離為
D．點P到直線AB的距離為
12．在底面是直角梯形的四棱錐P ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為________．
13．如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD間的距離為________．
14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分別為AB，BC的中點．
(1)求點D到平面PEF的距離；
(2)求直線AC到平面PEF的距離．
15．如圖所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，棱AA1＝2，D是CC1的中點，則在線段A1B上是否存在一點E(異于A1，B兩點)，使得點A1到平面AED的距離為？
2/41.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
第1課時　用空間向量研究距離問題
[學習目標]　能用向量方法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題．(直觀想象、數學運算)
(教師用書)
空間中的距離問題包括兩點間的距離、點到直線的距離、平行線之間的距離、點到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、平行平面之間的距離、異面直線的距離等．空間兩點間的距離即為以這兩點為起點和終點的向量的模．本節主要研究點到直線、點到平面、平行線之間、平行平面之間的距離，這些距離都可以通過求投影向量的長度得到．
[討論交流]　
問題1．空間點到直線、點到平面的距離的向量計算公式是什么？
問題2．相互平行的直線、平面間的距離可分別轉化為什么距離求解？
問題3．用向量解決空間線面距離問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　點到直線的距離
探究問題1　給定一條直線l和直線l外一點P，如何用向量的方法求點P到直線l的距離？
[提示]　取直線l上一點A，它的單位方向向量用u表示，過P作PQ⊥l(圖略)，點Q為垂足．這樣，要解決的問題是：利用直線l上的點A，直線的單位方向向量u和直線外的一點P求線段PQ的長度．
探究問題2　為了求線段PQ的長度，如何將“探究問題1”中的條件與線段PQ聯系起來？
[提示]　作向量(圖略)，構造Rt△APQ，通過勾股定理求出線段PQ的長度，即PQ＝．
[新知生成]
點到直線的距離
設直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是l外一點，＝a，則向量在直線l上的投影向量＝(a·u)u，點P到直線l的距離PQ＝＝．
【教用·微提醒】　(1)點到直線的距離，即點到直線的垂線段的長度，由于直線與直線外一點確定一個平面，所以空間點到直線的距離問題可轉化為空間某一個平面內點到直線的距離問題．
(2)兩條平行線之間的距離可以轉化為其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離．所以兩條平行線之間的距離可以用點到直線的距離公式解決．
[典例講評]　1．如圖所示，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求點B到直線A′C的距離．
[解]　 依題意有A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)．
法一：＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)，
方向上的投影向量的模為．
所以點B到直線A′C的距離為
d＝．
法二：取直線A′C的方向向量＝(1，2，－3)，a＝＝(0，2，0)，u＝，
則a2＝4，a·u＝，
所以點B到直線A′C的距離為．
　用向量法求點到直線的距離的一般步驟
(1)建立空間直角坐標系．
(2)求直線的單位方向向量u．
(3)計算所求點與直線上某一點所構成的向量a．
(4)利用公式PQ＝計算點到直線的距離．
[學以致用]　1．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點B到直線A1C1的距離．
[解]　連接BC1．以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直線A1C1的方向向量＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)，取a＝＝(0，3，1)，u＝．
所以點B到直線A1C1的距離
d＝．
探究2　點到平面的距離
探究問題3　你能類比點到直線的距離公式的推導過程，推導出點到平面的距離公式嗎？
[提示]　第一步，確定平面α的法向量n；
第二步，選擇“參考向量”；
第三步，確定向量向法向量n的投影向量；
第四步，求投影向量的模長，得到PQ＝＝＝．
[新知生成]
點P到平面α的距離
如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度．因此PQ＝＝＝．
【教用·微提醒】　實質上，n是直線l的方向向量，點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度．
[典例講評]　2．在三棱錐S-ABC中，棱長SA＝a，SB＝b，SC＝c，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求點S到底面ABC的距離．
[解]　如圖所示，以S為原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標系，則S(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)．
所以＝(－a，b，0)，＝(－a，0，c)，＝(a，0，0)．
設n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，
則
取x＝bc，得y＝ac，z＝ab，
則n＝(bc，ac，ab)是平面ABC的一個法向量．
由于點S到底面ABC的距離等于向量在法向量n上的投影向量的長度，
因此，點S到底面ABC的距離
d＝
＝
＝．
　試寫出向量法求點面距離的步驟
[提示]　(1)建系：建立恰當的空間直角坐標系．
(2)求點坐標：寫出(求出)相關點的坐標．
(3)求向量：求出相關向量的坐標，α內兩不共線向量，平面α的法向量n)．
(4)求距離d＝．
[學以致用]　2．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，點E為CC1的中點，求點D1到平面BDE的距離．
[解]　以點D為原點，建立空間直角坐標系Dxyz如圖所示，
則D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，故＝(1，1，0)，＝(0，1，1)．
設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥，n⊥．
故有所以
所以取x＝1，則y＝－1，z＝1，
所以n＝(1，－1，1)．
因為點D1到平面BDE的距離d＝，＝(0，0，2)，所以·n＝2，|n|＝，
所以d＝＝，即點D1到平面BDE的距離為．
探究3　直線、平面到平面的距離
探究問題4　類比兩條平行直線間的距離，如何求直線與平面或兩個平行平面間的距離？
[提示]　在直線上或其中一個平面上取一定點，則該點到另一個平面的距離即為直線與平面或兩平行平面之間的距離．
[新知生成]
1．如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉化為點到平面的距離求解．
2．如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解．
【教用·微提醒】　只有線面(或面面)平行時，才有線面(面面)距離．
【鏈接·教材例題】
例6　如圖1.4-18，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F為線段AB的中點．
(1)求點B到直線AC1的距離；
(2)求直線FC到平面AEC1的距離．
[分析]　根據條件建立空間直角坐標系，用坐標表示相關的點、直線的方向向量和平面的法向量，再利用有關公式，通過坐標運算得出相應的距離．
[解]　以D1為原點，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-18所示的空間直角坐標系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，
所以
＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝，
＝＝＝．
(1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，則a2＝1，a·u＝．
所以，點B到直線AC1的距離為＝＝．
(2)因為＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1．所以點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．
設平面AEC1的法向量為n＝(x，y，z)，則
所以
所以
取z＝1，則x＝1，y＝2．
所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一個法向量．
又因為＝，所以點F到平面AEC1的距離為
＝＝．
即直線FC到平面AEC1的距離為．
[典例講評]　3．設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2．
(1)求直線B1C到平面A1BD的距離；
(2)求平面A1BD與平面B1CD1間的距離．
[解]　 (1)如圖建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，所以＝(2，0，2)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，所以∥，即CB1∥DA1，又CB1 平面A1BD，DA1 平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD，所以直線B1C到平面A1BD的距離等于點B1到平面A1BD的距離．
設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則令x＝1，則n＝(1，－1，－1)，又＝(0，2，0)，所以點B1到平面A1BD的距離d＝，即直線B1C到平面A1BD的距離為．
(2)由(1)知B1C∥平面A1BD，同理，D1B1∥平面A1BD，B1C∩D1B1＝B1，所以平面A1BD∥平面B1CD1，即平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點B1到平面A1BD的距離．由(1)知，點B1到平面A1BD的距離d＝．所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為．
　用向量方法研究空間距離問題的一般步驟：(1)確定法向量．(2)選擇參考向量．(3)利用公式求解．
[學以致用]　3．已知邊長為4的正三角形ABC，E，F分別為BC，AC的中點．PA＝2，且PA⊥平面ABC，設Q是CE的中點．
(1)求證：AE∥平面PFQ；
(2)求AE與平面PFQ間的距離．
[解]　如圖所示，以A為坐標原點，平面ABC內垂直于AC邊所在直線的直線為x軸，AC所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系．∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分別是BC，AC的中點，
∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2)．
(1)證明：∵＝＝(，3，0)，
∴．∵AE與FQ無交點，∴AE∥FQ．又FQ 平面PFQ，AE 平面PFQ，∴AE∥平面PFQ．
(2)由(1)知，AE∥平面PFQ，∴點A到平面PFQ的距離就是AE與平面PFQ間的距離．設平面PFQ的法向量為n＝(x，y，z)，＝(0，2，－2)，＝，∴n·＝x＋y＝0．令y＝1，則x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一個法向量為n＝(－，1，1)．連接QA，則＝，∴所求距離d＝＝．
【教用·備選題】　如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中點，求直線A1B1與平面ABE間的距離．
[解]　因為A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，所以A1B1∥平面ABE，所以A1B1到平面ABE的距離就是點A1到平面ABE的距離．
如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)．
過點C作AB的垂線交AB于點F，
易得BF＝，
所以B(1，2，0)，所以＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．
設平面ABE的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
