資源簡介

探源1　線面位置關系問題
[命題點分析]　高考卷中的對線、面的平行和垂直問題，一般不用向量法求解，但利用向量的坐標運算證明線、面的平行與垂直可以將邏輯推理轉化為代數運算，降低思維難度，主要以解答題的形式呈現，難度中等．主要考查直觀想象學科素養．
【案例1】　(2022·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，BC的中點，則(　　)
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
A　[在正方體ABCD A1B1C1D1中，
AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，
又EF 平面ABCD，所以EF⊥DD1，
因為E，F分別為AB，BC的中點，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，
又BD∩DD1＝D，
所以EF⊥平面BDD1，
又EF 平面B1EF，
所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；
如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，設AB＝2，
則B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，
A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
則＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，2)，
＝(0，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，0)，
設平面B1EF的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
則有可取m＝(2，2，－1)，
同理可得平面A1BD的一個法向量為n1＝(1，－1，－1)，
平面A1AC的一個法向量為n2＝(1，1，0)，
平面A1C1D的一個法向量為n3＝(1，1，－1)，則m·n1＝2－2＋1＝1≠0，
所以平面B1EF與平面A1BD不垂直，故B錯誤；
因為m與n2不平行，
所以平面B1EF與平面A1AC不平行，故C錯誤；
因為m與n3不平行，
所以平面B1EF與平面A1C1D不平行，故D錯誤，
故選A．]
[考題來源]　本考題來源于教材P33練習T3和P43習題1.4T12的綜合，高考題和教材習題高度一致，高考題把教材中兩個練習題綜合起來考查，既考查了平面與平面的垂直，又考查了平面與平面的平行，與教材習題的命題角度一致，難度也基本相當．本題若選擇幾何法解決，則需利用線面位置關系的判定和性質進行繁雜的論證；選擇向量法解決，則只需建立空間直角坐標系，用坐標運算解題即可，體現了向量方法在研究幾何問題中的簡潔之美．
[試題評價]　試題以正方體為載體，考查線面位置關系的證明，題目難度一般，屬于對基礎知識及基本方法的考查，但需要具備邏輯推理、直觀想象、數學運算等基本數學素養．由此可見，平時學習時既要重視基本知識點，又要重視數學思想方法，更需要逐步提升自己的數學素養．
探源2　直線和平面所成的角的問題
[命題點分析]　直線和平面所成的角是高考的重點，主要以空間幾何體為載體考查線面關系及直線和平面所成的角．求直線和平面所成的角一般用向量法，主要以解答題的形式呈現，有時也出現在選擇題、填空題中，難度中等．考查直觀想象、數學運算素養．
【案例2】　(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距離為1．
(1)證明：A1C＝AC；
(2)已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．
[解]　(1)證明：過A1作A1D⊥CC1，垂足為D，
∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵A1C，AC 平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，
又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，
∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1．
由已知條件易證△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，
∴D為CC1的中點，又A1D⊥CC1，
∴A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，
∴A1C＝AC．
(2)連接A1B，由(1)易證A1B＝A1B1，故取BB1的中點F，連接A1F，
∵AA1與BB1的距離為2，∴A1F＝2，
又A1D＝1且A1C＝AC，
∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝．
建立空間直角坐標系C-xyz如圖所示，
則C(0，0，0)，A，BC1，
∴＝＝＝．
設平面BCC1B1的法向量為n＝(x，y，z)，
則即取x＝1，則y＝0，z＝1，
∴平面BCC1B1的一個法向量為n＝(1，0，1)．
設AB1與平面BCC1B1所成角為θ，
則sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝．
∴AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為．
[考題來源]　本題源于教材P49復習參考題1T14，兩者均考查了直線與平面所成的角的問題及利用向量法解決空間幾何問題的方法．難度稍高于教材練習題．
[試題評價]　試題考查了直線、平面的位置關系，直線與平面所成角的相關問題，題目難度中等，考查向量法解決線面角的正弦值的方法，做題時需要將其轉化為求直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦值求解．
探源3　平面和平面的夾角(或二面角)的問題
[命題點分析]　二面角是每年高考的必考考點，主要以空間幾何體為載體考查線面關系及二面角．求二面角的大小一般用向量法求解，通過坐標運算實現問題的解決，可以有效避免較復雜的邏輯推理過程，但是向量法往往對學生的運算能力要求較高．試題主要以解答題的形式呈現，難度中等．考查直觀想象、數學運算素養．
【案例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
(1)證明：B2C2∥A2D2；
(2)點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P．
