資源簡介

(共46張PPT)
3.3.1　拋物線及其標準方程
第三章　圓錐曲線的方程
3.3　拋物線
[學習目標]　1．掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念．(數學抽象)
2．會求拋物線的標準方程，并能應用它解決有關問題．(數學運算、數學建模)
整體感知
(教師用書)
拋物線這個幾何對象，我們并不陌生．
例如，從物理學中我們知道，一個向上斜拋的乒乓球，其運動軌跡是拋物線的一部分，如圖所示，二次函數的圖象是一條拋物線，等等．
到底什么是拋物線呢？拋物線有沒有一個類似于圓、橢圓或雙曲線的定義呢？
[討論交流]　
問題1．選擇不同的坐標系，就得到了不同形式的標準方程，拋物線的標準方程有幾種形式？
問題2．二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象為什么是拋物線？它的焦點坐標和準線方程分別是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　拋物線的定義
探究問題1　如圖，把一根直尺固定在畫板內直線l的位置上，截取一根繩子的長度等于AB的長度，現將繩子的一端固定在三角板的頂點A處，另一端用圖釘固定在畫板上的F處，用鉛筆尖(記作點P)扣緊繩子，并靠住三角板，然后使三角板緊靠著直尺上下滑動，這樣鉛筆尖就描出了一條曲線．在作圖的過程中，你能發現點P滿足的條件嗎？它的軌跡是什么
形狀？
探究建構
[提示]　點P運動的過程中，始終有|PF|＝|PB|，即點P與定點F的距離等于它到直線l的距離，點P的軌跡是拋物線．
[新知生成]
平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離____的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的____，直線l叫做拋物線的____．
【教用·微提醒】　(1)“一動三定”：一動點M；一定點F(即焦點)；一定直線l(即準線)；一定值1(即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為1)．
(2)定義中，要注意強調定點F不在定直線l上．當直線l經過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線．
相等
焦點
準線
[學以致用]　1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若點P到點F(1，0)的距離和到直線x＝－2的距離相等，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(2)若點P到點F(1，0)的距離和到直線x＋y－1＝0的距離相等，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(3)若點P到點F(1，0)的距離比到直線x＝－2的距離小1，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(4)平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線． (　　)
√
×
√
×
探究2　拋物線的標準方程
探究問題2　如圖，已知拋物線的焦點F到準線l的距離為p(p＞0)，試建立適當的平面直角坐標系，使得到的拋物線方程最為簡單，并寫出此方程．
[提示]　取經過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與準線l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
則|KF|＝p，焦點F，準線l的方程為x＝－．
設點M(x，y)是拋物線上的任意一點，
點M到準線l的距離為d．
由拋物線的定義可知，拋物線上的點M滿足|MF|＝d．
因為|MF|＝，d＝，
所以＝．
將上式兩邊平方并化簡，得
y2＝2px(p＞0)，①
這說明拋物線上的任意一點的坐標都滿足方程①；反之，可以證明，以方程①的解為坐標的點都在拋物線上．所以方程①就是拋物線的方程，且最為簡單．
[新知生成]
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
_____________ __________ ________
______________ __________ _______
y2＝2px( p>0)
F
x＝－
y2＝－2px( p>0)
F
x＝
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
_____________ _________ ________
______________ __________ _______
x2＝2py( p>0)
F
y＝－
x2＝－2py( p>0)
F
y＝
【教用·微提醒】　(1)只有拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上時，拋物線才具有標準形式．
(2)標準方程的特征：等號的一邊是某個變量的平方，等號的另一邊是另一個變量的一次單項式．
(3)拋物線標準方程中參數p的幾何意義：拋物線的焦點到準線的距離．
(4)焦點在一次項變量對應的坐標軸上，開口方向由一次項系數的符號確定．當系數為正時，開口向坐標軸的正方向；當系數為負時，開口向坐標軸的負方向．
【鏈接·教材例題】
例1　(1)已知拋物線的標準方程是y2＝6x，求它的焦點坐標和準線方程；
(2)已知拋物線的焦點是F(0，－2)，求它的標準方程．
[解]　(1)因為p＝3，拋物線的焦點在x軸正半軸上，所以它的焦點坐標是，準線方程是x＝－．
(2)因為拋物線的焦點在y軸負半軸上，且＝2，p＝4，所以拋物線的標準方程是x2＝－8y．
[典例講評]　1．(1)已知實數x，y滿足＝，其
中常數p＞0，則動點P(x，y)的軌跡是(　　)
A．射線　　B．直線　　C．拋物線　　D．橢圓
(2)試求滿足下列條件的拋物線的標準方程：
①過點(－3，2)；
②焦點在直線x－2y－4＝0上．
√
(1)C　[因為＝表示動點P(x，y)到定點F的距離與到定直線l：y＝－的距離相等，且點F不在直線l上，所以由拋物線的定義知動點P(x，y)的軌跡為拋物線．故選C．]
(2)[解]　①因為點(－3，2)在第二象限，
所以拋物線的標準方程可設為y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，
把點(－3，2)的坐標分別代入y2＝－2px(p＞0)和x2＝2py(p＞0)，得4＝－2p×(－3)或9＝2p×2，
即2p＝或2p＝．
所以所求拋物線的標準方程為y2＝－x或x2＝y．
②令x＝0，解得y＝－2；令y＝0，解得x＝4．
故拋物線的焦點為(4，0)或(0，－2)．
當焦點為(4，0)時，＝4，即2p＝16，
此時拋物線方程為y2＝16x．
當焦點為(0，－2)時，＝2，即2p＝8，
此時拋物線方程為x2＝－8y．
故所求拋物線的標準方程為y2＝16x或x2＝－8y．
反思領悟　
