資源簡介

課時分層作業(二十四)　圓與圓的位置關系
一、選擇題
1．圓x2＋2x＋y2＋8y－8＝0和圓x2－4x＋y2－4y－2＝0的位置關系是(　　)
A．相交　　　B．相切　　　C．相離　　　D．內含
2．已知圓C過圓C1：x2＋y2＋4x－2y－10＝0與圓C2：(x＋3)2＋(y－3)2＝6的公共點，若圓C1，C2的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
3．(多選)已知圓O：x2＋y2＝4和圓M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B兩點，下列說法正確的為(　　)
A．兩圓有兩條公切線
B．直線AB的方程為y＝2x＋2
C．線段AB的長為
D．圓O上點E，圓M上點F，＋3
4．(多選)點P在圓C1：x2＋y2＝1上，點Q在圓C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，則(　　)
A．|PQ|的最小值為2
B．|PQ|的最大值為7
C．兩個圓心所在的直線斜率為－
D．兩個圓相交弦所在直線的方程為6x－8y－25＝0
5．(多選)已知圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0，則下列說法正確的是(　　)
A．兩圓公共弦所在的直線方程為x－y＋2＝0
B．兩圓的位置關系為外切
C．公共弦長為2
D．兩圓有四條公切線
二、填空題
6．已知圓C1：(x－a)2＋y2＝36與圓C2：x2＋(y－b)2＝4只有一條公切線，則a2＋b2＝________．
7．已知圓C1：(x－a)2＋(y－1)2＝1與圓C2：x2＋y2＝3交于A，B兩點，若直線AB的傾斜角為60°，則|AB|＝________．
8．與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋y＝0相切于點M的圓的方程為________．
三、解答題
9．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，判斷圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系．
10．(多選)已知圓C1：x2＋y2＋2mx－10y＋m2＝0，圓C2：x2＋y2＋4y－5＝0，則下列說法正確的是(　　)
A．若點(1，1)在圓C1的內部，則－2＜m＜4
B．若m＝2，則圓C1，C2的公共弦所在的直線方程是4x－14y＋9＝0
C．若圓C1，C2外切，則m＝±
D．過點(3，2)作圓C2的切線l，則l的方程是x＝3或7x－24y＋27＝0
11．已知a，b∈R，圓C1：x2＋y2－2x＋4y－b2＋5＝0與圓C2：x2＋y2－2(a－6)x－2ay＋2a2－12a＋27＝0交于不同的兩點＝0，則a＝(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
12．若圓C1：x2＋y2－2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－2mx＝0(m＞0)的公共弦長為2，則m的值為________．
13．(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程______________．
14．已知兩圓C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r＞0)，直線l：x＋2y＝0．
(1)當圓C1與圓C2相交且公共弦長為4時，求r的值；
(2)當r＝1時，求經過圓C1與圓C2的交點且和直線l相切的圓的方程．
15．已知圓C1：x2＋y2－kx＋2y＝0與圓C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直線恒過定點P(a，b)，且點P在直線mx－ny－2＝0上，則m2＋n2的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
3/32.5.2　圓與圓的位置關系
[學習目標]　1．了解圓與圓的位置關系．(數學抽象)
2．掌握圓與圓的位置關系的判定方法．(數學運算)
3．能利用圓與圓的位置關系解決有關問題．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　
問題1．圓與圓之間有怎樣的位置關系，如何判定？
問題2．圓與圓相交時，半徑、公共弦、圓心距之間有怎樣的數量關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　兩圓位置關系的判斷
探究問題　觀察下面這些生活中常見的圖形，感受一下圓與圓之間有哪些位置關系？
(1)圓與圓之間有幾種位置關系？
(2)能否借助圓的方程來研究圓與圓的位置關系？
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[新知生成]
1．幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關系如下：
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d與r1，r2的關系 _________ ________ |r1－r2|2．代數法：設兩圓的一般方程為：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝，
聯立方程得
則方程組解的個數與兩圓的位置關系如下：
方程組解的個數 2組 1組 0組
兩圓的公共點個數 ____個 ____個 ____個
兩圓的位置關系 ____ ____或______ ____或______
[典例講評]　1．已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a為何值時，兩圓C1，C2的位置關系為：
(1)相切？(2)相交？(3)外離？(4)內含？
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　試總結判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍的步驟．
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[學以致用]　1．已知圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，則圓C1與C2的位置關系是(　　)
A．相交 B．外離 C．外切 D．內含
2．已知圓M：(x＋1)2＋(y－2a)2＝2與圓N：(x－a)2＋y2＝2相交，則a的取值范圍是(　　)
A．(－1，1) B．
C． D．
探究2　相交弦及圓系方程問題
[典例講評]　2．已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長；
(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　
1．本例條件不變，求兩圓公共弦所在直線l被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦長．
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2．本例條件不變，求過兩圓的交點且半徑最小的圓的方程．
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　1．兩圓的公共弦問題
(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦長的求法
①代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解．
2．過兩圓的交點的圓的方程
