資源簡介

(共41張PPT)
2.2.1　直線的點斜式方程
第二章　直線和圓的方程
2.2　直線的方程
[學(xué)習(xí)目標]　1．掌握直線方程的點斜式和斜截式，并會用它們求直線的方程．(數(shù)學(xué)運算)
2．了解直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)
3．會用直線的點斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題．(數(shù)學(xué)運算)
整體感知
(教師用書)
射擊手在進行射擊訓(xùn)練時，要掌握兩個動作要領(lǐng)，一是托槍的手要非常穩(wěn)，二是眼睛要瞄準目標的方向．若把子彈飛行的軌跡看作一條直線，并且射擊手達到了上述的兩個動作要求，試從數(shù)學(xué)角度分析子彈是否會命中目標？
[討論交流]　
問題1．直線的點斜式和斜截式方程適用的范圍是什么？
問題2．直線的截距是距離嗎？
問題3．直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的條件是什么？
[自我感知]　經(jīng)過認真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　直線的點斜式方程
探究問題1　在平面內(nèi)，過一點P0(x0，y0)的直線有無數(shù)條，過兩點的直線有且只有一條，那么，過點P0(x0，y0)且斜率為k的直線有多少條？
探究建構(gòu)
[提示]　一條．
探究問題2　若直線l過點P0(x0，y0)且斜率為k，那么直線l上任意一點P(x，y)和它們有怎樣的關(guān)系？
[提示]　若P與P0重合，則x＝x0，y＝y(tǒng)0；若P與P0不重合，則k＝，即y－y0＝k(x－x0)．
[新知生成]
1．方程_________________由直線上一個定點(x0，y0)及該直線的斜率k確定，我們把這個方程叫做直線的點斜式方程，簡稱______．
2．當k＝0時，(如圖1)，過P0(x0，y0)的直線可以寫成______；當k不存在時(如圖2)，過P0(x0，y0)的直線可以寫成______．
y－y0＝k(x－x0)
點斜式
y＝y(tǒng)0
x＝x0
【教用·微提醒】　經(jīng)過點P0(x0，y0)的直線有無數(shù)條，可分為兩類：
(1)斜率存在的直線，方程為y－y0＝k(x－x0)；
(2)斜率不存在的直線，方程為x＝x0．
【鏈接·教材例題】
例1　直線l經(jīng)過點P0(－2，3)，且傾斜角α＝45°，求直線l的點斜式方程，并畫出直線l．
[解]　直線l經(jīng)過點P0(－2，3)，斜率k＝tan 45°＝1，
代入點斜式方程得y－3＝x＋2．
畫圖時，只需再找出直線l上的另一點P1(x1，y1)，
例如，取x1＝－1，則y1＝4，得點P1的坐標為(－1，4)，過P0，P1兩點的直線即為所求，如圖2.2-4所示．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)求出經(jīng)過點P(－1，2)且滿足下列條件的直線的方程，并畫出直線：
(1)傾斜角為；(2)與x軸垂直；(3)與x軸平行．
[解]　(1)因為直線的傾斜角為，所以該直線的斜率為k＝tan ＝．因為直線經(jīng)過點P(－1，2)且斜率為，所以該直線方程的點斜式為y－2＝[x－(－1)]，化簡，得x－y＋＋2＝0(如圖(1))．
(2)因為直線經(jīng)過點P(－1，2)且與x軸垂直，所以該直線的方程為x＝－1(如圖(2))．
(3)因為直線經(jīng)過點P(－1，2)且與x軸平行，即斜率k＝0，所以該直線的方程為y＝2(如圖(3))．
反思領(lǐng)悟　1．求直線的點斜式方程的思路
2．點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．
[學(xué)以致用]　1．傾斜角為α＝，且過點P(－2，3)的直線的方程是(　　)
A．y－3＝x＋2　 B．y＝3　　　
C．x＝－2　　 D．y＝x
C　[因為傾斜角為α＝，所以該直線不存在斜率，
因為該直線過點P(－2，3)，所以直線方程為x＝－2．故選C．]
√
2．若過兩點A(－m，6)，B(1，3m)的直線的斜率為12，則直線的點斜式方程為_______________________________________________．
y－6＝12(x－2)或y＋6＝12(x－1)(寫出其中任意一個即可)　[∵過兩點A(－m，6)，B(1，3m)的直線的斜率為12，∴＝12，解得m＝－2，故A(2，6)，B(1，－6)，則直線的點斜式方程為y－6＝12(x－2)或y＋6＝12(x－1)．]
y－6＝12(x－2)或y＋6＝12(x－1)(寫出其中任意一個即可)
探究2　直線的斜截式方程
探究問題3　你能寫出過點P(0，b)，斜率為k的直線方程嗎？
[提示]　y－b＝kx，即y＝kx＋b．
[新知生成]
1．截距：我們把直線l與y軸的交點(0，b)的________叫做直線l在y軸上的截距．
2．斜截式：方程__________由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，我們把方程_________叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．
縱坐標b
y＝kx＋b
y＝kx＋b
【教用·微提醒】　(1)斜截式方程適用于斜率存在的直線，不能表示斜率不存在的直線，故利用斜截式設(shè)直線方程時也要討論斜率是否存在．
