資源簡介

第2課時　雙曲線的標準方程及其性質的應用
[學習目標]　1．理解直線與雙曲線的位置關系．(數學運算、直觀想象)
2．會求解有關弦長問題．(數學運算、邏輯推理)
[討論交流]　
問題1．直線與雙曲線只有1個交點，是不是直線與雙曲線相切？
問題2．你了解雙曲線的第二定義嗎？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線定義及其應用
探究問題1　通過學習教材P125例5，你有什么發現？
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[新知生成]
雙曲線的第二定義：當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數e＝(e＞1)時，這個點的軌跡是雙曲線．
[典例講評]　1．已知動點M(x，y)到定點F(5，0)的距離和它到定直線l：x＝的距離的比是常數，求動點M的軌跡．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　動點M(x，y)到定點F(2，0)的距離和它到定直線l：x＝8的距離的比是常數，求動點M的軌跡．
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　雙曲線和橢圓有統一的定義：當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數e＝．當e＞1時，點M的軌跡是雙曲線；當0＜e＜1時，這個點的軌跡是橢圓．
[學以致用]　1．雙曲線＝1上一點P到右焦點的距離為3，則P到直線x＝的距離為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
探究2　直線與雙曲線的位置關系
探究問題2　類比直線與橢圓的位置關系可知直線與雙曲線有幾種位置關系？
探究問題3　當直線與雙曲線僅有一個公共點時，該直線與雙曲線一定相切嗎？
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[新知生成]
直線與雙曲線位置關系的判斷
設直線l：y＝kx＋m(m≠0)，①
雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)，②
將①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0．
a．當A＝0時，直線l與雙曲線的________平行，直線與雙曲線C相交于一點．
b．當A≠0時．
①Δ＞0 直線與雙曲線有________公共點，此時直線與雙曲線相交；
②Δ＝0 直線與雙曲線有________公共點，此時直線與雙曲線相切；
③Δ＜0 直線與雙曲線________公共點，此時直線與雙曲線相離．
[典例講評]　2．已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝kx－1，試討論滿足下列條件的實數k的取值范圍．
(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；
(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
(3)直線l與雙曲線沒有公共點．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　1．解決直線與雙曲線的公共點問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數為0時，直線與漸近線平行的特殊情況．
2．雙曲線與直線只有一個公共點的題目，應分兩種情況討論：直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行．
3．注意對直線的斜率是否存在進行討論．
[學以致用]　2．已知雙曲線x2－＝1，過點P(1，1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k．
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探究3　弦長公式及中點弦問題
[典例講評]　3．(1)已知雙曲線方程為2x2－y2＝2，則以點A(2，3)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0
(2)斜率為2的直線l與雙曲線＝1交于A，B兩點，且|AB|＝4，則直線l的方程為________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　雙曲線中有關弦長問題，解決方法與橢圓中類似．解決中點弦問題常用判別式法和點差法，注意所求參數的取值范圍．
[學以致用]　3．已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作傾斜角為的弦AB．求：
(1)AB的長；
(2)△F2AB的周長．
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1．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實數k的取值范圍為(　　)
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
2．設A，B為雙曲線＝1右支上的兩點，若線段AB的中點為M(3，6)，則直線AB的方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0
3．過雙曲線x2－＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|＝(　　)
A． B．2 C．6 D．4
4．已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的右焦點為F．若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則雙曲線離心率e的取值范圍是________．
1．知識鏈：(1)與雙曲線有關的軌跡問題．(第二定義)
(2)直線與雙曲線的位置關系．
(3)弦長與中點弦問題．
2．方法鏈：定義法、坐標法、點差法．
3．警示牌：判斷直線與雙曲線交點個數時，方程聯立消元后，忽視對二次項系數討論．代數計算中的運算失誤．
5/5(共41張PPT)
第2課時　雙曲線的標準方程及其性質的應用
第三章　圓錐曲線的方程
3.2　雙曲線
3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質
[學習目標]　1．理解直線與雙曲線的位置關系．(數學運算、直觀
想象)
2．會求解有關弦長問題．(數學運算、邏輯推理)
整體感知
類比直線與橢圓的位置關系可知直線與雙曲線有哪幾種位置關系？
[討論交流]　
問題1．直線與雙曲線只有1個交點，是不是直線與雙曲線相切？
問題2．你了解雙曲線的第二定義嗎？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線定義及其應用
探究問題1　通過學習教材P125例5，你有什么發現？
探究建構
[提示]　當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比值是常數且大于1時，點M的軌跡是雙曲線．
[新知生成]
雙曲線的第二定義：當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數e＝(e＞1)時，這個點的軌跡是雙曲線．
【教用·微提醒】　(1)定點和定直線是相對應的，如定點是右焦點，則定直線為x＝．
(2)距離比是離心率e，若e＞1，則點M的軌跡是雙曲線，若0＜e＜1，則點M的軌跡是橢圓．
【鏈接·教材例題】
例5　動點M(x，y)與定點F(4，0)的距離和它到定直線l：x＝的距離的比是常數，求動點M的軌跡．
[解]　設d是點M到直線l的距離，根據題意，動點M的軌跡就是點的集合P＝，由此得＝．
將上式兩邊平方，并化簡，得7x2－9y2＝63，
即－＝1．
所以，點M的軌跡是焦點在x軸上，
實軸長為6、虛軸長為2的雙曲線(圖3.2-11)．
[典例講評]　1．已知動點M(x，y)到定點F(5，0)的距離和它到定直線l：x＝的距離的比是常數，求動點M的軌跡．
[解]　設d是點M到直線l的距離，根據題意，所求軌跡就是點的集合
P＝，由此得＝．
將上式兩邊平方并化簡，得9x2－16y2＝144，
即－＝1．所以點M的軌跡是焦點在x軸上，
實軸長為8，虛軸長為6的雙曲線．
[母題探究]　動點M(x，y)到定點F(2，0)的距離和它到定直線l：x＝8的距離的比是常數，求動點M的軌跡．
[解]　設d是點M到直線l：x＝8的距離，
根據題意，動點M的軌跡就是點的集合P＝，
由此得＝，將上式兩邊平方并化簡，得3x2＋4y2＝48，
即＋＝1．
所以，點M的軌跡是焦點在x軸，長軸長為8、短軸長為4的橢圓．
反思領悟　雙曲線和橢圓有統一的定義：當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數e＝．當e＞1時，點M的軌跡是雙曲線；當0＜e＜1時，這個點的軌跡是橢圓．
[學以致用]　1．雙曲線－＝1上一點P到右焦點的距離為3，則P到直線x＝的距離為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[由雙曲線－＝1知a＝3，b＝2，c＝，
離心率e＝＝，右焦點為F(，0)，設P到x＝的距離為d，則＝e，所以d＝＝＝＝．故選C．]
√
探究2　直線與雙曲線的位置關系
探究問題2　類比直線與橢圓的位置關系可知直線與雙曲線有幾種位置關系？
[提示]　三種，分別為相交、相切、相離．
探究問題3　當直線與雙曲線僅有一個公共點時，該直線與雙曲線一定相切嗎？
[提示]　不一定．當直線與漸近線平行時，僅有一個交點．
[新知生成]
直線與雙曲線位置關系的判斷
設直線l：y＝kx＋m(m≠0)， ①
雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)， ②
將①代入②，得Ax2＋Bx＋C＝0．
a．當A＝0時，直線l與雙曲線的______平行，直線與雙曲線C相交于一點．
b．當A≠0時．
①Δ＞0 直線與雙曲線有____公共點，此時直線與雙曲線相交；
②Δ＝0 直線與雙曲線有____公共點，此時直線與雙曲線相切；
③Δ＜0 直線與雙曲線____公共點，此時直線與雙曲線相離．
漸近線
兩個
一個
沒有
【教用·微提醒】　(1)相交時可能有一個或兩個公共點；有一個公共點時，直線與雙曲線可能相切或相交．
(2)消元后注意二次項的系數，二次項系數可能為0，此時，直線與雙曲線的漸近線平行．
[典例講評]　2．已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝kx－1，試討論滿足下列條件的實數k的取值范圍．
(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；
(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
(3)直線l與雙曲線沒有公共點．
[解]　由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0．①
(1)直線l與雙曲線有兩個公共點，則①式方程有兩個不相等的根．
∴
解得－＜k＜，且k≠±1，
∴實數k的取值范圍為∪(－1，1)∪．
(2)直線l與雙曲線只有一個公共點，則①式方程只有一解．
當1－k2≠0，即k≠±1時，Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0．
得k＝±，此時方程①有兩個相同的實數解，
即直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
當1－k2＝0，即k＝±1時，
直線l與雙曲線的漸近線平行，方程①化為2x＝5或－2x＝5，故方程①只有一個實數解，即直線l與雙曲線相交，有且只有一個公共點．故當k＝±或±1時，直線l與雙曲線有且只有一個公共點．
(3)直線l與雙曲線沒有公共點，則①式方程無解．
∴
解得k＞或k＜－．
則實數k的取值范圍為∪．
反思領悟　1．解決直線與雙曲線的公共點問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數為0時，直線與漸近線平行的特殊情況．
2．雙曲線與直線只有一個公共點的題目，應分兩種情況討論：直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行．
3．注意對直線的斜率是否存在進行討論．
[學以致用]　2．已知雙曲線x2－＝1，過點P(1，1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k．
