資源簡介

課時分層作業(九)　空間中直線、平面的垂直
一、選擇題
1．如圖，在空間直角坐標系中，正方體的棱長為2，點E是棱AB的中點，點F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點，且CF⊥B1E，則點F(0，y，z)滿足方程(　　)
A．y－z＝0 B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0 D．z－1＝0
2．已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，則下列幾組解中可能正確的是(　　)
A．x＝1，y＝3 B．x＝4，y＝3
C．x＝2，y＝4 D．x＝0，y＝2
3．已知直線l經過點A(1，1，2)，B(0，1，0)，平面α的一個法向量為n＝(－2，0，－4)，則(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l與α相交，但不垂直
4．(多選)已知平面α的一個法向量為n1＝，平面β的一個法向量為n2＝(－1，0，－2)，直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，直線m的方向向量為b＝(0，1，－2)，則(　　)
A．l⊥α
B．α⊥β
C．l與m為相交直線或異面直線
D．a在b上的投影向量的坐標為
5．(多選)給出下列命題，其中是真命題的是(　　)
A．若直線l的方向向量為a＝(1，－1，2)，直線m的方向向量為b＝，則l與m垂直
B．若直線l的方向向量為a＝(0，1，－1)，平面α的一個法向量為n＝(1，－1，－1)，則l⊥α
C．若平面α，β的一個法向量分別為n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，則α⊥β
D．若平面α經過三點A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，則u＋t＝1
二、填空題
6．△ABC的三個頂點分別是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，則AC邊上的高BD長為________．
7．已知空間直線l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的法向量n＝(2，3，3)．若l⊥α，則a＋b＝________．
8．已知A，B，C的坐標分別為(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，點P的坐標是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，則點P的坐標是________．
三、解答題
9．如圖所示，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分別為CD，PB的中點．求證：EF⊥平面PAB．
10．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點，F是AD上一點，當BF⊥PE時，AF∶FD的比值為(　　)
A．1∶2　 B．1∶1　 C．3∶1　 D．2∶1
11．(多選)如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點，則直線OM(　　)
A．和AC垂直
B．和AA1垂直
C．和MN垂直
D．與AC，MN都不垂直
12．如圖所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，若點Q在線段B1P上，則下列結論正確的是(　　)
A．當點Q為線段B1P的中點時，DQ⊥平面A1BD
B．當點Q為線段B1P的三等分點時，DQ⊥平面A1BD
C．在線段B1P的延長線上，存在一點Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ與平面A1BD垂直
13．如圖，在四棱錐P ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，E是PB的中點，cos 〈〉＝．
(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則點E的坐標是________；
(2)在底面ABCD內求一點F，使EF⊥平面PCB，則點F的坐標是________．
14．如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D為BC的中點．
(1)證明：A1B∥平面ADC1；
(2)證明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．
15．(多選)在空間直角坐標系中，有以下兩條公認事實：
(1)過點P0(x0，y0，z0)，且以u＝(a，b，c)(abc≠0)為方向向量的空間直線l的方程為．
(2)過點P(x0，y0，z0)，且以v＝(m，n，t)(mnt≠0)為法向量的平面α的方程為m(x－x0)＋n(y－y0)＋t(z－z0)＝0．
現已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1：l2：x＝y＝2－z，l3：，則(　　)
A．l1∥α B．l2∥α
C．l3∥α D．l1⊥α
4/4(共51張PPT)
第2課時　空間中直線、平面的平行
第一章 空間向量與立體幾何
1.4　空間向量的應用
1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關系
[學習目標]　1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系．(數學抽象)
2．能用向量方法判斷或證明線線、線面、面面間的平行關系．(邏輯推理、數學運算)
整體感知
(教師用書)
牌樓與牌坊類似，是中國傳統建筑之一，最早見于周朝，在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道均有建造．舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種，多設于要道口．牌樓中有一種柱門形結構，一般較高大．如圖，牌樓的柱子與地面是垂直的，如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直，我們就能知道下邊線與地面平行．這是為什么呢？
[討論交流]　問題1．空間直線、平面平行的向量條件是什么？
問題2．對比平面的兩種向量表示式，能寫出線面平行的兩種向量條件嗎？
問題3．用向量解決空間線面平行問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線與直線平行
探究問題1　由直線與直線的平行關系，可以得到直線的方向向量具有什么關系？
探究建構
[提示]　平行．
[新知生成]
兩直線平行的判定方法
設u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 _______ λ∈R，使得_________．
【教用·微提醒】　利用向量證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．
u1∥u2
u1＝λu2
[典例講評]　1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點，N為DE的中點，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求證：MN∥AP．
[證明]　法一：由題意知，直線DA，DC，DP兩兩垂直，如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以＝(－1，0，1)，＝，所以＝，又M AP，故MN∥AP．
法二：由題意可得，＝＋＝＋×＝＋＋＝＋＝＝，又M AP，所以MN∥AP．
反思領悟　向量法證明線線平行的兩種思路
[學以致用]　1．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是面對角線B1D1，A1B上的點，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求證：EF∥AC1．
[證明]　如圖所示，以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
設DA＝a，DC＝b，DD1＝c，則A(a，0，0)，C1(0，b，c)，
E，F，
所以＝， ＝(－a，b，c)，
所以＝ ，
因為FE與AC1不共線，所以EF∥AC1．
探究2　直線與平面平行
探究問題2　觀察下圖，直線l與平面α平行，u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，u與n有什么關系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
直線和平面平行的判定方法
設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，則l∥α ______
__________．
u⊥n
u·n＝0
【教用·微提醒】　(1)證明線面平行的關鍵是看直線的方向向量與平面的法向量是否垂直．
(2)特別強調直線在平面外．
【鏈接·教材例題】
例3　如圖1.4-12，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．線段B1C上是否存在點P，使得A1P∥平面ACD1
[分析]　根據條件建立適當的空間直角坐標系，那么問題中涉及的點、向量，，以及平面ACD1的法向量n等都可以用坐標表示．如果點P存在，那么就有n·＝0，由此通過向量的坐標運算可得結果．
[解]　以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-12所示的空間直角坐標系．因為A，C，D1的坐標分別為(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，
所以＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)．
設n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，則n＝0，n·＝0，即 所以
取z＝6，則x＝4，y＝3．所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一個法向量．
由A1，C，B1的坐標分別為(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，2)．設點P滿足＝λ(0≤λ≤1)，則＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝＋＝(－3λ，4，－2λ)．
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，此時A1P 平面ACD1，這樣的點P存在．所以，當＝，即P為B1C的中點時，A1P∥平面ACD1．
[典例講評]　2．在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．證明：PA∥平面EDB．
[證明]　如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設PD＝DC＝a．
連接AC，交BD于點G，連接EG，
依題意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，
E，B(a，a，0)．
法一：設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，
又＝＝，
則有即即
令z＝1，則
所以n＝(1，－1，1)，又＝(a，0，－a)，
所以n＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0．
所以n⊥．又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB．
法二：因為四邊形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故點G的坐標為，
所以＝．
又＝(a，0，－a)，
所以，則PA∥EG．
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
法三：假設存在實數λ，μ使得，
即(a，0，－a)＝λ＋μ，
則有解得
所以，又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
反思領悟　利用空間向量證明線面平行的三種方法
(1)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．
(2)證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．
(3)證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一個基底表示．
[學以致用]　2．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點，求證：AB1∥平面DBC1．
[證明]　如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系．設正三棱柱的底面邊長為a(a＞0)，側棱長為b(b＞0)，則A(0，0，0)，B，B1，C1(0，a，b)，D，
所以＝＝，
＝．
設平面DBC1的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
所以
不妨令y＝2b，則n＝(0，2b，－a)．
由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n．
又AB1 平面DBC1，所以AB1∥平面DBC1．
探究3　平面與平面平行
探究問題3　如圖，平面α與β平行，n1，n2分別是平面α，β的法向量，n1與n2具有什么關系？
[提示]　平行．
[新知生成]
平面和平面平行的判定方法
設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β _________ λ∈R，使得____________．
【教用·微提醒】　證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合．
n1∥n2
n1＝λn2
【鏈接·教材例題】
例2　證明“平面與平面平行的判定定理”：若一
個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這
兩個平面平行．
已知：如圖1.4-11，a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α．
求證：α∥β．
[分析]　設平面α的法向量為n，直線a，b的方向向量分別為u，v，則由已知條件可得n·u＝n·v＝0，由此可以證明n與平面β內的任意一個向量垂直，即n也是β的法向量．
證明　如圖1.4-11，取平面α的法向量n，直線a，b的方向向量u，v．
因為a∥α，b∥α，所以n·u＝0，n·v＝0．
因為a β，b β，a∩b＝P，
所以對任意點Q∈β，存在x，y∈R，使得＝xu＋yv．
從而n＝n·(xu＋yv)＝xn·u＋yn·v＝0．
所以，向量n也是平面β的法向量．故α∥β．
[典例講評]　3．如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：平面EFG∥平面PBC．
[證明]　由題意知AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)，設n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量，
則n1⊥，n1⊥，即
得令z1＝1，則x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)為平面GEF的一個法向量．
設n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，由n2⊥，n2⊥，
得即即
令z2＝1，得x2＝1，y2＝0，
所以n2＝(1，0，1)為平面PBC的一個法向量．
因為n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC．
反思領悟　證明面面平行問題的方法
(1)轉化為相應的線線平行或線面平行．
(2)分別求出這兩個平面的法向量，然后證明這兩個法向量平行．
[學以致用]　3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點，
求證：平面BMN∥平面PCD．
[證明]　連接BD，PM，因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等邊三角形，所以BM⊥AD，
又PA＝PD，M為AD的中點，所以PM⊥AD，
又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥平面ABCD，
所以以M為原點，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
設PA＝PD＝2a，CD＝b，
則B(2a，0，0)，C(b，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2a)，M(0，0，0)，N(0，－a，a)，
所以＝(0，－a，a)，＝(2a，0，0)，
＝(b，2a，－2a)，＝(0，2a，－2a)，
設n1＝(x1，y1，z1)是平面BMN的法向量，
n2＝(x2，y2，z2)是平面PCD的法向量，
則由＝0，
得令y1＝1，則x1＝0，z1＝1，
所以n1＝(0，1，1)是平面BMN的一個法向量．
同理，由＝0，
得
令y2＝1，可得x2＝0，z2＝1，
所以n2＝(0，1，1)是平面PCD的一個法向量．
因為n1＝n2，所以平面BMN∥平面PCD．
【教用·備選題】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO
[解]　如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．
設正方體的棱長為1，則O，
P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，
D1(0，0，1)，
設Q(0，1，z)，則＝， ＝(－1，－1，1)，
則＝2，所以∥，所以OP∥BD1．
又＝＝(－1，0，z)，
當z＝時，，即AP∥BQ．
又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，AP，OP 平面PAO，BQ，BD1 平面D1BQ，
則有平面PAO∥平面D1BQ．
所以當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO．
1．若直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，則可能使l∥α的是(　　)
A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2)
B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1)
C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1)
D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1)
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[根據題意，直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，要使l∥α，則m·n＝0，
由此分析選項，對于A，m·n＝－3≠0，不符合題意；
對于B，m·n＝－4＋4＝0，符合題意；對于C，m·n＝－11≠0，不符合題意；
對于D，m·n＝－3≠0，不符合題意．
故選B．]
2
4
3
題號
1
應用遷移
2
3
題號
1
4
√
2．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分別為直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則(　　)
A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28
C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝
C　[因為l1∥l2，且a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)分別為l1，l2的方向向量，所以＝＝，解得m＝8，n＝．故選C．]
