資源簡介

2.3.3　點到直線的距離公式
2.3.4　兩條平行直線間的距離
[學習目標]　1．探索并掌握點到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式．(數學抽象、數學運算)
2．會求點到直線的距離與兩平行直線間的距離．(數學運算)
(教師用書)
工程建設中，我們常常遇到這樣的決策問題：如在某鐵路的附近，有一大型倉庫，現要修建一條公路與之連接起來，從經濟和時間投入上來看，我們當然應該修一條從倉庫垂直于鐵路方向的公路．將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點P，那么怎樣求得倉庫到鐵路的最短距離呢？
[討論交流]　
問題1．你能推導出點到直線的距離公式嗎？
問題2．當直線與坐標軸垂直時，如何求點到直線的距離？
問題3．應用點到直線的距離公式時，必須將直線方程化為一般式嗎？
問題4．你能把求兩條平行直線間的距離轉化為求點到直線的距離嗎？
問題5．你會推導兩條平行直線間的距離公式嗎？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　點到直線的距離
探究問題1　如圖，在平面直角坐標系中，已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎樣求出點P到直線l的距離呢？如果A＝0或B＝0時，又如何求點P到直線l的距離呢？觀察點到直線的距離公式，你能說說它的結構特征嗎？
[提示]　點P到直線l的距離是點P到直線l的垂線段的長，如圖
，過點P作直線l的垂線為l′，垂足為Q，由l′⊥l可知l′的斜率為，
∴l′的方程為y－y0＝(x－x0)，與直線l的方程聯立方程組，
解得交點Q，
∴|PQ|＝．
當A＝0時，直線l：By＋C＝0，|PQ|＝|y0－yQ|＝＝＝；
當B＝0時，直線l：Ax＋C＝0，|PQ|＝|x0－xQ|＝＝＝．
所以當A＝0或B＝0時，上述公式仍然成立．
公式特征：(1)點到直線的距離公式中，直線的方程要轉化為一般式Ax＋By＋C＝0；(2)公式中，分子是將點P(x0，y0)的坐標代入一般式左邊所得值的絕對值，分母是一般式一次項系數平方和的算術平方根．
[新知生成]
點到直線的距離
(1)定義：點到直線的距離，就是點到直線的垂線段的長度．
(2)公式：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝．
【鏈接·教材例題】
例5　求點P(－1，2)到直線l：3x＝2的距離．
[分析]　將直線l的方程寫成3x－2＝0，再用點到直線的距離公式求解．
[解]　點P(－1，2)到直線l：3x－2＝0的距離
d＝＝．
【鏈接·教材例題】
例6　已知△ABC的三個頂點分別是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面積．
[分析]　由三角形面積公式可知，只要利用距離公式求出邊AB的長和邊AB上的高即可．
[解]　如圖2.3-7，設邊AB上的高為h，則
S△ABC＝h．
|AB|＝＝2．
邊AB上的高h就是點C到直線AB的距離．
邊AB所在直線l的方程為＝，
即x＋y－4＝0．
點C(－1，0)到直線l：x＋y－4＝0的距離
h＝＝．
因此，S△ABC＝×2×＝5．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)求點P(－2，1)到下列直線的距離：
(1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0．
[解]　(1)根據點到直線的距離公式，得
d＝＝．
即點P(－2，1)到直線3x＋4y－1＝0的距離為．
(2)直線方程y＝2x＋3可化為一般式2x－y＋3＝0．
根據點到直線的距離公式，得
d＝＝＝．
即點P(－2，1)到直線y＝2x＋3的距離為．
(3)直線方程2x＋5＝0可化為x＝－，這條直線垂直于x軸，
所以d＝＝．
即點P(－2，1)到直線2x＋5＝0的距離為．
[母題探究]　求過點P(－2，1)且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？
[解]　設原點為O，連接OP(圖略)，易知過點P且與原點距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線．
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2，
所以直線l的方程為y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0，即直線2x－y＋5＝0是過點P且與原點距離最大的直線，最大距離為＝．
　點到直線的距離的求解方法
(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式，直接利用點到直線的距離公式即可．
