資源簡介

模塊綜合測評
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．直線x＋y－2 024＝0的傾斜角等于(　　)
A．45°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150°
2．已知點P(5，4，－3)，則點P到x軸的距離為(　　)
A．3　　　B．5　　　C．2
3．設(shè)雙曲線C1：x2－y2＝1，C2：＝1(b＞0)的離心率分別為e1，e2，若e2＝e1，則b＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．
4．一入射光線經(jīng)過點M(2，6)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(－3，4)，則反射光線所在直線方程為(　　)
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
5．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則△ABF的面積為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．
6．如圖，平面ABC內(nèi)的小方格均為正方形，點P為平面ABC內(nèi)的一點，O為平面ABC外一點，設(shè)，則m＋n的值為(　　)
A．1　　　　B．－1　　　C．2　　　　D．－2
7．若點A(m，n)在圓C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，則的取值范圍為(　　)
A．　　　B．　　　C．[0，4]　　　D．
8．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點A，B，點T在x軸上，滿足，且BF2經(jīng)過△BF1T的內(nèi)切圓圓心，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．　　　B．2　　　C．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知圓A：x2＋y2－2x－3＝0，則下列說法正確的是(　　)
A．圓A的半徑為4
B．圓A截y軸所得的弦長為2
C．圓A上的點到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為1
D．圓A與圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相離
10．(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線y＝－(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則(　　)
A．p＝2 B．|MN|＝
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．△OMN為等腰三角形
11．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線上第一象限內(nèi)一點，且∠F1PF2＝＝2，F(xiàn)1關(guān)于∠F1PF2的平分線的對稱點Q恰好在C上，則(　　)
A．C的實軸長為2
B．C的離心率為2
C．△F1PF2的面積為2
D．∠F1PF2的平分線所在直線的方程為x－y－1＝0
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．與a＝(2，－1，2)共線且滿足a·b＝－9的向量b＝________．
13．已知點(1，－1)關(guān)于直線l1：y＝2x的對稱點為A，設(shè)直線l2經(jīng)過點A，則當(dāng)點B(2，－1)到直線l2的距離最大時，直線l2的方程是________．
14．直線mx＋y－2＝0(m∈R)與圓C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B兩點，則弦長，則m的值為________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(13分)已知A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)，圓M是△ABC的外接圓．
(1)求圓M的方程；
(2)若直線l過點(1，－5)，且被圓M截得的弦長為6，求直線l的方程．
16．(15分)(2023·北京卷)已知橢圓E：＝1(a＞b＞0)的離心率為＝4．
(1)求E的方程；
(2)點P為第一象限內(nèi)E上的一個動點，直線PD與直線BC交于點M，直線PA與直線y＝－2交于點N．求證：MN∥CD．
17．(15分)如圖，已知圓O∶x2＋y2＝4，過點E(1，0)的直線l與圓O相交于A，B兩點．
(1)當(dāng)|AB|＝時，求直線l的方程；
(2)已知點D在圓O上，C(2，0)，且AB⊥CD，求四邊形ACBD面積的最大值．
18．(17分)(2024·天津卷)如圖，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中點，M是DD1的中點．
(1)求證D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M與平面BB1C1C夾角的余弦值；
(3)求點B到平面CB1M的距離．
19．(17分)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，點A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)過點(－2，3)的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點．
5/5(共26張PPT)
全書要點速記
要點1　共線、共面向量基本定理
1．共線向量基本定理
對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb．
推論：若存在實數(shù)t，使＝(1－t)(O為空間任意一點)，則P，A，B三點共線．
第一章　空間向量與立體幾何
2．共面向量基本定理
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb．
推論：已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，則滿足向量關(guān)系式(其中x＋y＋z＝1)的點P與點A，B，C共面．
要點2　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用
(1)a⊥b a·b＝0，此結(jié)論一般用于證明空間中的垂直關(guān)系．
