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微專題7　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
圓錐曲線的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，涉及的知識(shí)面廣，題目綜合性強(qiáng)，對(duì)思維能力要求比較高．解決的基本思路是利用代數(shù)法，從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，利用直線系或曲線系方程或函數(shù)方程思想，通過(guò)聯(lián)想與類比，使問(wèn)題獲解．解答過(guò)程中主要注意以下三點(diǎn)：
(1)根據(jù)條件設(shè)出合適的直線方程，當(dāng)不知道直線是否有斜率時(shí)，需要分兩種情況討論．
(2)具體求解時(shí)，常用到“根與系數(shù)的關(guān)系”及“設(shè)而不求，整體代入”的方法．
(3)不要忽視判別式的作用，在解題過(guò)程中，判別式起到了限制參數(shù)范圍的作用．
類型1　范圍與最值問(wèn)題
【例1】　(2023·全國(guó)甲卷)已知直線x－2y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，且·＝0，求△MFN面積的最小值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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類型2　定點(diǎn)與定值問(wèn)題
【例2】　已知點(diǎn)F和直線l：y＝，動(dòng)點(diǎn)T到點(diǎn)F的距離與到直線l的距離之比為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A(1，2)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，直線BP，BQ與y軸的交點(diǎn)分別是M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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類型3　探索性問(wèn)題
【例3】　已知雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，直線y＝x為C的一條漸近線．
(1)求C的方程；
[嘗試解答]___________________________________________________________
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(2)若過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得·為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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微專題7　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
第三章　圓錐曲線的方程
圓錐曲線的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，涉及的知識(shí)面廣，題目綜合性強(qiáng)，對(duì)思維能力要求比較高．解決的基本思路是利用代數(shù)法，從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，利用直線系或曲線系方程或函數(shù)方程思想，通過(guò)聯(lián)想與類比，使問(wèn)題獲解．解答過(guò)程中主要注意以下三點(diǎn)：
(1)根據(jù)條件設(shè)出合適的直線方程，當(dāng)不知道直線是否有斜率時(shí)，需要分兩種情況討論．
(2)具體求解時(shí)，常用到“根與系數(shù)的關(guān)系”及“設(shè)而不求，整體代入”的方法．
(3)不要忽視判別式的作用，在解題過(guò)程中，判別式起到了限制參數(shù)范圍的作用．
【例1】　(2023·全國(guó)甲卷)已知直線x－2y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，且·＝0，求△MFN面積的最小值．
類型1　范圍與最值問(wèn)題
[解]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>．
由根與系數(shù)的關(guān)系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2．
(2)設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知拋物線C：y2＝4x，則點(diǎn)F(1，0)．
因?yàn)椤ぃ?，所以∠MFN＝90°，則S△MFN＝＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)．　 (*)
①當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，
因?yàn)椤螹FN＝90°，
所以直線MF與直線NF的斜率一個(gè)是1，另一個(gè)是－1．
不妨設(shè)直線MF的斜率為1，則MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得或
代入(*)式計(jì)算易得，當(dāng)x3＝x4＝3－2時(shí)，△MFN的面積取得最小值，為4(3－2)．
②當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋m．
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，
Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
則
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝．
又＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以－＋1＋＝0，化簡(jiǎn)得m2＋k2＋6km＝4．
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝
＝＋2＋1．
令t＝，則S△MFN＝t2＋2t＋1，因?yàn)閙2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2，
從而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)．
綜上所述，△MFN面積的最小值為4(3－2)．
【例2】　已知點(diǎn)F(0，)和直線l：y＝，動(dòng)點(diǎn)T到點(diǎn)F的距離與到直線l的距離之比為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A(1，2)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，直線BP，BQ與y軸的交點(diǎn)分別是M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
類型2　定點(diǎn)與定值問(wèn)題
[解]　(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)T到點(diǎn)F的距離與到直線l的距離之比為，
不妨設(shè)T(x，y)，此時(shí)＝，整理得4x2＋y2＝4，
即＋x2＝1，則動(dòng)點(diǎn)T的軌跡C的方程為＋x2＝1．
(2)證明：不妨設(shè)直線PQ的方程為y＝kx－k＋2，
聯(lián)立消去y并整理得(4＋k2)x2＋(4k－2k2)x＋k2－4k＝0，
因?yàn)棣ぃ?4k－2k2)2－4(4＋k2)(k2－4k)＞0，
