資源簡介

(共34張PPT)
第2課時　雙曲線及其標準方程的應用
第三章　圓錐曲線的方程
3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線及其標準方程
[學習目標]　1．會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題．(邏輯推理、數學運算)
2．雙曲線在實際生活中的應用．(數學建模、數學運算)
整體感知
(教師用書)
上節我們研究了雙曲線的定義、標準方程．這節我們進一步研究利用雙曲線的定義求軌跡方程、求最值及一些與雙曲線有關的實際問題．
[討論交流]　
問題1．雙曲線的定義是什么？
問題2．如何建立實際問題的雙曲線模型？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線的實際生活應用
【鏈接·教材例題】
例2　已知A，B兩地相距800 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚
2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．
探究建構
[分析]　先根據題意判斷軌跡的形狀．由聲速及A，B兩處聽到炮彈爆炸聲的時間差，可知A，B兩處與爆炸點的距離的差為定值，所以爆炸聲在以A，B為焦點的雙曲線上，因為爆炸點離A處比離B處遠，所以爆炸點應在靠近B處的雙曲線的一支上．
[解]　如圖3.2-5，建立平面直角坐標系Oxy，使A，B兩點在x軸上，并且原點O與線段AB的中點重合．
設炮彈爆炸點P的坐標為(x，y)，則
|PA|－|PB|＝340×2＝680，即2a＝680，a＝340．
又|AB|＝800，所以2c＝800，c＝400，
b2＝c2－a2＝44 400．
因為|PA|－|PB|＝680＞0，
所以點P的軌跡是雙曲線的右支，因此x≥340．
所以，炮彈爆炸點的軌跡方程為－＝1(x≥340)．
【鏈接·教材例題】
例4　雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面(圖3.2-10(1))．它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高為55 m．試建立適當的坐標系，求出此雙曲線的方程(精確到1 m)．
[解]　根據雙曲線的對稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖3.2-10(2)所示的直角坐標系Oxy，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點重合．這時，上、下口的直徑CC′，BB′都平行于x軸，且|CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2．
設雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，點C的坐標為(13，y)，
則點B的坐標為(25，y－55)．
因為直徑AA′是實軸，所以a＝12．又B，C兩點都在雙曲線上，所以
由方程②，得y＝(負值舍去)．代入方程①，得
－＝1．
化簡得19b2＋275b－18 150＝0．　③
解方程③，得
b≈25(負值舍去)．
因此所求雙曲線的方程為－＝1．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)相距2 km的兩個哨所A，B聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B哨所遲
4 s．已知當時的聲速為340 m/s，試判斷爆炸點在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程．
[解]　設爆炸點為P，由已知，得
|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)．
因為|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，|PA|>|PB|，
所以點P在以點A，B為焦點的雙曲線并靠近點
B的那一支上．
以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，
建立平面直角坐標系(如圖所示)．
由題意可知2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000，
b2＝c2－a2＝537 600．
因此，點P所在曲線是雙曲線的右支，它的方程是－＝1(x>0)．
反思領悟　利用雙曲線解決實際問題的基本步驟
(1)建立適當的坐標系．
(2)求出雙曲線的標準方程．
(3)根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題(注意實際意義)．
[學以致用]　1．如圖，B地在A地的正東方向6 km處，C地在A地的北偏東60°方向6 km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠4 km，則曲線PQ的軌跡方程(以AB中點為原點)是 ；現要在曲線PQ上任一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉運貨物，那么這兩條公路MB，MC的路程之和最短是________km．
6－4
－＝1(x≥2)
－＝1(x≥2)　6－4　[以AB所在的直線為x軸，
AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，
如圖，由題意得|MA|－|MB|＝4＜6，
根據雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，故2a＝4，a＝2，2c＝6，c＝3，b＝，所以曲線PQ的軌跡方程為－＝1(x≥2)．因為|AC|＝6＝|MC|＋|MA|－2a≥|AC|－4＝6－4，當且僅當A，M，C三點共線時等號成立．所以這兩條公路MB，MC的路程之和最短為(6－4) km．]
探究2　雙曲線定義的應用
[典例講評]　2．已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別是F1，F2．若雙曲線上一點P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．
[解]　由定義和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝··sin ∠F1PF2＝×64×＝16．
[母題探究]　1．若將本例中的“∠F1PF2＝60°”改為“|PF1|·
|PF2|＝32”，求△F1PF2的面積．
2．若將本例中的“∠F1PF2＝60°”改為“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面積．
[解]　(1)將||PF2|－|PF1||＝2a＝6，兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．
在△F1PF2中，由余弦定理的推論得cos ∠F1PF2＝
＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，
∴＝＝×32＝16．
(2)由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，∴＝×4×＝8．
反思領悟　在解與焦點三角形(△PF1F2)有關的問題時，一般地，可由雙曲線的定義，得|PF1|與|PF2|的關系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|與|PF2|的關系式，從而求出|PF1|與|PF2|的值．但是，一般我們不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根據需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一個整體來處理．
[學以致用]　2．已知F1，F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積為(　　)
A．4　　　B．8　　　C．24　　　D．48
C　[由題意，得解得
＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
則＝·＝24．]
√
探究3　利用雙曲線的定義求最值
[典例講評]　3．已知定點A(3，1)，F是雙曲線－＝1的右焦點，P是雙曲線右支上的動點，則|PA|＋|PF|的最小值為(　　)
A． B．5＋4
C．5－4 D．＋4
√
C　[設F1是雙曲線的左焦點，根據雙曲線的定義及P是雙曲線右支上的動點可得|PF1|－|PF|＝2a，所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，
結合圖形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5，
當且僅當P，A，F1三點共線時取得等號，即點P在P′處時取得最小值，
所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4，
所以－4．]
反思領悟　在求解與雙曲線有關的長度問題時，注意定義的應用，在求距離的和時往往需要利用定義進行轉化，注意最值取得的條件，往往在三點共線時取到．
[學以致用]　3．已知A(－4，0)，B是圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的點，點P在雙曲線－＝1的右支上，則|PA|＋|PB|的最小值為(　　)
A．9 　　　　B．2＋6 　　　　C．10 　　　　D．12
√
C　[由題知點C(1，4)，點B在圓C上，
則|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，
由點P在雙曲線右支上，點A為雙曲線左焦點，
設A′為雙曲線右焦點，
所以由雙曲線定義知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10．]
1．一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2 s(聲速為340 m/s)，則爆炸點所在曲線可能為(　　)
A．橢圓的一部分 B．雙曲線的一支
C．線段 D．圓
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[設爆炸點為P，由聲速為340 m/s，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2 s，
則|PA|－|PB|＝680；當680＜|AB|時，點P所在的軌跡為雙曲線的一支；
當680＝|AB|時，點P所在的軌跡為一條射線．故選B．]
2．已知橢圓＋＝1和雙曲線－y2＝1的公共焦點為F1，F2，P是兩曲線的一個交點，那么cos ∠F1PF2的值是(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
2
3
題號
1
4
√
A　[不妨設點P在第一象限，F1，F2分別為左、右焦點．
因為P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝2．
又P在雙曲線上，所以|PF1|－|PF2|＝2．
兩式聯立，得|PF1|＝＋＝－．
又|F1F2|＝4，所以根據余弦定理可以求得cos ∠F1PF2＝．]
3．已知F1，F2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，P(3，1)為雙曲線內一點，點A在雙曲線的右支上，則|AP|＋|AF2|的最小值為(　　)
A．＋4 B．－4
C．－2 D．＋2
2
3
題號
4
1
√
C　[因為|AF1|－|AF2|＝2，∴＝．則|AP|＋|AF2|＝