(2)縱截距不是距離，它是直線與y軸交點的縱坐標，所以可以取一切實數(shù)，即可為正數(shù)、負數(shù)或零．
[典例講評]　2．直線l的斜率為3且它在y軸上的截距為－3．
(1)求直線l的方程；
(2)求直線l與兩坐標軸所圍成的三角形的面積．
[解]　(1)由斜截式得直線l的方程為y＝3x－3．
(2)在直線y＝3x－3中，令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1，則直線l與坐標軸所圍成的三角形的面積S＝×|1|×|－3|＝．
[母題探究]
1．本例中“在y軸上的截距為－3”改為“與y軸的交點到坐標原點的距離為3”，其余條件不變，求直線l的方程．
[解]　因為直線l與y軸的交點到坐標原點的距離為3，所以直線l在y軸上的截距b＝3或b＝－3．故所求直線方程為y＝3x＋3或y＝3x－3．
2．本例中“它在y軸上的截距為－3”改為“它與兩坐標軸圍成的三角形面積為6”，其余條件不變，求直線l的方程．
[解]　設(shè)直線方程為y＝3x＋b，則x＝0時，y＝b；
y＝0時，x＝－b，由已知可得＝6，
即b2＝36，∴b＝±6，
故所求直線方程為y＝3x＋6或y＝3x－6．
反思領(lǐng)悟　直線的斜截式方程的求解策略
(1)求直線的斜截式方程只要分別求出直線的斜率和在y軸上的截距，代入方程即可．
(2)當斜率和截距未知時，可結(jié)合已知條件，先求出斜率和截距，再寫出直線的斜截式方程．
[學(xué)以致用]　3．已知直線l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，則它們的圖象可能為(　　)
A　　 　　B　　　 　C　　　 　D
√
C　[對于A，直線l1方程中的k＜0，b＞0，直線l2方程中的k＞0，b＞0，矛盾；
對于B，直線l1方程中的k＞0，b＜0，直線l2方程中的k＞0，b＞0，矛盾；
對于C，直線l1方程中的k＞0，b＞0，直線l2方程中的k＞0，b＞0，符合；
對于D，直線l1方程中的k＜0，b＞0，直線l2方程中的k＜0，b＜0，矛盾．]
4．已知直線l1的方程為y＝－2x＋3，l2的方程為y＝4x－2，直線l與l1的斜率相反且與l2在y軸上的截距相同，則直線l的方程為________．
y＝2x－2　[由題意知直線l的斜率為2，在y軸上的截距為－2．由斜截式可得直線l的方程為y＝2x－2．]
y＝2x－2　
探究3　利用斜截式方程求平行與垂直的條件
探究問題4　前面一節(jié)課中我們已經(jīng)討論過斜率對于直線平行、垂直的影響．設(shè)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么時候：(1)l1∥l2？(2)l1，l2重合？(3)l1⊥l2？
[提示]　(1)k1＝k2且b1≠b2；(2)k1＝k2且b1＝b2；(3)k1·k2＝－1．
[新知生成]
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2．
(1)l1∥l2 ___________________；
(2)l1⊥l2 ___________．
k1＝k2，且b1≠b2
k1k2＝－1
【鏈接·教材例題】
例2　已知直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，試討論：(1)l1∥l2的條件是什么？(2)l1⊥l2的條件是什么？
[分析]　回顧前面用斜率判斷兩條直線平行、垂直的結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)l1∥l2或l1⊥l2時，k1，k2與b1，b2應(yīng)滿足的關(guān)系．
[解]　(1)若l1∥l2，則k1＝k2，此時l1，l2與y軸的交點不同，即b1≠b2；反之，若k1＝k2，且b1≠b2，則l1∥l2．
(2)若l1⊥l2，則k1k2＝－1；反之，若k1k2＝－1，則l1⊥l2．
由例2我們得到，對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥l2 k1k2＝－1．
[典例講評]　3．已知直線l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4．問：m為何值時，l1與l2平行或垂直？
[解]　當m＝0時，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1與l2垂直；
當m≠0時，l2的方程可化為y＝－x＋．
由－＝－，得m＝±；
由≠，得m≠且m≠，－·＝－1無解．
故當m＝－時，l1與l2平行；當m＝0時，l1與l2垂直．
反思領(lǐng)悟　1．給定兩條直線的斜截式方程，說明了已知兩條直線的斜率及相應(yīng)截距，在此基礎(chǔ)上判斷兩條直線的位置關(guān)系．
2．當給定位置求相應(yīng)字母的取值時，要正確利用k1＝k2或k1k2＝－1等結(jié)論．
[學(xué)以致用]　5．已知直線l1：y＝ax＋2，l2：y＝x－1，根據(jù)下列條件分別確定a的值．
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2．
[解]　(1)∵l1∥l2，∴a＝．
(2)∵l1⊥l2，∴a·＝－1，∴a＝－3．
6．當a為何值時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
[解]　由題意可知＝a2－2，
∵l1∥l2，∴解得a＝－1．
故當a＝－1時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