(2)|a|2＝a2，此結(jié)論一般用于求空間中線段的長度．
(3)cos 〈a，b〉＝，此結(jié)論一般用于求空間角的問題．
(4)|b|cos 〈a，b〉＝，此結(jié)論一般用于求空間中的距離問題．
要點3　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則
線線平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R
線面平行 l∥α a⊥u a·u＝0
面面平行 α∥β u∥v u＝kv，k∈R
線線垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
線面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R
注意：(1)線線夾角、線面夾角、面面夾角的范圍都為0≤θ≤．(2)二面角的范圍為[0，π]，解題時應(yīng)具體分析二面角是銳角還是
鈍角．
面面垂直 α⊥β u⊥v u·v＝0
線線夾角 l，m的夾角為θ，cos θ＝
線面夾角 l，α的夾角為θ，sin θ＝
面面夾角 α，β的夾角為θ，cos θ＝
要點1　直線的方程
第二章　直線和圓的方程
已知條件 方程 適用范圍
點斜式 點P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在，即適用于與x軸不垂直的直線
斜截式 斜率k和直線在y軸上的截距為b y＝kx＋b
已知條件 方程 適用范圍
兩點式 點P1(x1，y1)和P2(x2，y2) ＝ 斜率存在且不為0，即適用于與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
截距式 直線在x軸上的截距為a和直線在y軸上的截距為b ＋＝1 斜率存在且不為0，直線不過原點，即適用于不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同時為0) 所有直線
要點2　兩條直線的位置關(guān)系
位置關(guān)系 方程形式
斜截式：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 一般式：A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或
或＝≠(A2，B2，C2均不為0)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0
要點3　平面上的距離公式
(1)任意兩點間的距離：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|＝．
(2)點到直線的距離：點P0(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝．
(3)兩條平行直線間的距離：直線Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A與B不同時為0，且C1≠C2)間的距離d＝．
要點4　圓的方程
1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
圓心為(a，b)，半徑為r(r>0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．圓的一般方程
當(dāng)D2＋E2－4F >0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，圓心為，半徑為．
3．求圓的方程的方法
(1)幾何性質(zhì)法：利用圓的任意弦的垂直平分線過圓心求出圓心，再求圓的方程．
(2)待定系數(shù)法：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(條件與圓心或半徑有關(guān))(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用條件求出a，b，r或D，E，F(xiàn)即可．
要點5　直線與圓的位置關(guān)系
1．直線與圓的位置關(guān)系的判定方法
關(guān)系 相交 相切 相離
幾何法 dr
代數(shù)法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
說明：d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑，Δ為直線和圓的方程聯(lián)立消元后所得一元二次方程的根的判別式．
2．求弦長的方法
(1)利用垂徑定理：已知半徑r、弦心距d、弦長l，則d 2＋＝r2．
(2)利用弦長公式：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，
則弦長為．
3．圓的切線方程
(1)經(jīng)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2．
(2)經(jīng)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)經(jīng)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0．
4．求切線方程的方法
若切線斜率存在，記為k，且不為0．
(1)幾何法：利用圓心到直線的距離等于半徑，求出k，即得切線方程．
(2)代數(shù)法：將切線方程與圓的方程聯(lián)立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切線方程．
注意：過圓外一點的切線有兩條，若解出的k值唯一，則應(yīng)檢驗是否有一條與x軸垂直的切線．
要點6　圓與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
幾何法 d >R＋r d＝R＋r R－r代數(shù)法 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
說明：d為兩圓的圓心距，R，r(R>r)分別為兩圓半徑，Δ為聯(lián)立兩圓方程消元后所得的一元二次方程的根的判別式．由于利用代數(shù)法求出Δ<0或Δ＝0后兩圓的位置關(guān)系仍不明確，因此一般利用幾何法判斷兩圓的位置關(guān)系．
要點1　橢圓、雙曲線、拋物線的比較
第三章　圓錐曲線的方程
橢圓 雙曲線 拋物線
定義 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l
(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡
橢圓 雙曲線 拋物線