所以y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．
因為＝(0，0，2)，
所以點A1到平面ABE的距離
d＝＝＝．
所以直線A1B1與平面ABE間的距離為．
1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，則點A到直線BC的距離為(　　)
A． B．1 C． D．2
A　[∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，
＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，∴點A到直線BC的距離為：
d＝
＝1×＝．]
2．已知平面α的一個法向量為n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，2)在α內，則平面外一點P(－2，1，2)到平面α的距離為(　　)
A．4 B．2 C． D．3
B　[∵P(－2，1，2)，A(－1，3，2)，∴＝(1，2，0)，
又n＝(－2，－2，1)是平面α的一個法向量，
∴P到平面α的距離為d＝＝＝2．故選B．]
3．兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量為n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是(　　)
A． B． C． D．3
B　[∵兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，∴兩平面間的距離d＝＝＝．故選B．]
4．已知AB∥平面α，平面α的一個法向量為n＝(1，0，1)，平面α內一點C的坐標為(0，0，1)，直線AB上的點A的坐標為(1，2，1)，則直線AB到平面α的距離為________．
　[因為AB∥平面α，所以直線AB到平面α的距離可轉化為點A到平面α的距離，易知＝(1，2，0)，所以點A到平面α的距離d＝＝＝，即直線AB到平面α的距離為．]
1．知識鏈：(1)點到直線的距離、兩條平行線之間的距離．
(2)點到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、兩個平行平面之間的距離．
2．方法鏈：向量法、幾何法、轉化法．
3．警示牌：(1)求兩條平行線之間的距離，在其中一條直線上找到一點，轉化為點到直線的距離．
(2)求直線與平面之間的距離、兩個平行平面之間的距離，在直線或其中一個平面上找到一點，轉化為點到平面的距離．
(3)應注意點要選取適當，以方便求解為主．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．用空間向量求點到直線的距離的方法是什么？
[提示]　已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，則點P到直線l的距離為．
2．用空間向量求點到平面的距離的方法是什么？
[提示]　已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離是．
3．如何用空間向量求直線和平面、平面和平面間的距離？
[提示]　先證明直線和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距離轉化為點到平面的距離，最后利用點到平面的距離公式求解．
異面直線間的距離
設直線a，b異面，向量a，b分別為它們的一個方向向量，如何求出這兩條異面直線間的距離呢？
如圖1所示，過直線a上任意一點A作b′∥b，過直線b上任意一點B作a′∥a，則a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a與b′，a′與b均可確定一個平面，依次記作α，β．由立體幾何的知識可以證明：平面α，β均由直線a，b唯一確定，與點A，B的位置無關，且α∥β．于是，異面直線a，b間的距離就轉化為平行平面α，β間的距離，故只需先求出這兩個平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的長度即可．
如何求這兩個平行平面的法向量呢？
設n是平行平面α，β的一個法向量，顯然有n⊥a，n⊥b．因為向量a，b不共線，所以滿足這個條件的所有向量都平行．也就是說，只需找到與向量a，b均垂直的向量即可．
如圖2所示，設點A，B分別是異面直線a，b上任意一點，向量a，b分別是直線a，b的方向向量，向量n是與向量a，b均垂直的向量，則異面直線a，b間的距離為d＝．
課時分層作業(十)　用空間向量研究距離問題
一、選擇題
1．直線l的方向向量為m＝(1，0，－1)，且l過點A(1，1，1)，則點P(－1，2，1)到l的距離為(　　)
A． B． C． D．2
B　[直線l的方向向量為m＝(1，0，－1)，且l過點A(1，1，1)，
又點P(－1，2，1)，則＝(－2，1，0)，則|AP|＝，
又∵＝＝，
∴點P(－1，2，1)到l的距離為＝，故選B．]
2．Rt△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，則點P到斜邊AB的距離是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C　[以點C為坐標原點，CA，CB，CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，
所以＝(－4，3，0)，＝，
所以點P到AB的距離d＝＝＝3．故選C．]
3．(多選)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1D1的中點，M為AA1的中點，則(　　)
A．C1到直線CE的距離為
B．A1到平面MBD的距離為
C．E到平面ABM的距離為
D．C到直線MD的距離為1
ABD　[建立空間直角坐標系，如圖所示，則C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝，＝(0，0，1)，所以點C1到直線EC的距離
d＝＝＝，A正確；A1到平面MBD的距離等于A到平面MBD的距離，由VA-MBD＝VM-ABD可得該距離為，B正確；E到平面ABM的距離是EA1＝，C錯誤；C到直線MD的距離為CD＝1，D正確．故選ABD．]
4．已知在四棱錐P-ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，則點P到底面ABCD的距離為(　　)
A． B． C．1 D．2
D　[在四棱錐P-ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，設平面ABCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則可得不妨令x＝3，則y＝12，z＝4，
可得n＝(3，12，4)．則＝(－6，2，－8)在平面ABCD法向量上的投影向量的長度就是這個四棱錐的高h，所以h＝＝＝＝2，
所以該四棱錐的高為2．故選D．]
5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中點，且AB＝BC＝BB1＝1，則直線AB1到平面BC1D的距離為(　　)
A． B． C． D．
A　[以B為原點，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0，0，0)，C1(1，0，1)，D，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝(0，－1，1)．
設平面BC1D的法向量為n＝(x，y，z)，則令x＝1，則n＝(1，－1，－1)．因為·n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0，所以⊥n，又AB1 平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．設直線AB1到平面BC1D的距離為d，因為＝(0，1，0)，所以d＝，所以直線AB1到平面BC1D的距離為．故選A．]
二、填空題
6．已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，則點C到直線AB的距離為________．
　[設點C到直線AB的距離為d，∵A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，
∴＝(2，－1，2)，＝(1，－2，4)，∴＝4，∴d＝＝．]
7．如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，則點B1到平面A1BC的距離為________．
　[如圖所示，建立空間直角坐標系，
則A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1，B1，C1，∴＝()，＝＝(－1，1，0)．
設平面A1BC的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令z＝1，得x＝－，y＝0，
∴n＝．
∴點B1到平面A1BC的距離d＝．]
8．已知直線l的方向向量為m＝(1，，－1)，若點P(－1，1，－1)為直線l外一點，A(4，1，－2)為直線l上一點，則P到直線l的距離為________．
　[∵P(－1，1，－1)，A(4，1，－2)，
∴＝(5，0，－1)，又m＝(1，，－1)，
∴cos 〈m，〉＝＝＝，
∴sin 〈m，〉＝，又∵＝，
∴點P(－1，1，－1)到直線l的距離為＝×＝．]
三、解答題
9．如圖，多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．
(1)求BF的長；
(2)求點C到平面AEC1F的距離．
[解]　 (1)以D為坐標原點，DA，DC，DF所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)．設點F(0，0，z)．
因為四邊形AEC1F為平行四邊形，
所以，即(－2，0，z)＝(－2，0，2)，解得z＝2，所以F(0，0，2)，所以＝(－2，－4，2)，所以＝2．即BF的長為2．
(2)＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)，設平面AEC1F的法向量為n＝(x，y，z)，
由
令z＝1，得x＝1，y＝－，所以n＝為平面AEC1F的一個法向量．
又因為＝(0，0，3)，
所以點C到平面AEC1F的距離為
d＝．
10．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D中，E，F分別為棱AA1，BB1的中點，M為棱A1B1上的一點，且A1M＝λ(0＜λ＜2)，設點N為ME的中點，則點N到平面D1EF的距離為(　　)
A．λ B． C．λ D．
D　[以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則E(2，0，1)，M(2，λ，2)，N，D1(0，0，2)，F(2，2，1)，
＝(0，2，0)，＝(－2，0，1)，，
設平面D1EF的法向量n＝(x，y，z)，則
取x＝1，得n＝(1，0，2)，∴點N到平面D1EF的距離d＝．故選D．]
11．(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點E，O分別是A1B1，A1C1的中點，點P在該正方體內部且滿足＝＋＋AA1，則下列說法正確的是(　　)
A．點A到直線BE的距離是
B．點O到平面ABC1D1的距離為
C．平面A1BD與平面B1CD1之間的距離為
D．點P到直線AB的距離為
BC　[如圖，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，
所以＝(1，0，0)，，
所以點A到直線BE的距離d1＝，故A錯誤；
易知，平面ABC1D1的一個法向量為＝(0，－1，1)，
則點O到平面ABC1D1的距離d2＝，故B正確；
易知＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)，
設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則
即
令z＝1，得y＝1，x＝1，
所以n＝(1，1，1)，
所以點D1到平面A1BD的距離d3＝，
因為平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD與平面B1CD1之間的距離等于點D1到平面A1BD的距離，
所以平面A1BD與平面B1CD1之間的距離為，故C正確；
易知＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，
且．
所以，
所以點P到直線AB的距離d4＝＝，故D錯誤．]
12．在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為________．
　[由AD∥平面PBC知AD到平面PBC的距離等于點A到平面PBC的距離．由已知可得AB，AD，AP兩兩垂直．以A為坐標原點，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略)，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，
則＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)．