3．已知l∥α，且l的方向向量為(2，m，1)，平面α的一個法向量為，則m＝________．
2
3
題號
4
1
－8　[∵l∥α，且l的方向向量為(2，m，1)，平面α的一個法向量為，
∴向量(2，m，1)與平面α的法向量垂直，
則(2，m，1)＝2＋m＋2＝0，解得m＝－8．]
－8
4．已知平面α與平面ABC是不重合的兩個平面，若平面α的一個法向量為m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，則平面α與平面ABC的位置關系是________．
2
4
3
題號
1
平行　[根據題意，平面α的一個法向量為m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，則有m＝2×2－4＝0，則m⊥，同理m＝2－6＋4＝0，
則m⊥，故m也是平面ABC的法向量，必有平面α∥平面ABC．]
平行
1．知識鏈：(1)利用向量證明直線和直線平行．
(2)利用向量證明直線和平面平行．
(3)利用向量證明平面和平面平行．
2．方法鏈：坐標法、轉化化歸．
3．警示牌：利用向量證明直線和平面平行，不要忽略直線不在平面內的條件．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．兩直線平行的向量表達式是什么？
[提示]　設μ1，μ2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2．
2．直線和平面平行的向量表達式是什么？
[提示]　設μ是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，且l α，則l∥α μ⊥n μ·n＝0．
3．平面和平面平行的向量表達式是什么？
[提示]　設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β n1∥n2
λ∈R，使得n1＝λn2．
4．證明線面平行有哪些方法？
[提示]　(1)證明直線的方向向量與平面內的某一向量是共線向量且直線不在平面內；
(2)證明直線的方向向量與平面內兩個不共線向量共面且直線不在平面內；
(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內．
課時分層作業(八)
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空間中直線、平面的平行
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS1.4　空間向量的應用
1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關系
第1課時　空間中點、直線和平面的向量表示
[學習目標]　1．能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量．(數學抽象)
2．會求一個平面的法向量．(數學運算、邏輯推理)
[討論交流]　
問題1．空間點的位置向量、直線的方向向量、平面的法向量是如何定義的？
問題2．空間一條直線的方向向量唯一嗎？它們有什么共同特征？
問題3．空間直線和平面的向量表示式分別是什么？其依據是什么？
問題4．求一個平面的法向量的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　空間中點的向量和直線的向量表示
探究問題1　在空間中，如何確定一條直線？
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[新知生成]
1．點的位置向量
在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示，我們把向量稱為點P的位置向量．
2．空間直線的向量表示式
設A是直線l上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，設P是直線l上任意一點，
(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使得＝ta，即＝________．
(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使＋ta，即＝________．
(3)性質：空間任意直線都可以由直線上一點及直線的________唯一確定．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)如圖所示，已知長方體ABCD A′B′C′D′的棱長AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以點D為原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標系，求下列直線的一個方向向量：
(1)AA′；(2)BD′．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　求直線的方向向量的兩種方法
(1)在直線l上確定兩點A，B，則就是直線l的方向向量．
(2)在與直線l平行的直線m上確定兩點A1，B1，則就是直線l的方向向量．
[學以致用]　1．已知點A(1，2，－1)，B(2，0，1)是直線l上的兩點．
(1)求直線l的一個方向向量；
(2)判斷點M(3，3，1)是否在直線l上．
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探究2　空間中平面的向量表示
探究問題2　向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是什么？
探究問題3　如何用向量表示點P在平面ABC內的充要條件？
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[新知生成]
1．如圖，設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得________．
2．如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使＝________．我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．空間中任意平面由空間一點及兩個________向量唯一確定．
3．如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的________．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P·＝0}．
[典例講評]　2．如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面ACE的一個法向量．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量．
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　如何確定平面的法向量？
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[學以致用]　2．已知點A(1，2，3)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，則下列向量是平面ABC的一個法向量的是(　　)
A．(－1，3，－1)　　　　 B．(－1，－3，－1)
C．(1，3，1) D．(－1，3，1)
3．如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A為原點，建立空間直角坐標系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
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(2)求平面A1BC的法向量．
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1．若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(　　)
A．(3，2，1) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(1，2，3)
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α法向量的是(　　)
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
3．設直線l的方向向量為m＝(2，－1，z)，平面α的一個法向量為n＝(4，－2，－2)，若直線l∥平面α，則實數z的值為(　　)
A．－5 B．5 C．－1 D．1
4．已知平面α經過點O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一個法向量，M(x，y，z)是平面α內任意一點，則x，y，z滿足的關系式是________．
1．知識鏈：(1)空間中點和直線的向量表示．
(2)空間中平面的向量表示．
(3)平面法向量的求法．
2．方法鏈：待定系數法、賦值法．
3．警示牌：直線的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，這無數個方向向量或法向量都分別是共線向量．用代數法求平面的法向量時，設定的某個分坐標一定不能是0．
6/6課時分層作業(七)　空間中點、直線和平面的向量表示
一、選擇題
1．設空間四點O，A，B，P滿足其中m＋n＝1，則(　　)
A．點P一定在直線AB上
B．點P一定不在直線AB上
C．點P不一定在直線AB上
D．以上都不對
2．若點A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(　　)
A．(1，2，4) B．(1，4，2)
C．(0，2，－1) D．(0，4，12)
3．已知A(3，2，0)，B(0，4，0)，C(3，0，2)，則平面ABC的一個法向量是(　　)
A．(1，1，1) B．(2，2，3)
C．(2，3，3) D．
4．已知直線l的一個方向向量為m＝(2，－1，3)，且直線l過A(0，a，3)和B(－1，2，b)兩點，則a＋b＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．　　　D．3
5．(多選)已知平面α內有一點M(1，－1，1)，平面α的一個法向量為n＝(4，－1，0)，則下列點中不在平面α內的是(　　)
A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1)
C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4)
二、填空題
6．已知直線l的一個方向向量為(－5，3，2)，另一個方向向量為(x，y，8)，則x＝________，y＝________．
7．如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，分別以長方體的兩個頂點為始點和終點的向量中：
(1)直線AB的方向向量有________個；
(2)平面AA1B1B的法向量有________個．
8．已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直線l上，寫出直線l的一個方向向量：u＝________．(用坐標表示)
三、解答題
9．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)．
(1)寫出直線BC的一個方向向量；
(2)設平面α經過點A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α內的任意一點，試寫出x，y，z滿足的關系式．
10．如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，以D為原點建立空間直角坐標系，E為BB1的中點，F為A1D1的中點，則下列向量中，能作為平面AEF的一個法向量的是(　　)
A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)
11．已知空間三點坐標分別為A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，點P(－3，x，3)在平面ABC內，則實數x的值為(　　)
A．1　　　B．－2　　　C．0　　　D．－1
12．在空間直角坐標系Oxyz中，經過點P(x0，y0，z0)且法向量為m＝(A，B，C)的平面方程為A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程為x＋2y＋z－1＝0，則平面α的一個法向量為________．
13．已知直線l的方向向量為e＝(－1，1，2)，平面α的一個法向量為n＝(λ∈R)，若l⊥α，則實數λ的值為________．
14．如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，點E在棱AB上移動．
(1)證明：D1E⊥A1D；
(2)求平面ACD1的法向量．
15．已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
(1)求證：是平面ABCD的一個法向量；
(2)求平行四邊形ABCD的面積．
4/4(共44張PPT)
第1課時　空間中點、直線和平面的向量表示
第一章 空間向量與立體幾何
1.4　空間向量的應用
1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關系
[學習目標]　1．能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量．(數學抽象)
2．會求一個平面的法向量．(數學運算、邏輯推理)
整體感知
(教師用書)
立體幾何研究的基本對象是點、直線、平面以及由它們組成的空間圖形，為了用空間向量解決幾何問題，首先必須把點、直線、平面用向量表示出來．
那么，如何利用向量刻畫直線與平面的方向與位置？
[討論交流]　
問題1．空間點的位置向量、直線的方向向量、平面的法向量是如何定義的？
問題2．空間一條直線的方向向量唯一嗎？它們有什么共同特征？
問題3．空間直線和平面的向量表示式分別是什么？其依據是什么？
問題4．求一個平面的法向量的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　空間中點的向量和直線的向量表示
探究問題1　在空間中，如何確定一條直線？
探究建構
[提示]　兩點可以確定一條直線；直線上的一點及這條直線的方向也可以確定一條直線．
[新知生成]
1．點的位置向量
在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示，我們把向量稱為點P的位置向量．
2．空間直線的向量表示式
設A是直線l上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，設P是直線l上任意一點，
(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使得＝ta，即＝______．
(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使＋ta，即＝_________．
(3)性質：空間任意直線都可以由直線上一點及直線的________唯一確定．
t
方向向量
【教用·微提醒】　(1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．
(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數個．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)如圖所示，已知長方體ABCD-A′B′C′D′的棱長AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以點D為原點，分別以，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標系，求下列直線的一個方向向量：
(1)AA′；(2)BD′．
[解]　由已知可得，長方體頂點A，B，A′，D′的坐標分別為A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)．
(1)因為向量＝(0，0，3)，所以直線AA′的一個方向向量為(0，0，3)．(答案不唯一)
(2)因為向量＝(－4，－2，3)，所以直線BD′的一個方向向量為(－4，－2，3)．(答案不唯一)
反思領悟　求直線的方向向量的兩種方法
(1)在直線l上確定兩點A，B，則就是直線l的方向向量．
(2)在與直線l平行的直線m上確定兩點A1，B1，則就是直線l的方向向量．
[學以致用]　1．已知點A(1，2，－1)，B(2，0，1)是直線l上的兩點．
(1)求直線l的一個方向向量；
(2)判斷點M(3，3，1)是否在直線l上．
[解]　(1)直線l的一個方向向量為＝(1，－2，2)．(答案不唯一)
(2)＝(2，1，2)．設，即(2，1，2)＝λ(1，－2，2)，所以這樣的λ不存在，即向量不共線．
故點M不在直線l上．
探究2　空間中平面的向量表示
探究問題2　向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是什么？
[提示]　存在有序實數對(x，y)，使得．
[提示]　存在唯一的有序實數對(x，y)，使得p＝xa＋yb．
探究問題3　如何用向量表示點P在平面ABC內的充要條件？
[新知生成]
1．如圖，設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得_______________．
＝xa＋yb
2．如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使＝________________．我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．空間中任意平面由空間一點及兩個______向量唯一確定．
不共線
3．如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的______．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P·＝0}．
法向量
【教用·微提醒】　(1)平面α的一個法向量垂直于平面α內的所有向量．
(2)一個平面的法向量有無數多個，它們相互平行．
【鏈接·教材例題】
例1　如圖1.4-7，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中點．以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面MCA1的法向量．
[分析]　(1)平面BCC1B1與y軸垂直，其法向量可以直接寫出；(2)平面MCA1可以看成由，，中的兩個向量所確定，運用法向量與它們的垂直關系，可轉化為數量積運算求得法向量．
[解]　(1)因為y軸垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0，1，0)是平面BCC1B1的一個法向量．
(2)因為AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中點，所以M，C，A1的坐標分別為(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)．
因此＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)．
設n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量，則n2⊥，n2⊥．
所以所以
取z＝3，則x＝2，y＝3．于是n2＝(2，3，3)是平面MCA1的一個法向量．
[典例講評]　2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面ACE的一個法向量．
[解]　因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．
如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，P(0，0，1)，D(0，，0)，
E，C(1，，0)，
于是＝＝(1，，0)．
設n＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，
則即
所以
令y＝－1，則x＝z＝．
所以平面ACE的一個法向量為n＝(，－1，)．(答案不唯一)
[母題探究]　本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量．
[解]　以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即為直線PC的一個方向向量．