已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[學以致用]　3．(多選)若圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的長為2，則下列結論正確的有(　　)
A．m2＋n2＝4
B．直線AB的方程為mx＋ny－2＝0
C．AB中點的軌跡方程為x2＋y2＝3
D．四邊形AC1BC2的面積為
探究3　圓與圓的綜合問題
[典例講評]　3．求圓C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1與C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝9的公切線的方程．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　1．處理兩圓相切問題的兩個步驟
(1)定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內切和外切兩種情況討論．
(2)轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時)．
2．合理運用代數法與幾何法處理直線與圓、圓與圓的問題，建立模型，利用方程思想或數形結合思想求解．
[學以致用]　4．圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6y＋5＝0的公切線有(　　)
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
5．已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________．
1．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4與圓C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，則圓C1與圓C2的位置關系為(　　)
A．相交 B．外切 C．內切 D．內含
2．圓x2＋y2－1＝0與圓x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直線的方程為(　　)
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
3．若圓C1：x2＋y2－2x－m＝0與圓C2：x2＋y2＋4y＋m＝0恰有2條公切線，則m的取值范圍為(　　)
A．(0，4) B．(－1，4)
C．(－1，0) D．[0，4)
4．過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程為________．
1．知識鏈：(1)兩圓的位置關系．
(2)兩圓的公共弦．
(3)圓系方程．
(4)圓與圓的綜合問題．
2．方法鏈：幾何法、代數法、待定系數法．
3．警示牌：易混淆內切和外切．
6/6(共48張PPT)
2.5.2　圓與圓的位置關系
第二章　直線和圓的方程
2.5　直線與圓、圓與圓的位置關系
[學習目標]　1．了解圓與圓的位置關系．(數學抽象)
2．掌握圓與圓的位置關系的判定方法．(數學運算)
3．能利用圓與圓的位置關系解決有關問題．(邏輯推理、數學運算)
整體感知
(教師用書)
日食是一種天文現象，在民間稱此現象為天狗食日．日食只在月球與太陽呈現合的狀態時發生．日食分為日偏食、日全食、日環食、全環食．我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關系是怎樣的？
前面我們運用直線的方程、圓的方程研究了直線與圓的位置關系，現在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關系．
[討論交流]　
問題1．圓與圓之間有怎樣的位置關系，如何判定？
問題2．圓與圓相交時，半徑、公共弦、圓心距之間有怎樣的數量關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　兩圓位置關系的判斷
探究問題　觀察下面這些生活中常見的圖形，感受一下圓與圓之間有哪些位置關系？
探究建構
(1)圓與圓之間有幾種位置關系？
(2)能否借助圓的方程來研究圓與圓的位置關系？
[提示]　(1)5種．
(2)可以，借助圓的方程可以通過代數法和幾何法兩種途徑．
[新知生成]
1．幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關系如下：
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d與r1，r2 的關系 _________ _________ |r1－r2|< d<______ __________ _________
d >r1＋r2
d＝r1＋r2
r1＋r2
d<|r1－r2|
d＝|r1－r2|
2．代數法：設兩圓的一般方程為：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝，
聯立方程得
則方程組解的個數與兩圓的位置關系如下：
方程組解的個數 2組 1組 0組
兩圓的公共點個數 __個 __個 __個
兩圓的位置關系 ____ ____或____ ____或____
2
1
0
相交
外切
內切
外離
內含
【教用·微提醒】　(1)利用代數法判斷兩圓位置關系時，當方程無解或一解時，無法判斷兩圓的位置關系．
(2)在判斷兩圓的位置關系時，優先使用幾何法．
(3)兩圓外離時有四條公切線，當兩圓外切時有三條公切線，當兩圓相交時有兩條公切線，當兩圓內切時只有一條公切線，當兩圓內含時無公切線．
【鏈接·教材例題】
例5　已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓C1與圓C2的位置關系．
[分析]　思路1：圓C1與圓C2的位置關系由它們有幾個公共點確定，而它們有幾個公共點又由它們的方程所組成的方程組有幾組實數解確定；
思路2：借助圖形，可以依據圓心距與兩半徑的和r1＋r2或兩半徑的差的絕對值|r1－r2|的大小關系，判斷兩圓的位置關系．
解法1：將圓C1與圓C2的方程聯立，得到方程組
①－②，得x＋2y－1＝0，　③
由③，得y＝．
把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0．　④
方程④的根的判別式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，
所以，方程④有兩個不相等的實數根x1，x2，把x1，x2分別代入方程③，得到y1，y2．
因此圓C1與圓C2有兩個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，這兩個圓相交．
解法2：把圓C1的方程化成標準方程，
得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
圓C1的圓心是(－1，－4)，半徑r1＝5．
把圓C2的方程化成標準方程，
得(x－2)2＋(y－2)2＝10，
圓C2的圓心是(2，2)，半徑r2＝．
圓C1與圓C2的圓心距為＝3．
圓C1與圓C2的兩半徑之和r1＋r2＝5＋，兩半徑長之差r1－r2＝5－．
因為5－＜3＜5＋，即r1－r2＜3＜r1＋r2，所以圓C1與圓C2相交(圖2.5-6)，它們有兩個公共點A，B．
[典例講評]　1．已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a為何值時，兩圓C1，C2的位置關系為：
(1)相切？(2)相交？(3)外離？(4)內含？
[解]　圓C1，C2的方程，經配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