(2)若已知點到直線的距離求參數值時，只需根據點到直線的距離公式列出關于參數的方程即可．
[學以致用]　1．(多選)已知點A(－3，－4)，B(6，3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數a的值等于(　　)
A．－ B．－ C． D．
AB　[由題意知點A和點B到直線l的距離相等，得到＝，
化簡解得a＝－或a＝－．故選AB．]
探究2　兩條平行直線間的距離
探究問題2　如圖所示，已知兩平行直線l1，l2的方程，并且從l1上任選一點P(x0，y0)，思考如何求出l1，l2的距離？
[提示]　只需求出P(x0，y0)到l2的距離，即為直線l1，l2的距離．
[新知生成]
兩條平行直線間的距離
(1)概念：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長．
(2)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為0，C1≠C2)之間的距離d＝．
【教用·微提醒】　(1)兩條平行直線間的距離公式適用于兩條直線的方程都是一般式，并且x，y分別對應的系數相等的情況．
(2)如果兩平行直線的方程中x，y的系數對應不同，必須先等價化為系數對應相同才能套用公式．
【鏈接·教材例題】
例7　已知兩條平行直線l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1與l2間的距離．
[分析]　在l1上選取一點，如l1與坐標軸的交點，用點到直線的距離公式求這點到l2的距離，即l1與l2間的距離．
[解]　先求l1與x軸的交點A的坐標．容易知道，點A的坐標為(4，0)．
點A到直線l2的距離
d＝＝＝，
所以l1與l2間的距離為．
例8　求證：兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離為
d＝．
[分析]　兩條平行直線間的距離即為這兩條平行直線中的一條直線上的一點到另一條直線的距離．
[證明]　在直線Ax＋By＋C1＝0上任取一點P(x0，y0)，點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C2＝0的距離就是這兩條平行直線間的距離，即
d＝．
因為點P(x0，y0)在直線Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此
d＝＝＝．
[典例講評]　2．若直線l1：ax－y－2＝0與l2：x－ay＋2＝0平行，則它們之間的距離為(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
D　[直線l1：ax－y－2＝0與l2：x－ay＋2＝0平行，則解得a＝1，
故l1：x－y－2＝0與l2：x－y＋2＝0之間的距離d＝＝2．
故選D．]
　求兩條平行直線間的距離的兩種思路
(1)利用化歸思想將兩條平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離．由于這種求法與點的選擇無關，因此，選點時，常選取一個特殊點，如直線與坐標軸的交點等，以便于運算．
(2)利用兩條平行直線間的距離公式求解．
[學以致用]　2．已知點A，B分別是直線l1：2x＋y－2＝0與直線l2：4x＋2y＋1＝0上的點，則|AB|的最小值為(　　)
A．0 B． C． D．
C　[由題意可知直線l1∥l2，所以當AB⊥l1，且AB⊥l2時，|AB|有最小值，
其最小值為平行直線 l1與l2的距離，直線l1的方程可化為4x＋2y－4＝0，
所以|AB|min＝＝．
故選C．]
探究3　平行直線間的距離的最值問題
[典例講評]　3．兩條互相平行的直線分別過A(6，2)和B(－3，－1)兩點，如果兩條平行直線間的距離為d，求：
(1)d的取值范圍；
(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．
[解]　(1)如圖，當兩條平行直線與AB垂直時，兩平行直線間的距離最大，為d＝|AB|＝＝3；
當兩條平行線各自繞點B，A逆時針旋轉時，距離逐漸變小，越來越接近于0，所以0(2)當d取最大值3時，兩條平行線都垂直于AB，它們的斜率k＝－＝－＝－3．
故所求的直線方程分別為
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．
　應用數形結合思想求最值
(1)解決此類問題的關鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數”轉化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決．
