資源簡介

(共28張PPT)
章末重構拓展
第三章　圓錐曲線的方程
鞏固層·知識重構
類型1　圓錐曲線的定義及標準方程
1．圓錐曲線的定義是相應標準方程和幾何性質的“源”，對于圓錐曲線的有關問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略．
2．求圓錐曲線標準方程的常用方法
(1)直接法：動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關系，只需把這種關系“翻譯”成含x，y的等式就得到動點的軌跡方程．
(2)待定系數法：根據條件能確定曲線的類型，可設出方程形式，再根據條件確定待定的系數．
3．圓錐曲線定義的應用及標準方程的求解體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象的數學學科素養．
提升層·題型探究
【例1】　(1)已知F1，F2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　 B．4　　　 C．6　　 　 D．8
(2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，則雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－y2＝1 D．－＝1
√
√
(1)B　(2)C　[(1)由雙曲線的方程得a＝1，c＝
＝2．在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2+
|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos 60°，即()2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4．
(2)雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，
即點(－2，－1)在拋物線的準線上，又由拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－，則p＝4，
則拋物線的焦點為(2，0)，∴雙曲線的左頂點為(－2，0)，即a＝2．
點(－2，－1)在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y＝±x，
由雙曲線的性質，可得b＝1．則雙曲線的方程為－y2＝1．
故選C．]
類型2　圓錐曲線的幾何性質
1．圓錐曲線的幾何性質主要包括范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、漸近線等，通常考查由方程求性質，或由性質求方程．
2．求解離心率的三種方法
(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上都有關系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個參數，可以求其他的參數，這是基本且常用的
方法．
(2)方程法：建立參數a與c之間的齊次關系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法．
(3)幾何法：求與焦點三角形有關的離心率問題，根據平面幾何性質以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質，建立參數之間的關系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關系，使問題更形象、直觀．
3．圓錐曲線的性質的討論和應用充分體現了直觀想象和邏輯推理的數學素養．
【例2】　(1)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點．若△AF1B的周長為12，則C的方程為(　　)
A．＋y2＝1　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
√
(2)已知雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，過右焦點F作雙曲線在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線C的左、右支的交點分別為點A，B．
①求證：P在直線x＝上；
②求雙曲線C的離心率e的取值范圍；
③若|AP|＝3|PB|，求離心率e．
(1)D　[由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12．
所以a＝3．因為橢圓的離心率e＝＝，所以c＝2．
所以b2＝a2－c2＝5．所以橢圓C的方程為＋＝1．]
(2)[解]　①證明：由題意知，l：y＝－(x－c)，由y＝x及y＝－(x－c)，聯立解得點P的坐標為，所以點P在直線x＝上．
②由消去y并整理得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1·x2＝．
由于點A，B分別在兩支上，
所以x1·x2＝<0，所以b2>a2，即c2>2a2，所以e>．
③由題意知：P分AB所成的比λ＝3，所以＝，
即x1＋3x2＝．又由x1＋x2＝，
解得x1＝，x2＝，
從而·＝，
化簡得4a2＝b2，
所以e＝＝＝．
類型3　直線與圓錐曲線的位置關系
1．直線與圓錐曲線的位置關系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數解的個數來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判
別式．
2．借用直線與圓錐曲線的位置關系問題培養直觀想象和數學運算的學科素養．
【例3】　已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，C上的動點A到點F與到直線x＝－2的距離之和的最小值為3．