設平面PBC的法向量為n＝(a，b，c)，
則即
取a＝1，得n＝(1，0，1)，
又＝(2，0，0)，
所以d＝＝．]
13．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD間的距離為________．
　[如圖所示，建立空間直角坐標系Dxyz，
則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
∴＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
∴，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M．
∴平面AMN∥平面EFBD．
設n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
則
解得
取z＝1，則x＝2，y＝－2，
得n＝(2，－2，1)．
平面AMN到平面EFBD的距離就是點B到平面AMN的距離．
∵＝(0，4，0)，∴平面AMN與平面EFBD間的距離d＝＝．]
14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分別為AB，BC的中點．
(1)求點D到平面PEF的距離；
(2)求直線AC到平面PEF的距離．
[解]　(1)建立以點D為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標系，如圖所示．
則D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，所以＝＝＝．
設平面PEF的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)．
所以點D到平面PEF的距離d＝＝＝．
(2)由題意知AC∥平面PEF，所以直線AC到平面PEF的距離即點A到平面PEF的距離．
因為＝，
所以點A到平面PEF的距離d′＝＝＝，
所以直線AC到平面PEF的距離為．
15．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，棱AA1＝2，D是CC1的中點，則在線段A1B上是否存在一點E(異于A1，B兩點)，使得點A1到平面AED的距離為？
[解]　 假設存在點E滿足題意．以點C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，＝(0，0，2)，＝(2，－2，2)．
設，λ∈(0，1)，
則E(2λ，2(1－λ)，2λ)，＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)．
設n＝(x，y，z)為平面AED的法向量，
則
即
取x＝1，則y＝，z＝2，
即n＝為平面AED的一個法向量．
因為點A1到平面AED的距離d＝，
所以，
又λ∈(0，1)，所以λ＝．
故存在點E，且當點E為A1B的中點時，點A1到平面AED的距離為．
20/23(共72張PPT)
第2課時　用空間向量研究夾角問題
第一章 空間向量與立體幾何
1.4　空間向量的應用
1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
[學習目標]　1．會用向量法求線線、線面、面面夾角．(直觀想象、數學運算)
2．能正確區分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關系．(邏輯推理、數學運算)
整體感知
(教師用書)
在必修教材中，我們學習過異面直線所成的角、直線與平面相交所成的角以及兩個平面相交所成的二面角．那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關系？
[討論交流]　
問題1．兩條異面直線、直線和平面、兩個平面的夾角的向量計算公式分別是什么？
問題2．直線和平面的夾角與直線方向向量、平面法向量的夾角有什么關系？
問題3．兩個平面的夾角和二面角有什么區別？
問題4．用向量解決空間線面夾角問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　兩異面直線所成的角
探究問題1　如何求兩個向量a，b的夾角？
探究建構
[提示]　cos 〈a，b〉＝．
探究問題2　能否借助兩個向量的夾角來求兩異面直線所成的角．
[提示]　可以．可轉化為兩條異面直線的方向向量的夾角問題來解決．
[新知生成]
利用向量方法求兩條異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝ ．
【教用·微提醒】　兩異面直線所成角的范圍是，兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關系．
【鏈接·教材例題】
例7　如圖1.4-19，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值．
[分析]　求直線AM和CN夾角的余弦值，可以轉化為求向量夾角的余弦值．為此需要把向量用適當的基底表示出來，進而求得向量夾角的余弦值．
[解]　化為向量問題
如圖1.4-19，以{}作為基底，則
－＝．
設向量．
進行向量運算
＝·
＝－＋－＝－＋－＝．
又△ABC和△ACD均為等邊三角形，
所以＝＝．
所以cos θ＝＝＝．
回到圖形問題
所以直線AM和CN夾角的余弦值為．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)如圖所示，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′與A′D夾角的余弦值．
[解]　設s1，s2分別是AC′和A′D的一個方向向量，取s1＝．
因為A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)，所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)．
設AC′與A′D所成角為θ，則
cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|＝．
故AC′與A′D夾角的余弦值為．
反思領悟　求異面直線所成角的步驟
(1)確定兩條異面直線的方向向量．
(2)確定兩個向量夾角的余弦值的絕對值．
(3)得出兩條異面直線所成的角．
[學以致用]　1．《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，△SAB，△SCD是直角圓錐SO的兩個軸截面，且
cos ∠BOC＝，則異面直線SA與BC所成角的余弦值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
B　[以O為坐標原點，OB，OS所在直線分別為y，z軸，垂直于平面SAB的軸為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB＝6，則A(0，－3，0)，B(0，3，0)，S(0，0，3)，因為cos ∠BOC＝，
所以C(－2，1，0)，
所以＝(0，－3，－3)，＝(－2，－2，0)，
所以cos 〈〉＝＝＝，
所以異面直線SA與BC所成角的余弦值為．
故選B．]
2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝BC，E為CD的中點，F為PC的中點，則異面直線BF與PE所成角的正弦值為(　　)
A．　　　　B．　　　C．　　　D．
√
A　[如圖，
∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，
∴以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP
所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設PA＝BC＝2，則B(2，0，0)，F(1，1，1)，
P(0，0，2)，E(1，2，0)，
∴＝(－1，1，1)，＝(1，2，－2)，
∵cos 〈〉＝＝＝－，
∴異面直線BF與PE所成角的正弦值為＝．
故選A．]
探究2　直線與平面所成的角
探究問題3　直線的方向向量與平面的法向量所成的角是直線與平面所成的角嗎？
[提示]　不是．
探究問題4　設直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為v，平面的法向量為n，則θ與〈v，n〉有什么關系？
[提示]　θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－．
[新知生成]
利用向量方法求直線與平面所成的角
直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝ ．
【教用·微提醒】　(1)求直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決．
(2)線面角的范圍為．
[典例講評]　2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E為PD中點，且PA＝1．
(1)求證：PB∥平面ACE；
(2)求直線BE與平面PCD所成角的余弦值．
[解]　(1)證明：連接BD，交AC于點O，連接EO，則O為BD中點，
∵E為PD的中點，∴EO∥PB，
又EO 平面ACE，PB 平面ACE，∴PB∥平面ACE．
(2)以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，C(2，1，0)，B(2，0，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，E，
∴＝＝(0，1，－1)，
＝(2，1，－1)．
設平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令y＝1，得n＝(0，1，1)，
設直線BE與平面PCD所成角為θ，且θ∈，
∴sin θ＝＝＝＝，
∴cos θ＝＝，
故直線BE與平面PCD所成角的余弦值為．
反思領悟　利用向量法求直線與平面所成角的基本步驟
(1)建立空間直角坐標系．
(2)求直線的方向向量．
(3)求平面的法向量n．
(4)計算：設線面角為θ，則sin θ＝．
[學以致用]　3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分別為C1C，BC的中點．求A1B與平面AEF所成角的正弦值．
[解]　以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝(1，1，0)．
設平面AEF的法向量為n＝(a，b，c)，
由得令a＝1，可得n＝(1，－1，2)為平面AEF的一個法向量．
設A1B與平面AEF所成角為θ，
所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，
即A1B與平面AEF所成角的正弦值為．
[提示]　平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
區別：二面角的范圍是[0，π]，而兩個平面的夾角的范圍是．
探究3　兩平面的夾角
探究問題5　兩個平面的夾角與二面角的平面角有什么區別？
探究問題6　設n1，n2分別是平面α1，α2的一個法向量，平面α1與平面α2的夾角為θ，則θ與〈n1，n2〉的關系是什么？
[提示]　兩平面的夾角是兩平面法向量的夾角或其補角，
即θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
[新知生成]
利用向量方法求兩個平面的夾角
(1)平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中___________的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
(2)若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角，設平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝ ．
不大于90°
【教用·微提醒】　(1)求兩平面的夾角問題可轉化為兩平面法向量的夾角問題．
(2)兩平面的夾角的范圍是，二面角的范圍是[0，π]．
(3)二面角與兩平面的夾角不是相同的概念．
【鏈接·教材例題】
例8　如圖1.4-22，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P為BC的中點，點Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值．
[分析]　因為平面PQR與平面A1B1C1的夾角可以轉化為平面PQR與平面A1B1C1的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個平面的法向量的夾角即可．
[解]　化為向量問題
以C1為原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-22所示的空間直角坐標系．設平面A1B1C1的法向量為n1，平面PQR的法向量為n2，則平面PQR與平面A1B1C1的夾角就是n1與n2的夾角或其補角．
進行向量運算
因為C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一個法向量為n1＝(0，0，1)．
