資源簡介

2.2.2　直線的兩點式方程
[學習目標]　1．掌握直線的兩點式方程的形式、特點及適用范圍．(數學抽象)
2．了解直線的截距式方程的形式、特點及適用范圍．(數學抽象)
3．能用直線的兩點式方程和截距式方程解決有關問題．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
我們知道，兩點可以確定一條直線，因此，直線上其他的任意一點的位置都可以由已知兩點確定，即直線上任意其他點的坐標和已知兩點的坐標都存在著恒定的數量關系．
如圖所示，已知直線l上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，對于直線l上其他的任意一點Q(x，y)，A，B，Q三點坐標間的數量關系是怎樣的呢？
[討論交流]　
問題1．兩點式方程與P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的順序有關嗎？
問題2．兩點式能否表示平行于坐標軸或與坐標軸重合的直線？
問題3．截距式方程適用的條件是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線的兩點式方程
探究問題1　如圖，給定直線l上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，試用點斜式寫出l的方程．
[提示]　y－y1＝(x－x1)．
探究問題2　給定直線l上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任選直線上一點P(x，y)，其中P不與P1，P2重合，那么與有什么關系？
[提示]　，即＝．
[新知生成]
1．經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直線方程為＝，我們把它叫做直線的兩點式方程，簡稱兩點式．
2．當x1＝x2時，直線P1P2垂直于x軸，直線方程為x－x1＝0，即x＝x1；當y1＝y2時，直線P1P2垂直于y軸，直線方程為y－y1＝0，即y＝y1．
【教用·微提醒】　兩點式方程也可寫成＝，需注意等號左、右兩邊的字母、下標必須對應，不能亂寫，并注意x1≠x2，y1≠y2．
【鏈接·教材例題】
例4　已知△ABC的三個頂點A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求邊BC所在直線的方程，以及這條邊上的中線AM所在直線的方程．
[解]　如圖2.2-6，過B(3，－3)，C(0，2)的直線的兩點式方程為＝，
整理得5x＋3y－6＝0．
這就是邊BC所在直線的方程．
邊BC上的中線是頂點A與邊BC中點M所連線段，
由中點坐標公式，可得點M的坐標為，即．
過A(－5，0)，M兩點的直線方程為＝，
整理可得x＋13y＋5＝0．
這就是邊BC上中線AM所在直線的方程．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)如圖所示，已知三角形的三個頂點為A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC邊所在直線的方程；
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．
[解]　(1)過B(5，－4)，C(0，－2)的直線的兩點式方程為＝．
整理得2x＋5y＋10＝0．
這就是BC邊所在直線的方程．
(2)BC中點M的坐標為＝．
過A(－3，2)，M的直線的兩點式方程為＝．
整理得10x＋11y＋8＝0．
這就是BC邊上的中線AM所在直線的方程．
　1．利用兩點式求直線的方程
(1)首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件；若滿足即可考慮用兩點式求方程．
(2)在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程．
2．中點坐標公式：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2中點為．
[學以致用]　1．已知直線經過點A(1，0)，B(m，1)，求直線的方程．
[解]　由直線經過點A(1，0)，B(m，1)知，該直線斜率不可能為零，但有可能不存在．
(1)當m＝1時，直線斜率不存在，直線方程為x＝1．
(2)當m≠1時，直線斜率存在，利用兩點式，可得直線方程為＝，
即x－(m－1)y－1＝0．
綜上可得，當m＝1時，直線方程為x＝1；
當m≠1時，直線方程為x－(m－1)y－1＝0．
探究2　直線的截距式方程
探究問題3　若給定直線上兩點A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直線的方程呢？
[提示]　kAB＝－，根據點斜式得y＝－(x－a)，即＋＝1．
[新知生成]
方程＋＝1由直線在兩個坐標軸上的截距a與b確定，所以把此方程叫做直線的截距式方程，簡稱截距式．a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．
【教用·微提醒】　直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況，由直線的截距式方程可以直接讀出直線在x軸和y軸上的截距，所以利用截距式解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題非常方便．
【鏈接·教材例題】
例3　如圖2.2-5，已知直線l與x軸的交點為A(a，0)，與y軸的交點為B(0，b)，其中a≠0，b≠0．求直線l的方程．
