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微專題2　對稱問題
類型1　幾類常見的對稱問題
　中心對稱問題
1．點關于點對稱
點P(x0，y0)關于點A(m，n)的對稱點P′(x′，y′)可利用中點坐標公式求得，
由得
2．直線關于點對稱
直線Ax＋By＋C＝0關于點P(x0，y0)的對稱直線的方程的求法：求出直線上的兩個特殊點M，N關于點P的對稱點M′，N′的坐標，則直線M′N′的方程即為所求的直線方程．
【例1】　(1)直線2x＋3y－6＝0關于點(1，1)對稱的直線方程為(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0
(2)點(1，－2)關于點(2，3)的對稱點為________．
(1)D　(2)(3，8)　[(1)在所求直線上取點(x，y)，則關于點(1，1)對稱的點的坐標為(2－x，2－y)，
代入直線2x＋3y－6＝0，可得2(2－x)＋3(2－y)－6＝0，整理得2x＋3y－4＝0．
故選D．
(2)設對稱點為(x0，y0)，由中點坐標公式得
解得即對稱點為(3，8)．]
　軸對稱問題
1．點關于直線對稱
設點P(x0，y0)關于直線Ax＋By＋C＝0的對稱點為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點在已知直線上且直線PP′與已知直線垂直．
即解此方程組可得x′，y′，即得點P′的坐標．
2．直線關于直線對稱
(1)若已知直線l1與已知對稱軸相交，則交點必在與直線l1對稱的直線l2上，然后求出直線l1上其他任意一點關于對稱軸對稱的點，由兩點式寫出直線l2的方程．
(2)若已知直線l1與已知對稱軸平行，則直線l1關于對稱軸對稱的直線l2與直線l1平行，可以利用直線l1與對稱軸間的距離等于直線l2與對稱軸間的距離求解．
【例2】　已知直線l：y＝3x＋3，求：
(1)點P(4，5)關于l的對稱點的坐標；
(2)直線y＝x－2關于l的對稱直線的方程．
[解]　(1)設點P關于直線l的對稱點為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，
即
解得
所以點P′的坐標為(－2，7)．
(2)解方程組
得
則點在所求直線上．
在直線y＝x－2上任取一點M(2，0)，
設點M關于直線l的對稱點為M′(x0，y0)，
則
解得
點M′也在所求直線上，
由兩點式得直線方程為
＝，
化簡得7x＋y＋22＝0即為所求直線方程．
類型2　光的反射問題
根據平面幾何知識和光學知識，入射光線、反射光線上對應的點是關于法線對稱的．利用點的對稱關系可以求解．
【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，則光線所經過的路程是(　　)
A．2　　B．6　　C．3　　D．2
A　[如圖所示，分別作出點P關于直線AB的對稱點P′，點P關于y軸的對稱點P″，
則點P′，Q，M，P″在同一條直線上，線段P′P″即為所求，
易知：P″(－2，0)，直線AB方程為x＋y＝4，
設點P′(a，b)，
則
解得a＝4，b＝2．∴點P′(4，2)．
∴光線所經過的路程是|P′P″|＝＝2，故選A．]
類型3　利用對稱解決有關最值問題
由平面幾何知識(三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點，使這點到兩定點A，B的距離之差最大的問題，若這兩點A，B位于直線l的同側，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標；若A，B兩點位于直線l的異側，則先求A，B兩點中某一點，如A關于直線l的對稱點A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點即可．對于在直線l上求一點P，使P到平面上兩點A，B的距離之和最小的問題可用類似方法求解．
【例4】　在直線l：x－y－1＝0上求兩點P，Q，使其滿足以下條件．
(1)P到A(4，1)與B(0，4)的距離之差最大；
(2)Q到A(4，1)與C(3，0)的距離之和最小．
[解]　(1)如圖，設點B關于l的對稱點B′的坐標為(a，b)，連接BB′，則kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，
所以a＋b－4＝0，①
因為BB′的中點在直線l上，
所以－－1＝0，即a－b－6＝0．②
由①②得a＝5，b＝－1，
所以點B′的坐標為(5，－1)．
于是AB′所在直線的方程為＝，即2x＋y－9＝0．
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，當且僅當P，B′，A三點共線時，||PB′|－|PA||最大．
所以聯立
解得x＝，y＝，
即l與AB′的交點坐標為．
故點P的坐標為．
(2)如圖，設點C關于l的對稱點為C′，可求得C′的坐標為(1，2)，所以AC′所在直線的方程為x＋3y－7＝0．
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，當且僅當Q，A，C′三點共線時，|QA|＋|QC′|最小．