1．拋物線標準方程的求法
(1)定義法：建立適當坐標系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進行化簡，根據定義求出p，最后寫出標準方程．
(2)待定系數法：由于標準方程有四種形式，因而在求方程時應首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．
2．求拋物線標準方程時應注意的問題
(1)把握開口方向與方程一次項系數的對應關系．
(2)當拋物線的位置沒有確定時，可設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論不同情況的次數．
(3)注意p的幾何意義．
[學以致用]　2．(1)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為(1，0)，則p＝_____，準線方程為________．
(2)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5的拋物線的標準方程為_____________________．
(1)2　x＝－1　(2)x2＝10y，x2＝－10y　[(1)因為拋物線的焦點坐標為(1，0)，所以＝1，解得p＝2，準線方程為x＝－＝－1．
(2)設方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y，x2＝－10y．]
2　
x＝－1
x2＝10y，x2＝－10y
探究3　拋物線定義的應用
[典例講評]　2．(1)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0等于(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8
(2)已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到點(0，2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值．
√
(1)A　[由題意知拋物線的準線為x＝－．因為|AF|＝x0，根據拋物線的定義可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故選A．]
(2)[解]　由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于它到焦點的距離．由圖可知，點P，點(0，2)和拋物線的焦點F三點共線時距離之和最小，
所以最小距離d＝＝．
[母題探究]
1．若將本例(2)中的“點(0，2)”改為“點A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
[解]　將x＝3代入y2＝2x，得y＝±．
所以點A在拋物線y2＝2x的內部．
設點P為其上一點，點P到準線(設為l )x＝－的距離為d，
則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d．
由圖可知，當PA⊥l時，．
即．
2．若將本例(2)中的“點(0，2)”換成“直線l1：3x－4y＋＝0”，求點P到直線3x－4y＋＝0的距離與P到該拋物線的準線的距離之和的最小值．
[解]　如圖，作PA1⊥l1于點A1，PQ垂直于準線l于點Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min．
|A1F|＝0的距離d＝＝1．即所求最小值為1．
反思領悟　拋物線定義的兩種應用
(1)實現距離轉化．根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題．
(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題．
[學以致用]　3．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點．若AB的中點M到拋物線準線的距離為6，則線段AB的長為(　　)
A．6 　　　　B．9 　　　　C．12 　　　　D．14
C　[如圖所示，
過點A，M，B分別作準線的垂線，垂足分別為C，M′，D，由拋物線的定義，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因為點M為AB的中點，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12．]
√
探究4　拋物線的實際應用
【鏈接·教材例題】
例2　一種衛星接收天線如圖3.3-3左圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處，如圖3.3-3(1)．已知接收天線的口徑(直徑)為4.8 m，深度為
1 m．試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標．
[解]　如圖3.3-3(2)，在接收天線的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使接收天線的頂點與原點重合，焦點在x軸上．
設拋物線的標準方程是y2＝2px(p＞0)．由已知條件得，點A的坐標是(1，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×1，即p＝2.88．
所以，所求拋物線的標準方程是y2＝5.76x，焦點坐標是(1.44，0)．
[典例講評]　3．如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構成，為保證安全，要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行車道總寬度AB＝6 m，那么車輛通過隧道的限制高度為(　　)
A．2.25 m 　　　B．2.5 m 　　　C．3.25 m　　　　D．3.5 m
√
C　[取隧道截面，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，
則C(4，－4)，
設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，將點C代入拋物線方程得p＝2，∴拋物線方程為x2＝－4y，行車道總寬度AB＝6 m，∴將x＝3代入拋物線方程，得y＝－2.25 m，∴限高為6－2.25－0.5＝3.25(m)．故選C．]
反思領悟　求解拋物線實際應用題的步驟
【教用·備選題】　某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面
4米．現有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現有狀況下還可多裝
1 000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米．若不考慮水下深度，問：該貨船在現在狀況下能否直接或設法通過該橋孔？為什么？