[解]　將兩點A(a，0)，B(0，b)的坐標代入兩點式，得＝，即＋＝1．
[典例講評]　2．過點A(1，4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為(　　)
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－5＝0
C．4x－y＝0或x＋y－5＝0
D．4x－y＝0或x－y＋3＝0
D　[法一：當直線過原點時，滿足題意，
此時直線方程為y＝4x，即4x－y＝0，
當直線不過原點時，設直線方程為＋＝1(a≠0)，
因為直線過點A(1，4)，所以－＝1，
解得a＝－3，此時直線方程為x－y＋3＝0．故選D．
法二：易知直線斜率不存在或直線斜率為0時不符合題意，
設直線方程為y－4＝k(x－1)(k≠0)，
則x＝0時，y＝4－k；y＝0時，x＝1－，由題意知1－＋4－k＝0，
解得k＝4或k＝1，即直線方程為y＝4x或x－y＋3＝0．故選D．]
[母題探究]　本例中“截距之和為零”改為“截距相等”呢？
[解]　(1)當截距為0時，設直線l的方程為y＝kx．
又l過A(1，4)，∴4＝k，∴直線l的方程為y＝4x．
(2)當截距不為0時，設直線l的方程為＋＝1，
又l過A(1，4)，∴＋＝1，解得a＝5，
∴直線l的方程為x＋y－5＝0．
綜上，直線l的方程為x＋y－5＝0或4x－y＝0．
　截距式方程應用的注意事項
(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數法確定其系數即可．
(2)下列三種情況，不能用截距式表示直線：
①k不存在．②k＝0．③直線過原點．
[學以致用]　2．直線x－2y－2＝0在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則(　　)
A．a＝2，b＝1　　 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝1 D．a＝－2，b＝－1
B　[令x＝0，解得y＝－1，故b＝－1；令y＝0，解得x＝2，故a＝2．故選B．]
3．過點P(3，2)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為(　　)
A．x－y－1＝0或y＝0
B．x＋y－5＝0或2x－3y＝0
C．x＋y－5＝0或y＝0
D．x－y－1＝0或2x－3y＝0
B　[當直線在坐標軸上的截距為0時，此時直線方程過點P(3，2)和原點(0，0)，
直線方程為＝，整理得2x－3y＝0；
當截距不為0時，此時直線方程可設為＋＝1，把P(3，2)代入，得＋＝1，解得a＝5，∴直線方程為＋＝1，即x＋y－5＝0．
所以過點P(3，2)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是x＋y－5＝0 或2x－3y＝0．
故選B．]
探究3　截距式方程的應用
[典例講評]　3．直線l過點P，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點．
(1)當△AOB的周長為12時，求直線l的方程；
(2)當△AOB的面積為6時，求直線l的方程．
[解]　(1)設直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，
因為直線l過點P，所以＋＝1，①
由△AOB的周長為12，得a＋b＋＝12，②
聯立①②解得或
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0．
(2)設直線l的方程＋＝1(a＞0，b＞0)，
由題意知，ab＝6，即ab＝12，③
聯立①③，解得或
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0．
　直線的截距式方程是兩點式方程的特殊情況(兩個點是直線與坐標軸的交點，記為(a，0)，(0，b))，用它來畫直線以及求直線與坐標軸圍成的圖形面積或周長時較為方便，直線與坐標軸圍成的三角形的面積S＝，周長C＝．
[學以致用]　4．(多選)已知直線l過點(1，3)，若l與x，y軸的正半軸圍成的三角形的面積為S，則S的值可以是(　　)
A．3　　　B．5　　　C．7　　　D．9
CD　[由題意知直線l在x，y軸上的截距存在且大于0，
可設l的方程為＋＝1(a，b＞0)，由直線l過點(1，3)，得＋＝1，
所以1＝＋≥2，當且僅當＝，即a＝2，b＝6時，等號成立，
即ab≥12，所以S＝ab≥6，故選CD．]
5．如圖，為了綠化城市，擬在矩形區域ABCD內建一個矩形草坪，另外△AEF內部有一文物保護區域不能占用，經過測量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應該如何設計才能使草坪面積最大？
[解]　在線段EF上取一點P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，則矩形PQCR即為要建的矩形草坪，
設矩形PQCR的面積是S，則S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又因為＋＝1(0≤m≤30)，
所以n＝20，
故S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)，
當m＝5時，S有最大值，此時＝＝5，即當點P為線段EF上靠近F點的六等分點時，可使草坪面積最大．
1．過點A(5，6)和點B(－1，2)的直線的兩點式方程是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