所以圓心C1(a，1)，C2(2a，1)，半徑r1＝4，r2＝1．
所以|C1C2|＝＝a．
(1)當|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時，兩圓外切；
當|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時，兩圓內切．
(2)當3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5時，兩圓相交．
(3)當|C1C2|＞5，即a＞5時，兩圓外離．
(4)當|C1C2|＜3，即0＜a＜3時，兩圓內含．
發現規律　試總結判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍的步驟．
[提示]　(1)將圓的方程化成標準方程，寫出圓心和半徑．
(2)計算兩圓圓心的距離d．
(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可數形結合．
[學以致用]　1．已知圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，則圓C1與C2的位置關系是(　　)
A．相交 　　　　B．外離 　　　　C．外切 　　　　D．內含
B　[法一：畫出兩圓，如圖所示，由圖可直觀得出兩圓外離．
法二：圓C1的半徑r1＝1，圓C2的半徑r2＝1，且兩圓的圓心距d＝＝2＞1＋1，即d＞r1＋r2，故兩圓外離．
√
法三：將兩圓的方程聯立，得到方程組
消去x2，y2，得x－y－2＝0，將其代入圓C1的方程中，消去y得2x2－4x＋3＝0，所以Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，所以方程無實數解，即兩圓相離．
因為兩圓半徑相等，所以不會出現內含的情況，故兩圓外離．]
2．已知圓M：(x＋1)2＋(y－2a)2＝(－1)2與圓N：(x－a)2＋y2＝(＋1)2相交，則a的取值范圍是(　　)
A．(－1，1) B．∪
C． D．∪
D　[圓M的圓心為M(－1，2a)，半徑為－1，圓N的圓心為N(a，0)，半徑為＋1．
依題意可得＋1－(－1)＜＋1＋－1，即2＜＜2，解得a∈∪．故選D．]
√
探究2　相交弦及圓系方程問題
[典例講評]　2．已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長；
(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．
[解]　(1)設兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則A，B兩點坐標是方程組的解．
①－②，得x－y＋4＝0．
∵A，B兩點的坐標都滿足此方程，
∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．
又圓C1的圓心(－3，0)，r＝，
∴C1到直線AB的距離d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，即兩圓的公共弦長為5．
(2)法一：解方程組
得兩圓的交點A(－1，3)，B(－6，－2)．
設所求圓的圓心為(a，b)，因為圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4．
則＝，
解得a＝，故圓心為，半徑為．
故圓的方程為＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
法二：設所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圓心為，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7．
故所求圓的方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0．
[母題探究]　
1．本例條件不變，求兩圓公共弦所在直線l被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦長．
[解]　圓C3的圓心為C3(1，1)，半徑R＝5，圓心到直線l的距離d′＝＝2，由條件知R2－d′2＝52－(2)2＝17．
所以直線l被圓C3截得的弦長為2．
2．本例條件不變，求過兩圓的交點且半徑最小的圓的方程．
[解]　根據條件可知，所求的圓就是以AB為直徑的圓．
∵AB所在直線方程為x－y＋4＝0，
C1C2所在直線方程為x＋y＋3＝0．
∴由得圓心，
由本例(1)解析知|AB|＝5，∴半徑r＝，
故所求圓的方程為＋＝．
反思領悟　1．兩圓的公共弦問題
(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦長的求法
①代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解．
2．過兩圓的交點的圓的方程
已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[學以致用]　3．(多選)若圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的長為2，則下列結論正確的有(　　)
A．m2＋n2＝4
B．直線AB的方程為mx＋ny－2＝0
C．AB中點的軌跡方程為x2＋y2＝3
D．四邊形AC1BC2的面積為
√
√
AB　[根據題意，依次分析選項：對于A，圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4，兩圓的方程相減可得：2mx＋2ny－m2－n2＝0，
即兩圓公共弦的方程為2mx＋2ny－m2－n2＝0，
圓C1：x2＋y2＝4的圓心為(0，0)，半徑R＝2，
圓心C1到直線2mx＋2ny－m2－n2＝0的距離d＝＝，
而兩個圓的公共弦AB的長為2，
則有＝4－，變形可得m2＋n2＝4，A正確；
對于B，由于兩圓公共弦的方程為2mx＋2ny－m2－n2＝0，且m2＋n2＝4，
故兩圓公共弦的方程為2mx＋2ny－4＝0，變形可得mx＋ny－2＝0，B正確；
對于C，設AB的中點坐標為(x，y)，
由于C1C2垂直平分AB，則C1到AB中點的距離就是C1到直線AB的距離，則有x2＋y2＝1，即AB中點的軌跡方程為x2＋y2＝1，C錯誤；
對于D，兩圓的半徑相等，則四邊形AC1BC2為菱形，其面積S＝2×＝2，D錯誤．故選AB．]
探究3　圓與圓的綜合問題
[典例講評]　3．求圓C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1與C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝9的公切線的方程．
[解]　因為圓C1的圓心為C1(－1，－3)，半徑r1＝1，圓C2的圓心為C2(3，－1)，半徑r2＝3，所以|C1C2|＝＝＞4，
所以圓C1與圓C2相離，所以有4條公切線，如圖所示．
當公切線的斜率不存在時，直線x＝0是兩圓的一條公切線．
當公切線的斜率存在時，設公切線方程為y＝kx＋b，
C1(－1，－3)到直線y＝kx＋b的距離為＝1，
C2(3，－1)到直線y＝kx＋b的距離為＝3，所以|3k＋1＋b|＝3|b－k＋3|，
所以3k＋1＋b＝3b－3k＋9或3k＋1＋b＝－3b＋3k－9，整理得3k＝b＋4或b＝－．
當b＝－時，＝＝＝1，解得k＝－，公切線方程為3x＋4y＋10＝0；
當3k＝b＋4時，＝＝＝3，所以(5＋2b)2＝(b＋4)2＋9，所以b2＋4b＝0，所以b＝0或b＝－4，
當b＝0時，k＝，公切線方程為4x－3y＝0，
當b＝－4時，k＝0，公切線方程為y＝－4．
綜上，公切線的方程為x＝0或y＝－4或4x－3y＝0或3x＋4y＋10＝0．
反思領悟　1．處理兩圓相切問題的兩個步驟
