資源簡介

(共54張PPT)
1.2　空間向量基本定理
第一章 空間向量與立體幾何
[學習目標]　1．了解空間向量基本定理及其意義．(數學抽象)
2．掌握空間向量的正交分解．(直觀想象)
3．掌握在簡單問題中運用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量的方法．(邏輯推理、數學運算)
整體感知
(教師用書)
　　在平面內，任意給定兩個不共線的向量a，b，根據平面向量基本定理，對于該平面內的任意一個向量p，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得p＝xa＋yb．特別地，當a，b為直角坐標平面內的向量時，向量p就與坐標(x，y)建立了一一對應關系，從而將向量運算用坐標表示，簡化了向量運算，為研究問題帶來了極大的方便．那么，對于空間向量，有沒有類似平面向量基本定理的結論呢？如圖所示，設a，b，c是空間三個不
共面的向量，p是空間任意一個向量，是否可以用
向量a，b，c來表示向量p？
[討論交流]　
問題1．類比平面向量基本定理，怎么推廣得到空間向量基本定理？
問題2．空間基底的構成條件是什么？單位正交基底的構成條件是什么？
問題3．類比平面向量的分解，如何分解空間向量？
問題4．用向量解決幾何問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　空間向量基本定理
探究問題1　如圖，設i，j，k是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點O．對于任意一個空間向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
探究建構
[提示]　如圖，設在i，j所確定的平面上的投影向量，則．又向量，k共線，因此存在唯一的實數z，使得＝zk，從而＋zk．在i，j確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得＝xi＋y j．從而＋zk＝xi＋y j＋zk．
探究問題2　你能證明x，y，z的唯一性嗎？
[提示]　假設除(x，y，z)外，還存在有序實數組(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′ j＋z′k，則x′i＋y′ j＋z′k＝xi＋y j＋zk．
不妨設x′≠x，則(x′－x)i＝(y－y′) j＋(z－z′)k．
兩邊同除以(x′－x)，得i＝ j＋k．
由向量共面的充要條件可知，i，j，k共面，這與已知矛盾．所以有序實數組(x，y，z)是唯一的．
[新知生成]
1．空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝____________．
2．基底：把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
xa＋yb＋zc
3．空間向量的正交分解
(1)單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量________，且長度都為__，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像這樣，把一個空間向量分解為三個________的向量，叫做把空間向量進行________．
兩兩垂直
1
兩兩垂直
正交分解
【教用·微提醒】　(1)基底中不能有零向量．因為零向量與任意一個非零向量都為共線向量，與任意兩個非零向量都共面．
(2)空間中任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底．
(3)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達式也有可能不同．
[典例講評]　1．{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋e2－e3，試判斷{}能否作為空間的一個基底．
[解]　假設共面，由向量共面的充要條件知，存在實數x，y，使成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空間的一個基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程組無解．
即不存在實數x，y使得，
所以不共面．
所以{}能作為空間的一個基底．
反思領悟　基底的判斷思路和注意問題
1．基本思路
(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為空間的一個基底．
(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發的三條棱對應的方向向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷．
2．注意問題
對于三個向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為基底；若其中存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成基底．
[學以致用]　1．若{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能構成空間的一個基底，則t＝(　　)
A．－1　　　B．1　　　C．0　　　D．－2
A　[因為a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能構成空間的一個基底，
所以存在實數x，y使得c＝xa＋yb，即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2＋e3)，
即e1＋te3＝xe1＋(x＋y)e2＋ye3，因為{e1，e2，e3}是空間的一個基底，
則解得故選A．]
√
探究2　用基底表示空間向量
【鏈接·教材例題】
例1　如圖1.2-2，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量表示．
[分析]　是三個不共面的向量，它們構成空間的一個基底{}，可以用基底{}表示出來．
[解]　＋
＝＋
＝＋－
＝＋
＝＋＋．
[典例講評]　 2．(源自北師大版教材)如圖所示，在平行六面體ABCD -A′B′C′D′中，點M是 A′B′C′D′的對角線的交點，點N是棱BC的中點．如果＝c，試用a，b，c表示．
[解]　因為點M為 A′B′C′D′的對角線的交點，
所以＝－(b＋a)．
又，
所以＝－(b＋a)－c＋a＋＝－c．
[母題探究]　若把本例中“＝a”改為“＝a”，其他條件不變，則結果是什么？
[解]　因為點M為 A′B′C′D′的對角線的交點，
所以＝－c＋a，所以(a－c)．
又＝b，所以，
所以＝(a－c)－c－＝．
反思領悟　用基底表示向量時應注意的兩點
(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數乘向量的運算律進行．