標(biāo)準(zhǔn) 方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
幾何 圖形
橢圓 雙曲線 拋物線
集合 表示 {M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|>0} {M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1F2|} {M||MF|＝點M到直線l的距離}
焦點 F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F
范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a，0)，A2(a，0) O(0，0)
橢圓 雙曲線 拋物線
中心 原點(0，0) 原點(0，0) 無
離心率 01 e＝1
通徑長 2p
焦半徑 |MF1|＝a＋exM，|MF2|＝a－exM 當(dāng)點M在右支上時，|MF1|＝a＋exM， |MF2|＝－a＋exM； 當(dāng)點M在左支上時，|MF1|＝－a－exM，|MF2|＝a－exM |MF|＝＋xM
要點2　橢圓、雙曲線的焦點三角形的相關(guān)結(jié)論
1．橢圓
設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為橢圓上一點，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．則
(1)當(dāng)且僅當(dāng)a2≥2b2時，橢圓上存在以P為直角頂點的直角三角形，其中，當(dāng)a2＝2b2時，直角頂點為短軸端點．
(2)離心率e＝＝，e＝．
(3)|PF1|·|PF2|＝＝b2tan ．
2．雙曲線
設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線上一點，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．則
(1)離心率e＝＝，e＝．
(2)|PF1|·|PF2|＝＝．
要點3　拋物線焦點弦的相關(guān)結(jié)論
已知F是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，PQ為過焦點F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直線的傾斜角為θ．則
(1)焦點弦長|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦點弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切．
(2)P，Q的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積均為定值：x1x2＝，y1y2＝－p2．
(3)|PF|＝＝＝，＋＝，S△OPQ＝(O為拋物線的頂點)．
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鞏固課堂所學(xué) · 激發(fā)學(xué)習(xí)思維
夯實基礎(chǔ)知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節(jié)課掌握了哪些考點？
本節(jié)課還有什么疑問點？
課后訓(xùn)練
學(xué)習(xí)反思
課時小結(jié)
THANKS第一章　空間向量與立體幾何
要點1　共線、共面向量基本定理
1．共線向量基本定理
對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb．
推論：若存在實數(shù)t，使＝(1－t)(O為空間任意一點)，則P，A，B三點共線．
2．共面向量基本定理
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb．
推論：已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，則滿足向量關(guān)系式(其中x＋y＋z＝1)的點P與點A，B，C共面．
要點2　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用
(1)a⊥b a·b＝0，此結(jié)論一般用于證明空間中的垂直關(guān)系．
(2)|a|2＝a2，此結(jié)論一般用于求空間中線段的長度．
(3)cos 〈a，b〉＝，此結(jié)論一般用于求空間角的問題．
(4)|b|cos 〈a，b〉＝，此結(jié)論一般用于求空間中的距離問題．
要點3　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則
線線平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R
線面平行 l∥α a⊥u a·u＝0
面面平行 α∥β u∥v u＝kv，k∈R
線線垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
線面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R
面面垂直 α⊥β u⊥v u·v＝0
線線夾角 l，m的夾角為θ，cos θ＝
線面夾角 l，α的夾角為θ，sin θ＝
面面夾角 α，β的夾角為θ，cos θ＝
注意：(1)線線夾角、線面夾角、面面夾角的范圍都為0≤θ≤．(2)二面角的范圍為[0，π]，解題時應(yīng)具體分析二面角是銳角還是鈍角．
第二章　直線和圓的方程
要點1　直線的方程
已知條件 方程 適用范圍
點斜式 點P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在，即適用于與x軸不垂直的直線
斜截式 斜率k和直線在y軸上的截距為b y＝kx＋b
兩點式 點P1(x1，y1)和P2(x2，y2) ＝ 斜率存在且不為0，即適用于與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
截距式 直線在x軸上的截距為a和直線在y軸上的截距為b ＋＝1 斜率存在且不為0，直線不過原點，即適用于不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0) 所有直線
要點2　兩條直線的位置關(guān)系
位置關(guān)系 方程形式
斜截式： y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 一般式： A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或 或＝≠(A2，B2，C2均不為0)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0