(1)求C的方程；
(2)過點A作直線交C于另一點B，過點A作C的切線l′，點P在l′上．從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立．
①點P在l上；
②直線PB與C相切；
③點F在直線AB上．
[解]　(1)設A(x0，y0)，x0≥0，由題意知準線l：x＝－，F，
由拋物線的定義可知點A到點F的距離等于點A到準線l的距離，
所以點A到點F的距離與到直線x＝－2的距離之和為x0＋＋x0＋2＝2x0＋2＋，
由題意知當x0＝0時，距離之和最小，所以2＋＝3，解得p＝2，
所以拋物線C的方程為y2＝4x．
(2)證明：由(1)可得F(1，0)．由題意可知直線l′的斜率不為0，
故設A(x1，y1)，直線l′：x－x1＝m(y－y1)，
因為點A在拋物線C上，所以＝4x1，
聯立化簡得y2－4my＋4my1－4x1＝0，
因為直線l′與拋物線C相切，所以Δ＝16m2－16my1＋16x1＝0，
即Δ＝16m2－16my1＋＝4(2m－y1)2＝0，解得m＝，
所以直線l′：x－x1＝(y－y1)，由＝4x1，
則直線l′方程為y1y＝2(x＋x1)．
若選擇①②作為條件，證明③成立：
設B(x2，y2)，y2≠y1≠0，同理可得直線PB：y2y＝2(x＋x2)，
設P(－1，t)，點P在直線l′上，P在PB上，
則ty1＝2(－1＋x1)，ty2＝2(－1＋x2)，所以點A，B在直線ty＝2(x－1)上，
因為F(1，0)，代入AB方程中成立，所以點F在直線AB上，即③成立．
若選擇②③作為條件，證明①成立：
設B(x2，y2)，y2≠y1≠0，同理可得直線PB：y2y＝2(x＋x2)，
聯立即解得xP＝．
設直線AB：x＝ty＋1，聯立得y2－4ty－4＝0，
則Δ＝16t2＋16＞0，y1y2＝－4，所以xP＝＝－1，
所以點P在l上，即①成立．
若選擇①③作為條件，證明②成立：
設B(x2，y2)，y2≠y1≠0，若直線PB與C相切，
則直線PB：y2y＝2(x＋x2)，在直線l′：y1y＝2(x＋x1)中，令x＝－1，
得y＝，所以P．
設直線AB：x＝ty＋1，聯立得y2－4ty－4＝0，
則Δ＝16t2＋16＞0，y1y2＝－4，則y2＝－，所以B，
所以kPB＝＝＝＝
＝－＝－×＝，
則直線PB：y－＝(x＋1)，又y1y2＝－＝4x2，所以PB：y2y＝2(x＋x2)，所以直線PB與C相切，即②成立．
類型4　圓錐曲線的綜合問題
1．圓錐曲線的綜合問題包括位置關系的證明及定點、定值、最值、探索性問題，解決的基本思路是利用代數法，通過直線與圓錐曲線的方程求解．
2．本類型題目在考查時通常第一問涉及定義、方程以及幾何性質的求解，較為簡單；第二問綜合性強，計算量大，較為復雜．
3．通過圓錐曲線綜合問題的解決，培養學生邏輯推理和數學運算的學科素養．
【例4】　已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F2，上、下頂點分別為B1，B2，且四邊形B1F1B2F2的面積為2．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知點M，直線l1：y＝kx＋m(km≠0)與橢圓C交于P，Q兩點，與y軸交于點N，若＝，求△NF1F2面積的取值
范圍．
[解]　(1)由橢圓的離心率為，可設a＝2t，c＝t(t＞0)，則b＝t，四個頂點構成的四邊形為菱形，
其面積為S＝·2c·2b＝·2t·2t＝2t2＝2，即t＝1，
所以橢圓的方程為＋＝1．
(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯立
消去y，可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
則m2＜3＋4k2，x1＋x2＝，x1x2＝，
設PQ的中點為H，則xH＝＝，所以H，
因為＝所以·k＝－1，
所以－＝，即＝－，所以m＝－(3＋4k2)，
又N(0，m)，所以＝＝|m|＝(3＋4k2)＞×3＝，
又m2＜3＋4k2，所以m2＜3，所以，
所以＜，
所以△NF1F2面積的取值范圍為．
章末綜合測評(三)
點擊頁面進入…
圓錐曲線的方程
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS類型1　圓錐曲線的定義及標準方程
1．圓錐曲線的定義是相應標準方程和幾何性質的“源”，對于圓錐曲線的有關問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略．
2．求圓錐曲線標準方程的常用方法
(1)直接法：動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關系，只需把這種關系“翻譯”成含x，y的等式就得到動點的軌跡方程．
(2)待定系數法：根據條件能確定曲線的類型，可設出方程形式，再根據條件確定待定的系數．
3．圓錐曲線定義的應用及標準方程的求解體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象的數學學科素養．
【例1】　(1)已知F1，F2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8
(2)已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，則雙曲線的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型2　圓錐曲線的幾何性質
1．圓錐曲線的幾何性質主要包括范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、漸近線等，通常考查由方程求性質，或由性質求方程．
2．求解離心率的三種方法