的最小值．如圖，連接F1P交雙曲線的右支于點A0．當點A位于點A0處時，|AP|＋|AF1|最小，最小值為|PF1|＝＝．
故－2，故選C．]
2
3
題號
4
1
4．雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，雙曲線上的點P滿足∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于____．
2
4
3
題號
1
4　[在雙曲線x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝，
設P在右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2＝4．]
4　
1．知識鏈：(1)雙曲線的實際應用．
(2)雙曲線定義的應用．
(3)利用雙曲線的定義求最值．
2．方法鏈：坐標法、轉化法．
3．警示牌：雙曲線在實際生活的應用中，建模出錯．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P是雙曲線左支上一點，則|PF1|，|PF2|的最小值分別是多少？
[提示]　|PF1|的最小值為c－a，|PF2|的最小值為a＋c．
課時分層作業(二十九)
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雙曲線及其標準方程的應用
（WORD版）
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THANKS課時分層作業(二十九)　雙曲線及其標準方程的應用
一、選擇題
1．人們在進行工業設計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學性質．從雙曲線右焦點F2發出的光線通過雙曲線鏡面反射出發散光線，且反射光線的反向延長線經過左焦點F1．已知雙曲線的方程為x2－y2＝1，則當入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時(其中P為入射點)，∠F1F2P的余弦值大小為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．已知雙曲線C：＝1的左、右焦點分別為F1，F2，P為C右支上的一點，且|PF2|＝|F1F2|，則△PF1F2的面積等于(　　)
A．24　　　B．36　　　C．48　　　D．96
3．數學讓建筑更富藝術的神韻，數學的美也被建筑表現得淋漓盡致．已知圖1是單葉雙曲面型建筑，圖2是其中截面最細附近處的部分圖象，上、下底面與地面平行．現測得下底面直徑AB＝20 米，上底面直徑CD＝20 米，AB與CD間的距離為80米，與上、下底面等距離的G處的直徑等于CD，則最細部分處的直徑為(　　)
A．10米 B．20米
C．10米 D．10米
4．某農戶在自家地塊開起生態農家樂，如圖所示，建設了三個功能區：△ABC為魚塘休閑區，矩形BCMN為果園種植區，以CM為直徑的半圓為住宿區．現農戶欲對果園進行施肥，運來一批肥料放置于點A處，要把這批肥料沿魚塘兩側的道路AB，AC送到矩形BCMN的果園種植區去，若AB＝CB＝2 km，AC＝1 km，該農戶在矩形BCMN果園中畫定了一條界線，使位于界線一側的點沿道路AB運送肥料較近，而另一側的點沿道路AC運送肥料較近，設這條界線是曲線E的一部分，則曲線E為(　　)
A．圓　　　B．橢圓　　　C．拋物線　　　D．雙曲線
5．設雙曲線C：x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點M在C的右支上，且∠MF1F2＝30°，則△MF1F2的面積為(　　)
A．2　　　B．　　　C．2　　　D．4＋2
二、填空題
6．已知雙曲線的兩個焦點F1，F2的坐標分別為()和()，點P在雙曲線上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面積為1，則雙曲線的方程為________．
7．已知F1，F2分別是雙曲線C：＝1的左、右焦點，P為雙曲線C上的一點．若△PF1F2為直角三角形，則△PF1F2的面積等于________．
8．設F1，F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點．若P在雙曲線上，且·＝0，則＝________．
三、解答題
9．設F1，F2分別是雙曲線＝1的左、右焦點．
(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；
(2)若P是雙曲線左支上一點，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積．
10．(多選)已知點P在雙曲線C：＝1上，F1，F2分別是雙曲線C的左、右焦點，若△PF1F2的面積為20，則(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝8
B．|PF1|＋|PF2|＝
C．點P到x軸的距離為4
D．∠F1PF2＝
11．若點P在曲線C1：＝1上，點Q在曲線C2：(x－5)2＋y2＝1上，點R在曲線C3：(x＋5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．9　　　B．10　　　C．11　　　D．12
12．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的黏合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|＝2，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為________．
13．A，B，C是我方三個炮兵陣地，A在B正東6 km處，C在B北偏西30°方向4 km處，P為敵炮陣地．某時刻，在A處發現敵炮陣地的某種信號，由于B，C兩地比A地距P地遠，因此經過4 s后，B，C才同時發現這一信號，此信號的傳播速度為1 km/s，若A地需炮擊P地，則炮擊的方向角為北偏東________．
14．某工程隊需要開挖一個橫截面為半圓的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP運到P處(如圖)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，試說明怎樣運土才能最省工．
15．如圖，P是雙曲線＝1(a＞0，b＞0)上任意一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，當點P，F1，F2不在同一條直線上時，它們構成一個三角形(焦點三角形)．若∠F1PF2＝θ，求證．
4/4第2課時　雙曲線及其標準方程的應用
[學習目標]　1．會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題．(邏輯推理、數學運算)
2．雙曲線在實際生活中的應用．(數學建模、數學運算)
(教師用書)
上節我們研究了雙曲線的定義、標準方程．這節我們進一步研究利用雙曲線的定義求軌跡方程、求最值及一些與雙曲線有關的實際問題．
[討論交流]　
問題1．雙曲線的定義是什么？
問題2．如何建立實際問題的雙曲線模型？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線的實際生活應用
【鏈接·教材例題】
例2　已知A，B兩地相距800 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．
[分析]　先根據題意判斷軌跡的形狀．由聲速及A，B兩處聽到炮彈爆炸聲的時間差，可知A，B兩處與爆炸點的距離的差為定值，所以爆炸聲在以A，B為焦點的雙曲線上，因為爆炸點離A處比離B處遠，所以爆炸點應在靠近B處的雙曲線的一支上．
[解]　如圖3.2-5，建立平面直角坐標系Oxy，使A，B兩點在x軸上，并且原點O與線段AB的中點重合．
設炮彈爆炸點P的坐標為(x，y)，則
|PA|－|PB|＝340×2＝680，
即2a＝680，a＝340．
又|AB|＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400．
因為|PA|－|PB|＝680＞0，所以點P的軌跡是雙曲線的右支，因此x≥340．
所以，炮彈爆炸點的軌跡方程為
－＝1(x≥340)．
【鏈接·教材例題】
例4　雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面(圖3.2-10(1))．它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高為55 m．試建立適當的坐標系，求出此雙曲線的方程(精確到1 m)．
[解]　根據雙曲線的對稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖3.2-10(2)所示的直角坐標系Oxy，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點重合．這時，上、下口的直徑CC′，BB′都平行于x軸，且|CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2．
設雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，點C的坐標為(13，y)，則點B的坐標為(25，y－55)．
因為直徑AA′是實軸，所以a＝12．又B，C兩點都在雙曲線上，所以
由方程②，得y＝(負值舍去)．代入方程①，得
－＝1．
化簡得19b2＋275b－18 150＝0．　③
解方程③，得
b≈25(負值舍去)．
因此所求雙曲線的方程為－＝1．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)相距2 km的兩個哨所A，B聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B哨所遲4 s．已知當時的聲速為340 m/s，試判斷爆炸點在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程．
[解]　設爆炸點為P，由已知，得
|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)．
因為|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，|PA|>|PB|，所以點P在以點A，B為焦點的雙曲線并靠近點B的那一支上．
以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖所示)．
由題意可知2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000，
b2＝c2－a2＝537 600．
因此，點P所在曲線是雙曲線的右支，它的方程是－＝1(x>0)．
　利用雙曲線解決實際問題的基本步驟
(1)建立適當的坐標系．
(2)求出雙曲線的標準方程．
(3)根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題(注意實際意義)．
[學以致用]　1．如圖，B地在A地的正東方向6 km處，C地在A地的北偏東60°方向6 km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠4 km，則曲線PQ的軌跡方程(以AB中點為原點)是________；現要在曲線PQ上任一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉運貨物，那么這兩條公路MB，MC的路程之和最短是________km．
－＝1(x≥2)　6－4　[以AB所在的直線為x軸，
AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，如圖，由題意得|MA|－|MB|＝4＜6，根據雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，故2a＝4，a＝2，2c＝6，c＝3，b＝，所以曲線PQ的軌跡方程為－＝1(x≥2)．因為|AC|＝6＝|MC|＋|MA|－2a≥|AC|－4＝6－4，當且僅當A，M，C三點共線時等號成立．所以這兩條公路MB，MC的路程之和最短為(6－4) km．]
探究2　雙曲線定義的應用
[典例講評]　2．已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別是F1，F2．若雙曲線上一點P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．
[解]　由定義和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝··sin ∠F1PF2
＝×64×＝16．
[母題探究]　1．若將本例中的“∠F1PF2＝60°”改為“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面積．
2．若將本例中的“∠F1PF2＝60°”改為“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面積．
[解]　(1)將||PF2|－|PF1||＝2a＝6，兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．
在△F1PF2中，由余弦定理的推論得cos ∠F1PF2＝
＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，
∴＝＝×32＝16．
(2)由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴＝×4×＝8．
　在解與焦點三角形(△PF1F2)有關的問題時，一般地，可由雙曲線的定義，得|PF1|與|PF2|的關系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|與|PF2|的關系式，從而求出|PF1|與|PF2|的值．但是，一般我們不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根據需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一個整體來處理．
[學以致用]　2．已知F1，F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積為(　　)
A．4　　　B．8　　　C．24　　　D．48
C　[由題意，得
解得＝10，可得△PF1F2是直角三角形，則＝·＝24．]
探究3　利用雙曲線的定義求最值
[典例講評]　3．已知定點A(3，1)，F是雙曲線－＝1的右焦點，P是雙曲線右支上的動點，則|PA|＋|PF|的最小值為(　　)
A． B．5＋4
C．5－4 D．＋4
C　[設F1是雙曲線的左焦點，根據雙曲線的定義及P是雙曲線右支上的動點可得|PF1|－|PF|＝2a，所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，
結合圖形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5，
當且僅當P，A，F1三點共線時取得等號，即點P在P′處時取得最小值，
所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4，
所以－4．]
　在求解與雙曲線有關的長度問題時，注意定義的應用，在求距離的和時往往需要利用定義進行轉化，注意最值取得的條件，往往在三點共線時取到．
[學以致用]　3．已知A(－4，0)，B是圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的點，點P在雙曲線－＝1的右支上，則|PA|＋|PB|的最小值為(　　)
A．9 B．2＋6 C．10 D．12
C　[由題知點C(1，4)，點B在圓C上，
則|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，
由點P在雙曲線右支上，點A為雙曲線左焦點，設A′為雙曲線右焦點，
所以由雙曲線定義知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10．]
1．一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2 s(聲速為340 m/s)，則爆炸點所在曲線可能為(　　)
A．橢圓的一部分 B．雙曲線的一支
C．線段 D．圓
B　[設爆炸點為P，由聲速為340 m/s，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2 s，
則|PA|－|PB|＝680；當680＜|AB|時，點P所在的軌跡為雙曲線的一支；
當680＝|AB|時，點P所在的軌跡為一條射線．故選B．]
2．已知橢圓＋＝1和雙曲線－y2＝1的公共焦點為F1，F2，P是兩曲線的一個交點，那么cos ∠F1PF2的值是(　　)
A． B． C． D．
A　[不妨設點P在第一象限，F1，F2分別為左、右焦點．
因為P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝2．
又P在雙曲線上，所以|PF1|－|PF2|＝2．
兩式聯立，得|PF1|＝＋＝－．
又|F1F2|＝4，所以根據余弦定理可以求得
cos ∠F1PF2＝．]
3．已知F1，F2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，P(3，1)為雙曲線內一點，點A在雙曲線的右支上，則|AP|＋|AF2|的最小值為(　　)
A．＋4 B．－4
C．－2 D．＋2
C　[因為|AF1|－|AF2|＝2，∴＝．則|AP|＋|AF2|＝的最小值．如圖，連接F1P交雙曲線的右支于點A0．當點A位于點A0處時，|AP|＋|AF1|最小，最小值為
|PF1|＝＝．
故－2，故選C．]
4．雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，雙曲線上的點P滿足∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于________．
4　[在雙曲線x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝，
設P在右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵∠F1PF2＝60°，
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2＝4．]
1．知識鏈：(1)雙曲線的實際應用．
(2)雙曲線定義的應用．
(3)利用雙曲線的定義求最值．
2．方法鏈：坐標法、轉化法．
3．警示牌：雙曲線在實際生活的應用中，建模出錯．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P是雙曲線左支上一點，則|PF1|，|PF2|的最小值分別是多少？
[提示]　|PF1|的最小值為c－a，|PF2|的最小值為a＋c．
課時分層作業(二十九)　雙曲線及其標準方程的應用
一、選擇題
1．人們在進行工業設計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學性質．從雙曲線右焦點F2發出的光線通過雙曲線鏡面反射出發散光線，且反射光線的反向延長線經過左焦點F1．已知雙曲線的方程為x2－y2＝1，則當入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時(其中P為入射點)，∠F1F2P的余弦值大小為(　　)
A． B． C． D．
D　[|F1F2|＝2＝m，|PF2|＝n，則m－n＝2，m2＋n2＝(2)2，解得m＝＋1，n＝－1．∴cos ∠F1F2P＝＝．]
2．已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，P為C右支上的一點，且|PF2|＝|F1F2|，則△PF1F2的面積等于(　　)
A．24 B．36 C．48 D．96
C　[依題意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由題意及雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝16．
∴＝×16×＝48，故選C．]
3．數學讓建筑更富藝術的神韻，數學的美也被建筑表現得淋漓盡致．已知圖1是單葉雙曲面型建筑，圖2是其中截面最細附近處的部分圖象，上、下底面與地面平行．現測得下底面直徑AB＝20 米，上底面直徑CD＝20 米，AB與CD間的距離為80米，與上、下底面等距離的G處的直徑等于CD，則最細部分處的直徑為(　　)
A．10米 B．20米 C．10米 D．10米
B　[建立如圖所示的平面直角坐標系，
由題意可知D(－10，20)，B(10，－60)，
設雙曲線方程為－＝1，
∴
解得a2＝100，b2＝400，
|EF|＝2a＝20，故選B．]
4．某農戶在自家地塊開起生態農家樂，如圖所示，建設了三個功能區：△ABC為魚塘休閑區，矩形BCMN為果園種植區，以CM為直徑的半圓為住宿區．現農戶欲對果園進行施肥，運來一批肥料放置于點A處，要把這批肥料沿魚塘兩側的道路AB，AC送到矩形BCMN的果園種植區去，若AB＝CB＝2 km，AC＝1 km，該農戶在矩形BCMN果園中畫定了一條界線，使位于界線一側的點沿道路AB運送肥料較近，而另一側的點沿道路AC運送肥料較近，設這條界線是曲線E的一部分，則曲線E為(　　)
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線
D　[由題意，從點A出發經C到界線上一點P，與從A點出發經B到P，所走的路程是一樣的．
即|AC|＋|PC|＝|AB|＋|PB|，所以|PC|－|PB|＝|AB|－|AC|．
又由|AB|＝|CB|＝2 km，|AC|＝1 km，
所以|PC|－|PB|＝1＜|CB|＝2．
根據雙曲線的定義可知曲線E為雙曲線的一部分．故選D．]
5．設雙曲線C：x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點M在C的右支上，且∠MF1F2＝30°，則△MF1F2的面積為(　　)
A．2 B． C．2 D．4＋2
C　[設|MF1|＝m，|MF2|＝n，
則|F1F2|＝2＝2，
由雙曲線的定義可知，m－n＝2，即n＝m－2，
由余弦定理的推論可得，cos 30°＝＝，
∴m2＋12－n2＝6m，∴m2＋12－(m－2)2＝6m，
解得m＝4，∴△MF1F2的面積為×m×2×sin 30°＝2．
故選C．]
二、填空題
6．已知雙曲線的兩個焦點F1，F2的坐標分別為(，0)和(－，0)，點P在雙曲線上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面積為1，則雙曲線的方程為________．
－y2＝1　[設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則c＝．
令|PF1|＝m，|PF2|＝n，m2＋n2＝20，
因為△PF1F2的面積為1，所以mn＝2．
又|m－n|＝2a，所以m2－2mn＋n2＝4a2，
所以a2＝4，b2＝c2－a2＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1．]
7．已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1的左、右焦點，P為雙曲線C上的一點．若△PF1F2為直角三角形，則△PF1F2的面積等于________．
