資源簡介

課時分層作業(二十五)　橢圓及其標準方程
一、選擇題
1．(多選)已知在平面直角坐標系中，點A(－3，0)，B(3，0)，點P為一動點，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列說法中正確的是(　　)
A．當a＝2時，點P的軌跡不存在
B．當a＝4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為3
C．當a＝4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為6
D．當a＝3時，點P的軌跡是以AB為直徑的圓
2．已知橢圓＝1的焦點在x軸上，若焦距為4，則m等于(　　)
A．4　　　B．5　　　C．7　　　D．8
3．方程＝10，化簡的結果是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．“1＜m＜3”是“方程＝1表示橢圓”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
5．若橢圓＝1上一點P到左焦點F1的距離為6，F2是右焦點，則△F1PF2的面積是(　　)
A．4　　　B．8　　　C．8　　　D．16
二、填空題
6．在平面直角坐標系中，已知△ABC頂點A(－4，0)和C(4，0)，頂點B在橢圓＝1上，則＝________．
7．已知橢圓＝1上的點P到一個焦點的距離為3，則P到另一個焦點的距離為________．
8．設F1，F2分別是橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，若a＝2b，則橢圓的標準方程為________．
三、解答題
9．求適合下列條件的橢圓的標準方程
(1)經過兩點；
(2)過點，且與橢圓＝1有相同的焦點．
10．已知橢圓E：＝1(a＞b＞0)，A(－2，0)，B(1，2)，C四個點中恰有三個點在橢圓E上，則橢圓E的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
11．橢圓＝1()的左、右焦點分別為F1，F2，A為橢圓與y軸正半軸的交點，若△AF1F2的面積為，則△AF1F2的周長為(　　)
A．8　　　B．7　　　C．6　　　D．5
12．已知F1，F2是橢圓＝1的左、右焦點，M為橢圓上的動點，則下列結論中正確的是(　　)
A．|MF2|的最大值大于3
B．|MF1|·|MF2|的最大值為4
C．∠F1MF2的最大值為60°
D．若動直線l垂直于y軸，且交橢圓于A，B兩點，P為直線l上滿足|PA|·|PB|＝2的點，則點P的軌跡方程為＝1或＝1
13．一動圓過定點A(2，0)，且與定圓B：x2＋4x＋y2－32＝0內切，則動圓圓心M的軌跡方程是________．
14．已知橢圓M與橢圓N：＝1有相同的焦點，且橢圓M過點．
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)設橢圓M的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓M上，且△PF1F2的面積為1，求點P的坐標．
15．某海域有A，B兩個島嶼，B島在A島正東4海里處，經多年觀察研究發現，某種魚群洄游的路線是曲線C，曾有漁船在距A島、B島距離和為8海里處發現過魚群，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示．
(1)求曲線C的標準方程；
(2)某日，研究人員在A，B兩島同時用聲吶探測儀發出不同頻率的探測信號(傳播速度相同)，A，B兩島收到魚群在P處反射信號的時間比為5∶3，你能否確定P處的位置(即點P的坐標)
3/3(共51張PPT)
3.1.1　橢圓及其標準方程
第三章　圓錐曲線的方程
3.1　橢圓
[學習目標]　1．理解并掌握橢圓的定義．(數學抽象)
2．掌握橢圓的標準方程的推導．(數學運算)
3．會求簡單的橢圓的標準方程．(數學運算)
整體感知
(教師用書)
我們對“橢圓形狀”并不陌生，如有些汽車油罐橫截面的輪廓、天體中一些行星和衛星運行的軌道、籃球在陽光下的投影(如圖所示)等．那么，具有怎樣特點的曲線是橢圓呢？
[討論交流]　
問題1．橢圓是如何定義的？要注意哪些問題？
問題2．如何推導橢圓的標準方程？
問題3．橢圓的標準方程有何特征？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　橢圓的定義
探究問題1　取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓．如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F1，F2(如圖)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，
畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，
變化的量是什么？不變的量又是什么？
移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么？
探究建構
[提示]　橢圓．動點M到兩定點F1，F2的距離為變量，即|MF1|，|MF2|，但距離和為常數，即|MF1|＋|MF2|為常數．筆尖到兩個定點的距離的和等于常數，即繩長，且該常數大于|F1F2|．
[新知生成]
橢圓的定義
(1)定義：把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于____(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這________叫做橢圓的焦點，_______
________叫做橢圓的焦距，焦距的____稱為半焦距．
(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數)且2a__|F1F2|．
常數
兩個定點
兩焦點
間的距離
一半
>
【教用·微提醒】　在橢圓定義中，必須2a>|F1F2|，這是橢圓定義中非常重要的一個條件；當2a＝|F1F2|時，點的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2|時，動點軌跡不存在．因此在根據橢圓定義判斷動點的軌跡時，務必注意這一隱含的條件．
[學以致用]　1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)已知點F1(－1，0)，F2(1，0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝4，則點P的軌跡是橢圓． (　　)
(2)已知點F1(－1，0)，F2(1，0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則點P的軌跡是橢圓． (　　)
(3)已知點F1(0，－1)，F2(0，1)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝1，則點P的軌跡是橢圓． (　　)
(4)橢圓定義中到兩定點的距離之和是常數，而不能是變量． (　　)
[提示] ×　因為|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以點P的軌跡不存在．
[提示] ×　因為|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以點P的軌跡是線段F1F2．
√
×
×
√
探究2　橢圓的標準方程
探究問題2　橢圓的定義中涉及兩個常數|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，結合所建坐標系，將這兩個常數設為什么形式會給計算帶來方便？