根據所建立的空間直角坐標系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1)．
所以＝(2，－1，－1)，＝(0，1，－2)．
設n2＝(x，y，z)，則 所以所以
取n2＝(3，4，2)，則
cos 〈n1，n2〉＝＝＝．
回到圖形問題
設平面PQR與平面A1B1C1的夾角為θ，則
cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
即平面PQR與平面A1B1C1的夾角的余弦值為．
[典例講評]　3．(2023·新高考Ⅱ卷)如圖，三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點．
(1)證明：BC⊥DA；
(2)點F滿足，求二面角D-AB-F的正弦值．
[解]　(1)證明：如圖，連接DE，AE，
因為DC＝DB，且E為BC的中點，所以DE⊥BC．
因為∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC．
因為DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE．
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA．
(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC．
不妨設DA＝DB＝DC＝2，因為∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2．
由題可知△DBC為等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝．
因為AE⊥BC，所以AE＝＝．
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED．
以E為坐標原點，ED所在直線為x軸，EB所在直線為
y軸，EA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
如圖，則D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，
＝(－，0，)，＝(0，－，)．
設F(xF，yF，zF)，因為，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)．
所以＝(，0，0)．
設平面DAB的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
則即
取x1＝1，則y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)．
設平面ABF的法向量為n＝(x2，y2，z2)，
則即得x2＝0，取y2＝1，
則z2＝1，n＝(0，1，1)．
所以cos 〈m，n〉＝＝＝．
記二面角D-AB-F的大小為θ，
則sin θ＝＝＝，
故二面角D-AB-F的正弦值為．
反思領悟　利用坐標法求兩個平面夾角的步驟
(1)建立空間直角坐標系．
(2)分別求出兩個面所在平面的法向量的坐標．
(3)求兩個法向量的夾角．
(4)確定兩平面夾角的大?。?br/>[學以致用]　4．(2023·北京卷)如圖，四面體P-ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，PA⊥平面ABC．
(1)求證：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A-PC-B的大?。?br/>[解]　(1)證明：∵PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥BC，∵PA＝1，PC＝，∴AC＝＝＝，
又∵AB＝BC＝1，∴AC2＝AB2＋BC2，∴BC⊥AB，又∵PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB．
(2)以點B為坐標原點，分別以BC，BA所在直線為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
則A(0，1，0)，B(0，0，0)，C(1，0，0)，P(0，1，1)，
∴＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)．
設平面APC的法向量為n＝(x，y，z)，
則取x＝1，得n＝(1，1，0)，
設平面BPC的法向量為m＝(a，b，c)，
則取b＝1，得m＝(0，1，－1)，
∴cos 〈m，n〉＝＝＝，
由圖可知二面角A-PC-B為銳角，設二面角A-PC-B的大小為θ，
則cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，∴θ＝，
即二面角A-PC-B的大小為．
【教用·備選題】　如圖所示，四棱錐P-ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB為等邊三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q為PB的中點．
(1)求證：AQ⊥平面PBC；
(2)求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值．
[解]　(1)證明：因為AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，
又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB．
又AQ 平面PAB，所以BC⊥AQ．
因為Q為PB的中點，且△PAB為等邊三角形，所以PB⊥AQ．
又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC．
(2)法一：取AB的中點O，連接PO，OD，因為△PAB為等邊三角形，所以PO⊥AB．
因為平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD．
由AB＝2BC＝2CD＝4，AB∥CD，得OB＝CD，且OB∥CD，所以四邊形OBCD為平行四邊形，可得OD∥BC，又∠ABC＝90°，所以OD⊥AB．
以AB的中點O為坐標原點，OA，OD，OP所在直
線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角
坐標系Oxyz，則A(2，0，0)，D(0，2，0)，C(－2，
2，0)，P(0，0，2)，B(－2，0，0)，則＝(0，－2，2)，＝(2，0，0)．
設平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，
由得
取z＝1，則平面PCD的一個法向量為n＝(0，，1)．
由(1)知，為平面PBC的一個法向量，
因為Q為PB的中點，則Q(－1，0，)，所以＝(3，0，－)．
又·n＝－，＝2＝2，
所以cos 〈，n〉＝＝＝－．
故平面PBC與平面PCD夾角的余弦值為．
法二：建系同方法一．
分別從B，D作PC的垂線段，垂足分別為E，F，如圖所示，則〈〉即為二面角B-PC-D的平面角的大?。?br/>設＝λ(2，－2，2)＝(2λ，－2λ，
2λ)，則＝(0，2，0)＋(2λ，
－2λ，2λ)＝(2λ，2－2λ，2λ)，
由＝0，得2λ×2＋(2－2λ)×(－2)＋
2λ×2＝0，解得λ＝，即＝．
同理可得＝，所以＝－，＝，＝．
所以cos 〈〉＝＝＝－，
故平面PBC與平面PCD夾角的余弦值為．
法三：如圖，取AB的中點為O，連接PO，OD，因為△PAB為等邊三角形，所以PO⊥AB．
因為平面PAB⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD．
在Rt△POD中，PO＝2，OD＝2，
所以PD＝4．所以PB＝PD，
又BC＝DC，PC＝PC，所以△PBC≌△PDC．
在Rt△PBC中，過點B作BE⊥PC，垂足為E，連接DE，則DE⊥PC，所以∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．
在Rt△PBC中，PB＝4，BC＝2，所以PC＝＝2，所以BE＝＝，所以DE＝BE＝．
連接BD，則BD＝2，在△BED中，cos ∠BED＝
＝－，所以平面PBC與平面PCD夾角的余弦值為．
【鏈接·教材例題】
例9　圖1.4-23為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°．已知禮物的質量為1 kg，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精確到0.01 N)．
[分析]　因為降落傘勻速下落，所以降落傘8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大?。?根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量．
[解]　如圖1.4-24，設水平面的單位法向量為n，其中一根繩子的拉力為F．因為〈n，F〉＝30°，所以F在n上的投影向量為n．所以8根繩子拉力的合力
F合＝8×n＝4n．
又因為降落傘勻速下落，
所以|F合|＝|G禮物|＝1×9.8＝9.8(N)．
所以＝9.8．所以|F|＝≈1.41(N)．
【鏈接·教材例題】
例10　如圖1.4-25，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
(1)求證：PA∥平面EDB；
(2)求證：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大?。?br/>[分析]　本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角．這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當的空間直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題．
[解]　以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-26所示的空間直角坐標系，設DC＝1．
(1)證明：連接AC，交BD于點G，連接EG．
依題意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E．
因為底面ABCD是正方形，所以點G是它的中心，
故點G的坐標為，且＝(1，0，－1)，
＝．
所以，即PA∥EG．
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，因此PA∥平面EDB．
(2)證明：依題意得
B(1，1，0)，＝(1，1，－1)．
又＝，故＝0＋－＝0．
所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD．
(3)解：已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB與平面PBD的夾角．
設點F的坐標為(x，y，z)，則＝(x，y，z－1)．
因為，所以(x，y，z－1)＝k(1，1，－1)＝(k，k，－k)，即x＝k，y＝k，z＝1－k．
由(2)可知＝0，則(1，1，－1)·(k，k，1－k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0．
所以k＝，點F的坐標為．
又點E的坐標為，所以＝．
所以cos ∠EFD＝
＝＝．
所以∠EFD＝60°，即平面CPB與平面PBD的夾角大小為60°．
1．已知空間兩異面直線所成的角的取值集合為A，直線與平面所成角的取值集合為B，則(　　)
A．A＝B　　B．A B　　C．B A　　D．A∩B＝
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[兩異面直線所成的角的取值集合為A＝，
而直線與平面所成角的取值集合為B＝，則ACD錯誤，B正確．故選B．]
2．若異面直線l1，l2的方向向量分別是a＝(0，－2，－1)，b＝
(2，0，4)，則異面直線l1與l2所成角的余弦值等于(　　)
A．－ 　　 B． 　　 C．－ 　　 D．
2
3
題號
1
4
√
B　[異面直線 l1，l2 的方向向量分別是a＝(0，－2，－1)，
b＝(2，0，4)，
則a·b＝0×2＋(－2)×0＋(－1)×4＝－4，|a|＝＝2，
則cos 〈a，b〉＝＝＝－，則異面直線l1與l2所成角的余弦值等于．故選B．]
3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，平面PCD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且PD＝AB＝1，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角θ滿足(　　)
A．θ＝ B．cos θ＝
C．tan θ＝ D．sin θ＝
2
3
題號
4
1
√
C　[因為四邊形ABCD為正方形，所以DC⊥DA，
因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 底面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，又因為PD 平面PAD，所以CD⊥PD，同理可得AD⊥PD，