(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上都有關系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個參數，可以求其他的參數，這是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立參數a與c之間的齊次關系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法．
(3)幾何法：求與焦點三角形有關的離心率問題，根據平面幾何性質以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質，建立參數之間的關系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關系，使問題更形象、直觀．
3．圓錐曲線的性質的討論和應用充分體現了直觀想象和邏輯推理的數學素養．
【例2】　(1)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點．若△AF1B的周長為12，則C的方程為(　　)
A．＋y2＝1　 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知雙曲線C的方程為＝1(a>0，b>0)，過右焦點F作雙曲線在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線C的左、右支的交點分別為點A，B．
①求證：P在直線x＝上；
②求雙曲線C的離心率e的取值范圍；
③若|AP|＝3|PB|，求離心率e．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型3　直線與圓錐曲線的位置關系
1．直線與圓錐曲線的位置關系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數解的個數來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式．
2．借用直線與圓錐曲線的位置關系問題培養直觀想象和數學運算的學科素養．
【例3】　已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，C上的動點A到點F與到直線x＝－2的距離之和的最小值為3．
(1)求C的方程；
(2)過點A作直線交C于另一點B，過點A作C的切線l′，點P在l′上．從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立．
①點P在l上；
②直線PB與C相切；
③點F在直線AB上．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型4　圓錐曲線的綜合問題
1．圓錐曲線的綜合問題包括位置關系的證明及定點、定值、最值、探索性問題，解決的基本思路是利用代數法，通過直線與圓錐曲線的方程求解．
2．本類型題目在考查時通常第一問涉及定義、方程以及幾何性質的求解，較為簡單；第二問綜合性強，計算量大，較為復雜．
3．通過圓錐曲線綜合問題的解決，培養學生邏輯推理和數學運算的學科素養．
【例4】　已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F2，上、下頂點分別為B1，B2，且四邊形B1F1B2F2的面積為2．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知點M，直線l1：y＝kx＋m(km≠0)與橢圓C交于P，Q兩點，與y軸交于點N，若＝，求△NF1F2面積的取值范圍．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
5/5章末綜合測評(三)　圓錐曲線的方程
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為8，離心率為2，則該雙曲線的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的頂點為O，經過點A(x0，2)，且F為拋物線C的焦點，若|AF|＝3|OF|，則p＝(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
3．雙曲線＝1與橢圓＝1的焦點相同，則a＝(　　)
A．1　　　B．－2　　　C．1或－2　　　D．2
4．已知F1，F2是橢圓C：＝1的兩個焦點，點P在C上，則|PF1|2＋|PF2|2的取值范圍是(　　)
A．[1，16] B．[4，10]
C．[8，10] D．[8，16]
5．(2024·天津卷)已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2．P是雙曲線右支上一點，且直線PF2的斜率為2，△PF1F2是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
6．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)為焦點的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為(　　)
A．3　　　B．2　　　C．2　　　D．4
7．如圖，在平面直角坐標系Oxy中，已知橢圓C1：＝1(a1＞b1＞0)與雙曲線C2：＝1(a2＞0，b2＞0)有相同的焦點F1，F2，C2的漸近線分別交C1于A，C和B，D四點，若多邊形ABF2CDF1為正六邊形，則C1與C2的離心率之和為(　　)
A．－1 B．2
C．＋1 D．2
8．在矩形ABB′A′中，|A′A|＝8，|AB|＝6，把邊AB分成n等份，在B′B的延長線上，以B′B的n分之一為單位長度連續取點．過邊AB上各分點和點A′作直線，過B′B延長線上的對應分點和點A作直線，這兩條直線的交點為P，如圖所示，建立平面直角坐標系，則點P滿足的方程可能是(　　)
