資源簡介

課時分層作業(十二)　傾斜角與斜率
一、選擇題
1．(多選)在下列四個命題中，正確的是(　　)
A．若直線的傾斜角α為銳角，則其斜率一定大于0
B．任意直線都有傾斜角α，且當α≠90°時，斜率為tan α
C．若一條直線的斜率為tan α，則此直線的傾斜角為α
D．直線的傾斜角越大，則其斜率越大
2．過兩點A(3，y)，B(2，0)的直線的傾斜角為120°，則y＝(　　)
A．　　　B．　　　C．－　　D．－
3．若直線l的斜率大于1，則l的傾斜角的取值范圍為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
4．已知直線l1的傾斜角是直線l2的傾斜角的2倍，且l1的斜率為－，則l2的斜率為(　　)
A．3或－ B．3
C．或－3 D．
5．斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成．如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側對稱排列．如圖2，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為4 m，拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為18 m．最短拉索的錨P1，A1滿足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直線為x軸，OP10所在直線為y軸，則最長拉索B10P10所在直線的斜率為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
二、填空題
6．直線l的傾斜角α滿足sin α＝，則直線l的斜率為________．
7．已知直線l的方向向量n＝()，則直線l的傾斜角為________．
8．已知直線l上一點向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后，仍在該直線上，則直線l的斜率k為________．
三、解答題
9．已知坐標平面內兩點M(m＋3，3m＋5)，N(2m－1，1)．
(1)當直線MN的傾斜角θ為銳角時，求m的取值范圍；
(2)若直線MN的方向向量為a＝(1，－2 025)，求m的值．
10．(多選)已知直線l1，l2，l3的傾斜角分別為θ1，θ2，θ3，斜率分別是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，則k1，k2，k3的大小關系可能是(　　)
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1
C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k1
11．已知兩點A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，則直線AB的傾斜角α的取值范圍是(　　)
A． B．
C．∪ D．
12．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三點共線，則的值為________．
13．已知坐標平面內三點A(－1，1)，B(1，1)，C()．
(1)求直線AB，BC，AC的斜率和傾斜角；
(2)若D為△ABC的邊AB上一動點，求直線CD的斜率k的取值范圍．
14．(多選)在平面直角坐標系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點分別為(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，則正方形ABCD四邊所在直線中過點(0，0)的直線的斜率可以是(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．　　　
3/32.1　直線的傾斜角與斜率
2.1.1　傾斜角與斜率
[學習目標]　1．在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．(數學抽象、直觀想象)
2．理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程．(數學抽象)
3．掌握過兩點的直線斜率的計算公式．(數學運算)
[討論交流]　
問題1．直線的傾斜角是如何定義的？它的取值范圍如何？
問題2．直線的斜率是如何定義的？直線的斜率一定存在嗎？
問題3．若直線沒有斜率，那么這條直線的傾斜角為多少？所有的直線都有傾斜角嗎？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線的傾斜角
探究問題1　在平面中，怎樣才能確定一條直線？
探究問題2　在平面直角坐標系中，經過原點、與x軸正方向的夾角為60°的直線有幾條？
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[新知生成]
1．當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸________與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為________．
2．直線的傾斜角α的取值范圍為________．
[典例講評]　1．(1)若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為(　　)
A．30°　　　　 B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
(2)(多選)設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為(　　)
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　求直線的傾斜角的方法及兩點注意
1．方法：結合圖形，利用定義求角．
2．兩點注意：(1)當直線與x軸平行或重合時，直線的傾斜角為0°；當直線與x軸垂直時，直線的傾斜角為90°．
(2)注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．有時要根據題意把傾斜角α分為以下四種情況討論：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°．
[學以致用]　1．(多選)下列命題中，正確的是(　　)
A．任意一條直線都有唯一的傾斜角
B．一條直線的傾斜角可以為－30°
C．傾斜角為0°的直線有無數條
D．若直線的傾斜角為α，則sin α∈(0，1)
2．已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角α2＝________．