2
3
題號
4
1
所以DA，DC，DP兩兩垂直，以D為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
G，所以＝，
易知平面ABCD的一個法向量為n＝(0，0，1)，
則sin θ＝＝＝，
所以cos θ＝＝，tan θ＝．
故選C．]
2
3
題號
4
1
4．如圖所示，點A，B，C分別在空間直角坐標系Oxyz的三條坐標軸上，＝(0，0，2)，平面ABC的一個法向量為n＝(2，1，2)，平面ABC與平面ABO的夾角為θ，則cos θ＝________．
2
4
3
題號
1
　[cos θ＝＝＝．]
　
1．知識鏈：(1)用向量求兩條異面直線所成的角．
(2)用向量求直線與平面所成的角．
(3)用向量求兩個平面的夾角．
2．方法鏈：向量法、化歸轉化．
3．警示牌：混淆兩個向量的夾角和空間角的關系，不能正確理解空間角的概念、把握空間角的范圍．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．用向量語言表述兩條異面直線所成的角．
[提示]　若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝．
2．用向量語言表述直線和平面所成的角．
[提示]　設直線l和平面α所成的角為θ，直線l的方向向量為u，平面α
的法向量為n，則sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝．
3．用向量語言表述平面和平面的夾角．
[提示]　設平面α與平面β的夾角為θ，其法向量分別為n1，n2，
則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
4．試總結用坐標法求兩平面的夾角的步驟．
[提示]　(1)建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標；
(2)求出兩個平面的法向量；
(3)求出兩個法向量的夾角；
(4)兩個法向量的夾角或其補角就是兩平面的夾角．
課時分層作業(十一)
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用空間向量研究夾角問題
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS課時分層作業(十一)　用空間向量研究夾角問題
一、選擇題
1．如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓O的直徑，D，E分別為SO，SB的中點，OC⊥AB，SO＝AB＝4，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．我們稱：兩個相交平面構成四個二面角，其中不大于90°的二面角稱為這兩個相交平面的夾角；由正方體的四個頂點所確定的平面統稱為該正方體的“表截面”．則在正方體中，兩個不重合的“表截面”的夾角大小不可能為(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
3．如圖，在正方體ABEF DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
4．(多選)已知正方體ABCD A1B1C1D1，則(　　)
A．直線AB1與CD1所成的角為90°
B．直線AD1與CA1所成的角為90°
C．直線AD1與平面BB1D1D所成的角為45°
D．直線AD1與平面ABCD所成的角為45°
5．(多選)如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝AC＝AB＝2，AB⊥AC，點D，E分別是線段BC，B1C上的動點(不含端點)，且．則下列說法正確的是(　　)
A．ED∥平面ACC1
B．點C1到直線B1C的距離為1
C．異面直線B1C與AA1所成角的正切值為
D．平面AEC與平面ECD的夾角的余弦值為
二、填空題
6．如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝2AC＝2BC，則直線AB1與直線BC1所成角的余弦值為________．
7．在空間直角坐標系中，已知A(a2，2a，6)，B(0，0，1)，C(1，1，2)，D(－1，0，3)，E(a2，0，5)，則當點A到平面BCD的距離最小時，直線AE與平面BCD所成角的正弦值為________．
8．如圖，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB，AC，AA1兩兩垂直，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分別是側棱BB1，CC1上的點，平面AMN與平面ABC所成的(銳)二面角為，則當CN最小時，∠AMB＝________．
三、解答題
9．(2023·新高考Ⅰ卷)如圖，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
(1)證明：B2C2∥A2D2；
(2)點P在棱BB1上，當二面角P A2C2 D2為150°時，求B2P．
10．閱讀材料：空間直角坐標系Oxyz中，過點P(x0，y0，z0)且一個法向量為n＝(a，b，c)的平面α的方程為a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0；過點P(x0，y0，z0)且一個方向向量為d＝(u，v，w)(uvw≠0)的直線l的方程為．利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面α的方程為3x－5y＋z－7＝0，直線l是平面x－3y＋7＝0與4y＋2z＋1＝0的交線，則直線l與平面α所成角的正弦值為(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
11．古代城池中的甕城，是加裝在城門前面或里面的又一層門，若敵人攻入甕城中，可形成“甕中捉鱉”之勢．如圖的曲池是上、下底面均為半圓形的柱體．若AA1⊥底面ABCD，AA1＝3，AB＝4，CD＝2，E為弧的中點，則直線CE與平面DEB1所成角的正弦值為(　　)
A．　　　C．
12．《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數學經典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝PA，則直線PC與面PBD所成角的正弦值為(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
13．如圖，已知四邊形ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F DC B的平面角為60°．設M，N分別為AE，BC的中點，直線BM與平面ADE所成角的正弦值為________．
14．(2024·新高考Ⅱ卷)如圖，平面四邊形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，點E，F滿足．將△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4．
(1)證明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
15．如圖1，在平面圖形ABCDE中，AE＝ED＝BD＝BC＝1，BC⊥BD，ED∥AB，∠EAB＝60°，沿BD將△BCD折起，使點C到F的位置，且BF⊥BE，，如圖2．
(1)求證：平面GEBF⊥平面AEG；
(2)線段FG上是否存在點M，使得平面MAB與平面AEG夾角的余弦值為？若存在，求出GM的長；若不存在，請說明理由．
5/5第2課時　用空間向量研究夾角問題
[學習目標]　1．會用向量法求線線、線面、面面夾角．(直觀想象、數學運算)
2．能正確區分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關系．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
在必修教材中，我們學習過異面直線所成的角、直線與平面相交所成的角以及兩個平面相交所成的二面角．那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關系？
[討論交流]　
問題1．兩條異面直線、直線和平面、兩個平面的夾角的向量計算公式分別是什么？
問題2．直線和平面的夾角與直線方向向量、平面法向量的夾角有什么關系？
問題3．兩個平面的夾角和二面角有什么區別？
問題4．用向量解決空間線面夾角問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　兩異面直線所成的角
探究問題1　如何求兩個向量a，b的夾角？
[提示]　cos 〈a，b〉＝．
探究問題2　能否借助兩個向量的夾角來求兩異面直線所成的角．
[提示]　可以．可轉化為兩條異面直線的方向向量的夾角問題來解決．
[新知生成]
利用向量方法求兩條異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝．
【教用·微提醒】　兩異面直線所成角的范圍是，兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關系．
【鏈接·教材例題】
例7　如圖1.4-19，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值．
[分析]　求直線AM和CN夾角的余弦值，可以轉化為求向量夾角的余弦值．為此需要把向量用適當的基底表示出來，進而求得向量夾角的余弦值．
[解]　化為向量問題
如圖1.4-19，以{}作為基底，則
－＝．
設向量．
進行向量運算
＝·
＝－＋－
＝－＋－＝．
又△ABC和△ACD均為等邊三角形，
所以＝＝．
所以cos θ＝＝＝．
回到圖形問題
所以直線AM和CN夾角的余弦值為．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)如圖所示，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′與A′D夾角的余弦值．
[解]　 設s1，s2分別是AC′和A′D的一個方向向量，取s1＝．
因為A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)，所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)．
設AC′與A′D所成角為θ，則
cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|＝．
故AC′與A′D夾角的余弦值為．
　求異面直線所成角的步驟
(1)確定兩條異面直線的方向向量．
(2)確定兩個向量夾角的余弦值的絕對值．
(3)得出兩條異面直線所成的角．
[學以致用]　1．《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，△SAB，△SCD是直角圓錐SO的兩個軸截面，且cos ∠BOC＝，則異面直線SA與BC所成角的余弦值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
B　[以O為坐標原點，OB，OS所在直線分別為y，z軸，垂直于平面SAB的軸為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB＝6，則A(0，－3，0)，B(0，3，0)，S(0，0，3)，因為cos ∠BOC＝，
所以C(－2，1，0)，
所以＝(0，－3，－3)，＝(－2，－2，0)，
所以cos 〈〉＝＝＝，
所以異面直線SA與BC所成角的余弦值為．
故選B．]
2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝BC，E為CD的中點，F為PC的中點，則異面直線BF與PE所成角的正弦值為(　　)
A．　　　　B．　　　C．　　　D．
A　[如圖，
∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，
∴以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設PA＝BC＝2，則B(2，0，0)，F(1，1，1)，P(0，0，2)，E(1，2，0)，
∴＝(－1，1，1)，＝(1，2，－2)，
∵cos 〈〉＝＝＝－，
∴異面直線BF與PE所成角的正弦值為＝．
故選A．]
探究2　直線與平面所成的角
探究問題3　直線的方向向量與平面的法向量所成的角是直線與平面所成的角嗎？
[提示]　不是．
探究問題4　設直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為v，平面的法向量為n，則θ與〈v，n〉有什么關系？
[提示]　θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－．
[新知生成]
利用向量方法求直線與平面所成的角
直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝．
【教用·微提醒】　(1)求直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決．