或9　[不妨設點P(x，y)在雙曲線的右支上，當∠PF2F1＝90°時，x＝5，得y＝±＝，所以△PF1F2的面積為×10×＝；當∠F1PF2＝90°時，則|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，又|PF1|－|PF2|＝2a＝8，可得|PF1||PF2|＝18，所以△PF1F2的面積為＝×18＝9．綜上所述，△PF1F2的面積為或9．]
8．設F1，F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點．若P在雙曲線上，且PF1·PF2＝0，則|PF1＋PF2|＝________．
2　[由題意，知雙曲線兩個焦點的坐標分別為F1(－，0)，F2(，0)．
設點P(x，y)，則PF1＝(－－x，－y)，PF2＝(－x，－y)．
∵PF1·PF2＝0，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10．
∴|PF1＋PF2|＝
＝＝2．]
三、解答題
9．設F1，F2分別是雙曲線－＝1的左、右焦點．
(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；
(2)若P是雙曲線左支上一點，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積．
[解]　(1)由題意知a＝3，b＝4，c＝5，
設點M到另一個焦點的距離為m，
由雙曲線定義可知|m－16|＝2a＝6，解得m＝10或m＝22，
即點M到另一個焦點的距離為10或22．
(2)P是雙曲線左支上的點，則|PF2|－|PF1|＝2a＝6，
則|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，
將|PF1|·|PF2|＝32代入，
可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，
即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
所以△F1PF2為直角三角形，
所以＝＝×32＝16．
10．(多選)已知點P在雙曲線C：－＝1上，F1，F2分別是雙曲線C的左、右焦點，若△PF1F2的面積為20，則(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝8
B．|PF1|＋|PF2|＝
C．點P到x軸的距離為4
D．∠F1PF2＝
BC　[由雙曲線C：－＝1，得a＝4，b＝3，
則c＝＝5，
由雙曲線的定義可知，||PF1|－|PF2||＝2a＝8，故A錯誤；
設點P(xP，yP)，則＝＝＝20，
∴|yP|＝4，故C正確；由雙曲線的對稱性，不妨取點P，
得|PF2|＝＝＝|PF2|＋2a＝＋8＝，∴＝＋＝，故B正確；
由余弦定理的推論得cos ∠F1PF2＝＝≠，
∴∠F1PF2≠，故D錯誤．故選BC．]
11．若點P在曲線C1：－＝1上，點Q在曲線C2：(x－5)2＋y2＝1上，點R在曲線C3：(x＋5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
B　[在雙曲線C1中，a＝4，b＝3，c＝5，易知兩圓圓心分別為雙曲線C1的兩個焦點，
記點F1(－5，0)，F2(5，0)，當|PQ|－|PR|取最大值時，P在雙曲線C1的左支上，如圖所示，
所以|PQ|－|PR|≤|PF2|＋1－(|PF1|－1)＝|PF2|－|PF1|＋2＝2a＋2＝10．故選B．]
12．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的黏合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|＝2，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為________．
x2－＝1　[設所求雙曲線的標準方程為－＝1，a＞0，b＞0，則根據題意可得a＝1，點在雙曲線上，∴－＝1，∴b2＝，
∴所求雙曲線的方程為x2－＝1．]
13．A，B，C是我方三個炮兵陣地，A在B正東6 km處，C在B北偏西30°方向4 km處，P為敵炮陣地．某時刻，在A處發現敵炮陣地的某種信號，由于B，C兩地比A地距P地遠，因此經過4 s后，B，C才同時發現這一信號，此信號的傳播速度為1 km/s，若A地需炮擊P地，則炮擊的方向角為北偏東________．
30°　[如圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，
則B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2)．
因為|PB|＝|PC|，所以點P在線段BC的垂直平分線上．
由題可知直線BC的斜率kBC＝－，BC的中點坐標為(－4，)，記D(－4，)，所以直線PD：y－＝(x＋4)．①
又B地比A地晚4 s發現信號，故－＝4，即|PB|－|PA|＝4＜|AB|＝6，故P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上．
設P(x，y)，x＞0，y＞0，則其所在雙曲線的方程為－＝1(x≥2)．②
由①②，得x＝8，y＝5，所以P(8，5)．
因此直線PA的斜率kPA＝＝．
故炮擊的方向角為北偏東30°．]
14．某工程隊需要開挖一個橫截面為半圓的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP運到P處(如圖)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，試說明怎樣運土才能最省工．
[解]　如圖，以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系．
設點M沿AP，BP到點P的路程相等，則|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，
即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50，這說明點M的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線右支上的一段，且a＝25．
在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|cos 60°＝17 500，即|AB|＝50，
從而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
所以點M所在曲線的方程為－＝1(x≥25)，
即在運土時，以點M的軌跡為分界線，將此分界線左側的土沿道路AP運到P處，右側的土沿道路BP運到P處最省工．
15．如圖，P是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上任意一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，當點P，F1，F2不在同一條直線上時，它們構成一個三角形(焦點三角形)．若∠F1PF2＝θ，求證＝．
[證明]　在△PF1F2中，因為∠F1PF2＝θ，則由雙曲線的定義及余弦定理得，
||PF1|－|PF2||＝2a |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ＝|F1F2|2＝4c2，②
由②－①得2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2，
則|PF1|·|PF2|＝．
又＝··sin θ，
從而＝b2·＝．
1/2課時分層作業(二十八)　雙曲線及其標準方程
一、選擇題
1．已知動點P到點M(1，0)，N(－1，0)的距離之差的絕對值為2，則點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線 B．雙曲線的一支
C．兩條射線 D．一條射線
2．雙曲線－y2＝1的焦點坐標為(　　)
A．(±1，0) B．
C． D．
3．若橢圓＝1(m＞0)與雙曲線＝1(m＞0)有相同的焦點，則m的值是(　　)
A． B．1或2
C．1或 D．1
4．“k＞4”是“方程＝1表示的曲線是雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
5．已知雙曲線C的焦點與橢圓E：＝1的上、下頂點相同，且經過E的焦點，則C的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、填空題
6．過點(3，2)且與橢圓3x2＋8y2＝24有相同焦點的雙曲線方程為________．
7．若點P在雙曲線＝1上，且點P的橫坐標與雙曲線的右焦點的橫坐標相同，則點P的縱坐標為________，點P與雙曲線的左焦點的距離為________．
8．雙曲線Γ經過兩點A，B，則雙曲線Γ的標準方程是________．
三、解答題
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實數，對于不同范圍的k值，分別指出方程所表示的曲線類型．
10．(多選)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，則(　　)
A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為
C．若mn＜0，則C是雙曲線
D．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線
11．與圓x2＋y2＝4及圓x2＋y2－8x－6y＋24＝0都外切的圓的圓心在(　　)
A．一個橢圓上 B．雙曲線的一支上　
C．一條直線上 D．一個圓上
12．已知點M，N＝4．則動點P的軌跡方程為(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．－y2＝1(x≥2) D．－y2＝1(x≤－2)
13．動點P與點F1(0，5)，F2(0，－5)滿足|PF1|－|PF2|＝6，則動點P的軌跡方程為________．
14．在面積為12的△PEF中，已知tan ∠PEF＝，tan ∠PFE＝－2，試建立適當平面直角坐標系，求出分別以E，F為左、右焦點且過點P的雙曲線方程．
15．已知P為雙曲線＝1右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，M為△PF1F2的內心．若＋8，則△MF1F2的面積為(　　)
A．2　　　B．10　　　C．8　　　D．5
3/33.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線及其標準方程
第1課時　雙曲線及其標準方程
[學習目標]　1．理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程．(數學抽象、直觀想象)
2．掌握雙曲線的標準方程及其求法．(數學運算)
[討論交流]　
問題1．雙曲線的定義中有怎樣的限制條件？
問題2．雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有怎樣的區別與聯系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線的定義
探究問題1　做下面一個試驗．
(1)取一條拉鏈，拉開一部分．
(2)在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定在點F1，F2上．
(3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線．
試觀察這是一條什么樣的曲線？點M在運動過程中滿足什么幾何條件？
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[新知生成]
文字語言 平面內與兩個定點F1，F2的距離的________等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡
符號語言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常數)(2a＜|F1F2|)
焦點 定點________
焦距 ________的距離
[典例講評]　1．已知點F1(－5，0)，F2(5，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別是(　　)
A．雙曲線和一條直線
B．雙曲線和一條射線
C．雙曲線的一支和一條直線
D．雙曲線的一支和一條射線
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　在雙曲線的定義中，注意三個關鍵點：(1)在平面內．(2)差的絕對值．(3)存在定值且定值小于兩定點間距離．在這三個條件中，缺少任何一個條件，動點軌跡就不是雙曲線．
[學以致用]　1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線　　　 B．雙曲線的一支
C．直線 D．一條射線
探究2　雙曲線的標準方程
探究問題2　回顧求橢圓標準方程的過程，有哪些經驗值得借鑒？通過類比如何建立適當的坐標系，得出雙曲線的標準方程？
探究問題3　設雙曲線的焦點為F1和F2，焦距為2c，而且雙曲線上的動點P滿足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以經過F1，F2兩點的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，此時，雙曲線的標準方程是什么？
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[新知生成]
雙曲線的標準方程
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ________________ ________________
焦點坐標 F1(－c，0)，F2(c，0) ____________
a，b，c的關系 c2＝________
[典例講評]　2．求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)c＝6，焦點在x軸上，且過點A(－5，2)；
(2)經過兩點A，B．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　試總結用待定系數法求雙曲線方程的步驟．
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[學以致用]　2．(源自湘教版教材)已知雙曲線兩個焦點分別為F1(0，－2)，F2(0，2)，并且雙曲線經過點P(3，－2)，該雙曲線的標準方程為________．
3．與雙曲線＝1有相同的焦點，且經過點的雙曲線的標準方程為________．
探究3　雙曲線標準方程的識別
[典例講評]　3．若方程＝1表示雙曲線，則實數k的取值范圍是(　　)
A．2＜k＜5 B．k＞5
C．k＜2或k＞5 D．以上答案均不對
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　若該方程表示焦點在x軸上的雙曲線，求實數k的取值范圍．
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　方程表示雙曲線的條件
(1)對于方程＝1，當mn<0時表示雙曲線，進一步來說，當m>0，n<0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n>0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
(2)對于方程＝1，當mn>0時表示雙曲線，且當m>0，n>0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n<0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
[學以致用]　4．“m＞2”是“方程＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
1．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝4，則點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線 B．雙曲線的一支
C．不存在 D．一條射線
2．“0＜k＜1”是“方程＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．雙曲線－y2＝1與橢圓＝1的焦點相同，則a等于(　　)
A．1 B．－2 C．1或－2 D．2
4．如果雙曲線＝1上一點P到焦點F1的距離等于6，那么點P到另一焦點F2的距離是________．
1．知識鏈：(1)雙曲線的定義．
(2)雙曲線的標準方程及其推導．
(3)雙曲線標準方程的識別．
2．方法鏈：待定系數法、分類討論法．
3．警示牌：(1)易忽略雙曲線的定義中的2a＜|F1F2|或把雙曲線的一支誤認為雙曲線的兩支．
(2)易忽略對雙曲線焦點位置的判斷．
5/5(共40張PPT)
第1課時　雙曲線及其標準方程
第三章　圓錐曲線的方程
3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線及其標準方程
[學習目標]　1．理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程．(數學抽象、直觀想象)
2．掌握雙曲線的標準方程及其求法．(數學運算)
整體感知
(教師用書)
雙曲線是一種很優美的曲線，就好像人的身形一樣婉轉婀娜．在實際生活中，雙曲線也有著廣泛的應用，例如很多工程建筑就是仿照雙曲線的外形特點而設計的，在兼具美學的情況下又保證了建筑物的堅實程度．我們已經學習過橢圓的相關知識，那么雙曲線又有著怎樣的定義、方程與幾何性質呢？讓我們慢慢揭開它的神秘面紗吧！
[討論交流]　
問題1．雙曲線的定義中有怎樣的限制條件？
問題2．雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有怎樣的區別與聯系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線的定義
探究問題1　做下面一個試驗．
(1)取一條拉鏈，拉開一部分．
(2)在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定在點F1，F2上．
(3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線．
探究建構
試觀察這是一條什么樣的曲線？點M在運動過程中滿足什么幾何條件？
[提示]　雙曲線、曲線上的點滿足條件：||MF1|－|MF2||＝常數＜|F1F2|．
[新知生成]
文字語言 平面內與兩個定點F1，F2的距離的__________等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡
符號語言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常數)(2a＜|F1F2|)
焦點 定點_________
焦距 ________的距離
差的絕對值
F1，F2
兩焦點間
【教用·微提醒】　(1)常數要小于兩個定點的距離．
(2)如果沒有絕對值，動點的軌跡表示雙曲線的一支．
(3)當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點)．
(4)當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在．
(5)當2a＝0時，動點的軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
[典例講評]　1．已知點F1(－5，0)，F2(5，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別是(　　)
A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線
C．雙曲線的一支和一條直線 D．雙曲線的一支和一條射線
D　[依題意得|F1F2|＝10，當a＝3時，
因為|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，故點P的軌跡為雙曲線的右支；
當a＝5時，2a＝10＝|F1F2|，故點P的軌跡為一條射線．]
√
反思領悟　在雙曲線的定義中，注意三個關鍵點：(1)在平面內．(2)差的絕對值．(3)存在定值且定值小于兩定點間距離．在這三個條件中，缺少任何一個條件，動點軌跡就不是雙曲線．
[學以致用]　1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線　　B．雙曲線的一支　　C．直線 　　D．一條射線
D　[F1，F2是定點，且|F1F2|＝10，所以滿足條件|PF1|－|PF2|＝10的點P的軌跡為一條射線．]
√
探究2　雙曲線的標準方程
探究問題2　回顧求橢圓標準方程的過程，有哪些經驗值得借鑒？通過類比如何建立適當的坐標系，得出雙曲線的標準方程？
[提示]　設P(x，y)是雙曲線上一點，F1(－c，0)，F2(c，0)，則||PF1|－|PF2||＝2a(a為大于0的常數)，因為|PF1|＝，
|PF2|＝，所以－＝±2a，①
類比橢圓標準方程的化簡過程，化簡①，
得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
兩邊同除以a2(c2－a2)，得－＝1．
由雙曲線的定義知，2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0，
類比橢圓標準方程的建立過程，令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，
得－＝1(a＞0，b＞0)．
探究問題3　設雙曲線的焦點為F1和F2，焦距為2c，而且雙曲線上的動點P滿足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以經過F1，F2兩點的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，此時，雙曲線的標準方程是什么？
[提示]　－＝1(a＞0，b＞0)．
[新知生成]
雙曲線的標準方程
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ______________________ ____________________
焦點坐標 F1(－c，0)，F2(c，0) ____________________
a，b，c的關系 c2＝_______
＝1(a>0，b>0)
＝1(a>0，b>0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a2＋b2
【教用·微提醒】　(1)焦點F1，F2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．“焦點跟著正項走”，若x2項的系數為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數為正，那么焦點在y軸上，即x2，y2的系數異號．
(2)標準方程中的兩個參數a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線定形的條件，注意這里的b2＝c2－a2與橢圓中的b2＝a2－c2相區別．其中c＞a，c＞b，而a，b無大小要求．
【鏈接·教材例題】
例1　已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(－5，0)，F2(5，0)，雙曲線上一點P與F1，F2的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程．