[提示]　觀察我們畫出的圖形，可以發現橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以我們以經過橢圓兩焦點F1，F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy，如圖所示，設M(x，y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c(c＞0)，那么焦點F1，F2的坐標分別為(－c，0)，(c，0)．根據橢圓的定義，設點M與焦點F1，F2的距離的和等于2a．由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因為|MF1|＝，|MF2|＝，
所以＋＝2a．①
為了化簡方程①，我們將其左邊一個根式移到右邊，得＝2a－．②
對方程②兩邊平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a，③
對方程③兩邊平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
將方程④兩邊同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由橢圓的定義可知2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0．
令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a＞b＞0)．⑥
我們將方程⑥稱為焦點在x軸上的橢圓的標準方程．
[新知生成]
橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 ＋＝1(a＞b＞0)
焦點 (－c，0)與(c，0) __________與________
a，b，c的關系 c2＝________
＝1(a>b>0)
(0，－c)
(0，c)
a2－b2
【教用·微提醒】　(1)橢圓的標準方程是指當橢圓在標準位置時的方程，所謂標準位置，就是指橢圓的中心在坐標原點，橢圓的對稱軸為坐標軸．
(2)兩種橢圓＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)的相同點是：它們的形狀、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同點是：兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不同．
(3)x2項和y2項誰的分母大，焦點就在誰的軸上．
【鏈接·教材例題】
例1　已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(－2，0)，(2，0)，并且經過點，求它的標準方程．
[解]　由于橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
由橢圓的定義知c＝2，
2a＝＋＝2，
所以a＝．所以b2＝a2－c2＝10－4＝6．
所以，所求橢圓的標準方程為＋＝1．
[典例講評]　1．求符合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)經過點(1，2)，焦點坐標分別為(0，)，(0，－)；
(2)經過P(－2，1)，Q(，－2)兩點．
[解]　(1)法一：由題知：焦點在y軸上，且c＝，設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，則b2＝a2－3，由橢圓過點(1，2)知＋＝1，解得a2＝6或a2＝2(舍去)．
所以橢圓的標準方程為＋＝1．
法二：因為焦點在y軸上，所以設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，
由橢圓定義知，2a＝＋
＝2＋2，
即a＝＋，所以a2＝6．
又c＝，所以b2＝a2－c2＝3，所以橢圓的標準方程為＋＝1．
(2)法一：①當橢圓的焦點在x軸上時，可設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
依題意，有
解得
所以橢圓的標準方程為＋＝1．
②當橢圓的焦點在y軸上時，
可設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
依題意，有解得
由a＞b＞0，知不合題意，故舍去．
故橢圓的標準方程為＋＝1．
法二：橢圓經過P(－2，1)，Q(，－2)兩點，設所求橢圓的方程為＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
把點P，Q代入得解得
所以橢圓的標準方程為＋＝1．
發現規律　試總結用待定系數法求橢圓標準方程的步驟．
[提示]　(1)定位置：根據條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能．
(2)設方程：根據上述判斷設方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1
(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找關系：根據已知條件建立關于a，b，c(或m，n)的方程組．
(4)得方程：解方程組，將解代入所設方程，寫出標準形式即為所求．
[學以致用]　2．(源自湘教版教材)求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點坐標為(－3，0)和(3，0)，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為10；
(2)焦點坐標為(0，－2)和(0，2)，且經過點(3，2)．
[解]　(1)由于橢圓的焦點在x軸上，
故可設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
由橢圓的定義知2a＝10，所以a＝5．
又因為c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16．
因此，所求橢圓的標準方程為＋＝1．
(2)由于橢圓的焦點在y軸上，故可設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
已知焦點坐標及橢圓上一點(3，2)，由橢圓的定義可知2a＝＋＝5＋3＝8，因此a＝4．
又因為c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12．
因此， 所求橢圓的標準方程為＋＝1．
探究3　橢圓定義的應用
[典例講評]　2．已知P為橢圓＋＝1上一點，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3，
從而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|． ①
由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|． ②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4．
所以＝·sin 60°＝．
[母題探究]　
1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改為“直線PF1與橢圓的另一個交點為Q”，求△PQF2的周長．
[解]　因為P，Q都在橢圓上，由橢圓的定義知
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a．又因為|PQ|＝|PF1|＋|QF1|，
所以△PQF2的周長為|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＋|PF2|＝4a．
故△PQF2的周長為4×2＝8．