(1)定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內切和外切兩種情況討論．
(2)轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時)．
2．合理運用代數法與幾何法處理直線與圓、圓與圓的問題，建立模型，利用方程思想或數形結合思想求解．
[學以致用]　4．圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6y＋5＝0的公切線有(　　)
A．1條 　　　　B．2條 　　　　C．3條 　　　　D．4條
√
C　[由圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6y＋5＝0，
可得圓C2的標準方程為x2＋(y－3)2＝4，圓心坐標為(0，3)，半徑為2．
圓C1與圓C2的圓心距為3，等于兩個圓的半徑之和，
所以圓C1與圓C2外切，故圓C1與圓C2的公切線有3條．故選C．]
5．已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是__________________________________________．
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
[設圓C的半徑為r，
又圓心距d＝＝5，
∴當圓C與圓O外切時，r＋1＝5，r＝4，
當圓C與圓O內切時，r－1＝5，r＝6，
∴圓C的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36．]
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
【鏈接·教材例題】
例6　已知圓O的直徑AB＝4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍．試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關系．
[分析]　我們可以通過建立適當的平面直角坐標系，求得滿足條件的動點M的軌跡方程，從而得到點M的軌跡；通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關系，判斷這個軌跡與圓O的位置關系．
[解]　如圖2.5-7，以線段AB的中點O為原點，AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系．由AB＝4，得A(－2，0)，B(2，0)．
設點M的坐標為(x，y)，由|MA|＝，得
＝×，
化簡，得x2－12x＋y2＋4＝0，即(x－6)2＋y2＝32．
所以點M的軌跡是以P(6，0)為圓心，
半徑為4的一個圓(圖2.5-7)．
因為兩圓的圓心距為|PO|＝6，兩圓的半徑分別為r1＝2，r2＝4＜r2＋r1，所以點M的軌跡與圓O相交．
1．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4與圓C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，則圓C1與圓C2的位置關系為(　　)
A．相交　　B．外切　　C．內切　　D．內含
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[由圓C1方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，得圓心為(2，3)，半徑r1＝2，
由圓C2方程(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，得圓心為(－1，－1)，半徑r2＝3，
則兩圓的圓心距為＝5＝r1＋r2，所以圓C1與圓C2外切．故選B．]
2．圓x2＋y2－1＝0與圓x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直線的方程為(　　)
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
2
3
題號
1
4
√
A　[兩圓方程相減，消去二次項得4x－1＝0，此即兩圓公共弦所在直線的方程．]
3．若圓C1：x2＋y2－2x－m＝0與圓C2：x2＋y2＋4y＋m＝0恰有2條公切線，則m的取值范圍為(　　)
A．(0，4) B．(－1，4)
C．(－1，0) D．[0，4)
2
3
題號
4
1
√
B　[圓C1：x2＋y2－2x－m＝0 (x－1)2＋y2＝1＋m，
圓C2：x2＋y2＋4y＋m＝0 x2＋(y＋2)2＝4－m，
則|C1C2|＝＝，1＋m＞0，4－m＞0，
∵兩圓恰有2條公切線，
∴圓C1與圓C2相交，
∴－＜＋，
解得－1＜m＜4，∴m的取值范圍為(－1，4)．]
2
3
題號
4
1
4．過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程為___________________．
2
4
3
題號
1
x2＋y2－3x＋y－1＝0　[設所求圓的方程為x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，
則(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，
把圓心坐標代入直線l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝，
故所求圓的方程為x2＋y2－3x＋y－1＝0．]
x2＋y2－3x＋y－1＝0　
1．知識鏈：(1)兩圓的位置關系．
(2)兩圓的公共弦．
(3)圓系方程．
(4)圓與圓的綜合問題．
2．方法鏈：幾何法、代數法、待定系數法．
3．警示牌：易混淆內切和外切．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．判斷兩圓的位置關系有哪些方法？
[提示]　(1)幾何法：利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較，得到兩圓的位置關系；
(2)代數法：把兩圓位置關系的判定完全轉化為代數問題，轉化為方程組的解的組數問題．
2．兩圓相切時，圓心距和兩圓半徑有怎樣的關系？
[提示]　圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，
兩圓外切時，|O1O2|＝r1＋r2；
兩圓內切時，|O1O2|＝|r1－r2|．
3．兩圓相交時，如何求兩圓的公共弦長？
[提示]　求兩圓公共弦長的方法：一是聯立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解．
課時分層作業(二十四)
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圓與圓的位置關系
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
s
THANKS2.5.2　圓與圓的位置關系
[學習目標]　1．了解圓與圓的位置關系．(數學抽象)
2．掌握圓與圓的位置關系的判定方法．(數學運算)
3．能利用圓與圓的位置關系解決有關問題．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
日食是一種天文現象，在民間稱此現象為天狗食日．日食只在月球與太陽呈現合的狀態時發生．日食分為日偏食、日全食、日環食、全環食．我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關系是怎樣的？
前面我們運用直線的方程、圓的方程研究了直線與圓的位置關系，現在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關系．