(2)數形結合、運動變化的思想方法在解題中經常用到．當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍．
[學以致用]　3．已知直線l1，l2是分別經過A(1，1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是________．
x＋2y－3＝0　[當兩條平行直線與A，B兩點的連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大．
因為A(1，1)，B(0，－1)．
所以kAB＝＝2，
所以直線l1，l2的斜率為－，
所以直線l1的方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0．]
1．已知點A(2，1)，點B在直線x－y＋3＝0上，則|AB|的最小值為(　　)
A． B． C．2 D．4
C　[|AB|的最小值即為點A到直線x－y＋3＝0的距離，
即＝＝2．故選C．]
2．已知兩條平行直線l1：x－y＋6＝0與l2：x－y＋C＝0(C＜0)間的距離為4，則C的值為(　　)
A．14 B．－2 C．－10 D．14或－10
B　[∵兩條平行直線l1：x－y＋6＝0與l2：x－y＋C＝0(C＜0)間的距離為4，
∴＝4，解得C＝－2或C＝14，∵C＜0，∴C的值為－2．
故選B．]
3．已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是(　　)
A．4 B． C． D．
D　[直線3x＋2y－3＝0，即6x＋4y－6＝0，
由兩直線平行知m＝4，
故兩平行線間的距離d＝＝＝．故選D．]
4．已知點P(－1，b)到直線2x＋y－1＝0的距離為2，則b＝________．
3±2　[由題意可得＝2 b＝3±2．]
1．知識鏈：(1)點到直線的距離公式．
(2)兩條平行直線間的距離．
(3)兩條平行直線間的距離最值問題．
2．方法鏈：數形結合、分類討論、參數法．
3．警示牌：運用兩平行直線間的距離公式時，必須保證兩直線方程中x，y的系數分別對應相同．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出點到直線的距離公式．
[提示]　點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式為d＝．
2．試寫出兩條平行直線間的距離公式．
[提示]　兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝．
3．如何解決與距離有關的最值問題？
[提示]　(1)利用對稱轉化為兩點之間的距離問題．
(2)利用所求式子的幾何意義轉化為點到直線的距離．
(3)利用距離公式將問題轉化為二次函數的最值問題．
課時分層作業(十九)　點到直線的距離公式　兩條平行直線間的距離
一、選擇題
1．(多選)下列直線與直線l：x－y＋2＝0平行，且與它的距離為的是(　　)
A．x－y＋4＝0 B．x－y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＝0
AD　[設與直線l：x－y＋2＝0平行，且與它的距離為的直線方程為x－y＋c＝0(c≠2)，
則＝，解得c＝4或c＝0，故所求直線方程為x－y＋4＝0或x－y＝0．
故選AD．]
2．已知直線l的傾斜角為60°，在y軸上的截距與另一條直線x＋2y＋3＝0在x軸上的截距相同，則點P(，2)到直線l的距離為(　　)
A．2 B． C．1 D．
C　[因為直線x＋2y＋3＝0在x軸上的截距為－3，故所求直線在y軸上的截距為－3，
又直線l的傾斜角為60°，即直線的斜率為，故所求直線的方程為y＝x－3，
則點P(，2)到直線l的距離為＝1．故選C．]
3．兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－y＋4＝0間的距離為d，則(　　)
A．a＝2，d＝ B．a＝2，d＝
C．a＝－2，d＝ D．a＝－2，d＝
B　[∵直線2x－y＋3＝0與直線ax－y＋4＝0平行，∴＝≠，解得a＝2，
∴直線方程ax－y＋4＝0化為2x－y＋4＝0，
兩條平行直線2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0間的距離d＝＝，
故a＝2，d＝．
故選B．]
4．已知△ABC的頂點坐標分別為A(1，1)，B(3，2)，C(4，5)，則△ABC的面積為(　　)
A．3 B． C． D．
B　[|BC|＝＝，
BC所在直線方程為＝，即3x－y－7＝0．
∴A(1，1)到直線BC的距離d＝＝，
∴S△ABC＝××＝．
故選B．]