1．直線y＝的傾斜角為(　　)
A．180°　　　　B．0°　　　　C．90°　　　　D．不存在
2
4
3
題號
1
應(yīng)用遷移
√
B　[直線y＝的斜率為0，所以傾斜角為0°．故選B．]
2．經(jīng)過點(2，1)，且傾斜角為45°的直線方程是(　　)
A．y＝x－3 B．y＝x＋1
C．y＝－x＋3 D．y＝x－1
2
3
題號
1
4
√
D　[由題設(shè)，直線斜率為tan 45°＝1，又過(2，1)，
所以直線方程為y－1＝x－2，即y＝x－1．故選D．]
3．已知直線傾斜角為60°，在y軸上的截距為－2，則此直線方程為(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝x－2
2
3
題號
4
1
√
D　[由題意可得直線方程為y＝xtan 60°－2，即y＝x－2，故選D．]
4．已知直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則a＝______．
2
4
3
題號
1
－1　[由a×(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0，得a＝－1．]
－1　
1．知識鏈：(1)直線的點斜式方程．
(2)直線的斜截式方程．
(3)兩條直線的平行與垂直．
2．方法鏈：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合、分類討論．
3．警示牌：求直線方程時忽視斜率不存在的情況；混淆截距與距離．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．試寫出直線的點斜式方程．
[提示]　y－y0＝k(x－x0)．
2．試寫出直線的斜截式方程．
[提示]　y＝kx＋b．
3．寫出斜截式方程兩直線平行與垂直的充要條件．
[提示]　(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2．(2)l1⊥l2 k1k2＝－1．
課時分層作業(yè)(十四)
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直線的點斜式方程
（WORD版）
鞏固課堂所學(xué) · 激發(fā)學(xué)習(xí)思維
夯實基礎(chǔ)知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節(jié)課掌握了哪些考點？
本節(jié)課還有什么疑問點？
課后訓(xùn)練
學(xué)習(xí)反思
課時小結(jié)
THANKS課時分層作業(yè)(十四)　直線的點斜式方程
一、選擇題
1．已知直線l的一個方向向量為(2，－1)，且經(jīng)過點A(1，0)，則直線l的方程為(　　)
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－1 D．y＝－(x－1)
2．過點P(5，2)且斜率為－1的直線的點斜式方程為(　　)
A．y＝－x＋7 B．y－2＝－(x－5)
C．y＋2＝－(x＋5) D．y－5＝－(x－2)
3．在平面直角坐標系Oxy中，在y軸上截距為－1且傾斜角為的直線方程為(　　)
A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋1 D．y＝x－1
4．垂直于向量(2，1)，并且經(jīng)過點A(3，－2)的直線方程為(　　)
A．y＋2＝－2(x－3) B．y＋2＝2(x－3)
C．y－2＝－2(x＋3) D．y－2＝2(x＋3)
5．過點(2，1)且與直線y＝－3x＋2平行的直線的方程為(　　)
A．y＝－3x＋7 B．y＝－3x＋5
C．y＝ D．y＝3x－5
二、填空題
6．直線l經(jīng)過點(1，2)，且傾斜角是直線y＝x傾斜角的2倍，則直線l的方程是________．
7．直線l過點(2，1)，若l的斜率為2，則l在y軸上的截距為________．
8．已知直線y＝x＋1繞著其上一點P(3，4)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得直線l，則直線l的點斜式方程為________．
三、解答題
9．已知直線l的方程是y＝x＋1．
(1)求直線l的斜率和傾斜角；
(2)求過點且與直線l平行的直線的方程．
10．(多選)下列結(jié)論正確的是(　　)
A．方程k＝與方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直線
B．直線l過點P(x1，y1)，傾斜角為90°，則其方程是x＝x1
C．直線l過點P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y(tǒng)1
D．所有的直線都有點斜式和斜截式方程
11．(多選)已知直線l的一個方向向量為u＝()，且l經(jīng)過點(1，－2)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．l的傾斜角等于120°
B．l在x軸上的截距為－1
C．l與直線y＝x＋2垂直
D．l與直線y＝－x＋2平行
12．有一根蠟燭點燃6 min后，蠟燭長為17.4 cm；點燃21 min后，蠟燭長為8.4 cm．已知蠟燭長度l(cm)與燃燒時間t(min)可用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時________min．