(2)若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是保證基向量的模及其夾角已知或易求．
[學以致用]　2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M是棱PC的中點，設＝c．
(1)試用a，b，c表示向量；
(2)若AM交平面BDP于N，用a，b，c表示向量．
[解]　(1)因為M是棱PC的中點，所以＝，
則＋＋＝b＋(c－a－b)＝－a＋b＋c．
(2)若AM交平面BDP于N，則B，D，N，P四點共面，
由向量共面定理可知：存在x，y∈R，使得＋(1－x－y)，
即＝xa＋yb＋(1－x－y)c，又A，N，M三點共線，則有，
又＝a＋＝(a＋b＋c)，
所以解得t＝，故＝(a＋b＋c)．
探究3　空間向量基本定理的初步應用
考向1　證明空間位置關系
【鏈接·教材例題】
例2　如圖1.2-3，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．求證：MN⊥AC1．
[分析]　要證MN⊥AC1，只需證明·＝0．
由已知，{，}可構成空間的一個基底．把和分別用基底表示，然后計算·即可．
[證明]　設＝b，＝c，這三個向量不共面，{a，b，c}構成空間的一個基底，我們用它們表示，，則
＝＋＝a－b，＝＋＝a＋b＋c，
所以·＝·(a＋b＋c)
＝a·a＋a·b＋a·c－b·a－b·b－b·c
＝×42＋×42×cos 60°＋×4×5×cos 60°－×42×cos 60°－×42－×4×5×cos 60°＝0．所以MN⊥AC1．
[典例講評]　3．如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點，請選擇恰當的基底證明：
(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C．
[證明]　取基底{}，
(1)因為，所以∥，又EG，AC無公共點，所以EG∥AC．
(2)因為，
，所以∥．
又FG，AB′無公共點，所以FG∥AB′．
又FG 平面AB′C，AB′ 平面AB′C，所以FG∥平面AB′C．
又由(1)知EG∥AC，EG 平面AB′C，AC 平面AB′C，可得EG∥平面AB′C．
又FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG．所以平面EFG∥平面AB′C．
反思領悟　(1)要證兩直線垂直，只需證明兩直線的方向向量的數量積為0即可．
(2)要證兩直線平行，只需證明兩直線的方向向量a＝λb即可．
[學以致用]　3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分別為PC，BD的中點，用向量方法證明：
(1)EF∥平面PAD；
(2)EF⊥平面PCD．
[證明]　(1)連接PF(圖略)，則＝－＝＋＝＋＝＋，所以向量共面，又EF 平面PAD，DA，PD 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
(2)因為底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，又側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又PA 平面PAD，所以CD⊥PA．
因為PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，所以·＝·＝··＝·＝·＝0，所以EF⊥PD，EF⊥CD，又PD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD．
考向2　求空間角
【鏈接·教材例題】
例3　如圖1.2-4，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E，F，G分別為C′D′，A′D′，D′D的中點．
(1)求證：EF∥AC；(2)求CE與AG所成角的余弦值．
[分析]　(1)要證明EF∥AC，只需證明共線．設＝j，DD′＝k，則{i，j，k}構成空間的一個單位正交基底，把分別用基向量表示，作相應的運算證明它們共線即可．(2)要求CE與AG所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可．
(1)[證明]　設＝j，＝k，則{i，j，k}構成空間的一個單位正交基底．所以＝－＝i－ j＝(i－j)，
＝i－j．所以＝．所以EF∥AC．
(2)[解]　因為＝＋＝－ j＋k，＝－i＋k，
所以cos 〈〉＝＝＝．
所以CE與AG所成角的余弦值為．
[典例講評]　4．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
C　[如圖所示，設＝b，＝c，則〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，因為＝b＋c，＝
＝＝
＝＝．
又異面直線所成角的范圍是，所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為．]
反思領悟　基向量法求空間角的基本思路
將空間角轉化為兩條直線的方向向量的夾角(或其補角)，再用基向量表示兩方向向量，并借助向量的運算求出角．
[學以致用]　4．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．
(1)設＝c，
{a，b，c}構成空間的一個基底，
用它們表示；
(2)求AC1與MN所成角的大小．
[解]　(1)＝，＝a＋b＋c．
(2)由(1)得·(a＋b＋c)
＝·c
＝
＝0，所以⊥，所以AC1與MN所成角為．
考向3　求距離(長度)問題
[典例講評]　5．如圖所示，在三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F，P分別為AC，BC，EF的中點，以方向上的單位向量為基底，求OP的長度．
[解]　令方向上的單位向量分別為i，j，k，則{i，j，k}是空間向量的一組單位正交基底．
因為＝＋＝＋＝＋＝＋＋＝ i＋ j＋ k，
所以||＝＝＝，即OP的長度為．
反思領悟　求空間距離(長度)問題的步驟
(1)選取空間基向量，將待求線段對應的向量用基向量線性表示．
(2)求該向量的模，利用空間向量的數量積運算求得線段的長度．
[學以致用]
5．在正四面體ABCD中，棱長為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN．
[解]　∵＝＋＋
＝－＋＋，
∴||2＝
＝－·－·＋·＋＋
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2．
故||＝a，即MN＝a．
【教用·備選題】　在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是DD1，BD的中點，點G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)證明：EF⊥B1C；