(2)線面角的范圍為
[典例講評]　2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E為PD中點，且PA＝1．
(1)求證：PB∥平面ACE；
(2)求直線BE與平面PCD所成角的余弦值．
[解]　(1)證明：連接BD，交AC于點O，連接EO，則O為BD中點，
∵E為PD的中點，∴EO∥PB，
又EO 平面ACE，PB 平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
(2)以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，C(2，1，0)，B(2，0，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，E，
∴＝＝(0，1，－1)，＝(2，1，－1)．
設平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令y＝1，得n＝(0，1，1)，
設直線BE與平面PCD所成角為θ，且θ∈，
∴sin θ＝＝＝＝，
∴cos θ＝＝，
故直線BE與平面PCD所成角的余弦值為．
　利用向量法求直線與平面所成角的基本步驟
(1)建立空間直角坐標系．
(2)求直線的方向向量．
(3)求平面的法向量n．
(4)計算：設線面角為θ，則sinθ＝．
[學以致用]　3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分別為C1C，BC的中點．求A1B與平面AEF所成角的正弦值．
[解]　以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝(1，1，0)．
設平面AEF的法向量為n＝(a，b，c)，
由得令a＝1，可得n＝(1，－1，2)為平面AEF的一個法向量．
設A1B與平面AEF所成角為θ，
所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，
即A1B與平面AEF所成角的正弦值為．
探究3　兩平面的夾角
探究問題5　兩個平面的夾角與二面角的平面角有什么區別？
[提示]　平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
區別：二面角的范圍是[0，π]，而兩個平面的夾角的范圍是．
探究問題6　設n1，n2分別是平面α1，α2的一個法向量，平面α1與平面α2的夾角為θ，則θ與〈n1，n2〉的關系是什么？
[提示]　兩平面的夾角是兩平面法向量的夾角或其補角，即θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
[新知生成]
利用向量方法求兩個平面的夾角
(1)平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
(2)若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角，設平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝．
【教用·微提醒】　(1)求兩平面的夾角問題可轉化為兩平面法向量的夾角問題．
(2)兩平面的夾角的范圍是，二面角的范圍是[0，π]．
(3)二面角與兩平面的夾角不是相同的概念．
【鏈接·教材例題】
例8　如圖1.4-22，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P為BC的中點，點Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值．
[分析]　因為平面PQR與平面A1B1C1的夾角可以轉化為平面PQR與平面A1B1C1的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個平面的法向量的夾角即可．
[解]　化為向量問題
以C1為原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-22所示的空間直角坐標系．設平面A1B1C1的法向量為n1，平面PQR的法向量為n2，則平面PQR與平面A1B1C1的夾角就是n1與n2的夾角或其補角．
進行向量運算
因為C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一個法向量為n1＝(0，0，1)．
根據所建立的空間直角坐標系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1)．
所以＝(2，－1，－1)，＝(0，1，－2)．
設n2＝(x，y，z)，則
所以
所以
取n2＝(3，4，2)，則
cos 〈n1，n2〉＝＝＝．
回到圖形問題
設平面PQR與平面A1B1C1的夾角為θ，則
cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
即平面PQR與平面A1B1C1的夾角的余弦值為．
[典例講評]　3．(2023·新高考Ⅱ卷)如圖，三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點．
(1)證明：BC⊥DA；
(2)點F滿足，求二面角D-AB-F的正弦值．
[解]　(1)證明：如圖，連接DE，AE，
因為DC＝DB，且E為BC的中點，所以DE⊥BC．
因為∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC．
因為DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE．
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA．
(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC．
不妨設DA＝DB＝DC＝2，因為∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2．
由題可知△DBC為等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝．
因為AE⊥BC，所以AE＝＝．
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED．
以E為坐標原點，ED所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，＝(－，0，)，＝(0，－，)．
設F(xF，yF，zF)，因為，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)．
所以＝(，0，0)．
設平面DAB的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
則即取x1＝1，則y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)．
設平面ABF的法向量為n＝(x2，y2，z2)，
則即得x2＝0，取y2＝1，則z2＝1，n＝(0，1，1)．
所以cos 〈m，n〉＝＝＝．
記二面角D-AB-F的大小為θ，則sin θ＝＝＝，
故二面角D-AB-F的正弦值為．
　利用坐標法求兩個平面夾角的步驟
(1)建立空間直角坐標系．
(2)分別求出兩個面所在平面的法向量的坐標．
(3)求兩個法向量的夾角．
(4)確定兩平面夾角的大小．
[學以致用]　4．(2023·北京卷)如圖，四面體P-ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，PA⊥平面ABC．
(1)求證：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A-PC-B的大小．
[解]　(1)證明：∵PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥BC，∵PA＝1，PC＝，∴AC＝＝＝，
又∵AB＝BC＝1，∴AC2＝AB2＋BC2，∴BC⊥AB，又∵PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB．
(2)以點B為坐標原點，分別以BC，BA所在直線為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
則A(0，1，0)，B(0，0，0)，C(1，0，0)，P(0，1，1)，
∴＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)．
設平面APC的法向量為n＝(x，y，z)，
則取x＝1，得n＝(1，1，0)，
設平面BPC的法向量為m＝(a，b，c)，
則取b＝1，得m＝(0，1，－1)，
∴cos 〈m，n〉＝＝＝，
由圖可知二面角A-PC-B為銳角，設二面角A-PC-B的大小為θ，
則cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，∴θ＝，
即二面角A-PC-B的大小為．
【教用·備選題】　如圖所示，四棱錐P-ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB為等邊三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q為PB的中點．
(1)求證：AQ⊥平面PBC；
(2)求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值．
[解]　(1)證明：因為AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，
又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB．
又AQ 平面PAB，所以BC⊥AQ．
因為Q為PB的中點，且△PAB為等邊三角形，所以PB⊥AQ．
又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC．
(2)法一：取AB的中點O，連接PO，OD，因為△PAB為等邊三角形，所以PO⊥AB．
因為平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD．
由AB＝2BC＝2CD＝4，AB∥CD，得OB＝CD，且OB∥CD，所以四邊形OBCD為平行四邊形，可得OD∥BC，又∠ABC＝90°，所以OD⊥AB．
以AB的中點O為坐標原點，OA，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，則A(2，0，0)，D(0，2，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，2)，B(－2，0，0)，則＝(0，－2，2)，＝(2，0，0)．
設平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，
由得
取z＝1，則平面PCD的一個法向量為n＝(0，，1)．
由(1)知，為平面PBC的一個法向量，
因為Q為PB的中點，則Q(－1，0，)，
所以＝(3，0，－)．
又·n＝－，＝2＝2，
所以cos 〈，n〉＝＝＝－．
故平面PBC與平面PCD夾角的余弦值為．
法二：建系同方法一．
分別從B，D作PC的垂線段，垂足分別為E，F，如圖所示，則〈〉即為二面角B-PC-D的平面角的大小．
設＝λ(2，－2，2)＝(2λ，－2λ，2λ)，則＝(0，2，0)＋(2λ，－2λ，2λ)＝(2λ，2－2λ，2λ)，由＝0，得2λ×2＋(2－2λ)×(－2)＋2λ×2＝0，解得λ＝，即＝．
同理可得＝，所以＝－，＝，＝．
所以cos 〈〉＝＝＝－，
故平面PBC與平面PCD夾角的余弦值為．
法三：如圖，取AB的中點為O，連接PO，OD，因為△PAB為等邊三角形，所以PO⊥AB．
因為平面PAB⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD．
在Rt△POD中，PO＝2，OD＝2，所以PD＝4．所以PB＝PD，又BC＝DC，PC＝PC，
所以△PBC≌△PDC．
在Rt△PBC中，過點B作BE⊥PC，垂足為E，連接DE，則DE⊥PC，所以∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．
在Rt△PBC中，PB＝4，BC＝2，所以PC＝＝2，所以BE＝＝，所以DE＝BE＝．
連接BD，則BD＝2，在△BED中，cos ∠BED＝＝－，所以平面PBC與平面PCD夾角的余弦值為．
【鏈接·教材例題】
例9　圖1.4-23為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°．已知禮物的質量為1 kg，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精確到0.01 N)．
[分析]　因為降落傘勻速下落，所以降落傘8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大?。?根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量．
[解]　如圖1.4-24，設水平面的單位法向量為n，其中一根繩子的拉力為F．因為〈n，F〉＝30°，所以F在n上的投影向量為n．所以8根繩子拉力的合力