因為D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
設平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
所以令y＝1，則z＝．
所以平面PCD的一個法向量為n＝(0，1，)．(答案不唯一)
發現規律　如何確定平面的法向量？
[提示]　按如下步驟求平面的法向量：
(1)設向量：設平面的法向量為n＝(x，y，z)．
(2)選向量：在平面內選取兩個不共線向量．
(3)列方程組：由列出方程組．
(4)解方程組：
(5)賦非零值：取x，y，z其中一個為非零值(常取±1)．
(6)得結論：得到平面的一個法向量．
[學以致用]　2．已知點A(1，2，3)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，則下列向量是平面ABC的一個法向量的是(　　)
A．(－1，3，－1)　　　　 B．(－1，－3，－1)
C．(1，3，1) D．(－1，3，1)
√
A　[由題意知：＝(0，－1，－3)，＝(－1，－1，－2)，
對于A，∵(－1，3，－1)·(0，－1，－3)＝0－3＋3＝0，(－1，3，－1)·(－1，－1，－2)＝1－3＋2＝0，∴(－1，3，－1)與均垂直，∴(－1，3，－1)是平面ABC的一個法向量，A正確；
對于B，∵(－1，－3，－1)·(－1，－1，－2)＝1＋3＋2＝6，
∴(－1，－3，－1)與不垂直，
∴(－1，－3，－1)不是平面ABC的一個法向量，B錯誤；
對于C，∵(1，3，1)·(0，－1，－3)＝0－3－3＝－6，∴(1，3，1)與不垂直，
∴(1，3，1)不是平面ABC的一個法向量，C錯誤；
對于D，∵(－1，3，1)·(0，－1，－3)＝0－3－3＝－6，∴(－1，3，1)與不垂直，∴(－1，3，1)不是平面ABC的一個法向量，D錯誤．故選A．]
3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A為原點，建立空間直角坐標系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面A1BC的法向量．
[解]　(1)由已知得B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)，
故＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)．
設平面BCC1B1的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令x＝1，則n＝(1，1，0)，
所以平面BCC1B1的一個法向量為n＝(1，1，0)．(答案不唯一)
(2)設平面A1BC的法向量為m＝(a，b，c)．
因為＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，
則令a＝1，則m＝，
所以平面A1BC的一個法向量為m＝．(答案不唯一)
【教用·備選題】　已知四棱錐S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，并求出平面SAB、平面SDC的一個法向量．
[解]　由已知得SA，AB，AD兩兩垂直，
∴以A為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系(圖略)．
∵SA＝AB＝BC＝1，AD＝，
∴S(0，0，1)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，D，
∴＝＝(1，1，－1)，＝．
易知平面SAB的一個法向量為＝．
設平面SDC的法向量為m＝(x，y，z)，
則取z＝1，則x＝2，y＝－1，
∴平面SDC的一個法向量為m＝(2，－1，1)．(答案不唯一)
1．若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(　　)
A．(3，2，1) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(1，2，3)
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
D　[＝(2，5，8)－(0，1，2)＝(2，4，6)，
因為(2，4，6)＝2(1，2，3)．故選D．]
2
3
題號
1
4
√
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α法向量的是(　　)
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
D　[∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)，∴向量(－2，3，－1)與平面α的一個法向量平行，它也是平面的一個法向量．故選D．]
3．設直線l的方向向量為m＝(2，－1，z)，平面α的一個法向量為n＝(4，－2，－2)，若直線l∥平面α，則實數z的值為(　　)
A．－5 B．5 C．－1 D．1
2
3
題號
4
1
√
B　[若直線l∥平面α，則m·n＝0，故8＋2－2z＝0，解得z＝5．故選B．]
4．已知平面α經過點O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一個法向量，M(x，y，z)是平面α內任意一點，則x，y，z滿足的關系式是______________．
2
4
3
題號
1
x＋2y－3z＝0　[由題意得e⊥，則e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0．]
x＋2y－3z＝0　
1．知識鏈：(1)空間中點和直線的向量表示．
(2)空間中平面的向量表示．
(3)平面法向量的求法．
2．方法鏈：待定系數法、賦值法．
3．警示牌：直線的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，這無數個方向向量或法向量都分別是共線向量．用代數法求平面的法向量時，設定的某個分坐標一定不能是0．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何求直線l的方向向量？直線的方向向量唯一嗎？
[提示]　在直線l或與直線l平行的直線上取兩點A，B，則就是直線l的方向向量．直線的方向向量有無數個，哪個易求求哪個．
2．平面的法向量有無數個，它們是什么關系？
[提示]　共線．
3．如何求一個平面的法向量？
[提示]　(1)設法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面內找兩個不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程組
(4)解方程組：用一個未知量表示其他兩個未知量，然后對用來表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個法向量．
課時分層作業(七)
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空間中點、直線和平面的向量表示
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS(共53張PPT)
第3課時　空間中直線、平面的垂直
第一章 空間向量與立體幾何
1.4　空間向量的應用
1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關系
[學習目標]　1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系．(數學抽象)
2．能用向量方法判斷或證明線線、線面、面面間的垂直關系．(邏輯推理、數學運算)
整體感知
(教師用書)
我們知道，一個平面可用空間一點與該平面的法向量來確定．觀察圖片，圖中旗桿所在的直線和地面垂直，那么如何用向量來表示二者的關系呢？
[討論交流]　
問題1．空間直線、平面垂直的向量表示是什么？
問題2．用向量解決空間線面垂直問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線與直線垂直
探究問題1　如圖，直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，當直線l1，l2垂直時，u1，u2之間有什么關系？
探究建構
[提示]　垂直．
[新知生成]
兩直線垂直的判定方法
設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2 _________
____________．
u1⊥u2
u1·u2＝0
【教用·微提醒】　(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉化為兩直線的方向向量相互垂直．
(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數量積為0．
[典例講評]　1．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1，M是BC邊的中點，N是側棱CC1上的點，且CN＝CC1．求證：AB1⊥MN．
[證明]　法一：設＝c，則由已知條件和正三棱柱的性質，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，(a＋b)，
∴＝(a＋c)·cos 60°＋0－0＋0＋＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN．
法二：設AB的中點為O，作OO1∥AA1．
以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系．
由已知得A，B，
C，
∵M為BC的中點，∴M．
∴＝(1，0，1)，
∴＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN．
反思領悟　向量法證明線線垂直的思路方法
用向量法證明空間中兩條直線l1，l2相互垂直，其主要思路是證明兩條直線的方向向量a，b相互垂直，只需證明a·b＝0即可，具體方法有以下兩種：
(1)坐標法：用坐標表示出兩條直線的方向向量，計算出兩向量的數量積為0．
(2)基向量法：將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來，計算出兩向量的數量積為0．
[學以致用]　1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB與底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a．若AE⊥PB于點E，求證：DE⊥PB．
[證明]　以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示．
因為PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB與底面ABCD所成的角，所以∠PBA＝30°，所以PA＝a．
所以A(0，0，0)，B(2a，0，0)，D(0，a，0)，P．
所以＝(0，a，0)，＝．
因為＝(0，a，0)＝0，
所以PB⊥AD．
又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，所以PB⊥平面ADE．
因為DE 平面ADE，所以DE⊥PB．
探究2　直線與平面垂直
探究問題2　如圖，設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，當直線l垂直平面α時，u，n之間有什么關系？
[提示]　平行(共線)．
[新知生成]
直線和平面垂直的判定方法
設直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α ________
λ∈R，使得________．
【教用·微提醒】　證明直線與平面垂直時，直線l的方向向量必須與平面α內兩條相交直線的方向向量都垂直才可．
u∥n
u＝λn
【鏈接·教材例題】
例4　如圖1.4-14，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1．
[分析]　根據條件，可以{，}為基底，并用基向量表示和平面BDD1B1，再通過向量運算證明是平面BDD1B1的法向量即可．
證明　設＝b，＝c，則{a，b，c}為空間的一個基底，且
＝a＋b－c，＝b－a，＝c．
因為AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以
a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝c·a＝．
在平面BDD1B1上，取，為基向量，則對于平面BDD1B1上任意一點P，存在唯一的有序實數對(λ，μ)，使得＋μ．
所以，＝λ＋μ·
＝λ(a＋b－c)·(b－a)＋μ(a＋b－c)·c＝0．
所以A1C是平面BDD1B1的法向量．所以A1C⊥平面BDD1B1．
[典例講評]　2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點．求證：EF⊥平面B1AC．
[證明]　法一：設＝b，則
＝＝＝
＝(－a＋b＋c)．
因為＝a＋b，所以(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝＝0．
所以⊥，即EF⊥AB1．同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC．
法二：設正方體的棱長為2，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．
所以＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)．
所以＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，
所以⊥，⊥，所以EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC．
法三：由法二得＝(0，2，2)，
＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
設平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)，則·n＝0，n＝0，
即
取x＝1，則y＝1，z＝－1，
所以n＝(1，1，－1)，所以＝－n，
所以∥n，所以EF⊥平面B1AC．
[母題探究]　若本例條件不變，求證：A1C⊥平面AD1B1．
[證明]　＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，所以＝(－2，2，－2)．
設平面AD1B1的法向量為m＝(x，y，z)，
則·m＝0，即
取x＝1，則y＝－1，z＝1，所以m＝(1，－1，1)．
所以＝－2m，所以∥m，所以A1C⊥平面AD1B1．
反思領悟　證明線面垂直的方法
(1)基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證得結論．
(2)坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證得結論．
(3)法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后證明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結論．
[學以致用]　2．如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．
求證：AB1⊥平面A1BD．
[證明]　法一：如圖所示，取BC的中點O，連接AO．
因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC．又BB1⊥平面ABC，
取B1C1的中點O1，則OO1∥BB1．以O為原點，以
的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1，A，B1(1，2，0)，
所以＝＝＝(－2，1，0)．
因為＝1×(－1)＋2×2＋＝1×(－2)＋2×1＋×0＝0，所以⊥⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．
又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．
法二：建系同法一．
設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則n⊥，n⊥，
即令x＝1，
得平面A1BD的一個法向量為n＝．
又＝，所以n＝，即∥n，所以AB1⊥平面A1BD．
探究3　平面與平面垂直
探究問題3　設n1，n2分別是平面α，β的法向量，當平面α垂直于平面β時，n1，n2之間有什么關系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
平面和平面垂直的判定方法
設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β ______ _________．
n1⊥n2
n1·n2＝0
【教用·微提醒】　利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑：
一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直．
【鏈接·教材例題】
例5　證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．
已知：如圖1.4-15，l⊥α，l β，求證：α⊥β．
證明　取直線l的方向向量u，平面β的法向量n．
因為l⊥α，所以u是平面α的法向量．
因為l β，而n是平面β的法向量，所以u⊥n．所以α⊥β．
[典例講評]　3．(源自湘教版教材)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分別是AC，AD的中點．
求證：平面BEF⊥平面ABC．
[證明]　如圖所示，以點B為原點，分別以的方向為y軸、z軸的正方向，并取相同的單位長度，建立空間直角坐標系．
設A(0，0，a)，則B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F．
于是＝(0，0，－a)，＝＝＝．
法一：(利用平面的法向量)設n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，
則
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，則n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一個法向量．
設n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，
則
取x2＝1，得y2＝1，z2＝－，則n2＝(1，1，－)是平面BEF的一個法向量．
因為n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
所以平面BEF⊥平面ABC．
法二：(利用線面垂直)∵＝，
∴＝0，
∴EF⊥AB，EF⊥BC，
又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，又EF 平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
反思領悟　證明面面垂直的兩種方法
(1)常規法：利用面面垂直的判定定理將問題轉化為線面垂直、線線垂直去證明．
(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．
[學以致用]　3．如圖，在正三棱錐P-ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求證：平面EFG⊥平面PBC．
[證明]　法一：如圖，以正三棱錐的頂點P為原點，以PA，PB，PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
令PA＝PB＝PC＝3，則P(0，0，0)，A(3，0，0)，F(0，1，0)，
G(1，1，0)，
于是＝(3，0，0)，＝(1，0，0)，
故，又G不在直線PA上，所以PA∥FG．
而PA⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC．
又FG 平面EFG，所以平面EFG⊥平面PBC．
法二：同法一，建立空間直角坐標系，令PA＝PB＝PC＝3，
則P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，
G(1，1，0)．
所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
