資源簡介

課時分層作業(十八)　兩點間的距離公式
一、選擇題
1．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，則＝(　　)
A．　　　B．　　　C．3　　　D．2
2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，則BC邊的中線AD的長是(　　)
A．2　　　B．3　　　C．　　　D．
3．兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點A，B，則|AB|的值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．已知點A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，當|AB|取最小值時，實數a的值是(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
5．(多選)直線x＋y－1＝0上與點P(－2，3)的距離等于的點的坐標是(　　)
A．(－4，5) B．(－1，2)
C．(－3，4) D．(1，－5)
二、填空題
6．過點A(4，a)和B(5，b)的直線和直線y＝x＋m平行，則|AB|＝________．
7．若動點P的坐標為(x，1－x)，x∈R，則動點P到原點距離的最小值是________．
8．點M到x軸和到點N(－4，2)的距離都等于10，則點M的坐標是________．
三、解答題
9．已知直線ax＋2y－1＝0和x軸、y軸分別交于A，B兩點，且線段AB的中點到原點的距離為，求a的值．
10．已知x，y∈R，S＝，則S的最小值是(　　)
A．0　　　B．2　　　C．4　　　D．
11．點D(－2，－2)到直線l：2x－y＋mx－m＝0(m∈R)距離的最大值為(　　)
A．5　　　B．　　　C．2　　　D．3
12．在Rt△ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則＝________．
13．設A(－3，1)，B(2，4)，點P在x軸上，使得|PA|＋|PB|取到的最小值為________，此時的點P坐標為________．
14．如圖所示，已知BD是△ABC的邊AC上的中線，建立適當的平面直角坐標系，證明：2＝2|BD|2．
15．費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點．當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°．根據以上性質，則F(x，y)＝的最小值為(　　)
A．4 B．2＋2
C．3＋2 D．4＋2
2/22.3.2　兩點間的距離公式
[學習目標]　1．探索并掌握平面上兩點間的距離公式．(數學抽象)
2．會用坐標法證明簡單的平面幾何問題．(邏輯推理)
(教師用書)
在一條筆直的公路同側有兩個大型小區，現計劃在公路上某處建一個公共站點C，以方便居住在兩個小區的住戶出行．如何選址能使站點到兩個小區的距離之和最小？
[討論交流]　
問題1．兩點間距離公式是如何推導的？
問題2．“坐標法”解決平面幾何問題的基本步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　兩點間的距離公式
探究問題1　在數軸上已知兩點M，N，如何求M，N兩點之間的距離？
[提示]　|MN|＝|xM－xN|．
探究問題2　已知平面內的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理計算|P1P2|？
[提示]　(1)當P1P2與x軸平行時，|P1P2|＝|x2－x1|；
(2)當P1P2與y軸平行時，|P1P2|＝|y2－y1|；
(3)當P1P2與坐標軸不平行時，如圖，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
所以|P1P2|＝．
即兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝．
[新知生成]
兩點間的距離公式
(1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝．
(2)兩點間距離的特殊情況
①原點O(0，0)與任一點P(x，y)間的距離|OP|＝．
②當P1P2∥x軸(y1＝y2)時，|P1P2|＝|x2－x1|．
③當P1P2∥y軸(x1＝x2)時，|P1P2|＝|y2－y1|．
注：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
【教用·微提醒】　此公式與兩點的先后順序無關．
【鏈接·教材例題】
例3　已知點A(－1，2)，B(2，)，在x軸上求一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
[解]　設所求點為P(x，0)，則
|PA|＝＝，
|PB|＝＝．
由|PA|＝|PB|，得
x2＋2x＋5＝x2－4x＋11．
解得x＝1．
所以，所求點為P(1，0)，且
|PA|＝＝2．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)如圖所示，已知△ABC的三個頂點分別為A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)試判斷△ABC的形狀；
(2)設點D為BC的中點，求BC邊上中線的長．
[解]　(1)根據兩點間的距離公式，得
|AB|＝＝，
|BC|＝＝2，
|CA|＝＝5．
因為()2＋(2)2＝＝|CA|2，所以△ABC是直角三角形．
(2)因為BC的中點D的橫坐標x＝＝2，縱坐標y＝＝－1，
所以BC邊上中線的長|AD|＝＝2．
　1．對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝·＝(k為直線P1P2的斜率)．