B　[過點A(5，6)和點B(－1，2)的直線的兩點式方程是＝或＝．故選B．]
2．直線l：2x－3y＋6＝0在x軸上的截距是(　　)
A．(－3，0) B．(3，0)
C．－3 D．3
C　[令y＝0，解得x＝－3，故直線l：2x－3y＋6＝0在x軸上的截距是－3．
故選C．]
3．(多選)若直線l過點(4，－2)且在兩坐標軸上的截距互為相反數，則直線l的方程為(　　)
A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0
C．x＋y－2＝0 D．x－y－6＝0
BD　[當截距為0時，則l過點(4，－2)和原點，
所以l的方程為y＝－x，即x＋2y＝0；
當截距不為0時，
由直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數，則設l的方程為＋＝1，
又l過點(4，－2)，得＋＝1，解得a＝6，所以l的方程為x－y－6＝0．
故選BD．]
4．直線－＝1與坐標軸圍成的圖形面積為________．
3　[因為直線－＝1，故x軸上的截距為2，y軸上的截距為－3，
所以面積為＝3．]
1．知識鏈：(1)直線的兩點式方程．
(2)直線的截距式方程．
2．方法鏈：分類討論法、數形結合法．
3．警示牌：在利用截距式求直線的方程時，容易遺忘截距為零的情況．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出直線的兩點式方程．
[提示]　＝(x1≠x2，y1≠y2)．
2．試寫出直線的截距式方程．
[提示]　＋＝1．
3．如何解決與直線在x軸、y軸上的截距有關的問題？
[提示]　可設直線的截距式方程求解，應注意當截距為0時，直線過原點，不能用截距式方程表示．
課時分層作業(十五)　直線的兩點式方程
一、選擇題
1．已知直線l經過點(－3，－2)，(1，2)，則下列不在直線l上的點是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(2，1)
D　[由直線的兩點式方程，得直線l的方程為＝，即x－y＋1＝0，
將各個選項中的坐標代入直線方程，
可知點(－2，－1)，(－1，0)，(0，1)都在直線l上，點(2，1)不在直線l上．
故選D．]
2．已知直線x－2y＋t＝0經過點(2，－1)，則該直線在y軸上的截距為(　　)
A． B．－ C．2 D．－2
D　[直線x－2y＋t＝0經過點(2，－1)，則2＋2＋t＝0，解得t＝－4，
故直線方程為x－2y－4＝0，令x＝0，解得y＝－2，
故該直線在y軸上的截距為－2．故選D．]
3．已知△ABC三頂點A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB中點，N為AC中點，則中位線MN所在直線方程為(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
A　[點M的坐標為(2，4)，點N的坐標為(3，2)，由兩點式方程得＝，
即2x＋y－8＝0．故選A．]
4．(多選)下列選項中不正確的是(　　)
A．經過定點P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．經過任意兩個不同點P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示
C．不經過原點的直線都可以用方程＋＝1表示
D．經過定點的直線都可以用y＝kx＋b表示
ACD　[A不正確，該方程無法表示直線x＝x0；C不正確，該方程無法表示與坐標軸平行的直線；D不正確，該方程無法表示與x軸垂直的直線，B正確．]
5．直線l經過點P(4，－3)，在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a，b滿足logab＝2，則直線l的斜率為(　　)
A．2 B．－1 C．－3 D．－1或－3
C　[設直線l的截距式方程為＋＝1，且a＞0，a≠1，b＞0，
∵直線l經過點P(4，－3)，∴－＝1，①
∵logab＝2，∴a2＝b，②
由①②解得a＝3，b＝9，＋＝1，即y＝－3x＋9，
∴直線l的斜率為－3，故選C．]
二、填空題
6．以點P(5，8)和Q(3，－4)為端點的線段的方程是________．
6x－y－22＝0(3≤x≤5)　[過兩點P(5，8)，Q(3，－4)的線段的方程是＝(3≤x≤5)，即6x－y－22＝0(3≤x≤5)．]
7．寫出一個截距相等且不過第三象限的直線方程________．
x＋y－1＝0(答案不唯一)　[當截距相等且為0時，直線過原點，又直線不過第三象限，
則直線方程為y＝kx(k＜0)；
當截距相等且不為0時，直線截距式方程為＋＝1，又直線不過第三象限，有a＞0，
則直線方程為x＋y－a＝0(a＞0)．]
8．已知直線l過點(3，4)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的兩倍，則直線l的方程為________．
y＝x或x＋2y－11＝0　[①當直線l在兩坐標軸上的截距均為0時，設直線方程為y＝kx，
因為直線過點(3，4)，所以k＝，所以直線l的方程為y＝x；
②當直線l在兩坐標軸上的截距均不為0時，
設直線l在y軸上的截距為b，則在x軸上的截距為2b，
則直線l的方程為＋＝1，又因為直線l過點(3，4)，所以＋＝1，
解得b＝，所以直線l的方程為＋＝1，即x＋2y－11＝0．
綜上所述，直線l的方程為y＝x或x＋2y－11＝0．]
三、解答題
9．求下列直線l的方程：
(1)l的傾斜角是π，l在x軸上的截距是－3；
(2)l在x軸、y軸上的截距分別是－2，4；
(3)直線l經過點A(2，1)，B(1，－2)．