[解]　①當直線l的斜率不存在時，
l：x＝1與雙曲線相切，符合題意．
②當直線l的斜率存在時，設l的方程為y＝k(x－1)＋1，代入雙曲線方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0．當4－k2＝0，即k＝±2時，
l與雙曲線的漸近線平行，l與雙曲線只有一個公共點；當4－k2≠0時，令Δ＝0，得k＝．
綜上，k＝或k＝±2或k不存在時，直線l與雙曲線只有一個公共點．
探究3　弦長公式及中點弦問題
【鏈接·教材例題】
例6　如圖3.2-12，過雙曲線－＝1的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，求|AB|．
[解]　由雙曲線的標準方程可知，雙曲線的焦點分別為F1(－3，0)，F2(3，0)．
因為直線AB的傾斜角是30°，且經過右焦點F2，所以直線AB的方程為y＝(x－3)．　　①
由消去y，得5x2＋6x－27＝0．
解方程，得x1＝－3，x2＝．
將x1，x2的值分別代入①，得y1＝－2，y2＝－．
于是，A，B兩點的坐標分別為(－3，－2)，．
所以|AB|＝
＝
＝．
[典例講評]　3．(1)已知雙曲線方程為2x2－y2＝2，則以點A(2，3)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0
(2)斜率為2的直線l與雙曲線－＝1交于A，B兩點，且|AB|＝4，則直線l的方程為_____________．
√
y＝2x±
(1)A　(2)y＝2x±　[(1)設弦的兩端點分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則＝2，
兩式相減，得2(x1－x2)·(x1＋x2)－(y1－y2)·(y1＋y2)＝0．
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝6，
∴8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0 kPQ＝，
因此直線PQ的方程為y－3＝(x－2)，
即4x－3y＋1＝0，經驗證，直線4x－3y＋1＝0與雙曲線相交．
因此符合題意的直線方程為4x－3y＋1＝0．故選A．
(2)設直線l的方程為y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝2x＋m代入雙曲線的方程2x2－3y2－6＝0，得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0，
由Δ＞0得m＜－或m＞．
故x1＋x2＝－m， ①
x1x2＝． ②
由已知，得|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋4)·[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16， ③
將①②代入③，解得m＝±，滿足題意．
∴直線l的方程為y＝2x±．]
反思領悟　雙曲線中有關弦長問題，解決方法與橢圓中類似．解決中點弦問題常用判別式法和點差法，注意所求參數的取值范圍．
[學以致用]　3．已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作傾斜角為的弦AB．求：
(1)AB的長；
(2)△F2AB的周長．
[解]　(1)∵雙曲線的左焦點為F1(－2，0)，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB的方程可設為y＝(x＋2)，聯立方程x2－＝1，得8x2－4x－13＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝×＝3．
(2)由于F2(2，0)，由(1)可知，不妨設x1＞x2，
則A，B，
則△F2AB的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝3＋＋＝3＋3．
1．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實數k的取值范圍為(　　)
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
A　[易知k≠±2，將y＝kx代入4x2－y2＝16得關于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－22．設A，B為雙曲線－＝1上的兩點，若線段AB的中點為
M(3，6)，則直線AB的方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0
2
3
題號
1
4
√
2
3
題號
1
4
C　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則有兩式相減，得＝，
因為線段AB的中點為M(3，6)，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12，
因此由＝ ＝1，
即直線AB的斜率為1，方程為y－6＝x－3 x－y＋3＝0，經檢驗，該直線與雙曲線交于兩點，符合題意，故選C．]
3．過雙曲線x2－＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|＝(　　)
A． 　　　　B．2 　　　　C．6 　　　　D．4
2
3
題號
4
1
√
D　[由題知雙曲線的右焦點為F(2，0)，過點F且與x軸垂直的直線為x＝2，漸近線方程為y＝±x，將x＝2代入y＝±x得y＝±2＝4．]
4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F．若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則雙曲線離心率e的取值范圍是____________．
2
4
3
題號
1
[2，＋∞)　[由題意知≥，則≥3，所以c2－a2≥3a2，
即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．]
[2，＋∞)　
1．知識鏈：(1)與雙曲線有關的軌跡問題．(第二定義)
(2)直線與雙曲線的位置關系．
(3)弦長與中點弦問題．
2．方法鏈：定義法、坐標法、點差法．
3．警示牌：判斷直線與雙曲線交點個數時，方程聯立消元后，忽視對二次項系數討論．代數計算中的運算失誤．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．直線與雙曲線相交，有兩個交點時，其弦長公式與直線與橢圓相交時的弦長公式是否相同，你能寫出來嗎？
[提示]　完全相同．直線y＝kx＋m與雙曲線－＝1相交，其交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝．
2．直線與雙曲線只有一個公共點，那么直線與雙曲線一定相切嗎？
[提示]　直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個公共點，但直線與雙曲線相交，不相切．
課時分層作業(三十一)
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雙曲線的標準方程及其性質的應用
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS課時分層作業(三十一)　雙曲線的標準方程及其性質的應用
一、選擇題
1．已知雙曲線方程為x2－＝1，過點P(1，0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l共有(　　)
A．4條　　　B．3條　　　C．2條　　　D．1條
2．已知F1，F2分別是雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P為雙曲線C上的動點，過點F2作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為Q，則點Q的軌跡是(　　)
A．圓　　　B．橢圓　　　C．雙曲線　　　D．直線
3．直線l與雙曲線x2－＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(3，2)，則直線l的斜率為(　　)
A．3　　　B．6　　　C．8　　　D．12
4．已知雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝x，過其左焦點F(，0)作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點，則截得的弦長|AB|
＝(　　)
A．2　　　B．4　　　C．10　　　D．10
5．已知雙曲線E的中心在原點，F(3，0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則E的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、填空題
6．過雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于________．
7．(2024·北京卷)若直線y＝k(x－3)與雙曲線－y2＝1只有一個公共點，則k的一個取值為________．
8．已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－＝1交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，則實數m的值是________．
三、解答題
9．已知雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，且經過點()．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的右焦點F且傾斜角為60°的直線交雙曲線于A，B兩點，求弦長|AB|．
10．斜率為2的直線l過雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的右焦點，且與雙曲線的兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　)
A．[2，＋∞) B．()
C．() D．()
11．(多選)已知雙曲線C：＝1，點P(1，2)，則(　　)
A．該雙曲線的漸近線方程為y＝±x
B．過點(3，0)的直線與雙曲線C交于A，B兩點，若|AB|＝5，則滿足的直線有1條
C．與雙曲線C兩支各有一個交點的直線的斜率可以是1.1
D．過點P能作4條僅與雙曲線C有一個交點的直線
12．設雙曲線＝1的右頂點為A，右焦點為F，過點F作平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為________．
13．已知雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4，且過點()．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l：y＝kx＋2與雙曲線C有且只有一個公共點，求實數k的值．
14．已知雙曲線C的漸近線為4x±3y＝0，右焦點為F(5，0)，右頂點為A．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(與點A不重合)，當·＝0時，求直線l的方程．
3/3第2課時　雙曲線的標準方程及其性質的應用
[學習目標]　1．理解直線與雙曲線的位置關系．(數學運算、直觀想象)
2．會求解有關弦長問題．(數學運算、邏輯推理)
類比直線與橢圓的位置關系可知直線與雙曲線有哪幾種位置關系？
[討論交流]　
問題1．直線與雙曲線只有1個交點，是不是直線與雙曲線相切？
問題2．你了解雙曲線的第二定義嗎？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線定義及其應用
探究問題1　通過學習教材P125例5，你有什么發現？
[提示]　當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比值是常數且大于1時，點M的軌跡是雙曲線．
[新知生成]
雙曲線的第二定義：當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數e＝(e＞1)時，這個點的軌跡是雙曲線．
【教用·微提醒】　(1)定點和定直線是相對應的，如定點是右焦點，則定直線為x＝．
(2)距離比是離心率e，若e＞1，則點M的軌跡是雙曲線，若0＜e＜1，則點M的軌跡是橢圓．
【鏈接·教材例題】