2．若已知兩點間的距離及兩點的坐標，并且坐標中含有參數，則可利用兩點間的距離公式列方程求出參數．
[學以致用]　1．已知點A(a，3)和B(3，3a＋3)間的距離為5，求a的值．
[解]　∵點A(a，3)和B(3，3a＋3)間的距離為5，
∴＝5，
即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝．
探究2　坐標法的應用
【鏈接·教材例題】
例4　用坐標法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．
[分析]　首先要建立適當的平面直角坐標系，用坐標表示有關的量，然后進行代數運算，最后把代數運算的結果“翻譯”成幾何關系．
證明　如圖2.3-4，四邊形ABCD是平行四邊形．以頂點A為原點，邊AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
在 ABCD中，點A的坐標是(0，0)，設點B的坐標為(a，0)，點D的坐標為(b，c)，由平行四邊形的性質，得點C的坐標為(a＋b，c)．
由兩點間的距離公式，得
|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，|AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2．
所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2．
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，
即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．
[典例講評]　2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD．求證：|AC|＝|BD|．
[證明]　如圖所示，建立平面直角坐標系，則A(0，0)，設B(a，0)，C(b，c)，
則點D的坐標是(a－b，c)．
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝．
故|AC|＝|BD|．
　坐標法及其應用
(1)坐標法解決幾何問題時，關鍵要結合圖形的特征，建立平面直角坐標系．坐標系建立的是否合適，會直接影響問題能否方便解決．建系的原則主要有兩點：
①讓盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于運算．
②如果條件中有互相垂直的兩條線，要考慮將它們作為坐標軸；如果圖形為中心對稱圖形，可考慮將中心作為原點；如果有軸對稱性，可考慮將對稱軸作為坐標軸．
(2)利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟：
①建立坐標系，盡可能將有關元素放在坐標軸上．
②用坐標表示有關的量．
③將幾何關系轉化為坐標運算．
④把代數運算結果“翻譯”成幾何關系．
[學以致用]　2．求證：三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半．
[證明]　如圖，以A為原點，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，其中D，E分別為邊AC和BC的中點．
設A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，
則|AB|＝|c|．
又由中點坐標公式，得D，E，
∴|DE|＝＝，
∴|DE|＝，
即三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半．
【教用·備選題】　如圖，△ABD和△BCE是在直線AC同側的兩個等邊三角形．試用坐標法證明|AE|＝|CD|．
[證明]　如圖所示，以B點為坐標原點，取AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系Oxy．
設△ABD和△BCE的邊長分別為a和c．
則A(－a，0)，C(c，0)，E，D，由距離公式，得
|AE|＝＝，
|CD|＝＝，
所以|AE|＝|CD|．
1．已知兩點M(0，3)，N(4，0)，則|MN|＝(　　)
A．3 B．5 C．9 D．25
B　[因為M(0，3)，N(4，0)，則|MN|＝＝5．
故選B．]
2．以點A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點的三角形是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．以上都不是
C　[因為|AB|＝＝＝＝2，
|BC|＝＝＝
＝4＝＝＝2，
所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以△ABC為直角三角形．故選C．]
3．已知△ABC的頂點坐標為A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，則BC邊上的中線長為________．
　[BC的中點坐標為(0，1)，則BC邊上的中線長為＝．]
1．知識鏈：(1)兩點間的距離公式．
(2)坐標法證明平面幾何問題．
2．方法鏈：待定系數法、坐標法．
3．警示牌：(1)已知距離求參數易漏解．
(2)用坐標法解決平面幾何問題時，坐標系建立不恰當，造成坐標確定困難，線段長度計算煩瑣．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出兩點間的距離公式．
[提示]　P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點間的距離公式|P1P2|＝．
2．試寫出利用坐標法解決平面幾何問題的常見步驟．