要點3　平面上的距離公式
(1)任意兩點間的距離：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|＝．
(2)點到直線的距離：點P0(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝．
(3)兩條平行直線間的距離：直線Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A與B不同時為0，且C1≠C2)間的距離d＝．
要點4　圓的方程
1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
圓心為(a，b)，半徑為r(r>0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．圓的一般方程
當(dāng)D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，圓心為，半徑為．
3．求圓的方程的方法
(1)幾何性質(zhì)法：利用圓的任意弦的垂直平分線過圓心求出圓心，再求圓的方程．
(2)待定系數(shù)法：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(條件與圓心或半徑有關(guān))(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用條件求出a，b，r或D，E，F(xiàn)即可．
要點5　直線與圓的位置關(guān)系
1．直線與圓的位置關(guān)系的判定方法
關(guān)系 相交 相切 相離
幾何法 dr
代數(shù)法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
說明：d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑，Δ為直線和圓的方程聯(lián)立消元后所得一元二次方程的根的判別式．
2．求弦長的方法
(1)利用垂徑定理：已知半徑r、弦心距d、弦長l，則d2＋＝r2．
(2)利用弦長公式：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，則弦長為．
3．圓的切線方程
(1)經(jīng)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2．
(2)經(jīng)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)經(jīng)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＋D··＋F＝0．
4．求切線方程的方法
若切線斜率存在，記為k，且不為0．
(1)幾何法：利用圓心到直線的距離等于半徑，求出k，即得切線方程．
(2)代數(shù)法：將切線方程與圓的方程聯(lián)立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切線方程．
注意：過圓外一點的切線有兩條，若解出的k值唯一，則應(yīng)檢驗是否有一條與x軸垂直的切線．
要點6　圓與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
幾何法 d>R＋r d＝R＋r R－r代數(shù)法 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
說明：d為兩圓的圓心距，R，r(R>r)分別為兩圓半徑，Δ為聯(lián)立兩圓方程消元后所得的一元二次方程的根的判別式．由于利用代數(shù)法求出Δ<0或Δ＝0后兩圓的位置關(guān)系仍不明確，因此一般利用幾何法判斷兩圓的位置關(guān)系．
第三章　圓錐曲線的方程
要點1　橢圓、雙曲線、拋物線的比較
橢圓 雙曲線 拋物線
定義 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡
標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
幾何圖形
集合表示 {M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|>0} {M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1F2|} {M||MF|＝點M到直線l的距離}
焦點 F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F
范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a，0)，A2(a，0) O(0，0)
中心 原點(0，0) 原點(0，0) 無
離心率 01 e＝1
通徑長 2p
焦半徑 |MF1|＝a＋exM，|MF2|＝a－exM 當(dāng)點M在右支上時， |MF1|＝a＋exM， |MF2|＝－a＋exM； 當(dāng)點M在左支上時，|MF1|＝－a－exM， |MF2|＝a－exM |MF|＝＋xM
要點2　橢圓、雙曲線的焦點三角形的相關(guān)結(jié)論
1．橢圓
設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為橢圓上一點，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．則
(1)當(dāng)且僅當(dāng)a2≥2b2時，橢圓上存在以P為直角頂點的直角三角形，其中，當(dāng)a2＝2b2時，直角頂點為短軸端點．
(2)離心率e＝．
(3)|PF1|·|PF2|＝＝b2tan ．
2．雙曲線
設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線上一點，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．則
(1)離心率e＝．
(2)|PF1|·|PF2|＝．
要點3　拋物線焦點弦的相關(guān)結(jié)論
已知F是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，PQ為過焦點F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直線的傾斜角為θ．則
(1)焦點弦長|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦點弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切．
(2)P，Q的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積均為定值：x1x2＝，y1y2＝－p2．