[討論交流]　
問題1．圓與圓之間有怎樣的位置關系，如何判定？
問題2．圓與圓相交時，半徑、公共弦、圓心距之間有怎樣的數量關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　兩圓位置關系的判斷
探究問題　觀察下面這些生活中常見的圖形，感受一下圓與圓之間有哪些位置關系？
(1)圓與圓之間有幾種位置關系？
(2)能否借助圓的方程來研究圓與圓的位置關系？
[提示]　(1)5種．
(2)可以，借助圓的方程可以通過代數法和幾何法兩種途徑．
[新知生成]
1．幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關系如下：
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d與r1，r2的關系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|2．代數法：設兩圓的一般方程為：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝，
聯立方程得
則方程組解的個數與兩圓的位置關系如下：
方程組解的個數 2組 1組 0組
兩圓的公共點個數 2個 1個 0個
兩圓的位置關系 相交 外切或內切 外離或內含
【教用·微提醒】　(1)利用代數法判斷兩圓位置關系時，當方程無解或一解時，無法判斷兩圓的位置關系．
(2)在判斷兩圓的位置關系時，優先使用幾何法．
(3)兩圓外離時有四條公切線，當兩圓外切時有三條公切線，當兩圓相交時有兩條公切線，當兩圓內切時只有一條公切線，當兩圓內含時無公切線．
【鏈接·教材例題】
例5　已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓C1與圓C2的位置關系．
[分析]　思路1：圓C1與圓C2的位置關系由它們有幾個公共點確定，而它們有幾個公共點又由它們的方程所組成的方程組有幾組實數解確定；
思路2：借助圖形，可以依據圓心距與兩半徑的和r1＋r2或兩半徑的差的絕對值|r1－r2|的大小關系，判斷兩圓的位置關系．
解法1：將圓C1與圓C2的方程聯立，得到方程組
①－②，得
x＋2y－1＝0，　③
由③，得
y＝．
把上式代入①，并整理，得
x2－2x－3＝0．　④
方程④的根的判別式
Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，
所以，方程④有兩個不相等的實數根x1，x2，把x1，x2分別代入方程③，得到y1，y2．
因此圓C1與圓C2有兩個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，這兩個圓相交．
解法2：把圓C1的方程化成標準方程，得
(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
圓C1的圓心是(－1，－4)，半徑r1＝5．
把圓C2的方程化成標準方程，得
(x－2)2＋(y－2)2＝10，
圓C2的圓心是(2，2)，半徑r2＝．
圓C1與圓C2的圓心距為
＝3．
圓C1與圓C2的兩半徑之和r1＋r2＝5＋，兩半徑長之差r1－r2＝5－．
因為5－＜3＜5＋，即r1－r2＜3＜r1＋r2，所以圓C1與圓C2相交(圖2.5-6)，它們有兩個公共點A，B．
[典例講評]　1．已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a為何值時，兩圓C1，C2的位置關系為：
(1)相切？(2)相交？(3)外離？(4)內含？
[解]　圓C1，C2的方程，經配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
所以圓心C1(a，1)，C2(2a，1)，半徑r1＝4，r2＝1．
所以|C1C2|＝＝a．
(1)當|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時，兩圓外切；
當|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時，兩圓內切．
(2)當3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5時，兩圓相交．
(3)當|C1C2|＞5，即a＞5時，兩圓外離．
(4)當|C1C2|＜3，即0＜a＜3時，兩圓內含．
　試總結判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍的步驟．
[提示]　(1)將圓的方程化成標準方程，寫出圓心和半徑．
(2)計算兩圓圓心的距離d．
(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可數形結合．
[學以致用]　1．已知圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，則圓C1與C2的位置關系是(　　)
A．相交 B．外離 C．外切 D．內含
B　[法一：畫出兩圓，如圖所示，由圖可直觀得出兩圓外離．
法二：圓C1的半徑r1＝1，圓C2的半徑r2＝1，且兩圓的圓心距d＝＝2＞1＋1，即d＞r1＋r2，故兩圓外離．
法三：將兩圓的方程聯立，得到方程組
消去x2，y2，得x－y－2＝0，將其代入圓C1的方程中，消去y得2x2－4x＋3＝0，所以Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，所以方程無實數解，即兩圓相離．
因為兩圓半徑相等，所以不會出現內含的情況，故兩圓外離．]
2．已知圓M：(x＋1)2＋(y－2a)2＝(－1)2與圓N：(x－a)2＋y2＝(＋1)2相交，則a的取值范圍是(　　)
A．(－1，1) B．∪
C． D．∪
D　[圓M的圓心為M(－1，2a)，半徑為－1，圓N的圓心為N(a，0)，半徑為＋1．
依題意可得＋1－(－1)＜＋1＋－1，即2＜＜2，解得a∈∪．故選D．]
探究2　相交弦及圓系方程問題
[典例講評]　2．已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長；
(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．
[解]　(1)設兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則A，B兩點坐標是方程組
的解．
①－②，得x－y＋4＝0．
∵A，B兩點的坐標都滿足此方程，
∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．
又圓C1的圓心(－3，0)，r＝，
∴C1到直線AB的距離d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，
即兩圓的公共弦長為5．
(2)法一：解方程組
得兩圓的交點A(－1，3)，B(－6，－2)．
設所求圓的圓心為(a，b)，因為圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4．
則＝，
解得a＝，故圓心為，半徑為．
故圓的方程為＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
法二：設所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圓心為，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7．
故所求圓的方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0．
[母題探究]　
1．本例條件不變，求兩圓公共弦所在直線l被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦長．
