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探源1　橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
[命題點(diǎn)分析]　橢圓及其方程、幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，常常在選擇題、填空題或解答題的第一問(wèn)中出現(xiàn)，著重考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、基本量之間的關(guān)系、離心率等，一般需要結(jié)合幾何圖形求解，主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．
【案例1】　(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的離心率分別為e1，e2，若e2＝e1，則a＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[由已知得e1＝，e2＝＝，因?yàn)閑2＝e1，所以＝×，解得a＝．故選A．]
[考題來(lái)源]　本題來(lái)源于教材P112例4，兩題均考查了由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求離心率，試題考查了考生對(duì)橢圓離心率計(jì)算公式的掌握程度，同時(shí)考查了考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，難度稍高于教材．
【案例2】　(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． B． C． D．
B　[橢圓＋＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)，c＝，
O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，cos ∠F1PF2＝，
設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨令m＞n，
可得m＋n＝6，4c2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2，
即12＝m2＋n2－mn，
可得mn＝，m2＋n2＝21，，
可得|PO|2＝＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)＝＝＝．
所以|PO|＝．故選B．]
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P109練習(xí)T3，高考題和教材習(xí)題均以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查了橢圓的定義，高考題還進(jìn)一步考查了三角形的邊角關(guān)系，余弦定理，同時(shí)考查了考生的邏輯推理與分析問(wèn)題的能力，以及運(yùn)算求解的綜合能力，難度高于教材．
[試題評(píng)價(jià)]　這兩個(gè)考題都考查了橢圓的方程、定義、幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法．
探源2　雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
[命題點(diǎn)分析]　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，但是高考對(duì)雙曲線幾何性質(zhì)的要求較低，一般是求離心率、漸近線方程等．已知離心率或漸近線求雙曲線的方程時(shí)要注意雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上)的區(qū)別與聯(lián)系，主要考查邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
【案例3】　(2023·北京卷)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(－2，0)和(2，0)，離心率為，則C的方程為_(kāi)_______．
－＝1　[根據(jù)題意可設(shè)所求方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
又解得a＝，c＝2，b2＝2，
∴所求方程為－＝1．]
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P124練習(xí)T2，與教材命題角度高度一致，都是考查雙曲線方程的求解，難度相當(dāng)，屬基礎(chǔ)題．
【案例4】　(2023·全國(guó)甲卷)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，C的一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝(　　)
A． B． C． D．
D　[根據(jù)雙曲線的離心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，易知漸近線y＝2x與圓相交．
法一：由得5x2－16x＋12＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|AB|＝
＝×＝，故選D．
法二：圓心(2，3)到漸近線y＝2x的距離d＝＝＝2＝2＝，故選D．]
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P128習(xí)題3.2T12，高考題和教材習(xí)題都考查了雙曲線的離心率、漸近線等相關(guān)概念，同時(shí)也考查了考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解的綜合能力，難度相當(dāng)．
[試題評(píng)價(jià)]　這兩個(gè)考題都以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、難度不大，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．
探源3　拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
[命題點(diǎn)分析]　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與定義是高考考查的重點(diǎn)，本部分內(nèi)容常與圓、橢圓、雙曲線進(jìn)行綜合考查，難度一般不大．
【案例5】　(2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)A(1，)在拋物線C：y2＝2px上，則點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______．
　[將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程，得5＝2p，于是y2＝5x，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，所以點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為1－＝．]
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P138習(xí)題3.3T4與教材P133練習(xí)T3(2)兩題的綜合，既與習(xí)題3.3T4一樣考查了已知拋物線上一點(diǎn)求拋物線的方程，又與教材P133T3(2)一樣考查了拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；將教材習(xí)題完美糅合到高考題中，難度稍高于教材，主要考查了拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等必備知識(shí)．
【案例6】　(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝－(x－1)過(guò)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN為直徑的圓與l相切
D．△OMN為等腰三角形
AC　[由題意，易知直線y＝－(x－1)過(guò)點(diǎn)(1，0)．
對(duì)于A，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，所以易知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以A選項(xiàng)正確．