探究2　直線的斜率
探究問題3　在平面直角坐標系中，設直線l的傾斜角為α．
(1)已知直線l經過O(0，0)，P，α與O，P的坐標有什么關系？
(2)類似地，如果直線l經過P1(－1，1)，，α與P1，P2的坐標有什么關系？
(3)一般地，如果直線l經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α與P1，P2的坐標有什么關系？
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[新知生成]
1．斜率的定義：一條直線的傾斜角α的________叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝________．
2．斜率公式：經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝________．當x1＝x2時，直線P1P2的斜率不存在．
3．直線的斜率與方向向量的關系
(1)若直線l的斜率為k，則直線l的一個方向向量的坐標為________．
(2)若直線l的一個方向向量的坐標為(x，y)，則直線l的斜率k＝________．
[典例講評]　2．(1)求經過兩點A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直線l的斜率；
(2)過原點且斜率為1的直線l繞原點逆時針旋轉90°，求所得直線的斜率；
(3)若三點A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一條直線上，求k的值；
(4)已知點A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4，7)，試判斷這三點是否共線．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　1．直線斜率的基本求法
(1)利用兩點坐標求直線的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法時要注意兩點的橫坐標不能相等，同時要注意橫、縱坐標必須對應．
(2)利用傾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法時一定注意傾斜角為90°時，直線的斜率不存在．
2．利用斜率公式求直線的斜率時，如果點的坐標中含有參數，需要先對直線斜率是否存在作出判斷，即對參數進行分類討論．
3．判斷三點共線的方法
對于給定坐標的三點，要判斷三點是否共線，先判斷任意兩點連線的斜率是否存在．
(1)若斜率都不存在，則三點共線．
(2)若斜率存在，則任意兩點連線的斜率相等時，三點才共線．
[學以致用]　3．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，則A，B，C共線嗎？A，B，D呢？
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4．求經過兩點A(a，2)，B(3，6)的直線的斜率．
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探究3　傾斜角和斜率的綜合應用
探究問題4　當直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°，其斜率如何變化？
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[新知生成]
1．設直線的傾斜角為α，斜率為k．
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范圍 k＝0 k＞0 不存在 k＜0
k的增減性 隨α的增大而_____ 隨α的增大而________
2．下面特殊角的正切值要熟記：
傾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 ____ －1 ____
[典例講評]　3．(1)設點A(3，－3)，B(－2，－2)，直線l過點P(1，1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是(　　)
A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－2
C．－4≤k≤1 D．－2≤k≤1
(2)(源自北師大版教材)根據下列條件，求直線l的傾斜角：
①斜率為－；
②經過A(－2，0)，B(－5，3)兩點；
③一個方向向量為＝．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　若將本例(1)中“B(－2，－2)”改為“B(2，2)”，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．
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　傾斜角和斜率的應用
(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者要相互聯系．
(2)涉及直線與線段有交點問題常通過數形結合利用公式求解．
[學以致用]　5．若直線l的傾斜角為α，且45°≤α≤135°，則直線l斜率的取值范圍為(　　)
A．[1，＋∞)　　 B．(－∞，－1]
C．[－1，1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－1]
1．(多選)設直線l與x軸交于點A，其傾斜角為α，直線l繞點A順時針旋轉60°后得直線l1，則直線l1的傾斜角可能為(　　)
A．α＋60°　　　 B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
2．(多選)下列說法正確的有(　　)
A．每一條直線都有且僅有一個傾斜角與之對應
B．傾斜角為135°的直線的斜率為1
C．一條直線的傾斜角為α，則其斜率為k＝tan α
D．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)
3．已知點A(－1，4)，B(2，7)在直線l上，則直線l的傾斜角的大小為(　　)
A． B． C． D．
4．已知直線l過點M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，當m＝________時，直線l的斜率是1．
1．知識鏈：(1)直線的傾斜角．
(2)直線的斜率．
(3)直線的方向向量與斜率的關系．
(4)直線的傾斜角與斜率的綜合應用．
2．方法鏈：數形結合、分類討論．
3．警示牌：(1)對直線的斜率與傾斜角理解不透徹，忽略直線的斜率不存在致錯．
(2)對直線的方向向量與斜率的關系搞不清楚．
7/7(共46張PPT)