[解]　圓C3的圓心為C3(1，1)，半徑R＝5，圓心到直線l的距離d′＝＝2，由條件知R2－d′2＝52－(2)2＝17．
所以直線l被圓C3截得的弦長為2．
2．本例條件不變，求過兩圓的交點且半徑最小的圓的方程．
[解]　根據條件可知，所求的圓就是以AB為直徑的圓．
∵AB所在直線方程為x－y＋4＝0，
C1C2所在直線方程為x＋y＋3＝0．
∴由得圓心，
由本例(1)解析知|AB|＝5，∴半徑r＝，
故所求圓的方程為＋＝．
　1．兩圓的公共弦問題
(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦長的求法
①代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解．
2．過兩圓的交點的圓的方程
已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[學以致用]　3．(多選)若圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的長為2，則下列結論正確的有(　　)
A．m2＋n2＝4
B．直線AB的方程為mx＋ny－2＝0
C．AB中點的軌跡方程為x2＋y2＝3
D．四邊形AC1BC2的面積為
AB　[根據題意，依次分析選項：對于A，圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4，兩圓的方程相減可得：2mx＋2ny－m2－n2＝0，
即兩圓公共弦的方程為2mx＋2ny－m2－n2＝0，
圓C1：x2＋y2＝4的圓心為(0，0)，半徑R＝2，
圓心C1到直線2mx＋2ny－m2－n2＝0的距離d＝＝，
而兩個圓的公共弦AB的長為2，
則有＝4－，變形可得m2＋n2＝4，A正確；
對于B，由于兩圓公共弦的方程為2mx＋2ny－m2－n2＝0，且m2＋n2＝4，
故兩圓公共弦的方程為2mx＋2ny－4＝0，變形可得mx＋ny－2＝0，B正確；
對于C，設AB的中點坐標為(x，y)，
由于C1C2垂直平分AB，則C1到AB中點的距離就是C1到直線AB的距離，則有x2＋y2＝1，即AB中點的軌跡方程為x2＋y2＝1，C錯誤；
對于D，兩圓的半徑相等，則四邊形AC1BC2為菱形，其面積S＝2×＝2，D錯誤．故選AB．]
探究3　圓與圓的綜合問題
[典例講評]　3．求圓C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1與C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝9的公切線的方程．
[解]　因為圓C1的圓心為C1(－1，－3)，半徑r1＝1，圓C2的圓心為C2(3，－1)，半徑r2＝3，所以|C1C2|＝＝＞4，
所以圓C1與圓C2相離，所以有4條公切線，如圖所示．
當公切線的斜率不存在時，直線x＝0是兩圓的一條公切線．
當公切線的斜率存在時，設公切線方程為y＝kx＋b，
C1(－1，－3)到直線y＝kx＋b的距離為＝1，
C2(3，－1)到直線y＝kx＋b的距離為＝3，所以|3k＋1＋b|＝3|b－k＋3|，
所以3k＋1＋b＝3b－3k＋9或3k＋1＋b＝－3b＋3k－9，整理得3k＝b＋4或b＝－．
當b＝－時，＝＝＝1，解得k＝－，公切線方程為3x＋4y＋10＝0；
當3k＝b＋4時，＝＝＝3，所以(5＋2b)2＝(b＋4)2＋9，所以b2＋4b＝0，所以b＝0或b＝－4，
當b＝0時，k＝，公切線方程為4x－3y＝0，
當b＝－4時，k＝0，公切線方程為y＝－4．
綜上，公切線的方程為x＝0或y＝－4或4x－3y＝0或3x＋4y＋10＝0．
　1．處理兩圓相切問題的兩個步驟
(1)定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內切和外切兩種情況討論．
(2)轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時)．
2．合理運用代數法與幾何法處理直線與圓、圓與圓的問題，建立模型，利用方程思想或數形結合思想求解．
[學以致用]　4．圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6y＋5＝0的公切線有(　　)
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
C　[由圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6y＋5＝0，
可得圓C2的標準方程為x2＋(y－3)2＝4，圓心坐標為(0，3)，半徑為2．
圓C1與圓C2的圓心距為3，等于兩個圓的半徑之和，
所以圓C1與圓C2外切，故圓C1與圓C2的公切線有3條．故選C．]
5．已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________．
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
[設圓C的半徑為r，
又圓心距d＝＝5，
∴當圓C與圓O外切時，r＋1＝5，r＝4，
當圓C與圓O內切時，r－1＝5，r＝6，
∴圓C的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36．]
【鏈接·教材例題】
例6　已知圓O的直徑AB＝4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍．試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關系．
[分析]　我們可以通過建立適當的平面直角坐標系，求得滿足條件的動點M的軌跡方程，從而得到點M的軌跡；通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關系，判斷這個軌跡與圓O的位置關系．
[解]　如圖2.5-7，以線段AB的中點O為原點，AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系．由AB＝4，得A(－2，0)，B(2，0)．
設點M的坐標為(x，y)，由|MA|＝，得
＝×，
化簡，得x2－12x＋y2＋4＝0，即(x－6)2＋y2＝32．
所以點M的軌跡是以P(6，0)為圓心，半徑為4的一個圓(圖2.5-7)．
因為兩圓的圓心距為|PO|＝6，兩圓的半徑分別為r1＝2，r2＝4＜r2＋r1，所以點M的軌跡與圓O相交．
1．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4與圓C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，則圓C1與圓C2的位置關系為(　　)
A．相交　　B．外切　　C．內切　　D．內含
B　[由圓C1方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，得圓心為(2，3)，半徑r1＝2，
由圓C2方程(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，得圓心為(－1，－1)，半徑r2＝3，
則兩圓的圓心距為＝5＝r1＋r2，所以圓C1與圓C2外切．
故選B．]
2．圓x2＋y2－1＝0與圓x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直線的方程為(　　)
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
A　[兩圓方程相減，消去二次項得4x－1＝0，此即兩圓公共弦所在直線的方程．]
3．若圓C1：x2＋y2－2x－m＝0與圓C2：x2＋y2＋4y＋m＝0恰有2條公切線，則m的取值范圍為(　　)
A．(0，4) B．(－1，4)
C．(－1，0) D．[0，4)