例5　動點M(x，y)與定點F(4，0)的距離和它到定直線l：x＝的距離的比是常數，求動點M的軌跡．
[解]　設d是點M到直線l的距離，根據題意，動點M的軌跡就是點的集合P＝，
由此得＝．
將上式兩邊平方，并化簡，得7x2－9y2＝63，即－＝1．
所以，點M的軌跡是焦點在x軸上，實軸長為6、虛軸長為2的雙曲線(圖3.2-11)．
[典例講評]　1．已知動點M(x，y)到定點F(5，0)的距離和它到定直線l：x＝的距離的比是常數，求動點M的軌跡．
[解]　設d是點M到直線l的距離，根據題意，所求軌跡就是點的集合P＝，
由此得＝．
將上式兩邊平方并化簡，得9x2－16y2＝144，
即－＝1．
所以點M的軌跡是焦點在x軸上，實軸長為8，虛軸長為6的雙曲線．
[母題探究]　動點M(x，y)到定點F(2，0)的距離和它到定直線l：x＝8的距離的比是常數，求動點M的軌跡．
[解]　設d是點M到直線l：x＝8的距離，
根據題意，動點M的軌跡就是點的集合P＝，
由此得＝，將上式兩邊平方并化簡，得3x2＋4y2＝48，即＋＝1．
所以，點M的軌跡是焦點在x軸，長軸長為8、短軸長為4的橢圓．
　雙曲線和橢圓有統一的定義：當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數e＝．當e＞1時，點M的軌跡是雙曲線；當0＜e＜1時，這個點的軌跡是橢圓．
[學以致用]　1．雙曲線－＝1上一點P到右焦點的距離為3，則P到直線x＝的距離為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[由雙曲線－＝1知a＝3，b＝2，c＝，
離心率e＝＝，右焦點為F(，0)，設P到x＝的距離為d，則＝e，
所以d＝＝＝＝．故選C．]
探究2　直線與雙曲線的位置關系
探究問題2　類比直線與橢圓的位置關系可知直線與雙曲線有幾種位置關系？
[提示]　三種，分別為相交、相切、相離．
探究問題3　當直線與雙曲線僅有一個公共點時，該直線與雙曲線一定相切嗎？
[提示]　不一定．當直線與漸近線平行時，僅有一個交點．
[新知生成]
直線與雙曲線位置關系的判斷
設直線l：y＝kx＋m(m≠0)，①
雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)，②
將①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0．
a．當A＝0時，直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線C相交于一點．
b．當A≠0時．
①Δ＞0 直線與雙曲線有兩個公共點，此時直線與雙曲線相交；
②Δ＝0 直線與雙曲線有一個公共點，此時直線與雙曲線相切；
③Δ＜0 直線與雙曲線沒有公共點，此時直線與雙曲線相離．
【教用·微提醒】　(1)相交時可能有一個或兩個公共點；有一個公共點時，直線與雙曲線可能相切或相交．
(2)消元后注意二次項的系數，二次項系數可能為0，此時，直線與雙曲線的漸近線平行．
[典例講評]　2．已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝kx－1，試討論滿足下列條件的實數k的取值范圍．
(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；
(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
(3)直線l與雙曲線沒有公共點．
[解]　由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0．①
(1)直線l與雙曲線有兩個公共點，則①式方程有兩個不相等的根．
∴
解得－＜k＜，且k≠±1，
∴實數k的取值范圍為∪(－1，1)∪．
(2)直線l與雙曲線只有一個公共點，則①式方程只有一解．
當1－k2≠0，即k≠±1時，
Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0．
得k＝±，
此時方程①有兩個相同的實數解，
即直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
當1－k2＝0，即k＝±1時，
直線l與雙曲線的漸近線平行，方程①化為2x＝5或－2x＝5，故方程①只有一個實數解，即直線l與雙曲線相交，有且只有一個公共點．故當k＝±或±1時，直線l與雙曲線有且只有一個公共點．
(3)直線l與雙曲線沒有公共點，則①式方程無解．
∴解得k＞或k＜－．
則實數k的取值范圍為∪．
　1．解決直線與雙曲線的公共點問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數為0時，直線與漸近線平行的特殊情況．
2．雙曲線與直線只有一個公共點的題目，應分兩種情況討論：直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行．
3．注意對直線的斜率是否存在進行討論．
[學以致用]　2．已知雙曲線x2－＝1，過點P(1，1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k．
[解]　①當直線l的斜率不存在時，
l：x＝1與雙曲線相切，符合題意．
②當直線l的斜率存在時，設l的方程為y＝k(x－1)＋1，代入雙曲線方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0．
當4－k2＝0，即k＝±2時，
l與雙曲線的漸近線平行，l與雙曲線只有一個公共點；當4－k2≠0時，令Δ＝0，得k＝．
綜上，k＝或k＝±2或k不存在時，直線l與雙曲線只有一個公共點．
探究3　弦長公式及中點弦問題
【鏈接·教材例題】
例6　如圖3.2-12，過雙曲線－＝1的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，求|AB|．
[解]　由雙曲線的標準方程可知，雙曲線的焦點分別為F1(－3，0)，F2(3，0)．
因為直線AB的傾斜角是30°，且經過右焦點F2，所以直線AB的方程為
y＝(x－3)．　　①
由消去y，得
5x2＋6x－27＝0．
解方程，得x1＝－3，x2＝．
將x1，x2的值分別代入①，得
y1＝－2，y2＝－．
于是，A，B兩點的坐標分別為(－3，－2)，．
所以|AB|＝
＝
＝．
[典例講評]　3．(1)已知雙曲線方程為2x2－y2＝2，則以點A(2，3)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0
(2)斜率為2的直線l與雙曲線－＝1交于A，B兩點，且|AB|＝4，則直線l的方程為________．
(1)A　(2)y＝2x±　[(1)設弦的兩端點分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則＝2，
兩式相減，得2(x1－x2)·(x1＋x2)－(y1－y2)·(y1＋y2)＝0．
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝6，
∴8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0 kPQ＝，
因此直線PQ的方程為y－3＝(x－2)，
即4x－3y＋1＝0，經驗證，直線4x－3y＋1＝0與雙曲線相交．
因此符合題意的直線方程為4x－3y＋1＝0．故選A．
(2)設直線l的方程為y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝2x＋m代入雙曲線的方程2x2－3y2－6＝0，得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0，
由Δ＞0得m＜－或m＞．
故x1＋x2＝－m，①
x1x2＝．②
由已知，得|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋4)·[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16，③
將①②代入③，解得m＝±，滿足題意．
∴直線l的方程為y＝2x±．]
　雙曲線中有關弦長問題，解決方法與橢圓中類似．解決中點弦問題常用判別式法和點差法，注意所求參數的取值范圍．
[學以致用]　3．已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作傾斜角為的弦AB．求：
(1)AB的長；
(2)△F2AB的周長．
[解]　(1)∵雙曲線的左焦點為F1(－2，0)，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB的方程可設為y＝(x＋2)，聯立方程x2－＝1，得8x2－4x－13＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝×＝3．
(2)由于F2(2，0)，由(1)可知，不妨設x1＞x2，
則A，B，
則△F2AB的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝3＋＋＝3＋3．
1．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實數k的取值范圍為(　　)
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
A　[易知k≠±2，將y＝kx代入4x2－y2＝16得關于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－22．設A，B為雙曲線－＝1上的兩點，若線段AB的中點為M(3，6)，則直線AB的方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0
C　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則有兩式相減，得＝，
因為線段AB的中點為M(3，6)，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12，
因此由＝ ＝1，
即直線AB的斜率為1，方程為y－6＝x－3 x－y＋3＝0，經檢驗，該直線與雙曲線交于兩點，符合題意，故選C．]
3．過雙曲線x2－＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|＝(　　)
A． B．2 C．6 D．4
D　[由題知雙曲線的右焦點為F(2，0)，過點F且與x軸垂直的直線為x＝2，漸近線方程為y＝±x，將x＝2代入y＝±x得y＝±2＝4．]
4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F．若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則雙曲線離心率e的取值范圍是________．
[2，＋∞)　[由題意知≥，則≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．]
1．知識鏈：(1)與雙曲線有關的軌跡問題．(第二定義)
(2)直線與雙曲線的位置關系．
(3)弦長與中點弦問題．
2．方法鏈：定義法、坐標法、點差法．
3．警示牌：判斷直線與雙曲線交點個數時，方程聯立消元后，忽視對二次項系數討論．代數計算中的運算失誤．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．直線與雙曲線相交，有兩個交點時，其弦長公式與直線與橢圓相交時的弦長公式是否相同，你能寫出來嗎？
[提示]　完全相同．直線y＝kx＋m與雙曲線－＝1相交，其交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝．
2．直線與雙曲線只有一個公共點，那么直線與雙曲線一定相切嗎？
[提示]　直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個公共點，但直線與雙曲線相交，不相切．
課時分層作業(三十一)　雙曲線的標準方程及其性質的應用
一、選擇題
1．已知雙曲線方程為x2－＝1，過點P(1，0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l共有(　　)
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
B　[因為雙曲線方程為x2－＝1，則P(1，0)是雙曲線的右頂點，所以過P(1，0)并且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線，與雙曲線只有一個公共點，另外兩條就是過P(1，0)分別和兩條漸近線平行的直線，所以符合要求的有3條．]