2.1.1　傾斜角與斜率
第二章　直線和圓的方程
2.1　直線的傾斜角與斜率
[學習目標]　1．在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．(數學抽象、直觀想象)
2．理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程．(數學抽象)
3．掌握過兩點的直線斜率的計算公式．(數學運算)
整體感知
(教師用書)
由初中的平面幾何知識，我們知道兩點確定一條直線；由必修教材中的平面向量知識，我們知道一個點與一個方向也可以確定一條直線．那么，怎樣用代數方法刻畫直線呢？
[討論交流]　
問題1．直線的傾斜角是如何定義的？它的取值范圍如何？
問題2．直線的斜率是如何定義的？直線的斜率一定存在嗎？
問題3．若直線沒有斜率，那么這條直線的傾斜角為多少？所有的直線都有傾斜角嗎？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線的傾斜角
探究問題1　在平面中，怎樣才能確定一條直線？
探究建構
[提示]　兩點確定一條直線，一點和一個方向也可以確定一條直線．
探究問題2　在平面直角坐標系中，經過原點、與x軸正方向的夾角為60°的直線有幾條？
[提示]　有且僅有一條．
[新知生成]
1．當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸____與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為____．
2．直線的傾斜角α的取值范圍為_____________．
正向
0°
0°≤α＜180°
【教用·微提醒】　(1)從運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x軸繞一定點按逆時針方向旋轉到與直線重合時所得到的最小正角(未作旋轉時傾斜角為0°)．
(2)傾斜角從“形”的方面體現了直線對x軸的傾斜程度，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等．
(3)一條直線的傾斜角存在且唯一．
[典例講評]　1．(1)若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為(　　)
A．30°　 B．60°　　 C．30°或150°　　D．60°或120°
(2)(多選)設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為(　　)
A．α＋45°　B．α－135°　C．135°－α 　 　D．α－45°
√
√
√
(1)D　(2)AB　[(1)如圖，直線l有兩種情況，故直線l的傾斜角為60°或120°．
(2)根據題意，畫出圖形，如圖所示．
通過圖象可知：
當0°≤α<135°時，l1的傾斜角為α＋45°；
當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°．]
反思領悟　求直線的傾斜角的方法及兩點注意
1．方法：結合圖形，利用定義求角．
2．兩點注意：(1)當直線與x軸平行或重合時，直線的傾斜角為0°；當直線與x軸垂直時，直線的傾斜角為90°．
(2)注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．有時要根據題意把傾斜角α分為以下四種情況討論：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°．
[學以致用]　1．(多選)下列命題中，正確的是(　　)
A．任意一條直線都有唯一的傾斜角
B．一條直線的傾斜角可以為－30°
C．傾斜角為0°的直線有無數條
D．若直線的傾斜角為α，則sin α∈(0，1)
AC　[任意一條直線都有唯一的傾斜角，傾斜角不可能為負，傾斜角為0°的直線有無數條，它們都垂直于y軸，因此A正確，B錯誤，C正確．D中，當α＝0°時，sin α＝0；當α＝90°時，sin α＝1，故D錯誤．]
√
√
2．已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角α2＝_____．
135°　[設直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．]
135°
探究2　直線的斜率
探究問題3　在平面直角坐標系中，設直線l的傾斜角為α．
(1)已知直線l經過O(0，0)，P(，1)，α與O，P的坐標有什么關系？
(2)類似地，如果直線l經過P1(－1，1)，P2(，0)，α與P1，P2的坐標有什么關系？
(3)一般地，如果直線l經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α與P1，P2的坐標有什么關系？
[提示]　(1)tan α＝＝．(2)tan α＝＝1－．(3)tan α＝．
[新知生成]
1．斜率的定義：一條直線的傾斜角α的______叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝______．
2．斜率公式：經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝ ．當x1＝x2時，直線P1P2的斜率不存在．
3．直線的斜率與方向向量的關系
(1)若直線l的斜率為k，則直線l的一個方向向量的坐標為________．
(2)若直線l的一個方向向量的坐標為(x，y)，則直線l的斜率k＝____．
正切值
tan α
(1，k)
【教用·微提醒】　(1)當x1＝x2時，直線的斜率不存在，傾斜角為90°．
(2)斜率公式中k的值與P1，P2兩點在該直線上的位置無關．
(3)斜率公式中兩縱坐標和兩橫坐標在公式中的順序可以同時調換．
(4)若直線與x軸平行或重合，則k＝0．
c
【鏈接·教材例題】
例1　如圖2.1-6，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．
[解]　直線AB的斜率kAB＝＝；
直線BC的斜率kBC＝＝＝－；
直線CA的斜率kCA＝＝＝1．
由kAB＞0及kCA＞0可知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角；由kBC＜0可知，直線BC的傾斜角為鈍角．
c
[典例講評]　2．(1)求經過兩點A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直線l的斜率；
(2)過原點且斜率為1的直線l繞原點逆時針旋轉90°，求所得直線的斜率；
(3)若三點A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一條直線上，求k的值；