F合＝8×n＝4n．
又因為降落傘勻速下落，所以
|F合|＝|G禮物|＝1×9.8＝9.8(N)．
所以＝9.8．
所以|F|＝≈1.41(N)．
【鏈接·教材例題】
例10　如圖1.4-25，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
(1)求證：PA∥平面EDB；
(2)求證：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大?。?br/>[分析]　本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角．這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當的空間直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題．
[解]　以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-26所示的空間直角坐標系，設DC＝1．
(1)證明：連接AC，交BD于點G，連接EG．
依題意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E．
因為底面ABCD是正方形，所以點G是它的中心，故點G的坐標為，且＝(1，0，－1)，＝．
所以，即PA∥EG．
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，因此PA∥平面EDB．
(2)證明：依題意得
B(1，1，0)，＝(1，1，－1)．
又＝，故＝0＋－＝0．
所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD．
(3)解：已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB與平面PBD的夾角．
設點F的坐標為(x，y，z)，則＝(x，y，z－1)．
因為，所以
(x，y，z－1)＝k(1，1，－1)＝(k，k，－k)，即x＝k，y＝k，z＝1－k．
由(2)可知＝0，則(1，1，－1)·(k，k，1－k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0．
所以k＝，點F的坐標為．
又點E的坐標為，所以＝．
所以cos ∠EFD＝＝＝．
所以∠EFD＝60°，即平面CPB與平面PBD的夾角大小為60°．
1．已知空間兩異面直線所成的角的取值集合為A，直線與平面所成角的取值集合為B，則(　　)
A．A＝B　　B．A B　　C．B A　　D．A∩B＝
B　[兩異面直線所成的角的取值集合為A＝，
而直線與平面所成角的取值集合為B＝，則ACD錯誤，B正確．
故選B．]
2．若異面直線l1，l2的方向向量分別是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，則異面直線l1與l2所成角的余弦值等于(　　)
A．－ B． C．－ D．
B　[異面直線 l1，l2 的方向向量分別是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，
則a·b＝0×2＋(－2)×0＋(－1)×4＝－4，|a|＝＝2，
則cos 〈a，b〉＝＝＝－，則異面直線l1與l2所成角的余弦值等于．故選B．]
3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，平面PCD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且PD＝AB＝1，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角θ滿足(　　)
A．θ＝ B．cos θ＝
C．tan θ＝ D．sin θ＝
C　[因為四邊形ABCD為正方形，所以DC⊥DA，
因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 底面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，又因為PD 平面PAD，所以CD⊥PD，同理可得AD⊥PD，
所以DA，DC，DP兩兩垂直，以D為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，G，所以＝，
易知平面ABCD的一個法向量為n＝(0，0，1)，
則sin θ＝＝＝，
所以cos θ＝＝，tan θ＝．
故選C．]
4．如圖所示，點A，B，C分別在空間直角坐標系Oxyz的三條坐標軸上，＝(0，0，2)，平面ABC的一個法向量為n＝(2，1，2)，平面ABC與平面ABO的夾角為θ，則cos θ＝________．
　[cos θ＝＝＝．]
1．知識鏈：(1)用向量求兩條異面直線所成的角．
(2)用向量求直線與平面所成的角．
(3)用向量求兩個平面的夾角．
2．方法鏈：向量法、化歸轉化．
3．警示牌：混淆兩個向量的夾角和空間角的關系，不能正確理解空間角的概念、把握空間角的范圍．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．用向量語言表述兩條異面直線所成的角．
[提示]　若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝．
2．用向量語言表述直線和平面所成的角．
[提示]　設直線l和平面α所成的角為θ，直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝．
3．用向量語言表述平面和平面的夾角．
[提示]　設平面α與平面β的夾角為θ，其法向量分別為n1，n2，則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
4．試總結用坐標法求兩平面的夾角的步驟．
[提示]　(1)建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標；
(2)求出兩個平面的法向量；
(3)求出兩個法向量的夾角；
(4)兩個法向量的夾角或其補角就是兩平面的夾角．
課時分層作業(十一)　用空間向量研究夾角問題
一、選擇題
1．如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓O的直徑，D，E分別為SO，SB的中點，OC⊥AB，SO＝AB＝4，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為(　　)
A．　　B．　　C． 　　D．
C　[以點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由于D，E分別為SO，SB的中點，OC⊥AB，SO＝AB＝4，
則C(2，0，0)，A(0，2，0)，D(0，0，2)，E(0，－1，2)，
＝(0，－2，2)，＝(－2，－1，2)，
cos 〈〉＝＝＝．
故選C．]
2．我們稱：兩個相交平面構成四個二面角，其中不大于90°的二面角稱為這兩個相交平面的夾角；由正方體的四個頂點所確定的平面統稱為該正方體的“表截面”．則在正方體中，兩個不重合的“表截面”的夾角大小不可能為(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
A　[若“表截面”為平面ABC1D1與平面ABCD，則它們的夾角為45°，即B正確；若“表截面”為平面ABC1D1與平面BDD1B1，以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正方體的棱長為1，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，A (1，0，0)，C(0，1，0)，
因為四邊形ADD1A1為正方形，所以A1D⊥AD1，因為AB⊥平面ADD1A1，且A1D 平面ADD1A1，所以AB⊥A1D，又AD1∩AB＝A，AD1，AB 平面ABC1D1，
所以A1D⊥平面ABC1D1，即平面ABC1D1的一個法向量為＝(1，0，1)，
同理可證，AC⊥平面BDD1B1，所以平面BDD1B1的一個法向量為＝(－1，1，0)，
設平面ABC1D1與平面BDD1B1所成角為θ，則cos θ＝＝，所以θ＝60°，即C正確；
若“表截面”為平面ABB1A1與平面ABCD，則它們的夾角為90°，即D正確．
從排除法的角度來看，選項A不可能．故選A．]
3．如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為(　　)
A．－　　　　B．　　　　C．－ 　　　　D．
B　[設正方體棱長為1，以BA，BE，BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建系如圖，
則根據題意可知M，N，A(1，0，0)，B(0，0，0)．
法一：取MN的中點G，連接BG，AG，則G．
因為△AMN，△BMN為等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB為兩平面夾角或其補角．又因為＝＝，
所以cos 〈〉＝＝＝－，
設平面MNA與平面MNB的夾角為θ，
則cos θ＝＝．
故所求兩平面夾角的余弦值為．
法二：設平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)，由于＝＝，則取n1＝(1，1，1)，
同理可求得平面BMN的一個法向量n2＝(1，－1，－1)．
所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，
設平面MNA與平面MNB的夾角為θ，
則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
故所求兩平面夾角的余弦值為．
故選B．]
4．(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則(　　)
A．直線AB1與CD1所成的角為90°
B．直線AD1與CA1所成的角為90°
C．直線AD1與平面BB1D1D所成的角為45°
D．直線AD1與平面ABCD所成的角為45°
ABD　[如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為1，則A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，
對于A：＝(0，1，1)，＝(0，－1，1)，所以＝0，即⊥，
所以直線AB1與CD1所成的角為90°，故A正確；
對于B：＝(－1，0，1)，＝(1，－1，1)，所以＝0，即⊥，所以直線AD1與CA1所成的角為90°，故B正確；
對于C：因為＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，設平面BB1D1D的法向量為n＝(x，y，z)，則
可取n＝(1，－1，0)，
設直線AD1與平面BB1D1D所成的角為θ，則sin θ＝，又θ∈，所以θ＝，即直線AD1與平面BB1D1D所成的角為，故C錯誤；
對于D：因為D1D⊥平面ABCD，則直線AD1與平面ABCD所成的角為∠D1AD，
在正方體ABCD A1B1C1D1中，∠D1AD＝45°，則直線AD1與平面ABCD所成的角為45°，故D正確．故選ABD．]
5．(多選)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝AB＝2，AB⊥AC，點D，E分別是線段BC，B1C上的動點(不含端點)，且＝．則下列說法正確的是(　　)
A．ED∥平面ACC1
B．點C1到直線B1C的距離為1
C．異面直線B1C與AA1所成角的正切值為
D．平面AEC與平面ECD的夾角的余弦值為
AD　[在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形BCC1B1是矩形，
因為＝，所以ED∥BB1∥AA1，ED不在平面ACC1內，AA1 平面ACC1，
所以ED∥平面ACC1，A項正確；
在Rt△A1B1C1中，A1B1＝3，A1C1＝2，∴B1C1＝＝，
在Rt△B1C1C中，B1C＝＝，
設斜邊B1C的高為h，則B1C·h＝B1C1·C1C，
∴h＝＝．
∴點C1到直線B1C的距離為，故B錯誤；
因為AA1∥BB1，所以異面直線B1C與AA1所成角為∠BB1C．在Rt△B1BC中，BB1＝2，BC＝，所以tan ∠BB1C＝＝，所以C項錯誤；
以A為坐標原點，以的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，
則A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，2，0)，B1(3，0，2)，
∴＝(3，0，2)，＝(－3，2，0)，＝(－3，2，－2)，
設平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，
則
令x＝2，可得n＝(2，0，－3)，
設平面BB1C的法向量為m＝(a，b，c)，
則
令a＝2，可得m＝(2，3，0)，
故cos m，n〉＝，所以D項正確．故選AD．]
二、填空題
6．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝2AC＝2BC，則直線AB1與直線BC1所成角的余弦值為________．
　[以C為原點，分別以CA，CC1，CB所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．
