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高考命題探源(二)
第二章　直線和圓的方程
[命題點分析]　直線與圓的位置關系是近幾年高考的熱點和重點，每年必考，主要考查判斷直線與圓的位置關系、由直線與圓的位置關系求參數(shù)、直線與圓相切的問題及弦長問題等，以基礎題和中檔題為主，題型多為選擇題、填空題．雖然難度不大，但從趨勢來看，其綜合性日漸增強，且青睞于多選題，有時也以解答題的形式出現(xiàn)，考查考生的數(shù)形結合思想以及轉化與化歸思想．
探源1　直線與圓、圓與圓的位置關系
【案例1】　(2023·全國乙卷)已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　B．4　　C．1＋3　　D．7
√
C　[將方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圓心為(2，1)，半徑為3的圓．設z＝x－y，數(shù)形結合知，只有當直線x－y－z＝0與圓相切時，z才能取到最值，此時＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值為1＋3，故選C．]
[考題來源]　本題來源于教材P91例1，教材題目命題點是判斷直線與圓的位置關系并求弦長，本題命題點是已知(x，y)是圓上的點(直線和圓相交或相切)，利用位置關系求最值，難度系數(shù)比教材稍高．
[試題評價]　本題以圓的一般方程為載體，考查直線與圓的位置關系及點到直線的距離等基礎知識，體現(xiàn)了考生的邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．
【案例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程_____________________________．
y＝－x＋　[圓x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑為1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心O1為(3, 4) ，半徑為4，
兩圓圓心距為＝5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，
y＝－x＋
當切線為l時，因為＝，所以kl＝－，設方程為y＝－x＋t(t＞0)，
O到l的距離d＝＝1，解得t＝，所以l的方程為y＝－x＋，
當切線為m時，設直線方程為kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由題意解得y＝x－，
當切線為n時，易知切線方程為x＝－1．]
[考題來源]　本題來源于教材P99習題2.5T15，教材題目命題點是判斷圓的公切線，求相交圓的公共弦方程，本題命題點是求兩外切圓的公切線方程，難度系數(shù)比教材稍高，主要考查學生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．
[試題評價]　圓與圓的位置關系在高考中也經常涉及，一般考查圓與圓的位置關系的判定、求公切線的條數(shù)或公切線方程、求公共弦所在直線的方程或公共弦長等知識，一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度系數(shù)較低，屬于基礎題．本題以圓與圓的位置關系的判定和公切線的求解為命題點，主要考查了直線方程以及直線與圓的位置關系等基礎知識，屬于中等難度試題．
【案例3】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個值_________________________________．
2　[設直線x－my＋1＝0為直線l，由條件知⊙C的圓心C(1，0)，半徑R＝2，C到直線l的距離d＝
＝2＝2＝．由S△ABC＝，得××＝＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以為2．]
2　
[考題來源]　本題來源于教材P103復習參考題2T20，兩題條件中給出的都是過定點的直線系，并借助弦長公式求參數(shù)的值，命題角度高度一致，考查難度稍高于教材．
[試題評價]　試題主要考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離及圓內三角形的性質等．根據題設，利用數(shù)形結合思想，厘清三角形面積的要素，問題即可迎刃而解．試題要求只寫出一個滿足條件的m值即可，具有一定的開放性，屬于中檔題，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．
【案例4】　(2020·全國Ⅰ卷)已知圓x2＋y2－6x＝0，過點(1，2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
B　[將圓的方程x2＋y2－6x＝0化為標準方程(x－3)2＋y2＝9，設圓心為C，則C(3，0)，半徑r＝3．記點(1，2)為點A，過點A(1，2)的直線為l，因為(1－3)2＋22<9，所以點A(1，2)在圓C的內部，則直線l與圓C必相交，設交點分別為B，D．易知當直線l⊥AC時，直線l被該圓所截得的弦的長度最小，設此時圓心C到直線l的距離為d，則d＝
|AC|＝＝2min＝2＝2＝2，即弦的長度的最小值為2，故選B．]
√
[考題來源]　本題來源于教材P103復習參考題2T20．教材題目條件給出的是過定點的直線系方程，求直線被圓截得的最長弦和最短弦長，以及此時參數(shù)的值，本題直接給出定點，求最短弦長，比教材原題題目難度稍低，考查比較基礎，屬于中檔題．
[試題評價]　本題以直線與圓的位置關系為載體，考查求所截弦的長度，難度中等，對考生綜合應用知識能力要求較高，體現(xiàn)了考生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．
[命題點分析]　圓的方程的求解近幾年考查趨勢加大，一般考查圓的標準方程和圓的一般方程的求解，大多與圓的性質等知識綜合考查，以基礎題為主，常以選擇、填空題形式出現(xiàn)，難度很小，主要考查學生的計算能力和邏輯分析能力．
直線與圓的方程的綜合應用問題在高考中常以直線和圓的位置關系為背景考查最值、定點或定值問題，且常與圓錐曲線(下章學)綜合考查，難度一般較大．
探源2　直線與圓的方程及其綜合應用
【案例5】　(多選)(2021·新高考Ⅰ卷)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4，0)，B(0，2)，則(　　)
A．點P到直線AB的距離小于10
B．點P到直線AB的距離大于2
C．當∠PBA最小時，|PB|＝3