設平面EFG的法向量為n＝(x，y，z)，
則有n⊥，n⊥．
所以令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0，1，－1)．
顯然＝(3，0，0)是平面PBC的一個法向量．
又n＝0，所以n⊥，
即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC．
【教用·備選題】　如圖(1)所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點．求證：平面BDE⊥平面ABCD．
[解]　設AS＝AB＝1，建立如圖(2)所示的空間直角坐標系Axyz，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E．
法一：如圖(2)，連接AC，交BD于點O，連接OE，則點O的坐標為．易知＝(0，0，1)，＝，∴＝，∴OE∥AS．
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
又OE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD．
法二：設平面BDE的法向量為n1＝(x，y，z)．
易知＝(－1，1，0)，＝，
由得
令x＝1，可得平面BDE的一個法向量為n1＝(1，1，0)．
∵AS⊥底面ABCD，
∴平面ABCD的一個法向量為n2＝＝(0，0，1)．
∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD．
1．設l1的方向向量為a＝(1，2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，則m＝(　　)
A．1　　 　B．2　　 　C．　　 　D．3
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[∵l1⊥l2，∴a·b＝1×(－2)＋2×3－2m＝0，解得m＝2．]
2
3
題號
1
4
√
2．已知平面α的法向量為n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，則直線AB與平面α的位置關系為(　　)
A．AB⊥α B．AB α
C．AB與α相交但不垂直 D．AB∥α
A　[∵平面α的法向量為n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，
∴＝－n，∴n∥，∴⊥α，即直線AB與平面α垂直．故選A．]
3．(多選)已知直線l的方向向量為μ，兩個不重合的平面α，β的法向量分別為n1，n2，則(　　)
A．若μ∥n1，則l⊥α B．若μ·n1＝0，則l∥α
C．若n1∥n2，則α∥β D．若n1·n2＝0，則α⊥β
2
3
題號
4
1
√
ACD　[根據題意，依次分析選項：對于A，若μ∥n1，則l⊥α，A正確；
對于B，若μ·n1＝0，則μ⊥n1，則l∥α或l α，B錯誤；
對于C，若n1∥n2，且平面α，β不重合，則有α∥β，C正確；
對于D，若n1·n2＝0，則α⊥β，D正確．故選ACD．]
√
√
4．已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為_____．
2
4
3
題號
1
5　[∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v互相垂直，
∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]
5　
1．知識鏈：(1)利用向量證明直線和直線垂直．
(2)利用向量證明直線和平面垂直．
(3)利用向量證明平面和平面垂直．
2．方法鏈：轉化法、向量法．
3．警示牌：直線的方向向量、平面的法向量的關系與線面間的垂直關系的對應易混淆．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．兩直線垂直的向量表達式是什么？
[提示]　設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0．
2．直線和平面垂直的向量表達式是什么？
[提示]　設直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn．
3．平面和平面垂直的向量表達式是什么？
[提示]　設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0．
4．證明線面垂直有哪些方法？
[提示]　(1)基底法：把直線的方向向量和平面內兩個不共線向量用同一個基底表示，然后再證明它們垂直．
(2)坐標法，利用線線垂直：建立空間直角坐標系，把直線的方向向量和平面內兩條不共線向量用坐標表示，再證明它們垂直．
(3)坐標法，利用平面的法向量：建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量的坐標，然后證明它們平行．
課時分層作業(九)
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空間中直線、平面的垂直
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS第3課時　空間中直線、平面的垂直
[學習目標]　1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系．(數學抽象)
2．能用向量方法判斷或證明線線、線面、面面間的垂直關系．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
我們知道，一個平面可用空間一點與該平面的法向量來確定．觀察圖片，圖中旗桿所在的直線和地面垂直，那么如何用向量來表示二者的關系呢？
[討論交流]　
問題1．空間直線、平面垂直的向量表示是什么？
問題2．用向量解決空間線面垂直問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線與直線垂直
探究問題1　如圖，直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，當直線l1，l2垂直時，u1，u2之間有什么關系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
兩直線垂直的判定方法
設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0．
【教用·微提醒】　(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉化為兩直線的方向向量相互垂直．
(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數量積為0．
[典例講評]　1．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1，M是BC邊的中點，N是側棱CC1上的點，且CN＝CC1．求證：AB1⊥MN．
[證明]　法一：設＝c，則由已知條件和正三棱柱的性質，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，(a＋b)，
∴＝(a＋c)·cos 60°＋0－0＋0＋＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN．
法二：設AB的中點為O，作OO1∥AA1．
以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系．
由已知得
A，B，C，
∵M為BC的中點，∴M．
∴＝(1，0，1)，
∴＝0．
∴⊥，∴AB1⊥MN．
　向量法證明線線垂直的思路方法
用向量法證明空間中兩條直線l1，l2相互垂直，其主要思路是證明兩條直線的方向向量a，b相互垂直，只需證明a·b＝0即可，具體方法有以下兩種：
(1)坐標法：用坐標表示出兩條直線的方向向量，計算出兩向量的數量積為0．
(2)基向量法：將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來，計算出兩向量的數量積為0．
[學以致用]　1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB與底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a．若AE⊥PB于點E，求證：DE⊥PB．
[證明]　以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示．
因為PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB與底面ABCD所成的角，所以∠PBA＝30°，所以PA＝a．
所以A(0，0，0)，B(2a，0，0)，D(0，a，0)，P．
所以＝(0，a，0)，＝．
因為＝(0，a，0)＝0，所以PB⊥AD．
又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，所以PB⊥平面ADE．
因為DE 平面ADE，所以DE⊥PB．
探究2　直線與平面垂直
探究問題2　如圖，設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，當直線l垂直平面α時，u，n之間有什么關系？
[提示]　平行(共線)．
[新知生成]
直線和平面垂直的判定方法
設直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn．
【教用·微提醒】　證明直線與平面垂直時，直線l的方向向量必須與平面α內兩條相交直線的方向向量都垂直才可．
【鏈接·教材例題】
例4　如圖1.4-14，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1．
[分析]　根據條件，可以{，}為基底，并用基向量表示和平面BDD1B1，再通過向量運算證明是平面BDD1B1的法向量即可．
證明　設＝b，＝c，則{a，b，c}為空間的一個基底，且
＝a＋b－c，＝b－a，＝c．
因為AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以
a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝c·a＝．
在平面BDD1B1上，取，為基向量，則對于平面BDD1B1上任意一點P，存在唯一的有序實數對(λ，μ)，使得＋μ．
所以，＝λ＋μ·
＝λ(a＋b－c)·(b－a)＋μ(a＋b－c)·c＝0．
所以A1C是平面BDD1B1的法向量．
所以A1C⊥平面BDD1B1．
[典例講評]　2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點．求證：EF⊥平面B1AC．
[證明]　法一：設＝b，則
＝＝
＝＝(－a＋b＋c)．
因為＝a＋b，
所以(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝＝0．
所以⊥，即EF⊥AB1．同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC．
法二：設正方體的棱長為2，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．
所以＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)．
所以＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，
所以⊥⊥，
所以EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC．
法三：由法二得＝(0，2，2)，
＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
設平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)，則·n＝0，
即
取x＝1，則y＝1，z＝－1，
所以n＝(1，1，－1)，所以＝－n，
所以∥n，所以EF⊥平面B1AC．
[母題探究]　若本例條件不變，求證：A1C⊥平面AD1B1．
[證明]　＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，
所以＝(－2，2，－2)．
設平面AD1B1的法向量為m＝(x，y，z)，
則·m＝0，
即
取x＝1，則y＝－1，z＝1，所以m＝(1，－1，1)．
所以＝－2m，所以∥m，所以A1C⊥平面AD1B1．
　證明線面垂直的方法
(1)基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證得結論．
(2)坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證得結論．
(3)法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后證明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結論．
[學以致用]　2．如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．
求證：AB1⊥平面A1BD．
[證明]　 法一：如圖所示，取BC的中點O，連接AO．因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC．又BB1⊥平面ABC，
取B1C1的中點O1，則OO1∥BB1．以O為原點，以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1，A，B1(1，2，0)，
所以＝＝＝(－2，1，0)．
因為＝1×(－1)＋2×2＋＝1×(－2)＋2×1＋×0＝0，
所以⊥⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．
又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．
法二：建系同法一．
設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則n⊥，n⊥，
即令x＝1，
得平面A1BD的一個法向量為n＝．
又＝，所以n＝，即∥n，所以AB1⊥平面A1BD．
探究3　平面與平面垂直
探究問題3　設n1，n2分別是平面α，β的法向量，當平面α垂直于平面β時，n1，n2之間有什么關系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
平面和平面垂直的判定方法
設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0．
【教用·微提醒】　利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑：
一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直．
【鏈接·教材例題】
例5　證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．
已知：如圖1.4-15，l⊥α，l β，
求證：α⊥β．
證明　取直線l的方向向量u，平面β的法向量n．
因為l⊥α，所以u是平面α的法向量．
因為l β，而n是平面β的法向量，所以u⊥n．
所以α⊥β．
[典例講評]　3．(源自湘教版教材)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分別是AC，AD的中點．
求證：平面BEF⊥平面ABC．
[證明]　如圖所示，以點B為原點，分別以的方向為y軸、z軸的正方向，并取相同的單位長度，建立空間直角坐標系．
設A(0，0，a)，則B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F．
于是＝(0，0，－a)，＝＝＝．
法一：(利用平面的法向量)設n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，
則
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，則n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一個法向量．
設n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，
則
取x2＝1，得y2＝1，z2＝－，則n2＝(1，1，－)是平面BEF的一個法向量．
因為n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
所以平面BEF⊥平面ABC．
法二：(利用線面垂直)∵＝，
∴＝0，
∴EF⊥AB，EF⊥BC，
又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，又EF 平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
　證明面面垂直的兩種方法
(1)常規法：利用面面垂直的判定定理將問題轉化為線面垂直、線線垂直去證明．
(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．
[學以致用]　3．如圖，在正三棱錐P-ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求證：平面EFG⊥平面PBC．
[證明]　法一：如圖，以正三棱錐的頂點P為原點，以PA，PB，PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
令PA＝PB＝PC＝3，則P(0，0，0)，A(3，0，0)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，
于是＝(3，0，0)，＝(1，0，0)，
故，又G不在直線PA上，所以PA∥FG．
而PA⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC．
又FG 平面EFG，所以平面EFG⊥平面PBC．
法二：同法一，建立空間直角坐標系，令PA＝PB＝PC＝3，
則P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)．
所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
設平面EFG的法向量為n＝(x，y，z)，
則有n⊥，n⊥．
所以令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0，1，－1)．
顯然＝(3，0，0)是平面PBC的一個法向量．
又n＝0，所以n⊥，
即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC．
【教用·備選題】　如圖(1)所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點．求證：平面BDE⊥平面ABCD．
[解]　設AS＝AB＝1，建立如圖(2)所示的空間直角坐標系Axyz，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E．
法一：如圖(2)，連接AC，交BD于點O，連接OE，則點O的坐標為．
易知＝(0，0，1)，＝，∴＝，∴OE∥AS．
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
又OE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD．
法二：設平面BDE的法向量為n1＝(x，y，z)．
易知＝(－1，1，0)，＝，
由
得
令x＝1，可得平面BDE的一個法向量為n1＝(1，1，0)．
∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一個法向量為n2＝＝(0，0，1)．
∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD．
1．設l1的方向向量為a＝(1，2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，則m＝(　　)
A．1　　 　B．2　　 　C．　　 　D．3
B　[∵l1⊥l2，∴a·b＝1×(－2)＋2×3－2m＝0，解得m＝2．]
2．已知平面α的法向量為n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，則直線AB與平面α的位置關系為(　　)
A．AB⊥α
B．AB α
C．AB與α相交但不垂直
D．AB∥α
A　[∵平面α的法向量為n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，