2．本例中，將“∠F1PF2＝60°”改為“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面積．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3．
從而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF2|＝4．
從而有(4|PF1|)2 ＝ |PF1|2＋36，
解得|PF1|＝．
所以＝··＝××6＝，
即△F1PF2的面積是．
反思領悟　橢圓定義的應用技巧
(1)橢圓的定義能夠對橢圓上的點到焦點的距離進行轉化．
(2)橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解．
(3)若橢圓中焦點三角形的頂角∠F1PF2＝θ，則焦點三角形的面積S＝b2tan ．
【教用·備選題】　已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓E上，∠F1PF2＝2θ．
(1)求△F1PF2的面積S；
(2)研究△PF1F2的內角∠F1PF2的變化規律．
[解]　(1)如圖所示，由橢圓的定義，可得|PF1|＋|PF2|＝2a．
由余弦定理，可得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ
＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·
|PF2|·cos 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos 2θ)
＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝．
∴S＝··sin 2θ＝··sin 2θ
＝·b2＝b2tan θ．
(2)∵∠F1PF2為△PF1F2的內角，
∴2θ∈(0，π)，即θ∈．
令點P順時針方向由點A向點B運動，則△PF1F2的邊F1F2不變，但F1F2上的高逐漸增大，故S逐漸增大，從而tan θ逐漸變大．由θ∈
可知，θ也逐漸變大．由此可見，點P的縱坐標的絕對值越大，2θ也越大，當點P與點B重合時，∠F1PF2達到最大值．
[學以致用]　3．(2023·全國甲卷)設O為坐標原點，F1，F2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，點P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
√
A　[根據題意可得a＝3，b＝，c＝，
設|PF1|＝m，|PF2|＝n，∵cos ∠F1PF2＝，
∴cos ∠F1PF2＝＝，又m＋n＝2a＝6，
解得mn＝， ∴()2＝()2，
∴42＝＋2·＝m2＋n2＋mn＝(m＋n)2－mn
＝36－×＝30，
∴|OP|2＝，∴＝．故選A．]
1．已知F1，F2分別是橢圓C：＋＝1的左、右焦點，P為C上一點，若|PF1|＝4，則|PF2|＝(　　)
A．6 　　　　B．8 　　　　C．10 　　　　D．12
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
C　[由題意P為C上一點，得|PF1|＋|PF2|＝2×7＝14，因為|PF1|＝4，
所以|PF2|＝14－4＝10．故選C．]
2．已知橢圓C：＋＝1，A(0，－4)，B(0，4)，過A作直線PQ與C交于P，Q兩點，則△BPQ的周長為(　　)
A．24 　　　　B．20 　　　　C．16 　　　　D．12
2
3
題號
1
4
√
A　[∵橢圓C：＋＝1，∴a＝6，b＝2，c＝4，且焦點在y軸上，
∴A(0，－4)，B(0，4)為橢圓的焦點，又過A作直線PQ與C交于P，Q兩點，
∴△BPQ的周長為|PQ|＋|PB|＋|QB|＝|PA|＋|PB|＋(|QA|＋|QB|)＝4a＝24．故選A．]
3．(多選)對于曲線C：＋＝1，下面四個說法中正確的是(　　)
A．曲線C不可能是橢圓
B．“1＜k＜4”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件
C．“曲線C是焦點在y軸上的橢圓”是“3＜k＜4”的必要不充分條件
D．“曲線C是焦點在x軸上的橢圓”是“1＜k＜2.5”的充要條件
2
3
題號
4
1
√
√
CD　[當1＜k＜4且k≠2.5時，曲線C是橢圓，所以A錯誤；當k＝2.5時，4－k＝k－1，此時曲線C是圓，所以B錯誤；若曲線C是焦
點在y軸上的橢圓，則解得2.5＜k＜4，所以“曲
線C是焦點在y軸上的橢圓”是“3＜k＜4”的必要不充分條件，
所以C正確；若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則
解得1＜k＜2.5，所以D正確．故選CD．]
2
3
題號
4
1
4．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點，且滿足2b＝4的橢圓方程是____________．
2
4
3
題號
1
＋＝1　[由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求橢圓的焦點在y軸上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b2＝20，a2＝25，所以所求橢圓方程為＋＝1．]
＋＝1　
1．知識鏈：(1)橢圓的定義及其應用．
(2)橢圓的標準方程．
2．方法鏈：分類討論、待定系數法．
3．警示牌：(1)忽視定義中a，b，c的關系．
(2)混淆不同坐標下橢圓的兩種標準方程．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．橢圓是如何定義的？請寫出其標準方程．
[提示]　把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．
其標準方程為＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
2．當方程＋＝1表示橢圓時，m，n滿足什么條件？當方程表示焦點在x軸或y軸上的橢圓時，m，n又滿足什么條件？
[提示]　表示橢圓時，
表示焦點在x軸上的橢圓時，m>n>0，
表示焦點在y軸上的橢圓時，n>m>0．
橢圓標準方程的推理
橢圓標準方程的推理，除了課本給出的兩次平方法之外，還有幾種方法，選擇部分歸納如下：
閱讀材料
1．法國數學家洛必達的“和差法”
如圖．設長軸|AB|＝2a，短軸|CD|＝2b，焦距|F1F2|＝2c，點P(x，y)是橢圓上任意一點．
因為|PF1|＋|PF2|＝2a，所以可以設|PF1|＝a＋z，|PF2|＝a－z(z為待定參數)，
所以|PF1|2＝(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，
|PF2|2＝(a－z)2＝(x－c)2＋y2．
兩式相減得4az＝4cx，得z＝，
將z＝代入(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，
并設a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
2．英國數學家賴特的“平方差法”
如圖，點P(x，y)是橢圓上任意一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由定義得r1＋r2＝2a．
又＝(x＋c)2＋＝(x－c)2＋y2，
兩式相減得＝4cx，即(r1－r2)(r1＋r2)＝4cx，
所以r1－r2＝，所以r1＝a＋，r2＝a－．
把r1＝a＋代入＝(x＋c)2＋y2，并設a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
3．英國數學家斯蒂爾的“三角法”
如圖，點P(x，y)是橢圓上任意一點，∠PF2G＝θ，