(3)|PF|＝＝＝，S△OPQ＝拋物線的頂點)．
6/6第一章　空間向量與立體幾何
要點1　共線、共面向量基本定理
1．共線向量基本定理
對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb．
推論：若存在實數(shù)t，使＝(1－t)(O為空間任意一點)，則P，A，B三點共線．
2．共面向量基本定理
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb．
推論：已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，則滿足向量關(guān)系式(其中x＋y＋z＝1)的點P與點A，B，C共面．
要點2　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用
(1)a⊥b a·b＝0，此結(jié)論一般用于證明空間中的垂直關(guān)系．
(2)|a|2＝a2，此結(jié)論一般用于求空間中線段的長度．
(3)cos 〈a，b〉＝，此結(jié)論一般用于求空間角的問題．
(4)|b|cos 〈a，b〉＝，此結(jié)論一般用于求空間中的距離問題．
要點3　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則
線線平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R
線面平行 l∥α a⊥u a·u＝0
面面平行 α∥β u∥v u＝kv，k∈R
線線垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
線面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R
面面垂直 α⊥β u⊥v u·v＝0
線線夾角 l，m的夾角為θ，cos θ＝
線面夾角 l，α的夾角為θ，sin θ＝
面面夾角 α，β的夾角為θ，cos θ＝
注意：(1)線線夾角、線面夾角、面面夾角的范圍都為0≤θ≤．(2)二面角的范圍為[0，π]，解題時應(yīng)具體分析二面角是銳角還是鈍角．
第二章　直線和圓的方程
要點1　直線的方程
已知條件 方程 適用范圍
點斜式 點P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在，即適用于與x軸不垂直的直線
斜截式 斜率k和直線在y軸上的截距為b y＝kx＋b
兩點式 點P1(x1，y1)和P2(x2，y2) ＝ 斜率存在且不為0，即適用于與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
截距式 直線在x軸上的截距為a和直線在y軸上的截距為b ＋＝1 斜率存在且不為0，直線不過原點，即適用于不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0) 所有直線
要點2　兩條直線的位置關(guān)系
位置關(guān)系 方程形式
斜截式： y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 一般式： A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或 或＝≠(A2，B2，C2均不為0)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0
要點3　平面上的距離公式
(1)任意兩點間的距離：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|＝．
(2)點到直線的距離：點P0(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝．
(3)兩條平行直線間的距離：直線Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A與B不同時為0，且C1≠C2)間的距離d＝．
要點4　圓的方程
1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
圓心為(a，b)，半徑為r(r>0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．圓的一般方程
當(dāng)D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，圓心為，半徑為．
3．求圓的方程的方法
(1)幾何性質(zhì)法：利用圓的任意弦的垂直平分線過圓心求出圓心，再求圓的方程．
(2)待定系數(shù)法：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(條件與圓心或半徑有關(guān))(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用條件求出a，b，r或D，E，F(xiàn)即可．
要點5　直線與圓的位置關(guān)系
1．直線與圓的位置關(guān)系的判定方法
關(guān)系 相交 相切 相離
幾何法 dr
代數(shù)法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
說明：d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑，Δ為直線和圓的方程聯(lián)立消元后所得一元二次方程的根的判別式．
2．求弦長的方法
(1)利用垂徑定理：已知半徑r、弦心距d、弦長l，則d2＋＝r2．
(2)利用弦長公式：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，則弦長為．
3．圓的切線方程
(1)經(jīng)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2．
(2)經(jīng)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)經(jīng)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0．
4．求切線方程的方法
若切線斜率存在，記為k，且不為0．
(1)幾何法：利用圓心到直線的距離等于半徑，求出k，即得切線方程．
(2)代數(shù)法：將切線方程與圓的方程聯(lián)立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切線方程．
注意：過圓外一點的切線有兩條，若解出的k值唯一，則應(yīng)檢驗是否有一條與x軸垂直的切線．
要點6　圓與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