所以k＞0，不妨設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝，x1x2＝，
可得直線BP的方程為＝，令x＝0，解得M，
同理得到N，
所以＋＝
＝
＝＝4，
所以＝2，則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，
故線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【例3】　已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，直線y＝x為C的一條漸近線．
(1)求C的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得·為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
類型3　探索性問(wèn)題
[解]　(1)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，直線y
＝x為C的一條漸近線，則即即C的方程為x2－＝1．
(2)設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)M(t，0)，使得為定值．
①當(dāng)直線PQ與x軸不重合時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為x＝my＋2，
聯(lián)立消去x可得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
則
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝－，y1y2＝，
則·＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝(my1＋2－t)(my2＋2－t)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(2－t)(y1＋y2)＋(2－t)2＝＋t2－1，
又為定值，則t＋1＝0，即t＝－1，即存在M(－1，0)，使得·為定值0；
②當(dāng)直線PQ與x軸重合時(shí)，P(－1，0)，Q(1，0)，
當(dāng)M的坐標(biāo)為(－1，0)時(shí)，·＝0．
綜合①②可得：
存在點(diǎn)M(－1，0)，使得·為定值．
微專題強(qiáng)化練(七)
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圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
（WORD版）
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THANKS微專題強(qiáng)化練(七)　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
一、選擇題
1．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(3，1)在C的內(nèi)部，若點(diǎn)B是拋物線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△ABF周長(zhǎng)的最小值為則p＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
2．拋物線W：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，其上兩點(diǎn)A，B滿足OA⊥OB，過(guò)O點(diǎn)作OC⊥AB于C，則|CF|的取值范圍是(　　)
A．(0，3] B．
C． D．
3．已知橢圓C：＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓C上不同于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若直線PA斜率的取值范圍是[1，2]，則直線PB斜率的取值范圍是(　　)
A．[－2，－1] B．
C． D．
4．已知F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且|PF1|＜|PF2|，線段PF1的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2，若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則的最小值為(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．6　　　D．－6
5．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為直線x＝－1，直線l1：x－my－＝0與C交于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在x軸上方)，與直線x＝－1交于點(diǎn)R，若|QF|＝3，則＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
二、填空題
6．已知雙曲線C：x2－＝1的左焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)Q，P是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF1|+|PQ|的最小值等于________．
7．已知橢圓E：＝1，P為橢圓E的右頂點(diǎn)，直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且PA⊥PB，則l恒過(guò)除P點(diǎn)以外的定點(diǎn)為________．
8．已知拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l和直線x－y＋5＝0的距離之和的最小值為________，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
三、解答題
9．已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)A，焦距為，B(0，b)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)D的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，使△BMN是以∠MBN為頂角的等腰三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2/2微專題7　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
圓錐曲線的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，涉及的知識(shí)面廣，題目綜合性強(qiáng)，對(duì)思維能力要求比較高．解決的基本思路是利用代數(shù)法，從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，利用直線系或曲線系方程或函數(shù)方程思想，通過(guò)聯(lián)想與類比，使問(wèn)題獲解．解答過(guò)程中主要注意以下三點(diǎn)：
(1)根據(jù)條件設(shè)出合適的直線方程，當(dāng)不知道直線是否有斜率時(shí)，需要分兩種情況討論．
(2)具體求解時(shí)，常用到“根與系數(shù)的關(guān)系”及“設(shè)而不求，整體代入”的方法．
(3)不要忽視判別式的作用，在解題過(guò)程中，判別式起到了限制參數(shù)范圍的作用．
類型1　范圍與最值問(wèn)題
【例1】　(2023·全國(guó)甲卷)已知直線x－2y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，且·＝0，求△MFN面積的最小值．
[解]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>．
由根與系數(shù)的關(guān)系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2．