設|PF2|＝z．因為|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－z．
在△PF1F2中，由余弦定理得(2a－z)2＝z2＋4c2－4cz cos θ．
又z cos θ＝c－x，所以(2a－z)2＝z2＋4c2－4c(c－x)，
解得z＝．
在△PGF2中，由勾股定理得z2＝＝y2＋(c－x)2，
令a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
通過這些推理方法對比，我們發現只有兩次平方法是按照定義構造方程，再對所構造的方程推理化解而得到標準方程的．其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意構造的感覺，僅僅是就問題解決問題，沒有體現方程和曲線之間關系的思想性．因此，大多數教科書用兩次平方法作為標準方程推理方法．
課時分層作業(二十五)
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橢圓及其標準方程
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS3.1　橢圓
3.1.1　橢圓及其標準方程
[學習目標]　1．理解并掌握橢圓的定義．(數學抽象)
2．掌握橢圓的標準方程的推導．(數學運算)
3．會求簡單的橢圓的標準方程．(數學運算)
(教師用書)
我們對“橢圓形狀”并不陌生，如有些汽車油罐橫截面的輪廓、天體中一些行星和衛星運行的軌道、籃球在陽光下的投影(如圖所示)等．那么，具有怎樣特點的曲線是橢圓呢？
[討論交流]　
問題1．橢圓是如何定義的？要注意哪些問題？
問題2．如何推導橢圓的標準方程？
問題3．橢圓的標準方程有何特征？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　橢圓的定義
探究問題1　取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓．如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F1，F2(如圖)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，變化的量是什么？不變的量又是什么？移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么？
[提示]　橢圓．動點M到兩定點F1，F2的距離為變量，即|MF1|，|MF2|，但距離和為常數，即|MF1|＋|MF2|為常數．筆尖到兩個定點的距離的和等于常數，即繩長，且該常數大于|F1F2|．
[新知生成]
橢圓的定義
(1)定義：把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．
(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數)且2a>|F1F2|．
【教用·微提醒】　在橢圓定義中，必須2a>|F1F2|，這是橢圓定義中非常重要的一個條件；當2a＝|F1F2|時，點的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2|時，動點軌跡不存在．因此在根據橢圓定義判斷動點的軌跡時，務必注意這一隱含的條件．
[學以致用]　1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)已知點F1(－1，0)，F2(1，0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝4，則點P的軌跡是橢圓．(　　)
(2)已知點F1(－1，0)，F2(1，0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則點P的軌跡是橢圓．(　　)
(3)已知點F1(0，－1)，F2(0，1)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝1，則點P的軌跡是橢圓．(　　)
(4)橢圓定義中到兩定點的距離之和是常數，而不能是變量．(　　)
[提示]　(1)√
(2)×　因為|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以點P的軌跡是線段F1F2．
(3)×　因為|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以點P的軌跡不存在．
(4)√
探究2　橢圓的標準方程
探究問題2　橢圓的定義中涉及兩個常數|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，結合所建坐標系，將這兩個常數設為什么形式會給計算帶來方便？
[提示]　觀察我們畫出的圖形，可以發現橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以我們以經過橢圓兩焦點F1，F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy，如圖所示，設M(x，y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c(c＞0)，那么焦點F1，F2的坐標分別為(－c，0)，(c，0)．根據橢圓的定義，設點M與焦點F1，F2的距離的和等于2a．由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因為|MF1|＝，|MF2|＝，
所以＋＝2a．①
為了化簡方程①，我們將其左邊一個根式移到右邊，得＝2a－．②
對方程②兩邊平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a，③
對方程③兩邊平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
將方程④兩邊同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由橢圓的定義可知2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0．
令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a＞b＞0)．⑥
我們將方程⑥稱為焦點在x軸上的橢圓的標準方程．
[新知生成]
橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦點 (－c，0)與(c，0) (0，－c)與(0，c)
a，b，c的關系 c2＝a2－b2
【教用·微提醒】　(1)橢圓的標準方程是指當橢圓在標準位置時的方程，所謂標準位置，就是指橢圓的中心在坐標原點，橢圓的對稱軸為坐標軸．
(2)兩種橢圓＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)的相同點是：它們的形狀、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同點是：兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不同．
(3)x2項和y2項誰的分母大，焦點就在誰的軸上．
【鏈接·教材例題】
例1　已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(－2，0)，(2，0)，并且經過點，求它的標準方程．
[解]　由于橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
由橢圓的定義知c＝2，2a＝＋
＝2，
所以a＝．
所以b2＝a2－c2＝10－4＝6．
所以，所求橢圓的標準方程為
＋＝1．