13．如圖所示，在 OABC中，C(1，3)，A(3，0)．
(1)求直線AB的方程；
(2)過點C作CD⊥AB于點D，求直線CD的方程．
14．已知直線l：y＝kx＋k－1．
(1)求證：直線l過定點；
(2)若當－4＜x＜4時，直線l上的點都在x軸下方，求k的取值范圍；
(3)若直線l與x軸、y軸形成的三角形面積為1，求直線l的方程．
3/32.2　直線的方程
2.2.1　直線的點斜式方程
[學(xué)習(xí)目標]　1．掌握直線方程的點斜式和斜截式，并會用它們求直線的方程．(數(shù)學(xué)運算)
2．了解直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)
3．會用直線的點斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題．(數(shù)學(xué)運算)
(教師用書)
射擊手在進行射擊訓(xùn)練時，要掌握兩個動作要領(lǐng)，一是托槍的手要非常穩(wěn)，二是眼睛要瞄準目標的方向．若把子彈飛行的軌跡看作一條直線，并且射擊手達到了上述的兩個動作要求，試從數(shù)學(xué)角度分析子彈是否會命中目標？
[討論交流]　
問題1．直線的點斜式和斜截式方程適用的范圍是什么？
問題2．直線的截距是距離嗎？
問題3．直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的條件是什么？
[自我感知]　經(jīng)過認真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　直線的點斜式方程
探究問題1　在平面內(nèi)，過一點P0(x0，y0)的直線有無數(shù)條，過兩點的直線有且只有一條，那么，過點P0(x0，y0)且斜率為k的直線有多少條？
[提示]　一條．
探究問題2　若直線l過點P0(x0，y0)且斜率為k，那么直線l上任意一點P(x，y)和它們有怎樣的關(guān)系？
[提示]　若P與P0重合，則x＝x0，y＝y(tǒng)0；若P與P0不重合，則k＝，即y－y0＝k(x－x0)．
[新知生成]
1．方程y－y0＝k(x－x0)由直線上一個定點(x0，y0)及該直線的斜率k確定，我們把這個方程叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．
2．當k＝0時，(如圖1)，過P0(x0，y0)的直線可以寫成y＝y(tǒng)0；當k不存在時(如圖2)，過P0(x0，y0)的直線可以寫成x＝x0．
【教用·微提醒】　經(jīng)過點P0(x0，y0)的直線有無數(shù)條，可分為兩類：
(1)斜率存在的直線，方程為y－y0＝k(x－x0)；
(2)斜率不存在的直線，方程為x＝x0．
【鏈接·教材例題】
例1　直線l經(jīng)過點P0(－2，3)，且傾斜角α＝45°，求直線l的點斜式方程，并畫出直線l．
[解]　直線l經(jīng)過點P0(－2，3)，斜率k＝tan 45°＝1，代入點斜式方程得
y－3＝x＋2．
畫圖時，只需再找出直線l上的另一點P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1，則y1＝4，得點P1的坐標為(－1，4)，過P0，P1兩點的直線即為所求，如圖2.2-4所示．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)求出經(jīng)過點P(－1，2)且滿足下列條件的直線的方程，并畫出直線：
(1)傾斜角為；(2)與x軸垂直；(3)與x軸平行．
[解]　(1)因為直線的傾斜角為，所以該直線的斜率為k＝tan ＝．
因為直線經(jīng)過點P(－1，2)且斜率為，所以該直線方程的點斜式為y－2＝[x－(－1)]，
化簡，得x－y＋＋2＝0(如圖(1))．
(2)因為直線經(jīng)過點P(－1，2)且與x軸垂直，所以該直線的方程為x＝－1(如圖(2))．
(3)因為直線經(jīng)過點P(－1，2)且與x軸平行，即斜率k＝0，所以該直線的方程為y＝2(如圖(3))．
　1．求直線的點斜式方程的思路
2．點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．
[學(xué)以致用]　1．傾斜角為α＝，且過點P(－2，3)的直線的方程是(　　)
A．y－3＝x＋2　　　B．y＝3　　　C．x＝－2　　　D．y＝x
C　[因為傾斜角為α＝，所以該直線不存在斜率，
因為該直線過點P(－2，3)，所以直線方程為x＝－2．故選C．]
2．若過兩點A(－m，6)，B(1，3m)的直線的斜率為12，則直線的點斜式方程為________．
y－6＝12(x－2)或y＋6＝12(x－1)(寫出其中任意一個即可)　[∵過兩點A(－m，6)，B(1，3m)的直線的斜率為12，∴＝12，解得m＝－2，故A(2，6)，B(1，－6)，則直線的點斜式方程為y－6＝12(x－2)或y＋6＝12(x－1)．]
探究2　直線的斜截式方程
探究問題3　你能寫出過點P(0，b)，斜率為k的直線方程嗎？
[提示]　y－b＝kx，即y＝kx＋b．
[新知生成]
1．截距：我們把直線l與y軸的交點(0，b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距．
2．斜截式：方程y＝kx＋b由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，我們把方程y＝kx＋b叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．