[提示]　(1)建立坐標系，用坐標表示有關的量．
(2)進行有關代數運算．
(3)把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論．
笛卡兒與解析幾何
解析幾何的創立適應了17世紀科學技術發展的迫切需要．法國數學家笛卡兒(Descartes，1596－1650)是解析幾何的創始人之一．笛卡兒的中心思想是使代數和幾何結合起來．把一切問題歸結為數學問題，把一切數學問題歸結為代數問題，把一切代數問題歸結為方程，最后得到關于一個未知數的方程．
解析幾何的創立在數學發展史上具有劃時代的意義，是數學發展史上的一個里程碑．它促進了微積分的創立，從此數學進入了變量數學的新時期．
解析幾何的創立提供了研究幾何問題的一種新方法，借助于坐標系，把幾何問題轉化為代數問題來研究．這種方法具有一般性，它溝通了數學內部數與形、代數與幾何兩大學科之間的聯系．從此代數和幾何互相汲取新鮮的活力，得到迅速的發展．
課時分層作業(十八)　兩點間的距離公式
一、選擇題
1．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，則＝(　　)
A． B． C．3 D．2
D　[∵A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，∴|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，∴＝＝2．故選D．]
2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，則BC邊的中線AD的長是(　　)
A．2 B．3 C． D．
C　[由中點坐標公式可得：BC邊的中點D，即．
由兩點之間的距離公式可得|AD|＝＝．
故選C．]
3．兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點A，B，則|AB|的值為(　　)
A． B． C． D．
C　[直線3ax－y－2＝0過定點A(0，－2)，直線(2a－1)x＋5ay－1＝0過定點B＝．]
4．已知點A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，當|AB|取最小值時，實數a的值是(　　)
A．－ B．－ C． D．
C　[因為A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以|AB|＝
＝＝
＝，
所以當a＝取得最小值．]
5．(多選)直線x＋y－1＝0上與點P(－2，3)的距離等于的點的坐標是(　　)
A．(－4，5) B．(－1，2)
C．(－3，4) D．(1，－5)
BC　[設所求點的坐標為(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝，兩式聯立解得或故選BC．]
二、填空題
6．過點A(4，a)和B(5，b)的直線和直線y＝x＋m平行，則|AB|＝________．
　[由題意知kAB＝＝b－a＝1，
所以|AB|＝＝．]
7．若動點P的坐標為(x，1－x)，x∈R，則動點P到原點距離的最小值是________．
　[由兩點間的距離公式得P到原點的距離為＝＝，所以最小值為＝．]
8．點M到x軸和到點N(－4，2)的距離都等于10，則點M的坐標是________．
(2，10)或(－10，10)　[∵點M到x軸和到點N(－4，2)的距離都等于10，
∴設點M的坐標為(x，10)，或(x，－10)，
由距離公式可得(x＋4)2＋(10－2)2＝100，①
或(x＋4)2＋(－10－2)2＝100，②
由①解得x＝2或x＝－10，方程②無實數解，
∴點M的坐標是(2，10)或(－10，10)．]
三、解答題
9．已知直線ax＋2y－1＝0和x軸、y軸分別交于A，B兩點，且線段AB的中點到原點的距離為，求a的值．
[解]　由題易知a≠0，直線ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，則A，令x＝0，有y＝，
則B，故AB的中點為，
∵線段AB的中點到原點的距離為，
∴＝，解得a＝±2．
10．已知x，y∈R，S＝＋，則S的最小值是(　　)
A．0 B．2 C．4 D．
B　[S＝＋可以看作是點(x，y)到點(－1，0)與點(1，0)的距離之和，數形結合(圖略)易知最小值為2．]
11．點D(－2，－2)到直線l：2x－y＋mx－m＝0(m∈R)距離的最大值為(　　)
A．5 B． C．2 D．3
A　[直線l：2x－y＋m(x－1)＝0，
令解得
所以直線l過定點A(1，2)，
所以直線l表示過定點(1，2)的直線，如圖，當DA⊥l時，|DA|表示點到直線的距離，
當DA不垂直于l時，|DB|表示點到直線的距離，顯然|DB|＜|DA|，
所以點D到直線l距離的最大值為|DA|＝＝5，所以點D到直線l距離的最大值為|DA|＝5．故選A．]
12．在Rt△ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則＝________．
10　[以C為原點，AC，BC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系(圖略)，
設A(4a，0)，B(0，4b)，則D(2a，2b)，P(a，b)，
所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，
于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10＝10．]
13．設A(－3，1)，B(2，4)，點P在x軸上，使得|PA|＋|PB|取到的最小值為________，此時的點P坐標為________．
5　(－2，0)　[由題意得，點A(－3，1)關于x軸的對稱點為A′(－3，－1)，
|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|(當且僅當A′，P，B三點共線時取等號)，