所以聯立
解得
即AC′與l的交點坐標為．
故點Q的坐標為．
微專題強化練(二)　對稱問題
一、選擇題
1．已知點A(x，5)關于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是(　　)
A．4 B． C． D．
D　[由解得即P(4，1)．
所以|OP|＝＝．故選D．]
2．直線x－2y－1＝0關于直線y－x＝0對稱的直線方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0
A　[在直線x－2y－1＝0上任取一點P(a，b)，設點P關于直線y－x＝0的對稱點為Q(x，y)，則解得即P(y，x)，
因為點P(y，x)在直線x－2y－1＝0上，所以y－2x－1＝0，即2x－y＋1＝0，
所以所求直線方程為2x－y＋1＝0．故選A．]
3．(多選)一光線過點(2，4)，經傾斜角為135°的且過(0，1)的直線l反射后過點(5，0)，則反射后的光線還經過下列哪些點(　　)
A． B．
C． D．
ABC　[由題意，直線l的方程為y－1＝－1(x－0)，即x＋y－1＝0．
設點A(2，4)關于直線l的對稱點為B(m，n)，
則有
解得可得B(－3，－1)．
根據光線經直線l反射后過點M(5，0)，反射光線所在直線BM的斜率為＝，故反射光線的方程為y－0＝(x－5)，即x－8y－5＝0．
所以當x＝1時，y＝－，故反射光線所在的直線經過點，故A正確；
當x＝2時，y＝－，故反射光線所在的直線經過點，故B正確；
當x＝3時，y＝－，故反射光線所在的直線經過點，故C正確；
當x＝4時，y＝－，故反射光線所在的直線經過點，故D錯誤．
故選ABC．]
4．光線通過點A(2，3)，在直線l：x＋y＋1＝0上反射，反射光線經過點B(2，2)，則反射光線所在直線方程為(　　)
A．6x－5y－2＝0 B．6x＋5y－22＝0
C．5x－6y＋2＝0 D．5x＋6y－22＝0
C　[設點A(2，3)關于直線l的對稱點為A′(x0，y0)，則
解得x0＝－4，y0＝－3，故A′(－4，－3)．由于反射光線所在直線經過點A′(－4，－3)和B(2，2)，所以反射光線所在直線的方程為y－2＝(x－2)，
即5x－6y＋2＝0．
故選C．]
5．已知(m，n)為直線x＋y－1＝0上的一點，則＋的最小值為(　　)
A． B．2 C．4 D．3
A　[設P(m，n)為直線x＋y－1＝0上的一點，則＋為點P(m，n)到原點O和到點A(－2，0)的距離之和，
即|PO|＋|PA|．
設O(0，0)關于直線x＋y－1＝0對稱的點為B(a，b)，
則
得即B(1，1)．
易得|PO|＝|PB|，當A，P，B三點共線時，|PO|＋|PA|取到最小值，且最小值為|PO|＋|PA|＝|AB|＝．
故選A．]
二、填空題
6．點A關于直線x＋y＋＝0的對稱點為________．
　[設點A關于直線x＋y＋＝0的對稱點為B(m，n)，
則
解得
可得對稱點B的坐標為．]
7．一條光線從點P(6，0)射出，經直線y軸反射后過點Q(2，8)，則反射光線所在的直線方程為________．
y＝x＋6　[因為一條光線從點P(6，0)射出，經直線y軸反射后過點Q(2，8)，
又P(6，0)關于y軸的對稱點為(－6，0)，故反射光線的斜率為＝1．
故反射光線所在的直線方程為y＝x＋6．]
8．詩人李頎的詩《古從軍行》中隱含著一個有趣的數學問題－－“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為B(－1，0)，若將軍從山腳下的點A(1，0)處出發，河岸線所在直線方程為x＋2y＝4，則“將軍飲馬”的最短總路程為________．
4　[如圖，設點A(1，0)關于直線x＋2y＝4對稱的點為A′(a，b)，
則
解得
則“將軍飲馬”的最短總路程為
|A′B|＝＝4．]
三、解答題
9．已知光線經過已知直線l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交點M，且射到x軸上一點N(1，0)后被x軸反射．
(1)求與l1距離為的直線方程；
(2)求反射光線所在的直線方程．
[解]　(1)由題可設所求直線方程為3x－y＋m＝0，
根據平行直線間的距離公式得
＝，解得m＝－3或17，
所以與l1距離為的直線方程為3x－y－3＝0或3x－y＋17＝0．
(2)由
可得
即M(－2，1)，又N(1，0)，
所以kMN＝＝－，所以反射光線所在的直線l3的斜率為，
故反射光線所在的直線l3的方程為y＝(x－1)，即x－3y－1＝0．
9/9(共18張PPT)
微專題2　對稱問題
第二章　直線和圓的方程
類型1　幾類常見的對稱問題
考向1　中心對稱問題
1．點關于點對稱
點P(x0，y0)關于點A(m，n)的對稱點P′(x′，y′)可利用中點坐標公式求得，
由得
類型1　幾類常見的對稱問題
2．直線關于點對稱
直線Ax＋By＋C＝0關于點P(x0，y0)的對稱直線的方程的求法：求出直線上的兩個特殊點M，N關于點P的對稱點M′，N′的坐標，則直線M′N′的方程即為所求的直線方程．
【例1】　(1)直線2x＋3y－6＝0關于點(1，1)對稱的直線方程為(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0