[解]　(1)因為l在x軸上的截距是－3，所以l經過點A(－3，0)，
又因為l的斜率k＝tan π＝－，所以由點斜式可得l的方程是：y＝－(x＋3)．
(2)由題意，直線的截距式方程為＋＝1，即2x－y＋4＝0．
(3)直接把點A，B的坐標代入直線的兩點式方程，
得＝，即y＝3x－5．
10．(多選)直線l過點A(1，2)，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線l在y軸上的截距可能是(　　)
A．3 B．0 C． D．1
ABD　[由題意，直線l過點A(1，2)，在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，
當直線l的截距為0時，顯然滿足題意，直線l的方程為y＝2x；
當直線l的截距不為0時，設橫、縱截距分別為a，b，則直線方程為＋＝1，
∴解得b＝1或3，∴直線l的縱截距可取0，1，3．故選ABD．]
11．兩條直線－＝1與－＝1在同一平面直角坐標系中的圖象是下圖中的(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　D
B　[兩直線的方程分別化為y＝x－n，y＝x－m，易知兩直線的斜率符號相同．]
12．直線l：＋＝1過點A(2，3)，則直線l與x軸、y軸正半軸圍成的三角形的面積最小值為(　　)
A．6 B．12 C．18 D．24
B　[因為直線l：＋＝1過點A(2，3)，所以＋＝1，
令x＝0，可得y＝n，即直線l與y軸交于點(0，n)，
令y＝0，可得x＝m，即直線l與x軸交于點(m，0)，
依題意可得m＞0，n＞0，所以＋＝1≥2，則mn≥24，當且僅當＝，
即m＝4，n＝6時取等號，所以直線l與x軸、y軸正半軸圍成的三角形的面積S＝mn≥12，當且僅當m＝4，n＝6時取等號，即直線l與x軸、y軸正半軸圍成的三角形的面積最小值為12．故選B．]
13．已知A，B兩點分別在兩條互相垂直的直線y＝2x和x＋ay＝0上，且線段AB的中點為P，則直線AB的方程為________．
3x－4y＋20＝0　[依題意知，a＝2，P(0，5)．
設A(x0，2x0)，B(－2y0，y0)，
則由中點坐標公式，得
解得
所以A(4，8)，B(－4，2)，
由直線的兩點式方程，得直線AB的方程是＝，即3x－4y＋20＝0．]
14．已知直線l的橫截距為m，且在x軸、y軸上的截距之和為4．
(1)若直線l的斜率為2，求實數m的值；
(2)若直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O是坐標原點，求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程．
[解]　(1)依題意直線在x軸、y軸上的截距都存在且不為0，
設直線l的方程為＋＝1(m≠0且m≠4)，
令y＝0，可得x＝m；令x＝0，可得y＝4－m，即直線l經過點(m，0)，(0，4－m)，
所以直線l的斜率k＝＝2，解得m＝－4．
(2)設直線l的方程為＋＝1(m≠0，且m≠4)，
由直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，
可得解得0＜m＜4，又由A(m，0)，B(0，4－m)，
可得S△AOB＝＝－(m－2)2＋2，
當m＝2時，S△AOB取得最大值2，此時直線方程為＋＝1，即y＝－x＋2．
15．一河流同側有兩個村莊A，B，兩村莊計劃在河上共建一水電站供兩村使用，已知A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300 m和700 m，且兩村相距500 m．問：水電站建于何處送電到兩村的電線用料最省？
[解]　如圖，以河流所在直線為x軸，y軸通過點A，建立直角坐標系，則點A(0，300)，B(x，700)，設B點在y軸上的射影為H，則x＝|BH|＝＝300，故點B(300，700)，設點A關于x軸的對稱點A′(0，－300)，則直線A′B的方程為＝，即y＝x－300．
令y＝0，得x＝90，得點P(90，0)，故水電站建在河邊P(90，0)處電線用料最省．
3/14(共43張PPT)
2.2.2　直線的兩點式方程
第二章　直線和圓的方程
2.2　直線的方程
[學習目標]　1．掌握直線的兩點式方程的形式、特點及適用范圍．
(數學抽象)
2．了解直線的截距式方程的形式、特點及適用范圍．(數學抽象)
3．能用直線的兩點式方程和截距式方程解決有關問題．(邏輯推理、數學運算)
整體感知
(教師用書)
我們知道，兩點可以確定一條直線，因此，直線上其他的任意一點的位置都可以由已知兩點確定，即直線上任意其他點的坐標和已知兩點的坐標都存在著恒定的數量關系．
如圖所示，已知直線l上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，對于直線l上其他的任意一點Q(x，y)，A，B，Q三點坐標間的數量關系是怎樣的呢？
[討論交流]　
問題1．兩點式方程與P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的順序有關嗎？
問題2．兩點式能否表示平行于坐標軸或與坐標軸重合的直線？
問題3．截距式方程適用的條件是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線的兩點式方程
探究問題1　如圖，給定直線l上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，試用點斜式寫出l的方程．
探究建構
[提示]　y－y1＝(x－x1)．