【教用·微提醒】　(1)斜截式方程適用于斜率存在的直線，不能表示斜率不存在的直線，故利用斜截式設(shè)直線方程時也要討論斜率是否存在．
(2)縱截距不是距離，它是直線與y軸交點的縱坐標，所以可以取一切實數(shù)，即可為正數(shù)、負數(shù)或零．
[典例講評]　2．直線l的斜率為3且它在y軸上的截距為－3．
(1)求直線l的方程；
(2)求直線l與兩坐標軸所圍成的三角形的面積．
[解]　(1)由斜截式得直線l的方程為y＝3x－3．
(2)在直線y＝3x－3中，令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1，則直線l與坐標軸所圍成的三角形的面積S＝×|1|×|－3|＝．
[母題探究]
1．本例中“在y軸上的截距為－3”改為“與y軸的交點到坐標原點的距離為3”，其余條件不變，求直線l的方程．
[解]　因為直線l與y軸的交點到坐標原點的距離為3，所以直線l在y軸上的截距b＝3或b＝－3．故所求直線方程為y＝3x＋3或y＝3x－3．
2．本例中“它在y軸上的截距為－3”改為“它與兩坐標軸圍成的三角形面積為6”，其余條件不變，求直線l的方程．
[解]　設(shè)直線方程為y＝3x＋b，則x＝0時，y＝b；
y＝0時，x＝－b，由已知可得＝6，
即b2＝36，∴b＝±6，
故所求直線方程為y＝3x＋6或y＝3x－6．
　直線的斜截式方程的求解策略
(1)求直線的斜截式方程只要分別求出直線的斜率和在y軸上的截距，代入方程即可．
(2)當斜率和截距未知時，可結(jié)合已知條件，先求出斜率和截距，再寫出直線的斜截式方程．
[學(xué)以致用]　3．已知直線l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，則它們的圖象可能為(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
C　[對于A，直線l1方程中的k＜0，b＞0，直線l2方程中的k＞0，b＞0，矛盾；
對于B，直線l1方程中的k＞0，b＜0，直線l2方程中的k＞0，b＞0，矛盾；
對于C，直線l1方程中的k＞0，b＞0，直線l2方程中的k＞0，b＞0，符合；
對于D，直線l1方程中的k＜0，b＞0，直線l2方程中的k＜0，b＜0，矛盾．]
4．已知直線l1的方程為y＝－2x＋3，l2的方程為y＝4x－2，直線l與l1的斜率相反且與l2在y軸上的截距相同，則直線l的方程為________．
y＝2x－2　[由題意知直線l的斜率為2，在y軸上的截距為－2．由斜截式可得直線l的方程為y＝2x－2．]
探究3　利用斜截式方程求平行與垂直的條件
探究問題4　前面一節(jié)課中我們已經(jīng)討論過斜率對于直線平行、垂直的影響．設(shè)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么時候：(1)l1∥l2？(2)l1，l2重合？(3)l1⊥l2
[提示]　(1)k1＝k2且b1≠b2；(2)k1＝k2且b1＝b2；(3)k1·k2＝－1．
[新知生成]
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2．
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1⊥l2 k1k2＝－1．
【鏈接·教材例題】
例2　已知直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，試討論：(1)l1∥l2的條件是什么？(2)l1⊥l2的條件是什么？
[分析]　回顧前面用斜率判斷兩條直線平行、垂直的結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)l1∥l2或l1⊥l2時，k1，k2與b1，b2應(yīng)滿足的關(guān)系．
[解]　(1)若l1∥l2，則k1＝k2，此時l1，l2與y軸的交點不同，即b1≠b2；反之，若k1＝k2，且b1≠b2，則l1∥l2．
(2)若l1⊥l2，則k1k2＝－1；反之，若k1k2＝－1，則l1⊥l2．
由例2我們得到，對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥l2 k1k2＝－1．
[典例講評]　3．已知直線l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4．問：m為何值時，l1與l2平行或垂直？
[解]　當m＝0時，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1與l2垂直；
當m≠0時，l2的方程可化為y＝－x＋．
由－＝－，得m＝±；由≠，得m≠且m≠，－·＝－1無解．
故當m＝－時，l1與l2平行；
當m＝0時，l1與l2垂直．
　1．給定兩條直線的斜截式方程，說明了已知兩條直線的斜率及相應(yīng)截距，在此基礎(chǔ)上判斷兩條直線的位置關(guān)系．
2．當給定位置求相應(yīng)字母的取值時，要正確利用k1＝k2或k1k2＝－1等結(jié)論．
[學(xué)以致用]　5．已知直線l1：y＝ax＋2，l2：y＝x－1，根據(jù)下列條件分別確定a的值．
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2．
[解]　(1)∵l1∥l2，∴a＝．
(2)∵l1⊥l2，∴a·＝－1，∴a＝－3．
6．當a為何值時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