A．＝1(x≥4，y≥0) B．＝1(x≥8，y≥0)
C．＝1(x≥4，y≥0) D．＝1(x≥8，y≥0)
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．若方程＝1所表示的曲線為C，則下面命題中正確的是(　　)
A．若1C．若C為雙曲線，則焦距為4 D．若C為焦點在y軸上的橢圓，則310．已知曲線C上任意一點到直線x＝－4的距離比它到點F(2，0)的距離大2，則下列結論正確的是(　　)
A．曲線C的方程為y2＝8x　
B．若曲線C上的一點A到點F的距離為4，則點A的縱坐標是4
C．已知曲線C上的兩點M，N到點F的距離之和為10，則線段MN的中點橫坐標是5
D．已知A(3，2)，P是曲線C上的動點，則|PA|＋|PF|的最小值為5
11．如圖，雙曲線E：x2－y2＝4的左、右焦點分別為F1，F2，右支上有點M，△F1MF2的面積為4，則(　　)
A．雙曲線E的漸近線斜率為±1 B．|MF1|－|MF2|＝2
C．∠F1MF2＝90° D．△F1MF2外接圓半徑為2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知直線l：y＝kx－2與拋物線C：x2＝8y交于A，B兩個不同的點，P為AB的中點，F為C的焦點，直線l與y軸交于點Q，則·的取值范圍是________．
13．已知焦點在y軸上的橢圓＝1被直線3x－y－2＝0截得的弦的中點橫坐標為，則正數a＝________．
14．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過焦點F與C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點，且|DE|＝，則直線l的方程為________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(13分)已知點F1(－1，0)，F2(1，0)，動點P到點F1，F2的距離之和等于4．
(1)試判斷點P的軌跡C的形狀，并寫出其方程；
(2)若曲線C與直線m：y＝x－1相交于A，B兩點，求弦AB的長．
16．(15分)已知拋物線C：y2＝－2px(p＞0)，A(－6，y0)是拋物線C上的點，且|AF|＝10．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知直線l交拋物線C于M，N兩點，且MN的中點為(－4，2)，求直線l的方程．
17．(15分)已知雙曲線E：x2－＝1(b>0)，點P(2，3)在E上．
(1)求E的方程；
(2)過點Q(0，1)的直線l交E于不同的兩點A，B(均異于點P)，求直線PA，PB的斜率之和．
18．(17分)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點M在拋物線上，且點M的橫坐標為4，|MF|＝5．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過焦點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，求|AB|＋|DE|的最小值．
19．(17分)(2024·全國甲卷)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的右焦點為F，點M在C上，且MF⊥x軸．
(1)求C的方程；
(2)過點P(4，0)的直線與C交于A，B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q，證明：AQ⊥y軸．
4/5類型1　圓錐曲線的定義及標準方程
1．圓錐曲線的定義是相應標準方程和幾何性質的“源”，對于圓錐曲線的有關問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略．
2．求圓錐曲線標準方程的常用方法
(1)直接法：動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關系，只需把這種關系“翻譯”成含x，y的等式就得到動點的軌跡方程．
(2)待定系數法：根據條件能確定曲線的類型，可設出方程形式，再根據條件確定待定的系數．
3．圓錐曲線定義的應用及標準方程的求解體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象的數學學科素養．
【例1】　(1)已知F1，F2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8
(2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，則雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．－＝1
(1)B　(2)C　[(1)由雙曲線的方程得a＝1，c＝＝2．在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即()2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4．
(2)雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，
即點(－2，－1)在拋物線的準線上，又由拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－，則p＝4，
則拋物線的焦點為(2，0)，∴雙曲線的左頂點為(－2，0)，即a＝2．
點(－2，－1)在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y＝±x，
由雙曲線的性質，可得b＝1．則雙曲線的方程為－y2＝1．故選C．]
類型2　圓錐曲線的幾何性質