[解]　因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為
－＝1(a＞0，b＞0)．
由2c＝10，2a＝6，得c＝5，又a＝3，因此b2＝52－32＝16．
所以，雙曲線的標準方程為－＝1．
[典例講評]　2．求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)c＝6，焦點在x軸上，且過點A(－5，2)；
(2)經過兩點A(－7，－6)，B(，－3)．
[解]　(1)由題意，設所求雙曲線的標準方程為－＝1，a＞0，b＞0，
由題意得
解得a2＝20，b2＝16，
∴所求雙曲線的標準方程為－＝1．
(2)法一：當焦點在x軸上時，設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)．
因為點A，B在雙曲線上，所以
解得所以雙曲線的標準方程為x2－＝1．
當焦點在y軸上時，設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)．
因為點A，B在雙曲線上，所以
該方程組無解．
所以雙曲線的標準方程為x2－＝1．
法二：設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因為點A，B在此雙曲線上，
所以解得m＝1，n＝－，
所以所求雙曲線方程為x2－＝1．
發現規律　試總結用待定系數法求雙曲線方程的步驟．
[提示]　(1)定型：確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸．
(2)設方程：根據焦點位置設出相應的標準方程的形式，若不知道焦點的位置，則進行討論，或設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(3)計算：利用題中條件列出方程組，求出相關值．
(4)結論：寫出雙曲線的標準方程．
【教用·備選題】　已知圓C：(x＋3)2＋y2＝4及點A(3，0)，Q為圓周上一點，AQ的垂直平分線交直線CQ于點M，則動點M的軌跡方程為__________．
x2－＝1　[由AQ的垂直平分線交直線CQ于點M，
得|MA|＝|MQ|，又圓的半徑為2，所以||MC|－|MA||＝2＜|AC|＝6，
故點M的軌跡是以C，A為焦點的雙曲線，所以2a＝2，2c＝6，
所以a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8．
又焦點在x軸上，故動點M的軌跡方程為x2－＝1．]
x2－＝1　
[學以致用]　2．(源自湘教版教材)已知雙曲線兩個焦點分別為F1(0，－2)，F2(0，2)，并且雙曲線經過點P(3，－2)，該雙曲線的標準方程為____________．
y2－＝1　[由于雙曲線的焦點在y軸上，故可設它的標準方程為－＝1(a>0，b>0)．
已知焦點F1，F2及雙曲線上一點P，由雙曲線的定義可知2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2，因此a＝1．
又因為c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3．
因此，所求雙曲線的標準方程為y2－＝1．]
y2－＝1
3．與雙曲線－＝1有相同的焦點，且經過點(3，2)的雙曲線的標準方程為 ．
－＝1　[法一：因為焦點相同，所以設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
因為雙曲線經過點(3，2)，所以－＝1． ②
由①②得a2＝12，b2＝8，
所以雙曲線的標準方程為－＝1．
－＝1　
法二：設所求雙曲線的方程為－＝1(－4＜λ＜16)．
因為雙曲線經過點(3，2)，所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以雙曲線的標準方程為－＝1．]
探究3　雙曲線標準方程的識別
[典例講評]　3．若方程＋＝1表示雙曲線，則實數k的取值范圍是(　　)
A．2＜k＜5 　　B．k＞5 　C．k＜2或k＞5 　D．以上答案均不對
C　[由題意知(k－2)(5－k)＜0，即(k－2)(k－5)＞0，
解得k＞5或k＜2．則實數k的取值范圍是k＞5或k＜2．
故選C．]
√
[母題探究]　若該方程表示焦點在x軸上的雙曲線，求實數k的取值范圍．
[解]　方程表示焦點在x軸上的雙曲線，
則有解得k＞5．
因此實數k的取值范圍是(5，＋∞)．
反思領悟　方程表示雙曲線的條件
(1)對于方程＋＝1，當mn<0時表示雙曲線，進一步來說，當m>0，n<0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n>0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
(2)對于方程－＝1，當mn>0時表示雙曲線，且當m>0，n>0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n<0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
[學以致用]　4．“m＞2”是“方程－＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
A　[方程－＝1表示雙曲線，則(m－2)·(m－1)＞0，解得m＜1或m＞2，所以“m＞2”是“方程－＝1表示雙曲線”的充分不必要條件．故選A．]
√
1．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝4，則點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線 　B．雙曲線的一支　　C．不存在 D．一條射線
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[F1(－3，0)，F2(3，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝4．
因為|F1F2|＝6＞4，則動點P的軌跡滿足雙曲線的定義．
|PF1|－|PF2|＝4＞0，則點P的軌跡是雙曲線的一支．故選B．]
2．“0＜k＜1”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2
3
題號
1
4
√
A　[若方程表示雙曲線，則(k－1)(k＋2)＜0，得－2＜k＜1，
即“0＜k＜1”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充分不必要條件．故選A．]
3．雙曲線－y2＝1與橢圓＋＝1的焦點相同，則a等于(　　)
A．1 　　　　B．－2 　　　　C．1或－2 　　　　D．2
2
3
題號
4
1
√
A　[因為雙曲線－y2＝1與橢圓＋＝1的焦點相同，
則a＋1＋1＝4－a2，且a＋1＞0，4＞a2，解得a＝－2(舍)或a＝1，故選A．]
4．如果雙曲線－＝1上一點P到焦點F1的距離等于6，那么點P到另一焦點F2的距離是________．
2
4
3
題號
1
22　[由題意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝6，所以|PF2|＝22．]
22　
1．知識鏈：(1)雙曲線的定義．
(2)雙曲線的標準方程及其推導．
(3)雙曲線標準方程的識別．
2．方法鏈：待定系數法、分類討論法．
3．警示牌：(1)易忽略雙曲線的定義中的2a＜|F1F2|或把雙曲線的一支誤認為雙曲線的兩支．
(2)易忽略對雙曲線焦點位置的判斷．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．雙曲線是如何定義的？請寫出它的標準方程．
[提示]　定義：把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．
標準方程：－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)．
2．方程－＝1表示雙曲線，則m，n滿足的條件是什么？若方程表示焦點在x軸(y軸)上的雙曲線，則m，n滿足什么條件？
[提示]　(1)若表示雙曲線，則滿足mn>0．
(2)若表示焦點在x軸上的雙曲線，則滿足
(3)若表示焦點在y軸上的雙曲線，則滿足
課時分層作業(二十八)
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雙曲線及其標準方程
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS第2課時　雙曲線及其標準方程的應用
[學習目標]　1．會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題．(邏輯推理、數學運算)
2．雙曲線在實際生活中的應用．(數學建模、數學運算)
[討論交流]　
問題1．雙曲線的定義是什么？
問題2．如何建立實際問題的雙曲線模型？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線的實際生活應用
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)相距2 km的兩個哨所A，B聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B哨所遲4 s．已知當時的聲速為340 m/s，試判斷爆炸點在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　利用雙曲線解決實際問題的基本步驟
(1)建立適當的坐標系．
(2)求出雙曲線的標準方程．
(3)根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題(注意實際意義)．
[學以致用]　1．如圖，B地在A地的正東方向6 km處，C地在A地的北偏東60°方向河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠4 km，則曲線PQ的軌跡方程(以AB中點為原點)是________；現要在曲線PQ上任一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉運貨物，那么這兩條公路MB，MC的路程之和最短是________km．
探究2　雙曲線定義的應用
[典例講評]　2．已知雙曲線＝1的左、右焦點分別是F1，F2．若雙曲線上一點P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]
1．若將本例中的“∠F1PF2＝60°”改為“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面積．
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2．若將本例中的“∠F1PF2＝60°”改為“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面積．
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　在解與焦點三角形(△PF1F2)有關的問題時，一般地，可由雙曲線的定義，得|PF1|與|PF2|的關系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|與|PF2|的關系式，從而求出|PF1|與|PF2|的值．但是，一般我們不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根據需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一個整體來處理．
[學以致用]　2．已知F1，F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積為(　　)