探究問題2　給定直線l上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任選直線上一點P(x，y)，其中P不與P1，P2重合，那么與有什么關系？
[提示]　，即＝．
[新知生成]
1．經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直線方程為 ，我們把它叫做直線的兩點式方程，簡稱______．
2．當x1＝x2時，直線P1P2垂直于x軸，直線方程為x－x1＝0，即________；當y1＝y2時，直線P1P2______ y軸，直線方程為y－y1＝0，即y＝y1．
兩點式
x＝x1
垂直于
【教用·微提醒】　兩點式方程也可寫成＝，需注意等號左、右兩邊的字母、下標必須對應，不能亂寫，并注意x1≠x2，y1≠y2．
【鏈接·教材例題】
例4　已知△ABC的三個頂點A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求邊BC所在直線的方程，以及這條邊上的中線AM所在直線的方程．
[解]　如圖2.2-6，過B(3，－3)，C(0，2)的直線的兩點式方程為＝，
整理得5x＋3y－6＝0．
這就是邊BC所在直線的方程．
邊BC上的中線是頂點A與邊BC中點M所連線段，
由中點坐標公式，可得點M的坐標為，即．
過A(－5，0)，M兩點的直線方程為＝，
整理可得
x＋13y＋5＝0．
這就是邊BC上中線AM所在直線的方程．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)如圖所示，已知三角形的三個頂點為A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC邊所在直線的方程；
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．
[解]　(1)過B(5，－4)，C(0，－2)的直線的兩點式方程為＝．整理得2x＋5y＋10＝0．這就是BC邊所在直線的方程．
(2)BC中點M的坐標為＝．
過A(－3，2)，M的直線的兩點式方程為＝．
整理得10x＋11y＋8＝0．
這就是BC邊上的中線AM所在直線的方程．
反思領悟　1．利用兩點式求直線的方程
(1)首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件；若滿足即可考慮用兩點式求方程．
(2)在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程．
2．中點坐標公式：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2中點為．
[學以致用]　1．已知直線經過點A(1，0)，B(m，1)，求直線的方程．
[解]　由直線經過點A(1，0)，B(m，1)知，該直線斜率不可能為零，但有可能不存在．
(1)當m＝1時，直線斜率不存在，直線方程為x＝1．
(2)當m≠1時，直線斜率存在，利用兩點式，可得直線方程為＝，
即x－(m－1)y－1＝0．
綜上可得，當m＝1時，直線方程為x＝1；
當m≠1時，直線方程為x－(m－1)y－1＝0．
探究2　直線的截距式方程
探究問題3　若給定直線上兩點A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直線的方程呢？
[提示]　kAB＝－，根據點斜式得y＝－(x－a)，即＋＝1．
[新知生成]
方程＋＝1由直線在兩個坐標軸上的截距a與b確定，所以把此方程叫做直線的截距式方程，簡稱______．a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．
截距式
【教用·微提醒】　直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況，由直線的截距式方程可以直接讀出直線在x軸和y軸上的截距，所以利用截距式解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題非常方便．
【鏈接·教材例題】
例3　如圖2.2-5，已知直線l與x軸的交點為A(a，0)，與y軸的交點為B(0，b)，其中a≠0，b≠0．求直線l的方程．
[解]　將兩點A(a，0)，B(0，b)的坐標代入兩點式，得＝，即＋＝1．
[典例講評]　2．過點A(1，4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為(　　)
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－5＝0
C．4x－y＝0或x＋y－5＝0
D．4x－y＝0或x－y＋3＝0
√
D　[法一：當直線過原點時，滿足題意，
此時直線方程為y＝4x，即4x－y＝0，
當直線不過原點時，設直線方程為＋＝1(a≠0)，
因為直線過點A(1，4)，所以－＝1，
解得a＝－3，此時直線方程為x－y＋3＝0．故選D．
法二：易知直線斜率不存在或直線斜率為0時不符合題意，
設直線方程為y－4＝k(x－1)(k≠0)，
則x＝0時，y＝4－k；y＝0時，x＝1－，由題意知1－＋4－k＝0，
解得k＝4或k＝1，即直線方程為y＝4x或x－y＋3＝0．故選D．]
[母題探究]　本例中“截距之和為零”改為“截距相等”呢？
[解]　(1)當截距為0時，設直線l的方程為y＝kx．
又l過A(1，4)，∴4＝k，∴直線l的方程為y＝4x．
(2)當截距不為0時，設直線l的方程為＋＝1，
又l過A(1，4)，∴＋＝1，解得a＝5，
∴直線l的方程為x＋y－5＝0．
綜上，直線l的方程為x＋y－5＝0或4x－y＝0．
反思領悟　截距式方程應用的注意事項