1．圓錐曲線的幾何性質主要包括范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、漸近線等，通常考查由方程求性質，或由性質求方程．
2．求解離心率的三種方法
(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上都有關系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個參數，可以求其他的參數，這是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立參數a與c之間的齊次關系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法．
(3)幾何法：求與焦點三角形有關的離心率問題，根據平面幾何性質以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質，建立參數之間的關系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關系，使問題更形象、直觀．
3．圓錐曲線的性質的討論和應用充分體現了直觀想象和邏輯推理的數學素養．
【例2】　(1)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點．若△AF1B的周長為12，則C的方程為(　　)
A．＋y2＝1　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
(2)已知雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，過右焦點F作雙曲線在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線C的左、右支的交點分別為點A，B．
①求證：P在直線x＝上；
②求雙曲線C的離心率e的取值范圍；
③若|AP|＝3|PB|，求離心率e．
(1)D　[由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12．
所以a＝3．因為橢圓的離心率e＝＝，所以c＝2．
所以b2＝a2－c2＝5．所以橢圓C的方程為＋＝1．]
(2)[解]　①證明：由題意知，l：y＝－(x－c)，由y＝x及y＝－(x－c)，聯立解得點P的坐標為，所以點P在直線x＝上．
②由消去y并整理得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1·x2＝．
由于點A，B分別在兩支上，
所以x1·x2＝<0，所以b2>a2，即c2>2a2，所以e>．
③由題意知：P分AB所成的比λ＝3，
所以＝，
即x1＋3x2＝．
又由x1＋x2＝，
解得x1＝，x2＝，
從而·＝，
化簡得4a2＝b2，
所以e＝＝＝．
類型3　直線與圓錐曲線的位置關系
1．直線與圓錐曲線的位置關系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數解的個數來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式．
2．借用直線與圓錐曲線的位置關系問題培養直觀想象和數學運算的學科素養．
【例3】　已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，C上的動點A到點F與到直線x＝－2的距離之和的最小值為3．
(1)求C的方程；
(2)過點A作直線交C于另一點B，過點A作C的切線l′，點P在l′上．從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立．
①點P在l上；
②直線PB與C相切；
③點F在直線AB上．
[解]　(1)設A(x0，y0)，x0≥0，由題意知準線l：x＝－，F，
由拋物線的定義可知點A到點F的距離等于點A到準線l的距離，
所以點A到點F的距離與到直線x＝－2的距離之和為x0＋＋x0＋2＝2x0＋2＋，
由題意知當x0＝0時，距離之和最小，所以2＋＝3，解得p＝2，
所以拋物線C的方程為y2＝4x．
(2)證明：由(1)可得F(1，0)．由題意可知直線l′的斜率不為0，
故設A(x1，y1)，直線l′：x－x1＝m(y－y1)，
因為點A在拋物線C上，所以＝4x1，
聯立化簡得y2－4my＋4my1－4x1＝0，
因為直線l′與拋物線C相切，所以Δ＝16m2－16my1＋16x1＝0，
即Δ＝16m2－16my1＋＝4(2m－y1)2＝0，解得m＝，
所以直線l′：x－x1＝(y－y1)，由＝4x1，
則直線l′方程為y1y＝2(x＋x1)．
若選擇①②作為條件，證明③成立：
設B(x2，y2)，y2≠y1≠0，同理可得直線PB：y2y＝2(x＋x2)，
設P(－1，t)，點P在直線l′上，P在PB上，
則ty1＝2(－1＋x1)，ty2＝2(－1＋x2)，所以點A，B在直線ty＝2(x－1)上，
因為F(1，0)，代入AB方程中成立，所以點F在直線AB上，即③成立．
若選擇②③作為條件，證明①成立：
設B(x2，y2)，y2≠y1≠0，同理可得直線PB：y2y＝2(x＋x2)，
聯立即解得xP＝．
設直線AB：x＝ty＋1，聯立得y2－4ty－4＝0，
則Δ＝16t2＋16＞0，y1y2＝－4，所以xP＝＝－1，
所以點P在l上，即①成立．
若選擇①③作為條件，證明②成立：
設B(x2，y2)，y2≠y1≠0，若直線PB與C相切，
則直線PB：y2y＝2(x＋x2)，在直線l′：y1y＝2(x＋x1)中，令x＝－1，
得y＝，所以P．
設直線AB：x＝ty＋1，聯立得y2－4ty－4＝0，
則Δ＝16t2＋16＞0，y1y2＝－4，
則y2＝－，所以B，
所以kPB＝＝＝＝＝－＝－×＝，
則直線PB：y－＝(x＋1)，又y1y2＝－＝4x2，所以PB：y2y＝2(x＋x2)，所以直線PB與C相切，即②成立．