∴＝－n，∴n∥，∴⊥α，即直線AB與平面α垂直．故選A．]
3．(多選)已知直線l的方向向量為μ，兩個不重合的平面α，β的法向量分別為n1，n2，則(　　)
A．若μ∥n1，則l⊥α
B．若μ·n1＝0，則l∥α
C．若n1∥n2，則α∥β
D．若n1·n2＝0，則α⊥β
ACD　[根據題意，依次分析選項：對于A，若μ∥n1，則l⊥α，A正確；
對于B，若μ·n1＝0，則μ⊥n1，則l∥α或l α，B錯誤；
對于C，若n1∥n2，且平面α，β不重合，則有α∥β，C正確；
對于D，若n1·n2＝0，則α⊥β，D正確．故選ACD．]
4．已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為________．
5　[∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v互相垂直，
∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]
1．知識鏈：(1)利用向量證明直線和直線垂直．
(2)利用向量證明直線和平面垂直．
(3)利用向量證明平面和平面垂直．
2．方法鏈：轉化法、向量法．
3．警示牌：直線的方向向量、平面的法向量的關系與線面間的垂直關系的對應易混淆．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．兩直線垂直的向量表達式是什么？
[提示]　設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0．
2．直線和平面垂直的向量表達式是什么？
[提示]　設直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn．
3．平面和平面垂直的向量表達式是什么？
[提示]　設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0．
4．證明線面垂直有哪些方法？
[提示]　(1)基底法：把直線的方向向量和平面內兩個不共線向量用同一個基底表示，然后再證明它們垂直．
(2)坐標法，利用線線垂直：建立空間直角坐標系，把直線的方向向量和平面內兩條不共線向量用坐標表示，再證明它們垂直．
(3)坐標法，利用平面的法向量：建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量的坐標，然后證明它們平行．
課時分層作業(九)　空間中直線、平面的垂直
一、選擇題
1．如圖，在空間直角坐標系中，正方體的棱長為2，點E是棱AB的中點，點F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點，且CF⊥B1E，則點F(0，y，z)滿足方程(　　)
A．y－z＝0
B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0
D．z－1＝0
D　[因為E(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，
所以＝(－1，0，－2)，＝(－2，y－2，z)，因為CF⊥B1E，
所以＝0，
即2－2z＝0，即z＝1．]
2．已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，則下列幾組解中可能正確的是(　　)
A．x＝1，y＝3 B．x＝4，y＝3
C．x＝2，y＝4 D．x＝0，y＝2
C　[由題意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各選項中的值計算，只有C滿足2×4＋4×5＝28．故選C．]
3．已知直線l經過點A(1，1，2)，B(0，1，0)，平面α的一個法向量為n＝(－2，0，－4)，則(　　)
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．l與α相交，但不垂直
B　[根據題意，A(1，1，2)，B(0，1，0)，則＝(－1，0，－2)，
而平面α的一個法向量為n＝(－2，0，－4)，則有n＝2，即n∥，必有l⊥α．故選B．]
4．(多選)已知平面α的一個法向量為n1＝，平面β的一個法向量為n2＝(－1，0，－2 )，直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，直線m的方向向量為b＝(0，1，－2)，則(　　)
A．l⊥α
B．α⊥β
C．l與m為相交直線或異面直線
D．a在b上的投影向量的坐標為
BC　[根據題意，依次分析選項：對于A，直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的一個法向量為n1＝，由于a·n1＝1＋2×＝0，則直線l∥α或l α，A錯誤；
對于B，平面α的一個法向量為n1＝，平面β的一個法向量為n2＝(－1，0，－2 )，由于n1·n2＝－1＋1＝0，則α⊥β，B正確；
對于C，直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，直線m的方向向量為b＝(0，1，－2)，
a與b不平行，則l與m不平行，兩直線為相交直線或異面直線，C正確；
對于D，a在b上的投影向量為＝b＝－b＝，D錯誤．故選BC．]
5．(多選)給出下列命題，其中是真命題的是(　　)
A．若直線l的方向向量為a＝(1，－1，2)，直線m的方向向量為b＝，則l與m垂直
B．若直線l的方向向量為a＝(0，1，－1)，平面α的一個法向量為n＝(1，－1，－1)，則l⊥α
C．若平面α，β的一個法向量分別為n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，則α⊥β
D．若平面α經過三點A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，則u＋t＝1
AD　[對于A，a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，
則a⊥b，所以直線l與m垂直，故A是真命題；
對于B，a·n＝0，則a⊥n，
所以l∥α或l α，故B是假命題；
對于C，n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假命題；
對于D，易得＝(－1，1，1)，＝(－1，1，0)，
因為向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，
所以即
得u＋t＝1，故D是真命題．]
二、填空題
6．△ABC的三個頂點分別是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，則AC邊上的高BD長為________．
5　[∵A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，∴＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，∵點D在直線AC上，∴設＝(0，4λ，－3λ)，
由此可得＝(0，4λ，－3λ)－(4，－5，0)＝(－4，4λ＋5，－3λ)，
又∵⊥，∴＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－．
因此＝(－4，4λ＋5，－3λ)＝，
可得＝＝5．]
7．已知空間直線l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的法向量n＝(2，3，3)．若l⊥α，則a＋b＝________．
2　[∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直線l的方向向量，
n＝(2，3，3)是平面α的法向量，l⊥α，
∴m∥n，
∴＝＝，
解得a＋b＝2．]
8．已知A，B，C的坐標分別為(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，點P的坐標是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，則點P的坐標是________．
(－1，0，2)　[根據題意，可得＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，y)．
∵PA⊥平面ABC，∴⊥⊥，可得
解得x＝－1，y＝2，可得P的坐標是(－1，0，2)．]
三、解答題
9．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分別為CD，PB的中點．求證：EF⊥平面PAB．
[證明]　以D為坐標原點，DC，DA，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，
且以DA的長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系．
設E(a，0，0)，其中a＞0，則C(2a，0，0)，A(0，1，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)，F＝＝(2a，1，－1)，＝(2a，0，0)．所以＝0，
所以EF⊥PB，EF⊥AB．又PB，AB 平面PAB，PB∩AB＝B，所以EF⊥平面PAB．
10．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點，F是AD上一點，當BF⊥PE時，AF∶FD的比值為(　　)
A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1
B　[以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
設正方形ABCD的邊長為1，PA＝a，則B(1，0，0)，E，P(0，0，a)．
設點F的坐標為(0，y，0)，
則＝(－1，y，0)，＝．
因為BF⊥PE，
所以＝0，
解得y＝，即點F的坐標為，
所以F為AD的中點，所以AF∶FD＝1∶1．]
11．(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點，則直線OM(　　)
A．和AC垂直
B．和AA1垂直
C．和MN垂直
D．與AC，MN都不垂直
AC　[以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)．
設正方體的棱長為2a(a＞0)，則M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，A1(2a，0，2a)．
∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)，＝(0，0，2a)．
∴＝2a2≠0，∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1顯然不垂直．]
12．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，若點Q在線段B1P上，則下列結論正確的是(　　)
A．當點Q為線段B1P的中點時，DQ⊥平面A1BD
B．當點Q為線段B1P的三等分點時，DQ⊥平面A1BD
C．在線段B1P的延長線上，存在一點Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ與平面A1BD垂直
D　[以A1為坐標原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，則由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，
所以＝(1，0，1)，＝(－1，2，0)，．
設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則取z＝－2，
則x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一個法向量為n＝(2，1，－2)．
假設DQ⊥平面A1BD，且＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，則．
因為也是平面A1BD的一個法向量，
所以n與共線，
所以成立，但此方程關于λ無解，所以不存在DQ與平面A1BD垂直．]
13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，E是PB的中點，cos 〈〉＝．
(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則點E的坐標是________；
(2)在底面ABCD內求一點F，使EF⊥平面PCB，則點F的坐標是________．
(1)(1，1，1)　(2)(1，0，0)　[(1)由已知，平面ABCD是邊長為2的正方形，設DP＝t(t＞0)，則D(0，0，0)，P(0，0，t)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，
則E＝(0，0，t)，＝．
故cos 〈〉＝＝＝．
由已知，得＝，
解得t＝2(負值舍去)，
故E(1，1，1)．
(2)設F(m，n，0)，則＝(m－1，n－1，－1)．
又＝(－2，0，0)，＝(0，2，－2)，
則
解得
故F(1，0，0)．]
14．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D為BC的中點．
(1)證明：A1B∥平面ADC1；
(2)證明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．
[證明]　 (1)∵在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，∴以A1為原點，A1C1，A1B1，A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB＝AC＝AA1＝2，
則A1(0，0，0)，B(0，2，2)，A(0，0，2)，C(2，0，2)，D(1，1，2)，＝(0，2，2)，＝(1，1，0)，＝(2，0，－2)．
設平面ADC1的法向量為n＝(x，y，z)，則取x＝1，
得n＝(1，－1，1)，∵n·＝0－2＋2＝0，且A1B 平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1．
(2)∵＝(1，－1，0)，＝(1，－1，－2)，設平面BB1C1C的法向量為m＝(a，b，c)，
則取a＝1，得m＝(1，1，0)，
又平面ADC1的法向量n＝(1，－1，1)，n·m＝1－1＋0＝0，
∴平面ADC1⊥平面BB1C1C．
15．(多選)在空間直角坐標系中，有以下兩條公認事實：
(1)過點P0(x0，y0，z0)，且以u＝(a，b，c)(abc≠0)為方向向量的空間直線l的方程為＝＝．
(2)過點P(x0，y0，z0)，且以v＝(m，n，t)(mnt≠0)為法向量的平面α的方程為m(x－x0)＋n(y－y0)＋t(z－z0)＝0．
現已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1：l2：x＝y＝2－z，l3：＝＝，則(　　)
A．l1∥α B．l2∥α
C．l3∥α D．l1⊥α
CD　[根據題意，平面α：x＋2y＋3z＝6，即(x－1)＋2(y－1)＋3(z－1)＝0，則平面α的一個法向量為(1，2，3)，設m＝(1，2，3)，直線l1：
變形可得：2x＝y＋1＝(z＋2)，即＝＝，則直線l1的一個方向向量為，設n1＝，由于m＝2n1，則l1⊥α，A錯誤，D正確；直線l2：x＝y＝2－z，即＝＝，直線l2的一個方向向量為(1，1，－1)，設n2＝(1，1，－1)，由于m·n2＝1＋2－3＝0，則m⊥n2，對于
l2：x＝y＝2－z，當x＝0時，有y＝0，z＝2，直線l2過點(0，0，2)，平面α：x＋2y＋3z＝6，也過點(0，0，2)，則l2 α，B錯誤；
l3：＝＝，則直線l3的一個方向向量為(5，－4，1)，設n3＝(5，－4，1)，
由于m·n3＝5－8＋3＝0，則m⊥n3，
同時，l3：＝＝，過點(1，0，0)，平面α：x＋2y＋3z＝6不過點(1，0，0)，則有l3∥α，C正確．故選CD．]
1/5第2課時　空間中直線、平面的平行
[學習目標]　1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系．(數學抽象)
2．能用向量方法判斷或證明線線、線面、面面間的平行關系．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
牌樓與牌坊類似，是中國傳統建筑之一，最早見于周朝，在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道均有建造．舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種，多設于要道口．牌樓中有一種柱門形結構，一般較高大．如圖，牌樓的柱子與地面是垂直的，如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直，我們就能知道下邊線與地面平行．這是為什么呢？
[討論交流]　問題1．空間直線、平面平行的向量條件是什么？
問題2．對比平面的兩種向量表示式，能寫出線面平行的兩種向量條件嗎？
問題3．用向量解決空間線面平行問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線與直線平行
探究問題1　由直線與直線的平行關系，可以得到直線的方向向量具有什么關系？
[提示]　平行．
[新知生成]
兩直線平行的判定方法
設u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2．
【教用·微提醒】　利用向量證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．
[典例講評]　1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點，N為DE的中點，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求證：MN∥AP．
[證明]　法一：由題意知，直線DA，DC，DP兩兩垂直，如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以＝(－1，0，1)，＝，所以＝，又M AP，故MN∥AP．
法二：由題意可得，＝＋＝＋×＝＋＋＝＋＝＝，又M AP，所以MN∥AP．
　向量法證明線線平行的兩種思路
[學以致用]　1．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是面對角線B1D1，A1B上的點，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求證：EF∥AC1．
[證明]　如圖所示，以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
設DA＝a，DC＝b，DD1＝c，則A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E，F，
所以＝，＝(－a，b，c)，
所以＝，
因為FE與AC1不共線，所以EF∥AC1．
探究2　直線與平面平行
探究問題2　觀察下圖，直線l與平面α平行，u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，u與n有什么關系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
直線和平面平行的判定方法
設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，則l∥α u⊥n u·n＝0．
【教用·微提醒】　(1)證明線面平行的關鍵是看直線的方向向量與平面的法向量是否垂直．
(2)特別強調直線在平面外．
【鏈接·教材例題】
例3　如圖1.4-12，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．線段B1C上是否存在點P，使得A1P∥平面ACD1
[分析]　根據條件建立適當的空間直角坐標系，那么問題中涉及的點、向量，，以及平面ACD1的法向量n等都可以用坐標表示．如果點P存在，那么就有n·＝0，由此通過向量的坐標運算可得結果．
[解]　以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-12所示的空間直角坐標系．因為A，C，D1的坐標分別為(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以
＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)．
設n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，則n＝0，n·＝0，即
所以
取z＝6，則x＝4，y＝3．所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一個法向量．