又B(2，4)，
則|A′B|＝＝5，
∴直線A′B的方程為＝，
即x－y＋2＝0，
∴當|PA|＋|PB|取最小值時，
點P為直線x－y＋2＝0與x軸的交點，∴P(－2，0)．]
14．如圖所示，已知BD是△ABC的邊AC上的中線，建立適當的平面直角坐標系，證明：2＝2|BD|2．
[證明]　如圖所示，以AC所在的直線為x軸，點D為坐標原點，建立平面直角坐標系．設B(b，c)，C(a，0)，
依題意得A(－a，0)．
2
＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以2＝2|BD|2．
15．費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點．當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°．根據以上性質，則F(x，y)＝＋＋的最小值為(　　)
A．4 B．2＋2
C．3＋2 D．4＋2
B　[由兩點間的距離公式得，
F(x，y)＝＋
＋是點P(x，y)到點B(2，0)，A(－1＋，1－)，C(0，2)的距離之和，
即求點P(x，y)到點(2，0)，(－1＋，1－)，(0，2)的距離之和的最小值，取最小值時的這個點即為這三個點構成的三角形的費馬點，
如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，M為BC的中點．∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，
所以∠BPM＝∠CPM＝60°，
所以BP＝CP＝＝＝，
PM＝BPsin 30°＝，AP＝AM－PM＝2－，
所以最小值為BP＋CP＋AP＝＋＋2－＝2＋2．
故選B．]
1/2(共31張PPT)
2.3.2　兩點間的距離公式
第二章　直線和圓的方程
2.3　直線的交點坐標與距離公式
[學習目標]　1．探索并掌握平面上兩點間的距離公式．(數學抽象)
2．會用坐標法證明簡單的平面幾何問題．(邏輯推理)
整體感知
(教師用書)
在一條筆直的公路同側有兩個大型小區，現計劃在公路上某處建一個公共站點C，以方便居住在兩個小區的住戶出行．如何選址能使站點到兩個小區的距離之和最小？
[討論交流]　
問題1．兩點間距離公式是如何推導的？
問題2．“坐標法”解決平面幾何問題的基本步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　兩點間的距離公式
探究問題1　在數軸上已知兩點M，N，如何求M，N兩點之間的距離？
探究建構
[提示]　|MN|＝|xM－xN|．
探究問題2　已知平面內的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理計算|P1P2|？
[提示]　(1)當P1P2與x軸平行時，|P1P2|＝|x2－x1|；
(2)當P1P2與y軸平行時，|P1P2|＝|y2－y1|；
(3)當P1P2與坐標軸不平行時，如圖，
在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
所以|P1P2|＝．
即兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離
|P1P2|＝．
[新知生成]
兩點間的距離公式
(1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝．
(2)兩點間距離的特殊情況
①原點O(0，0)與任一點P(x，y)間的距離|OP|＝．
②當P1P2∥x軸(y1＝y2)時，|P1P2|＝_______．
③當P1P2∥y軸(x1＝x2)時，|P1P2|＝_______．
注：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
【教用·微提醒】　此公式與兩點的先后順序無關．
|x2－x1|
|y2－y1|
【鏈接·教材例題】
例3　已知點A(－1，2)，B(2，)，在x軸上求一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
[解]　設所求點為P(x，0)，則|PA|＝＝，|PB|＝＝．
由|PA|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11．解得x＝1．
所以，所求點為P(1，0)，且|PA|＝＝2．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)如圖所示，已知△ABC的三個頂點分別為A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)試判斷△ABC的形狀；
(2)設點D為BC的中點，求BC邊上中線的長．
[解]　(1)根據兩點間的距離公式，得
|AB|＝＝，
|BC|＝＝2，
|CA|＝＝5．
因為()2＋(2)2＝()2＝|CA|2，所以△ABC是直角三角形．
(2)因為BC的中點D的橫坐標x＝＝2，縱坐標y＝＝－1，
所以BC邊上中線的長|AD|＝＝2．
反思領悟　1．對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝
＝·＝
(k為直線P1P2的斜率)．
2．若已知兩點間的距離及兩點的坐標，并且坐標中含有參數，則可利用兩點間的距離公式列方程求出參數．
[學以致用]　1．已知點A(a，3)和B(3，3a＋3)間的距離為5，求a的值．
[解]　∵點A(a，3)和B(3，3a＋3)間的距離為5，
∴＝5，
即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝．
探究2　坐標法的應用
【鏈接·教材例題】
例4　用坐標法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．