類型4　圓錐曲線的綜合問題
1．圓錐曲線的綜合問題包括位置關系的證明及定點、定值、最值、探索性問題，解決的基本思路是利用代數法，通過直線與圓錐曲線的方程求解．
2．本類型題目在考查時通常第一問涉及定義、方程以及幾何性質的求解，較為簡單；第二問綜合性強，計算量大，較為復雜．
3．通過圓錐曲線綜合問題的解決，培養學生邏輯推理和數學運算的學科素養．
【例4】　已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F2，上、下頂點分別為B1，B2，且四邊形B1F1B2F2的面積為2．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知點M，直線l1：y＝kx＋m(km≠0)與橢圓C交于P，Q兩點，與y軸交于點N，若＝，求△NF1F2面積的取值范圍．
[解]　(1)由橢圓的離心率為，可設a＝2t，c＝t(t＞0)，則b＝t，四個頂點構成的四邊形為菱形，
其面積為S＝·2c·2b＝·2t·2t＝2t2＝2，即t＝1，
所以橢圓的方程為＋＝1．
(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯立
消去y，可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
則m2＜3＋4k2，x1＋x2＝，x1x2＝，
設PQ的中點為H，則xH＝＝，所以H，
因為＝
所以·k＝－1，
所以－＝，即＝－，所以m＝－(3＋4k2)，
又N(0，m)，所以＝＝|m|＝(3＋4k2)＞×3＝，
又m2＜3＋4k2，所以m2＜3，所以，
所以＜，
所以△NF1F2面積的取值范圍為．
章末綜合測評(三)　圓錐曲線的方程
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為8，離心率為2，則該雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B　[由題意可設雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
因為雙曲線的焦距為8，則2c＝8，所以c＝4，
又雙曲線的離心率為＝2，所以a＝2，則b2＝c2－a2＝16－4＝12，
所以雙曲線的標準方程為－＝1，故選B．]
2．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的頂點為O，經過點A(x0，2)，且F為拋物線C的焦點，若|AF|＝3|OF|，則p＝(　　)
A． B．1 C． D．2
C　[由|AF|＝3＝，所以x0＝p，
則4＝2p2，解得p＝．故選C．]
3．雙曲線－＝1與橢圓＋＝1的焦點相同，則a＝(　　)
A．1 B．－2 C．1或－2 D．2
A　[因為雙曲線－＝1的焦點在x軸上，
所以橢圓＋＝1的焦點在x軸上，
依題意得解得a＝1．]
4．已知F1，F2是橢圓C：＋＝1的兩個焦點，點P在C上，則|PF1|2＋|PF2|2的取值范圍是(　　)
A．[1，16] B．[4，10]
C．[8，10] D．[8，16]
C　[已知F1，F2是橢圓C：＋＝1的兩個焦點，點P在C上，
設|PF1|＝t，則t∈[1，3]，則|PF2|＝4－t，
則|PF1|2＋|PF2|2＝t2＋(4－t)2＝2(t－2)2＋8，又t∈[1，3]，
則|PF1|2＋|PF2|2∈[8，10]，故選C．]
5．(2024·天津卷)已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2．P是雙曲線右支上一點，且直線PF2的斜率為2，△PF1F2是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C　[如圖，由題可知，點P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，設|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝，
因為∠F1PF2＝90°，所以＝－1，則，即tan θ2＝，sin θ2＝＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，
則由|PF2|＝m得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，由·2m·m＝8得m＝2，
則|PF2|＝2＝4＝2c＝，
由雙曲線的定義可得：|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，
所以雙曲線的方程為＝1．故選C．]
6．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)為焦點的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為(　　)
A．3 B．2 C．2 D．4
C　[設橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，由題意得a2＝b2＋4．
由消去x，
得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋b2(16－a2)＝0．
∵橢圓與直線有且僅有一個交點，
∴Δ＝(8b2)2－4(a2＋3b2)·b2(16－a2)＝4a2b2·(a2＋3b2－16)＝0，∴a2＝7，從而長軸長為2．]
7．如圖，在平面直角坐標系Oxy中，已知橢圓C1：＋＝1(a1＞b1＞0)與雙曲線C2：－＝1(a2＞0，b2＞0)有相同的焦點F1，F2，C2的漸近線分別交C1于A，C和B，D四點，若多邊形ABF2CDF1為正六邊形，則C1與C2的離心率之和為(　　)
A．－1 B．2 C．＋1 D．2
C　[由題意可知，|AB|＝|OF1|＝|AF1|＝c．