(2)求EF與C1G所成角的余弦值．
[解]　(1)證明：設＝j，＝k，則{i，j，k}構成空間的一個正交基底．
所以＝－k＋＝i＋ j－k，＝＋＝－i－k，所以·＝·(－i－k)＝－|i|2＋|k|2＝0，所以EF⊥B1C．
(2) ∵＝i＋ j－k，＝＋＝－k－ j，
||2＝＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，||＝，
||2＝＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝＝＝．
即EF與C1G所成角的余弦值為．
1．若p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[空間不共面的三個向量可以作為空間的一個基底，若a，b，c是三個共面的非零向量，則{a，b，c}不能作為空間的一個基底；但若{a，b，c}為空間的一個基底，則a，b，c不共面，且a，b，c是三個非零向量，所以p是q的必要不充分條件．故選B．]
2
3
題號
1
4
√
2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，則x＋y＋z＝(　　)
A． 　　　B． 　　 C．1 　　 D．
D　[因為EC＝2PE，所以＝，所以＋＋＝＋＝＋＝＋＋，又因為，
所以則x＋y＋z＝．故選D．]
2
3
題號
4
1
√
3．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　)
A． 　　 B． 　　 C． 　　D．
C　[設＝c，以{a，b，c}為基底，則＝a＋b＋c．
又＝2，＝，
所以cos 〈〉＝＝．
即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．]
2
4
3
題號
1
4．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，＝MC1，點N為B1B的中點，則||等于________．
a　[∵
＝，
∴＝
＝＝a．]
a　
1．知識鏈：(1)空間向量基本定理．(2)空間向量基本定理的應用．
2．方法鏈：轉化化歸、數形結合、類比．
3．警示牌：(1)基向量理解錯誤，忽視基向量的條件．
(2)利用基向量表示向量時，沒有轉化目標．
(3)向量夾角和線線角的范圍不同，不要混淆．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c滿足什么條件？
2．敘述空間向量基本定理的內容．
[提示]　a，b，c不共面．
[提示]　如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
3．如何證明兩種位置關系(垂直與平行)
[提示]　(1)要證兩直線垂直，由數量積的性質a⊥b a·b＝0可知，可構造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量的數量積為0即可．
(2)要證兩直線平行，可構造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量滿足a＝λb即可．
課時分層作業(四)
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空間向量基本定理
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS課時分層作業(四)　空間向量基本定理
一、選擇題
1．已知點O，A，B，C為空間中不共面的四點，且向量a＝，向量b＝，則不能與a，b共同構成空間向量的一個基底的向量是(　　)
A． D．
C． D．以上都不能
2．在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點，，則＝(　　)
A．
B．
C．
D．
3．在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中點，則AM＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，PA⊥平面ABCD，點M，N滿足．若則x＋y＋z＝(　　)
A．－1　　　B．1　　　C．－　　　D．
5．(多選)如圖，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，平行六面體的各棱長均相等，則下列結論中正確的是(　　)
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
二、填空題
6．在斜三棱柱A1B1C1 ABC中，BC的中點為M，＝c，則可用a，b，c表示為________．
7．如圖所示，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點，若存在實數x，y，z，使向量則x＋2y＋3z＝________．
8．正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點，則異面直線DM與CN所成角的余弦值為________．
三、解答題
9．如圖，在棱長為1的正四面體OABC中，M是棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN＝AN．
(1)用向量表示；
(2)求．
10．(多選)下列關于空間向量的命題中，正確的有(　　)
A．若向量a，b與空間任意向量都不能構成基底，則a∥b
B．若非零向量a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則有a∥c
C．若{}是空間的一個基底，且，則A，B，C，D四點共面
D．若{a，b，c}是空間的一個基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}也是空間一個基底
11．(多選)在三棱錐P ABC中，三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，則下列說法正確的是(　　)
A．EG⊥PG B．EG⊥BC
C．FG∥BC D．FG⊥EF
12．化學中，將構成粒子(原子、離子或分子)在空間按一定規律呈周期性重復排列構成的固體物質稱為晶體．在結構化學中，可將晶體結構截分為一個個包含等同內容的基本單位，這個基本單位叫做晶胞．已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點位置，O原子位于棱的中點)．則圖中原子連線BF與B1E所成角的余弦值為________．
13．棱長為a的正四面體ABCD中，E，F分別為棱AD，BC的中點，則異面直線EF與AB所成角的大小是________，線段EF的長度為________．
14．如圖所示，在四棱錐E ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F為BE的中點．
(1)求證：DE∥平面ACF；