設CC1＝2AC＝2BC＝2，則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，1)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，
可得＝(－1，2，1)，＝(0，2，－1)，
故＝4－1＝3，＝＝，
所以cos ＝，
所以直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為．]
7．在空間直角坐標系中，已知A(a2，2a，6)，B(0，0，1)，C(1，1，2)，D(－1，0，3)，E(a2，0，5)，則當點A到平面BCD的距離最小時，直線AE與平面BCD所成角的正弦值為________．
　[＝(a2＋1，2a，3)，＝(1，1，1)，＝(－1，0，2)．
設n＝(x，y，z)是平面BCD的法向量，
則即令x＝2，得n＝(2，－3，1)．
所以點A到平面BCD的距離d＝＝＝．
當a＝時，d取得最小值，此時，＝(0，－3，－1)，
所以直線AE與平面BCD所成角的正弦值為＝＝．]
8．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1兩兩垂直，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分別是側棱BB1，CC1上的點，平面AMN與平面ABC所成的(銳)二面角為，則當CN最小時，∠AMB＝________．
　[建立空間直角坐標系，如圖所示．設CN＝b(0≤b≤1)，BM＝a(0≤a≤1)，則M(1，0，a)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，N(0，1，b)，所以＝(1，0，a)，＝(0，1，b)，
設平面AMN的法向量為n＝(x，y，z)，則即
令z＝1，則n＝(－a，－b，1)，又平面ABC的一個法向量為m＝(0，0，1)，
所以cos ＝＝＝，即3a2＋3b2＝1，
當CN最小時，b＝0，BM＝a＝，所以tan ∠AMB＝＝，所以∠AMB＝．]
三、解答題
9．(2023·新高考Ⅰ卷)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
(1)證明：B2C2∥A2D2；
(2)點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P．
[解]　(1)證明：以點C為坐標原點，CD，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)，
所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)，
所以，所以B2C2∥A2D2．
(2)設BP＝n(0≤n≤4)，則P(0，2，n)，所以＝(2，0，1－n)，＝(0，－2，3－n)，
設平面PA2C2的法向量為a＝(x1，y1，z1)，
所以
則
令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2)．
設平面A2C2D2的法向量為b＝(x2，y2，z2)，
又＝(－2，－2，2)，＝(0，－2，1)，
所以
則
令y2＝1，得b＝(1，1，2)．
所以|cos 150°|＝|cos a，b〉|＝，
整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3，
所以BP＝1或BP＝3，
所以B2P＝1．
10．閱讀材料：空間直角坐標系Oxyz中，過點P(x0，y0，z0)且一個法向量為n＝(a，b，c)的平面α的方程為a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0；過點P(x0，y0，z0)且一個方向向量為d＝(u，v，w)(uvw≠0)的直線l的方程為＝＝．利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面α的方程為3x－5y＋z－7＝0，直線l是平面x－3y＋7＝0與4y＋2z＋1＝0的交線，則直線l與平面α所成角的正弦值為(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
A　[因為平面α的方程為3x－5y＋z－7＝0，所以平面α的一個法向量為m＝(3，－5，1)，
∵直線l是平面x－3y＋7＝0與4y＋2z＋1＝0的交線，∴
即滿足＝＝，
即直線l的方向向量為d1＝(3，1，－2)，
設直線l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos 〈m，d1〉|＝＝．
故選A．]
11．古代城池中的甕城，是加裝在城門前面或里面的又一層門，若敵人攻入甕城中，可形成“甕中捉鱉”之勢．如圖的曲池是上、下底面均為半圓形的柱體．若AA1⊥底面ABCD，AA1＝3，AB＝4，CD＝2，E為弧A1B1的中點，則直線CE與平面DEB1所成角的正弦值為(　　)
A． B． C． D．
D　[因為AA1⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，則AA1⊥AB，
以點A為原點，AB所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，平面ABCD內垂直于AB的直線為x軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則A(0，0，0)，B(0，4，0)，C(0，3，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，3)，B1(0，4，3)，C1(0，3，3)，D1(0，1，3)，
又因為E為的中點，則E(2，2，3)，則＝(2，－2，0)，＝(0，－3，－3)，＝(2，－1，3)，
設平面DEB1的法向量n＝(x，y，z)，
則
令x＝1，則y＝1，z＝－1，則n＝(1，1，－1)，設直線CE與平面DEB1所成的角為θ，
則sin θ＝＝．
故選D．]
12．《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數學經典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝PA，則直線PC與面PBD所成角的正弦值為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
A　[因為PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直，設AB＝1，
AD＝AP＝2，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖，則B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
所以＝(－1，2，0)，＝(－1，0，2)，＝(1，2，－2)．
設平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)，
所以解得令x＝2，則y＝1，z＝1，所以n＝(2，1，1)，
設直線PC與平面PBD所成的角為θ，
所以sin θ＝＝＝＝，
所以直線PC與面PBD所成角的正弦值為．故選A．]
13．如圖，已知四邊形ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角為60°．設M，N分別為AE，BC的中點，直線BM與平面ADE所成角的正弦值為________．
　[過點E，D分別作直線DC，AB的垂線EG，DH并分別交于點G，H．
因為四邊形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面幾何知識易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩形，
所以在Rt△EGD和Rt△DHA中，EG＝DH＝2，因為DC⊥CF，DC⊥CB，且CF∩CB＝C，
所以DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F-DC-B的平面角，則∠BCF＝60°，
則△BCF是等邊三角形，CB⊥FN．
因為DC⊥平面FCB，FN 平面FCB，所以DC⊥FN，又因為DC∩CB＝C，DC 平面ABCD，CB 平面ABCD，
所以FN⊥平面ABCD，過點N作AB的平行線NK，以N為原點，以NK，NB，NF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
則A(5，，0)，B(0，，0)，D(3，－，0)，E(1，0，3)，則M，
所以＝＝(－2，－2，0)，＝(－2，，3)．
設平面ADE的法向量為n＝(x，y，z)，由得
令x＝，則y＝－1，z＝，則n＝(，－1，)．
設直線BM與平面ADE所成的角為θ，
則sin θ＝＝＝＝＝．]
14．(2024·新高考Ⅱ卷)如圖，平面四邊形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，點E，F滿足．將△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4．
(1)證明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
[解]　(1)證明：由AB＝8，AD＝5，得AE＝2，AF＝4．
又∠BAD＝30°，在△AEF中，由余弦定理得
EF＝
＝＝2．
所以AE2＋EF2＝AF2，則AE⊥EF，即EF⊥AD，所以EF⊥PE，EF⊥DE，
又PE∩DE＝E，PE，DE 平面PDE，
所以EF⊥平面PDE，
又PD 平面PDE，故EF⊥PD．
(2)連接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3，CD＝3，則CE2＝ED2＋CD2＝36，
在△PEC中，PC＝4，EC＝6，得EC2＋PE2＝PC2，
所以PE⊥EC，由(1)知PE⊥EF，
又EC∩EF＝E，EC，EF 平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，又ED 平面ABCD，
所以PE⊥ED，則PE，EF，ED兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系Exyz，
則E(0，0，0)，P()，D()，C()，F(2，0，0)，A()，由F是AB的中點，得B()，
所以＝()，＝()，＝()，＝()，
設平面PCD和平面PBF的法向量分別為n＝(x1，y1，z1)，m＝(x2，y2，z2)，
則
　
令y1＝2，x2＝，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1，
所以n＝(0，2，3)為平面PCD的一個法向量，m＝()為平面PBF的一個法向量，
所以|cos 〈m，n〉|＝，設平面PCD和平面PBF所成角為θ，則sin θ＝，
即平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值為．
15．如圖1，在平面圖形ABCDE中，AE＝ED＝BD＝BC＝1，BC⊥BD，ED∥AB，∠EAB＝60°，沿BD將△BCD折起，使點C到F的位置，且BF⊥BE，，如圖2．
(1)求證：平面GEBF⊥平面AEG；
(2)線段FG上是否存在點M，使得平面MAB與平面AEG夾角的余弦值為？若存在，求出GM的長；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)證明：∵，∴EG∥BF，且EG＝BF．
∵BF⊥BE，BF⊥BD，BE∩BD＝B，BE，BD 平面ABDE，
∴BF⊥平面ABDE，∴EG⊥平面ABDE，∵EB 平面ABDE，∴EG⊥EB．
∵AE＝ED＝DB＝1，ED∥AB，∴四邊形ABDE是等腰梯形，
∵∠EAB＝60°，∴∠BDE＝∠AED＝120°，
∴∠DEB＝30°，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BE．
∵AE∩EG＝E，AE，EG 平面AEG，
∴BE⊥平面AEG，∵BE 平面GEBF，∴平面GEBF⊥平面AEG．
(2)由(1)知EG⊥BE，EG⊥EA，EA⊥BE，∴EA，EB，EG兩兩垂直．
以E為原點，分別以的方向為x 軸、y軸和z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，
∵AE＝ED＝BD＝BF＝1，四邊形GEBF是矩形，
∴FG＝BE＝，
則A(1，0，0)，B(0，，0)，G(0，0，1)．
假設線段FG上存在點M滿足題意，
令GM＝λ(0≤λ≤)，則M(0，λ，1)，
可得＝(－1，λ，1)，＝(－1，，0)，
設平面MAB的法向量為m＝(x，y，z)，
則
取y＝1，可得x＝，z＝－λ，∴m＝(，1，－λ)，
由BE⊥平面AEG，則平面AEG的一個法向量為n＝(0，1，0)，
設平面MAB與平面AEG夾角為θ，
則cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝，其中0≤λ≤，
∴＝，解得λ＝，即GM＝，
∴線段FG上存在點M，使得平面MAB與平面AEG夾角的余弦值為，且GM＝．
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