[典例講評]　1．求符合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)經過點(1，2)，焦點坐標分別為(0，)，(0，－)；
(2)經過P(－2，1)，Q(，－2)兩點．
[解]　(1)法一：由題知：焦點在y軸上，且c＝，設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，則b2＝a2－3，由橢圓過點(1，2)知＋＝1，解得a2＝6或a2＝2(舍去)．
所以橢圓的標準方程為＋＝1．
法二：因為焦點在y軸上，所以設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，
由橢圓定義知，2a＝＋＝2＋2，
即a＝＋，所以a2＝6．
又c＝，所以b2＝a2－c2＝3，
所以橢圓的標準方程為＋＝1．
(2)法一：①當橢圓的焦點在x軸上時，可設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
依題意，有
解得
所以橢圓的標準方程為＋＝1．
②當橢圓的焦點在y軸上時，可設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
依題意，有解得
由a＞b＞0，知不合題意，故舍去．
故橢圓的標準方程為＋＝1．
法二：橢圓經過P(－2，1)，Q(，－2)兩點，設所求橢圓的方程為＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
把點P，Q代入得解得所以橢圓的標準方程為＋＝1．
　試總結用待定系數法求橢圓標準方程的步驟．
[提示]　(1)定位置：根據條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能．
(2)設方程：根據上述判斷設方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找關系：根據已知條件建立關于a，b，c(或m，n)的方程組．
(4)得方程：解方程組，將解代入所設方程，寫出標準形式即為所求．
[學以致用]　2．(源自湘教版教材)求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點坐標為(－3，0)和(3，0)，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為10；
(2)焦點坐標為(0，－2)和(0，2)，且經過點(3，2)．
[解]　(1)由于橢圓的焦點在x軸上，故可設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
由橢圓的定義知2a＝10，所以a＝5．
又因為c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16．
因此，所求橢圓的標準方程為＋＝1．
(2)由于橢圓的焦點在y軸上，故可設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
已知焦點坐標及橢圓上一點(3，2)，由橢圓的定義可知2a＝＋＝5＋3＝8，因此a＝4．
又因為c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12．
因此， 所求橢圓的標準方程為＋＝1．
探究3　橢圓定義的應用
[典例講評]　2．已知P為橢圓＋＝1上一點，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3，
從而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①
由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4．
所以＝·sin 60°＝．
[母題探究]　
1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改為“直線PF1與橢圓的另一個交點為Q”，求△PQF2的周長．
[解]　因為P，Q都在橢圓上，由橢圓的定義知
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a．
又因為|PQ|＝|PF1|＋|QF1|，
所以△PQF2的周長為|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＋|PF2|＝4a．
故△PQF2的周長為4×2＝8．
2．本例中，將“∠F1PF2＝60°”改為“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面積．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3．
從而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由橢圓定義知
|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF2|＝4．
從而有(4)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝．
所以＝··＝××6＝，即△F1PF2的面積是．
　橢圓定義的應用技巧
(1)橢圓的定義能夠對橢圓上的點到焦點的距離進行轉化．
(2)橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解．
(3)若橢圓中焦點三角形的頂角∠F1PF2＝θ，則焦點三角形的面積S＝b2tan ．
【教用·備選題】　已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓E上，∠F1PF2＝2θ．
(1)求△F1PF2的面積S；
(2)研究△PF1F2的內角∠F1PF2的變化規律．
[解]　(1)如圖所示，由橢圓的定義，可得
|PF1|＋|PF2|＝2a．
由余弦定理，可得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos 2θ)＝4c2，
∴|PF1|·|PF2|＝．
∴S＝··sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2tan θ．
(2)∵∠F1PF2為△PF1F2的內角，
∴2θ∈(0，π)，即θ∈．
令點P順時針方向由點A向點B運動，則△PF1F2的邊F1F2不變，但F1F2上的高逐漸增大，故S逐漸增大，從而tan θ逐漸變大．由θ∈可知，θ也逐漸變大．由此可見，點P的縱坐標的絕對值越大，2θ也越大，當點P與點B重合時，∠F1PF2達到最大值．
[學以致用]　3．(2023·全國甲卷)設O為坐標原點，F1，F2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，點P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． B． C． D．
A　[根據題意可得a＝3，b＝，c＝，
設|PF1|＝m，|PF2|＝n，∵cos ∠F1PF2＝，
∴cos ∠F1PF2＝＝，又m＋n＝2a＝6，解得mn＝，
∴()2＝()2，
∴42＝2＋2·＝m2＋n2＋mn＝(m＋n)2－mn＝36－×＝30，
∴|OP|2＝，∴＝．故選A．]
1．已知F1，F2分別是橢圓C：＋＝1的左、右焦點，P為C上一點，若|PF1|＝4，則|PF2|＝(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
C　[由題意P為C上一點，得|PF1|＋|PF2|＝2×7＝14，因為|PF1|＝4，
所以|PF2|＝14－4＝10．
故選C．]
2．已知橢圓C：＋＝1，A(0，－4)，B(0，4)，過A作直線PQ與C交于P，Q兩點，則△BPQ的周長為(　　)
A．24 B．20 C．16 D．12
A　[∵橢圓C：＋＝1，∴a＝6，b＝2，c＝4，且焦點在y軸上，
