資源簡介

微專題強化練(六)　破解圓錐曲線的離心率問題
一、選擇題
1．已知圓錐曲線＝1(0＜θ＜π)的離心率為，則θ＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．
3．已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，點A在橢圓上且位于第一象限，滿足·＝0，∠AF1F2的平分線與AF2相交于點B，若，則橢圓的離心率為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．若過雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線交y軸于點(0，3c)(c為雙曲線的半焦距)，則此雙曲線的離心率是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
5．如圖，在底面半徑為1，高為5的圓柱內放置兩個球，使得兩個球與圓柱側面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側面，得到的截線是一個橢圓．則該橢圓的離心率為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
二、填空題
6．已知雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦點為F1(－c，0)，坐標原點為O，若在雙曲線右支上存在一點P滿足|PF1|＝＝c，則雙曲線C的離心率為________．
7．已知F1(－c，0)，F2(c，0)為橢圓＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且·＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________．
8．已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點P(3c，0)作直線l交橢圓C于M，N兩點，若＝4，則橢圓C的離心率為________．
三、解答題
9．如圖，已知在梯形ABCD中，|AB|＝2所成的比為λ，雙曲線經過C，D，E三點，且以A，B為焦點．當時，求雙曲線離心率e的取值范圍．
1/2微專題6　破解圓錐曲線的離心率問題
離心率是橢圓與雙曲線的重要幾何性質，求離心率的方法主要有：
(1)通過已知條件列出方程組，解出a，c的值．
(2)由a，b的關系求離心率e＝(橢圓)或e＝(雙曲線)．
(3)由已知條件得關于a，c的齊次式，再轉化為關于e的一元二次方程．
(4)通過特殊值或特殊位置求離心率．
(5)在焦點三角形內求離心率．
類型1　定義法
【例1】　(1)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為A．若∠AFO＝2∠AOF(O為坐標原點)，則該雙曲線的離心率為(　　)
A．　 　B．　 　C．2　 　D．或2
(2)已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與圓C2：x2＋y2＝，過橢圓C1的頂點作圓C2的兩條切線，若兩切線互相垂直，則橢圓C1的離心率是(　　)
A． B． C． D．
(1)B　(2)B　[(1)在Rt△AFO中，因為∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，則tan 30°＝＝，
所以e＝＝＝＝，故選B．
(2)由題意頂點顯然不在短軸端點，因為兩切線互相垂直，即∠APB＝90°，
所以∠APO＝45°，所以sin ∠APO＝＝＝，
所以b＝a，所以c＝＝a，所以e＝＝．故選B．]
類型2　幾何法
【例2】　已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線C的一個交點P，設△PF1F2的面積為S，若(|PF1|＋|PF2|)2＝12S，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．2 B． C． D．2
C　[設|F1F2|＝2c，由題意知△F1F2P是直角三角形，則|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2，
又根據雙曲線的定義得：||F1P|－|F2P||＝2a，
∴|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P|×|F2P|＝4a2，
∴|F1P|×|F2P|＝2(c2－a2)，
又△PF1F2的面積等于S，即S＝＝c2－a2，
又(|PF1|＋|PF2|)2＝(|PF1|－|PF2|)2＋4|PF1|·|PF2|＝4a2＋8(c2－a2)＝8c2－4a2，
所以若(|PF1|＋|PF2|)2＝12S，
則8c2－4a2＝12(c2－a2)，整理得，c2＝2a2，
則雙曲線的離心率e＝＝，故選C．]
類型3　齊次式法
【例3】　已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，MF2與y軸交于點P，以MN為直徑的圓經過點P，則C的離心率為(　　)
A． B．2 C． D．
C　[由已知，易知：M，N，P，
所以·＝·＝c2－＝0，
化簡得：3b4－4a2c2＝3(c2－a2)2－4a2c2＝3c4－10a2c2＋3a4＝0，
即3e4－10e2＋3＝0，(3e2－1)(e2－3)＝0，
因為e＞1，故e＝，故選C．]
類型4　求離心率的取值范圍
【例4】　已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點到其漸近線的距離不大于a，則離心率e的取值范圍為(　　)
A．[，＋∞) B．[，＋∞)
C．(1，] D．(1，]
D　[依題意得，點(a，0)到漸近線bx＋ay＝0的距離不大于a，
∴≤a，
即≤a，
∴≤，
解得e2≤5．
又e＞1，∴1＜e≤．]
微專題強化練(六)　破解圓錐曲線的離心率問題
一、選擇題
1．已知圓錐曲線＋＝1(0＜θ＜π)的離心率為，則θ＝(　　)
A． B． C． D．
D　[∵0＜θ＜π，∴－1＜cos θ＜1，又＋＝1(0＜θ＜π)是圓錐曲線，
且離心率為，則圓錐曲線為雙曲線，可得cos θ＜0時，曲線方程化為－＝1，
其中a＝，b＝，c＝＝，