2．已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P為雙曲線C上的動點，過點F2作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為Q，則點Q的軌跡是(　　)
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線
A　[如圖，
點F2關于∠F1PF2的角平分線PQ的對稱點M在PF1上，故|F1M|＝|PF1|－|PM|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又OQ是△F2F1M的中位線，故|OQ|＝a，所以點Q的軌跡是以原點為圓心，a為半徑的圓．故選A．]
3．直線l與雙曲線x2－＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(3，2)，則直線l的斜率為(　　)
A．3 B．6 C．8 D．12
B　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，又線段AB的中點為M(3，2)，
則x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
則 (x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
化簡得·＝4 ＝4×＝4×＝6，
即kAB＝6．故選B．]
4．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝x，過其左焦點F(－，0)作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點，則截得的弦長|AB|＝(　　)
A．2 B．4 C．10 D．10
C　[因為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝x，所以＝，即b＝a．
因為左焦點F(－，0)，
所以c＝，
所以c2＝a2＋b2＝3a2＝3，
所以a2＝1，b2＝2，
所以雙曲線C的方程為x2－＝1，
直線l的方程為y＝2(x＋)．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y，可得x2＋4x＋7＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝7，
所以|AB|＝·
＝×＝×＝10．
故選C．]
5．已知雙曲線E的中心在原點，F(3，0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則E的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B　[由已知易得直線l的斜率k＝＝1，
設雙曲線E的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則－＝1，①
－＝1，②
x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，
由①②得＝，從而＝1，
又因為a2＋b2＝c2＝9，
故a2＝4，b2＝5，
所以E的方程為－＝1．]
二、填空題
6．過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于________．
2　[令x＝－c，得y2＝＝．
由題意得a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，
∴－－2＝0，
∴＝2或＝－1(舍去)，即離心率為2．]
7．(2024·北京卷)若直線y＝k(x－3)與雙曲線－y2＝1只有一個公共點，則k的一個取值為________．
　[由題意，知該雙曲線的漸近線方程為y＝±x，直線y＝k(x－3)過定點(3，0)．因為點(3，0)在雙曲線內，所以要使過該點的直線與雙曲線只有一個公共點，則該直線與雙曲線的漸近線平行，所以k＝±．]
8．已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－＝1交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，則實數m的值是________．
±1　[由消去y得x2－2mx－m2－2＝0．則Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以線段AB的中點坐標為(m，2m)．
又點(m，2m)在圓x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1．]
三、解答題
9．已知雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，且經過點(3，－2)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的右焦點F且傾斜角為60°的直線交雙曲線于A，B兩點，求弦長|AB|．
[解]　(1)因為雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，
所以可設雙曲線的方程為2x2－y2＝λ(λ≠0)．
又因為雙曲線經過點(3，－2)，代入方程可得λ＝6，
所以所求雙曲線的方程為－＝1．
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題及(1)知，過右焦點F(3，0)且傾斜角為60°的直線方程為y＝(x－3)，
聯立消去y，得x2－18x＋33＝0，因為Δ＞0，
由根與系數的關系得x1＋x2＝18，x1x2＝33，所以|AB|＝＝·＝2＝16＝16．
10．斜率為2的直線l過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，且與雙曲線的兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　)
A．[2，＋∞) B．(1，)
C．(1，) D．(，＋∞)
D　[設雙曲線的右焦點為F，如圖所示，
結合圖形分析可知，雙曲線的一條漸近線的斜率必大于2，即b>2a，因此該雙曲線的離心率e＝＝＝>＝．故選D．]
11．(多選)已知雙曲線C：－＝1，點P(1，2)，則(　　)
A．該雙曲線的漸近線方程為y＝±x
B．過點(3，0)的直線與雙曲線C交于A，B兩點，若|AB|＝5，則滿足的直線有1條
C．與雙曲線C兩支各有一個交點的直線的斜率可以是1.1
D．過點P能作4條僅與雙曲線C有一個交點的直線
ACD　[對于A，雙曲線C：－＝1的漸近線方程為y＝±x，故A正確；
對于B，由于雙曲線的實軸長為2a＝4，c＝3，
所以過焦點F與左、右兩支都相交的直線被雙曲線截得的弦長的取值范圍是[4，＋∞)，
所以存在關于x軸對稱的兩種情況，使其弦長為5，另外當直線垂直于x軸時，經計算可得弦長正好是5，故滿足條件的直線有三條，故B錯誤；
對于C，由于雙曲線的漸近線的斜率為±，焦點在x軸上，
若直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點，則直線l的斜率k∈，
因為1.1∈，故C正確；
對于D，由于點P(1，2)在雙曲線的兩條漸近線的上方，如圖所示：
故過點P能作4條直線與雙曲線C僅有一個交點，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與雙曲線相切，故D正確．故選ACD．]
12．設雙曲線－＝1的右頂點為A，右焦點為F，過點F作平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為________．
　[雙曲線－＝1的右頂點A(3，0)，右焦點F(5，0)，漸近線方程為y＝±x．不妨設直線FB的方程為y＝(x－5)，代入雙曲線方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝，y＝－，
∴B．
∴S△AFB＝＝＝×(5－3)×＝．]
13．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4，且過點(－3，2)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l：y＝kx＋2與雙曲線C有且只有一個公共點，求實數k的值．
[解]　(1)由題意可知雙曲線的焦點為(－2，0)和(2，0)，
根據定義有2a＝－＝2，
解得a＝1，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，c2＝4，b2＝3，
故所求雙曲線C的方程為x2－＝1．
(2)因為雙曲線C的方程為x2－＝1，所以其漸近線方程為y＝±x．
由消去y整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0，
①當3－k2＝0，即k＝±時，此時直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點，符合題意；
②當3－k2≠0即k≠±時，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±，
此時直線l與雙曲線相切，符合題意．
綜上所述：符合題意的k的所有取值為±，±．
14．已知雙曲線C的漸近線為4x±3y＝0，右焦點為F(5，0)，右頂點為A．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(與點A不重合)，當＝0時，求直線l的方程．
[解]　(1)雙曲線C的漸近線4x±3y＝0化為±＝0，
設雙曲線C的方程為－＝λ(λ＞0)，
即－＝1，又雙曲線C的右焦點為F(5，0)，則9λ＋16λ＝52，解得λ＝1，
∴雙曲線C的標準方程為－＝1．
(2)由(1)知，A(3，0)，設直線l的方程為y＝x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，顯然m≠－3，
聯立得7x2－18mx－(9m2＋144)＝0，
顯然Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝－，
而＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，
則＝(x1－3)(x2－3)＋(x1＋m)(x2＋m)
＝2x1x2＋(m－3)(x1＋x2)＋m2＋9
＝＋m2＋9＝0，
化簡得7m2－54m－225＝0，
即(7m－75)(m＋3)＝0，
而m≠－3，解得m＝，
∴直線l的方程為y＝x＋，即7x－7y＋75＝0．
13/163.2.2　雙曲線的簡單幾何性質
第1課時　雙曲線的簡單幾何性質
[學習目標]　1．掌握雙曲線的簡單幾何性質．(數學抽象、直觀想象)
2．理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．(數學抽象)
[討論交流]　
問題1．雙曲線有哪些幾何性質？
問題2．雙曲線的離心率與雙曲線的形狀有怎樣的聯系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線的幾何性質
探究問題1　已知雙曲線C的方程為x2－＝1，根據這個方程完成下列任務：
(1)觀察方程中x與y是否有取值范圍，由此指出雙曲線C在平面直角坐標系中的位置特征；
(2)指出雙曲線C是否關于x軸、y軸、原點對稱；
(3)指出雙曲線C與坐標軸是否有交點，如果有，求出交點坐標；
(4)如果(x，y)滿足雙曲線C的方程，說出當|x|增大時，|y|將怎樣變化，并指出這反映了雙曲線的形狀具有什么特點．
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[新知生成]
1．雙曲線的幾何性質
標準方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
圖形
性質 范圍 x≥a，或x≤－a；y∈R ____________
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 頂點坐標：A1(－a，0)，A2(a，0) 頂點坐標：____________，________
軸長 實軸長：2a；虛軸長：________
漸近線 y＝±x y＝________
離心率 e＝________，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的關系 c2＝________(c>a>0，c>b>0)
2．等軸雙曲線