對(duì)于B，不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1對(duì)于C，l的方程為x＝－1，以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r＝＝＝＋1，所以以MN為直徑的圓與l相切，故C選項(xiàng)正確．
對(duì)于D，由兩點(diǎn)間距離公式可得|OM|＝＝＝，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上，故選AC．]
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P146復(fù)習(xí)參考題3T10，高考題和教材復(fù)習(xí)參考題都綜合性的考查了拋物線的方程，拋物線的定義以及直線與拋物線的位置關(guān)系，難度高于教材，考查考生的直觀想象能力和運(yùn)算求解能力，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法．
[試題評(píng)價(jià)]　拋物線部分的試題考查考生對(duì)拋物線與直線的位置關(guān)系和度量的理解，以及拋物線的有關(guān)概念、幾何意義(包括焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等)的掌握，體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
探源4　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
[命題點(diǎn)分析]　直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系是高考的熱點(diǎn)，近兩年，高考對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系也進(jìn)行考查．主要以解答題的形式考查直線與圓錐曲線相交、相切，定點(diǎn)、定值、最值等問(wèn)題，難度中等或偏大．
【案例7】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(－2，0)，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)(－4，0)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．
[解]　(1)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，c為雙曲線C的半焦距，
由題意可得解得
所以雙曲線C的方程為－＝1．
(2)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的方程為x＝my－4，
則x1＝my1－4，x2＝my2－4．
聯(lián)立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0．
因?yàn)橹本€MN與雙曲線C的左支交于M，N兩點(diǎn)，所以4m2－1≠0，且Δ＞0．
由根與系數(shù)的關(guān)系得所以y1＋y2＝y(tǒng)1y2．
因?yàn)锳1，A2分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直線MA1的方程為＝，直線NA2的方程為＝，
所以＝，得＝，＝＝．
因?yàn)椋?br/>＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以點(diǎn)P在定直線x＝－1上．
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P127習(xí)題3.2T8，來(lái)源于教材但難度遠(yuǎn)高于教材，屬于難題．
[試題評(píng)價(jià)]　本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查雙曲線的方程、性質(zhì)以及直線與雙曲線的位置關(guān)系與度量關(guān)系，考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及其有關(guān)概念的聯(lián)系，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
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高考命題探源(三)
第三章　圓錐曲線的方程
[命題點(diǎn)分析]　橢圓及其方程、幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，常常在選擇題、填空題或解答題的第一問(wèn)中出現(xiàn)，著重考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、基本量之間的關(guān)系、離心率等，一般需要結(jié)合幾何圖形求解，主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．
探源1　橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
【案例1】　(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的離心率分別為e1，e2，若e2＝e1，則a＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
A　[由已知得e1＝，e2＝＝，因?yàn)閑2＝e1，所以＝×，解得a＝．故選A．]
[考題來(lái)源]　本題來(lái)源于教材P112例4，兩題均考查了由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求離心率，試題考查了考生對(duì)橢圓離心率計(jì)算公式的掌握程度，同時(shí)考查了考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，難度稍高于
教材．
【案例2】　(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
√
B　[橢圓＋＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)，c＝，
O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，cos ∠F1PF2＝，
設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨令m＞n，
可得m＋n＝6，4c2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2，即12＝m2＋n2－mn，
可得mn＝，m2＋n2＝21， ，
可得|PO|2＝＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)＝＝＝．
所以|PO|＝．故選B．]
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P109練習(xí)T3，高考題和教材習(xí)題均以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查了橢圓的定義，高考題還進(jìn)一步考查了三角形的邊角關(guān)系，余弦定理，同時(shí)考查了考生的邏輯推理與分析問(wèn)題的能力，以及運(yùn)算求解的綜合能力，難度高于教材．
[試題評(píng)價(jià)]　這兩個(gè)考題都考查了橢圓的方程、定義、幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法．
探源2　雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
[命題點(diǎn)分析]　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，但是高考對(duì)雙曲線幾何性質(zhì)的要求較低，一般是求離心率、漸近線方程等．已知離心率或漸近線求雙曲線的方程時(shí)要注意雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上)的區(qū)別與聯(lián)系，主要考查邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
【案例3】　(2023·北京卷)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(－2，0)和(2，0)，離心率為，則C的方程為_(kāi)__________．
－＝1　[根據(jù)題意可設(shè)所求方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
又解得a＝，c＝2，b2＝2，