則e＝＝＝，可得cos θ＝－，則θ＝．故選D．]
2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為(　　)
A． B．2 C． D．
B　[雙曲線漸近線被圓所截得的弦長為2，圓的半徑為2，設圓心到漸近線的距離為d，
由垂徑定理可得d＝＝，不妨設漸近線方程為kx－y＝0(其中k2＝)，
又圓(x－2)2＋y2＝4的圓心坐標為(2，0)，由點到直線的距離公式有d＝．
則＝，解得k2＝3，又k2＝，
∴雙曲線的離心率為e＝＝＝＝＝2．故選B．]
3．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，點A在橢圓上且位于第一象限，滿足AF1·AF2＝0，∠AF1F2的平分線與AF2相交于點B，若＝AF2，則橢圓的離心率為(　　)
A． B． C． D．
D　[設|AF1|＝n，|AF2|＝8m，由＝＝3m，|BF2|＝5m，
因為AF1·AF2＝0，所以∠F1AF2＝，
在Rt△AF1F2中，由勾股定理，得(8m)2＋n2＝(2c)2，①
由橢圓的定義得8m＋n＝2a，②
因為F1B平分∠AF1F2，所以＝，即＝＝，③
聯立①②③并化簡得7c2＋30ac－25a2＝0，
則7e2＋30e－25＝0，得e＝．故選D．]
4．若過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線交y軸于點(0，3c)(c為雙曲線的半焦距)，則此雙曲線的離心率是(　　)
A． B． C． D．
C　[不妨設雙曲線的一個焦點為F(c，0)，漸近線方程為y＝x，
則過點F(c，0)且與直線y＝x垂直的直線方程為y＝－(x－c)，
令x＝0，得y＝，則＝3c，∴＝，
∴雙曲線的離心率是＝＝＝．故選C．]
5．如圖，在底面半徑為1，高為5的圓柱內放置兩個球，使得兩個球與圓柱側面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側面，得到的截線是一個橢圓．則該橢圓的離心率為(　　)
A． B． C． D．
C　[如圖所示，BF＝1，BO＝，sin ∠BOF＝，則cos ∠DOM＝＝＝，
∴OD＝，即a＝，而2b＝2，即b＝1，所以c＝＝＝，
所以離心率e＝＝，故選C．]
二、填空題
6．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點為F1(－c，0)，坐標原點為O，若在雙曲線右支上存在一點P滿足|PF1|＝＝c，則雙曲線C的離心率為________．
＝|F1O|＝|F2O|＝c，所以∠PF1O＝∠OPF1，∠PF2O＝∠OPF2，
此時∠OPF1＋∠OPF2＝∠F1PF2＝，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即3c2＋(c－2a)2＝4c2，整理得2c2－4ac＋4a2＝0，①
又e＝且e＞1，②
聯立①②，解得e＝＋1．]
7．已知F1(－c，0)，F2(c，0)為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且PF1·PF2＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________．
　[設P(x，y)，
則PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，
將y2＝b2－x2代入上式，
解得x2＝＝．
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈．]
8．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點P(3c，0)作直線l交橢圓C于M，N兩點，若＝4|F2N|，則橢圓C的離心率為________．
　＝2|MN|，|PF1|＝2|PF2|，
所以F2N∥F1M，且|F2N|＝，
延長MF1交橢圓于點Q，
則由對稱性可設|F1Q|＝|F2N|＝t，|F1M|＝2t，|F2M|＝4t，|F2Q|＝2a－t，
因為|F1M|＋|F2M|＝2a，所以t＝，
則|QM|＝a，|F2M|＝＝，
得|QM|2＋|F2M|2＝|F2Q|2，所以∠QMF2＝90°，
在△F1MF2中，由|F1M|2＋|F2M|2＝|F2F1|2，
得＋＝(2c)2，化簡得5a2＝9c2，
所以a＝3c，所以離心率e＝＝．]
三、解答題
9．如圖，已知在梯形ABCD中，|AB|＝2所成的比為λ，雙曲線經過C，D，E三點，且以A，B為焦點．當≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍．
[解]　由題意可知CD⊥y軸．
∵雙曲線經過C，D，且以A，B為焦點，由雙曲線的對稱性知C，D關于y軸對稱．
依題意，記A(－c，0)，C，E(x0，y0)，其中c＝為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．
由定比分點坐標公式得x0＝，y0＝．
設雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則離心率e＝．
∵點C，E在雙曲線上，
∴將點C的坐標代入雙曲線方程得－＝1，①
將點E的坐標代入雙曲線方程得
－＝1．②
再將e＝代入①得－＝1，∴＝－1，③
將e＝代入②，得－＝1．④
將③式代入④式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，
∴λ＝1－．
由題設≤λ≤，
得≤1－≤，
解得≤e≤．
∴雙曲線離心率的取值范圍是[，]．
6/7(共12張PPT)
微專題6　破解圓錐曲線的離心率問題
第三章　圓錐曲線的方程
　　離心率是橢圓與雙曲線的重要幾何性質，求離心率的方法主要有：
(1)通過已知條件列出方程組，解出a，c的值．
(2)由a，b的關系求離心率e＝(橢圓)或e＝(雙曲線)．
(3)由已知條件得關于a，c的齊次式，再轉化為關于e的一元二次方程．
(4)通過特殊值或特殊位置求離心率．
(5)在焦點三角形內求離心率．
【例1】　(1)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為A．若∠AFO＝2∠AOF(O為坐標原點)，則該雙曲線的離心率為(　　)
A．　 　 B．　 　 C．2　 　 D．或2