實軸和虛軸________的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為________，離心率為________．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)求雙曲線＝1的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、漸近線方程和離心率，并畫出該雙曲線的草圖．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　若將雙曲線的方程變為nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程．
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　由雙曲線方程研究幾何性質的注意點
(1)把雙曲線方程化為標準形式，確定焦點位置，進而確定a，b的值是關鍵．
(2)由c2＝a2＋b2(易與橢圓中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質．
(3)漸近線是雙曲線的重要性質：先畫漸近線可使圖形更準確，焦點到漸近線距離為虛半軸長．
(4)注意雙曲線中一些特殊線段(值)的應用．如過雙曲線＝1的左焦點F1(－c，0)垂直于x軸的弦AB，則|AB|＝．
[學以致用]　1．雙曲線C：＝1與雙曲線D：＝－1具有相同的(　　)
A．焦點　　　　 B．實軸長
C．離心率 D．漸近線
探究2　由雙曲線的幾何性質求標準方程
[典例講評]　2．(1)與橢圓＝1有公共焦點，且離心率e＝的雙曲線的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：
①雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，焦點在y軸上，兩頂點之間的距離為4；
②雙曲線E與雙曲線＝1有共同的漸近線，并且經過點．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　1．由幾何性質求雙曲線標準方程的解題思路
由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程，一般用待定系數法．當雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論，為了避免討論，也可設雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常見雙曲線方程的設法
(1)漸近線為y＝±x的雙曲線方程可設為＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設為A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)與雙曲線＝1或＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程可設為＝λ或＝λ(λ≠0)．
(3)與雙曲線＝1(a＞0，b＞0)離心率相等的雙曲線系方程可設為＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，這是因為由離心率不能確定焦點位置．
[學以致用]　2．求下列雙曲線的方程．
(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為；
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(2)過點(2，0)，與雙曲線＝1的離心率相等．
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探究3　求雙曲線的離心率
[典例講評]　3．已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，以F為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線的兩個交點為A，B．若∠AFB＝60°，則該雙曲線的離心率為(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　結合橢圓離心率的求法，試總結雙曲線離心率的求解方法．
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[學以致用]　3．(2024·新高考Ⅰ卷)設雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|＝13，|AB|＝10，則C的離心率為________．
1．實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標準方程是(　　)
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C．＝1，或＝1
D．x2－＝1，或y2－＝1
2．(多選)已知雙曲線方程為x2－8y2＝32，則(　　)
A．實軸長為8 B．虛軸長為4
C．焦距為6 D．離心率為
3．如圖，雙曲線E：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2的直線l與其右支交于P，Q兩點，已知|PF1|＝2|PF2|且∠PF1F2＝∠F1QP，則雙曲線E的離心率為(　　)
A．3 B．2 C． D．
4．請寫出漸近線方程為y＝±x的一個雙曲線方程________．
1．知識鏈：(1)雙曲線的幾何性質．
(2)等軸雙曲線．
(3)雙曲線的離心率．
2．方法鏈：待定系數法、直接法、方程法．
3．警示牌：由雙曲線的幾何性質求其方程時，對于焦點的位置應考慮全面．
6/6(共42張PPT)
第1課時　雙曲線的簡單幾何性質
第三章　圓錐曲線的方程
3.2　雙曲線
3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質
[學習目標]　1．掌握雙曲線的簡單幾何性質．(數學抽象、直觀想象)
2．理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．(數學抽象)
整體感知
(教師用書)
在研究橢圓的幾何性質時，我們從圖形、方程、范圍、頂點、軸長、焦點、對稱性、離心率等多方面進行了研究，下面我們類比研究橢圓性質的方法研究雙曲線的性質．
[討論交流]　
問題1．雙曲線有哪些幾何性質？
問題2．雙曲線的離心率與雙曲線的形狀有怎樣的聯系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線的幾何性質
探究問題1　已知雙曲線C的方程為x2－＝1，根據這個方程完成下列任務：
(1)觀察方程中x與y是否有取值范圍，由此指出雙曲線C在平面直角坐標系中的位置特征；
(2)指出雙曲線C是否關于x軸、y軸、原點對稱；
(3)指出雙曲線C與坐標軸是否有交點，如果有，求出交點坐標；
(4)如果(x，y)滿足雙曲線C的方程，說出當|x|增大時，|y|將怎樣變化，并指出這反映了雙曲線的形狀具有什么特點．
探究建構
[提示]　(1)|x|≥1，y∈R，雙曲線C位于直線x＝－1及其左側和直線x＝1及其右側的區域；
(2)雙曲線C關于x軸、y軸軸對稱，關于原點中心對稱；
(3)與x軸交于(±1，0)，與y軸無交點；
(4)|x|增大，|y|隨著增大，隨著|x|的增大，曲線無限接近y＝±2x．
[新知生成]
1．雙曲線的幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖形
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性質 范圍 x≥a，或x≤－a；y∈R ______________________
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 頂點坐標：A1(－a，0)，A2(a，0) 頂點坐標：___________，
_________
軸長 實軸長：2a；虛軸長：_____
漸近線 y＝±x y＝_______
離心率 e＝___，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的關系 c2＝_________ (c>a>0，c>b>0)
y≤－a，或y≥a；x∈R
A1(0，－a)
A2(0，a)
2b
±x
a2＋b2
2．等軸雙曲線
實軸和虛軸____的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為_______，
離心率為____．
等長
y＝±x
【教用·微提醒】　對于雙曲線－＝1：
(1)范圍：說明雙曲線位于直線x＝－a及其左側和直線x＝a及其右側的區域．
(2)頂點：是雙曲線與實軸的交點，只有兩個，與焦點在同一坐標軸上．線段A1A2叫雙曲線的實軸，也存在著虛軸B1B2(并不虛)．
(3)離心率：e是表示雙曲線的焦距與實軸長的比值．也可用e＝，e越大，雙曲線“張口”越開闊．
(4)漸近線：是雙曲線特有的性質，實際上，雙曲線與它的漸近線無限接近，但永遠不相交．
雙曲線－＝λ(λ≠0)的漸近線都是－＝0．
【鏈接·教材例題】
例3　求雙曲線9y2－16x2＝144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．
[解]　把雙曲線的方程9y2－16x2＝144化為標準方程－＝1．
由此可知，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝3；c＝＝＝5，焦點坐標是(0，－5)，(0，5)；離心率e＝＝；漸近線方程為y＝±x．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)求雙曲線－＝1的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、漸近線方程和離心率，并畫出該雙曲線的
草圖．
[解]　由雙曲線方程可得實半軸長a＝3，虛半軸長b＝4，
c＝＝＝5，于是焦點坐標為(－5，0)，(5，0)．
漸近線方程為y＝±x＝±x，離心率e＝＝．
為畫出雙曲線的草圖，在坐標系中畫出漸近線y＝±x，頂點(±3，0)．算出雙曲線在第一象限內一點的坐標，例如取x＝5，算出y＝≈5.33，可知點(5，±5.33)在雙曲線上．將y軸右邊已知的三點(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次連成光滑曲線并讓它逐步接近漸近線，就畫出了雙曲線的一支．由對稱性可畫出位于y軸左邊的另一支，如圖所示．
[母題探究]　若將雙曲線的方程變為nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程．
[解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化為標準方程為－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，實半軸長a＝，虛半軸長b＝，c＝，
焦點坐標為(，0)，(－，0)，
離心率e＝＝＝，頂點坐標為(－，0)，(，0)，
所以漸近線方程為y＝± x，即y＝±x．
反思領悟　由雙曲線方程研究幾何性質的注意點
(1)把雙曲線方程化為標準形式，確定焦點位置，進而確定a，b的值是關鍵．
(2)由c2＝a2＋b2(易與橢圓中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質．
(3)漸近線是雙曲線的重要性質：先畫漸近線可使圖形更準確，焦點到漸近線距離為虛半軸長．
(4)注意雙曲線中一些特殊線段(值)的應用．
如過雙曲線－＝1的左焦點F1(－c，0)垂直于x軸的弦AB，則|AB|＝．
[學以致用]　1．雙曲線C：－＝1與雙曲線D：－＝－1具有相同的(　　)
A．焦點　　　B．實軸長　　　C．離心率　　　D．漸近線
D　[將雙曲線D：－＝－1化為標準方程得D：－＝1，
對于雙曲線C：－＝1，a2＝4，b2＝3，c2＝7，焦點坐標為(±，0)，實軸長為2a＝4，離心率為e＝，漸近線方程為y＝±x，
對于雙曲線D：－＝1，a2＝3，b2＝4，c2＝7，焦點坐標為(0，±)，實軸長為2a＝2，離心率為e＝＝，漸近線方程為y＝±x，
故雙曲線C：－＝1與雙曲線D：－＝－1具有相同的漸近線．故選D．]
√
探究2　由雙曲線的幾何性質求標準方程
[典例講評]　2．(1)與橢圓＋＝1有公共焦點，且離心率e＝的雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 　D．－＝1
(2)求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：
①雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，焦點在y軸上，兩頂點之間的距離為4；
②雙曲線E與雙曲線－＝1有共同的漸近線，并且經過點(3，－2)．