(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數法確定其系數即可．
(2)下列三種情況，不能用截距式表示直線：
①k不存在．②k＝0．③直線過原點．
[學以致用]　2．直線x－2y－2＝0在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則(　　)
A．a＝2，b＝1　　 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝1 D．a＝－2，b＝－1
B　[令x＝0，解得y＝－1，故b＝－1；令y＝0，解得x＝2，故a＝2．故選B．]
√
3．過點P(3，2)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為(　　)
A．x－y－1＝0或y＝0
B．x＋y－5＝0或2x－3y＝0
C．x＋y－5＝0或y＝0
D．x－y－1＝0或2x－3y＝0
√
B　[當直線在坐標軸上的截距為0時，此時直線方程過點P(3，2)和原點(0，0)，
直線方程為＝，整理得2x－3y＝0；
當截距不為0時，此時直線方程可設為＋＝1，把P(3，2)代入，得＋＝1，解得a＝5，∴直線方程為＋＝1，即x＋y－5＝0．
所以過點P(3，2)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是x＋y－5＝0 或2x－3y＝0．
故選B．]
探究3　截距式方程的應用
[典例講評]　3．直線l過點P，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點．
(1)當△AOB的周長為12時，求直線l的方程；
(2)當△AOB的面積為6時，求直線l的方程．
[解]　(1)設直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，
因為直線l過點P，所以＋＝1，①
由△AOB的周長為12，得a＋b＋＝12，②
聯立①②解得或
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0．
(2)設直線l的方程＋＝1(a＞0，b＞0)，
由題意知，ab＝6，即ab＝12，③
聯立①③，解得或
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0．
反思領悟　直線的截距式方程是兩點式方程的特殊情況(兩個點是直線與坐標軸的交點，記為(a，0)，(0，b))，用它來畫直線以及求直線與坐標軸圍成的圖形面積或周長時較為方便，直線與坐標軸圍成的三角形的面積S＝，周長C＝．
[學以致用]　4．(多選)已知直線l過點(1，3)，若l與x，y軸的正半軸圍成的三角形的面積為S，則S的值可以是(　　)
A．3　　　B．5　　　C．7　　　D．9
√
√
CD　[由題意知直線l在x，y軸上的截距存在且大于0，
可設l的方程為＋＝1(a，b＞0)，由直線l過點(1，3)，得＋＝1，
所以1＝＋≥2，當且僅當＝，即a＝2，b＝6時，等號成立，
即ab≥12，所以S＝ab≥6，故選CD．]
5．如圖，為了綠化城市，擬在矩形區域ABCD內建一個矩形草坪，另外△AEF內部有一文物保護區域不能占用，經過測量，AB＝
100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應該如何設計才能使草坪面積最大？
[解]　在線段EF上取一點P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，則矩形PQCR即為要建的矩形草坪，
設矩形PQCR的面積是S，
則S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又因為＋＝1(0≤m≤30)，
所以n＝20，
故S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)，
當m＝5時，S有最大值，此時＝＝5，即當點P為線段EF上靠近F點的六等分點時，可使草坪面積最大．
1．過點A(5，6)和點B(－1，2)的直線的兩點式方程是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[過點A(5，6)和點B(－1，2)的直線的兩點式方程是＝或＝．故選B．]
2．直線l：2x－3y＋6＝0在x軸上的截距是(　　)
A．(－3，0) B．(3，0)
C．－3 D．3
2
3
題號
1
4
√
C　[令y＝0，解得x＝－3，故直線l：2x－3y＋6＝0在x軸上的截距是－3．故選C．]
3．(多選)若直線l過點(4，－2)且在兩坐標軸上的截距互為相反數，則直線l的方程為(　　)
A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0
C．x＋y－2＝0 D．x－y－6＝0
2
3
題號
4
1
√
√
BD　[當截距為0時，則l過點(4，－2)和原點，
所以l的方程為y＝－x，即x＋2y＝0；
當截距不為0時，
由直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數，則設l的方程為＋＝1，
又l過點(4，－2)，得＋＝1，解得a＝6，所以l的方程為x－y－6＝0．
故選BD．]
2
3
題號
4
1
4．直線－＝1與坐標軸圍成的圖形面積為___．
2
4
3
題號
1
3　[因為直線－＝1，故x軸上的截距為2，y軸上的截距為－3，
所以面積為＝3．]
3
1．知識鏈：(1)直線的兩點式方程．
(2)直線的截距式方程．
2．方法鏈：分類討論法、數形結合法．