(2)已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與圓C2：x2＋y2＝，過橢圓C1的頂點作圓C2的兩條切線，若兩切線互相垂直，則橢圓C1的離心率是(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
類型1　定義法
√
√
(1)B　(2)B　[(1)在Rt△AFO中，因為∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，則tan 30°＝＝，
所以e＝＝＝＝，故選B．
(2)由題意頂點顯然不在短軸端點，因為兩切線互相垂直，即∠APB＝90°，
所以∠APO＝45°，
所以sin ∠APO＝＝＝，
所以b＝a，所以c＝＝a，
所以e＝＝．故選B．]
【例2】　已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線C的一個交點P，設△PF1F2的面積為S，若(|PF1|＋|PF2|)2＝12S，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．2 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．2
類型2　幾何法
√
C　[設|F1F2|＝2c，由題意知△F1F2P是直角三角形，則|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2，又根據雙曲線的定義得：||F1P|－|F2P||＝2a，
∴|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P|×|F2P|＝4a2，
∴|F1P|×|F2P|＝2(c2－a2)，
又△PF1F2的面積等于S，即S＝ |F1P|×|F2P|＝c2－a2，
又(|PF1|＋|PF2|)2＝(|PF1|－|PF2|)2＋4|PF1|·|PF2|＝4a2＋8(c2－a2)＝8c2－4a2，所以若(|PF1|＋|PF2|)2＝12S，
則8c2－4a2＝12(c2－a2)，整理得，c2＝2a2，
則雙曲線的離心率e＝＝，故選C．]
【例3】　已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，MF2與y軸交于點P，以MN為直徑的圓經過點P，則C的離心率為(　　)
A． 　　　　B．2 　　　　C． 　　　　D．
類型3　齊次式法
√
C　[由已知，易知：M，N，P，
所以·＝·＝c2－＝0，
化簡得：3b4－4a2c2＝3(c2－a2)2－4a2c2＝3c4－10a2c2＋3a4＝0，
即3e4－10e2＋3＝0，(3e2－1)(e2－3)＝0，
因為e＞1，故e＝，故選C．]
【例4】　已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點到其漸近線的距離不大于a，則離心率e的取值范圍為(　　)
A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，]
類型4　求離心率的取值范圍
D　[依題意得，點(a，0)到漸近線bx＋ay＝0的距離不大于a，
∴≤a，即≤a，∴≤，解得e2≤5．
又e＞1，∴1＜e≤．]
√
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本節課還有什么疑問點？
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學習反思
課時小結
THANKS微專題6　破解圓錐曲線的離心率問題
離心率是橢圓與雙曲線的重要幾何性質，求離心率的方法主要有：
(1)通過已知條件列出方程組，解出a，c的值．
(2)由a，b的關系求離心率e＝(橢圓)或e＝(雙曲線)．
(3)由已知條件得關于a，c的齊次式，再轉化為關于e的一元二次方程．
(4)通過特殊值或特殊位置求離心率．
(5)在焦點三角形內求離心率．
類型1　定義法
【例1】　(1)過雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為A．若∠AFO＝2∠AOF(O為坐標原點)，則該雙曲線的離心率為(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．或2
(2)已知橢圓C1：＝1(a＞b＞0)與圓C2：x2＋y2＝，過橢圓C1的頂點作圓C2的兩條切線，若兩切線互相垂直，則橢圓C1的離心率是(　　)
A． B． C． D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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類型2　幾何法
【例2】　已知F1，F2分別是雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線C的一個交點P，設△PF1F2的面積為S，若(|PF1|＋|PF2|)2＝12S，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．2
[嘗試解答]___________________________________________________________
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類型3　齊次式法
【例3】　已知雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，MF2與y軸交于點P，以MN為直徑的圓經過點P，則C的離心率為(　　)
A． B．2 C． D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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類型4　求離心率的取值范圍
【例4】　已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的右頂點到其漸近線的距離不大于a，則離心率e的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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