[解]　(1)證明：以點C為坐標原點，CD，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)，
所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)，所以，所以B2C2∥A2D2．
(2)設BP＝n(0≤n≤4)，則P(0，2，n)，
所以＝(2，0，1－n)，＝(0，－2，3－n)，
設平面PA2C2的法向量為a＝(x1，y1，z1)，
所以
則
令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2)．
設平面A2C2D2的法向量為b＝(x2，y2，z2)，又＝(－2，－2，2)，＝(0，－2，1)，所以
則
令y2＝1，得b＝(1，1，2)．
所以|cos 150°|＝|cos 〈a，b〉|＝，
整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3，
所以BP＝1或BP＝3，
所以B2P＝1．
[考題來源]　本題來源于教材P49復習參考題1T11，兩題均考查了空間中的位置關系和二面角，難度較教材有所增加．
[試題評價]　試題以考生熟悉的正四棱柱為載體，構建空間幾何體，使考生感覺到所給的空間圖形“似曾相識”不相認，平凡之中賦新意，試題通過考查立體幾何中的定理、空間中直線與直線的位置關系、二面角公式的應用以及方程思想，考查考生的直觀想象、邏輯推理等學科素養，難度適中．
1/6(共22張PPT)
高考命題探源(一)
第一章 空間向量與立體幾何
[命題點分析]　高考卷中的對線、面的平行和垂直問題，一般不用向量法求解，但利用向量的坐標運算證明線、面的平行與垂直可以將邏輯推理轉化為代數運算，降低思維難度，主要以解答題的形式呈現，難度中等．主要考查直觀想象學科素養．
探源1　線面位置關系問題
【案例1】　(2022·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，BC的中點，則(　　)
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
√
A　 [在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，
又EF 平面ABCD，所以EF⊥DD1，
因為E，F分別為AB，BC的中點，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，
所以EF⊥平面BDD1，又EF 平面B1EF，
所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；
如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，設AB＝2，
則B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
則＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，
＝(2，2，0)，＝(2，0，2)，
＝(0，0，2)，＝(－2，2，0)，
＝(－2，2，0)，
設平面B1EF的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
則有可取m＝(2，2，－1)，
同理可得平面A1BD的一個法向量為n1＝(1，－1，－1)，
平面A1AC的一個法向量為n2＝(1，1，0)，
平面A1C1D的一個法向量為n3＝(1，1，－1)，則m·n1＝2－2＋1＝1≠0，
所以平面B1EF與平面A1BD不垂直，故B錯誤；因為m與n2不平行，
所以平面B1EF與平面A1AC不平行，故C錯誤；因為m與n3不平行，
所以平面B1EF與平面A1C1D不平行，故D錯誤，故選A．]
[考題來源]　本考題來源于教材P33練習T3和P43習題1.4T12的綜合，高考題和教材習題高度一致，高考題把教材中兩個練習題綜合起來考查，既考查了平面與平面的垂直，又考查了平面與平面的平行，與教材習題的命題角度一致，難度也基本相當．本題若選擇幾何法解決，則需利用線面位置關系的判定和性質進行繁雜的論證；選擇向量法解決，則只需建立空間直角坐標系，用坐標運算解題即可，體現了向量方法在研究幾何問題中的簡潔之美．
[試題評價]　試題以正方體為載體，考查線面位置關系的證明，題目難度一般，屬于對基礎知識及基本方法的考查，但需要具備邏輯推理、直觀想象、數學運算等基本數學素養．由此可見，平時學習時既要重視基本知識點，又要重視數學思想方法，更需要逐步提升自己的數學素養．
[命題點分析]　直線和平面所成的角是高考的重點，主要以空間幾何體為載體考查線面關系及直線和平面所成的角．求直線和平面所成的角一般用向量法，主要以解答題的形式呈現，有時也出現在選擇題、填空題中，難度中等．考查直觀想象、數學運算素養．
探源2　直線和平面所成的角的問題
【案例2】　(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距離為1．
(1)證明：A1C＝AC；
(2)已知AA1與BB1的距離為2，
求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．
[解]　(1)證明：過A1作A1D⊥CC1，垂足為D，
∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵A1C，AC 平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，
又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，
∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1．
由已知條件易證△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，
∴D為CC1的中點，又A1D⊥CC1，
∴A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，
∴A1C＝AC．
(2)連接A1B，由(1)易證A1B＝A1B1，故取BB1的中點F，連接A1F，
∵AA1與BB1的距離為2，∴A1F＝2，
又A1D＝1且A1C＝AC，
∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝．
建立空間直角坐標系C-xyz如圖所示，
則C(0，0，0)，A，BC1，
∴＝＝＝．設平面BCC1B1的法向量為n＝(x，y，z)，
則即取x＝1，則y＝0，z＝1，
∴平面BCC1B1的一個法向量為n＝(1，0，1)．
設AB1與平面BCC1B1所成角為θ，
則sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝．
∴AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為．
[考題來源]　本題源于教材P49復習參考題1T14，兩者均考查了直線與平面所成的角的問題及利用向量法解決空間幾何問題的方法．難度稍高于教材練習題．
[試題評價]　試題考查了直線、平面的位置關系，直線與平面所成角的相關問題，題目難度中等，考查向量法解決線面角的正弦值的方法，做題時需要將其轉化為求直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦值求解．
[命題點分析]　二面角是每年高考的必考考點，主要以空間幾何體為載體考查線面關系及二面角．求二面角的大小一般用向量法求解，通過坐標運算實現問題的解決，可以有效避免較復雜的邏輯推理過程，但是向量法往往對學生的運算能力要求較高．試題主要以解答題的形式呈現，難度中等．考查直觀想象、數學運算素養．
探源3　平面和平面的夾角(或二面角)的問題
【案例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
(1)證明：B2C2∥A2D2；
(2)點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P．
[解]　(1)證明：以點C為坐標原點，CD，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)，
所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)，
所以，所以B2C2∥A2D2．
(2)設BP＝n(0≤n≤4)，則P(0，2，n)，
所以＝(2，0，1－n)，＝(0，－2，3－n)，
設平面PA2C2的法向量為a＝(x1，y1，z1)，
所以則
令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2)．
設平面A2C2D2的法向量為b＝(x2，y2，z2)，
又＝(－2，－2，2)，＝(0，－2，1)，
所以則
令y2＝1，得b＝(1，1，2)．
所以|cos 150°|＝|cos 〈a，b〉|＝＝，
整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3，
所以BP＝1或BP＝3，所以B2P＝1．
[考題來源]　本題來源于教材P49復習參考題1T11，兩題均考查了空間中的位置關系和二面角，難度較教材有所增加．
[試題評價]　試題以考生熟悉的正四棱柱為載體，構建空間幾何體，使考生感覺到所給的空間圖形“似曾相識”不相認，平凡之中賦新意，試題通過考查立體幾何中的定理、空間中直線與直線的位置關系、二面角公式的應用以及方程思想，考查考生的直觀想象、邏輯推理等學科素養，難度適中．
THANKS探源1　線面位置關系問題
[命題點分析]　高考卷中的對線、面的平行和垂直問題，一般不用向量法求解，但利用向量的坐標運算證明線、面的平行與垂直可以將邏輯推理轉化為代數運算，降低思維難度，主要以解答題的形式呈現，難度中等．主要考查直觀想象學科素養．
【案例1】　(2022·全國乙卷)在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F分別為AB，BC的中點，則(　　)
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[考題來源]　本考題來源于教材P33練習T3和P43習題1.4T12的綜合，高考題和教材習題高度一致，高考題把教材中兩個練習題綜合起來考查，既考查了平面與平面的垂直，又考查了平面與平面的平行，與教材習題的命題角度一致，難度也基本相當．本題若選擇幾何法解決，則需利用線面位置關系的判定和性質進行繁雜的論證；選擇向量法解決，則只需建立空間直角坐標系，用坐標運算解題即可，體現了向量方法在研究幾何問題中的簡潔之美．
[試題評價]　試題以正方體為載體，考查線面位置關系的證明，題目難度一般，屬于對基礎知識及基本方法的考查，但需要具備邏輯推理、直觀想象、數學運算等基本數學素養．由此可見，平時學習時既要重視基本知識點，又要重視數學思想方法，更需要逐步提升自己的數學素養．
探源2　直線和平面所成的角的問題
[命題點分析]　直線和平面所成的角是高考的重點，主要以空間幾何體為載體考查線面關系及直線和平面所成的角．求直線和平面所成的角一般用向量法，主要以解答題的形式呈現，有時也出現在選擇題、填空題中，難度中等．考查直觀想象、數學運算素養．
【案例2】　(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距離為1．
(1)證明：A1C＝AC；
(2)已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[考題來源]　本題源于教材P49復習參考題1T14，兩者均考查了直線與平面所成的角的問題及利用向量法解決空間幾何問題的方法．難度稍高于教材練習題．
[試題評價]　試題考查了直線、平面的位置關系，直線與平面所成角的相關問題，題目難度中等，考查向量法解決線面角的正弦值的方法，做題時需要將其轉化為求直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦值求解．
探源3　平面和平面的夾角(或二面角)的問題
[命題點分析]　二面角是每年高考的必考考點，主要以空間幾何體為載體考查線面關系及二面角．求二面角的大小一般用向量法求解，通過坐標運算實現問題的解決，可以有效避免較復雜的邏輯推理過程，但是向量法往往對學生的運算能力要求較高．試題主要以解答題的形式呈現，難度中等．考查直觀想象、數學運算素養．
【案例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)如圖，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
(1)證明：B2C2∥A2D2；
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
(2)點P在棱BB1上，當二面角P A2C2 D2為150°時，求B2P．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[考題來源]　本題來源于教材P49復習參考題1T11，兩題均考查了空間中的位置關系和二面角，難度較教材有所增加．
[試題評價]　試題以考生熟悉的正四棱柱為載體，構建空間幾何體，使考生感覺到所給的空間圖形“似曾相識”不相認，平凡之中賦新意，試題通過考查立體幾何中的定理、空間中直線與直線的位置關系、二面角公式的應用以及方程思想，考查考生的直觀想象、邏輯推理等學科素養，難度適中．
3/3

展開更多......

收起↑