[解]　如圖所示，以拱頂為原點，過拱頂的水平直線為x軸，豎直直線為y軸，建立平面直角坐標系．
因為拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米，
所以A(10，－2)．
設橋孔上部拋物線方程是x2＝－2py(p＞0)，
則102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以拋物線方程為x2＝－50y，
即y＝－x2．
若貨船沿正中央航行，船寬16米，而當x＝8時，y＝－×82＝－1.28，
即船體在x＝±8之間通過，點B(8，－1.28)，
此時B點距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船體高為5米，所以無法通行．
又因為5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(噸)，
所以若船通過增加貨物通過橋孔，則要增加1 050噸，而船最多還能裝1 000噸貨物，所以貨船在現有狀況下不能通過橋孔．
[學以致用]　4．如圖，某橋的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為h，跨徑為a，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
√
A　[如圖所示，以橋頂為坐標原點，橋形的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系Oxy．設拋物線的方程為x2＝－2py(p＞0)，結合題意可知，該拋物線經過點，則＝2hp，解得p＝，故橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為p＝．]
1．拋物線y2＝－4x的焦點到點A(3，－2)的距離為(　　)
A．2 　　　　B． 　　　　C．2 　　　　D．3
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
C　[拋物線y2＝－4x的焦點F(－1，0)，
則|FA|＝＝2．故選C．]
2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點到準線的距離為2，則拋物線的焦點坐標為(　　)
A．(0，1) 　　　B．(0，2) 　　　C．(1，0) 　　　D．(2，0)
2
3
題號
1
4
√
C　[因為拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為，準線為x＝－，
由題意可知－＝p＝2，所以拋物線的焦點坐標為(1，0)．
故選C．]
3．已知點P是拋物線y2＝－4x上的一個動點，則點P到點M(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為(　　)
A．3 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
2
3
題號
4
1
√
C　[依題設P在拋物線準線的投影為P′，拋物線的焦點為F．
∵拋物線y2＝－4x，∴F(－1，0)，
依拋物線的定義知P到該拋物線準線的距離為|PP′|＝|PF|，
則點P到點M(0，2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和d＝|PF|＋|PM|≥|MF|＝＝．故選C．]
4．若拋物線x2＝28y上一點(x0，y0)到焦點的距離是該點到x軸距離的3倍，則y0＝____．
2
4
3
題號
1
　[由題知：p＝14，故由焦半徑公式得：y0＋＝3y0 y0＝．]
　
1．知識鏈：(1)拋物線的定義．
(2)拋物線的標準方程的四種形式．
(3)拋物線定義的應用．
(4)拋物線的實際應用．
2．方法鏈：待定系數法、定義法、數形結合．
3．警示牌：求拋物線的方程時不要混淆拋物線的焦點位置和方程形式．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．拋物線是如何定義的？試寫出其標準方程．
[提示]　把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．
焦點在x軸上的拋物線標準方程為y2＝±2px(p>0)，
焦點在y軸上的拋物線標準方程為x2＝±2py(p>0)．
2．當拋物線的焦點位置不確定時，如何設拋物線方程？
[提示]　可設拋物線方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．
課時分層作業(三十二)
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拋物線及其標準方程
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS3.3　拋物線
3.3.1　拋物線及其標準方程
[學習目標]　1．掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念．(數學抽象)
2．會求拋物線的標準方程，并能應用它解決有關問題．(數學運算、數學建模)
(教師用書)
拋物線這個幾何對象，我們并不陌生．
例如，從物理學中我們知道，一個向上斜拋的乒乓球，其運動軌跡是拋物線的一部分，如圖所示，二次函數的圖象是一條拋物線，等等．
到底什么是拋物線呢？拋物線有沒有一個類似于圓、橢圓或雙曲線的定義呢？
[討論交流]　
問題1．選擇不同的坐標系，就得到了不同形式的標準方程，拋物線的標準方程有幾種形式？
問題2．二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象為什么是拋物線？它的焦點坐標和準線方程分別是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　拋物線的定義
探究問題1　如圖，把一根直尺固定在畫板內直線l的位置上，截取一根繩子的長度等于AB的長度，現將繩子的一端固定在三角板的頂點A處，另一端用圖釘固定在畫板上的F處，用鉛筆尖(記作點P)扣緊繩子，并靠住三角板，然后使三角板緊靠著直尺上下滑動，這樣鉛筆尖就描出了一條曲線．在作圖的過程中，你能發現點P滿足的條件嗎？它的軌跡是什么形狀？
[提示]　點P運動的過程中，始終有|PF|＝|PB|，即點P與定點F的距離等于它到直線l的距離，點P的軌跡是拋物線．
[新知生成]
平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
【教用·微提醒】　(1)“一動三定”：一動點M；一定點F(即焦點)；一定直線l(即準線)；一定值1(即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為1)．
(2)定義中，要注意強調定點F不在定直線l上．當直線l經過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線．