幾何法 d>R＋r d＝R＋r R－r代數(shù)法 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
說明：d為兩圓的圓心距，R，r(R>r)分別為兩圓半徑，Δ為聯(lián)立兩圓方程消元后所得的一元二次方程的根的判別式．由于利用代數(shù)法求出Δ<0或Δ＝0后兩圓的位置關(guān)系仍不明確，因此一般利用幾何法判斷兩圓的位置關(guān)系．
第三章　圓錐曲線的方程
要點1　橢圓、雙曲線、拋物線的比較
橢圓 雙曲線 拋物線
定義 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡
標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
幾何圖形
集合表示 {M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|>0} {M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1F2|} {M||MF|＝點M到直線l的距離}
焦點 F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F
范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a，0)，A2(a，0) O(0，0)
中心 原點(0，0) 原點(0，0) 無
離心率 01 e＝1
通徑長 2p
焦半徑 |MF1|＝a＋exM，|MF2|＝a－exM 當(dāng)點M在右支上時， |MF1|＝a＋exM， |MF2|＝－a＋ exM； 當(dāng)點M在左支上時，|MF1|＝－a－exM， |MF2|＝a－exM |MF|＝＋xM
要點2　橢圓、雙曲線的焦點三角形的相關(guān)結(jié)論
1．橢圓
設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為橢圓上一點，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．則
(1)當(dāng)且僅當(dāng)a2≥2b2時，橢圓上存在以P為直角頂點的直角三角形，其中，當(dāng)a2＝2b2時，直角頂點為短軸端點．
(2)離心率e＝＝，e＝．
(3)|PF1|·|PF2|＝＝b2tan ．
2．雙曲線
設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線上一點，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．則
(1)離心率e＝＝，e＝．
(2)|PF1|·|PF2|＝＝．
要點3　拋物線焦點弦的相關(guān)結(jié)論
已知F是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，PQ為過焦點F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直線的傾斜角為θ．則
(1)焦點弦長|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦點弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切．
(2)P，Q的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積均為定值：x1x2＝，y1y2＝－p2．
(3)|PF|＝＝＝，＋＝，S△OPQ＝(O為拋物線的頂點)．
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．直線x＋y－2 024＝0的傾斜角等于(　　)
A．45° B．60° C．120° D．150°
C　[直線x＋y－2 024＝0可化為y＝－x＋2 024，
則直線的斜率為－，所以直線的傾斜角等于120°．故選C．]
2．已知點P(5，4，－3)，則點P到x軸的距離為(　　)
A．3 B．5 C．2 D．
B　[∵點P(5，4，－3)，∴點P到x軸的距離為＝5．故選B．]
3．設(shè)雙曲線C1：x2－y2＝1，C2：－＝1(b＞0)的離心率分別為e1，e2，若e2＝e1，則b＝(　　)
A．1 B．2 C． D．
A　[由雙曲線C1：x2－y2＝1，可得其離心率為e1＝，
又由雙曲線C2：－＝1(b＞0)，可得其離心率為e2＝＝，
因為e2＝e1，可得＝×，解得b＝1．故選A．]
4．一入射光線經(jīng)過點M(2，6)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(－3，4)，則反射光線所在直線方程為(　　)
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
D　[∵光線經(jīng)過點M(2，6)，設(shè)M關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點K(x，y)，
∴即K(3，5)，
∵N(－3，4)，∴直線NK的斜率為：＝，
∴反射光線所在直線的方程是：y－4＝(x＋3)，即x－6y＋27＝0，故選D．]
5．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則△ABF的面積為(　　)
A．1 B．2 C．4 D．
B　[由題意得，F(xiàn)(1，0)，則|AF|＝|BF|＝2，即點A到準(zhǔn)線x＝－1的距離為2，所以點A的橫坐標(biāo)滿足xA＋1＝2，可得xA＝1，所以A(1，±2)，由各點坐標(biāo)易知∠AFB＝90°，所以S△ABF＝＝×2×2＝2．故選B．]
6．如圖，平面ABC內(nèi)的小方格均為正方形，點P為平面ABC內(nèi)的一點，O為平面ABC外一點，設(shè)，則m＋n的值為(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
B　[由題知，∵A，P，B，C四點共面，
根據(jù)平面向量基本定理，不妨設(shè)，(x，y∈R)，
則＋x＋y＝(1－x－y)，∵，∴∴m＋n＝1－x－y＋x＝1－y＝－1．故選B．]
7．若點A(m，n)在圓C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，則的取值范圍為(　　)
A． B．
C．[0，4] D．
B　[因為點A(m，n)在圓C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，
則的幾何意義為圓上點與定點P(－4，0)的斜率，
圓C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－4)2＝16，如圖所示，