(2)求證：BD⊥AE；
(3)若AB＝CE，在線段EO上是否存在點G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
15．如圖，在三棱錐P ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM＝3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA，PB，PC于點D，E，F，若，求證：為定值，并求出該定值．
4/41.2　空間向量基本定理
[學習目標]　1．了解空間向量基本定理及其意義．(數學抽象)
2．掌握空間向量的正交分解．(直觀想象)
3．掌握在簡單問題中運用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量的方法．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　
問題1．類比平面向量基本定理，怎么推廣得到空間向量基本定理？
問題2．空間基底的構成條件是什么？單位正交基底的構成條件是什么？
問題3．類比平面向量的分解，如何分解空間向量？
問題4．用向量解決幾何問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　空間向量基本定理
探究問題1　如圖，設i，j，k是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點O．對于任意一個空間向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
探究問題2　你能證明x，y，z的唯一性嗎？
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[新知生成]
1．空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝________．
2．基底：把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
3．空間向量的正交分解
(1)單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量________，且長度都為________，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像這樣，把一個空間向量分解為三個________的向量，叫做把空間向量進行________．
[典例講評]　1．{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋e2－e3，試判斷{}能否作為空間的一個基底．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　基底的判斷思路和注意問題
1．基本思路
(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為空間的一個基底．
(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發的三條棱對應的方向向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷．
2．注意問題
對于三個向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為基底；若其中存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成基底．
[學以致用]　1．若{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能構成空間的一個基底，則t＝(　　)
A．－1　　　B．1　　　C．0　　　D．－2
探究2　用基底表示空間向量
[典例講評]　2．(源自北師大版教材)如圖所示，在平行六面體ABCD A′B′C′D′中，點M是 A′B′C′D′的對角線的交點，點N是棱BC的中點．如果＝c，試用a，b，c表示．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　若把本例中“＝a”改為“＝a”，其他條件不變，則結果是什么？
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　用基底表示向量時應注意的兩點
(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數乘向量的運算律進行．
(2)若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是保證基向量的模及其夾角已知或易求．
[學以致用]　2．如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形，M是棱PC的中點，設＝c．
(1)試用a，b，c表示向量；
(2)若AM交平面BDP于N，用a，b，c表示向量．
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探究3　空間向量基本定理的初步應用
　證明空間位置關系
[典例講評]　3．如圖，在平行六面體ABCD A′B′C′D′中，E，F，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點，請選擇恰當的基底證明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　(1)要證兩直線垂直，只需證明兩直線的方向向量的數量積為0即可．
(2)要證兩直線平行，只需證明兩直線的方向向量a＝λb即可．
[學以致用]　3．如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分別為PC，BD的中點，用向量方法證明：
(1)EF∥平面PAD；
(2)EF⊥平面PCD．
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　求空間角
[典例講評]　4．已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　基向量法求空間角的基本思路
將空間角轉化為兩條直線的方向向量的夾角(或其補角)，再用基向量表示兩方向向量，并借助向量的運算求出角．
[學以致用]　4．在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．
(1)設＝c，{a，b，c}構成空間的一個基底，用它們表示；
(2)求AC1與MN所成角的大小．
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　求距離(長度)問題
[典例講評]　5．如圖所示，在三棱錐O ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F，P分別為AC，BC，EF的中點，以方向上的單位向量為基底，求OP的長度．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　求空間距離(長度)問題的步驟