[解]　由題意可知＝a2－2，
∵l1∥l2，∴解得a＝－1．
故當a＝－1時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
1．直線y＝的傾斜角為(　　)
A．180°　　　　B．0°　　　　C．90°　　　　D．不存在
B　[直線y＝的斜率為0，所以傾斜角為0°．故選B．]
2．經(jīng)過點(2，1)，且傾斜角為45°的直線方程是(　　)
A．y＝x－3 B．y＝x＋1
C．y＝－x＋3 D．y＝x－1
D　[由題設(shè)，直線斜率為tan 45°＝1，又過(2，1)，
所以直線方程為y－1＝x－2，即y＝x－1．故選D．]
3．已知直線傾斜角為60°，在y軸上的截距為－2，則此直線方程為(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝x－2
D　[由題意可得直線方程為y＝xtan 60°－2，即y＝x－2，故選D．]
4．已知直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則a＝________．
－1　[由a×(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0，得a＝－1．]
1．知識鏈：(1)直線的點斜式方程．
(2)直線的斜截式方程．
(3)兩條直線的平行與垂直．
2．方法鏈：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合、分類討論．
3．警示牌：求直線方程時忽視斜率不存在的情況；混淆截距與距離．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．試寫出直線的點斜式方程．
[提示]　y－y0＝k(x－x0)．
2．試寫出直線的斜截式方程．
[提示]　y＝kx＋b．
3．寫出斜截式方程兩直線平行與垂直的充要條件．
[提示]　(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2．
(2)l1⊥l2 k1k2＝－1．
課時分層作業(yè)(十四)　直線的點斜式方程
一、選擇題
1．已知直線l的一個方向向量為(2，－1)，且經(jīng)過點A(1，0)，則直線l的方程為(　　)
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－1 D．y＝－(x－1)
D　[因為直線l的一個方向向量為(2，－1)，則直線l的斜率為－．又因為直線l過點A(1，0)，所以y－0＝－(x－1)，即y＝－(x－1)．]
2．過點P(5，2)且斜率為－1的直線的點斜式方程為(　　)
A．y＝－x＋7 B．y－2＝－(x－5)
C．y＋2＝－(x＋5) D．y－5＝－(x－2)
B　[由直線的點斜式方程可知，所求方程為y－2＝－(x－5)．故選B．]
3．在平面直角坐標系Oxy中，在y軸上截距為－1且傾斜角為的直線方程為(　　)
A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋1 D．y＝x－1
A　[由題意可得，直線的斜率k＝－1，所以所求的直線方程為y＝－x－1，故選A．]
4．垂直于向量(2，1)，并且經(jīng)過點A(3，－2)的直線方程為(　　)
A．y＋2＝－2(x－3) B．y＋2＝2(x－3)
C．y－2＝－2(x＋3) D．y－2＝2(x＋3)
A　[∵直線垂直于向量(2，1)，∴直線的斜率為k＝－2．直線經(jīng)過點A(3，－2)，
∴直線的方程為y＋2＝－2(x－3)，故選A．]
5．過點(2，1)且與直線y＝－3x＋2平行的直線的方程為(　　)
A．y＝－3x＋7 B．y＝－3x＋5
C．y＝x＋ D．y＝3x－5
A　[∵所求直線與直線y＝－3x＋2平行，∴可設(shè)所求直線方程為y＝－3x＋m，
∵所求直線過點(2，1)，∴1＝(－3)×2＋m，解得m＝7，
故所求直線的方程為y＝－3x＋7．故選A．]
二、填空題
6．直線l經(jīng)過點(1，2)，且傾斜角是直線y＝x傾斜角的2倍，則直線l的方程是________．
x－1＝0　[因為直線y＝x的斜率為1，所以直線的傾斜角為45°，
所以直線l的傾斜角為90°．又直線l經(jīng)過點(1，2)，所以直線l的方程是x－1＝0．]
7．直線l過點(2，1)，若l的斜率為2，則l在y軸上的截距為________．
－3　[根據(jù)題意，直線l過點(2，1)，且l的斜率為2，
則直線l的方程為y－1＝2(x－2)，變形可得y＝2x－3，即l在y軸上的截距為－3．]
8．已知直線y＝x＋1繞著其上一點P(3，4)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得直線l，則直線l的點斜式方程為________．
y－4＝－(x－3)　[直線y＝x＋1的斜率k＝1，所以傾斜角為45°．
由題意知，直線l的傾斜角為135°，
所以直線l的斜率k′＝tan 135°＝－1，
又點P(3，4)在直線l上，
所以直線l的點斜式方程為y－4＝－(x－3)．]
三、解答題
9．已知直線l的方程是y＝x＋1．
(1)求直線l的斜率和傾斜角；
(2)求過點(，－1)且與直線l平行的直線的方程．
[解]　(1)已知直線l：y＝x＋1，
∴直線l的斜率k＝，傾斜角是60°．
(2)過點(，－1)且與直線l平行的直線的斜率是，其直線方程是y＋1＝(x－)，即y＝x－4．
10．(多選)下列結(jié)論正確的是(　　)
A．方程k＝與方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直線