由題意可知切線的斜率存在且PB的斜率為0，設(shè)圓C的切線方程為y＝k(x＋4)，
則＝4，解得k＝0或k＝，故k的取值范圍為．故選B．]
8．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點A，B，點T在x軸上，滿足＝3AF2，且BF2經(jīng)過△BF1T的內(nèi)切圓圓心，則雙曲線C的離心率為(　　)
A． B．2 C． D．
C　[設(shè)|AF1|＝m，∴|AF2|＝m＋2a，∵＝3AF2，
∴＝＝＝，
∴|AB|＝2m，|BF2|＝3m－2a，|BT|＝3m＋6a，|F2T|＝4c，
BF2經(jīng)過△BF1T的內(nèi)切圓圓心，∴BF2是∠F1BT的平分線，
∴＝＝，∴3m＋6a＝2×3m，∴m＝2a，
∴|AB|＝|BF2|＝|AF2|，∴△ABF2是正三角形，
在△BF1F2中，由余弦定理有(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×6a×4a×，
∴4c2＝28a2，∴e＝＝，故選C．]
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知圓A：x2＋y2－2x－3＝0，則下列說法正確的是(　　)
A．圓A的半徑為4
B．圓A截y軸所得的弦長為2
C．圓A上的點到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為1
D．圓A與圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相離
BC　[把圓A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4，
所以圓A的圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑為2，A錯誤；
圓A截y軸所得的弦長為2×＝2，B正確；
圓心(1，0)到直線3x－4y＋12＝0的距離為3，
故圓A上的點到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為3－2＝1，C正確；
圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圓心為B(4，4)，半徑為3，
則點A與點B之間的距離為＝5，
圓A與圓B相切，D錯誤．故選BC．]
10．(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線y＝－(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN為直徑的圓與l相切
D．△OMN為等腰三角形
AC　[由題意，易知直線y＝－(x－1)過點(1，0)．
對于A，因為直線經(jīng)過拋物線C的焦點，所以易知焦點坐標(biāo)為(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以A選項正確．
對于B，不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1對于C，l的方程為x＝－1，以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r＝＝＝＋1，所以以MN為直徑的圓與l相切，故C選項正確．
對于D，由兩點間距離公式可得|OM|＝＝＝，故D選項錯誤．故選AC．]
11．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線上第一象限內(nèi)一點，且∠F1PF2＝＝2，F(xiàn)1關(guān)于∠F1PF2的平分線的對稱點Q恰好在C上，則(　　)
A．C的實軸長為2
B．C的離心率為2
C．△F1PF2的面積為2
D．∠F1PF2的平分線所在直線的方程為x－y－1＝0
ACD　[由題意，在C：－＝1(a＞0，b＞0)中，
∵F1關(guān)于∠F1PF2的平分線的對稱點Q恰好在C上，∴P，F(xiàn)2，Q三點共線，且|PF1|＝|PQ|，
∵∠F1PF2＝，∴＝|F1Q|＝|PQ|．
設(shè)|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|＝m，|PF2|＝n，根據(jù)雙曲線定義可得|PF1|－|PF2|＝m－n＝2a，
|QF1|－|QF2|＝m－(m－n)＝2a，解得m＝4a，n＝2a，即|PF2|＝|QF2|＝2a，∴PQ⊥F1F2．
在△F1PF2中，根據(jù)勾股定理可得，16a2＝4a2＋12，解得a＝1，∴C的實軸長為2，所以A正確；又a＝1，c＝，∴C的離心率為，所以B不正確；
△F1PF2的面積為×2×2＝2，∴C正確；∵PQ⊥F1F2，∴P(，2)，
∵∠F1PF2＝，易得∠F1PF2的平分線的傾斜角為，∴∠F1PF2的平分線所在直線的方程為y－2＝(x－)，即x－y－1＝0，所以D正確．故選ACD．]
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．與a＝(2，－1，2)共線且滿足a·b＝－9的向量b＝________．
(－2，1，－2)　[依題意設(shè)b＝λa＝(2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，所以a·b＝4λ＋λ＋4λ＝－9，解得λ＝－1．故b＝(－2，1，－2)．]
13．已知點(1，－1)關(guān)于直線l1：y＝2x的對稱點為A，設(shè)直線l2經(jīng)過點A，則當(dāng)點B(2，－1)到直線l2的距離最大時，直線l2的方程是________．
17x－6y＋25＝0　[設(shè)點A的坐標(biāo)為(a，b)，由題意可得解得
即點A，直線AB的斜率為kAB＝＝－，當(dāng)l2⊥AB時，點B到直線l2的距離最大，此時直線l2的方程為y－＝，即17x－6y＋25＝0．]
14．直線mx＋y－2＝0(m∈R)與圓C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B兩點，則弦長，則m的值為________．
2　±1　[直線mx＋y－2＝0(m∈R)恒過圓C：x2＋(y－1)2＝2內(nèi)的定點M(0，2)，又r＝，圓心C(0，1)到直線的距離d≤|CM|＝1，∴|AB|＝2≥2，
即弦長|AB|的最小值為2．
S△ABC＝r2sin ∠ACB＝，
即∠ACB＝或．
若∠ACB＝，則圓心到弦AB的距離為＞1＝|CM|，故不符合題意；
若∠ACB＝，
圓心到直線的距離為＜1＝|CM|，
設(shè)弦AB的中點為N，
又|CM|＝1，故∠NCM＝，
即直線的傾斜角為，則m的值為±1．]