∵多邊形ABF2CDF1為正六邊形，∴∠BOF2＝60°，∴＝tan 60°＝，∴雙曲線C2的離心率e2＝＝＝2．
連接AF2(圖略)，則|AF2|＝＝，
又∵＝c，∴|AF1|＋|AF2|＝c＋c＝2a1，
∴橢圓C1的離心率e1＝＝＝－1，
∴C1與C2的離心率之和為2＋－1＝＋1，故選C．]
8．在矩形ABB′A′中，|A′A|＝8，|AB|＝6，把邊AB分成n等份，在B′B的延長線上，以B′B的n分之一為單位長度連續取點．過邊AB上各分點和點A′作直線，過B′B延長線上的對應分點和點A作直線，這兩條直線的交點為P，如圖所示，建立平面直角坐標系，則點P滿足的方程可能是(　　)
A．＋＝1(x≥4，y≥0)
B．＋＝1(x≥8，y≥0)
C．－＝1(x≥4，y≥0)
D．－＝1(x≥8，y≥0)
C　[設P(x0，y0)，則x0≥4，y0≥0，根據題意，易得直線lA′P：y＝(x＋4)，直線lAP：y＝(x－4)．
由lA′P：y＝(x＋4)，令x＝4，得y＝，因此邊AB上各分點坐標為．
由lAP：y＝(x－4)，令y＝6，得x＝＋4，因此B′B延長線上的對應分點坐標為．
結合題意，可知＝，化簡得－＝1．
因此點P滿足的方程為－＝1(x≥4，y≥0)．
故選C．]
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．若方程＋＝1所表示的曲線為C，則下面命題中正確的是(　　)
A．若1B．若t<1，則C為雙曲線
C．若C為雙曲線，則焦距為4
D．若C為焦點在y軸上的橢圓，則3BD　[對于A，若方程＋＝1表示橢圓，
則滿足
解得1當t＝3時，此時方程為x2＋y2＝2表示圓，所以A不正確；
對于B，當t<1時，5－t>0，t－1<0，此時表示焦點在x軸上的雙曲線，所以B正確；
對于C，當t＝0時，方程－＝1所表示的曲線為雙曲線，此時雙曲線的焦距為2，所以C不正確；
若方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則滿足
解得3所以D正確．
故選BD．]
10．已知曲線C上任意一點到直線x＝－4的距離比它到點F(2，0)的距離大2，則下列結論正確的是(　　)
A．曲線C的方程為y2＝8x　
B．若曲線C上的一點A到點F的距離為4，則點A的縱坐標是4
C．已知曲線C上的兩點M，N到點F的距離之和為10，則線段MN的中點橫坐標是5
D．已知A(3，2)，P是曲線C上的動點，則|PA|＋|PF|的最小值為5
AD　[由題可知，曲線C上任意一點到直線x＝－2的距離與到點F(2，0)的距離相等，
所以曲線C的軌跡是以F為焦點的拋物線，方程為y2＝8x，故A正確；
由拋物線的定義，A到直線x＝－2的距離為4，則A點的橫坐標為2，
代入拋物線方程得縱坐標為±4，故B錯誤；
設M，N的橫坐標為x1，x2，
由拋物線定義得：x1＋2＋x2＋2＝10，即x1＋x2＝6，
所以線段MN的中點的橫坐標為3，故C錯誤；
設點P到準線的距離為d，由拋物線的定義，
有|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥3－(－2)＝5，故D正確．故選AD．]
11．如圖，雙曲線E：x2－y2＝4的左、右焦點分別為F1，F2，右支上有點M，△F1MF2的面積為4，則(　　)
A．雙曲線E的漸近線斜率為±1
B．|MF1|－|MF2|＝2
C．∠F1MF2＝90°
D．△F1MF2外接圓半徑為2
ACD　[因為雙曲線E：x2－y2＝4可化為－＝1，
所以a＝2，b＝2，c＝2＝2c＝4，F1(－2，0)，F2(2，0)，
則雙曲線E的漸近線方程為y＝±x，
即斜率為±1，故A正確；
由雙曲線的定義可得|MF1|－|MF2|＝2a＝4，故B錯誤；
不妨設M(x0，y0)(x0，y0＞0)，因為△F1MF2的面積為4，
所以＝＝×4×y0＝4，則y0＝，
又＝4，則x0＝，故M(，)，
所以MF1＝(－2－，－)，MF2＝(2－，－)，
則MF1·MF2＝(－2－)(2－)＋(－)2＝0，
所以MF1⊥MF2，則∠F1MF2＝90°，故C正確；
因為O為F1F2的中點，∠F1MF2＝90°，所以O為△F1MF2外接圓的圓心，
所以△F1MF2外接圓半徑為|OF1|＝c＝2，故D正確．故選ACD．]
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知直線l：y＝kx－2與拋物線C：x2＝8y交于A，B兩個不同的點，P為AB的中點，F為C的焦點，直線l與y軸交于點Q，則的取值范圍是________．
(16，＋∞)　[拋物線C：x2＝8y的焦點F(0，2)，
直線l：y＝kx－2與y軸的交點Q(0，－2)，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點P，聯立整理可得：x2－8kx＋16＝0，
Δ＝64k2－4×16＞0，即k＞1或k＜－1，x1＋x2＝8k，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝8k2－4，即P(4k，4k2－2)，則·＝(0，4)·(4k，4k2)＝16k2＞16．]
13．已知焦點在y軸上的橢圓＋＝1被直線3x－y－2＝0截得的弦的中點橫坐標為，則正數a＝________．
　[由題意焦點在y軸上的橢圓＋＝1(a＞)，
把直線方程y＝3x－2代入橢圓方程整理得(a2＋18)x2－24x＋2(4－a2)＝0．
設弦的兩個端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數的關系可得，x1＋x2＝，
橢圓＋＝1被直線3x－y－2＝0截得的弦的中點橫坐標為，
由中點坐標公式可得×＝，∴a2＝6，可得a＝．]
14．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過焦點F與C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點，且|DE|＝，則直線l的方程為________．