由A1，C，B1的坐標分別為(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，2)．設點P滿足＝λ(0≤λ≤1)，則＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝＋＝(－3λ，4，－2λ)．
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，此時A1P 平面ACD1，這樣的點P存在．所以，當＝，即P為B1C的中點時，A1P∥平面ACD1．
[典例講評]　2．在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．證明：PA∥平面EDB．
[證明]　如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設PD＝DC＝a．
連接AC，交BD于點G，
連接EG，
依題意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E，B(a，a，0)．
法一：設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，
又＝＝，
則有
即
即
令z＝1，則
所以n＝(1，－1，1)，
又＝(a，0，－a)，
所以n＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0．
所以n⊥．
又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
法二：因為四邊形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故點G的坐標為，
所以＝．
又＝(a，0，－a)，
所以，則PA∥EG．
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
法三：假設存在實數λ，μ使得，
即(a，0，－a)＝λ＋μ，
則有
解得
所以，
又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
　利用空間向量證明線面平行的三種方法
(1)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．
(2)證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．
(3)證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一個基底表示．
[學以致用]　2．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點，求證：AB1∥平面DBC1．
[證明]　如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系．設正三棱柱的底面邊長為a(a＞0)，側棱長為b(b＞0)，則A(0，0，0)，B，B1，
C1(0，a，b)，D，所以＝＝，＝．
設平面DBC1的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
所以
不妨令y＝2b，則n＝(0，2b，－a)．
由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n．
又AB1 平面DBC1，所以AB1∥平面DBC1．
探究3　平面與平面平行
探究問題3　如圖，平面α與β平行，n1，n2分別是平面α，β的法向量，n1與n2具有什么關系？
[提示]　平行．
[新知生成]
平面和平面平行的判定方法
設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
【教用·微提醒】　證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合．
【鏈接·教材例題】
例2　證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．
已知：如圖1.4-11，a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α．
求證：α∥β．
[分析]　設平面α的法向量為n，直線a，b的方向向量分別為u，v，則由已知條件可得n·u＝n·v＝0，由此可以證明n與平面β內的任意一個向量垂直，即n也是β的法向量．
證明　如圖1.4-11，取平面α的法向量n，直線a，b的方向向量u，v．
因為a∥α，b∥α，所以n·u＝0，n·v＝0．
因為a β，b β，a∩b＝P，
所以對任意點Q∈β，存在x，y∈R，使得＝xu＋yv．
從而n＝n·(xu＋yv)＝xn·u＋yn·v＝0．
所以，向量n也是平面β的法向量．故α∥β．
[典例講評]　3．如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：平面EFG∥平面PBC．
[證明]　由題意知AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)，設n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量，
則n1⊥，n1⊥，即
得令z1＝1，則x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)為平面GEF的一個法向量．
設n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，由n2⊥，n2⊥，
得即
即
令z2＝1，得x2＝1，y2＝0，
所以n2＝(1，0，1)為平面PBC的一個法向量．
因為n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC．
　證明面面平行問題的方法
(1)轉化為相應的線線平行或線面平行．
(2)分別求出這兩個平面的法向量，然后證明這兩個法向量平行．
[學以致用]　3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點，
求證：平面BMN∥平面PCD．
[證明]　連接BD，PM，因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等邊三角形，所以BM⊥AD，
又PA＝PD，M為AD的中點，所以PM⊥AD，
又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥平面ABCD，
所以以M為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設PA＝PD＝2a，CD＝b，
則B(2a，0，0)，C(b，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2a)，M(0，0，0)，N(0，－a，a)，
所以＝(0，－a，a)，＝(2a，0，0)，
＝(b，2a，－2a)，＝(0，2a，－2a)，
設n1＝(x1，y1，z1)是平面BMN的法向量，
n2＝(x2，y2，z2)是平面PCD的法向量，
則由n1＝0，
得令y1＝1，則x1＝0，z1＝1，
所以n1＝(0，1，1)是平面BMN的一個法向量．
同理，由n2＝0，
得
令y2＝1，可得x2＝0，z2＝1，
所以n2＝(0，1，1)是平面PCD的一個法向量．
因為n1＝n2，所以平面BMN∥平面PCD．
【教用·備選題】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO
[解]　如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．
設正方體的棱長為1，
則O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
設Q(0，1，z)，則＝，＝(－1，－1，1)，
則＝2，所以∥，
所以OP∥BD1．
又＝＝(－1，0，z)，
當z＝時，，即AP∥BQ．
又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，AP，OP 平面PAO，BQ，BD1 平面D1BQ，
則有平面PAO∥平面D1BQ．
所以當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO．
1．若直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，則可能使l∥α的是(　　)
A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2)
B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1)
C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1)
D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1)
B　[根據題意，直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，要使l∥α，則m·n＝0，
由此分析選項，對于A，m·n＝－3≠0，不符合題意；
對于B，m·n＝－4＋4＝0，符合題意；對于C，m·n＝－11≠0，不符合題意；
對于D，m·n＝－3≠0，不符合題意．
故選B．]
2．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分別為直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則(　　)
A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28
C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝
C　[因為l1∥l2，且a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)分別為l1，l2的方向向量，所以＝＝，解得m＝8，n＝．故選C．]
3．已知l∥α，且l的方向向量為(2，m，1)，平面α的一個法向量為，則m＝________．
－8　[∵l∥α，且l的方向向量為(2，m，1)，平面α的一個法向量為，
∴向量(2，m，1)與平面α的法向量垂直，
則(2，m，1)＝2＋m＋2＝0，解得m＝－8．]
4．已知平面α與平面ABC是不重合的兩個平面，若平面α的一個法向量為m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，則平面α與平面ABC的位置關系是________．
平行　[根據題意，平面α的一個法向量為m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，則有m＝2×2－4＝0，則m⊥，同理m＝2－6＋4＝0，
則m⊥，故m也是平面ABC的法向量，必有平面α∥平面ABC．]
1．知識鏈：(1)利用向量證明直線和直線平行．
(2)利用向量證明直線和平面平行．
(3)利用向量證明平面和平面平行．
2．方法鏈：坐標法、轉化化歸．
3．警示牌：利用向量證明直線和平面平行，不要忽略直線不在平面內的條件．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．兩直線平行的向量表達式是什么？
[提示]　設μ1，μ2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2．
2．直線和平面平行的向量表達式是什么？
[提示]　設μ是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，且l α，則l∥α μ⊥n μ·n＝0．
3．平面和平面平行的向量表達式是什么？
[提示]　設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
4．證明線面平行有哪些方法？
[提示]　(1)證明直線的方向向量與平面內的某一向量是共線向量且直線不在平面內；
(2)證明直線的方向向量與平面內兩個不共線向量共面且直線不在平面內；
(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內．
課時分層作業(八)　空間中直線、平面的平行
一、選擇題
1．已知直線l的方向向量為a＝(1，2，－2)，平面α的一個法向量為n＝(2，4，m)，若l∥α，則m等于(　　)
A．5 B．2 C． D．－4
A　[根據題意，因為l∥α，且直線l的方向向量為a＝(1，2，－2)，平面α的法向量為n＝(2，4，m)，所以a⊥n，所以a·n＝0，則有1×2＋2×4＋(－2)×m＝0，解得m＝5．故選A．]
2．(多選)設a，b分別是不重合直線l1，l2的方向向量，則根據下列條件能判斷l1∥l2的是(　　)
A．a＝，b＝(－2，－4，0)
B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
AB　[對于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正確；對于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正確；對于選項C、D，由于a與b不共線，所以不能判斷l1∥l2．故選AB．]
3．已知平面α的一個法向量為(1，2，－2)，平面β的一個法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于(　　)
A．2 B．－4 C．4 D．－2
C　[因為α∥β，所以＝＝，所以k＝4．]
4．如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝a，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能確定
B　[如圖，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．因為A1M＝AN＝a，
所以M，
所以．
又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，
所以＝(0，a，0)，
所以＝0，所以⊥．
因為是平面BB1C1C的一個法向量，且MN 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C．]
5．如圖所示，已知正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點的坐標為(　　)
A．(1，1，1) B．
C． D．
C　[∵M在EF上，∴不妨設ME＝x，
則M，
∵A(，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，
∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1)，＝．
設平面BDE的法向量為n＝(a，b，c)，
易求其中一個法向量為n＝(1，1，)，
∴有n＝0，即x－＋x－＋＝0，
∴x＝，∴x＝1．
∴M，故選C．]
二、填空題
6．已知直線l的方向向量為(1，m，2)，平面α的一個法向量為(3，－1，1)，且l∥α，則m＝________．
5　[根據題意，設直線l的方向向量為a＝(1，m，2)，
平面α的一個法向量為b＝(3，－1，1)，
若l∥α，必有a⊥b，則有a·b＝3－m＋2＝0，解得m＝5．]
7．若a＝是平面α的一個法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均與平面α平行，則向量a＝________．
　[由題意知
即
解得∴a＝．]
8．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分別是平面α，β的法向量，且α∥β，則mn＝________．
－3　[根據題意，若α∥β，則有a∥b，設a＝kb，即(0，1，m)＝k(0，n，－3)，
則有變形可得：mn＝－3．]
三、解答題
9．已知正方體OABC O1A1B1C1的棱長為1，如圖以O為原點，{}為單位正交基底，建立空間直角坐標系Oxyz．D，E分別是OO1，AB的中點．
(1)求直線DE的一個方向向量；
(2)證明：DE∥平面O1BC．
[解]　(1)根據題意，D，E，
因此＝，
故直線DE的一個方向向量為m＝(2，1，－1)(答案不唯一)．
(2)證明：連接OC1(圖略)，BC⊥平面O1OCC1，OC1 平面O1OCC1，則BC⊥OC1，
又因為OC1⊥O1C，O1C∩BC＝C，O1C，BC 平面O1BC，故OC1⊥平面O1BC，
因此取平面O1BC的法向量為＝(0，1，1)，由于m·＝0，則m⊥，而DE 平面O1BC，因此DE∥平面O1BC．
10．如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，點F在棱C1D1上，且，若B1F∥平面A1BE，則λ＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[如圖所示，以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．設正方體的棱長為1，則B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，．
設n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，則由
得令z＝2，得平面A1BE的一個法向量為n＝(2，1，2)．
由＝(1，0，0)，，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)．
又B1(1，0，1)，所以＝(λ－1，1，0)．
由B1F∥平面A1BE，得·n＝0，
即2(λ－1)＋1＝0，解得λ＝．]
11．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，PQ與直線A1D和AC都垂直，則直線PQ與BD1的關系是(　　)
A．異面
B．平行
C．垂直不相交
D．垂直且相交
B　[設正方體的棱長為1，以D點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，設＝(a，b，c)，則
取＝(1，1，－1)．∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－，∴∥，∴PQ∥BD1．]
12．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點，點P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，則AP的長為________．
　[如圖，以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．設AB＝a(a＞0)，AP＝b(0＜b≤1)，則A(0，0，0)，
D(0，1，0)，P(0，0，b)，B1(a，0，1)，E．
于是AB1＝(a，0，1)，＝＝(0，－1，b)．
設平面B1AE的法向量為n＝(x，y，z)，則得取x＝2，得y＝－a，z＝－2a，
∴n＝(2，－a，－2a)是平面B1AE的一個法向量．∵DP∥平面B1AE，∴n＝a－2ab＝0，解得b＝，即AP＝．]
13．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P為線段D1B上的動點，M，N分別為棱BC，AB的中點，若DP∥平面B1MN，則＝________．
　[如圖所示，以D為原點，以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系．
設正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2，可得D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，M(1，2，0)，N(2，1，0)，則＝(2，2，－2)，＝(－1，0，－2)，＝(0，－1，－2)．
設＝λ，可得＝(2λ，2λ，－2λ)，可得P(2λ，2λ，2－2λ)，則＝(2λ，2λ，2－2λ)．
設平面B1MN的法向量為n＝(x，y，z)，
則有
不妨令x＝－2，則n＝(－2，－2，1)．
因為DP∥平面B1MN，所以·n＝(2λ，2λ，2－2λ)·(－2，－2，1)＝－4λ－4λ＋2－2λ＝0，
解得λ＝，即．]
14．如圖所示，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點．求證：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD．