√
(1)B　[∵橢圓＋＝1的焦點坐標為(±3，0)，
∴雙曲線的焦點在x軸上，且c＝3，∵e＝，
∴a＝2，
∵c2＝a2＋b2，∴b2＝9－4＝5，
∴雙曲線的方程為－＝1．故選B．]
(2)[解]　①已知雙曲線C的焦點在y軸上，所以可設C的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
又C的漸近線方程為y＝±2x，所以±x＝±2x，即a＝2b，
由C的兩頂點之間的距離為4，得2a＝4，所以a＝2，b＝1．
故雙曲線C的標準方程為－x2＝1；
②因為雙曲線E與雙曲線－＝1有共同的漸近線，
所以可設雙曲線E的方程為－＝k，k≠0，
因為雙曲線E過點(3，－2)，則－＝k，解得k＝－2，
故雙曲線E的標準方程為－＝1．
反思領悟　1．由幾何性質求雙曲線標準方程的解題思路
由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程，一般用待定系數法．當雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論，為了避免討論，也可設雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常見雙曲線方程的設法
(1)漸近線為y＝±x的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設為A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)與雙曲線－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)離心率相等的雙曲線系方程可設為－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，這是因為由離心率不能確定焦點位置．
[學以致用]　2．求下列雙曲線的方程．
(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為；
(2)過點(2，0)，與雙曲線－＝1的離心率相等．
[解]　(1)由題意設所求雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)
由解得
故所求雙曲線的標準方程為－＝1．
(2)當所求雙曲線的焦點在x軸上時，可設其方程為－＝λ(λ＞0)，
將點(2，0)的坐標代入方程得λ＝，
故所求雙曲線的標準方程為－y2＝1；
當所求雙曲線的焦點在y軸上時，
可設其方程為－＝λ(λ＞0)，
將點(2，0)的坐標代入方程得λ＝－＜0(舍去)．
綜上可知，所求雙曲線的標準方程為－y2＝1．
探究3　求雙曲線的離心率
[典例講評]　3．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，以F為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線的兩個交點為A，B．若∠AFB＝60°，則該雙曲線的離心率為(　　)
A．　　　B． 　　　　C．　　　D．
√
D　[如圖．因為∠AFB＝60°，|FB|＝|FA|＝a，所以△AFB為正三角形，
所以F(c，0)到直線bx－ay＝0的距離為
|FH|＝，所以＝，
因為a2＋b2＝c2，所以b＝，
所以c2＝a2，所以e＝＝．
故選D．]
發現規律　結合橢圓離心率的求法，試總結雙曲線離心率的求解方法．
[提示]　(1)若可求得a，c，則直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是關于a，c的齊次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r為常數，且p≠0)，則轉化為關于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
【教用·備選題】　已知雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，P是雙曲線E上一點，PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分線與x軸交于點Q，＝，則雙曲線E的離心率為(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．
√
B　[作出圖形，如圖所示．
∵PF2⊥F1F2，∴＝＝，
即＝，在△PQF1，△PQF2中，
由正弦定理得＝，＝．
∵PQ平分∠F1PF2，∴∠QPF1＝∠QPF2，
即sin ∠QPF1＝sin ∠QPF2，
且sin ∠PQF1＝sin(π－∠PQF2)＝sin ∠PQF2，
故＝，則＝，∴＝＝，
又∵|PF2|＝＝|PF2|＋2a＝＋2a，∴＝，
整理得b2＝3a2，故c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，
∴c＝2a，即e＝＝2．故選B．]
[學以致用]　3．(2024·新高考Ⅰ卷)設雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|＝13，|AB|＝10，則C的離心率為________．
　
　[由題可知A，B，F2三點橫坐標相等，設A在第一象限，將x＝c代入＝1，
得y＝±，即A＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝．]
1．實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標準方程是(　　)
A．x2－＝1 B．y2－＝1
C．－＝1，或－＝1 D．x2－＝1，或y2－＝1
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
D　[實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標準方程是x2－＝1或y2－＝1，故選D．]
2．(多選)已知雙曲線方程為x2－8y2＝32，則(　　)
A．實軸長為8 B．虛軸長為4
C．焦距為6 D．離心率為
2
3
題號
1
4
√
ABD　[雙曲線方程x2－8y2＝32化成標準方程為－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以雙曲線的實軸長為8，虛軸長為4，焦距為12，離心率為．]
√
√
3．如圖，雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的
左、右焦點分別為F1，F2，過F2的直線l與其右
支交于P，Q兩點，已知|PF1|＝2|PF2|且∠PF1F2
＝∠F1QP，則雙曲線E的離心率為(　　)
A．3 　　　　B．2 　　　　C． 　　　　D．
2
3
題號
4
1
√
2
3
題號
4
1
B　[由雙曲線的定義可得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，
則|PF1|＝2|PF2|＝4a，已知∠PF1F2＝∠F1QP，又∠F1PF2＝∠QPF1，則△PF1F2∽△QPF1，則＝＝，
即|PQ|＝8a，|QF2|＝6a，|QF1|＝8a，|F1F2|＝4a，
則e＝＝＝2．
故選B．]
4．請寫出漸近線方程為y＝±x的一個雙曲線方程__________
____________．
2
4
3
題號
1
x2－＝1(答案不唯一)　[不妨設雙曲線的焦點在x軸上，由漸近線方程為y＝±x，得＝，
取a＝1，得b＝．
∴雙曲線方程為x2－＝1．]
x2－＝1
(答案不唯一)
1．知識鏈：(1)雙曲線的幾何性質．
(2)等軸雙曲線．
(3)雙曲線的離心率．
2．方法鏈：待定系數法、直接法、方程法．
3．警示牌：由雙曲線的幾何性質求其方程時，對于焦點的位置應考慮全面．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何根據雙曲線的方程研究其幾何性質？
[提示]　(1)把雙曲線方程化為標準形式；
(2)由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質．
2．離心率e和有怎樣的關系？
[提示]　e2＝1＋．
3．如何用待定系數法設出與雙曲線－＝1有相同漸近線的雙曲線方程？
[提示]　可設為－＝λ(λ≠0)．
課時分層作業(三十)
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雙曲線的簡單幾何性質
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS課時分層作業(三十)　雙曲線的簡單幾何性質
一、選擇題
1．與雙曲線C：－y2＝1共漸近線，且經過點()的雙曲線的標準方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．(2024·全國甲卷)已知雙曲線的兩個焦點分別為(0，4)，(0，－4)，點(－6，4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為(　　)
A．4 B．3 C．2 D．
3．已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．2x±y＝0
4．已知F1，F2分別是雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若∠F1PF2＝ac，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．　　　B．－1　　　C．　　　D．2
5．(多選)已知點F1，F2是雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P是雙曲線C位于第一象限內一點，若·＝0，＝則下列結論正確的是(　　)
A．△PF1F2的面積為a2
B．雙曲線C的離心率為
C．雙曲線C的漸近線方程為x±2y＝0
D．若雙曲線C的焦距為2，則雙曲線C的方程為x2－＝1
二、填空題
6．離心率為的雙曲線與橢圓＝1的焦點相同，則雙曲線方程是________．
7．已知雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦點為F，以OF為直徑的圓與雙曲線C的漸近線交于不同于原點O的A，B兩點．若四邊形AOBF的面積為(a2＋b2)，則雙曲線C的漸近線方程為________．
8．已知雙曲線＝1(a＞－2)的離心率為2，則a＝________．
三、解答題
9．求中心在原點，適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)頂點在x軸上，兩頂點間的距離是10，且經過點(10，3)；
(2)一個焦點坐標為(5，0)，一條漸近線方程為3x－4y＝0．
10．已知雙曲線C：()，M()是直線bx－ay＋4a＝0上任意一點，若圓(x－x0)2＋(y－y0)2＝8與雙曲線C的右支沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(　　)
A． B．(1，2]
C．(2，＋∞) D．
11．(多選)已知雙曲線M：＝1(a＞b＞0)的焦距為4，兩條漸近線的夾角為60°，則下列說法正確的是(　　)
A．M的離心率為
B．M的標準方程為－y2＝1
C．M的漸近線方程為y＝±x
D．直線x＋y－2＝0經過M的一個焦點
12．(多選)已知雙曲線C：＝1(a＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|＝點P是C上一點，則(　　)
A．C的離心率為
B．若PF1⊥x軸，則|PF1|＝8
C．若|PF1|＝2|PF2|，則|PO|＝(其中O為坐標原點)
D．點P到C的兩條漸近線的距離之積為
13．已知雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，漸近線在第一象限的部分上存在一點P，且|OP|＝，則該雙曲線的離心率為________．
14．已知F1，F2分別為雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，當取最小值時，求雙曲線的離心率e的取值范圍．
15．已知F1，F2是雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，F1關于雙曲線的漸近線的對稱點在以F2為圓心，4b為半徑的圓上，則雙曲線的離心率e＝________．
1/33.2.2　雙曲線的簡單幾何性質
第1課時　雙曲線的簡單幾何性質
[學習目標]　1．掌握雙曲線的簡單幾何性質．(數學抽象、直觀想象)
2．理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．(數學抽象)