(2)設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知拋物線C：y2＝4x，則點(diǎn)F(1，0)．
因?yàn)椤ぃ?，所以∠MFN＝90°，則S△MFN＝＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)．　(*)
①當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，
因?yàn)椤螹FN＝90°，
所以直線MF與直線NF的斜率一個(gè)是1，另一個(gè)是－1．
不妨設(shè)直線MF的斜率為1，則MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得或
代入(*)式計(jì)算易得，當(dāng)x3＝x4＝3－2時(shí)，△MFN的面積取得最小值，為4(3－2)．
②當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋m．
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，
Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
則
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝．
又＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以－＋1＋＝0，化簡(jiǎn)得m2＋k2＋6km＝4．
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)
＝＝
＝＋2＋1．
令t＝，則S△MFN＝t2＋2t＋1，
因?yàn)閙2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2，
從而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)．
綜上所述，△MFN面積的最小值為4(3－2)．
類型2　定點(diǎn)與定值問(wèn)題
【例2】　已知點(diǎn)F(0，)和直線l：y＝，動(dòng)點(diǎn)T到點(diǎn)F的距離與到直線l的距離之比為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A(1，2)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，直線BP，BQ與y軸的交點(diǎn)分別是M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
[解]　(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)T到點(diǎn)F的距離與到直線l的距離之比為，
不妨設(shè)T(x，y)，此時(shí)＝，整理得4x2＋y2＝4，
即＋x2＝1，則動(dòng)點(diǎn)T的軌跡C的方程為＋x2＝1．
(2)證明：不妨設(shè)直線PQ的方程為y＝kx－k＋2，
聯(lián)立消去y并整理得(4＋k2)x2＋(4k－2k2)x＋k2－4k＝0，
因?yàn)棣ぃ?4k－2k2)2－4(4＋k2)(k2－4k)＞0，
所以k＞0，不妨設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝，x1x2＝，
可得直線BP的方程為＝，令x＝0，解得M，
同理得到N，
所以＋＝
＝
＝＝4，
所以＝2，則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，
故線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
類型3　探索性問(wèn)題
【例3】　已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，直線y＝x為C的一條漸近線．
(1)求C的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得·為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解]　(1)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，直線y＝x為C的一條漸近線，則即即C的方程為x2－＝1．
(2)設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)M(t，0)，使得為定值．
①當(dāng)直線PQ與x軸不重合時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為x＝my＋2，
聯(lián)立消去x可得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
則
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y1＋y2＝－，y1y2＝，
則·＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝(my1＋2－t)(my2＋2－t)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(2－t)(y1＋y2)＋(2－t)2＝＋t2－1，
又為定值，則t＋1＝0，即t＝－1，即存在M(－1，0)，使得·為定值0；
②當(dāng)直線PQ與x軸重合時(shí)，P(－1，0)，Q(1，0)，
當(dāng)M的坐標(biāo)為(－1，0)時(shí)，·＝0．
綜合①②可得：
存在點(diǎn)M(－1，0)，使得·為定值．
微專題強(qiáng)化練(七)　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
一、選擇題
1．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(3，1)在C的內(nèi)部，若點(diǎn)B是拋物線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△ABF周長(zhǎng)的最小值為4＋，則p＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
B　[如圖，過(guò)點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M′，交y軸于M1，拋物線為C：y2＝2px(p＞0)，準(zhǔn)線的方程為x＝－．
B到準(zhǔn)線的距離為|BM′|，則由拋物線的定義可知|BF|＝|BM′|，
所以△ABF的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF|＋|BF|＝|BA|＋|BM′|＋|AF|≥|AH|＋|AF|＝4＋，
∵|AH|＝3＋＝＝，
∴3＋＋＝4＋，∵p＞0，∴p＝2．
故選B．
2．拋物線W：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，其上兩點(diǎn)A，B滿足OA⊥OB，過(guò)O點(diǎn)作OC⊥AB于C，則|CF|的取值范圍是(　　)
A．(0，3] B．
C． D．
C　[拋物線W：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，
設(shè)直線AB的方程為x＝my＋n，n≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得y2－3my－3n＝0，Δ＝9m2＋12n＞0，則y1＋y2＝3m，y1y2＝－3n，
由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，即n2－3n＝0，解得n＝3，
則直線AB：x＝my＋3恒過(guò)定點(diǎn)P(3，0)，由OC⊥AB，可得OC⊥CP，
即C的軌跡為以O(shè)P為直徑的圓(除去原點(diǎn))，即方程為＋y2＝(x≠0)，
所以，即．故選C．]