[證明]　(1)以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB＝b，AD＝d，則A(0，0，0)，B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d)，C(b，d，0)．因為M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點，所以M，N，Q，所以＝．
因為平面PAD的一個法向量為m＝(1，0，0)，所以m＝0，即⊥m，因為MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD．
(2)由(1)知，＝(0，－d，0)，所以m＝0，所以⊥m，又由(1)知⊥m，所以m也是平面QMN的一個法向量，所以平面QMN∥平面PAD．
15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
問：側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明；若不存在，請說明理由．
[解]　因為∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
又因為側面PAD⊥底面ABCD，且側面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因為∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP兩兩垂直．分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設AD＝2，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
設側棱PA的中點是E，
則E＝．
設平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，則
因為＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，所以
取x＝1，則y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一個法向量為n＝(1，1，2)．
所以n＝(1，1，2)＝0，所以n⊥．
因為BE 平面PCD，
所以BE∥平面PCD．
綜上所述，當E為PA的中點時，BE∥平面PCD．
21/21課時分層作業(八)　空間中直線、平面的平行
一、選擇題
1．已知直線l的方向向量為a＝(1，2，－2)，平面α的一個法向量為n＝(2，4，m)，若l∥α，則m等于(　　)
A．5　　　B．2　　　C．　　　D．－4
2．(多選)設a，b分別是不重合直線l1，l2的方向向量，則根據下列條件能判斷l1∥l2的是(　　)
A．a＝，b＝(－2，－4，0)
B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
3．已知平面α的一個法向量為(1，2，－2)，平面β的一個法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于(　　)
A．2　　　B．－4　　　C．4　　　D．－2
4．如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝a，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能確定
5．如圖所示，已知正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點的坐標為(　　)
A．(1，1，1) B．
C． D．
二、填空題
6．已知直線l的方向向量為(1，m，2)，平面α的一個法向量為(3，－1，1)，且l∥α，則m＝________．
7．若a＝是平面α的一個法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均與平面α平行，則向量a＝________．
8．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分別是平面α，β的法向量，且α∥β，則mn＝________．
三、解答題
9．已知正方體OABC O1A1B1C1的棱長為1，如圖以O為原點，{}為單位正交基底，建立空間直角坐標系Oxyz．D，E分別是OO1，AB的中點．
(1)求直線DE的一個方向向量；
(2)證明：DE∥平面O1BC．
10．如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，點F在棱C1D1上，且，若B1F∥平面A1BE，則λ＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
11．如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，PQ與直線A1D和AC都垂直，則直線PQ與BD1的關系是(　　)
A．異面 B．平行
C．垂直不相交 D．垂直且相交
12．如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點，點P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，則AP的長為________．
13．如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，點P為線段D1B上的動點，M，N分別為棱BC，AB的中點，若DP∥平面B1MN，則＝________．
14．如圖所示，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點．求證：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD．
15．如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
問：側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明；若不存在，請說明理由．
4/4第3課時　空間中直線、平面的垂直
[學習目標]　1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系．(數學抽象)
2．能用向量方法判斷或證明線線、線面、面面間的垂直關系．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　
問題1．空間直線、平面垂直的向量表示是什么？
問題2．用向量解決空間線面垂直問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線與直線垂直
探究問題1　如圖，直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，當直線l1，l2垂直時，u1，u2之間有什么關系？
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[新知生成]
兩直線垂直的判定方法
設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2 ________ ________．
[典例講評]　1．如圖，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱長都為1，M是BC邊的中點，N是側棱CC1上的點，且CN＝CC1．
求證：AB1⊥MN．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　向量法證明線線垂直的思路方法
用向量法證明空間中兩條直線l1，l2相互垂直，其主要思路是證明兩條直線的方向向量a，b相互垂直，只需證明a·b＝0即可，具體方法有以下兩種：
(1)坐標法：用坐標表示出兩條直線的方向向量，計算出兩向量的數量積為0．
(2)基向量法：將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來，計算出兩向量的數量積為0．
[學以致用]　1．如圖，在四棱錐P ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB與底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a．若AE⊥PB于點E，求證：DE⊥PB．
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探究2　直線與平面垂直
探究問題2　如圖，設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，當直線l垂直平面α時，u，n之間有什么關系？
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[新知生成]
直線和平面垂直的判定方法
設直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α ________ λ∈R，使得________．
[典例講評]　2．如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點．求證：EF⊥平面B1AC．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　若本例條件不變，求證：A1C⊥平面AD1B1．
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　證明線面垂直的方法
(1)基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證得結論．
(2)坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證得結論．
(3)法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后證明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結論．
[學以致用]　2．如圖所示，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．
求證：AB1⊥平面A1BD．
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探究3　平面與平面垂直
探究問題3　設n1，n2分別是平面α，β的法向量，當平面α垂直于平面β時，n1，n2之間有什么關系？
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[新知生成]
平面和平面垂直的判定方法
設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β ________ ________．
[典例講評]　3．(源自湘教版教材)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分別是AC，AD的中點．
求證：平面BEF⊥平面ABC．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　證明面面垂直的兩種方法
(1)常規法：利用面面垂直的判定定理將問題轉化為線面垂直、線線垂直去證明．
(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．
[學以致用]　3．如圖，在正三棱錐P ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求證：平面EFG⊥平面PBC．
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1．設l1的方向向量為a＝(1，2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，則m＝(　　)
A．1　　 　B．2　　 　C．　　 　D．3
2．已知平面α的法向量為n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，則直線AB與平面α的位置關系為(　　)
A．AB⊥α
B．AB α
C．AB與α相交但不垂直
D．AB∥α
3．(多選)已知直線l的方向向量為μ，兩個不重合的平面α，β的法向量分別為n1，n2，則(　　)
A．若μ∥n1，則l⊥α
B．若μ·n1＝0，則l∥α
C．若n1∥n2，則α∥β
D．若n1·n2＝0，則α⊥β
4．已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為________．
1．知識鏈：(1)利用向量證明直線和直線垂直．
(2)利用向量證明直線和平面垂直．
(3)利用向量證明平面和平面垂直．
2．方法鏈：轉化法、向量法．
3．警示牌：直線的方向向量、平面的法向量的關系與線面間的垂直關系的對應易混淆．
7/71.4　空間向量的應用
1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關系
第1課時　空間中點、直線和平面的向量表示
[學習目標]　1．能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量．(數學抽象)
2．會求一個平面的法向量．(數學運算、邏輯推理)
(教師用書)
立體幾何研究的基本對象是點、直線、平面以及由它們組成的空間圖形，為了用空間向量解決幾何問題，首先必須把點、直線、平面用向量表示出來．
那么，如何利用向量刻畫直線與平面的方向與位置？
[討論交流]　
問題1．空間點的位置向量、直線的方向向量、平面的法向量是如何定義的？
問題2．空間一條直線的方向向量唯一嗎？它們有什么共同特征？
問題3．空間直線和平面的向量表示式分別是什么？其依據是什么？
問題4．求一個平面的法向量的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　空間中點的向量和直線的向量表示
探究問題1　在空間中，如何確定一條直線？
[提示]　兩點可以確定一條直線；直線上的一點及這條直線的方向也可以確定一條直線．
[新知生成]
1．點的位置向量
在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示，我們把向量稱為點P的位置向量．
2．空間直線的向量表示式
設A是直線l上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，設P是直線l上任意一點，
(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使得＝ta，即＝．
(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使＋ta，即＝．
(3)性質：空間任意直線都可以由直線上一點及直線的方向向量唯一確定．
【教用·微提醒】　(1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．
(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數個．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)如圖所示，已知長方體ABCD A′B′C′D′的棱長AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以點D為原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標系，求下列直線的一個方向向量：
(1)AA′；(2)BD′．
[解]　 由已知可得，長方體頂點A，B，A′，D′的坐標分別為A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)．
(1)因為向量＝(0，0，3)，所以直線AA′的一個方向向量為(0，0，3)．(答案不唯一)
(2)因為向量＝(－4，－2，3)，所以直線BD′的一個方向向量為(－4，－2，3)．(答案不唯一)
　求直線的方向向量的兩種方法
(1)在直線l上確定兩點A，B，則就是直線l的方向向量．
(2)在與直線l平行的直線m上確定兩點A1，B1，則就是直線l的方向向量．
[學以致用]　1．已知點A(1，2，－1)，B(2，0，1)是直線l上的兩點．
(1)求直線l的一個方向向量；
(2)判斷點M(3，3，1)是否在直線l上．
[解]　(1)直線l的一個方向向量為＝(1，－2，2)．(答案不唯一)
(2)＝(2，1，2)．設，即(2，1，2)＝λ(1，－2，2)，所以這樣的λ不存在，即向量不共線．
故點M不在直線l上．
探究2　空間中平面的向量表示
探究問題2　向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是什么？
[提示]　存在唯一的有序實數對(x，y)，使得p＝xa＋yb．
探究問題3　如何用向量表示點P在平面ABC內的充要條件？
[提示]　存在有序實數對(x，y)，使得．
[新知生成]
1．如圖，設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得＝xa＋yb．
2．如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使＝．我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．
3．如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P·＝0}．
【教用·微提醒】　(1)平面α的一個法向量垂直于平面α內的所有向量．
(2)一個平面的法向量有無數多個，它們相互平行．
【鏈接·教材例題】
例1　如圖1.4-7，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中點．以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面MCA1的法向量．
[分析]　(1)平面BCC1B1與y軸垂直，其法向量可以直接寫出；(2)平面MCA1可以看成由，，中的兩個向量所確定，運用法向量與它們的垂直關系，可轉化為數量積運算求得法向量．
[解]　(1)因為y軸垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0，1，0)是平面BCC1B1的一個法向量．
(2)因為AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中點，所以M，C，A1的坐標分別為(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)．
因此＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)．
設n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量，則
n2⊥，n2⊥．
所以所以
取z＝3，則x＝2，y＝3．于是n2＝(2，3，3)是平面MCA1的一個法向量．
[典例講評]　2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面ACE的一個法向量．
[解]　因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．
如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，P(0，0，1)，D(0，，0)，E，C(1，，0)，于是＝＝(1，，0)．
設n＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，
則即
所以
令y＝－1，則x＝z＝．
所以平面ACE的一個法向量為n＝(，－1，)．(答案不唯一)
[母題探究]　本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量．
[解]　以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即為直線PC的一個方向向量．
因為D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
設平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
所以令y＝1，則z＝．
所以平面PCD的一個法向量為n＝(0，1，)．(答案不唯一)
　如何確定平面的法向量？
[提示]　按如下步驟求平面的法向量：
(1)設向量：設平面的法向量為n＝(x，y，z)．
(2)選向量：在平面內選取兩個不共線向量．
(3)列方程組：由列出方程組．
(4)解方程組：
(5)賦非零值：取x，y，z其中一個為非零值(常取±1)．
(6)得結論：得到平面的一個法向量．
[學以致用]　2．已知點A(1，2，3)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，則下列向量是平面ABC的一個法向量的是(　　)
A．(－1，3，－1)　　　　 B．(－1，－3，－1)