[學以致用]　1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若點P到點F(1，0)的距離和到直線x＝－2的距離相等，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(2)若點P到點F(1，0)的距離和到直線x＋y－1＝0的距離相等，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(3)若點P到點F(1，0)的距離比到直線x＝－2的距離小1，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(4)平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
探究2　拋物線的標準方程
探究問題2　如圖，已知拋物線的焦點F到準線l的距離為p(p＞0)，試建立適當的平面直角坐標系，使得到的拋物線方程最為簡單，并寫出此方程．
[提示]　取經過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與準線l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
則|KF|＝p，焦點F，準線l的方程為x＝－．
設點M(x，y)是拋物線上的任意一點，點M到準線l的距離為d．
由拋物線的定義可知，拋物線上的點M滿足|MF|＝d．
因為|MF|＝，d＝，
所以＝．
將上式兩邊平方并化簡，得
y2＝2px(p＞0)，①
這說明拋物線上的任意一點的坐標都滿足方程①；反之，可以證明，以方程①的解為坐標的點都在拋物線上．所以方程①就是拋物線的方程，且最為簡單．
[新知生成]
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
y2＝2px(p>0) F x＝－
y2＝－2px(p>0) F x＝
x2＝2py(p>0) F y＝－
x2＝－2py(p>0) F y＝
【教用·微提醒】　(1)只有拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上時，拋物線才具有標準形式．
(2)標準方程的特征：等號的一邊是某個變量的平方，等號的另一邊是另一個變量的一次單項式．
(3)拋物線標準方程中參數p的幾何意義：拋物線的焦點到準線的距離．
(4)焦點在一次項變量對應的坐標軸上，開口方向由一次項系數的符號確定．當系數為正時，開口向坐標軸的正方向；當系數為負時，開口向坐標軸的負方向．
【鏈接·教材例題】
例1　(1)已知拋物線的標準方程是y2＝6x，求它的焦點坐標和準線方程；
(2)已知拋物線的焦點是F(0，－2)，求它的標準方程．
[解]　(1)因為p＝3，拋物線的焦點在x軸正半軸上，所以它的焦點坐標是，準線方程是x＝－．
(2)因為拋物線的焦點在y軸負半軸上，且＝2，p＝4，所以拋物線的標準方程是x2＝－8y．
[典例講評]　1．(1)已知實數x，y滿足＝，其中常數p＞0，則動點P(x，y)的軌跡是(　　)
A．射線　　B．直線　　C．拋物線　　D．橢圓
(2)試求滿足下列條件的拋物線的標準方程：
①過點(－3，2)；
②焦點在直線x－2y－4＝0上．
(1)C　[因為＝表示動點P(x，y)到定點F的距離與到定直線l：y＝－的距離相等，且點F不在直線l上，所以由拋物線的定義知動點P(x，y)的軌跡為拋物線．故選C．]
(2)[解]　①因為點(－3，2)在第二象限，
所以拋物線的標準方程可設為
y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，
把點(－3，2)的坐標分別代入y2＝－2px(p＞0)和x2＝2py(p＞0)，得4＝－2p×(－3)或9＝2p×2，
即2p＝或2p＝．
所以所求拋物線的標準方程為y2＝－x或x2＝y．
②令x＝0，解得y＝－2；
令y＝0，解得x＝4．
故拋物線的焦點為(4，0)或(0，－2)．
當焦點為(4，0)時，＝4，即2p＝16，
此時拋物線方程為y2＝16x．
當焦點為(0，－2)時，＝2，即2p＝8，
此時拋物線方程為x2＝－8y．
故所求拋物線的標準方程為y2＝16x或x2＝－8y．
　
1．拋物線標準方程的求法
(1)定義法：建立適當坐標系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進行化簡，根據定義求出p，最后寫出標準方程．
(2)待定系數法：由于標準方程有四種形式，因而在求方程時應首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．
2．求拋物線標準方程時應注意的問題
(1)把握開口方向與方程一次項系數的對應關系．
(2)當拋物線的位置沒有確定時，可設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論不同情況的次數．
(3)注意p的幾何意義．
[學以致用]　2．(1)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為(1，0)，則p＝________，準線方程為________．
(2)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5的拋物線的標準方程為________．
(1)2　x＝－1　(2)x2＝10y，x2＝－10y　[(1)因為拋物線的焦點坐標為(1，0)，所以＝1，解得p＝2，準線方程為x＝－＝－1．
(2)設方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y，x2＝－10y．]
探究3　拋物線定義的應用
[典例講評]　2．(1)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0等于(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8
(2)已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到點(0，2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值．
(1)A　[由題意知拋物線的準線為x＝－．因為|AF|＝x0，根據拋物線的定義可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故選A．]
(2)[解]　由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于它到焦點的距離．由圖可知，點P，點(0，2)和拋物線的焦點F三點共線時距離之和最小，
所以最小距離d＝＝．
[母題探究]
1．若將本例(2)中的“點(0，2)”改為“點A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
[解]　將x＝3代入y2＝2x，
得y＝±．
所以點A在拋物線y2＝2x的內部．
設點P為其上一點，點P到準線(設為l)x＝－的距離為d，
則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d．