B　[圓C1：x2＋y2－2x－m＝0 (x－1)2＋y2＝1＋m，
圓C2：x2＋y2＋4y＋m＝0 x2＋(y＋2)2＝4－m，
則|C1C2|＝＝，1＋m＞0，4－m＞0，
∵兩圓恰有2條公切線，
∴圓C1與圓C2相交，
∴－＜＋，
解得－1＜m＜4，∴m的取值范圍為(－1，4)．]
4．過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程為________．
x2＋y2－3x＋y－1＝0　[設所求圓的方程為x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，
則(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，
把圓心坐標代入直線l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝，
故所求圓的方程為x2＋y2－3x＋y－1＝0．]
1．知識鏈：(1)兩圓的位置關系．
(2)兩圓的公共弦．
(3)圓系方程．
(4)圓與圓的綜合問題．
2．方法鏈：幾何法、代數法、待定系數法．
3．警示牌：易混淆內切和外切．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．判斷兩圓的位置關系有哪些方法？
[提示]　(1)幾何法：利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較，得到兩圓的位置關系；
(2)代數法：把兩圓位置關系的判定完全轉化為代數問題，轉化為方程組的解的組數問題．
2．兩圓相切時，圓心距和兩圓半徑有怎樣的關系？
[提示]　圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，
兩圓外切時，|O1O2|＝r1＋r2；
兩圓內切時，|O1O2|＝|r1－r2|．
3．兩圓相交時，如何求兩圓的公共弦長？
[提示]　求兩圓公共弦長的方法：一是聯立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解．
課時分層作業(二十四)　圓與圓的位置關系
一、選擇題
1．圓x2＋2x＋y2＋8y－8＝0和圓x2－4x＋y2－4y－2＝0的位置關系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相離 D．內含
A　[方程x2＋2x＋y2＋8y－8＝0可化為(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
所以圓x2＋2x＋y2＋8y－8＝0的圓心坐標為(－1，－4)，半徑r1＝5，方程x2－4x＋y2－4y－2＝0可化為(x－2)2＋(y－2)2＝10，
所以圓x2－4x＋y2－4y－2＝0的圓心坐標為(2，2)，半徑r2＝，
所以兩圓的圓心距為＝3，
又r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，5－＜3＜5＋，
所以圓x2＋2x＋y2＋8y－8＝0與圓x2－4x＋y2－4y－2＝0相交．故選A．]
2．已知圓C過圓C1：x2＋y2＋4x－2y－10＝0與圓C2：(x＋3)2＋(y－3)2＝6的公共點，若圓C1，C2的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為(　　)
A． B． C． D．
B　[由兩圓C1：x2＋y2＋4x－2y－10＝0與圓C2：(x＋3)2＋(y－3)2＝6，
作差得，兩圓C1，C2的公共弦方程為x－2y＋11＝0，
∵圓C2的半徑為，圓C2的圓心(－3，3)到直線(公共弦)的距離為d＝＝，∴弦長為2＝2．
又圓C1，C2的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為π．故選B．]
3．(多選)已知圓O：x2＋y2＝4和圓M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A、B兩點，下列說法正確的為(　　)
A．兩圓有兩條公切線
B．直線AB的方程為y＝2x＋2
C．線段AB的長為
D．圓O上點E，圓M上點F，＋3
ACD　[對于A，圓O：x2＋y2＝4的圓心為(0，0)，半徑為2；圓M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圓心M(－2，1)，半徑為1，因為2－1＜|OM|＝＜2＋1，所以兩圓相交，兩圓有兩條公切線，故A正確；對于B，因為圓O：x2＋y2＝4，圓M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，兩圓作差得4x－2y＋4＝－4即y＝2x＋4，所以直線AB的方程為y＝2x＋4，故B錯誤；
對于C，圓O的圓心為(0，0)，半徑為2，則圓心到直線AB：y＝2x＋4的距離d＝＝＝2＝，故C正確；
對于D，圓M的圓心M(－2，1)，半徑為1，所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝＋3，故D正確．故選ACD．]
4．(多選)點P在圓C1：x2＋y2＝1上，點Q在圓C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，則(　　)
A．|PQ|的最小值為2
B．|PQ|的最大值為7
C．兩個圓心所在的直線斜率為－
D．兩個圓相交弦所在直線的方程為6x－8y－25＝0
BC　[由已知C1(0，0)，半徑為r＝1，圓C2的標準方程為(x－3)2＋(y＋4)2＝1，故C2(3，－4)，半徑R＝1，∴圓心距|C1C2|＝＝5，
又∵P在圓C1上，Q在圓C2上，則|PQ|的最小值為|PQ|min＝|C1C2|－R－r＝3，最大值為|PQ|max＝|C1C2|＋R＋r＝7，故A錯誤、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為＝＝－，C正確；圓心距|C1 C2|＝＝5＞R＋r＝2，則兩圓外離，無相交弦，D錯誤．故選BC．]
5．(多選)已知圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0，則下列說法正確的是(　　)
A．兩圓公共弦所在的直線方程為x－y＋2＝0
B．兩圓的位置關系為外切
C．公共弦長為2
D．兩圓有四條公切線
AC　[圓C1：x2＋y2＝4的圓心為C1(0，0)，半徑r1＝2，
圓C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的標準方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝20，
則圓C2的圓心為C2(2，－2)，半徑r2＝2，
所以|C1C2|＝2，因為2－2＜＋2，
所以兩圓的位置關系為相交，有兩條公切線，故選項B，D錯誤；
兩圓方程相減得x－y＋2＝0，即公共弦所在的直線方程，故A正確；
圓心C1到公共弦的距離為d＝＝，
所以公共弦長l＝2＝2，故C正確．故選AC．]
二、填空題
6．已知圓C1：(x－a)2＋y2＝36與圓C2：x2＋(y－b)2＝4只有一條公切線，則a2＋b2＝________．
16　[圓C1：(x－a)2＋y2＝36的圓心為C1(a，0)，半徑r1＝6，
圓C2：x2＋(y－b)2＝4的圓心為(0，b)，半徑r2＝2，
因為圓C1：(x－a)2＋y2＝36與圓C2：x2＋(y－b)2＝4只有一條公切線，
所以兩圓相內切，所以|C1C2|＝r1－r2，即＝4，所以a2＋b2＝16．]
7．已知圓C1：(x－a)2＋(y－1)2＝1與圓C2：x2＋y2＝3交于A，B兩點，若直線AB的傾斜角為60°，則|AB|＝________．
　[因為圓C1：(x－a)2＋(y－1)2＝1與圓C2：x2＋y2＝3交于A，B兩點，
則兩圓方程相減可得－2ax＋a2－2y＋3＝0，即直線AB方程為－2ax－2y＋a2＋3＝0，