(1)選取空間基向量，將待求線段對應的向量用基向量線性表示．
(2)求該向量的模，利用空間向量的數量積運算求得線段的長度．
[學以致用]　5．在正四面體ABCD中，棱長為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN．
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1．若p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
2．如圖，四棱錐P ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若則x＋y＋z＝(　　)
A． B． C．1 D．
3．在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　)
A． B． C． D．
4．正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為a，，點N為B1B的中點，則等于________．
1．知識鏈：(1)空間向量基本定理．(2)空間向量基本定理的應用．
2．方法鏈：轉化化歸、數形結合、類比．
3．警示牌：(1)基向量理解錯誤，忽視基向量的條件．
(2)利用基向量表示向量時，沒有轉化目標．
(3)向量夾角和線線角的范圍不同，不要混淆．
6/81.2　空間向量基本定理
[學習目標]　1．了解空間向量基本定理及其意義．(數學抽象)
2．掌握空間向量的正交分解．(直觀想象)
3．掌握在簡單問題中運用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量的方法．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
在平面內，任意給定兩個不共線的向量a，b，根據平面向量基本定理，對于該平面內的任意一個向量p，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得p＝xa＋yb．特別地，當a，b為直角坐標平面內的向量時，向量p就與坐標(x，y)建立了一一對應關系，從而將向量運算用坐標表示，簡化了向量運算，為研究問題帶來了極大的方便．那么，對于空間向量，有沒有類似平面向量基本定理的結論呢？如圖所示，設a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，是否可以用向量a，b，c來表示向量p？
[討論交流]　
問題1．類比平面向量基本定理，怎么推廣得到空間向量基本定理？
問題2．空間基底的構成條件是什么？單位正交基底的構成條件是什么？
問題3．類比平面向量的分解，如何分解空間向量？
問題4．用向量解決幾何問題的一般步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　空間向量基本定理
探究問題1　如圖，設i，j，k是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點O．對于任意一個空間向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
[提示]　如圖，設在i，j所確定的平面上的投影向量，則．又向量，k共線，因此存在唯一的實數z，使得＝zk，從而＋zk．在i，j確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得＝xi＋yj．從而＋zk＝xi＋yj＋zk．
探究問題2　你能證明x，y，z的唯一性嗎？
[提示]　假設除(x，y，z)外，還存在有序實數組(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，則x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk．
不妨設x′≠x，則(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k．
兩邊同除以(x′－x)，得i＝ j＋k．
由向量共面的充要條件可知，i，j，k共面，這與已知矛盾．所以有序實數組(x，y，z)是唯一的．
[新知生成]
1．空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
2．基底：把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
3．空間向量的正交分解
(1)單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
【教用·微提醒】　(1)基底中不能有零向量．因為零向量與任意一個非零向量都為共線向量，與任意兩個非零向量都共面．
(2)空間中任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底．
(3)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達式也有可能不同．
[典例講評]　1．{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋e2－e3，試判斷{}能否作為空間的一個基底．
[解]　假設共面，由向量共面的充要條件知，存在實數x，y，使成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空間的一個基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程組無解．
即不存在實數x，y使得，
所以不共面．
所以{}能作為空間的一個基底．
　基底的判斷思路和注意問題
1．基本思路
(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為空間的一個基底．
(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發的三條棱對應的方向向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷．
2．注意問題
對于三個向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為基底；若其中存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成基底．
[學以致用]　1．若{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能構成空間的一個基底，則t＝(　　)
A．－1　　　B．1　　　C．0　　　D．－2
A　[因為a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能構成空間的一個基底，
