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微專題5　弦長問題
第三章　圓錐曲線的方程
1．橢圓中與弦長有關的問題是高考的熱點，也是難點，主要涉及求弦長以及與弦長有關的最值、范圍問題．求解弦長可以先求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求解，也可以利用弦長公式求解．求解與弦長有關的最值、范圍問題主要有三種方法：
(1)定義法：利用定義轉化為幾何問題處理．
(2)數形結合法：利用數與形結合，挖掘幾何特征，進而求解．
(3)函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題，借助函數單調性、基本不等式等求解．
2．弦長公式
設直線方程為y＝kx＋m(k≠0)，橢圓方程為＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直線與橢圓的兩個交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)時，
|AB|＝＝·
＝·．
【例1】　已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是－1．
(1)求橢圓C的方程；
(2)傾斜角為45°的直線l交橢圓于A，B兩點，已知|AB|＝，求直線l的一般式方程．
類型1　弦長問題
[解]　(1)由橢圓C：＋＝1的離心率e＝＝，可得a＝c，
由橢圓上的點到焦點的最小距離是－1，即a－c＝－1，
解得a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以橢圓的方程為＋＝1．
(2)因為直線l的傾斜角為45°，設l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立整理得5x2＋6mx＋3m2－6＝0，
可得Δ＝36m2－4×5(3m2－6)＝24(5－m2)＞0，解得－＜m＜，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
又由|AB|＝＝
＝＝，解得m＝±1，滿足Δ＞0，
所以直線l的一般式方程為x－y－1＝0或x－y＋1＝0．
【例2】　已知點A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，F是橢圓的焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設過點A的直線l與橢圓E交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．
類型2　與弦長有關的最值、范圍問題
[解]　(1)由題意可知F是橢圓的右焦點，設點F(c，0)，因為直線AF的斜率為，A(0，－2)，所以＝，解得c＝．
又因為＝，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝1，
所以橢圓E的方程為＋y2＝1．
(2)由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
聯立消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
則有Δ＝16(4k2－3)＞0，
即k2＞，x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|PQ|＝·
＝·＝．
又點O到直線l的距離d＝，所以S△OPQ＝＝．
設＝t＞0，則4k2＝t2＋3，S△OPQ＝＝≤＝1，
當且僅當t＝2，即＝2，即k＝±時取等號，滿足k2＞．
所以當△OPQ的面積最大時，直線l的方程為x－y－2＝0或x＋y＋2＝0．
微專題強化練(五)
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弦長問題
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THANKS微專題5　弦長問題
1．橢圓中與弦長有關的問題是高考的熱點，也是難點，主要涉及求弦長以及與弦長有關的最值、范圍問題．求解弦長可以先求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求解，也可以利用弦長公式求解．求解與弦長有關的最值、范圍問題主要有三種方法：
(1)定義法：利用定義轉化為幾何問題處理．
(2)數形結合法：利用數與形結合，挖掘幾何特征，進而求解．
(3)函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題，借助函數單調性、基本不等式等求解．
2．弦長公式
設直線方程為y＝kx＋m(k≠0)，橢圓方程為＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，直線與橢圓的兩個交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB|＝·＝·．
類型1　弦長問題
【例1】　已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是－1．
(1)求橢圓C的方程；
(2)傾斜角為45°的直線l交橢圓于A，B兩點，已知|AB|＝，求直線l的一般式方程．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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類型2　與弦長有關的最值、范圍問題
【例2】　已知點A(0，－2)，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的離心率為，F是橢圓的焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設過點A的直線l與橢圓E交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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2/2微專題5　弦長問題
1．橢圓中與弦長有關的問題是高考的熱點，也是難點，主要涉及求弦長以及與弦長有關的最值、范圍問題．求解弦長可以先求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求解，也可以利用弦長公式求解．求解與弦長有關的最值、范圍問題主要有三種方法：
(1)定義法：利用定義轉化為幾何問題處理．
(2)數形結合法：利用數與形結合，挖掘幾何特征，進而求解．
(3)函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題，借助函數單調性、基本不等式等求解．
2．弦長公式
設直線方程為y＝kx＋m(k≠0)，橢圓方程為＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直線與橢圓的兩個交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)時，
|AB|＝＝·＝·．
類型1　弦長問題
【例1】　已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是－1．
(1)求橢圓C的方程；
(2)傾斜角為45°的直線l交橢圓于A，B兩點，已知|AB|＝，求直線l的一般式方程．
[解]　(1)由橢圓C：＋＝1的離心率e＝＝，可得a＝c，
由橢圓上的點到焦點的最小距離是－1，即a－c＝－1，
解得a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以橢圓的方程為＋＝1．
(2)因為直線l的傾斜角為45°，設l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立整理得5x2＋6mx＋3m2－6＝0，
可得Δ＝36m2－4×5(3m2－6)＝24(5－m2)＞0，解得－＜m＜，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
又由|AB|＝＝
＝＝，
解得m＝±1，滿足Δ＞0，
所以直線l的一般式方程為x－y－1＝0或x－y＋1＝0．
類型2　與弦長有關的最值、范圍問題
【例2】　已知點A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，F是橢圓的焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設過點A的直線l與橢圓E交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．
[解]　(1)由題意可知F是橢圓的右焦點，設點F(c，0)，因為直線AF的斜率為，A(0，－2)，所以＝，解得c＝．
又因為＝，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝1，
所以橢圓E的方程為＋y2＝1．
(2)由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