3．已知橢圓C：＋＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓C上不同于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若直線PA斜率的取值范圍是[1，2]，則直線PB斜率的取值范圍是(　　)
A．[－2，－1] B．
C． D．
D　[由題意得A(－2，0)，B(2，0)，
設(shè)P(x0，y0)，則＋＝1，
其中x0≠±2，
所以kPA·kPB＝·＝＝＝＝－，又因?yàn)橹本€PA斜率的取值范圍是[1，2]，所以直線PB斜率的取值范圍是．]
4．已知F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且|PF1|＜|PF2|，線段PF1的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2，若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則－的最小值為(　　)
A．2 B．－2 C．6 D．－6
B　[設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，可設(shè)P在第二象限，
橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，半焦距為c，
由橢圓和雙曲線的定義可得m＋n＝2a1，－m＋n＝2a2，由線段PF1的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2，可得n＝2c，則c－a2＜m＜2c，又e1＝，e2＝，
則－＝－＝－＝＋2－－4≥2－4＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)＝2－，即m＝c時(shí)，上式取得最小值－2，故選B．]
5．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為直線x＝－1，直線l1：x－my－＝0與C交于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在x軸上方)，與直線x＝－1交于點(diǎn)R，若|QF|＝3，則＝(　　)
A． B． C． D．
C　[如圖，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，∵拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線為直線x＝－1，
∴＝1，p＝2，∴F(1，0)，∴拋物線C的方程為y2＝4x，
聯(lián)立可得y2－4my－4＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴y1y2＝－4＝1＋x2＝3，∴x2＝2，∴y2＝－2，
∴y1＝＝，∴x1＝＝＝1＋x1＝1＋＝，
過(guò)P，Q分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，
則＝＝＝＝＝．
故選C．]
二、填空題
6．已知雙曲線C：x2－＝1的左焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)Q(0，2)，P是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF1|+|PQ|的最小值等于________．
6　[如圖，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
得|PF1|＝|PF2|＋2，
所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，
而Q(0，2)，F(xiàn)2(2，0)，
所以|QF2|＝＝4，
所以最小值為6．]
7．已知橢圓E：＋＝1，P為橢圓E的右頂點(diǎn)，直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且PA⊥PB，則l恒過(guò)除P點(diǎn)以外的定點(diǎn)為________．
　[由題意知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x＝my＋n，
代入橢圓方程，消去x可得(m2＋4)y2＋2mny＋n2－16＝0，Δ＝16(4m2－n2＋16)＞0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＋y2＝－，y1y2＝，
x1x2＝m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2n，由PA⊥PB，P(4，0)，
可得＝(x1－4，y1)，＝(x2－4，y2)，＝0，即(x1－4，y1)·(x2－4，y2)＝0，可得x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋16＝0，m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2－4m(y1＋y2)－8n＋y1y2＋16＝0，
代入y1＋y2＝－，y1y2＝，
化簡(jiǎn)整理可得5n2－32n＋48＝0，
解得n＝，n＝4(舍去)，即x＝my＋，恒過(guò)定點(diǎn)．]
8．已知拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l和直線x－y＋5＝0的距離之和的最小值為________，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
3　(3－2，2－2)　[如圖所示，過(guò)點(diǎn)P分別向l和x－y＋5＝0作垂線，垂足分別為P1，P2，
因?yàn)閽佄锞€C：y2＝4x的焦點(diǎn)F(1，0)，由拋物線的定義得：|PP1|＝|PF|，
所以只需要求|PF|＋|PP2|的最小值即可．
當(dāng)且僅當(dāng)F，P，P2三點(diǎn)共線時(shí)|PF|＋|PP2|最小，且最小值為點(diǎn)F到直線x－y＋5＝0的距離，即＝3．此時(shí)直線x－y＋5＝0與直線FP垂直，所以kFP＝－1，所以直線FP的方程為y＝－(x－1)，直線FP與拋物線C：y2＝4x聯(lián)立得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，且0＜x＜1，x＝3－2，y＝2－2，故點(diǎn)P(3－2，2－2)．]
三、解答題
9．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)A(2，1)，焦距為2，B(0，b)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)D的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，使△BMN是以∠MBN為頂角的等腰三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解]　(1)由題得c＝．
又點(diǎn)A(2，1)在雙曲線上，
所以得
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1．
(2)由(1)知B(0，1)，直線l的斜率一定存在．
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l：y＝0，符合題意；
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(1－4k2)x2－12k2x－(9k2＋4)＝0．
由題意，得即k2<且k2≠，
又x1＋x2＝，x1x2＝－，
則y1＋y2＝k(x1＋x2＋3)＝．
要使△BMN是以∠MBN為頂角的等腰三角形，則點(diǎn)B在MN的垂直平分線上．
又MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以－＝＝，
解得k＝或k＝－2(舍去)，
此時(shí)直線l的方程為2x－16y＋3＝0．
所以存在滿足題意的直線l，且直線l的方程為y＝0或2x－16y＋3＝0．
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