由圖可知，當PA⊥l時，．
即．
2．若將本例(2)中的“點(0，2)”換成“直線l1：3x－4y＋＝0”，求點P到直線3x－4y＋＝0的距離與P到該拋物線的準線的距離之和的最小值．
[解]　如圖，作PA1⊥l1于點A1，PQ垂直于準線l于點Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min．
＝0的距離d＝＝1．即所求最小值為1．
　拋物線定義的兩種應用
(1)實現距離轉化．根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題．
(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題．
[學以致用]　3．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點．若AB的中點M到拋物線準線的距離為6，則線段AB的長為(　　)
A．6 B．9 C．12 D．14
C　[如圖所示，
過點A，M，B分別作準線的垂線，垂足分別為C，M′，D，由拋物線的定義，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因為點M為AB的中點，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12．]
探究4　拋物線的實際應用
【鏈接·教材例題】
例2　一種衛星接收天線如圖3.3-3左圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處，如圖3.3-3(1)．已知接收天線的口徑(直徑)為4.8 m，深度為1 m．試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標．
[解]　如圖3.3-3(2)，在接收天線的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使接收天線的頂點與原點重合，焦點在x軸上．
設拋物線的標準方程是y2＝2px(p＞0)．由已知條件得，點A的坐標是(1，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×1，
即p＝2.88．
所以，所求拋物線的標準方程是y2＝5.76x，焦點坐標是(1.44，0)．
[典例講評]　3．如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構成，為保證安全，要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行車道總寬度AB＝6 m，那么車輛通過隧道的限制高度為(　　)
A．2.25 m B．2.5 m C．3.25 m D．3.5 m
C　[取隧道截面，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，則C(4，－4)，
設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，將點C代入拋物線方程得p＝2，∴拋物線方程為x2＝－4y，行車道總寬度AB＝6 m，∴將x＝3代入拋物線方程，得y＝－2.25 m，∴限高為6－2.25－0.5＝3.25(m)．故選C．]
　求解拋物線實際應用題的步驟
【教用·備選題】　某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米．現有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現有狀況下還可多裝1 000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米．若不考慮水下深度，問：該貨船在現在狀況下能否直接或設法通過該橋孔？為什么？
[解]　如圖所示，以拱頂為原點，過拱頂的水平直線為x軸，豎直直線為y軸，建立平面直角坐標系．
因為拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
設橋孔上部拋物線方程是x2＝－2py(p＞0)，
則102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以拋物線方程為x2＝－50y，即y＝－x2．
若貨船沿正中央航行，船寬16米，而當x＝8時，y＝－×82＝－1.28，
即船體在x＝±8之間通過，點B(8，－1.28)，
此時B點距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船體高為5米，所以無法通行．
又因為5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(噸)，
所以若船通過增加貨物通過橋孔，則要增加1 050噸，而船最多還能裝1 000噸貨物，所以貨船在現有狀況下不能通過橋孔．
[學以致用]　4．如圖，某橋的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為h，跨徑為a，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為(　　)
A． B． C． D．
A　[如圖所示，
以橋頂為坐標原點，橋形的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系Oxy．設拋物線的方程為x2＝－2py(p＞0)，結合題意可知，該拋物線經過點，則＝2hp，解得p＝，故橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為p＝．]
1．拋物線y2＝－4x的焦點到點A(3，－2)的距離為(　　)
A．2 B． C．2 D．3
C　[拋物線y2＝－4x的焦點F(－1，0)，
則|FA|＝＝2．故選C．]
2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點到準線的距離為2，則拋物線的焦點坐標為(　　)
A．(0，1) B．(0，2) C．(1，0) D．(2，0)
C　[因為拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為，準線為x＝－，
由題意可知－＝p＝2，所以拋物線的焦點坐標為(1，0)．
故選C．]
3．已知點P是拋物線y2＝－4x上的一個動點，則點P到點M(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為(　　)
A．3 B． C． D．
C　[依題設P在拋物線準線的投影為P′，拋物線的焦點為F．
∵拋物線y2＝－4x，∴F(－1，0)，
依拋物線的定義知P到該拋物線準線的距離為|PP′|＝|PF|，
則點P到點M(0，2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和d＝|PF|＋|PM|≥|MF|＝＝．故選C．]
4．若拋物線x2＝28y上一點(x0，y0)到焦點的距離是該點到x軸距離的3倍，則y0＝________．