又因為直線AB的傾斜角為60°，則斜率k＝，
又因為k＝－＝－a，即－a＝，則a＝－，所以直線AB方程為2x－2y＋6＝0，即x－y＋3＝0．
圓心C2(0，0)到直線AB的距離為d＝＝，
所以|AB|＝2＝．]
8．與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋y＝0相切于點M(3，－)的圓的方程為________．
(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36　[設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，則＝r＋1．①
又所求圓過點M的切線為直線x＋y＝0，
故＝，②
＝r．③
解由①②③組成的方程組得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6．
故所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．]
三、解答題
9．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，判斷圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系．
[解]　把圓M的方程化成標準方程為x2＋(y－a)2＝a2，
所以M(0，a)，r1＝a，
所以點M到直線x＋y＝0的距離d＝．
由題意可得＋2＝a2，又a＞0，所以a＝2，
所以M(0，2)，r1＝2，又N(1，1)，r2＝1，
所以|MN|＝＜r1＋r2，
所以兩圓相交．
10．(多選)已知圓C1：x2＋y2＋2mx－10y＋m2＝0，圓C2：x2＋y2＋4y－5＝0，則下列說法正確的是(　　)
A．若點(1，1)在圓C1的內部，則－2＜m＜4
B．若m＝2，則圓C1，C2的公共弦所在的直線方程是4x－14y＋9＝0
C．若圓C1，C2外切，則m＝±
D．過點(3，2)作圓C2的切線l，則l的方程是x＝3或7x－24y＋27＝0
BCD　[對于A，由點(1，1)在圓C1的內部，得1＋1＋2m－10＋m2＜0，解得－4＜m＜2，故A錯誤；
對于B，若m＝2，則圓C1：x2＋y2＋4x－10y＋4＝0，
將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程是4x－14y＋9＝0，故B正確；
對于C，圓C1的標準方程為(x＋m)2＋(y－5)2＝25，圓心為C1(－m，5)，半徑r1＝5，圓C2的標準方程為x2＋(y＋2)2＝9，圓心為C2(0，－2)，半徑r2＝3，
若圓C1，C2外切，則|C1C2|＝r1＋r2，即＝5＋3，解得m＝±，故C正確；
對于D，當l的斜率不存在時，l的方程是x＝3，圓心C2到l的距離d＝3＝r2，滿足要求．
當l的斜率存在時，設l的方程為y＝k(x－3)＋2，圓心C2到l的距離d＝＝r2＝3，解得k＝，所以l的方程是7x－24y＋27＝0，故D正確．故選BCD．]
11．已知a，b∈R，圓C1：x2＋y2－2x＋4y－b2＋5＝0與圓C2：x2＋y2－2(a－6)x－2ay＋2a2－12a＋27＝0交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若＋＝0，則a＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
C　[圓C1：x2＋y2－2x＋4y－b2＋5＝0，即為(x－1)2＋(y＋2)2＝b2，即有圓心C1為(1，－2)，半徑為|b|，圓C2：x2＋y2－2(a－6)x－2ay＋2a2－12a＋27＝0，
即為[x－(a－6)]2＋(y－a)2＝9，即有圓心C2為(a－6，a)，半徑為3．
由＋＝0，即為＝|OB|，
由于C1C2垂直平分AB，即有C1C2經過原點，即為＝，即a＝4．
故選C．]
12．若圓C1：x2＋y2－2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－2mx＝0(m＞0)的公共弦長為2，則m的值為________．
　[聯立x2＋y2－2x＋2y－2＝0和x2＋y2－2mx＝0，兩式相減得(m－1)x＋y－1＝0，由題得兩圓公共弦長l＝2，圓C1：x2＋y2－2x＋2y－2＝0的圓心為(1，－1)，半徑r為＝2，圓心(1，－1)到直線(m－1)x＋y－1＝0的距離為＝，
所以＝＝＝，平方后整理得，2m2－3＝0，
即m2＝，所以m＝或m＝－(舍去)．]
13．(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程______________．
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(從這三條公切線中挑一條作答即可)　[圓x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑為1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心O1為(3, 4) ，半徑為4，
兩圓圓心距為＝5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當切線為l時，因為＝，所以kl＝－，設方程為y＝－x＋t(t＞0)，
O到l的距離d＝＝1，解得t＝，所以l的方程為y＝－x＋，
當切線為m時，設直線方程為kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由題意
解得y＝x－，
當切線為n時，易知切線方程為x＝－1．]
14．已知兩圓C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r＞0)，直線l：x＋2y＝0．
(1)當圓C1與圓C2相交且公共弦長為4時，求r的值；
(2)當r＝1時，求經過圓C1與圓C2的交點且和直線l相切的圓的方程．
[解]　(1)由圓C1：x2＋y2＝4，知圓心C1(0，0)，半徑r1＝2，
又由圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r＞0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，
兩式相減可得公共弦所在的直線方程為2x＋4y－9＋r2＝0．
因為圓C1與圓C2相交且公共弦長為4，
所以此時相交弦過圓心C1(0，0)，
即r2＝9(r＞0)，解得r＝3．
(2)設過圓C1與圓C2的圓系方程為(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，所以＋＝，由圓心到直線x＋2y＝0的距離等于圓的半徑，可得＝，
解得λ＝1，
故所求圓的方程為x2＋y2－x－2y＝0．
15．已知圓C1：x2＋y2－kx＋2y＝0與圓C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直線恒過定點P(a，b)，且點P在直線mx－ny－2＝0上，則m2＋n2的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
C　[因為圓C1：x2＋y2－kx＋2y＝0與圓C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直線為k(x＋y)－4－2y＝0，
由公共弦所在直線過定點可得解得即a＝2，b＝－2．
即直線過定點(2，－2)．
由題意可得P(2，－2)，
所以m＋n＝1，
所以(m＋n)2＝1，
即m2＋n2＋2mn＝1，而2mn≤m2＋n2，當且僅當m＝n＝時等號成立，所以1≤2(m2＋n2)，
可得m2＋n2≥．]
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