B．直線l過點P(x1，y1)，傾斜角為90°，則其方程是x＝x1
C．直線l過點P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y(tǒng)1
D．所有的直線都有點斜式和斜截式方程
BC　[對于選項A：方程k＝不經(jīng)過(－1，2)，與方程y－2＝k(x＋1)不表示同一直線，故錯誤；對于選項B：直線l過點P(x1，y1)，傾斜角為90°，則其方程是x＝x1，故正確；
對于選項C：直線l過點P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y(tǒng)1，故正確．
對于選項D：不是所有的直線都有點斜式和斜截式，故錯誤．故選BC．]
11．(多選)已知直線l的一個方向向量為u＝(1，－)，且l經(jīng)過點(1，－2)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．l的傾斜角等于120°
B．l在x軸上的截距為－1
C．l與直線y＝x＋2垂直
D．l與直線y＝－x＋2平行
AD　[由直線l的一個方向向量為u＝(1，－)，得k＝－，又直線l經(jīng)過點(1，－2)，所以y＋2＝－(x－1)，得直線l的方程為y＝－x＋－2，所以直線l的傾斜角為120°，故A正確；當y＝0時，x＝1－，故B錯誤；－×＝－3≠－1，故C錯誤；因為－＝－，且－2≠2，所以兩直線平行，故D正確．]
12．有一根蠟燭點燃6 min后，蠟燭長為17.4 cm；點燃21 min后，蠟燭長為8.4 cm．已知蠟燭長度l(cm)與燃燒時間t(min)可用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時________min．
35　[根據(jù)題意，不妨設(shè)直線方程為l＝kt＋b，則解得
所以直線方程為l＝－0.6t＋21．
當l＝0時，即－0.6t＋21＝0，解得t＝35．
所以這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時35 min．]
13．如圖所示，在 OABC中，C(1，3)，A(3，0)．
(1)求直線AB的方程；
(2)過點C作CD⊥AB于點D，求直線CD的方程．
[解]　(1)易得kOC＝＝3．
因為AB∥OC，所以kAB＝3．
又直線AB過點A(3，0)，
所以直線AB的方程為y＝3(x－3)，即y＝3x－9．
(2)由(1)知直線AB的斜率為3，因為CD⊥AB，
所以kCD＝－，又直線CD過點C(1，3)，
所以直線CD的方程為y－3＝－(x－1)，
即y＝－x＋．
14．已知直線l：y＝kx＋k－1．
(1)求證：直線l過定點；
(2)若當－4＜x＜4時，直線l上的點都在x軸下方，求k的取值范圍；
(3)若直線l與x軸、y軸形成的三角形面積為1，求直線l的方程．
[解]　(1)證明：由y＝kx＋k－1，得y＋1＝k(x＋1)，
由直線方程的點斜式可知，直線l過定點(－1，－1)．
(2)若當－4＜x＜4時，直線l上的點都在x軸下方，
則解得－≤k≤，
所以k的取值范圍是．
(3)設(shè)直線l與x軸的交點為A，與y軸的交點為B，坐標原點為O．
當x＝0時，得|OB|＝|k－1|，當y＝0時，得|OA|＝，
所以S△AOB＝＝，即＝1，
解得k＝2＋或2－，
所以直線l的方程為y＝(2＋)x＋1＋或y＝(2－)x＋1－．
12/122.2　直線的方程
2.2.1　直線的點斜式方程
[學(xué)習(xí)目標]　1．掌握直線方程的點斜式和斜截式，并會用它們求直線的方程．(數(shù)學(xué)運算)
2．了解直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)
3．會用直線的點斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題．(數(shù)學(xué)運算)
[討論交流]　
問題1．直線的點斜式和斜截式方程適用的范圍是什么？
問題2．直線的截距是距離嗎？
問題3．直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的條件是什么？
[自我感知]　經(jīng)過認真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　直線的點斜式方程
探究問題1　在平面內(nèi)，過一點P0(x0，y0)的直線有無數(shù)條，過兩點的直線有且只有一條，那么，過點P0(x0，y0)且斜率為k的直線有多少條？
探究問題2　若直線l過點P0(x0，y0)且斜率為k，那么直線l上任意一點P(x，y)和它們有怎樣的關(guān)系？
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[新知生成]
1．方程________由直線上一個定點(x0，y0)及該直線的斜率k確定，我們把這個方程叫做直線的點斜式方程，簡稱________．
2．當k＝0時，(如圖1)，過P0(x0，y0)的直線可以寫成________；當k不存在時(如圖2)，過P0(x0，y0)的直線可以寫成________．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)求出經(jīng)過點P(－1，2)且滿足下列條件的直線的方程，并畫出直線：
(1)傾斜角為；(2)與x軸垂直；(3)與x軸平行．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　1．求直線的點斜式方程的思路