聯立消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
則有Δ＝16(4k2－3)＞0，
即k2＞，x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|PQ|＝·
＝·
＝．
又點O到直線l的距離d＝，所以S△OPQ＝＝．
設＝t＞0，則4k2＝t2＋3，
S△OPQ＝＝≤＝1，
當且僅當t＝2，即＝2，即k＝±時取等號，滿足k2＞．
所以當△OPQ的面積最大時，直線l的方程為x－y－2＝0或x＋y＋2＝0．
微專題強化練(五)　弦長問題
一、選擇題
1．已知F1(－2，0)，F2(2，0)是橢圓C的焦點，過F2的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|最小為6，則橢圓C的方程為(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
C　[由＝6，c＝2及a2＝b2＋c2，得a2＝16，b2＝12，故選C．]
2．已知橢圓C：＋＝1，F為橢圓C的右焦點，過原點O且斜率不為0的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，則△PQF面積的最大值為(　　)
A．1 B．2 C．2 D．
D　[畫出圖象如圖所示，
由于|OF|＝c＝1，
所以S△PQF＝max等于橢圓的短軸長，所以△PQF的面積的最大值為(S△PQF)max＝×2b＝bc＝．]
3．直線y＝kx－1被橢圓C：＋y2＝1截得的最長的弦長為(　　)
A．3 B． C．2 D．
B　[聯立
可得(1＋5k2)x2－10kx＝0，
解得x＝0或x＝，
則弦長l＝·，
令1＋5k2＝t(t≥1)，
則l＝10·
＝2
＝2，
當t＝，即k＝±時，
l取得最大值2×＝．]
4．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為(　　)
A． B．
C． D．
B　[設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋m，
由
消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
由Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2＞0，得0≤m2＜5．
則x1＋x2＝－，x1x2＝．
∴|AB|＝
＝·
＝·
＝·，
∴當m＝0時，．]
5．(多選)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，O為坐標原點，直線y＝x－過F2交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為8，則(　　)
A．橢圓的焦距為
B．橢圓方程為＋y2＝1
C．|AB|＝
D．S△OAB＝
BC　[因為△AF1B的周長為8，所以4a＝8，得a＝2，因為y＝x－過右焦點F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以橢圓的焦距為2，故A錯誤；
橢圓方程為＋y2＝1，故B正確；
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得5x2－8x＋8＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝＝＝＝＝，故C正確；
原點到直線y＝x－的距離d＝＝，
所以S△OAB＝＝××＝，故D錯誤．]
二、填空題
6．橢圓C：＋＝1的右焦點為F，過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則△ABF的面積的最大值為________．
4　[在橢圓C中，a＝2，b＝2，
則c＝＝2，則F(2，0)，
由題意可知，A，B關于原點對稱，
當A，B為橢圓C短軸的端點時，△ABF的面積取得最大值，且最大值為×c×2b＝4．]
7．設AB是橢圓的長軸，點C在橢圓上，且∠CBA＝．若|AB|＝4，|BC|＝，則橢圓的兩個焦點之間的距離為________．
　[不妨設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，由題意知2a＝4，a＝2．
∵∠CBA＝＝，∴不妨設點C的坐標為(－1，1)．
∵點C在橢圓上，∴＋＝1，∴b2＝，∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，則橢圓的兩個焦點之間的距離為．]
三、解答題
8．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的一個頂點為A(0，1)，焦距為2．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點P(0，－2)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，且|BC|＝，求k的值．
[解]　(1)由題意知，b＝1，c＝，所以a2＝b2＋c2＝4，
所以橢圓E的方程為＋y2＝1．
(2)過點P(0，－2)且斜率為k的直線方程為y＝kx－2，設B(x1，y1)，C(x2，y2)，
聯立方程得消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
Δ＝256k2－48(1＋4k2)＝64k2－48＞0，
解得k＜－或k＞，
由根與系數的關系得，x1＋x2＝，x1x2＝，
|BC|＝·＝·＝，
整理得68k4＋9k2－77＝0，解得k2＝1或k2＝－(舍去)，
所以k＝±1．
9．在平面直角坐標系Oxy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且點P(2，1)在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)斜率為－1的直線與橢圓C相交于A，B兩點，求△AOB面積的最大值．
[解]　(1)由題意得
∴
∴橢圓C的方程為＋＝1．
(2)設直線AB的方程為y＝－x＋m，
聯立
得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
∴
∴|AB|＝＝，
原點到直線AB的距離d＝．
∴S△OAB＝××
＝≤·
＝．
當且僅當m＝±時，等號成立，此時滿足Δ＞0，
∴△AOB面積的最大值為．
7/7微專題強化練(五)　弦長問題
一、選擇題
1．已知F1(－2，0)，F2(2，0)是橢圓C的焦點，過F2的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|最小為6，則橢圓C的方程為(　　)
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．已知橢圓C：＝1，F為橢圓C的右焦點，過原點O且斜率不為0的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，則△PQF面積的最大值為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．2
3．直線y＝kx－1被橢圓C：＋y2＝1截得的最長的弦長為(　　)
A．3　　　B．　　　C．2　　　D．
4．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
5．(多選)已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，O為坐標原點，直線y＝x－過F2交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為8，則(　　)
A．橢圓的焦距為
B．橢圓方程為＋y2＝1
C．|AB|＝
D．S△OAB＝
二、填空題
6．橢圓C：＝1的右焦點為F，過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則△ABF的面積的最大值為________．
7．設AB是橢圓的長軸，點C在橢圓上，且∠CBA＝．若|AB|＝4，|BC|＝，則橢圓的兩個焦點之間的距離為________．
三、解答題
8．已知橢圓E：＝1(a＞b＞0)的一個頂點為A(0，1)，焦距為2．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點P(0，－2)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，且|BC|＝，求k的值．
9．在平面直角坐標系Oxy中，橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率e＝，且點P(2，1)在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)斜率為－1的直線與橢圓C相交于A，B兩點，求△AOB面積的最大值．
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