[分析]　首先要建立適當的平面直角坐標系，用坐標表示有關的量，然后進行代數運算，最后把代數運算的結果“翻譯”成幾何關系．
證明　如圖2.3-4，四邊形ABCD是平行四邊形．以頂點A為原點，邊AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
在 ABCD中，點A的坐標是(0，0)，設點B的坐標為(a，0)，點D的坐標為(b，c)，由平行四邊形的性質，得點C的坐標為(a＋b，c)．
由兩點間的距離公式，得
|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，|AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2．
所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2．
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，
即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．
[典例講評]　2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD．求證：|AC|＝|BD|．
[證明]　如圖所示，建立平面直角坐標系，則A(0，0)，設B(a，0)，C(b，c)，則點D的坐標是(a－b，c)．
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝．
故|AC|＝|BD|．
反思領悟　坐標法及其應用
(1)坐標法解決幾何問題時，關鍵要結合圖形的特征，建立平面直角坐標系．坐標系建立的是否合適，會直接影響問題能否方便解決．建系的原則主要有兩點：
①讓盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于運算．
②如果條件中有互相垂直的兩條線，要考慮將它們作為坐標軸；如果圖形為中心對稱圖形，可考慮將中心作為原點；如果有軸對稱性，可考慮將對稱軸作為坐標軸．
(2)利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟：
①建立坐標系，盡可能將有關元素放在坐標軸上．
②用坐標表示有關的量．
③將幾何關系轉化為坐標運算．
④把代數運算結果“翻譯”成幾何關系．
[學以致用]　2．求證：三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半．
[證明]　如圖，以A為原點，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，其中D，E分別為邊AC和BC的中點．
設A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，則|AB|＝|c|．
又由中點坐標公式，得D，E，
∴|DE|＝＝，∴|DE|＝，
即三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半．
【教用·備選題】　如圖，△ABD和△BCE是在直線AC同側的兩個等邊三角形．試用坐標法證明|AE|＝|CD|．
[證明]　如圖所示，以B點為坐標原點，取AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系Oxy．
設△ABD和△BCE的邊長分別為a和c．
則A(－a，0)，C(c，0)，E，D，由距離公式，得|AE|＝＝，
|CD|＝＝，
所以|AE|＝|CD|．
1．已知兩點M(0，3)，N(4，0)，則|MN|＝(　　)
A．3 B．5 C．9 D．25
應用遷移
√
B　[因為M(0，3)，N(4，0)，則|MN|＝＝5．
故選B．]
2．以點A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點的三角形是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．以上都不是
√
C　[因為|AB|＝＝＝＝2，
|BC|＝＝＝＝4
＝＝＝2，
所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC為直角三角形．故選C．]
3．已知△ABC的頂點坐標為A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，則BC邊上的中線長為________．
　[BC的中點坐標為(0，1)，則BC邊上的中線長為＝．]
　
1．知識鏈：(1)兩點間的距離公式．
(2)坐標法證明平面幾何問題．
2．方法鏈：待定系數法、坐標法．
3．警示牌：(1)已知距離求參數易漏解．
(2)用坐標法解決平面幾何問題時，坐標系建立不恰當，造成坐標確定困難，線段長度計算煩瑣．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出兩點間的距離公式．
[提示]　P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點間的距離公式|P1P2|＝．
2．試寫出利用坐標法解決平面幾何問題的常見步驟．
[提示]　(1)建立坐標系，用坐標表示有關的量．
(2)進行有關代數運算．
(3)把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論．
笛卡兒與解析幾何
解析幾何的創立適應了17世紀科學技術發展的迫切需要．法國數學家笛卡兒(Descartes，1596－1650)是解析幾何的創始人之一．笛卡兒的中心思想是使代數和幾何結合起來．把一切問題歸結為數學問題，把一切數學問題歸結為代數問題，把一切代數問題歸結為方程，最后得到關于一個未知數的方程．
閱讀材料
解析幾何的創立在數學發展史上具有劃時代的意義，是數學發展史上的一個里程碑．它促進了微積分的創立，從此數學進入了變量數學的新時期．