3．警示牌：在利用截距式求直線的方程時，容易遺忘截距為零的情況．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出直線的兩點式方程．
[提示]　＝(x1≠x2，y1≠y2)．
2．試寫出直線的截距式方程．
[提示]　＋＝1．
3．如何解決與直線在x軸、y軸上的截距有關的問題？
[提示]　可設直線的截距式方程求解，應注意當截距為0時，直線過原點，不能用截距式方程表示．
課時分層作業(十五)
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直線的兩點式方程
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鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS課時分層作業(十五)　直線的兩點式方程
一、選擇題
1．已知直線l經過點(－3，－2)，(1，2)，則下列不在直線l上的點是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(2，1)
2．已知直線x－2y＋t＝0經過點(2，－1)，則該直線在y軸上的截距為(　　)
A．　　　B．－　　　C．2　　　D．－2
3．已知△ABC三頂點A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB中點，N為AC中點，則中位線MN所在直線方程為(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
4．(多選)下列選項中不正確的是(　　)
A．經過定點P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．經過任意兩個不同點P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示
C．不經過原點的直線都可以用方程＝1表示
D．經過定點的直線都可以用y＝kx＋b表示
5．直線l經過點P(4，－3)，在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a，b滿足logab＝2，則直線l的斜率為(　　)
A．2　　　B．－1　　　C．－3　　　D．－1或－3
二、填空題
6．以點P(5，8)和Q(3，－4)為端點的線段的方程是________．
7．寫出一個截距相等且不過第三象限的直線方程________．
8．已知直線l過點(3，4)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的兩倍，則直線l的方程為________．
三、解答題
9．求下列直線l的方程：
(1)l的傾斜角是π，l在x軸上的截距是－3；
(2)l在x軸、y軸上的截距分別是－2，4；
(3)直線l經過點A(2，1)，B(1，－2)．
10．(多選)直線l過點A(1，2)，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線l在y軸上的截距可能是(　　)
A．3　　　B．0　　　C．　　　D．1
11．兩條直線＝1與＝1在同一平面直角坐標系中的圖象是下圖中的(　　)
A　 　 　B　　　 　C　　　　D
12．直線l：＝1過點A(2，3)，則直線l與x軸、y軸正半軸圍成的三角形的面積最小值為(　　)
A．6　　　B．12　　　C．18　　　D．24
13．已知A，B兩點分別在兩條互相垂直的直線y＝2x和x＋ay＝0上，且線段AB的中點為則直線AB的方程為________．
14．已知直線l的橫截距為m，且在x軸、y軸上的截距之和為4．
(1)若直線l的斜率為2，求實數m的值；
(2)若直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O是坐標原點，求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程．
15．一河流同側有兩個村莊A，B，兩村莊計劃在河上共建一水電站供兩村使用，已知A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300 m和700 m，且兩村相距500 m．問：水電站建于何處送電到兩村的電線用料最省？
3/32.2.2　直線的兩點式方程
[學習目標]　1．掌握直線的兩點式方程的形式、特點及適用范圍．(數學抽象)
2．了解直線的截距式方程的形式、特點及適用范圍．(數學抽象)
3．能用直線的兩點式方程和截距式方程解決有關問題．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　
問題1．兩點式方程與P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的順序有關嗎？
問題2．兩點式能否表示平行于坐標軸或與坐標軸重合的直線？
問題3．截距式方程適用的條件是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　直線的兩點式方程
探究問題1　如圖，給定直線l上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，試用點斜式寫出l的方程．
探究問題2　給定直線l上兩點P1(x1，y1)，與有什么關系？
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[新知生成]
1．經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直線方程為______________，我們把它叫做直線的兩點式方程，簡稱________．