∴所求方程為－＝1．]
－＝1　
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P124練習(xí)T2，與教材命題角度高度一致，都是考查雙曲線方程的求解，難度相當(dāng)，屬基礎(chǔ)題．
【案例4】　(2023·全國(guó)甲卷)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，C的一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
√
D　[根據(jù)雙曲線的離心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，易知漸近線y＝2x與圓相交．
法一：由得5x2－16x＋12＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|AB|＝＝×＝，故選D．
法二：圓心(2，3)到漸近線y＝2x的距離d＝＝＝2
＝2＝，故選D．]
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P128習(xí)題3.2T12，高考題和教材習(xí)題都考查了雙曲線的離心率、漸近線等相關(guān)概念，同時(shí)也考查了考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解的綜合能力，難度相當(dāng)．
[試題評(píng)價(jià)]　這兩個(gè)考題都以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、難度不大，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．
探源3　拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
[命題點(diǎn)分析]　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與定義是高考考查的重點(diǎn)，本部分內(nèi)容常與圓、橢圓、雙曲線進(jìn)行綜合考查，難度一般不大．
【案例5】　(2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)A(1，)在拋物線C：y2＝2px上，則點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為_(kāi)___．
　[將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程，得5＝2p，于是y2＝5x，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，所以點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為1－＝．]
　
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P138習(xí)題3.3T4與教材P133練習(xí)T3(2)兩題的綜合，既與習(xí)題3.3T4一樣考查了已知拋物線上一點(diǎn)求拋物線的方程，又與教材P133T3(2)一樣考查了拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；將教材習(xí)題完美糅合到高考題中，難度稍高于教材，主要考查了拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等必備知識(shí)．
【案例6】　(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝－(x－1)過(guò)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN為直徑的圓與l相切
D．△OMN為等腰三角形
√
√
AC　[由題意，易知直線y＝－(x－1)過(guò)點(diǎn)(1，0)．
對(duì)于A，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，所以易知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以A選項(xiàng)正確．
對(duì)于B，不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1聯(lián)立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝3．由拋物線的定義得，|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．
對(duì)于C，l的方程為x＝－1，以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r＝＝＝＋1，所以以MN為直徑的圓與l相切，故C選項(xiàng)正確．
對(duì)于D，由兩點(diǎn)間距離公式可得|OM|＝＝＝，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上，故選AC．]
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P146復(fù)習(xí)參考題3T10，高考題和教材復(fù)習(xí)參考題都綜合性的考查了拋物線的方程，拋物線的定義以及直線與拋物線的位置關(guān)系，難度高于教材，考查考生的直觀想象能力和運(yùn)算求解能力，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法．
[試題評(píng)價(jià)]　拋物線部分的試題考查考生對(duì)拋物線與直線的位置關(guān)系和度量的理解，以及拋物線的有關(guān)概念、幾何意義(包括焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等)的掌握，體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
[命題點(diǎn)分析]　直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系是高考的熱點(diǎn)，近兩年，高考對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系也進(jìn)行考查．主要以解答題的形式考查直線與圓錐曲線相交、相切，定點(diǎn)、定值、最值等問(wèn)題，難度中等或偏大．
探源4　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
【案例7】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(－2，0)，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)(－4，0)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．
[解]　(1)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，c為雙曲線C的半焦距，
由題意可得解得
所以雙曲線C的方程為－＝1．
(2)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的方程為x＝my－4，
則x1＝my1－4，x2＝my2－4．
聯(lián)立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0．
因?yàn)橹本€MN與雙曲線C的左支交于M，N兩點(diǎn)，所以4m2－1≠0，且Δ＞0．
由根與系數(shù)的關(guān)系得所以y1＋y2＝y(tǒng)1y2．
因?yàn)锳1，A2分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直線MA1的方程為＝，直線NA2的方程為＝，
所以＝，得＝，＝＝．
因?yàn)椋剑?br/>＝＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，所以點(diǎn)P在定直線x＝－1上．
[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P127習(xí)題3.2T8，來(lái)源于教材但難度遠(yuǎn)高于教材，屬于難題．
[試題評(píng)價(jià)]　本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查雙曲線的方程、性質(zhì)以及直線與雙曲線的位置關(guān)系與度量關(guān)系，考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及其有關(guān)概念的聯(lián)系，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