(教師用書)
在研究橢圓的幾何性質時，我們從圖形、方程、范圍、頂點、軸長、焦點、對稱性、離心率等多方面進行了研究，下面我們類比研究橢圓性質的方法研究雙曲線的性質．
[討論交流]　
問題1．雙曲線有哪些幾何性質？
問題2．雙曲線的離心率與雙曲線的形狀有怎樣的聯系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　雙曲線的幾何性質
探究問題1　已知雙曲線C的方程為x2－＝1，根據這個方程完成下列任務：
(1)觀察方程中x與y是否有取值范圍，由此指出雙曲線C在平面直角坐標系中的位置特征；
(2)指出雙曲線C是否關于x軸、y軸、原點對稱；
(3)指出雙曲線C與坐標軸是否有交點，如果有，求出交點坐標；
(4)如果(x，y)滿足雙曲線C的方程，說出當|x|增大時，|y|將怎樣變化，并指出這反映了雙曲線的形狀具有什么特點．
[提示]　(1)|x|≥1，y∈R，雙曲線C位于直線x＝－1及其左側和直線x＝1及其右側的區域；
(2)雙曲線C關于x軸、y軸軸對稱，關于原點中心對稱；
(3)與x軸交于(±1，0)，與y軸無交點；
(4)|x|增大，|y|隨著增大，隨著|x|的增大，曲線無限接近y＝±2x．
[新知生成]
1．雙曲線的幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖形
性質 范圍 x≥a，或x≤－a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 頂點坐標：A1(－a，0)，A2(a，0) 頂點坐標：A1(0，－a)，A2(0，a)
軸長 實軸長：2a；虛軸長：2b
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
2．等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為．
【教用·微提醒】　對于雙曲線－＝1：
(1)范圍：說明雙曲線位于直線x＝－a及其左側和直線x＝a及其右側的區域．
(2)頂點：是雙曲線與實軸的交點，只有兩個，與焦點在同一坐標軸上．線段A1A2叫雙曲線的實軸，也存在著虛軸B1B2(并不虛)．
(3)離心率：e是表示雙曲線的焦距與實軸長的比值．也可用e＝，e越大，雙曲線“張口”越開闊．
(4)漸近線：是雙曲線特有的性質，實際上，雙曲線與它的漸近線無限接近，但永遠不相交．
雙曲線－＝λ(λ≠0)的漸近線都是－＝0．
【鏈接·教材例題】
例3　求雙曲線9y2－16x2＝144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．
[解]　把雙曲線的方程9y2－16x2＝144化為標準方程
－＝1．
由此可知，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝3；c＝＝＝5，焦點坐標是(0，－5)，(0，5)；離心率e＝＝；漸近線方程為y＝±x．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)求雙曲線－＝1的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、漸近線方程和離心率，并畫出該雙曲線的草圖．
[解]　由雙曲線方程可得實半軸長a＝3，虛半軸長b＝4，
c＝＝＝5，于是焦點坐標為(－5，0)，(5，0)．
漸近線方程為y＝±x＝±x，離心率e＝＝．
為畫出雙曲線的草圖，在坐標系中畫出漸近線y＝±x，頂點(±3，0)．算出雙曲線在第一象限內一點的坐標，例如取x＝5，算出y＝≈5.33，可知點(5，±5.33)在雙曲線上．將y軸右邊已知的三點(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次連成光滑曲線并讓它逐步接近漸近線，就畫出了雙曲線的一支．由對稱性可畫出位于y軸左邊的另一支，如圖所示．
[母題探究]　若將雙曲線的方程變為nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程．
[解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化為標準方程為－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，實半軸長a＝，
虛半軸長b＝，c＝，
焦點坐標為(，0)，(－，0)，
離心率e＝＝＝，
頂點坐標為(－，0)，(，0)，
所以漸近線方程為y＝±x，
即y＝±x．
　由雙曲線方程研究幾何性質的注意點
(1)把雙曲線方程化為標準形式，確定焦點位置，進而確定a，b的值是關鍵．
(2)由c2＝a2＋b2(易與橢圓中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質．
(3)漸近線是雙曲線的重要性質：先畫漸近線可使圖形更準確，焦點到漸近線距離為虛半軸長．
(4)注意雙曲線中一些特殊線段(值)的應用．
如過雙曲線－＝1的左焦點F1(－c，0)垂直于x軸的弦AB，則|AB|＝．
[學以致用]　1．雙曲線C：－＝1與雙曲線D：－＝－1具有相同的(　　)
A．焦點　　　B．實軸長　　　C．離心率　　　D．漸近線
D　[將雙曲線D：－＝－1化為標準方程得D：－＝1，
對于雙曲線C：－＝1，a2＝4，b2＝3，c2＝7，焦點坐標為(±，0)，實軸長為2a＝4，離心率為e＝，漸近線方程為y＝±x，
對于雙曲線D：－＝1，a2＝3，b2＝4，c2＝7，焦點坐標為(0，±)，實軸長為2a＝2，離心率為e＝＝，漸近線方程為y＝±x，
故雙曲線C：－＝1與雙曲線D：－＝－1具有相同的漸近線．故選D．]
探究2　由雙曲線的幾何性質求標準方程
[典例講評]　2．(1)與橢圓＋＝1有公共焦點，且離心率e＝的雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
(2)求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：
①雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，焦點在y軸上，兩頂點之間的距離為4；
②雙曲線E與雙曲線－＝1有共同的漸近線，并且經過點(3，－2)．
(1)B　[∵橢圓＋＝1的焦點坐標為(±3，0)，
∴雙曲線的焦點在x軸上，且c＝3，
∵e＝，
∴a＝2，
∵c2＝a2＋b2，
∴b2＝9－4＝5，
∴雙曲線的方程為－＝1．
故選B．]
(2)[解]　①已知雙曲線C的焦點在y軸上，所以可設C的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
又C的漸近線方程為y＝±2x，所以±x＝±2x，即a＝2b，
由C的兩頂點之間的距離為4，得2a＝4，所以a＝2，b＝1．
故雙曲線C的標準方程為－x2＝1；
②因為雙曲線E與雙曲線－＝1有共同的漸近線，
所以可設雙曲線E的方程為－＝k，k≠0，
因為雙曲線E過點(3，－2)，則－＝k，解得k＝－2，
故雙曲線E的標準方程為－＝1．
　1．由幾何性質求雙曲線標準方程的解題思路
由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程，一般用待定系數法．當雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論，為了避免討論，也可設雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常見雙曲線方程的設法
(1)漸近線為y＝±x的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設為A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)與雙曲線－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)離心率相等的雙曲線系方程可設為－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，這是因為由離心率不能確定焦點位置．
[學以致用]　2．求下列雙曲線的方程．
(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為；
(2)過點(2，0)，與雙曲線－＝1的離心率相等．
[解]　(1)由題意設所求雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)
由解得
故所求雙曲線的標準方程為－＝1．
(2)當所求雙曲線的焦點在x軸上時，可設其方程為－＝λ(λ＞0)，
將點(2，0)的坐標代入方程得λ＝，
故所求雙曲線的標準方程為－y2＝1；
當所求雙曲線的焦點在y軸上時，
可設其方程為－＝λ(λ＞0)，
將點(2，0)的坐標代入方程得λ＝－＜0(舍去)．
綜上可知，所求雙曲線的標準方程為－y2＝1．
探究3　求雙曲線的離心率
[典例講評]　3．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，以F為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線的兩個交點為A，B．若∠AFB＝60°，則該雙曲線的離心率為(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
D　[如圖．因為∠AFB＝60°，|FB|＝|FA|＝a，所以△AFB為正三角形，
所以F(c，0)到直線bx－ay＝0的距離為|FH|＝，所以＝，
因為a2＋b2＝c2，所以b＝，所以c2＝a2，所以e＝＝．
故選D．]
　結合橢圓離心率的求法，試總結雙曲線離心率的求解方法．
[提示]　(1)若可求得a，c，則直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是關于a，c的齊次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r為常數，且p≠0)，則轉化為關于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
【教用·備選題】　已知雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，P是雙曲線E上一點，PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分線與x軸交于點Q，＝，則雙曲線E的離心率為(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．
B　[作出圖形，如圖所示．
∵PF2⊥F1F2，∴＝＝，即＝，在△PQF1，△PQF2中，由正弦定理得＝，＝．
∵PQ平分∠F1PF2，∴∠QPF1＝∠QPF2，即sin ∠QPF1＝sin ∠QPF2，
且sin ∠PQF1＝sin(π－∠PQF2)＝sin ∠PQF2，
故＝，則＝，∴＝＝，
又∵|PF2|＝＝|PF2|＋2a＝＋2a，∴＝，整理得b2＝3a2，故c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，
∴c＝2a，即e＝＝2．故選B．]
[學以致用]　3．(2024·新高考Ⅰ卷)設雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|＝13，|AB|＝10，則C的離心率為________．
　[由題可知A，B，F2三點橫坐標相等，設A在第一象限，將x＝c代入＝1，
得y＝±，即A＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝．]
1．實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標準方程是(　　)
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C．－＝1，或－＝1
D．x2－＝1，或y2－＝1
D　[實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標準方程是x2－＝1或y2－＝1，
故選D．]
2．(多選)已知雙曲線方程為x2－8y2＝32，則(　　)
A．實軸長為8 B．虛軸長為4
C．焦距為6 D．離心率為
ABD　[雙曲線方程x2－8y2＝32化成標準方程為－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以雙曲線的實軸長為8，虛軸長為4，焦距為12，離心率為．]
3．如圖，雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2的直線l與其右支交于P，Q兩點，已知|PF1|＝2|PF2|且∠PF1F2＝∠F1QP，則雙曲線E的離心率為(　　)