(4)已知點A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4，7)，試判斷這三點是否共線．
[解]　(1)當直線l垂直于x軸，即2m＝m，m＝0時，其斜率不存在；
當2m≠m，即m≠0時，直線l的斜率k＝＝－．
(2)∵直線l過原點且斜率為1，
∴直線l的傾斜角為45°．
直線l繞原點逆時針旋轉90°后所得直線的傾斜角為135°，
故所求直線的斜率k＝tan 135°＝－1．
(3)∵點A，B，C在同一條直線上，且三點的橫坐標均不相等，kAB＝＝3存在，
∴kAB＝kBC，即3＝，解得k＝6．
(4)∵A，B，C三點的橫坐標均不相等，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2，
∴kAB＝kAC．又A為公共點，
∴直線AB與AC重合，∴A，B，C三點共線．
反思領悟　1．直線斜率的基本求法
(1)利用兩點坐標求直線的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法時要注意兩點的橫坐標不能相等，同時要注意橫、縱坐標必須對應．
(2)利用傾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法時一定注意傾斜角為90°時，直線的斜率不存在．
2．利用斜率公式求直線的斜率時，如果點的坐標中含有參數，需要先對直線斜率是否存在作出判斷，即對參數進行分類討論．
3．判斷三點共線的方法
對于給定坐標的三點，要判斷三點是否共線，先判斷任意兩點連線的斜率是否存在．
(1)若斜率都不存在，則三點共線．
(2)若斜率存在，則任意兩點連線的斜率相等時，三點才共線．
[學以致用]　3．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，則A，B，C共線嗎？A，B，D呢？
[解]　因為kAB＝＝－1，kAC＝＝－1，kAD＝＝－，
所以kAB＝kAC≠kAD，因此A，B，C共線，而A，B，D不共線．
4．求經過兩點A(a，2)，B(3，6)的直線的斜率．
[解]　當a＝3時，斜率不存在；當a≠3時，直線的斜率k＝．
探究3　傾斜角和斜率的綜合應用
探究問題4　當直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°，其斜率如何
變化？
[提示]　當傾斜角為銳角時，斜率為正，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大；當傾斜角為鈍角時，斜率為負，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大．
[新知生成]
1．設直線的傾斜角為α，斜率為k．
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范圍 k＝0 k＞0 不存在 k＜0
k的增減性 隨α的增大而____ 隨α的增大而____
增大
增大
2．下面特殊角的正切值要熟記：
傾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 ______ －1 _____
【教用·微提醒】　(1)根據正切函數在[0，π)上的圖象可知，傾斜角與斜率之間是一一對應的，即可以用k的值判定傾斜角的情況．
(2)正確分析斜率隨傾斜角的變化規律，注意90°傾斜角沒有斜率．
－
－
c
[典例講評]　3．(1)設點A(3，－3)，B(－2，－2)，直線l過點P(1，1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是(　　)
A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－2
C．－4≤k≤1 D．－2≤k≤1
(2)(源自北師大版教材)根據下列條件，求直線l的傾斜角：
①斜率為－；
②經過A(－2，0)，B(－5，3)兩點；
③一個方向向量為＝．
√
(1)B　[如圖，直線PB的斜率為kPB＝＝1，直線PA的斜率為kPA＝＝－2，當直線l與線段AB相交時，則l的斜率k的取值范圍是k≥1或k≤－2．
故選B．]
(2)[解]　設直線l的傾斜角為α．
①因為直線l的斜率為－，所以tan α＝－．
又因為0≤α<π，所以α＝．
②由經過兩點的直線斜率的計算公式，可得直線l的斜率k＝＝－1，
又因為0≤α<π，所以α＝．
③由直線l的一個方向向量為＝，可得斜率k＝＝，又因為0≤α<π，所以α＝．
[母題探究]　若將本例(1)中“B(－2，－2)”改為“B(2，2)”，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．
[解]　∵P(1，1)，A(3，－3)，B(2，2)，
∴kAP＝－2，kBP＝1，
由圖可知，直線l的斜率的取值范圍為[－2，1]．
反思領悟　傾斜角和斜率的應用
(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者要相互聯系．
(2)涉及直線與線段有交點問題常通過數形結合利用公式求解．
[學以致用]　5．若直線l的傾斜角為α，且45°≤α≤135°，則直線l斜率的取值范圍為(　　)
A．[1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[－1，1]
D．[1，＋∞)∪(－∞，－1]
√
D　[直線傾斜角為45°時，斜率為1，直線傾斜角為135°時，斜率為－1，
當傾斜角為90°時，斜率不存在，因為k＝tan α在上單調遞增，在上單調遞增，所以當45°≤α≤135°時，k的取值范圍是[1，＋∞)∪(－∞，－1]．故選D．]
【教用·備選題】　已知實數x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，試求的最大值和最小值．
[解]　的幾何意義是過點(－2，－3)和曲線y＝x2－2x＋2(－1≤x ≤1)上任意一點(x，y)的直線的斜率．
對于y＝x2－2x＋2，當x＝－1時，y＝5；當x＝1時，y＝1．
c
設點(－1，5)為B，點(1，1)為A，點(－2，－3)為P，如圖所示．
由圖可知，當直線經過點P(－2，－3)和B(－1，5)時，斜率最大；當直線經過點P(－2，－3)和A(1，1)時，斜率最小．
又kPA＝＝，kPB＝＝8，
所以的最大值為8，最小值為．
c
1．(多選)設直線l與x軸交于點A，其傾斜角為α，直線l繞點A順時針旋轉60°后得直線l1，則直線l1的傾斜角可能為(　　)
A．α＋60°　　　 B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
√
BC　[直線l繞點A順時針旋轉60°后得直線l1，當α≥60°時，直線l1的傾斜角為α－60°，當0°≤α<60°時，直線l1的傾斜角為α－60°＋180°＝120°＋α．]
2．(多選)下列說法正確的有(　　)
A．每一條直線都有且僅有一個傾斜角與之對應