　[由題知：p＝14，故由焦半徑公式得：y0＋＝3y0 y0＝．]
1．知識鏈：(1)拋物線的定義．
(2)拋物線的標準方程的四種形式．
(3)拋物線定義的應用．
(4)拋物線的實際應用．
2．方法鏈：待定系數法、定義法、數形結合．
3．警示牌：求拋物線的方程時不要混淆拋物線的焦點位置和方程形式．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．拋物線是如何定義的？試寫出其標準方程．
[提示]　把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．
焦點在x軸上的拋物線標準方程為y2＝±2px(p>0)，
焦點在y軸上的拋物線標準方程為x2＝±2py(p>0)．
2．當拋物線的焦點位置不確定時，如何設拋物線方程？
[提示]　可設拋物線方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．
課時分層作業(三十二)　拋物線及其標準方程
一、選擇題
1．設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，則圓C的圓心的軌跡為(　　)
A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓
A　[設圓心C的坐標為(x，y)，圓C的半徑為r，圓x2＋(y－3)2＝1的圓心為A，因為圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，
所以|CA|＝r＋1，C到直線y＝－2的距離d＝r，所以|CA|＝d＋1，即動點C到定點A的距離等于到定直線y＝－3的距離，由拋物線的定義知：C的軌跡為拋物線．故選A．]
2．拋物線C：y2＝mx過點(－2，)，則拋物線C的準線方程為(　　)
A．x＝ B．x＝－　　　C．y＝ D．y＝－
A　[將點(－2，)代入拋物線C可得m＝－，即有y2＝－x，
則拋物線C的準線方程為x＝，故選A．]
3．石拱橋是世界橋梁史上出現較早、形式優美、結構堅固的一種橋型．如圖，這是一座石拱橋，橋洞弧線可近似看成是頂點在坐標原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線C的一部分，當水面距離拱頂4米時，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點到準線的距離是(　　)
A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
B　[設拋物線C：x2＝－2py(p＞0)，
由題意可知點(4，－4)在拋物線C上，
則－2p×(－4)＝42，解得p＝2，
∴拋物線C的焦點到準線的距離是2米．故選B．]
4．圓x2－4x＋y2－2y＝0的圓心在拋物線y2＝2px上，則該拋物線的焦點坐標為(　　)
A． B．　　C． D．(1，0)
A　[圓x2－4x＋y2－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5的圓心為(2，1)，
把(2，1)代入y2＝2px，可得1＝4p，即p＝，可得拋物線為y2＝x，
故焦點坐標為．故選A．]
5．若點A在焦點為F的拋物線y2＝4x上，且|AF|＝2，點P為直線x＝－1上的動點，則|PA|＋|PF|的最小值為(　　)
A．2 B．2＋ C．2＋2 D．4
A　[拋物線y2＝4x的焦點F(1，0)，準線x＝－1，
|AF|＝xA＋1＝2，xA＝1，則＝4，yA＝±2，不妨設A(1，2)，
F(1，0)關于直線x＝－1的對稱點為F′(－3，0)，
由于|PF|＝|PF′|，所以當A，P，F′三點共線時|PA|＋|PF|最小，
所以＝2．故選A．
]
二、填空題
6．已知拋物線C：x＝4y2，則拋物線C的焦點坐標為________．
　[拋物線C：x＝4y2，即y2＝x，所以拋物線C的焦點坐標為．]
7．(2023·全國乙卷)已知點A(1，)在拋物線C：y2＝2px上，則點A到C的準線的距離為________．
　[將點A的坐標代入拋物線方程，得5＝2p，于是y2＝5x，則拋物線的準線方程為x＝－，所以點A到準線的距離為1－＝．]
8．如圖所示，拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，建立如圖所示的平面直角坐標系，則拋物線的標準方程為________，水面下降1米，水面寬是________米．
　
x2＝－4y　4　[設拋物線的標準方程為x2＝－2py(p>0)，由拋物線經過點(2，－2)，可得8＝－2p×(－2)，解得p＝2，所以拋物線的標準方程為x2＝－4y．當y＝－3時，x2＝12，解得x＝±2，所以水面下降1米后，水面寬是4米．]
三、解答題
9．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線x－2y－4＝0上．
(1)求該拋物線的方程；
(2)若該拋物線上點A的橫坐標為2，求點A到該拋物線焦點的距離．
[解]　(1)x－2y－4＝0中，令y＝0，解得x＝4，則焦點坐標為(4，0)，
故設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，故＝4，解得p＝8，
故拋物線的方程為y2＝16x．
(2)設點A到該拋物線焦點的距離為h，
由拋物線的定義可知：h＝xA＋＝2＋4＝6．
10．已知P為拋物線y＝x2上的動點，A的最小值為(　　)
A． B． C． D．
C　[由題意知，A為拋物線的焦點．設點P到準線y＝－＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值為B到準線的距離，所以當PB垂直于準線時取最小值．故最小值為2＋＝．]
11．(多選)若點A(2，1)到拋物線C：y＝ax2的準線的距離為4，則C的方程可能是(　　)
A．x2＝20y B．x2＝－20y
C．x2＝12y D．x2＝－12y
BC　[由題意得C：x2＝y，所以C的準線方程為y＝－．
因為A到C的準線的距離為4，
當a＞0時，1＋＝4，解得a＝；
當a＜0時，－1－＝4，解得a＝－．則C的方程是x2＝－20y或 x2＝12y．
故選BC．]
12．(多選)已知P(x，y)為拋物線x2＝4y上一動點，則(　　)
A．準線為l：x＝－1
B．存在一個定點和一條定直線，使得P到定點的距離等于P到定直線的距離
C．點P到直線y＝－x－2距離的最小值等于
D．＋的最小值為6
BCD　[P(x，y)為拋物線x2＝4y上一動點，
因為拋物線x2＝4y的焦點為F(0，1)，準線為l：y＝－1，
由拋物線的定義可知存在一個定點和一條定直線，使得P到定點的距離等于P到定直線的距離，故A錯誤，B正確．
點P到直線y＝－x－2的距離d＝＝＝，
當x＝－2時，dmin＝＝，故C正確．
設點A(1，5)到準線l：y＝－1的距離為d，P到準線l：y＝－1的距離為d1，
則＋＝|PF|＋|PA|＝d1＋|PA|≥d＝5＋1＝6，D正確．
故選BCD．]