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(13分)已知A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)，圓M是△ABC的外接圓．
(1)求圓M的方程；
(2)若直線l過點(1，－5)，且被圓M截得的弦長為6，求直線l的方程．
[解]　(1)設(shè)圓M的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因為圓M過A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)三點，所以
解得
所以圓M的一般式方程為x2＋y2＋6x－2y－15＝0．
(2)由(1)可知圓心為M(－3，1)，半徑r＝5，
又l被圓M截得的弦長為6，所以圓心M到直線l的距離d＝＝4，
當(dāng)直線l的斜率不存在時，l過點(1，－5)，所以l的方程為x＝1，圓心M到直線l的距離d＝4，故x＝1滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＋5＝k(x－1)，即kx－y－k－5＝0，由點到直線的距離公式可得＝4，解得k＝－，直線l的方程為5x＋12y＋55＝0．綜上所述，直線l的方程為x＝1或5x＋12y＋55＝0．
16．(15分)(2023·北京卷)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為＝4．
(1)求E的方程；
(2)點P為第一象限內(nèi)E上的一個動點，直線PD與直線BC交于點M，直線PA與直線y＝－2交于點N．求證：MN∥CD．
[解]　(1)由題意可得：2b＝4，e＝＝，a2＝b2＋c2，
解得b＝2，a2＝9，
∴橢圓E的方程為＋＝1．
(2)證明：A(0，2)，B(－3，0)，C(0，－2)，D(3，0)，
直線BC的方程為＋＝1，化為2x＋3y＋6＝0．
設(shè)直線AP的方程為：y＝kx＋2(k＜0)，
∴N．
聯(lián)立化為(4＋9k2)x2＋36kx＝0，
解得x＝0或－，
∴P．
直線PD的方程為：y＝(x－3)，即y＝(x－3)，
與2x＋3y＋6＝0聯(lián)立，解得x＝，y＝．
∴M．
∴kMN＝＝，
kCD＝，
∴MN∥CD．
17．(15分)如圖，已知圓O∶x2＋y2＝4，過點E(1，0)的直線l與圓O相交于A，B兩點．
(1)當(dāng)|AB|＝時，求直線l的方程；
(2)已知點D在圓O上，C(2，0)，且AB⊥CD，求四邊形ACBD面積的最大值．
[解]　(1)①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，此時|AB|＝2＝2，不符合題意；
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x－1)，
∴圓心O到直線l的距離d＝，
∵|AB|＝，∴＝＝2，解得k＝±，
∴直線l的方程為y＝±(x－1)．
(2)當(dāng)直線AB與x軸垂直時，|AB|＝2＝4，
∴四邊形ACBD的面積S＝＝4；
當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，k≠0(當(dāng)k＝0時，四邊形ACBD不存在)，即kx－y－k＝0，k≠0，
則直線CD的方程為y＝－(x－2)，
即x＋ky－2＝0，
點O到直線AB的距離為，點O到直線CD的距離為，
∴|AB|＝2＝2，
|CD|＝2＝4，
則四邊形ACBD的面積S＝＝×2×4＝4，
令k2＋1＝t＞1，
∴S＝4
＝4∈(0，4)，
∴四邊形ABCD面積的最大值為4．
18．(17分)(2024·天津卷)如圖，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中點，M是DD1的中點．
(1)求證D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M與平面BB1C1C夾角的余弦值；
(3)求點B到平面CB1M的距離．
[解]　(1)證明：取CB1中點P，連接NP，MP，
由N是B1C1的中點，故NP∥CC1，且NP＝由M是DD1的中點，故D1M＝且D1M∥CC1，
則有D1M∥NP，D1M＝NP，故四邊形D1MPN是平行四邊形，故D1N∥MP．
又MP 平面CB1M，D1N 平面CB1M，
故D1N∥平面CB1M．
(2)由題意知，AA1，AB，AD兩兩垂直，以A為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)，
則有＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，2)．
設(shè)平面CB1M與平面BB1C1C的法向量分別為m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)，
則有
分別取x1＝x2＝1，則有y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0，
即m＝(1，3，1)，n＝(1，1，0)，
設(shè)平面CB1M與平面BB1C1C的夾角為θ，
則cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，
故平面CB1M與平面BB1C1C夾角的余弦值為．　
(3)由＝(0，0，2)，平面CB1M的法向量m＝(1，3，1)，
則有，
即點B到平面CB1M的距離為．
19．(17分)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)過點(－2，3)的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點．
[解]　(1)因為點A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4．
因為橢圓的離心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故橢圓C的方程為＋＝1．
(2)由題意知，直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由
得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
則Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝．
直線AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝，
則yM＋yN＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝6．
所以MN的中點的縱坐標(biāo)為＝3，所以MN的中點為定點(0，3)．
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