5．(多選)定義點P(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距離為d＝．已知點P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2．以下命題不正確的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，則直線P1P2與直線l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，則直線P1P2與直線l垂直
C．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直
D．若d1·d2≤0，則直線P1P2與直線l相交
BCD　[對于A，若d1＝d2＝1，則ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直線P1P2與直線l平行，A正確；對于B，點P1，P2在直線l的兩側且到直線的距離相等，所以B錯誤；對于C，由A知，若d1＝d2＝0時，滿足若d1＋d2＝0，
但此時ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，則點P1，P2都在直線l上，
此時直線P1P2與直線l重合，所以C錯誤；對于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)×(ax2＋by2＋c)≤0，點P1，P2分別位于直線l的兩側或直線上，
所以直線P1P2與直線l相交或重合，所以D錯誤．故選BCD．]
二、填空題
6．已知P(－1，2)，Q(2，4)，直線l：y＝kx＋3．若P點到直線l的距離等于Q點到直線l的距離，則k＝________．
0或　[由題可知＝，解得k＝0或k＝．]
7．若兩平行直線3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之間的距離是，則的值為________．
±1　[由兩直線平行得3a＋12＝0，解得a＝－4．
方程3x－2y－1＝0可化為6x－4y－2＝0，利用平行直線間的距離公式得＝＝4，所以＝＝±1．]
8．在y軸上有一點P(0，b)，使得以A(1，2)，B(3，4)和P為頂點的三角形面積為6，則b的值為________．
－5或7　[∵點A(1，2)，B(3，4)，∴|AB|＝＝2，
∵△ABP的面積為6，∴設點P到AB的距離為d，則·d＝d＝6，得d＝3，
∵直線AB的方程為＝，即x－y＋1＝0，∴d＝＝3，
解得b＝－5或b＝7．]
三、解答題
9．已知平行四邊形ABCD的兩條邊所在直線的方程分別是AB：x＋y－1＝0，AD：3x－y＋4＝0，且它的對角線的交點是M(3，3)．
(1)求這個平行四邊形其他兩邊所在直線的斜截式方程；
(2)求四邊形ABCD的面積．
[解]　(1)設與x＋y－1＝0平行的直線為x＋y＋C＝0(C≠－1)，
∴＝，∴5＝|6＋C|，
∴C＝－11，即邊CD所在的直線方程為x＋y－11＝0．
設與3x－y＋4＝0平行的直線方程為3x－y＋D＝0(D≠4)，
∴＝，∴10＝|6＋D|，
∴D＝－16，此時直線BC邊所在的直線方程為3x－y－16＝0，
故斜截式方程分別為y＝3x－16，y＝－x＋11．
(2)聯立可得x＝－，y＝，
即A，
聯立可得x＝，y＝－，
即B，
所以|AB|＝5，又AB與CD的距離d＝＝5，
故平行四邊形ABCD的面積S＝5×5＝50．
10．(多選)已知直線y＝2x與x＋y＋a＝0交于點P(1，b)，則(　　)
A．a＝－3
B．b＝2
C．點P到直線ax＋by＋3＝0的距離為
D．點P到直線ax＋by＋3＝0的距離為
ABD　[∵直線y＝2x與x＋y＋a＝0交于點P(1，b)，∴解得b＝2，a＝－3，
故點P(1，2)，直線ax＋by＋3＝0可化為－3x＋2y＋3＝0，
故點P到直線ax＋by＋3＝0的距離為＝，故選ABD．]
11．已知點A(－1，1)，B(3，5)，若A，B到直線l的距離都為2，則直線l的方程不可能為(　　)
A．x－y＋2－2＝0 B．x－y＋2＋2＝0
C．y＝3 D．x－y－1＝0
D　[根據題意，|AB|＝＝4，＞2，
則A與B可能在直線l的同側且與直線l平行，也可能直線l過線段AB中點．
①當直線l平行直線AB時，kAB＝＝1，可設直線l的方程為x－y＋b＝0，
依題意得：＝＝2，解得b＝2－2或b＝2＋2，
故直線l的方程為x－y＋2－2＝0或x－y＋2＋2＝0．
②當直線l過線段AB中點(1，3)時，
若直線l的斜率不存在，直線l的方程為x＝1；
若直線l的斜率存在，可設直線l的方程為y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，
依題意得：＝＝2，解得k＝0，
直線l的方程為y＝3．故選D．]
12．已知點(a，b)在線段3x＋4y－10＝0(－2≤x≤6)上，則a2＋b2－2的取值范圍是(　　)
A．[2，18] B．[2，38]