2．點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．
[學(xué)以致用]　1．傾斜角為α＝，且過點P(－2，3)的直線的方程是(　　)
A．y－3＝x＋2　　　 B．y＝3
C．x＝－2 D．y＝x
2．若過兩點A(－m，6)，B(1，3m)的直線的斜率為12，則直線的點斜式方程為________．
探究2　直線的斜截式方程
探究問題3　你能寫出過點P(0，b)，斜率為k的直線方程嗎？
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[新知生成]
1．截距：我們把直線l與y軸的交點(0，b)的________叫做直線l在y軸上的截距．
2．斜截式：方程________由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，我們把方程________叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．
[典例講評]　2．直線l的斜率為3且它在y軸上的截距為－3．
(1)求直線l的方程；
(2)求直線l與兩坐標軸所圍成的三角形的面積．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]
1．本例中“在y軸上的截距為－3”改為“與y軸的交點到坐標原點的距離為3”，其余條件不變，求直線l的方程．
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2．本例中“它在y軸上的截距為－3”改為“它與兩坐標軸圍成的三角形面積為6”，其余條件不變，求直線l的方程．
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　直線的斜截式方程的求解策略
(1)求直線的斜截式方程只要分別求出直線的斜率和在y軸上的截距，代入方程即可．
(2)當斜率和截距未知時，可結(jié)合已知條件，先求出斜率和截距，再寫出直線的斜截式方程．
[學(xué)以致用]　3．已知直線l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，則它們的圖象可能為(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　　D
4．已知直線l1的方程為y＝－2x＋3，l2的方程為y＝4x－2，直線l與l1的斜率相反且與l2在y軸上的截距相同，則直線l的方程為________．
探究3　利用斜截式方程求平行與垂直
的條件
探究問題4　前面一節(jié)課中我們已經(jīng)討論過斜率對于直線平行、垂直的影響．設(shè)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么時候：(1)l1∥l2？(2)l1，l2重合？(3)l1⊥l2
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[新知生成]
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2．
(1)l1∥l2 ________________；
(2)l1⊥l2 ________________．
[典例講評]　3．已知直線l1：y＝－和l2：6my＝－x＋4．問：m為何值時，l1與l2平行或垂直？
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　1．給定兩條直線的斜截式方程，說明了已知兩條直線的斜率及相應(yīng)截距，在此基礎(chǔ)上判斷兩條直線的位置關(guān)系．
2．當給定位置求相應(yīng)字母的取值時，要正確利用k1＝k2或k1k2＝－1等結(jié)論．
[學(xué)以致用]　5．已知直線l1：y＝ax＋2，l2：y＝x－1，根據(jù)下列條件分別確定a的值．
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2．
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6．當a為何值時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
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1．直線y＝的傾斜角為(　　)
A．180° B．0° C．90° D．不存在
2．經(jīng)過點(2，1)，且傾斜角為45°的直線方程是(　　)
A．y＝x－3　　　 B．y＝x＋1
C．y＝－x＋3 D．y＝x－1
3．已知直線傾斜角為60°，在y軸上的截距為－2，則此直線方程為(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝x－2
4．已知直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則a＝________．
1．知識鏈：(1)直線的點斜式方程．
(2)直線的斜截式方程．
(3)兩條直線的平行與垂直．
2．方法鏈：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合、分類討論．
3．警示牌：求直線方程時忽視斜率不存在的情況；混淆截距與距離．
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