13．如圖所示，高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當杯中的水深為2 cm時，水面寬度為6 cm，當水面再上升1 cm時，水面寬度為________cm．
3　[建立如圖所示的平面直角坐標系，
設高腳杯的軸截面所在拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，
由題意可得A(3，2)，代入拋物線方程，可得9＝4p，即p＝，
則拋物線方程為x2＝y，由題意可知B的縱坐標為3，則＝×3＝，
即xB＝，∴當水面再上升1 cm時，水面寬度為3 cm．]
14．(源自北師大版教材)某單行隧道橫斷面由一段拋物線及一個矩形的三邊圍成，尺寸如圖所示(單位：m)．某卡車載一集裝箱，車寬3 m，車與集裝箱總高4.5 m，此車能否安全通過隧道？說明理由．
[解]　如圖所示，以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，則點A的坐標為(3，－3)．
設拋物線的標準方程為x2＝－2py(p>0)．
將點A的坐標代入上式，得9＝6p，即2p＝3．
所以拋物線的標準方程為x2＝－3y．
將x＝1.5代入拋物線的標準方程，得y＝－0.75，則5－0.75＝4.25<4.5．
這說明，即使集裝箱處于隧道的正中位置，車與集裝箱的總高也會高于BD，所以此車不能安全通過隧道．
15．已知拋物線Z：x2＝4y的焦點為F，圓F：x2＋(y－1)2＝4與拋物線Z在第一象限的交點為P，直線l：x＝t(0＜t＜m)與拋物線Z的交點為A，直線l與圓F在第一象限的交點為B，則m＝________，△FAB周長的取值范圍為________．
2　(4，6)　[如圖所示，設直線l與拋物線Z的準線交于點C，
由
解得所以m＝2．
由解得
所以A，
由
解得
所以B(t，1＋)，
由拋物線的定義得|AF|＝|AC|，
所以△FAB的周長＝|FA|＋|FB|＋|AB|
＝|AC|＋|AB|＋|BF|＝|BC|＋2＝＋4．
因為t∈(0，2)，所以＋4∈(4，6)．]
18/18課時分層作業(三十二)　拋物線及其標準方程
一、選擇題
1．設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，則圓C的圓心的軌跡為(　　)
A．拋物線　　　B．雙曲線　　　C．橢圓　　　D．圓
2．拋物線C：y2＝mx過點()，則拋物線C的準線方程為(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
3．石拱橋是世界橋梁史上出現較早、形式優美、結構堅固的一種橋型．如圖，這是一座石拱橋，橋洞弧線可近似看成是頂點在坐標原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線C的一部分，當水面距離拱頂4米時，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點到準線的距離是(　　)
A．1米　　　B．2米　　　C．4米　　　D．8米
4．圓x2－4x＋y2－2y＝0的圓心在拋物線y2＝2px上，則該拋物線的焦點坐標為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．(1，0)
5．若點A在焦點為F的拋物線y2＝4x上，且|AF|＝2，點P為直線x＝－1上的動點，則|PA|＋|PF|的最小值為(　　)
A．2　　　B．2＋　　　C．2＋2　　　D．4
二、填空題
6．已知拋物線C：x＝4y2，則拋物線C的焦點坐標為________．
7．(2023·全國乙卷)已知點A()在拋物線C：y2＝2px上，則點A到C的準線的距離為________．
8．如圖所示，拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，建立如圖所示的平面直角坐標系，則拋物線的標準方程為________，水面下降1米，水面寬是________米．
　
三、解答題
9．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線x－2y－4＝0上．
(1)求該拋物線的方程；
(2)若該拋物線上點A的橫坐標為2，求點A到該拋物線焦點的距離．
10．已知P為拋物線y＝x2上的動點，AB()的最小值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
11．(多選)若點A(2，1)到拋物線C：y＝ax2的準線的距離為4，則C的方程可能是(　　)
A．x2＝20y B．x2＝－20y C．x2＝12y D．x2＝－12y
12．(多選)已知P(x，y)為拋物線x2＝4y上一動點，則(　　)
A．準線為l：x＝－1
B．存在一個定點和一條定直線，使得P到定點的距離等于P到定直線的距離
C．點P到直線y＝－x－2距離的最小值等于
D．的最小值為6
13．如圖所示，高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當杯中的水深為2 cm時，水面寬度為6 cm，當水面再上升1 cm時，水面寬度為________cm．
14．(源自北師大版教材)某單行隧道橫斷面由一段拋物線及一個矩形的三邊圍成，尺寸如圖所示(單位：m)．某卡車載一集裝箱，車寬3 m，車與集裝箱總高4.5 m，此車能否安全通過隧道？說明理由．
15．已知拋物線Z：x2＝4y的焦點為F，圓F：x2＋(y－1)2＝4與拋物線Z在第一象限的交點為P，直線l：x＝t(0＜t＜m)與拋物線Z的交點為A，直線l與圓F在第一象限的交點為B，則m＝________，△FAB周長的取值范圍為________．
3/33.3　拋物線
3.3.1　拋物線及其標準方程
[學習目標]　1．掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念．(數學抽象)
2．會求拋物線的標準方程，并能應用它解決有關問題．(數學運算、數學建模)
[討論交流]　
問題1．選擇不同的坐標系，就得到了不同形式的標準方程，拋物線的標準方程有幾種形式？
問題2．二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象為什么是拋物線？它的焦點坐標和準線方程分別是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　拋物線的定義
探究問題1　如圖，把一根直尺固定在畫板內直線l的位置上，截取一根繩子的長度等于AB的長度，現將繩子的一端固定在三角板的頂點A處，另一端用圖釘固定在畫板上的F處，用鉛筆尖(記作點P)扣緊繩子，并靠住三角板，然后使三角板緊靠著直尺上下滑動，這樣鉛筆尖就描出了一條曲線．在作圖的過程中，你能發現點P滿足的條件嗎？它的軌跡是什么形狀？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[新知生成]
平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離________的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的________，直線l叫做拋物線的________．