(2)點(1，－2)關于點(2，3)的對稱點為________．
√
(3，8)
(1)D　(2)(3，8)　[(1)在所求直線上取點(x，y)，則關于點(1，1)對稱的點的坐標為(2－x，2－y)，
代入直線2x＋3y－6＝0，可得2(2－x)＋3(2－y)－6＝0，整理得2x＋3y－4＝0．
故選D．
(2)設對稱點為(x0，y0)，由中點坐標公式得
解得即對稱點為(3，8)．]
考向2　軸對稱問題
1．點關于直線對稱
設點P(x0，y0)關于直線Ax＋By＋C＝0的對稱點為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點在已知直線上且直線PP′與已知直線垂直．
即解此方程組可得x′，y′，即得點P′的坐標．
2．直線關于直線對稱
(1)若已知直線l1與已知對稱軸相交，則交點必在與直線l1對稱的直線l2上，然后求出直線l1上其他任意一點關于對稱軸對稱的點，由兩點式寫出直線l2的方程．
(2)若已知直線l1與已知對稱軸平行，則直線l1關于對稱軸對稱的直線l2與直線l1平行，可以利用直線l1與對稱軸間的距離等于直線l2與對稱軸間的距離求解．
【例2】　已知直線l：y＝3x＋3，求：
(1)點P(4，5)關于l的對稱點的坐標；
(2)直線y＝x－2關于l的對稱直線的方程．
[解]　(1)設點P關于直線l的對稱點為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，
即解得
所以點P′的坐標為(－2，7)．
(2)解方程組得
則點在所求直線上．
在直線y＝x－2上任取一點M(2，0)，
設點M關于直線l的對稱點為M′(x0，y0)，
則解得
點M′也在所求直線上，
由兩點式得直線方程為
＝，
化簡得7x＋y＋22＝0即為所求直線方程．
根據平面幾何知識和光學知識，入射光線、反射光線上對應的點是關于法線對稱的．利用點的對稱關系可以求解．
類型2　光的反射問題
【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，則光線所經過的路程是(　　)
A．2　　B．6　　C．3　　D．2
√
A　[如圖所示，分別作出點P關于直線AB的對稱點P′，點P關于y軸的對稱點P″，則點P′，Q，M，P″在同一條直線上，線段P′P″即為所求，易知：P″(－2，0)，直線AB方程為x＋y＝4，
設點P′(a，b)，
則
解得a＝4，b＝2．∴點P′(4，2)．
∴光線所經過的路程是|P′P″|＝＝2，故選A．]
由平面幾何知識(三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點，使這點到兩定點A，B的距離之差最大的問題，若這兩點A，B位于直線l的同側，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標；若A，B兩點位于直線l的異側，則先求A，B兩點中某一點，如A關于直線l的對稱點A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點即可．對于在直線l上求一點P，使P到平面上兩點A，B的距離之和最小的問題可用類似方法求解．
類型3　利用對稱解決有關最值問題
【例4】　在直線l：x－y－1＝0上求兩點P，Q，使其滿足以下條件．
(1)P到A(4，1)與B(0，4)的距離之差最大；
(2)Q到A(4，1)與C(3，0)的距離之和最小．
[解]　(1)如圖，設點B關于l的對稱點B′的坐標為(a，b)，連接BB′，則kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，
所以a＋b－4＝0，①
因為BB′的中點在直線l上，
所以－－1＝0，即a－b－6＝0．②
由①②得a＝5，b＝－1，
所以點B′的坐標為(5，－1)．
于是AB′所在直線的方程為＝，即2x＋y－9＝0．
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，當且僅當P，B′，A三點共線時，||PB′|－|PA||最大．
所以聯立
解得x＝，y＝，
即l與AB′的交點坐標為．
故點P的坐標為．
(2)如圖，設點C關于l的對稱點為C′，可求得C′的坐標為(1，2)，所以AC′所在直線的方程為x＋3y－7＝0．
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，當且僅當Q，A，C′三點共線時，|QA|＋|QC′|最小．
所以聯立解得
即AC′與l的交點坐標為．
故點Q的坐標為．
微專題強化練(二)
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對稱問題
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
S
THANKS微專題強化練(二)　對稱問題
一、選擇題
1．已知點A(x，5)關于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是(　　)
A．4　　　B．　　　C．　　　D．