C．(1，3，1) D．(－1，3，1)
A　[由題意知：＝(0，－1，－3)，＝(－1，－1，－2)，
對于A，∵(－1，3，－1)·(0，－1，－3)＝0－3＋3＝0，(－1，3，－1)·(－1，－1，－2)＝1－3＋2＝0，∴(－1，3，－1)與均垂直，∴(－1，3，－1)是平面ABC的一個法向量，A正確；
對于B，∵(－1，－3，－1)·(－1，－1，－2)＝1＋3＋2＝6，∴(－1，－3，－1)與不垂直，
∴(－1，－3，－1)不是平面ABC的一個法向量，B錯誤；
對于C，∵(1，3，1)·(0，－1，－3)＝0－3－3＝－6，∴(1，3，1)與不垂直，
∴(1，3，1)不是平面ABC的一個法向量，C錯誤；
對于D，∵(－1，3，1)·(0，－1，－3)＝0－3－3＝－6，∴(－1，3，1)與不垂直，∴(－1，3，1)不是平面ABC的一個法向量，D錯誤．故選A．]
3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A為原點，建立空間直角坐標系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面A1BC的法向量．
[解]　(1)由已知得B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)，
故＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)．
設平面BCC1B1的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令x＝1，則n＝(1，1，0)，
所以平面BCC1B1的一個法向量為n＝(1，1，0)．(答案不唯一)
(2)設平面A1BC的法向量為m＝(a，b，c)．
因為＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，
則令a＝1，則m＝，
所以平面A1BC的一個法向量為m＝．(答案不唯一)
【教用·備選題】　已知四棱錐S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，并求出平面SAB、平面SDC的一個法向量．
[解]　由已知得SA，AB，AD兩兩垂直，
∴以A為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系(圖略)．
∵SA＝AB＝BC＝1，AD＝，
∴S(0，0，1)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，D，∴＝＝(1，1，－1)，＝．
易知平面SAB的一個法向量為＝．
設平面SDC的法向量為m＝(x，y，z)，
則取z＝1，則x＝2，y＝－1，
∴平面SDC的一個法向量為m＝(2，－1，1)．(答案不唯一)
1．若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(　　)
A．(3，2，1) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(1，2，3)
D　[＝(2，5，8)－(0，1，2)＝(2，4，6)，
因為(2，4，6)＝2(1，2，3)．故選D．]
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α法向量的是(　　)
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
D　[∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)，∴向量(－2，3，－1)與平面α的一個法向量平行，它也是平面的一個法向量．故選D．]
3．設直線l的方向向量為m＝(2，－1，z)，平面α的一個法向量為n＝(4，－2，－2)，若直線l∥平面α，則實數z的值為(　　)
A．－5 B．5 C．－1 D．1
B　[若直線l∥平面α，則m·n＝0，故8＋2－2z＝0，解得z＝5．故選B．]
4．已知平面α經過點O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一個法向量，M(x，y，z)是平面α內任意一點，則x，y，z滿足的關系式是________．
x＋2y－3z＝0　[由題意得e⊥，則e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0．]
1．知識鏈：(1)空間中點和直線的向量表示．
(2)空間中平面的向量表示．
(3)平面法向量的求法．
2．方法鏈：待定系數法、賦值法．
3．警示牌：直線的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，這無數個方向向量或法向量都分別是共線向量．用代數法求平面的法向量時，設定的某個分坐標一定不能是0．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何求直線l的方向向量？直線的方向向量唯一嗎？
[提示]　在直線l或與直線l平行的直線上取兩點A，B，則就是直線l的方向向量．直線的方向向量有無數個，哪個易求求哪個．
2．平面的法向量有無數個，它們是什么關系？
[提示]　共線．
3．如何求一個平面的法向量？
[提示]　(1)設法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面內找兩個不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程組
(4)解方程組：用一個未知量表示其他兩個未知量，然后對用來表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個法向量．
課時分層作業(七)　空間中點、直線和平面的向量表示
一、選擇題
1．設空間四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則(　　)
A．點P一定在直線AB上
B．點P一定不在直線AB上
C．點P不一定在直線AB上
D．以上都不對
A　[由m＋n＝1得m＝1－n，結合題意知＝(1－n)＋n＝
由此可知，A，P，B三點共線．故選A．]
2．若點A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(　　)
A．(1，2，4) B．(1，4，2)
C．(0，2，－1) D．(0，4，12)
A　[由＝(2，4，8)，l的方向向量與平行，只有選項A滿足題意．故選A．]
3．已知A(3，2，0)，B(0，4，0)，C(3，0，2)，則平面ABC的一個法向量是(　　)
A．(1，1，1) B．(2，2，3)
C．(2，3，3) D．
C　[由題可知＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)，設n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，則n⊥，n⊥．
所以可得
取z＝3，則x＝2，y＝3．于是n＝(2，3，3)是平面ABC的一個法向量．
故選C．]
4．已知直線l的一個方向向量為m＝(2，－1，3)，且直線l過A(0，a，3)和B(－1，2，b)兩點，則a＋b＝(　　)
A．0 B．1 C． D．3
D　[∵A(0，a，3)和B(－1，2，b)在直線l上，＝(－1，2－a，b－3)，且直線l的一個方向向量為m＝(2，－1，3)，∴設＝λm，則(－1，2－a，b－3)＝λ(2，－1，3)，解得λ＝－，a＝b＝，∴a＋b＝3．故選D．]
5．(多選)已知平面α內有一點M(1，－1，1)，平面α的一個法向量為n＝(4，－1，0)，則下列點中不在平面α內的是(　　)
A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1)
C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4)
BCD　[對于A，＝(－1，－4，－1)，n＝4×(－1)＋(－1)×(－4)＋0＝0，所以n⊥，又因為M∈平面α，所以A∈平面α；對于B，＝(3，－1，0)，n＝4×3＋(－1)×(－1)＋0＝13，所以n與不垂直，又因為M∈平面α，所以B 平面α；對于C，＝(5，－5，1)，n＝4×5＋(－1)×(－5)＋0＝25，所以n與不垂直，又因為M∈平面α，所以C 平面α；對于D，＝(－2，2，－3)，n＝4×(－2)＋(－1)×2＋0＝－10，所以n與不垂直，又因為M∈平面α，所以D 平面α．故選BCD．]
二、填空題
6．已知直線l的一個方向向量為(－5，3，2)，另一個方向向量為(x，y，8)，則x＝________，y＝________．
－20　12　[∵直線的方向向量平行，∴＝＝，∴x＝－20，y＝12．]
7．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，分別以長方體的兩個頂點為始點和終點的向量中：
(1)直線AB的方向向量有________個；
(2)平面AA1B1B的法向量有________個．
(1)8　(2)8　[(1)直線AB的方向向量有：，共8個．
(2)平面AA1B1B的法向量有：，共8個．]
8．已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直線l上，寫出直線l的一個方向向量：u＝________．(用坐標表示)
(－3，0，－2)(答案不唯一)　[因為A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直線l上，
則直線l的一個方向向量u＝＝(－3，0，－2)．(答案不唯一)]
三、解答題
9．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)．
(1)寫出直線BC的一個方向向量；
(2)設平面α經過點A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α內的任意一點，試寫出x，y，z滿足的關系式．
[解]　(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)，
∴＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)為直線BC的一個方向向量．(答案不唯一)
(2)由題意得＝(x－2，y－2，z－2)，
∵⊥平面α，AM α，
∴⊥，則＝0，
∴(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0，
∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0，
化簡得x－y＋z－2＝0．
10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以D為原點建立空間直角坐標系，E為BB1的中點，F為A1D1的中點，則下列向量中，能作為平面AEF的一個法向量的是(　　)
A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)
B　[設AB＝2，由題圖知A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)，＝(0，2，1)，＝(－1，0，2)．
設平面AEF的法向量n＝(x，y，z)，
則取y＝1，得n＝(－4，1，－2)．故選B．]
11．已知空間三點坐標分別為A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，點P(－3，x，3)在平面ABC內，則實數x的值為(　　)
A．1 B．－2 C．0 D．－1
A　[＝(1，－2，1)，＝(－2，－4，4)，＝(－3，x－3，3)，設平面ABC的法向量為n＝(a，b，c)，則
即
①＋②得－4b＋3c＝0，
令c＝4，則b＝3，a＝2，∴n＝(2，3，4)．
∵n⊥，∴n＝0，
即－3×2＋3(x－3)＋3×4＝0，
∴x＝1．]
12．在空間直角坐標系Oxyz中，經過點P(x0，y0，z0)且法向量為m＝(A，B，C)的平面方程為A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程為x＋2y＋z－1＝0，則平面α的一個法向量為________．
(1，2，1)(答案不唯一)　[根據題意，平面α的方程為x＋2y＋z－1＝0，即1(x－0)＋2(y－0)＋1(z－1)＝0，
則平面α的一個法向量為(1，2，1)．]
13．已知直線l的方向向量為e＝(－1，1，2)，平面α的一個法向量為n＝(λ∈R)，若l⊥α，則實數λ的值為________．
－　[因為l⊥α，所以e與n平行，
則存在實數m使得e＝mn，即(－1，1，2)＝m，
可得所以]
14．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，點E在棱AB上移動．
(1)證明：D1E⊥A1D；
(2)求平面ACD1的法向量．
[解]　(1)證明：以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，設E(1，t，0)，0≤t≤3，
所以＝(1，t，－1)·(1，0，1)＝1－1＝0，所以D1E⊥A1D．
(2)A(1，0，0)，C(0，3，0)，＝(－1，3，0)，＝(0，－3，1)，
設平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，
則取y＝1，則n＝(3，1，3)．
所以平面ACD1的一個法向量為n＝(3，1，3)．(答案不唯一)
15．已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
(1)求證：是平面ABCD的一個法向量；
(2)求平行四邊形ABCD的面積．
[解]　(1)證明：＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝0，
＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD．
又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD．
所以是平面ABCD的一個法向量．
(2)因為＝＝，
＝＝2，
＝(2，－1，－4)·(4，2，0)＝6，
所以cos 〈〉＝＝，
故sin 〈〉＝，
S ABCD＝＝8．
5/15第2課時　空間中直線、平面的平行
[學習目標]　1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系．(數學抽象)
2．能用向量方法判斷或證明線線、線面、面面間的平行關系．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　
問題1．空間直線、平面平行的向量條件是什么？
問題2．對比平面的兩種向量表示式，能寫出線面平行的兩種向量條件嗎？
問題3．用向量解決空間線面平行問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線與直線平行
探究問題1　由直線與直線的平行關系，可以得到直線的方向向量具有什么關系？
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[新知生成]
兩直線平行的判定方法
設u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 ________ λ∈R，使得________．
[典例講評]　1．如圖所示，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點，N為DE的中點，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求證：MN∥AP．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　向量法證明線線平行的兩種思路
[學以致用]　1．在長方體ABCD A1B1C1D1中，E，F分別是面對角線B1D1，A1B上的點，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求證：EF∥AC1．
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探究2　直線與平面平行
探究問題2　觀察右圖，直線l與平面α平行，u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，u與n有什么關系？
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[新知生成]
直線和平面平行的判定方法
設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，則l∥α ________ ________．
[典例講評]　2．在四棱錐P ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．證明：PA∥平面EDB．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　利用空間向量證明線面平行的三種方法
(1)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．
(2)證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．
(3)證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一個基底表示．
[學以致用]　2．如圖，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AC的中點，求證：AB1∥平面DBC1．
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探究3　平面與平面平行
探究問題3　如圖，平面α與β平行，n1，n2分別是平面α，β的法向量，n1與n2具有什么關系？
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[新知生成]
平面和平面平行的判定方法
設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β ________ λ∈R，使得________．
[典例講評]　3．如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：平面EFG∥平面PBC．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　證明面面平行問題的方法
(1)轉化為相應的線線平行或線面平行．
(2)分別求出這兩個平面的法向量，然后證明這兩個法向量平行．
[學以致用]　3．如圖，在四棱錐P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點，
求證：平面BMN∥平面PCD．
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1．若直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，則可能使l∥α的是(　　)
A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2)
B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1)
C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1)
D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1)
2．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分別為直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則(　　)
A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28
C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝
3．已知l∥α，且l的方向向量為(2，m，1)，平面α的一個法向量為，則m＝________．
4．已知平面α與平面ABC是不重合的兩個平面，若平面α的一個法向量為m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，則平面α與平面ABC的位置關系是________．
1．知識鏈：(1)利用向量證明直線和直線平行．
(2)利用向量證明直線和平面平行．
(3)利用向量證明平面和平面平行．
2．方法鏈：坐標法、轉化化歸．
3．警示牌：利用向量證明直線和平面平行，不要忽略直線不在平面內的條件．
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