∴A(0，－4)，B(0，4)為橢圓的焦點，又過A作直線PQ與C交于P，Q兩點，
∴△BPQ的周長為|PQ|＋|PB|＋|QB|＝|PA|＋|PB|＋(|QA|＋|QB|)＝4a＝24．
故選A．]
3．(多選)對于曲線C：＋＝1，下面四個說法中正確的是(　　)
A．曲線C不可能是橢圓
B．“1＜k＜4”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件
C．“曲線C是焦點在y軸上的橢圓”是“3＜k＜4”的必要不充分條件
D．“曲線C是焦點在x軸上的橢圓”是“1＜k＜2.5”的充要條件
CD　[當1＜k＜4且k≠2.5時，曲線C是橢圓，所以A錯誤；當k＝2.5時，4－k＝k－1，此時曲線C是圓，所以B錯誤；若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則解得2.5＜k＜4，所以“曲線C是焦點在y軸上的橢圓”是“3＜k＜4”的必要不充分條件，所以C正確；若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則解得1＜k＜2.5，所以D正確．故選CD．]
4．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點，且滿足2b＝4的橢圓方程是________．
＋＝1　[由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求橢圓的焦點在y軸上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b2＝20，a2＝25，所以所求橢圓方程為＋＝1．]
1．知識鏈：(1)橢圓的定義及其應用．
(2)橢圓的標準方程．
2．方法鏈：分類討論、待定系數法．
3．警示牌：(1)忽視定義中a，b，c的關系．
(2)混淆不同坐標下橢圓的兩種標準方程．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．橢圓是如何定義的？請寫出其標準方程．
[提示]　把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．
其標準方程為＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
2．當方程＋＝1表示橢圓時，m，n滿足什么條件？當方程表示焦點在x軸或y軸上的橢圓時，m，n又滿足什么條件？
[提示]　表示橢圓時，
表示焦點在x軸上的橢圓時，m>n>0，
表示焦點在y軸上的橢圓時，n>m>0．
橢圓標準方程的推理
橢圓標準方程的推理，除了課本給出的兩次平方法之外，還有幾種方法，選擇部分歸納如下：
1．法國數學家洛必達的“和差法”
如圖．設長軸|AB|＝2a，短軸|CD|＝2b，焦距|F1F2|＝2c，點P(x，y)是橢圓上任意一點．
因為|PF1|＋|PF2|＝2a，所以可以設|PF1|＝a＋z，|PF2|＝a－z(z為待定參數)，
所以|PF1|2＝(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，
|PF2|2＝(a－z)2＝(x－c)2＋y2．
兩式相減得4az＝4cx，得z＝，
將z＝代入(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，并設a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
2．英國數學家賴特的“平方差法”
如圖，點P(x，y)是橢圓上任意一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由定義得r1＋r2＝2a．
又＝(x＋c)2＋＝(x－c)2＋y2，
兩式相減得＝4cx，即(r1－r2)(r1＋r2)＝4cx，
所以r1－r2＝，所以r1＝a＋，r2＝a－．
把r1＝a＋代入＝(x＋c)2＋y2，并設a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
3．英國數學家斯蒂爾的“三角法”
如圖，點P(x，y)是橢圓上任意一點，∠PF2G＝θ，設|PF2|＝z．
因為|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－z．
在△PF1F2中，由余弦定理得(2a－z)2＝z2＋4c2－4cz cos θ．
又z cos θ＝c－x，所以(2a－z)2＝z2＋4c2－4c(c－x)，
解得z＝．
在△PGF2中，由勾股定理得z2＝＝y2＋(c－x)2，
令a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
通過這些推理方法對比，我們發現只有兩次平方法是按照定義構造方程，再對所構造的方程推理化解而得到標準方程的．其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意構造的感覺，僅僅是就問題解決問題，沒有體現方程和曲線之間關系的思想性．因此，大多數教科書用兩次平方法作為標準方程推理方法．
課時分層作業(二十五)　橢圓及其標準方程
一、選擇題
1．(多選)已知在平面直角坐標系中，點A(－3，0)，B(3，0)，點P為一動點，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列說法中正確的是(　　)
A．當a＝2時，點P的軌跡不存在
B．當a＝4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為3
C．當a＝4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為6
D．當a＝3時，點P的軌跡是以AB為直徑的圓
AC　[當a＝2時，2a＝4＜|AB|，故點P的軌跡不存在，A正確；
當a＝4時，2a＝8＞|AB|，故點P的軌跡是橢圓，且焦距為|AB|＝6，B錯誤，C正確；
當a＝3時，2a＝6＝|AB|，故點P的軌跡為線段AB，D錯誤．]
2．已知橢圓＋＝1的焦點在x軸上，若焦距為4，則m等于(　　)
A．4 B．5 C．7 D．8
A　[∵橢圓＋＝1的焦點在x軸上，焦距為4，
∴10－m－m＋2＝4，解得m＝4，滿足題意．故選A．]
3．方程＋＝10，化簡的結果是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
B　[方程＋＝10，
表示平面內到定點F1(2，0)，F2(－2，0)的距離的和是常數10(10＞4)的點的軌跡，
∴它的軌跡是以F1，F2為焦點，2a＝10，焦距2c＝4的橢圓，
∴a＝5，c＝2，b＝＝，∴橢圓的方程是＋＝1．故選B．]
4．“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示橢圓”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
B　[若方程＋＝1表示橢圓，
則滿足
即
即1＜m＜3且m≠2，此時1＜m＜3成立，即必要性成立，
當m＝2時，滿足1＜m＜3，但此時方程＋＝1為＋＝1，表示圓，不是橢圓，不滿足條件，即充分性不成立．
故“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示橢圓”的必要不充分條件．故選B．]
5．若橢圓＋＝1上一點P到左焦點F1的距離為6，F2是右焦點，則△F1PF2的面積是(　　)
A．4 B．8 C．8 D．16
C　[由橢圓定義可得|PF1|＋|PF2|＝10，
又|PF1|＝6，∴|PF2|＝4，又|F1F2|＝2＝6，
∴由余弦定理的推論可得：cos ∠F1PF2＝＝，
∴sin ∠F1PF2＝＝，
∴＝＝8．故選C．]
二、填空題
6．在平面直角坐標系中，已知△ABC頂點A(－4，0)和C(4，0)，頂點B在橢圓＋＝1上，則＝________．