所以存在實數x，y使得c＝xa＋yb，
即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2＋e3)，
即e1＋te3＝xe1＋(x＋y)e2＋ye3，因為{e1，e2，e3}是空間的一個基底，
則解得故選A．]
探究2　用基底表示空間向量
【鏈接·教材例題】
例1　如圖1.2-2，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量表示．
[分析]　是三個不共面的向量，它們構成空間的一個基底{}，可以用基底{}表示出來．
[解]　＋
＝＋
＝＋－
＝＋
＝＋＋．
[典例講評]　2．(源自北師大版教材)如圖所示，在平行六面體ABCD A′B′C′D′中，點M是 A′B′C′D′的對角線的交點，點N是棱BC的中點．如果＝c，試用a，b，c表示．
[解]　 因為點M為 A′B′C′D′的對角線的交點，
所以＝－(b＋a)．
又，
所以
＝－(b＋a)－c＋a＋
＝－c．
[母題探究]　若把本例中“＝a”改為“AC′＝a”，其他條件不變，則結果是什么？
[解]　因為點M為 A′B′C′D′的對角線的交點，
所以＝－c＋a，
所以(a－c)．
又＝b，所以，
所以
＝(a－c)－c－
＝．
　用基底表示向量時應注意的兩點
(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數乘向量的運算律進行．
(2)若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是保證基向量的模及其夾角已知或易求．
[學以致用]　2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M是棱PC的中點，設＝c．
(1)試用a，b，c表示向量；
(2)若AM交平面BDP于N，用a，b，c表示向量．
[解]　(1)因為M是棱PC的中點，所以＝，
則＋＋＝b＋(c－a－b)＝－a＋b＋c．
(2)若AM交平面BDP于N，則B，D，N，P四點共面，
由向量共面定理可知：存在x，y∈R，使得＋(1－x－y)，
即＝xa＋yb＋(1－x－y)c，又A，N，M三點共線，則有，
又＝a＋＝(a＋b＋c)，
所以解得t＝，故＝(a＋b＋c)．
探究3　空間向量基本定理的初步應用
　證明空間位置關系
【鏈接·教材例題】
例2　如圖1.2-3，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．求證：MN⊥AC1．
[分析]　要證MN⊥AC1，只需證明·＝0．
由已知，{，}可構成空間的一個基底．把和分別用基底表示，然后計算·即可．
[證明]　設＝b，＝c，這三個向量不共面，{a，b，c}構成空間的一個基底，我們用它們表示，，則
＝＋＝a－b，
＝＋＝a＋b＋c，
所以
·＝·(a＋b＋c)
＝a·a＋a·b＋a·c－b·a－b·b－b·c
＝×42＋×42×cos 60°＋×4×5×cos 60°－×42×cos 60°－×42－×4×5×cos 60°
＝0．
所以MN⊥AC1．
[典例講評]　3．如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點，請選擇恰當的基底證明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
[證明]　取基底{}，
(1)因為，所以∥，
又EG，AC無公共點，所以EG∥AC．
(2)因為，
，所以∥．
又FG，AB′無公共點，所以FG∥AB′．
又FG 平面AB′C，AB′ 平面AB′C，
所以FG∥平面AB′C．
又由(1)知EG∥AC，EG 平面AB′C，AC 平面AB′C，可得EG∥平面AB′C．
又FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG．
所以平面EFG∥平面AB′C．
　(1)要證兩直線垂直，只需證明兩直線的方向向量的數量積為0即可．
(2)要證兩直線平行，只需證明兩直線的方向向量a＝λb即可．
[學以致用]　3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分別為PC，BD的中點，用向量方法證明：
(1)EF∥平面PAD；
(2)EF⊥平面PCD．
[證明]　(1)連接PF(圖略)，則＝－＝＋＝＋＝＋，所以向量共面，又EF 平面PAD，DA，PD 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
(2)因為底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，又側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又PA 平面PAD，所以CD⊥PA．
因為PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，所以·＝·＝··＝·＝·＝0，所以EF⊥PD，EF⊥CD，又PD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD．
　求空間角
【鏈接·教材例題】
例3　如圖1.2-4，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E，F，G分別為C′D′，A′D′，D′D的中點．
(1)求證：EF∥AC；
(2)求CE與AG所成角的余弦值．
[分析]　(1)要證明EF∥AC，只需證明共線．設＝j，DD′＝k，則{i，j，k}構成空間的一個單位正交基底，把分別用基向量表示，作相應的運算證明它們共線即可．(2)要求CE與AG所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可．
(1)[證明]　設＝j，＝k，則{i，j，k}構成空間的一個單位正交基底．所以
＝－＝i－j＝(i－j)，
＝i－j．
所以＝．
所以EF∥AC．
(2)[解]　因為
＝＋＝－ j＋k，
＝－i＋k，
所以cos 〈〉＝＝＝．
所以CE與AG所成角的余弦值為．
[典例講評]　4．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[如圖所示，設＝b，＝c，
則〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，因為＝b＋c，＝
＝
＝
＝
＝．
又異面直線所成角的范圍是，所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為．]
　基向量法求空間角的基本思路
將空間角轉化為兩條直線的方向向量的夾角(或其補角)，再用基向量表示兩方向向量，并借助向量的運算求出角．
[學以致用]　4．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．
(1)設＝c，{a，b，c}構成空間的一個基底，用它們表示；
(2)求AC1與MN所成角的大小．
[解]　(1)
＝，
＝a＋b＋c．