THANKS探源1　橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
[命題點(diǎn)分析]　橢圓及其方程、幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，常常在選擇題、填空題或解答題的第一問(wèn)中出現(xiàn)，著重考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、基本量之間的關(guān)系、離心率等，一般需要結(jié)合幾何圖形求解，主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．
【案例1】　(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的離心率分別為e1，e2，若e2＝e1，則a＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來(lái)源]　本題來(lái)源于教材P112例4，兩題均考查了由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求離心率，試題考查了考生對(duì)橢圓離心率計(jì)算公式的掌握程度，同時(shí)考查了考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，難度稍高于教材．
【案例2】　(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． B． C． D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P109練習(xí)T3，高考題和教材習(xí)題均以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查了橢圓的定義，高考題還進(jìn)一步考查了三角形的邊角關(guān)系，余弦定理，同時(shí)考查了考生的邏輯推理與分析問(wèn)題的能力，以及運(yùn)算求解的綜合能力，難度高于教材．
[試題評(píng)價(jià)]　這兩個(gè)考題都考查了橢圓的方程、定義、幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法．
探源2　雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
[命題點(diǎn)分析]　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，但是高考對(duì)雙曲線幾何性質(zhì)的要求較低，一般是求離心率、漸近線方程等．已知離心率或漸近線求雙曲線的方程時(shí)要注意雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上)的區(qū)別與聯(lián)系，主要考查邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
【案例3】　(2023·北京卷)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(－2，0)和(2，0)，離心率為，則C的方程為_(kāi)_______．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P124練習(xí)T2，與教材命題角度高度一致，都是考查雙曲線方程的求解，難度相當(dāng)，屬基礎(chǔ)題．
【案例4】　(2023·全國(guó)甲卷)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的離心率為，C的一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝(　　)
A． B． C． D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P128習(xí)題3.2T12，高考題和教材習(xí)題都考查了雙曲線的離心率、漸近線等相關(guān)概念，同時(shí)也考查了考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解的綜合能力，難度相當(dāng)．
[試題評(píng)價(jià)]　這兩個(gè)考題都以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、難度不大，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．
探源3　拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
[命題點(diǎn)分析]　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與定義是高考考查的重點(diǎn)，本部分內(nèi)容常與圓、橢圓、雙曲線進(jìn)行綜合考查，難度一般不大．
【案例5】　(2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)A在拋物線C：y2＝2px上，則點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P138習(xí)題3.3T4與教材P133練習(xí)T3(2)兩題的綜合，既與習(xí)題3.3T4一樣考查了已知拋物線上一點(diǎn)求拋物線的方程，又與教材P133T3(2)一樣考查了拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；將教材習(xí)題完美糅合到高考題中，難度稍高于教材，主要考查了拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等必備知識(shí)．
【案例6】　(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝－(x－1)過(guò)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN為直徑的圓與l相切
D．△OMN為等腰三角形
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P146復(fù)習(xí)參考題3T10，高考題和教材復(fù)習(xí)參考題都綜合性的考查了拋物線的方程，拋物線的定義以及直線與拋物線的位置關(guān)系，難度高于教材，考查考生的直觀想象能力和運(yùn)算求解能力，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法．
[試題評(píng)價(jià)]　拋物線部分的試題考查考生對(duì)拋物線與直線的位置關(guān)系和度量的理解，以及拋物線的有關(guān)概念、幾何意義(包括焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等)的掌握，體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
探源4　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
[命題點(diǎn)分析]　直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系是高考的熱點(diǎn)，近兩年，高考對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系也進(jìn)行考查．主要以解答題的形式考查直線與圓錐曲線相交、相切，定點(diǎn)、定值、最值等問(wèn)題，難度中等或偏大．
【案例7】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)(－4，0)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來(lái)源]　本考題來(lái)源于教材P127習(xí)題3.2T8，來(lái)源于教材但難度遠(yuǎn)高于教材，屬于難題．
[試題評(píng)價(jià)]　本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查雙曲線的方程、性質(zhì)以及直線與雙曲線的位置關(guān)系與度量關(guān)系，考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及其有關(guān)概念的聯(lián)系，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
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