B．傾斜角為135°的直線的斜率為1
C．一條直線的傾斜角為α，則其斜率為k＝tan α
D．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)
2
3
題號
1
4
√
√
AD　[對于A，每一條直線都有且僅有一個傾斜角與之對應，故A正確；
對于B，傾斜角為135°的直線的斜率為－1，故B錯誤；
對于C，一條直線的傾斜角為α，則其斜率為k＝tan α，故C錯誤；
對于D，直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)，故D正確．故選AD．]
2
3
題號
1
4
3．已知點A(－1，4)，B(2，7)在直線l上，則直線l的傾斜角的大小為(　　)
A． B． C． D．
2
3
題號
4
1
√
C　[直線l的斜率為k＝＝1，設直線l的傾斜角為α，則tan α＝1，因為α∈[0，π)，所以α＝．故選C．]
4．已知直線l過點M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，當m＝______時，直線l的斜率是1．
2
4
3
題號
1
　[kMN＝＝1，解得m＝．]
　
1．知識鏈：(1)直線的傾斜角．
(2)直線的斜率．
(3)直線的方向向量與斜率的關系．
(4)直線的傾斜角與斜率的綜合應用．
2．方法鏈：數形結合、分類討論．
3．警示牌：(1)對直線的斜率與傾斜角理解不透徹，忽略直線的斜率不存在致錯．
(2)對直線的方向向量與斜率的關系搞不清楚．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．直線的傾斜角是如何定義的？其取值范圍是什么？
[提示]　當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°，因此，直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°．
2．直線的斜率是如何定義的？直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
(x1≠x2)的斜率公式是什么？
[提示]　把一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率，傾斜角是90°的直線沒有斜率．
直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是k＝．
3．直線的斜率k和直線的方向向量有怎樣的關系？
[提示]　若直線的斜率為k，則n＝(1，k)是其方向向量．
反之若直線的方向向量n＝(x，y)，則斜率k＝(x≠0)．
課時分層作業(十二)
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傾斜角與斜率
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS2.1　直線的傾斜角與斜率
2.1.1　傾斜角與斜率
[學習目標]　1．在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．(數學抽象、直觀想象)
2．理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程．(數學抽象)
3．掌握過兩點的直線斜率的計算公式．(數學運算)
(教師用書)
由初中的平面幾何知識，我們知道兩點確定一條直線；由必修教材中的平面向量知識，我們知道一個點與一個方向也可以確定一條直線．那么，怎樣用代數方法刻畫直線呢？
[討論交流]　
問題1．直線的傾斜角是如何定義的？它的取值范圍如何？
問題2．直線的斜率是如何定義的？直線的斜率一定存在嗎？
問題3．若直線沒有斜率，那么這條直線的傾斜角為多少？所有的直線都有傾斜角嗎？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線的傾斜角
探究問題1　在平面中，怎樣才能確定一條直線？
[提示]　兩點確定一條直線，一點和一個方向也可以確定一條直線．
探究問題2　在平面直角坐標系中，經過原點、與x軸正方向的夾角為60°的直線有幾條？
[提示]　有且僅有一條．
[新知生成]
1．當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°．
2．直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α＜180°．
【教用·微提醒】　(1)從運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x軸繞一定點按逆時針方向旋轉到與直線重合時所得到的最小正角(未作旋轉時傾斜角為0°)．
(2)傾斜角從“形”的方面體現了直線對x軸的傾斜程度，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等．
(3)一條直線的傾斜角存在且唯一．
[典例講評]　1．(1)若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為(　　)
A．30°　　　　B．60°　　　　C．30°或150°　　　　D．60°或120°
(2)(多選)設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為(　　)
A．α＋45°　　　　B．α－135°　　　　C．135°－α 　　　　D．α－45°
(1)D　(2)AB　[(1)如圖，直線l有兩種情況，故直線l的傾斜角為60°或120°．
(2)根據題意，畫出圖形，如圖所示．
通過圖象可知：
當0°≤α<135°時，l1的傾斜角為α＋45°；
當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°．]
　求直線的傾斜角的方法及兩點注意
1．方法：結合圖形，利用定義求角．
2．兩點注意：(1)當直線與x軸平行或重合時，直線的傾斜角為0°；當直線與x軸垂直時，直線的傾斜角為90°．
(2)注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．有時要根據題意把傾斜角α分為以下四種情況討論：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°．
[學以致用]　1．(多選)下列命題中，正確的是(　　)
A．任意一條直線都有唯一的傾斜角
B．一條直線的傾斜角可以為－30°
C．傾斜角為0°的直線有無數條
D．若直線的傾斜角為α，則sin α∈(0，1)
AC　[任意一條直線都有唯一的傾斜角，傾斜角不可能為負，傾斜角為0°的直線有無數條，它們都垂直于y軸，因此A正確，B錯誤，C正確．
D中，當α＝0°時，sin α＝0；當α＝90°時，sin α＝1，故D錯誤．]