　[利用橢圓定義得|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10，
由正弦定理得＝＝＝．]
7．已知橢圓＋＝1上的點P到一個焦點的距離為3，則P到另一個焦點的距離為________．
7　[橢圓＋＝1中2a＝10，
∵橢圓＋＝1上的點P到一個焦點的距離為3，∴P到另一個焦點的距離為10－3＝7．]
8．設F1，F2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，若a＝2b，則橢圓的標準方程為________．
＋y2＝1　[∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，
∵|PF1|·|PF2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，解得b2＝1，則a2＝4，
故橢圓的標準方程為＋y2＝1．]
三、解答題
9．求適合下列條件的橢圓的標準方程
(1)經過兩點(2，－)，；
(2)過點(，－)，且與橢圓＋＝1有相同的焦點．
[解]　(1)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
則解得
故橢圓的標準方程為＋＝1．
(2)由已知橢圓方程可得焦點坐標為(0，±4)，則可設所求的橢圓方程為＋＝1(其中m＞16)，
代入點(，－)，解得m＝20或m＝4(舍去)，
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1．
10．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)，A(－2，0)，B(1，2)，C，D四個點中恰有三個點在橢圓E上，則橢圓E的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
B　[因為C與D關于x軸對稱，所以點C，D在橢圓上，點B不在橢圓上，點A在橢圓上，所以解得a2＝4，b2＝3，
所以橢圓E的方程為＋＝1．故選B．]
11．橢圓＋＝1(a＞)的左、右焦點分別為F1，F2，A為橢圓與y軸正半軸的交點，若△AF1F2的面積為，則△AF1F2的周長為(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
C　[由橢圓＋＝1(a＞)知b＝，設半焦距為c，則△AF1F2的面積S＝·b＝c，由題意得c＝，∴c＝1，a＝＝2，
由橢圓的定義得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
又|F1F2|＝2c＝2，則△AF1F2的周長為4＋2＝6．
故選C．]
12．已知F1，F2是橢圓＋＝1的左、右焦點，M為橢圓上的動點，則下列結論中正確的是(　　)
A．|MF2|的最大值大于3
B．|MF1|·|MF2|的最大值為4
C．∠F1MF2的最大值為60°
D．若動直線l垂直于y軸，且交橢圓于A，B兩點，P為直線l上滿足|PA|·|PB|＝2的點，則點P的軌跡方程為＋＝1或＋＝1
BCD　[由橢圓方程得a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)．
選項A中，|MF2|max＝a＋c＝3，A錯誤；
選項B中，|MF1|·|MF2|≤＝4，當且僅當|MF1|＝|MF2|時取等號，B正確；
選項C中，當點M為橢圓與y軸的交點時，∠F1MF2取得最大值，取M(0，)，
得tan ＝，
所以＝30°，∠F1MF2＝60°，C正確；
選項D中，設P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)．
因為|PA|·|PB|＝2，所以|x－x1|·|x＋x1|＝2，
所以＝2，即＝x2＋2或＝x2－2．
又由題意知＋＝1，
所以＋＝1或＋＝1，
化簡得＋＝1或＋＝1，D正確．故選BCD．]
13．一動圓過定點A(2，0)，且與定圓B：x2＋4x＋y2－32＝0內切，則動圓圓心M的軌跡方程是________．
＋＝1　[圓B的方程化為標準方程形式為(x＋2)2＋y2＝36，
其圓心為B(－2，0)，半徑R＝6．
設動圓圓心M的坐標為(x，y)，半徑為r，
由題意可知，|MB|＝R－r，又r＝|MA|，所以|MB|＝R－|MA|，故|MB|＋|MA|＝6＞|AB|＝4．由橢圓的定義知，點M的軌跡是以B(－2，0)，A(2，0)為焦點的橢圓．設橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，則a＝3，c＝2，b＝＝，所以動圓圓心M的軌跡方程是＋＝1．]
14．已知橢圓M與橢圓N：＋＝1有相同的焦點，且橢圓M過點．
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)設橢圓M的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓M上，且△PF1F2的面積為1，求點P的坐標．
[解]　(1)由題意，知橢圓N的焦點為(－2，0)，(2，0)，
設橢圓M的方程為＋＝1(a>b>0)，
則化簡并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故橢圓M的標準方程為＋y2＝1．
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
設P(x0，y0)，則△PF1F2的面積為＝1，解得y0＝±．
又＋＝1，所以＝，x0＝±，
所以點P有4個，它們的坐標分別為，，，．
15．某海域有A，B兩個島嶼，B島在A島正東4海里處，經多年觀察研究發現，某種魚群洄游的路線是曲線C，曾有漁船在距A島、B島距離和為8海里處發現過魚群，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示．
(1)求曲線C的標準方程；
(2)某日，研究人員在A，B兩島同時用聲吶探測儀發出不同頻率的探測信號(傳播速度相同)，A，B
兩島收到魚群在P處反射信號的時間比為5∶3，你能否確定P處的位置(即點P的坐標)
[解]　(1)由題意知曲線C是以A，B為焦點且2a為8的橢圓，又2c＝4，則c＝2，a＝4，故b＝2，
∴曲線C的標準方程為＋＝1．
(2)由于A，B兩島收到魚群反射信號的時間比為5∶3，因此設魚群此時距A，B兩島的距離比為5∶3，即魚群分別距A，B兩島的距離為5海里和3海里，設P(x，y)，由B(2，0)，|PB|＝3，得＝3，
∴解得或
∴點P的坐標為(2，3)或(2，－3)．
18/183.1　橢圓
3.1.1　橢圓及其標準方程
[學習目標]　1．理解并掌握橢圓的定義．(數學抽象)
2．掌握橢圓的標準方程的推導．(數學運算)
3．會求簡單的橢圓的標準方程．(數學運算)
[討論交流]　
問題1．橢圓是如何定義的？要注意哪些問題？
問題2．如何推導橢圓的標準方程？
問題3．橢圓的標準方程有何特征？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　橢圓的定義
探究問題1　取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓．如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F1，F2(如圖)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，變化的量是什么？不變的量又是什么？移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么？
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[新知生成]
橢圓的定義