A．4　 　B．8　 　C．24 　　D．48
探究3　利用雙曲線的定義求最值
[典例講評]　3．已知定點A(3，1)，F是雙曲線＝1的右焦點，P是雙曲線右支上的動點，則|PA|＋|PF|的最小值為(　　)
A． B．5＋4
C．5－4 D．＋4
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　在求解與雙曲線有關的長度問題時，注意定義的應用，在求距離的和時往往需要利用定義進行轉化，注意最值取得的條件，往往在三點共線時取到．
[學以致用]　3．已知A(－4，0)，B是圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的點，點P在雙曲線＝1的右支上，則|PA|＋|PB|的最小值為(　　)
A．9 B．2＋6 C．10 D．12
1．一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2 s(聲速為340 m/s)，則爆炸點所在曲線可能為(　　)
A．橢圓的一部分 B．雙曲線的一支
C．線段 D．圓
2．已知橢圓＝1和雙曲線－y2＝1的公共焦點為F1，F2，P是兩曲線的一個交點，那么cos ∠F1PF2的值是(　　)
A． B． C． D．
3．已知F1，F2分別為雙曲線＝1的左、右焦點，P(3，1)為雙曲線內一點，點A在雙曲線的右支上，則|AP|＋|AF2|的最小值為(　　)
A．＋4 B．－4
C． D．
4．雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，雙曲線上的點P滿足∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于________．
1．知識鏈：(1)雙曲線的實際應用．
(2)雙曲線定義的應用．
(3)利用雙曲線的定義求最值．
2．方法鏈：坐標法、轉化法．
3．警示牌：雙曲線在實際生活的應用中，建模出錯．
4/43.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線及其標準方程
第1課時　雙曲線及其標準方程
[學習目標]　1．理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程．(數學抽象、直觀想象)
2．掌握雙曲線的標準方程及其求法．(數學運算)
(教師用書)
雙曲線是一種很優美的曲線，就好像人的身形一樣婉轉婀娜．在實際生活中，雙曲線也有著廣泛的應用，例如很多工程建筑就是仿照雙曲線的外形特點而設計的，在兼具美學的情況下又保證了建筑物的堅實程度．我們已經學習過橢圓的相關知識，那么雙曲線又有著怎樣的定義、方程與幾何性質呢？讓我們慢慢揭開它的神秘面紗吧！
[討論交流]　
問題1．雙曲線的定義中有怎樣的限制條件？
問題2．雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有怎樣的區別與聯系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線的定義
探究問題1　做下面一個試驗．
(1)取一條拉鏈，拉開一部分．
(2)在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定在點F1，F2上．
(3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線．
試觀察這是一條什么樣的曲線？點M在運動過程中滿足什么幾何條件？
[提示]　雙曲線、曲線上的點滿足條件：||MF1|－|MF2||＝常數＜|F1F2|．
[新知生成]
文字語言 平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡
符號語言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常數)(2a＜|F1F2|)
焦點 定點F1，F2
焦距 兩焦點間的距離
【教用·微提醒】　(1)常數要小于兩個定點的距離．
(2)如果沒有絕對值，動點的軌跡表示雙曲線的一支．
(3)當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點)．
(4)當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在．
(5)當2a＝0時，動點的軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
[典例講評]　1．已知點F1(－5，0)，F2(5，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別是(　　)
A．雙曲線和一條直線
B．雙曲線和一條射線
C．雙曲線的一支和一條直線
D．雙曲線的一支和一條射線
D　　[依題意得|F1F2|＝10，
當a＝3時，
因為|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，
故點P的軌跡為雙曲線的右支；
當a＝5時，2a＝10＝|F1F2|，
故點P的軌跡為一條射線．]
　在雙曲線的定義中，注意三個關鍵點：(1)在平面內．(2)差的絕對值．(3)存在定值且定值小于兩定點間距離．在這三個條件中，缺少任何一個條件，動點軌跡就不是雙曲線．
[學以致用]　1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線　　　B．雙曲線的一支　　　C．直線 　　　D．一條射線
D　[F1，F2是定點，且|F1F2|＝10，所以滿足條件|PF1|－|PF2|＝10的點P的軌跡為一條射線．]
探究2　雙曲線的標準方程
探究問題2　回顧求橢圓標準方程的過程，有哪些經驗值得借鑒？通過類比如何建立適當的坐標系，得出雙曲線的標準方程？
[提示]　設P(x，y)是雙曲線上一點，F1(－c，0)，F2(c，0)，則||PF1|－|PF2||＝2a(a為大于0的常數)，因為|PF1|＝，
|PF2|＝，
所以－＝±2a，①
類比橢圓標準方程的化簡過程，化簡①，
得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
兩邊同除以a2(c2－a2)，得－＝1．
由雙曲線的定義知，2c＞2a，即c＞a，
所以c2－a2＞0，
類比橢圓標準方程的建立過程，
令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，
得－＝1(a＞0，b＞0)．
探究問題3　設雙曲線的焦點為F1和F2，焦距為2c，而且雙曲線上的動點P滿足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以經過F1，F2兩點的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，此時，雙曲線的標準方程是什么？
[提示]　－＝1(a＞0，b＞0)．
[新知生成]
雙曲線的標準方程
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦點坐標 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2
【教用·微提醒】　(1)焦點F1，F2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．“焦點跟著正項走”，若x2項的系數為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數為正，那么焦點在y軸上，即x2，y2的系數異號．
(2)標準方程中的兩個參數a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線定形的條件，注意這里的b2＝c2－a2與橢圓中的b2＝a2－c2相區別．其中c＞a，c＞b，而a，b無大小要求．
【鏈接·教材例題】
例1　已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(－5，0)，F2(5，0)，雙曲線上一點P與F1，F2的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程．
[解]　因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為
－＝1(a＞0，b＞0)．
由2c＝10，2a＝6，得c＝5，又a＝3，因此b2＝52－32＝16．
所以，雙曲線的標準方程為－＝1．
[典例講評]　2．求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)c＝6，焦點在x軸上，且過點A(－5，2)；
(2)經過兩點A(－7，－6)，B(，－3)．
[解]　(1)由題意，設所求雙曲線的標準方程為－＝1，a＞0，b＞0，
由題意得
解得a2＝20，b2＝16，
∴所求雙曲線的標準方程為－＝1．
(2)法一：當焦點在x軸上時，設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)．
因為點A，B在雙曲線上，所以
解得所以雙曲線的標準方程為x2－＝1．
當焦點在y軸上時，設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)．
因為點A，B在雙曲線上，所以
該方程組無解．
所以雙曲線的標準方程為x2－＝1．
法二：設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因為點A，B在此雙曲線上，
所以解得m＝1，n＝－，
所以所求雙曲線方程為x2－＝1．
　試總結用待定系數法求雙曲線方程的步驟．
[提示]　(1)定型：確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸．
(2)設方程：根據焦點位置設出相應的標準方程的形式，若不知道焦點的位置，則進行討論，或設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(3)計算：利用題中條件列出方程組，求出相關值．
(4)結論：寫出雙曲線的標準方程．
【教用·備選題】　已知圓C：(x＋3)2＋y2＝4及點A(3，0)，Q為圓周上一點，AQ的垂直平分線交直線CQ于點M，則動點M的軌跡方程為________．
x2－＝1　[由AQ的垂直平分線交直線CQ于點M，
得|MA|＝|MQ|，又圓的半徑為2，
所以||MC|－|MA||＝2＜|AC|＝6，
故點M的軌跡是以C，A為焦點的雙曲線，
所以2a＝2，2c＝6，
所以a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8．
又焦點在x軸上，故動點M的軌跡方程為x2－＝1．]
[學以致用]　2．(源自湘教版教材)已知雙曲線兩個焦點分別為F1(0，－2)，F2(0，2)，并且雙曲線經過點P(3，－2)，該雙曲線的標準方程為________．
y2－＝1　[由于雙曲線的焦點在y軸上，故可設它的標準方程為－＝1(a>0，b>0)．
已知焦點F1，F2及雙曲線上一點P，由雙曲線的定義可知2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2，因此a＝1．
又因為c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3．
因此，所求雙曲線的標準方程為y2－＝1．]
3．與雙曲線－＝1有相同的焦點，且經過點(3，2)的雙曲線的標準方程為________．
－＝1　[法一：因為焦點相同，所以設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
因為雙曲線經過點(3，2)，
所以－＝1．②
由①②得a2＝12，b2＝8，
所以雙曲線的標準方程為－＝1．
法二：設所求雙曲線的方程為－＝1(－4＜λ＜16)．
因為雙曲線經過點(3，2)，所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以雙曲線的標準方程為－＝1．]