C．[0，38] D．[0，2－2]
B　[法一：如圖所示，(a，b)是線段上的一點，且a2＋b2為原點到該線段上點距離的平方，上述線段端點分別為(－2，4)，(6，－2)，到原點距離的平方分別為20，40，
由圖知原點到線段的距離d＝＝2，則d2＝4，
綜上，a2＋b2∈[4，40]，所以a2＋b2－2∈[2，38]．
法二：因為點(a，b)在線段3x＋4y－10＝0(－2≤x≤6)上，所以b＝－a＋，
令y＝a2＋b2－2＝a2＋－2＝a2－a＋(－2≤a≤6)，開口向上，對稱軸a＝∈[－2，6]，當a＝時，y最小，且為2，當a＝6時，y最大，且為38．
所以a2＋b2－2∈[2，38]．故選B．]
13．在平面直角坐標系Oxy中，P是曲線y＝x＋(x＞0)上的一個動點，則點P到直線x＋y＝0的距離的最小值是________．
4　[設P，x＞0，則點P到直線x＋y＝0的距離d＝＝≥＝4，當且僅當2x＝，即x＝時取等號，故點P到直線x＋y＝0的距離的最小值是4．]
14．已知△ABC的頂點坐標為A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1＜m＜4．當m為何值時，△ABC的面積S最大？
[解]　|AC|＝＝，直線AC的方程為＝，即x－3y＋2＝0．
∵點B(m，)到直線AC的距離d＝，
∴△ABC的面積S＝·d＝＝．
∵1＜m＜4，∴1＜＜2，
∴0＜≤，0＜S≤．
∴當＝，即m＝時，△ABC的面積S最大．
15．已知a＞0，直線l1：x＋ay＝2a＋4與y軸的交點為A，l2：2x＋ay＝2a＋8與x軸的交點為B，l1與l2的交點為C．當四邊形OACB的面積取最小值時，點B到直線l1的距離是(　　)
A． B． C． D．2
B　[如圖，
直線l1：x－4＝－a(y－2)，l2：2(x－4)＝－a(y－2)都過點(4，2)，
即點C的坐標是(4，2)．在x＋ay＝2a＋4中，令x＝0，得y＝2＋，所以A，
同理可得B(4＋a，0)，所以S四邊形OACB＝S△OAC＋S△OCB＝×4＋(4＋a)×2＝8＋≥8＋2＝8＋4，當且僅當a＝，即a＝2時等號成立．
所以當a＝2時，四邊形OACB的面積取最小值．
此時，點B的坐標為(4＋2，0)，直線l1的方程是x＋2y－4－4＝0，
點B到直線l1的距離是＝．故選B．]
1/2(共39張PPT)
2.3.3　點到直線的距離公式　
2.3.4　兩條平行直線間的距離
第二章　直線和圓的方程
2.3　直線的交點坐標與距離公式
[學習目標]　1．探索并掌握點到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式．(數學抽象、數學運算)
2．會求點到直線的距離與兩平行直線間的距離．(數學運算)
整體感知
(教師用書)
工程建設中，我們常常遇到這樣的決策問題：如在某鐵路的附近，有一大型倉庫，現要修建一條公路與之連接起來，從經濟和時間投入上來看，我們當然應該修一條從倉庫垂直于鐵路方向的公路．將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點P，那么怎樣求得倉庫到鐵路的最短距離呢？
[討論交流]　
問題1．你能推導出點到直線的距離公式嗎？
問題2．當直線與坐標軸垂直時，如何求點到直線的距離？
問題3．應用點到直線的距離公式時，必須將直線方程化為一般式嗎？
問題4．你能把求兩條平行直線間的距離轉化為求點到直線的距離嗎？
問題5．你會推導兩條平行直線間的距離公式嗎？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　點到直線的距離
探究問題1　如圖，在平面直角坐標系中，已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎樣求出點P到直線l的距離呢？如果A＝0或B＝0時，又如何求點P到直線l的距離呢？觀察點到直線的距離公式，你能說說它的結構特征嗎？
探究建構
[提示]　點P到直線l的距離是點P到直線l的垂線段的長，如圖，過點P作直線l的垂線為l′，垂足為Q，由l′⊥l可知l′的斜率為，
∴l′的方程為y－y0＝(x－x0)，與直線l的方程聯立方程組，
解得交點Q，
∴|PQ|＝．
當A＝0時，直線l：By＋C＝0，|PQ|＝|y0－yQ|＝＝＝；
當B＝0時，直線l：Ax＋C＝0，|PQ|＝|x0－xQ|＝＝＝．
所以當A＝0或B＝0時，上述公式仍然成立．
公式特征：(1)點到直線的距離公式中，直線的方程要轉化為一般式Ax＋By＋C＝0；(2)公式中，分子是將點P(x0，y0)的坐標代入一般式左邊所得值的絕對值，分母是一般式一次項系數平方和的算術平方根．
[新知生成]
點到直線的距離
(1)定義：點到直線的距離，就是點到直線的_______的長度．
(2)公式：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝ .
垂線段
【鏈接·教材例題】
例5　求點P(－1，2)到直線l：3x＝2的距離．
[分析]　將直線l的方程寫成3x－2＝0，再用點到直線的距離公式求解．
[解]　點P(－1，2)到直線l：3x－2＝0的距離d＝＝．
【鏈接·教材例題】
例6　已知△ABC的三個頂點分別是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面積．
[分析]　由三角形面積公式可知，只要利用距離公式求出邊AB的長和邊AB上的高即可．
[解]　如圖2.3-7，設邊AB上的高為h，則S△ABC＝h．
|AB|＝＝2．
邊AB上的高h就是點C到直線AB的距離．
邊AB所在直線l的方程為＝，即x＋y－4＝0．
點C(－1，0)到直線l：
x＋y－4＝0的距離h＝＝．
因此，S△ABC＝×2×＝5．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)求點P(－2，1)到下列直線的距離：
(1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0．
[解]　(1)根據點到直線的距離公式，得
d＝＝．
即點P(－2，1)到直線3x＋4y－1＝0的距離為．
(2)直線方程y＝2x＋3可化為一般式2x－y＋3＝0．
根據點到直線的距離公式，得d＝＝＝．
即點P(－2，1)到直線y＝2x＋3的距離為．
(3)直線方程2x＋5＝0可化為x＝－，這條直線垂直于x軸，
所以d＝＝．
即點P(－2，1)到直線2x＋5＝0的距離為．
[母題探究]　求過點P(－2，1)且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？
[解]　設原點為O，連接OP(圖略)，易知過點P且與原點距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線．
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2，
所以直線l的方程為y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0，即直線2x－y＋5＝0是過點P且與原點距離最大的直線，最大距離為＝．
反思領悟　點到直線的距離的求解方法
(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式，直接利用點到直線的距離公式即可．
(2)若已知點到直線的距離求參數值時，只需根據點到直線的距離公式列出關于參數的方程即可．
[學以致用]　1．(多選)已知點A(－3，－4)，B(6，3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數a的值等于(　　)
A．－ B．－ C． D．
AB　[由題意知點A和點B到直線l的距離相等，得到＝，化簡解得a＝－或a＝－．故選AB．]
√
√
探究2　兩條平行直線間的距離
探究問題2　如圖所示，已知兩平行直線l1，l2的方程，并且從l1上任選一點P(x0，y0)，思考如何求出l1，l2的距離？
[提示]　只需求出P(x0，y0)到l2的距離，即為直線l1，l2的距離．
[新知生成]
兩條平行直線間的距離
(1)概念：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的________的長．
(2)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為0，C1≠C2)之間的距離d＝ ．
公垂線段
【教用·微提醒】　(1)兩條平行直線間的距離公式適用于兩條直線的方程都是一般式，并且x，y分別對應的系數相等的情況．
(2)如果兩平行直線的方程中x，y的系數對應不同，必須先等價化為系數對應相同才能套用公式．
【鏈接·教材例題】
例7　已知兩條平行直線l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1與l2間的距離．
[分析]　在l1上選取一點，如l1與坐標軸的交點，用點到直線的距離公式求這點到l2的距離，即l1與l2間的距離．
[解]　先求l1與x軸的交點A的坐標．容易知道，點A的坐標為(4，0)．
點A到直線l2的距離d＝＝＝，
所以l1與l2間的距離為．
例8　求證：兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離為
d＝．
[分析]　兩條平行直線間的距離即為這兩條平行直線中的一條直線上的一點到另一條直線的距離．
[證明]　在直線Ax＋By＋C1＝0上任取一點P(x0，y0)，點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C2＝0的距離就是這兩條平行直線間的距離，即d＝．
因為點P(x0，y0)在直線Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此d＝＝＝．
[典例講評]　2．若直線l1：ax－y－2＝0與l2：x－ay＋2＝0平行，則它們之間的距離為(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
√
D　[直線l1：ax－y－2＝0與l2：x－ay＋2＝0平行，則
解得a＝1，故l1：x－y－2＝0與l2：x－y＋2＝0之間的距離d＝＝2．
故選D．]
反思領悟　求兩條平行直線間的距離的兩種思路
(1)利用化歸思想將兩條平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離．由于這種求法與點的選擇無關，因此，選點時，常選取一個特殊點，如直線與坐標軸的交點等，以便于運算．
(2)利用兩條平行直線間的距離公式求解．
[學以致用]　2．已知點A，B分別是直線l1：2x＋y－2＝0與直線l2：4x＋2y＋1＝0上的點，則|AB|的最小值為(　　)
A．0 B． C． D．
C　[由題意可知直線l1∥l2，所以當AB⊥l1，且AB⊥l2時，|AB|有最小值，其最小值為平行直線 l1與l2的距離，直線l1的方程可化為4x＋2y－4＝0，所以|AB|min＝＝．
故選C．]
√
探究3　平行直線間的距離的最值問題
[典例講評]　3．兩條互相平行的直線分別過A(6，2)和B(－3，－1)兩點，如果兩條平行直線間的距離為d，求：
(1)d的取值范圍；
(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．
[解]　(1)如圖，當兩條平行直線與AB垂直時，兩平行直線間的距離最大，為d＝|AB|＝＝3；
當兩條平行線各自繞點B，A逆時針旋轉時，距離逐漸變小，越來越接近于0，所以0(2)當d取最大值3時，兩條平行線都垂直于AB，
它們的斜率k＝－＝－＝－3．
故所求的直線方程分別為
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．
反思領悟　應用數形結合思想求最值