(2)由(1)得·(a＋b＋c)
＝·c
＝＝0，
所以⊥，所以AC1與MN所成角為．
　求距離(長度)問題
[典例講評]　5．如圖所示，在三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F，P分別為AC，BC，EF的中點，以方向上的單位向量為基底，求OP的長度．
[解]　令方向上的單位向量分別為i，j，k，則{i，j，k}是空間向量的一組單位正交基底．
因為＝＋＝＋＝＋＝＋＋＝ i＋ j＋ k，
所以||＝＝＝，即OP的長度為．
　求空間距離(長度)問題的步驟
(1)選取空間基向量，將待求線段對應的向量用基向量線性表示．
(2)求該向量的模，利用空間向量的數量積運算求得線段的長度．
[學以致用]
5．在正四面體ABCD中，棱長為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN．
[解]　∵
＝＋＋
＝－＋＋，
∴||2＝
＝－·－·＋·＋＋
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2．
故||＝a，即MN＝a．
【教用·備選題】　在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是DD1，BD的中點，點G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)證明：EF⊥B1C；
(2)求EF與C1G所成角的余弦值．
[解]　(1)證明：設＝j，＝k，則{i，j，k}構成空間的一個正交基底．
所以＝－k＋＝i＋j－k，＝＋＝－i－k，所以·＝·(－i－k)＝－|i|2＋|k|2＝0，
所以EF⊥B1C．
(2)∵＝i＋j－k，
＝＋＝－k－j，
||2＝＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，||＝，
||2＝＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝＝＝．
即EF與C1G所成角的余弦值為．
1．若p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
B　[空間不共面的三個向量可以作為空間的一個基底，若a，b，c是三個共面的非零向量，則{a，b，c}不能作為空間的一個基底；但若{a，b，c}為空間的一個基底，則a，b，c不共面，且a，b，c是三個非零向量，所以p是q的必要不充分條件．故選B．]
2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，則x＋y＋z＝(　　)
A． B． C．1 D．
D　[因為EC＝2PE，所以＝，所以＋＋＝＋＝＋＝＋＋，又因為，
所以則x＋y＋z＝．故選D．]
3．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　)
A． B． C． D．
C　[設＝c，以{a，b，c}為基底，則＝a＋b＋c．
又＝2，＝，
所以cos 〈〉＝＝．
即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．]
4．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，＝MC1，點N為B1B的中點，則||等于________．
a　[∵＝，
∴＝＝＝a．]
1．知識鏈：(1)空間向量基本定理．(2)空間向量基本定理的應用．
2．方法鏈：轉化化歸、數形結合、類比．
3．警示牌：(1)基向量理解錯誤，忽視基向量的條件．
(2)利用基向量表示向量時，沒有轉化目標．
(3)向量夾角和線線角的范圍不同，不要混淆．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c滿足什么條件？
[提示]　a，b，c不共面．
2．敘述空間向量基本定理的內容．
[提示]　如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
3．如何證明兩種位置關系(垂直與平行)
[提示]　(1)要證兩直線垂直，由數量積的性質a⊥b a·b＝0可知，可構造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量的數量積為0即可．
(2)要證兩直線平行，可構造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量滿足a＝λb即可．
課時分層作業(四)　空間向量基本定理
一、選擇題
1．已知點O，A，B，C為空間中不共面的四點，且向量a＝，向量b＝，則不能與a，b共同構成空間向量的一個基底的向量是(　　)
A． B．
C． D．以上都不能
C　[∵＝－＝(a－b)，∴與a，b共面，∴不能與a，b共同構成空間向量的一個基底．
易知均能與a，b共同構成空間向量的一個基底．故選C．]
2．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點，，則D1E＝(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[如圖，取BC的中點F，連接A1F，則A1D1∥EF，且A1D1＝EF，∴四邊形A1D1EF為平行四邊形，則A1F∥D1E且A1F＝D1E，
∴，又，
∴．故選B．]
3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中點，則AM＝(　　)
A． B． C． D．
C　[如圖所示，＝，
故2＝，則AM＝．]
4．已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，PA⊥平面ABCD，點M，N滿足．若則x＋y＋z＝(　　)A．－1 B．1 C．－ D．
C　[∵＝＝，
∴＝－＝－
＝－＝－＋－，
∵，∴x＝－，y＝，z＝－，∴x＋y＋z＝－．
故選C．]
5．(多選)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，平行六面體的各棱長均相等，則下列結論中正確的是(　　)
A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1
ACD　[依題意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四點共面．因為，所以，則A1M∥D1P，結合線面平行的判定定理可知A，C，D正確．而B1Q與D1P不平行，所以B不正確．故選ACD．]
二、填空題
6．在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，BC的中點為M，A1B1＝a，A1C1＝b，A1A＝c，則B1M可用a，b，c表示為________．
c＋(b－a)　 [在△B1BM中，，又BC的中點為M，
則，因為A1B1C1 ABC為斜三棱柱，則，
故＝c＋(b－a)．]