探究3　雙曲線標準方程的識別
[典例講評]　3．若方程＋＝1表示雙曲線，則實數k的取值范圍是(　　)
A．2＜k＜5 B．k＞5 C．k＜2或k＞5 D．以上答案均不對
C　[由題意知(k－2)(5－k)＜0，
即(k－2)(k－5)＞0，
解得k＞5或k＜2．
則實數k的取值范圍是k＞5或k＜2．
故選C．]
[母題探究]　若該方程表示焦點在x軸上的雙曲線，求實數k的取值范圍．
[解]　方程表示焦點在x軸上的雙曲線，
則有解得k＞5．
因此實數k的取值范圍是(5，＋∞)．
　方程表示雙曲線的條件
(1)對于方程＋＝1，當mn<0時表示雙曲線，進一步來說，當m>0，n<0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n>0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
(2)對于方程－＝1，當mn>0時表示雙曲線，且當m>0，n>0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n<0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
[學以致用]　4．“m＞2”是“方程－＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[方程－＝1表示雙曲線，則(m－2)·(m－1)＞0，解得m＜1或m＞2，所以“m＞2”是“方程－＝1表示雙曲線”的充分不必要條件．故選A．]
1．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝4，則點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．不存在 D．一條射線
B　[F1(－3，0)，F2(3，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝4．
因為|F1F2|＝6＞4，則動點P的軌跡滿足雙曲線的定義．
|PF1|－|PF2|＝4＞0，則點P的軌跡是雙曲線的一支．故選B．]
2．“0＜k＜1”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
A　[若方程表示雙曲線，則(k－1)(k＋2)＜0，得－2＜k＜1，
即“0＜k＜1”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充分不必要條件．
故選A．]
3．雙曲線－y2＝1與橢圓＋＝1的焦點相同，則a等于(　　)
A．1 B．－2 C．1或－2 D．2
A　[因為雙曲線－y2＝1與橢圓＋＝1的焦點相同，
則a＋1＋1＝4－a2，且a＋1＞0，4＞a2，解得a＝－2(舍)或a＝1，故選A．]
4．如果雙曲線－＝1上一點P到焦點F1的距離等于6，那么點P到另一焦點F2的距離是________．
22　[由題意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝6，所以|PF2|＝22．]
1．知識鏈：(1)雙曲線的定義．
(2)雙曲線的標準方程及其推導．
(3)雙曲線標準方程的識別．
2．方法鏈：待定系數法、分類討論法．
3．警示牌：(1)易忽略雙曲線的定義中的2a＜|F1F2|或把雙曲線的一支誤認為雙曲線的兩支．
(2)易忽略對雙曲線焦點位置的判斷．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．雙曲線是如何定義的？請寫出它的標準方程．
[提示]　定義：把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．
標準方程：－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)．
2．方程－＝1表示雙曲線，則m，n滿足的條件是什么？若方程表示焦點在x軸(y軸)上的雙曲線，則m，n滿足什么條件？
[提示]　(1)若表示雙曲線，則滿足mn>0．
(2)若表示焦點在x軸上的雙曲線，則滿足
(3)若表示焦點在y軸上的雙曲線，則滿足
課時分層作業(二十八)　雙曲線及其標準方程
一、選擇題
1．已知動點P到點M(1，0)，N(－1，0)的距離之差的絕對值為2，則點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線 B．雙曲線的一支
C．兩條射線 D．一條射線
C　[由題知||PM|－|PN||＝2，且|MN|＝2，則點P的軌跡是兩條射線，故選C．]
2．雙曲線－y2＝1的焦點坐標為(　　)
A．(±1，0) B．(±，0)
C．(±，0) D．(±，0)
C　[由雙曲線－y2＝1，可知a＝，b＝1，c＝，所以雙曲線的焦點坐標為(±，0)．故選C．]
3．若橢圓＋＝1(m＞0)與雙曲線－＝1(m＞0)有相同的焦點，則m的值是(　　)
A． B．1或2 C．1或 D．1
D　[由題意可得焦點在x軸上，可得0＜m＜2，
則＝，解得m＝1．故選D．]
4．“k＞4”是“方程＋＝1表示的曲線是雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[若曲線＋＝1表示雙曲線，
則(k－2)·(4－k)＜0，解得k＞4或k＜2．
“k＞4”能推出“k＞4或k＜2”，滿足充分性；
“k＞4或k＜2”不能推出“k＞4”，不滿足必要性；
故“k＞4”是“方程＋＝1表示的曲線是雙曲線”的充分不必要條件．
故選A．]
5．已知雙曲線C的焦點與橢圓E：＋＝1的上、下頂點相同，且經過E的焦點，則C的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
C　[已知橢圓E：＋＝1的上、下頂點坐標為(0，4)，(0，－4)，焦點坐標為(0，3)，(0，－3)，又雙曲線C的焦點與橢圓E：＋＝1的上、下頂點相同，且經過E的焦點，設雙曲線方程為－＝1，a＞0，b＞0，
則a＝3，c＝4，b＝＝，則C的方程為－＝1．故選C．]
二、填空題
6．過點(3，2)且與橢圓3x2＋8y2＝24有相同焦點的雙曲線方程為________．
－＝1　[橢圓3x2＋8y2＝24，即＋＝1，可得橢圓的焦點坐標為(－，0)，(，0)，
設雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則c2＝a2＋b2＝5，又－＝1，
解得a＝，b＝，所以雙曲線的方程為－＝1．]
7．若點P在雙曲線－＝1上，且點P的橫坐標與雙曲線的右焦點的橫坐標相同，則點P的縱坐標為________，點P與雙曲線的左焦點的距離為________．
±3　11　[記雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，設P(xP，yP)．因為點P的橫坐標與雙曲線的右焦點的橫坐標相同，所以xP＝＝2，所以－＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3．由雙曲線定義可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11．]
8．雙曲線Γ經過兩點A(－，－)，B，則雙曲線Γ的標準方程是________．
x2－＝1　[設雙曲線方程為：mx2－ny2＝1，mn＞0．
由雙曲線過A，B兩點，得
解得
所以雙曲線的標準方程為x2－＝1．]
三、解答題
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實數，對于不同范圍的k值，分別指出方程所表示的曲線類型．
[解]　(1)當k＝0時，方程為y＝±2，表示兩條與x軸平行的直線；
(2)當k＝1時，方程為x2＋y2＝4，表示圓心為原點，半徑為2的圓；
(3)當k＜0時，方程為－＝1，表示焦點在y軸上的雙曲線；
(4)當0＜k＜1時，方程為＋＝1，表示焦點在x軸上的橢圓；
(5)當k＞1時，方程為＋＝1，表示焦點在y軸上的橢圓．
10．(多選)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，則(　　)
A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為
C．若mn＜0，則C是雙曲線
D．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線
ACD　[對于A，當m＞n＞0時，有＞＞0，
方程化為＋＝1，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；
對于B，由m＝n＞0，方程變形為x2＋y2＝，
該方程表示半徑為的圓，故B錯誤；
對于C，由mn＜0知曲線表示雙曲線，故C正確；
對于D，當m＝0，n＞0時，方程變為ny2＝1表示兩條直線，故D正確．故選ACD．]
11．與圓x2＋y2＝4及圓x2＋y2－8x－6y＋24＝0都外切的圓的圓心在(　　)
A．一個橢圓上 B．雙曲線的一支上　
C．一條直線上 D．一個圓上
B　[圓x2＋y2＝4的圓心F1(0，0)，半徑為2，
圓x2＋y2－8x－6y＋24＝0可化為(x－4)2＋(y－3)2＝1，圓心F2(4，3)，半徑為1，
設所求圓的圓心為P，半徑為r，
由題意可知|PF1|＝r＋2，|PF2|＝r＋1，
則|PF1|－|PF2|＝1＜|F1F2|，
故由雙曲線的定義可知，所求圓的圓心的軌跡為雙曲線的一支．
故選B．]
12．已知點M(－，0)，N(，0)，動點P滿足條件|PM|-|PN|＝4．則動點P的軌跡方程為(　　)
A．－y2＝1(x≥)
B．－y2＝1(x≤－)
C．－y2＝1(x≥2)
D．－y2＝1(x≤－2)
C　[由點M(－，0)，N(，0)，可得|MN|＝2，
又由|PM|－|PN|＝4，可得|PM|－|PN|＝4＜|MN|＝2，
根據雙曲線的定義，可得點P的軌跡為以M，N為焦點的雙曲線的右支，
且2a＝4，2c＝2，可得a＝2，c＝，則b2＝c2－a2＝1，
所以點P的軌跡方程為－y2＝1(x≥2)．
故選C．]
13．動點P與點F1(0，5)，F2(0，－5)滿足|PF1|－|PF2|＝6，則動點P的軌跡方程為________．
－＝1(y≤－3)　[由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10知，點P的軌跡是以F1，F2為焦點的雙曲線的下支，
得c＝5，2a＝6，
∴a＝3，∴b2＝16，
故動點P的軌跡方程是－＝1(y≤－3)．]
14．在面積為12的△PEF中，已知tan ∠PEF＝，tan ∠PFE＝－2，試建立適當平面直角坐標系，求出分別以E，F為左、右焦點且過點P的雙曲線方程．
[解]　以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(圖略)，
設以E，F為焦點且過點P的雙曲線方程為－＝1，
焦點為E(－c，0)，F(c，0)．設直線PF的傾斜角為α，
由tan ∠PEF＝，tan ∠EFP＝－2，tan α＝tan(π－∠EFP)＝2，
得直線PE和直線PF的方程分別為y＝(x＋c)和y＝2(x－c)．
將上述兩方程聯立，解得x＝c，y＝c，即點P坐標為．
在△EFP中，|EF|＝2c，EF上的高為點P的縱坐標，
由題設條件S△EFP＝c2＝12，∴c＝3，即點P坐標為(5，4)．
由兩點間的距離公式可得|PE|＝＝4＝＝2，
∴a＝．
又b2＝c2－a2＝4，
故所求雙曲線的方程為－＝1．
15．已知P為雙曲線－＝1右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，M為△PF1F2的內心．若＋8，則△MF1F2的面積為(　　)
A．2 B．10 C．8 D．5
B　[設△PF1F2的內切圓的半徑為R，
由雙曲線的標準方程可知a＝4，b＝3，c＝5．
因為＋8，
所以R＝8，即aR＝8，所以R＝2，
所以＝·2c·R＝10．]
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