[學以致用]　1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若點P到點F(1，0)的距離和到直線x＝－2的距離相等，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(2)若點P到點F(1，0)的距離和到直線x＋y－1＝0的距離相等，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(3)若點P到點F(1，0)的距離比到直線x＝－2的距離小1，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(4)平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線． (　　)
探究2　拋物線的標準方程
探究問題2　如圖，已知拋物線的焦點F到準線l的距離為p(p＞0)，試建立適當的平面直角坐標系，使得到的拋物線方程最為簡單，并寫出此方程．
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[新知生成]
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
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[典例講評]　1．(1)已知實數x，y滿足，其中常數p＞0，則動點P(x，y)的軌跡是(　　)
A．射線　 B．直線　 C．拋物線 　D．橢圓
(2)試求滿足下列條件的拋物線的標準方程：
①過點(－3，2)；
②焦點在直線x－2y－4＝0上．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　1．拋物線標準方程的求法
(1)定義法：建立適當坐標系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進行化簡，根據定義求出p，最后寫出標準方程．
(2)待定系數法：由于標準方程有四種形式，因而在求方程時應首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．
2．求拋物線標準方程時應注意的問題
(1)把握開口方向與方程一次項系數的對應關系．
(2)當拋物線的位置沒有確定時，可設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論不同情況的次數．
(3)注意p的幾何意義．
[學以致用]　2．(1)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為(1，0)，則p＝________，準線方程為________．
(2)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5的拋物線的標準方程為________．
探究3　拋物線定義的應用
[典例講評]　2．(1)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0等于(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8
[嘗試解答]___________________________________________________________
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(2)已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到點(0，2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]
1．若將本例(2)中的“點(0，2)”改為“點A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
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2．若將本例(2)中的“點(0，2)”換成“直線l1：3x－4y＋＝0”，求點P到直線3x－4y＋＝0的距離與P到該拋物線的準線的距離之和的最小值．
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　拋物線定義的兩種應用
(1)實現距離轉化．根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題．
(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題．
[學以致用]　3．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點．若AB的中點M到拋物線準線的距離為6，則線段AB的長為(　　)
A．6 B．9 C．12 D．14
探究4　拋物線的實際應用
[典例講評]　3．如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構成，為保證安全，要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行車道總寬度AB＝6 m，那么車輛通過隧道的限制高度為(　　)
A．2.25 m B．2.5 m C．3.25 m D．3.5 m
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　求解拋物線實際應用題的步驟
[學以致用]　4．如圖，某橋的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為h，跨徑為a，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為(　　)
A． B． C． D．
1．拋物線y2＝－4x的焦點到點A(3，－2)的距離為(　　)
A．2 B． C．2 D．3
2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點到準線的距離為2，則拋物線的焦點坐標為(　　)
A．(0，1) B．(0，2)
C．(1，0) D．(2，0)
3．已知點P是拋物線y2＝－4x上的一個動點，則點P到點M(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為(　　)
A．3 B． C． D．
4．若拋物線x2＝28y上一點(x0，y0)到焦點的距離是該點到x軸距離的3倍，則y0＝________．
1．知識鏈：(1)拋物線的定義．
(2)拋物線的標準方程的四種形式．
(3)拋物線定義的應用．
(4)拋物線的實際應用．
2．方法鏈：待定系數法、定義法、數形結合．
3．警示牌：求拋物線的方程時不要混淆拋物線的焦點位置和方程形式．
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