7．如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點，若存在實數x，y，z，使向量＋zAA1，則x＋2y＋3z＝________．
　[＝－，
又，
∴x＝－，z＝1，∴x＋2y＋3z＝－．]
8．正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點，則異面直線DM與CN所成角的余弦值為________．
　[如圖，畫出對應的正四面體，設＝c，則{a，b，c}構成空間的一個基底．設正四面體ABCD的棱長均為1，因為＝－c＋(a＋b)＝(a＋b－2c)，＝a－b＝(a－2b)．
又a·b＝a·c＝b·c＝．
設異面直線DM與CN所成的角為θ，
則cos θ＝
＝
＝
＝＝．]
三、解答題
9．如圖，在棱長為1的正四面體OABC中，M是棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN＝ON，AP＝AN．
(1)用向量表示；
(2)求||．
[解]　(1)＋＋＋．
(2)＋＋＝＋＋，
∴||2＝2＝＝＝，∴||＝．
10．(多選)下列關于空間向量的命題中，正確的有(　　)
A．若向量a，b與空間任意向量都不能構成基底，則a∥b
B．若非零向量a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則有a∥c
C．若{}是空間的一個基底，且＝＋＋，則A，B，C，D四點共面
D．若{a，b，c}是空間的一個基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}也是空間一個基底
ACD　[對于選項A，由空間向量基本定理可知，若向量a，b與空間任意向量都不能構成基底，則向量a與b一定共線，故選項A正確；
對于選項B，若非零向量a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則向量a與c不能確定，可能平行，故選項B錯誤；
對于選項C，若{}是空間的一個基底，且＝＋＋，則由空間向量基本定理可得A，B，C，D四點共面，故選項C正確；
對于選項D，因為{a，b，c}是空間的一個基底，所以對于空間中的任意一個向量m，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得m＝xa＋yb＋zc＝(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)，
由空間向量基本定理可知，向量{a＋b，b＋c，c＋a}也可以作為空間一個基底，故選項D正確．故選ACD．]
11．(多選)在三棱錐P-ABC中，三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，則下列說法正確的是(　　)
A．EG⊥PG B．EG⊥BC
C．FG∥BC D．FG⊥EF
ABD　[如圖，設＝c，則{a，b，c}是空間的一個正交基底，
則a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中點H，則＝＝×(a＋b)＝a＋b，
＋＋＝c＋b，
＝a＋b－b－c＝a－b－c，＝c－b，
＝a＋b－b＝a，
＝b－＝－c－b，
∴·＝0，A正確；·＝0，B正確；≠(λ∈R)，C不正確；·＝0，D正確．故選ABD．]
12．化學中，將構成粒子(原子、離子或分子)在空間按一定規律呈周期性重復排列構成的固體物質稱為晶體．在結構化學中，可將晶體結構截分為一個個包含等同內容的基本單位，這個基本單位叫做晶胞．已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點位置，O原子位于棱的中點)．則圖中原子連線BF與B1E所成角的余弦值為________．
　[設該立方體的棱長為a，取{}為空間向量的一個基底，其中〈〉＝90°，〈〉＝90°，〈〉＝90°．
∵
，
設BF與B1E所成角為θ，
則cos θ＝＝
＝
＝，即BF與B1E所成角的余弦值為．]
13．棱長為a的正四面體ABCD中，E，F分別為棱AD，BC的中點，則異面直線EF與AB所成角的大小是________，線段EF的長度為________．
　a　[設＝c，則{a，b，c}是空間的一個基底，
∴|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝a·c＝b·c＝a2．
∵＝(a＋b)－c，
∴·＝a2＋a·b－a·c＝a2，
||＝＝a，
∴cos 〈〉＝＝＝，
∴異面直線EF與AB所成的角為．]
14．如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F為BE的中點．
(1)求證：DE∥平面ACF；
(2)求證：BD⊥AE；
(3)若AB＝CE，在線段EO上是否存在點G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)證明：設＝c，則{a，b，c}構成空間的一個基底，且|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0．
依題意得＝＝a＋c．
設(x，y∈R)，則c－b＝x(a＋b)＋y＝＋xb＋yc，
因此解得
又不共線，
所以共面．又直線DE不在平面ACF內，所以DE∥平面ACF．
(2)證明：依題意得＝－a－b＋c＝c－a－b，則·＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0，因此⊥，從而BD⊥AE．
(3)由AB＝CE，設|a|＝|b|＝2，則|c|＝，假設在線段EO上存在點G，使CG⊥平面BDE．由O，G，E三點共線，設＝(1－λ)＝λa＋λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)．
∵BD⊥AC，BD⊥EC，EC∩AC＝C，∴BD⊥平面ECO，又CG 平面ECO，∴CG⊥BD．
由CG⊥平面BDE，知CG⊥DE，而＝c－b，
所以·＝·(c－b)＝(1－λ)c2－λb2＝2－4λ＝0，解得λ＝，即點G是線段EO的中點時，滿足題意，此時＝．
15．如圖，在三棱錐P-ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM＝3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA，PB，PC于點D，E，F，若＝，求證：＋＋為定值，并求出該定值．
[解]　連接AG并延長交BC于點H，連接DM(圖略)．
由題意，可令{}為空間的一個基底，
＝＝＝＋×
＝＋×＝＋＋＝＋＋．
∵點D，E，F，M共面，
∴存在實數λ，μ使得，
即＝λ＋μ，
∴＝(1－λ－μ)＝(1－λ－μ)，
由空間向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
∴＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，為定值．
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