解析幾何的創立提供了研究幾何問題的一種新方法，借助于坐標系，把幾何問題轉化為代數問題來研究．這種方法具有一般性，它溝通了數學內部數與形、代數與幾何兩大學科之間的聯系．從此代數和幾何互相汲取新鮮的活力，得到迅速的發展．
課時分層作業(十八)
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兩點間的距離公式
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
w
THANKS2.3.2　兩點間的距離公式
[學習目標]　1．探索并掌握平面上兩點間的距離公式．(數學抽象)
2．會用坐標法證明簡單的平面幾何問題．(邏輯推理)
[討論交流]　
問題1．兩點間距離公式是如何推導的？
問題2．“坐標法”解決平面幾何問題的基本步驟是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　兩點間的距離公式
探究問題1　在數軸上已知兩點M，N，如何求M，N兩點之間的距離？
探究問題2　已知平面內的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理計算|P1P2|
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[新知生成]
兩點間的距離公式
(1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝．
(2)兩點間距離的特殊情況
①原點O(0，0)與任一點P(x，y)間的距離|OP|＝．
②當P1P2∥x軸(y1＝y2)時，|P1P2|＝______．
③當P1P2∥y軸(x1＝x2)時，|P1P2|＝______．
注：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)如圖所示，已知△ABC的三個頂點分別為A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)試判斷△ABC的形狀；
(2)設點D為BC的中點，求BC邊上中線的長．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　1．對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝·＝(k為直線P1P2的斜率)．
2．若已知兩點間的距離及兩點的坐標，并且坐標中含有參數，則可利用兩點間的距離公式列方程求出參數．
[學以致用]　1．已知點A(a，3)和B(3，3a＋3)間的距離為5，求a的值．
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探究2　坐標法的應用
[典例講評]　2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD．求證：|AC|＝|BD|．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　坐標法及其應用
(1)坐標法解決幾何問題時，關鍵要結合圖形的特征，建立平面直角坐標系．坐標系建立的是否合適，會直接影響問題能否方便解決．建系的原則主要有兩點：
①讓盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于運算．
②如果條件中有互相垂直的兩條線，要考慮將它們作為坐標軸；如果圖形為中心對稱圖形，可考慮將中心作為原點；如果有軸對稱性，可考慮將對稱軸作為坐標軸．
(2)利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟：
①建立坐標系，盡可能將有關元素放在坐標軸上．
②用坐標表示有關的量．
③將幾何關系轉化為坐標運算．
④把代數運算結果“翻譯”成幾何關系．
[學以致用]　2．求證：三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半．
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1．已知兩點M(0，3)，N(4，0)，則|MN|＝(　　)
A．3 B．5 C．9 D．25
2．以點A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點的三角形是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．以上都不是
3．已知△ABC的頂點坐標為A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，則BC邊上的中線長為________．
1．知識鏈：(1)兩點間的距離公式．
(2)坐標法證明平面幾何問題．
2．方法鏈：待定系數法、坐標法．
3．警示牌：(1)已知距離求參數易漏解．
(2)用坐標法解決平面幾何問題時，坐標系建立不恰當，造成坐標確定困難，線段長度計算煩瑣．
笛卡兒與解析幾何
解析幾何的創立適應了17世紀科學技術發展的迫切需要．法國數學家笛卡兒(Descartes，1596－1650)是解析幾何的創始人之一．笛卡兒的中心思想是使代數和幾何結合起來．把一切問題歸結為數學問題，把一切數學問題歸結為代數問題，把一切代數問題歸結為方程，最后得到關于一個未知數的方程．
解析幾何的創立在數學發展史上具有劃時代的意義，是數學發展史上的一個里程碑．它促進了微積分的創立，從此數學進入了變量數學的新時期．
解析幾何的創立提供了研究幾何問題的一種新方法，借助于坐標系，把幾何問題轉化為代數問題來研究．這種方法具有一般性，它溝通了數學內部數與形、代數與幾何兩大學科之間的聯系．從此代數和幾何互相汲取新鮮的活力，得到迅速的發展．
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