(1)解決此類問題的關鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數”轉化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決．
(2)數形結合、運動變化的思想方法在解題中經常用到．當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍．
[學以致用]　3．已知直線l1，l2是分別經過A(1，1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是_______________．
x＋2y－3＝0　[當兩條平行直線與A，B兩點的連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大．
因為A(1，1)，B(0，－1)．所以kAB＝＝2，
所以直線l1，l2的斜率為－，所以直線l1的方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0．]
x＋2y－3＝0　
1．已知點A(2，1)，點B在直線x－y＋3＝0上，則|AB|的最小值為(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C．2 　　　　D．4
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
C　[|AB|的最小值即為點A到直線x－y＋3＝0的距離，
即＝＝2．故選C．]
2．已知兩條平行直線l1：x－y＋6＝0與l2：x－y＋C＝0(C＜0)間的距離為4，則C的值為(　　)
A．14 　　　　B．－2 　　　　C．－10 　　　　D．14或－10
2
3
題號
1
4
√
B　[∵兩條平行直線l1：x－y＋6＝0與l2：x－y＋C＝0(C＜0)
間的距離為4，∴＝4，解得C＝－2或C＝14，∵C＜0，
∴C的值為－2．
故選B．]
3．已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是(　　)
A．4 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
2
3
題號
4
1
√
D　[直線3x＋2y－3＝0，即6x＋4y－6＝0，
由兩直線平行知m＝4，
故兩平行線間的距離d＝＝＝．故選D．]
4．已知點P(－1，b)到直線2x＋y－1＝0的距離為2，則b＝__________．
2
4
3
題號
1
3±2　[由題意可得＝2 b＝3±2．]
3±2　
1．知識鏈：(1)點到直線的距離公式．
(2)兩條平行直線間的距離．
(3)兩條平行直線間的距離最值問題．
2．方法鏈：數形結合、分類討論、參數法．
3．警示牌：運用兩平行直線間的距離公式時，必須保證兩直線方程中x，y的系數分別對應相同．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出點到直線的距離公式．
[提示]　點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式為d＝．
2．試寫出兩條平行直線間的距離公式．
[提示]　兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離為
d＝．
3．如何解決與距離有關的最值問題？
[提示]　(1)利用對稱轉化為兩點之間的距離問題．
(2)利用所求式子的幾何意義轉化為點到直線的距離．
(3)利用距離公式將問題轉化為二次函數的最值問題．
課時分層作業(十九)
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點到直線的距離公式　
兩條平行直線間的距離
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夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS課時分層作業(十九)　點到直線的距離公式兩條平行直線間的距離
一、選擇題
1．(多選)下列直線與直線l：x－y＋2＝0平行，且與它的距離為的是(　　)
A．x－y＋4＝0 B．x－y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＝0
2．已知直線l的傾斜角為60°，在y軸上的截距與另一條直線x＋2y＋3＝0在x軸上的截距相同，則點P()到直線l的距離為(　　)
A．2　　　B．　　　C．1　　　D．
3．兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－y＋4＝0間的距離為d，則(　　)
A．a＝2，d＝ B．a＝2，d＝
C．a＝－2，d＝ D．a＝－2，d＝
4．已知△ABC的頂點坐標分別為A(1，1)，B(3，2)，C(4，5)，則△ABC的面積為(　　)
A．3　　　B．　　　C．　　　D．
5．(多選)定義點P(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距離為d＝．已知點P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2．以下命題不正確的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，則直線P1P2與直線l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，則直線P1P2與直線l垂直
C．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直
D．若d1·d2≤0，則直線P1P2與直線l相交
二、填空題
6．已知P(－1，2)，Q(2，4)，直線l：y＝kx＋3．若P點到直線l的距離等于Q點到直線l的距離，則k＝________．
7．若兩平行直線3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之間的距離是，則的值為________．
8．在y軸上有一點P(0，b)，使得以A(1，2)，B(3，4)和P為頂點的三角形面積為6，則b的值為________．
三、解答題
9．已知平行四邊形ABCD的兩條邊所在直線的方程分別是AB：x＋y－1＝0，AD：3x－y＋4＝0，且它的對角線的交點是M(3，3)．
(1)求這個平行四邊形其他兩邊所在直線的斜截式方程；
(2)求四邊形ABCD的面積．
10．(多選)已知直線y＝2x與x＋y＋a＝0交于點P(1，b)，則(　　)
A．a＝－3
B．b＝2
C．點P到直線ax＋by＋3＝0的距離為
D．點P到直線ax＋by＋3＝0的距離為
11．已知點A(－1，1)，B(3，5)，若A，B到直線l的距離都為2，則直線l的方程不可能為(　　)
A．x－y＋2－2＝0 B．x－y＋2＋2＝0
C．y＝3 D．x－y－1＝0