2．直線x－2y－1＝0關于直線y－x＝0對稱的直線方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0
3．(多選)一光線過點(2，4)，經傾斜角為135°的且過(0，1)的直線l反射后過點(5，0)，則反射后的光線還經過下列哪些點(　　)
A． B．
C． D．
4．光線通過點A(2，3)，在直線l：x＋y＋1＝0上反射，反射光線經過點B(2，2)，則反射光線所在直線方程為(　　)
A．6x－5y－2＝0 B．6x＋5y－22＝0
C．5x－6y＋2＝0 D．5x＋6y－22＝0
5．已知(m，n)為直線x＋y－1＝0上的一點，則的最小值為(　　)
A．　　　B．2　　　C．4　　　D．3
二、填空題
6．點A關于直線x＋y＋＝0的對稱點為________．
7．一條光線從點P(6，0)射出，經直線y軸反射后過點Q(2，8)，則反射光線所在的直線方程為________．
8．詩人李頎的詩《古從軍行》中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為B(－1，0)，若將軍從山腳下的點A(1，0)處出發，河岸線所在直線方程為x＋2y＝4，則“將軍飲馬”的最短總路程為________．
三、解答題
9．已知光線經過已知直線l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交點M，且射到x軸上一點N(1，0)后被x軸反射．
(1)求與l1距離為的直線方程；
(2)求反射光線所在的直線方程．
2/2微專題2　對稱問題
類型1　幾類常見的對稱問題
　中心對稱問題
1．點關于點對稱
點P(x0，y0)關于點A(m，n)的對稱點P′(x′，y′)可利用中點坐標公式求得，
由得
2．直線關于點對稱
直線Ax＋By＋C＝0關于點P(x0，y0)的對稱直線的方程的求法：求出直線上的兩個特殊點M，N關于點P的對稱點M′，N′的坐標，則直線M′N′的方程即為所求的直線方程．
【例1】　(1)直線2x＋3y－6＝0關于點(1，1)對稱的直線方程為(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0
(2)點(1，－2)關于點(2，3)的對稱點為________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　軸對稱問題
1．點關于直線對稱
設點P(x0，y0)關于直線Ax＋By＋C＝0的對稱點為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點在已知直線上且直線PP′與已知直線垂直．
即解此方程組可得x′，y′，即得點P′的坐標．
2．直線關于直線對稱
(1)若已知直線l1與已知對稱軸相交，則交點必在與直線l1對稱的直線l2上，然后求出直線l1上其他任意一點關于對稱軸對稱的點，由兩點式寫出直線l2的方程．
(2)若已知直線l1與已知對稱軸平行，則直線l1關于對稱軸對稱的直線l2與直線l1平行，可以利用直線l1與對稱軸間的距離等于直線l2與對稱軸間的距離求解．
【例2】　已知直線l：y＝3x＋3，求：
(1)點P(4，5)關于l的對稱點的坐標；
(2)直線y＝x－2關于l的對稱直線的方程．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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類型2　光的反射問題
根據平面幾何知識和光學知識，入射光線、反射光線上對應的點是關于法線對稱的．利用點的對稱關系可以求解．
【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，則光線所經過的路程是(　　)
A．2　 　B．6　 　C．3　 　D．2
[嘗試解答]___________________________________________________________
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類型3　利用對稱解決有關最值問題
由平面幾何知識(三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點，使這點到兩定點A，B的距離之差最大的問題，若這兩點A，B位于直線l的同側，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標；若A，B兩點位于直線l的異側，則先求A，B兩點中某一點，如A關于直線l的對稱點A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點即可．對于在直線l上求一點P，使P到平面上兩點A，B的距離之和最小的問題可用類似方法求解．
【例4】　在直線l：x－y－1＝0上求兩點P，Q，使其滿足以下條件．
(1)P到A(4，1)與B(0，4)的距離之差最大；
(2)Q到A(4，1)與C(3，0)的距離之和最小．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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