2．已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角α2＝________．
135°　[設直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．]
探究2　直線的斜率
探究問題3　在平面直角坐標系中，設直線l的傾斜角為α．
(1)已知直線l經過O(0，0)，P(，1)，α與O，P的坐標有什么關系？
(2)類似地，如果直線l經過P1(－1，1)，P2(，0)，α與P1，P2的坐標有什么關系？
(3)一般地，如果直線l經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α與P1，P2的坐標有什么關系？
[提示]　(1)tan α＝＝．(2)tan α＝＝1－．(3)tan α＝．
[新知生成]
1．斜率的定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α．
2．斜率公式：經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝．當x1＝x2時，直線P1P2的斜率不存在．
3．直線的斜率與方向向量的關系
(1)若直線l的斜率為k，則直線l的一個方向向量的坐標為(1，k)．
(2)若直線l的一個方向向量的坐標為(x，y)，則直線l的斜率k＝．
【教用·微提醒】　(1)當x1＝x2時，直線的斜率不存在，傾斜角為90°．
(2)斜率公式中k的值與P1，P2兩點在該直線上的位置無關．
(3)斜率公式中兩縱坐標和兩橫坐標在公式中的順序可以同時調換．
(4)若直線與x軸平行或重合，則k＝0．
【鏈接·教材例題】
例1　如圖2.1-6，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．
[解]　直線AB的斜率kAB＝＝；
直線BC的斜率kBC＝＝＝－；
直線CA的斜率kCA＝＝＝1．
由kAB＞0及kCA＞0可知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角；由kBC＜0可知，直線BC的傾斜角為鈍角．
[典例講評]　2．(1)求經過兩點A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直線l的斜率；
(2)過原點且斜率為1的直線l繞原點逆時針旋轉90°，求所得直線的斜率；
(3)若三點A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一條直線上，求k的值；
(4)已知點A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4，7)，試判斷這三點是否共線．
[解]　(1)當直線l垂直于x軸，即2m＝m，m＝0時，其斜率不存在；
當2m≠m，即m≠0時，直線l的斜率k＝＝－．
(2)∵直線l過原點且斜率為1，
∴直線l的傾斜角為45°．
直線l繞原點逆時針旋轉90°后所得直線的傾斜角為135°，
故所求直線的斜率k＝tan 135°＝－1．
(3)∵點A，B，C在同一條直線上，且三點的橫坐標均不相等，kAB＝＝3存在，
∴kAB＝kBC，即3＝，解得k＝6．
(4)∵A，B，C三點的橫坐標均不相等，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2，
∴kAB＝kAC．又A為公共點，
∴直線AB與AC重合，∴A，B，C三點共線．
　1．直線斜率的基本求法
(1)利用兩點坐標求直線的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法時要注意兩點的橫坐標不能相等，同時要注意橫、縱坐標必須對應．
(2)利用傾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法時一定注意傾斜角為90°時，直線的斜率不存在．
2．利用斜率公式求直線的斜率時，如果點的坐標中含有參數，需要先對直線斜率是否存在作出判斷，即對參數進行分類討論．
3．判斷三點共線的方法
對于給定坐標的三點，要判斷三點是否共線，先判斷任意兩點連線的斜率是否存在．
(1)若斜率都不存在，則三點共線．
(2)若斜率存在，則任意兩點連線的斜率相等時，三點才共線．
[學以致用]　3．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，則A，B，C共線嗎？A，B，D呢？
[解]　因為kAB＝＝－1，kAC＝＝－1，kAD＝＝－，
所以kAB＝kAC≠kAD，因此A，B，C共線，而A，B，D不共線．
4．求經過兩點A(a，2)，B(3，6)的直線的斜率．
[解]　當a＝3時，斜率不存在；當a≠3時，直線的斜率k＝．
探究3　傾斜角和斜率的綜合應用
探究問題4　當直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°，其斜率如何變化？
[提示]　當傾斜角為銳角時，斜率為正，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大；當傾斜角為鈍角時，斜率為負，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大．
[新知生成]
1．設直線的傾斜角為α，斜率為k．
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范圍 k＝0 k＞0 不存在 k＜0
k的增減性 隨α的增大而增大 隨α的增大而增大
2．下面特殊角的正切值要熟記：
傾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 － －1 －
【教用·微提醒】　(1)根據正切函數在[0，π)上的圖象可知，傾斜角與斜率之間是一一對應的，即可以用k的值判定傾斜角的情況．
(2)正確分析斜率隨傾斜角的變化規律，注意90°傾斜角沒有斜率．
[典例講評]　3．(1)設點A(3，－3)，B(－2，－2)，直線l過點P(1，1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是(　　)
A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－2
C．－4≤k≤1 D．－2≤k≤1
(2)(源自北師大版教材)根據下列條件，求直線l的傾斜角：
①斜率為－；
②經過A(－2，0)，B(－5，3)兩點；
③一個方向向量為＝．
(1)B　[如圖，直線PB的斜率為kPB＝＝1，直線PA的斜率為kPA＝＝－2，當直線l與線段AB相交時，則l的斜率k的取值范圍是k≥1或k≤－2．
故選B．]
(2)[解]　設直線l的傾斜角為α．
①因為直線l的斜率為－，所以tan α＝－．
又因為0≤α<π，所以α＝．