A．3 B．2 C． D．
B　[由雙曲線的定義可得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，
則|PF1|＝2|PF2|＝4a，已知∠PF1F2＝∠F1QP，又∠F1PF2＝∠QPF1，
則△PF1F2∽△QPF1，
則＝＝，
即|PQ|＝8a，|QF2|＝6a，|QF1|＝8a，|F1F2|＝4a，則e＝＝＝2．
故選B．]
4．請寫出漸近線方程為y＝±x的一個雙曲線方程________．
x2－＝1(答案不唯一)　[不妨設雙曲線的焦點在x軸上，由漸近線方程為y＝±x，得＝，
取a＝1，得b＝．
∴雙曲線方程為x2－＝1．]
1．知識鏈：(1)雙曲線的幾何性質．
(2)等軸雙曲線．
(3)雙曲線的離心率．
2．方法鏈：待定系數法、直接法、方程法．
3．警示牌：由雙曲線的幾何性質求其方程時，對于焦點的位置應考慮全面．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何根據雙曲線的方程研究其幾何性質？
[提示]　(1)把雙曲線方程化為標準形式；
(2)由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質．
2．離心率e和有怎樣的關系？
[提示]　e2＝1＋．
3．如何用待定系數法設出與雙曲線－＝1有相同漸近線的雙曲線方程？
[提示]　可設為－＝λ(λ≠0)．
課時分層作業(三十)　雙曲線的簡單幾何性質
一、選擇題
1．與雙曲線C：－y2＝1共漸近線，且經過點(2，)的雙曲線的標準方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
D　[根據題意，設要求的雙曲線方程為－y2＝t(t≠0)，
又由雙曲線經過點(2，)，則－6＝t，解可得t＝－2，
則要求的雙曲線的標準方程為－＝1．
故選D．]
2．(2024·全國甲卷)已知雙曲線的兩個焦點分別為(0，4)，(0，－4)，點(－6，4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為(　　)
A．4 B．3 C．2 D．
C　[設F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
則|F1F2|＝2c＝8，
|PF1|＝＝10，
|PF2|＝＝6，
則2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，
則e＝＝2．
故選C．]
3．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．2x±y＝0
C　[∵雙曲線的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，
∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x．
又∵離心率為e＝＝2，
∴c＝2a，
∴b＝＝a，
由此可得雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即x±y＝0，故選C．]
4．已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若∠F1PF2＝＝ac，則雙曲線C的離心率為(　　)
A． B．－1 C． D．2
A　[設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則＝mn·sin 60°＝ac，
∴mn＝4ac，由余弦定理可得|F1F2|2＝4c2＝m2＋n2－mn＝(m－n)2＋mn，
由雙曲線的定義可知m－n＝2a，∴4c2＝4a2＋4ac，即c2－a2＝ac，
∴e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍)．故選A．]
5．(多選)已知點F1，F2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P是雙曲線C位于第一象限內一點，若PF1·PF2＝0，|PF1|＝2|PF2|，則下列結論正確的是(　　)
A．△PF1F2的面積為a2
B．雙曲線C的離心率為
C．雙曲線C的漸近線方程為x±2y＝0
D．若雙曲線C的焦距為2，則雙曲線C的方程為x2－＝1
BD　[對于A，由定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，又∵|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
由已知∠F1PF2＝90°，可得△PF1F2的面積為＝×4a×2a＝4a2，故A錯誤；對于B，由勾股定理得(2a)2＋(4a)2＝(2c)2，即5a2＝c2，
∴e＝＝＝，故B正確；對于C，∵b2＝c2－a2＝4a2，∴＝4，即＝2，
∴雙曲線C的漸近線方程為2x±y＝0，故C錯誤；
對于D，由雙曲線C的焦距為2，得c＝，從而a2＝1，b2＝4，
∴雙曲線C的方程為x2－＝1，故D正確．故選BD．]
二、填空題
6．離心率為的雙曲線與橢圓＋＝1的焦點相同，則雙曲線方程是________．
－＝1　[由題知在橢圓中c2＝40－15＝25，
∴焦點坐標為(－5，0)，(5，0)，
∴雙曲線中，焦點坐標為(－5，0)，(5，0)，c＝5，
∵e＝＝，∴a＝3，a2＝9，b2＝c2－a2＝16．
故雙曲線的方程為－＝1．]
7．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點為F，以OF為直徑的圓與雙曲線C的漸近線交于不同于原點O的A，B兩點．若四邊形AOBF的面積為(a2＋b2)，則雙曲線C的漸近線方程為________．
y＝±x　[由題意得OA⊥AF，雙曲線C的焦點F到C的漸近線y＝±x的距離為＝b，則|AF|＝b，∴|OA|＝a，即ab＝(a2＋b2)，∴＝1，
故雙曲線C的漸近線方程為y＝±x．]
8．已知雙曲線－＝1(a＞－2)的離心率為2，則a＝________．
－1　[由a＞－2，可得a＋2＞0，又由離心率為2，
可得e2＝＝4，解得a＝－1．]
三、解答題
9．求中心在原點，適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)頂點在x軸上，兩頂點間的距離是10，且經過點(10，3)；
(2)一個焦點坐標為(5，0)，一條漸近線方程為3x－4y＝0．
[解]　(1)設雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，因為兩頂點間的距離是10，且經過點(10，3)，
則解得則雙曲線的標準方程為－＝1．
(2)因為一個焦點坐標為(5，0)，可設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝5，
由一條漸近線方程為3x－4y＝0，可得y＝x，則＝，
設a＝4k，b＝3k，k＞0，則c2＝a2＋b2 52＝(4k)2＋(3k)2，解得k＝1，
則a＝4，b＝3，所以雙曲線的標準方程為－＝1．
10．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)，M(x0，y0)是直線bx－ay＋4a＝0上任意一點，若圓(x－x0)2＋(y－y0)2＝8與雙曲線C的右支沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(　　)
A．(1，] B．(1，2]
C．(2，＋∞) D．[，＋∞)
A　[雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，即bx－ay＝0，
∵M(x0，y0)是直線bx－ay＋4a＝0上任意一點，
則直線bx－ay＋4a＝0與直線bx－ay＝0間的距離d＝＝，
∵圓(x－x0)2＋(y－y0)2＝8與雙曲線C的右支沒有公共點，
∴d≥2，則≥2，即e＝≤，又e＞1，
故e的取值范圍為(1，]．故選A．]
11．(多選)已知雙曲線M：－＝1(a＞b＞0)的焦距為4，兩條漸近線的夾角為60°，則下列說法正確的是(　　)
A．M的離心率為
B．M的標準方程為－y2＝1
C．M的漸近線方程為y＝±x
D．直線x＋y－2＝0經過M的一個焦點
AD　[已知雙曲線M的方程為－＝1(a＞b＞0)，
則雙曲線M的漸近線方程為y＝±x，又雙曲線M的兩條漸近線的夾角為60°，
則＝或＝，又a＞b＞0，雙曲線M的焦距為4，
則即對于選項A，M的離心率為＝＝，
即選項A正確；
對于選項B，雙曲線M的標準方程為－y2＝1，
即選項B錯誤；
對于選項C，M的漸近線方程為y＝±x，
即選項C錯誤；
對于選項D，直線x＋y－2＝0經過點(2，0)，
則直線x＋y－2＝0經過M的右焦點，即選項D正確．故選AD．]
12．(多選)已知雙曲線C：－＝1(a＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|＝2，點P是C上一點，則(　　)
A．C的離心率為
B．若PF1⊥x軸，則|PF1|＝8
C．若|PF1|＝2|PF2|，則|PO|＝(其中O為坐標原點)
D．點P到C的兩條漸近線的距離之積為
ACD　[已知雙曲線C：－＝1(a＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，
又|F1F2|＝2，所以a2＋a2＋3＝5，解得a2＝1，故雙曲線C：x2－＝1．
對于A，雙曲線C的離心率e＝＝＝，故A正確；
對于B，由題可得F1(－，0)，又PF1⊥x軸，所以xP＝－，
則5－＝1，解得yP＝±4，所以|PF1|＝4，故B錯誤；
對于C，因為|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，
所以|PO|＝＝，故C正確；對于D，設P(x0，y0)，
則－＝1，因為雙曲線C的漸近線方程為x－＝0或x＋＝0，
所以點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為·＝＝，故D正確．故選ACD．]
13．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，漸近線在第一象限的部分上存在一點P，且|OP|＝，則該雙曲線的離心率為________．
2　[由雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)，可得漸近線方程為y＝±x，
設點P的坐標為＝＋＝c2，
解得＝a2，即x0＝a，所以點P的坐標為(a，b)，
又因為直線PF1的斜率為，所以＝，可得b＝a＋c，
兩邊平方得3b2＝a2＋c2＋2ac，即c2－ac－2a2＝0，
兩邊同時除以a2，可得e2－e－2＝0，即(e－2)(e＋1)＝0，
解得e＝2或e＝－1(舍去)．]
14．已知F1，F2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，當取最小值時，求雙曲線的離心率e的取值范圍．
[解]　因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線右支上的任意一點，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
所以＝＝≥8a，當且僅當＝|PF2|，
即|PF2|＝2a時取等號，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
因為|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a≥2c，所以1<≤3，
所以e∈(1，3]．
15．已知F1，F2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，F1關于雙曲線的漸近線的對稱點在以F2為圓心，4b為半徑的圓上，則雙曲線的離心率e＝________．
　[不妨取雙曲線的一支漸近線y＝x．設點F1關于漸近線y＝x的對稱點為點G，
且y＝x與直線F1G交于點H，則OH為線段F1G的中垂線，
所以|OF1|＝|OG|＝|OF2|＝c，設漸近線y＝x的傾斜角為θ，則∠F1OH＝∠GOH＝θ，則∠GOF2＝π－2θ，由點G在以F2為圓心，4b為半徑的圓上，則|F2G|＝4b，
所以在△GOF2中，由余弦定理的推論得cos (π－2θ)＝＝1－，
又cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝1－2cos2θ，所以1－2cos2θ＝1－，得cos2θ＝，
又tan θ＝ ，則cos θ＝＝，則cos2θ＝，所以＝，
得4b2＝a2，所以e2＝＝＝，得e＝．]
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