2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0　[設|AB|＝2r(2r≥4)，AB的中點為M，MN⊥y軸于點N，過A，B作準線x＝－1的垂線，垂足分別為A1，B1，如圖：
由拋物線的定義知
2(|MN|＋1)＝|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝2r，故|MN|＝r－1，所以|DE|＝2＝r，
即16r2－50r＋25＝0，解得r＝或r＝(舍去)，故M的橫坐標為，
設直線l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
則x1＋x2＝＝3，解得k＝±2，故直線l的方程為2x±y－2＝0．]
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(13分)已知點F1(－1，0)，F2(1，0)，動點P到點F1，F2的距離之和等于4．
(1)試判斷點P的軌跡C的形狀，并寫出其方程；
(2)若曲線C與直線m：y＝x－1相交于A，B兩點，求弦AB的長．
[解]　(1)因為|PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|＝2，所以由橢圓的定義可知點P的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓，
設其方程為＋＝1(a＞b＞0)，
則2a＝4，c＝1，則a＝2，b＝＝，
所以點P的軌跡方程為＋＝1．
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立消去y得7x2－8x－8＝0，Δ＞0，
則x1＋x2＝，x1x2＝－．
所以|AB|＝·＝．
16．(15分)已知拋物線C：y2＝－2px(p＞0)，A(－6，y0)是拋物線C上的點，且|AF|＝10．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知直線l交拋物線C于M，N兩點，且MN的中點為(－4，2)，求直線l的方程．
[解]　(1)因為點A(－6，y0)在拋物線C上，
所以|AF|＝6＋＝10，
解得p＝8，故拋物線C的方程為y2＝－16x．
(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則所以＝16(x2－x1)，化簡為(y1－y2)(y1＋y2)＝－16(x1－x2)，又因為MN的中點為(－4，2)，所以y1＋y2＝4，
則＝－4，故直線l的斜率為－4，所以直線l的方程為y－2＝－4(x＋4)，
整理得4x＋y＋14＝0．
17．(15分)已知雙曲線E：x2－＝1(b>0)，點P(2，3)在E上．
(1)求E的方程；
(2)過點Q(0，1)的直線l交E于不同的兩點A，B(均異于點P)，求直線PA，PB的斜率之和．
[解]　(1)因為點P(2，3)在E上，所以4－＝1，得b2＝3．
所以雙曲線E的方程為x2－＝1．
(2)過點Q(0，1)的直線l的斜率顯然存在，設l的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立l的方程和雙曲線E的方程并整理得(3－k2)x2－2kx－4＝0，依題意3－k2≠0，且Δ>0，所以k2<4且k2≠3，又P l，所以k≠1，
因此，可得x1＋x2＝，x1x2＝．
所以kPA＋kPB＝＋
＝＋
＝2k＋(2k－2)
＝2k＋
＝2k＋
＝2k＋3－2k＝3．
所以直線PA，PB的斜率之和為3．
18．(17分)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點M在拋物線上，且點M的橫坐標為4，|MF|＝5．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過焦點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，求|AB|＋|DE|的最小值．
[解]　(1)因為點M在拋物線上，且點M的橫坐標為4，|MF|＝5，
所以|MF|＝4＋＝5，解得p＝2，則拋物線C的方程為y2＝4x．
(2)不妨設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，直線l1的方程為y＝k1(x－1)，聯立消去y并整理得＝0，
此時Δ＝2－＋16＞0，
由根與系數的關系得x1＋x2＝－＝，同理得x3＋x4＝，
因為直線l1，l2相互垂直，所以k1k2＝－1，
所以|AB|＋|DE|＝x1＋x2＋x3＋x4＋2p＝＋＋4＝＋＋8≥2＋8＝16，
當且僅當k1＝－k2＝1或k1＝－k2＝－1時，等號成立，故|AB|＋|DE|的最小值為16．
19．(17分)(2024·全國甲卷)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的右焦點為F，點M在C上，且MF⊥x軸．
(1)求C的方程；
(2)過點P(4，0)的直線與C交于A，B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q，證明：AQ⊥y軸．
[解]　(1)設F(c，0)，由題設有c＝1且，故，故a＝2，故b＝，
故橢圓方程為＝1．
(2)證明：直線AB的斜率必定存在，設AB：y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
故Δ＝1 024k4－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，
故－，
又x1＋x2＝，
而N，故直線BN：y＝，
故yQ＝，
所以y1－yQ＝y1＋
＝
＝
＝k
＝k
＝k＝0，
故y1＝yQ，即AQ⊥y軸．
18/18

展開更多......

收起↑