②由經過兩點的直線斜率的計算公式，可得直線l的斜率k＝＝－1，
又因為0≤α<π，所以α＝．
③由直線l的一個方向向量為P1P2＝，可得斜率k＝＝，又因為0≤α<π，所以α＝．
[母題探究]　若將本例(1)中“B(－2，－2)”改為“B(2，2)”，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．
[解]　∵P(1，1)，A(3，－3)，B(2，2)，
∴kAP＝－2，kBP＝1，
由圖可知，直線l的斜率的取值范圍為[－2，1]．
　傾斜角和斜率的應用
(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者要相互聯系．
(2)涉及直線與線段有交點問題常通過數形結合利用公式求解．
[學以致用]　5．若直線l的傾斜角為α，且45°≤α≤135°，則直線l斜率的取值范圍為(　　)
A．[1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[－1，1]
D．[1，＋∞)∪(－∞，－1]
D　[直線傾斜角為45°時，斜率為1，直線傾斜角為135°時，斜率為－1，
當傾斜角為90°時，斜率不存在，因為k＝tan α在上單調遞增，在上單調遞增，所以當45°≤α≤135°時，k的取值范圍是[1，＋∞)∪(－∞，－1]．故選D．]
【教用·備選題】　已知實數x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，試求的最大值和最小值．
[解]　的幾何意義是過點(－2，－3)和曲線y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)上任意一點(x，y)的直線的斜率．
對于y＝x2－2x＋2，當x＝－1時，y＝5；當x＝1時，y＝1．
設點(－1，5)為B，點(1，1)為A，點(－2，－3)為P，如圖所示．
由圖可知，當直線經過點P(－2，－3)和B(－1，5)時，斜率最大；當直線經過點P(－2，－3)和A(1，1)時，斜率最小．
又kPA＝＝，kPB＝＝8，
所以的最大值為8，最小值為．
1．(多選)設直線l與x軸交于點A，其傾斜角為α，直線l繞點A順時針旋轉60°后得直線l1，則直線l1的傾斜角可能為(　　)
A．α＋60°　　　 B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
BC　[直線l繞點A順時針旋轉60°后得直線l1，當α≥60°時，直線l1的傾斜角為α－60°，當0°≤α<60°時，直線l1的傾斜角為α－60°＋180°＝120°＋α．]
2．(多選)下列說法正確的有(　　)
A．每一條直線都有且僅有一個傾斜角與之對應
B．傾斜角為135°的直線的斜率為1
C．一條直線的傾斜角為α，則其斜率為k＝tan α
D．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)
AD　[對于A，每一條直線都有且僅有一個傾斜角與之對應，故A正確；
對于B，傾斜角為135°的直線的斜率為－1，故B錯誤；
對于C，一條直線的傾斜角為α，則其斜率為k＝tan α，故C錯誤；
對于D，直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)，故D正確．故選AD．]
3．已知點A(－1，4)，B(2，7)在直線l上，則直線l的傾斜角的大小為(　　)
A． B． C． D．
C　[直線l的斜率為k＝＝1，設直線l的傾斜角為α，則tan α＝1，
因為α∈[0，π)，所以α＝．故選C．]
4．已知直線l過點M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，當m＝________時，直線l的斜率是1．
　[kMN＝＝1，解得m＝．]
1．知識鏈：(1)直線的傾斜角．
(2)直線的斜率．
(3)直線的方向向量與斜率的關系．
(4)直線的傾斜角與斜率的綜合應用．
2．方法鏈：數形結合、分類討論．
3．警示牌：(1)對直線的斜率與傾斜角理解不透徹，忽略直線的斜率不存在致錯．
(2)對直線的方向向量與斜率的關系搞不清楚．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．直線的傾斜角是如何定義的？其取值范圍是什么？
[提示]　當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°，因此，直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°．
2．直線的斜率是如何定義的？直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？
[提示]　把一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率，傾斜角是90°的直線沒有斜率．
直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是k＝．
3．直線的斜率k和直線的方向向量有怎樣的關系？
[提示]　若直線的斜率為k，則n＝(1，k)是其方向向量．
反之若直線的方向向量n＝(x，y)，則斜率k＝(x≠0)．
課時分層作業(十二)　傾斜角與斜率
一、選擇題
1．(多選)在下列四個命題中，正確的是(　　)
A．若直線的傾斜角α為銳角，則其斜率一定大于0
B．任意直線都有傾斜角α，且當α≠90°時，斜率為tan α
C．若一條直線的斜率為tan α，則此直線的傾斜角為α
D．直線的傾斜角越大，則其斜率越大
AB　[當0°＜α＜90°時，其斜率k＝tan α＞0，所以A正確；
根據直線傾斜角的定義可得每一條直線都有確定的傾斜角，由斜率定義可得，當直線的傾斜角α≠90°時，直線的斜率為tan α，所以B正確；
若一條直線的斜率為tan α，則此直線的傾斜角為β＝α＋k×180°，k∈Z，且0°≤β＜180°，故C不正確；直線的傾斜角為銳角時斜率大于0，傾斜角為鈍角時斜率小于0，故D不正確．故選AB．]
2．過兩點A(3，y)，B(2，0)的直線的傾斜角為120°，則y＝(　　)
A． B． C．－ D．－
D　[設直線斜率為k，則k＝tan 120°＝＝y＝－．故選D．]
3．若直線l的斜率大于1，則l的傾斜角的取值范圍為(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[設直線l的傾斜角為α，直線l的斜率大于1，
得α≠，tan α＞1，得α∈．故選B．]
4．已知直線l1的傾斜角是直線l2的傾斜角的2倍，且l1的斜率為－，則l2的斜率為(　　)
A．3或－　　　　B．3　　　　C．或－3　　　　D．
B　[設l2的傾斜角為α，由tan 2α＝＝－，
得3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，又l2的傾斜角必為銳角，