(1)定義：把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于________(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這________叫做橢圓的焦點，________叫做橢圓的焦距，焦距的________稱為半焦距．
(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數)且2a________|F1F2|．
[學以致用]　1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)已知點F1(－1，0)，F2(1，0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝4，則點P的軌跡是橢圓． (　　)
(2)已知點F1(－1，0)，F2(1，0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則點P的軌跡是橢圓． (　　)
(3)已知點F1(0，－1)，F2(0，1)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝1，則點P的軌跡是橢圓． (　　)
(4)橢圓定義中到兩定點的距離之和是常數，而不能是變量． (　　)
探究2　橢圓的標準方程
探究問題2　橢圓的定義中涉及兩個常數|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，結合所建坐標系，將這兩個常數設為什么形式會給計算帶來方便？
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[新知生成]
橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 ________________ ＝1(a＞b＞0)
焦點 (－c，0)與(c，0) ________與________
a，b，c的關系 c2＝________
[典例講評]　1．求符合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)經過點(1，2)，焦點坐標分別為；
(2)經過P，Q兩點．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　試總結用待定系數法求橢圓標準方程的步驟．
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[學以致用]　2．(源自湘教版教材)求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點坐標為(－3，0)和(3，0)，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為10；
(2)焦點坐標為(0，－2)和(0，2)，且經過點(3，2)．
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探究3　橢圓定義的應用
[典例講評]　2．已知P為橢圓＝1上一點，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　
1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改為“直線PF1與橢圓的另一個交點為Q”，求△PQF2的周長．
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2．本例中，將“∠F1PF2＝60°”改為“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面積．
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　橢圓定義的應用技巧
(1)橢圓的定義能夠對橢圓上的點到焦點的距離進行轉化．
(2)橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解．
(3)若橢圓中焦點三角形的頂角∠F1PF2＝θ，則焦點三角形的面積S＝b2tan ．
[學以致用]　3．(2023·全國甲卷)設O為坐標原點，F1，F2為橢圓C：＝1的兩個焦點，點P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． B． C． D．
1．已知F1，F2分別是橢圓C：＝(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
2．已知橢圓C：＝1，A(0，－4)，B(0，4)，過A作直線PQ與C交于P，Q兩點，則△BPQ的周長為(　　)
A．24 B．20 C．16 D．12
3．(多選)對于曲線C：＝1，下面四個說法中正確的是(　　)
A．曲線C不可能是橢圓
B．“1＜k＜4”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件
C．“曲線C是焦點在y軸上的橢圓”是“3＜k＜4”的必要不充分條件
D．“曲線C是焦點在x軸上的橢圓”是“1＜k＜2.5”的充要條件
4．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點，且滿足2b＝4的橢圓方程是________．
1．知識鏈：(1)橢圓的定義及其應用．
(2)橢圓的標準方程．
2．方法鏈：分類討論、待定系數法．
3．警示牌：(1)忽視定義中a，b，c的關系．
(2)混淆不同坐標下橢圓的兩種標準方程．
橢圓標準方程的推理
橢圓標準方程的推理，除了課本給出的兩次平方法之外，還有幾種方法，選擇部分歸納如下：
1．法國數學家洛必達的“和差法”
如圖．設長軸|AB|＝2a，短軸|CD|＝2b，焦距|F1F2|＝2c，點P(x，y)是橢圓上任意一點．
因為|PF1|＋|PF2|＝2a，所以可以設|PF1|＝a＋z，|PF2|＝a－z(z為待定參數)，
所以|PF1|2＝(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，
|PF2|2＝(a－z)2＝(x－c)2＋y2．
兩式相減得4az＝4cx，得z＝，
將z＝代入(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，并設a2－c2＝b2，整理得＝1．
2．英國數學家賴特的“平方差法”
如圖，點P(x，y)是橢圓上任意一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由定義得r1＋r2＝2a．
又＝(x＋c)2＋＝(x－c)2＋y2，
兩式相減得＝4cx，即(r1－r2)(r1＋r2)＝4cx，
所以r1－r2＝，所以r1＝a＋．
把r1＝a＋代入＝(x＋c)2＋y2，并設a2－c2＝b2，整理得＝1．
3．英國數學家斯蒂爾的“三角法”
如圖，點P(x，y)是橢圓上任意一點，∠PF2G＝θ，設|PF2|＝z．
因為|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－z．
在△PF1F2中，由余弦定理得(2a－z)2＝z2＋4c2－4cz cos θ．
又z cos θ＝c－x，所以(2a－z)2＝z2＋4c2－4c(c－x)，解得z＝．
在△PGF2中，由勾股定理得z2＝＝y2＋(c－x)2，
令a2－c2＝b2，整理得＝1．
通過這些推理方法對比，我們發現只有兩次平方法是按照定義構造方程，再對所構造的方程推理化解而得到標準方程的．其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意構造的感覺，僅僅是就問題解決問題，沒有體現方程和曲線之間關系的思想性．因此，大多數教科書用兩次平方法作為標準方程推理方法．
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