12．已知點(a，b)在線段3x＋4y－10＝0(－2≤x≤6)上，則a2＋b2－2的取值范圍是(　　)
A．[2，18] B．[2，38]
C．[0，38] D．
13．在平面直角坐標系Oxy中，P是曲線y＝x＋(x＞0)上的一個動點，則點P到直線x＋y＝0的距離的最小值是________．
14．已知△ABC的頂點坐標為A(1，1)，B()，C(4，2)，1＜m＜4．當m為何值時，△ABC的面積S最大？
15．已知a＞0，直線l1：x＋ay＝2a＋4與y軸的交點為A，l2：2x＋ay＝2a＋8與x軸的交點為B，l1與l2的交點為C．當四邊形OACB的面積取最小值時，點B到直線l1的距離是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．2
3/32.3.3　點到直線的距離公式
2.3.4　兩條平行直線間的距離
[學習目標]　1．探索并掌握點到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式．(數學抽象、數學運算)
2．會求點到直線的距離與兩平行直線間的距離．(數學運算)
[討論交流]　
問題1．你能推導出點到直線的距離公式嗎？
問題2．當直線與坐標軸垂直時，如何求點到直線的距離？
問題3．應用點到直線的距離公式時，必須將直線方程化為一般式嗎？
問題4．你能把求兩條平行直線間的距離轉化為求點到直線的距離嗎？
問題5．你會推導兩條平行直線間的距離公式嗎？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　點到直線的距離
探究問題1　如圖，在平面直角坐標系中，已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎樣求出點P到直線l的距離呢？如果A＝0或B＝0時，又如何求點P到直線l的距離呢？觀察點到直線的距離公式，你能說說它的結構特征嗎？
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[新知生成]
點到直線的距離
(1)定義：點到直線的距離，就是點到直線的________的長度．
(2)公式：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝________________．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)求點P(－2，1)到下列直線的距離：
(1)3x＋4y－1＝0；
(2)y＝2x＋3；
(3)2x＋5＝0．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　求過點P(－2，1)且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？
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　點到直線的距離的求解方法
(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式，直接利用點到直線的距離公式即可．
(2)若已知點到直線的距離求參數值時，只需根據點到直線的距離公式列出關于參數的方程即可．
[學以致用]　1．(多選)已知點A(－3，－4)，B(6，3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數a的值等于(　　)
A．－ B．－ C． D．
探究2　兩條平行直線間的距離
探究問題2　如圖所示，已知兩平行直線l1，l2的方程，并且從l1上任選一點P(x0，y0)，思考如何求出l1，l2的距離？
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[新知生成]
兩條平行直線間的距離
(1)概念：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的________的長．
(2)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為0，C1≠C2)之間的距離d＝________．
[典例講評]　2．若直線l1：ax－y－2＝0與l2：x－ay＋2＝0平行，則它們之間的距離為(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　求兩條平行直線間的距離的兩種思路
(1)利用化歸思想將兩條平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離．由于這種求法與點的選擇無關，因此，選點時，常選取一個特殊點，如直線與坐標軸的交點等，以便于運算．
(2)利用兩條平行直線間的距離公式求解．
[學以致用]　2．已知點A，B分別是直線l1：2x＋y－2＝0與直線l2：4x＋2y＋1＝0上的點，則|AB|的最小值為(　　)
A．0 B． C． D．
探究3　平行直線間的距離的最值問題
[典例講評]　3．兩條互相平行的直線分別過A(6，2)和B(－3，－1)兩點，如果兩條平行直線間的距離為d，求：
(1)d的取值范圍；
(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　應用數形結合思想求最值
(1)解決此類問題的關鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數”轉化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決．
(2)數形結合、運動變化的思想方法在解題中經常用到．當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍．
[學以致用]　3．已知直線l1，l2是分別經過A(1，1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是________．
1．已知點A(2，1)，點B在直線x－y＋3＝0上，則|AB|的最小值為(　　)
A． B． C．2 D．4
2．已知兩條平行直線l1：x－y＋6＝0與l2：x－y＋C＝0(C＜0)間的距離為4，則C的值為(　　)
A．14 B．－2 C．－10 D．14或－10
3．已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是(　　)
A．4 B．
C． D．
4．已知點P(－1，b)到直線2x＋y－1＝0的距離為2，則b＝________．
1．知識鏈：(1)點到直線的距離公式．
(2)兩條平行直線間的距離．
(3)兩條平行直線間的距離最值問題．
2．方法鏈：數形結合、分類討論、參數法．
3．警示牌：運用兩平行直線間的距離公式時，必須保證兩直線方程中x，y的系數分別對應相同．
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