所以l2的斜率為3．故選B．]
5．斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成．如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側對稱排列．如圖2，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為4 m，拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為18 m．最短拉索的錨P1，A1滿足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直線為x軸，OP10所在直線為y軸，則最長拉索B10P10所在直線的斜率為(　　)
A． B． C． D．
B　[如圖，
根據題意，最短拉索的錨P1，A1滿足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，
且|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為4 m，拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為18 m，則|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝78＋9×18＝240 m，即點A10(240，0)，
同理B10(－240，0)，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝84＋9×4＝120，即點P10(0，120)，
所以kB10P10＝＝，即最長拉索所在直線的斜率為．故選B．]
二、填空題
6．直線l的傾斜角α滿足sin α＝，則直線l的斜率為________．
±　[因為α∈[0，π)，且sin α＝，
則cos α＝±＝±，
所以直線l的斜率為tanα＝＝±．]
7．已知直線l的方向向量n＝(2，－2)，則直線l的傾斜角為________
　[由于直線l的方向向量n＝(2，－2)，則直線l的斜率為＝－，
設直線l的傾斜角為θ，則tan θ＝－，θ∈[0，π)，∴θ＝．]
8．已知直線l上一點向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后，仍在該直線上，則直線l的斜率k為________．
－　[設點P(a，b)是直線l上的一點，
將點P(a，b)向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度得到點P′(a＋4，b－2)仍在該直線上，則直線l的斜率k＝＝－．]
三、解答題
9．已知坐標平面內兩點M(m＋3，3m＋5)，N(2m－1，1)．
(1)當直線MN的傾斜角θ為銳角時，求m的取值范圍；
(2)若直線MN的方向向量為a＝(1，－2 025)，求m的值．
[解]　(1)因為傾斜角θ為銳角，則k＝tan θ＞0，而k＝＝＞0，
即(3m＋4)(m－4)＜0，解得－＜m＜4，所以m的取值范圍為．
(2)直線MN的方向向量為a＝(1，－2 025)，可得k＝－2 025＝，解得m＝．
10．(多選)已知直線l1，l2，l3的傾斜角分別為θ1，θ2，θ3，斜率分別是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，則k1，k2，k3的大小關系可能是(　　)
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1
C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k1
ACD　[由k＝tan x在，上分別單調遞增，
且x∈時，k＞0；x∈時，k＜0，
若0＜θ1＜θ2＜θ3＜，或＜θ1＜θ2＜θ3＜π，則k1＜k2＜k3，故A正確；
若0＜θ1＜θ2＜＜θ3＜π，則k3＜k1＜k2，故C正確；
若0＜θ1＜＜θ2＜θ3＜π，則k2＜k3＜k1，故D正確，無論哪種條件下，B都不成立．故選ACD．]
11．已知兩點A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，則直線AB的傾斜角α的取值范圍是(　　)
A．
B．
C．∪
D．
D　[因為兩點A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，
設直線的傾斜角為α，且α∈(0，π)，
當m＝－1時，m＝－1∈，此時直線的傾斜角為．
當m≠－1時，直線的斜率k＝＝，
可得m＋1∈，可得k＝≥或k≤－，
即tan α≥或tan α≤－，可得α∈或α∈．
綜上所述，直線的傾斜角α∈．故選D．]
12．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三點共線，則＋的值為_______．
　[∵ab≠0，∴＝，即2a＋2b＝ab，兩邊同除以ab，得＋＝．]
13．已知坐標平面內三點A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直線AB，BC，AC的斜率和傾斜角；
(2)若D為△ABC的邊AB上一動點，求直線CD的斜率k的取值范圍．
[解]　(1)由斜率公式得：kAB＝＝0，
kBC＝＝，kAC＝＝，
∴直線AB的傾斜角為0°，直線BC的傾斜角為60°，直線AC的傾斜角為30°．
(2)如圖，當直線CD由CA逆時針旋轉到CB時，
直線CD與線段AB恒有交點，即D在線段AB上，此時k由kAC增大到kBC，
∴k的取值范圍為．
14．(多選)在平面直角坐標系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點分別為(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，則正方形ABCD四邊所在直線中過點(0，0)的直線的斜率可以是(　　)
A．2 B． C． D．
ABD　[因為選項斜率均為正值，不妨假設AB所在的直線過點(0，0)，
設直線AB的傾斜角為α∈，斜率為k．
①若CD所在的直線過點(1，0)，如圖，可得BC＝sin α，CD＝2cos α，因為BC＝CD，即sin α＝2cos α，則k＝tan α＝2．
②若CD所在的直線過點(2，0)，如圖，可得BC＝2sin α，CD＝3cos α，
因為BC＝CD，即2sin α＝3cos α，則k＝tan α＝．
③若CD所在的直線過點(4，0)，如圖，可得BC＝4sin α，CD＝cos α，
因為BC＝CD，即4sin α＝cos α，則k＝tan α＝．
綜上所述，k的可能值為2，，．故選ABD．]
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