2．當x1＝x2時，直線P1P2垂直于x軸，直線方程為x－x1＝0，即________；當y1＝y2時，直線P1P2________y軸，直線方程為y－y1＝0，即y＝y1．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)如圖所示，已知三角形的三個頂點為A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC邊所在直線的方程；
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　1．利用兩點式求直線的方程
(1)首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件；若滿足即可考慮用兩點式求方程．
(2)在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程．
2．中點坐標公式：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2中點為．
[學以致用]　1．已知直線經過點A(1，0)，B(m，1)，求直線的方程．
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探究2　直線的截距式方程
探究問題3　若給定直線上兩點A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直線的方程呢？
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[新知生成]
方程＝1由直線在兩個坐標軸上的截距a與b確定，所以把此方程叫做直線的截距式方程，簡稱________．a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．
[典例講評]　2．過點A(1，4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為(　　)
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－5＝0
C．4x－y＝0或x＋y－5＝0
D．4x－y＝0或x－y＋3＝0
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　本例中“截距之和為零”改為“截距相等”呢？
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　截距式方程應用的注意事項
(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數法確定其系數即可．
(2)下列三種情況，不能用截距式表示直線：
①k不存在．②k＝0．③直線過原點．
[學以致用]　2．直線x－2y－2＝0在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則(　　)
A．a＝2，b＝1　　 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝1 D．a＝－2，b＝－1
3．過點P(3，2)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為(　　)
A．x－y－1＝0或y＝0
B．x＋y－5＝0或2x－3y＝0
C．x＋y－5＝0或y＝0
D．x－y－1＝0或2x－3y＝0
探究3　截距式方程的應用
[典例講評]　3．直線l過點P，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點．
(1)當△AOB的周長為12時，求直線l的方程；
(2)當△AOB的面積為6時，求直線l的方程．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　直線的截距式方程是兩點式方程的特殊情況(兩個點是直線與坐標軸的交點，記為(a，0)，(0，b))，用它來畫直線以及求直線與坐標軸圍成的圖形面積或周長時較為方便，直線與坐標軸圍成的三角形的面積S＝·，周長C＝．
[學以致用]　4．(多選)已知直線l過點(1，3)，若l與x，y軸的正半軸圍成的三角形的面積為S，則S的值可以是(　　)
A．3　　　B．5　　　C．7　　　D．9
5．如圖，為了綠化城市，擬在矩形區域ABCD內建一個矩形草坪，另外△AEF內部有一文物保護區域不能占用，經過測量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應該如何設計才能使草坪面積最大？
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1．過點A(5，6)和點B(－1，2)的直線的兩點式方程是(　　)
A． B．
C． D．
2．直線l：2x－3y＋6＝0在x軸上的截距是(　　)
A．(－3，0) B．(3，0)
C．－3 D．3
3．(多選)若直線l過點(4，－2)且在兩坐標軸上的截距互為相反數，則直線l的方程為(　　)
A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0
C．x＋y－2＝0 D．x－y－6＝0
4．直線＝1與坐標軸圍成的圖形面積為________．
1．知識鏈：(1)直線的兩點式方程．
(2)直線的截距式方程．
2．方法鏈：分類討論法、數形結合法．
3．警示牌：在利用截距式求直線的方程時，容易遺忘截距為零的情況．
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