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探究課2　為什么 y＝±x是雙曲線－＝1的漸近線
第三章　圓錐曲線的方程
1．雙曲線的漸近線的定義
若存在一條直線l，使得雙曲線C趨向無窮遠處時與直線l越來越近，則稱直線l為雙曲線C的漸近線．
2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的探討
當x>0，y>0時，由－＝1得y＝b＝x，
當x→＋∞時，→1，故猜測在第一象限內，x→＋∞時，雙曲線無限地接近于直線y＝x．
知識提煉
3．在第一象限內，如何證明直線l：y＝x是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線？
如圖所示，過點M作MQ⊥l于點Q，過點M作PM⊥x軸交l于點P，
則|PM|＞|QM|．
設M(xM，yM)，則yM＝，yP＝xM．
所以|PM|＝yP－yM＝(xM－)＝．
當xM→＋∞時，xM＋→0，
即點M到直線l的距離|QM|→0，
故在第一象限內，直線l為雙曲線的漸近線．
根據雙曲線的對稱性，y＝±x是雙曲線－＝1的漸近線．
4．共漸近線的雙曲線方程的探索
(1)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)共漸近線的雙曲線方程是－＝λ(λ≠0)，當λ>0時，其焦點在x軸上；當λ<0時，其焦點在y軸上．
(2)方程－＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得雙曲線－＝λ(λ≠0)的漸近線方程是±＝0，即y＝±x．
典例探究
【典例】　(1)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，則此雙曲線的漸近線傾斜角可以是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
(2)如圖，已知F1，F2為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF1F2＝30°，則雙曲線的漸近線方程為___________．
y＝±x
(1)B　(2)y＝±x　[(1)∵雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，∴＝2，
∴＝＝＝，∴此雙曲線的漸近線的斜率為±，
∴此雙曲線的漸近線的傾斜角是或．故選B．
(2)設F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，
則－＝1，解得y0＝，∴＝．
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
則|PF1|＝2|PF2|，①
由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，②
由①②得|PF2|＝2a．
∵|PF2|＝，∴2a＝，即b2＝2a2．∴＝．
∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x．]
1．與雙曲線－＝1有共同的漸近線，且經過點(－3，2)的雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
對點訓練
√
D　[設所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)，
把點(－3，2)代入，得－＝λ，
解得λ＝，∴所求的雙曲線方程為－＝1．故選D．]
2．(2021·全國乙卷)已知雙曲線C：－y2＝1(m＞0)的一條漸近線為x＋my＝0，則C的焦距為_____．
4　[雙曲線C：－y2＝1(m＞0)的漸近線方程為y＝±x，即x± y＝0，又雙曲線的一條漸近線為x＋my＝0，即x＋ y＝0，對比兩式可得，m＝3．設雙曲線的實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則有a2＝m＝3，b2＝1，所以雙曲線的焦距2c＝2＝4．]
4　
THANKS　為什么y＝±x是雙曲線－＝1的漸近線
1．雙曲線的漸近線的定義
若存在一條直線l，使得雙曲線C趨向無窮遠處時與直線l越來越近，則稱直線l為雙曲線C的漸近線．
2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的探討
當x>0，y>0時，由－＝1得y＝b＝x，
當x→＋∞時，→1，故猜測在第一象限內，x→＋∞時，雙曲線無限地接近于直線y＝x．
3．在第一象限內，如何證明直線l：y＝x是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線？
如圖所示，過點M作MQ⊥l于點Q，過點M作PM⊥x軸交l于點P，
則|PM|＞|QM|．
設M(xM，yM)，
則yM＝，yP＝xM．
所以|PM|＝yP－yM＝(xM－)＝．
當xM→＋∞時，xM＋→0，
即點M到直線l的距離|QM|→0，
故在第一象限內，直線l為雙曲線的漸近線．
根據雙曲線的對稱性，y＝±x是雙曲線－＝1的漸近線．
4．共漸近線的雙曲線方程的探索
(1)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)共漸近線的雙曲線方程是－＝λ(λ≠0)，當λ>0時，其焦點在x軸上；當λ<0時，其焦點在y軸上．
(2)方程－＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得雙曲線－＝λ(λ≠0)的漸近線方程是±＝0，即y＝±x．
【典例】　(1)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，則此雙曲線的漸近線傾斜角可以是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)如圖，已知F1，F2為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF1F2＝30°，則雙曲線的漸近線方程為________．
(1)B　(2)y＝±x　[(1)∵雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，∴＝2，
∴＝＝＝，∴此雙曲線的漸近線的斜率為±，
∴此雙曲線的漸近線的傾斜角是或．故選B．
(2)設F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，
則－＝1，解得y0＝，∴＝．
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
則|PF1|＝2|PF2|，①
由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，②
由①②得|PF2|＝2a．
∵|PF2|＝，∴2a＝，即b2＝2a2．∴＝．
∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x．]
1．與雙曲線－＝1有共同的漸近線，且經過點(－3，2)的雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
D　[設所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)，
把點(－3，2)代入，得－＝λ，
解得λ＝，∴所求的雙曲線方程為－＝1．
故選D．]
2．(2021·全國乙卷)已知雙曲線C：－y2＝1(m＞0)的一條漸近線為x＋my＝0，則C的焦距為________．
4　[雙曲線C：－y2＝1(m＞0)的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，又雙曲線的一條漸近線為x＋my＝0，即x＋y＝0，對比兩式可得，m＝3．設雙曲線的實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則有a2＝m＝3，b2＝1，所以雙曲線的焦距2c＝2＝4．]
2/3　為什么y＝±x是雙曲線＝1的漸近線
1．雙曲線的漸近線的定義
若存在一條直線l，使得雙曲線C趨向無窮遠處時與直線l越來越近，則稱直線l為雙曲線C的漸近線．
2．雙曲線＝1(a>0，b>0)的漸近線的探討
當x>0，y>0時，由＝1得y＝，
當x→＋∞時，→1，故猜測在第一象限內，x→＋∞時，雙曲線無限地接近于直線y＝x．
3．在第一象限內，如何證明直線l：y＝x是雙曲線＝1(a>0，b>0)的漸近線？
如圖所示，過點M作MQ⊥l于點Q，過點M作PM⊥x軸交l于點P，則|PM|＞|QM|．設M(xM，yM)，則yM＝xM．
所以|PM|＝yP－yM＝＝．
當xM→＋∞時，xM＋→0，
即點M到直線l的距離|QM|→0，
故在第一象限內，直線l為雙曲線的漸近線．
根據雙曲線的對稱性，y＝±x是雙曲線＝1的漸近線．
4．共漸近線的雙曲線方程的探索
(1)與雙曲線＝1(a>0，b>0)共漸近線的雙曲線方程是＝λ(λ≠0)，當λ>0時，其焦點在x軸上；當λ<0時，其焦點在y軸上．
(2)方程＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得雙曲線＝λ(λ≠0)的漸近線方程是±＝0，即y＝．
【典例】　(1)雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，則此雙曲線的漸近線傾斜角可以是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)如圖，已知F1，F2為雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF1F2＝30°，則雙曲線的漸近線方程為________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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1．與雙曲線＝1有共同的漸近線，且經過點的雙曲線的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．(2021·全國乙卷)已知雙曲線C：－y2＝1(m＞0)的一條漸近線為x＋my＝0，則C的焦距為________．
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