D．當∠PBA最大時，|PB|＝3
√
√
√
ACD　[設圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5，5)，由題易知直線AB的方程為＋＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d
＝＝＞4，所以直線AB與圓M相離，所以點P到直線AB的
距離的最大值為4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正確．
易知點P到直線AB的距離的最小值為d－4＝－4，－4＜－4
＝1，故B不正確．
過點B作圓M的兩條切線，切點分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當∠PBA最小時，點P與N重合，|PB|＝
＝＝3
＝3，故C，D都正確．
綜上，選ACD．]
[考題來源]　本題來源于教材P98習題2.5T12．教材題目求解的是圓上動點到三個定點的距離的平方和的最大值和最小值，而考題是圓上動點到定直線的距離的最大值和最小值，以及過定點的直線與圓有公共點時與定直線的夾角的最值求解，難度系數(shù)比教材原題要高，屬于中高檔題．
[試題評價]　試題考查圓的方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想，體現(xiàn)了數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)．
THANKS探源1　直線與圓、圓與圓的位置關系
[命題點分析]　直線與圓的位置關系是近幾年高考的熱點和重點，每年必考，主要考查判斷直線與圓的位置關系、由直線與圓的位置關系求參數(shù)、直線與圓相切的問題及弦長問題等，以基礎題和中檔題為主，題型多為選擇題、填空題．雖然難度不大，但從趨勢來看，其綜合性日漸增強，且青睞于多選題，有時也以解答題的形式出現(xiàn)，考查考生的數(shù)形結合思想以及轉化與化歸思想．
【案例1】　(2023·全國乙卷)已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　B．4　　C．1＋3　　D．7
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來源]　本題來源于教材P91例1，教材題目命題點是判斷直線與圓的位置關系并求弦長，本題命題點是已知(x，y)是圓上的點(直線和圓相交或相切)，利用位置關系求最值，難度系數(shù)比教材稍高．
[試題評價]　本題以圓的一般方程為載體，考查直線與圓的位置關系及點到直線的距離等基礎知識，體現(xiàn)了考生的邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．
【案例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程______________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來源]　本題來源于教材P99習題2.5T15，教材題目命題點是判斷圓的公切線，求相交圓的公共弦方程，本題命題點是求兩外切圓的公切線方程，難度系數(shù)比教材稍高，主要考查學生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．
[試題評價]　圓與圓的位置關系在高考中也經常涉及，一般考查圓與圓的位置關系的判定、求公切線的條數(shù)或公切線方程、求公共弦所在直線的方程或公共弦長等知識，一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度系數(shù)較低，屬于基礎題．本題以圓與圓的位置關系的判定和公切線的求解為命題點，主要考查了直線方程以及直線與圓的位置關系等基礎知識，屬于中等難度試題．
【案例3】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個值________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來源]　本題來源于教材P103復習參考題2T20，兩題條件中給出的都是過定點的直線系，并借助弦長公式求參數(shù)的值，命題角度高度一致，考查難度稍高于教材．
[試題評價]　試題主要考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離及圓內三角形的性質等．根據題設，利用數(shù)形結合思想，厘清三角形面積的要素，問題即可迎刃而解．試題要求只寫出一個滿足條件的m值即可，具有一定的開放性，屬于中檔題，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．
【案例4】　(2020·全國Ⅰ卷)已知圓x2＋y2－6x＝0，過點(1，2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來源]　本題來源于教材P103復習參考題2T20．教材題目條件給出的是過定點的直線系方程，求直線被圓截得的最長弦和最短弦長，以及此時參數(shù)的值，本題直接給出定點，求最短弦長，比教材原題題目難度稍低，考查比較基礎，屬于中檔題．
[試題評價]　本題以直線與圓的位置關系為載體，考查求所截弦的長度，難度中等，對考生綜合應用知識能力要求較高，體現(xiàn)了考生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．
探源2　直線與圓的方程及其綜合應用
[命題點分析]　圓的方程的求解近幾年考查趨勢加大，一般考查圓的標準方程和圓的一般方程的求解，大多與圓的性質等知識綜合考查，以基礎題為主，常以選擇、填空題形式出現(xiàn)，難度很小，主要考查學生的計算能力和邏輯分析能力．
直線與圓的方程的綜合應用問題在高考中常以直線和圓的位置關系為背景考查最值、定點或定值問題，且常與圓錐曲線(下章學)綜合考查，難度一般較大．
【案例5】　(多選)(2021·新高考Ⅰ卷)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4，0)，B(0，2)，則(　　)
A．點P到直線AB的距離小于10
B．點P到直線AB的距離大于2
C．當∠PBA最小時，|PB|＝3
D．當∠PBA最大時，|PB|＝3
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[考題來源]　本題來源于教材P98習題2.5T12．教材題目求解的是圓上動點到三個定點的距離的平方和的最大值和最小值，而考題是圓上動點到定直線的距離的最大值和最小值，以及過定點的直線與圓有公共點時與定直線的夾角的最值求解，難度系數(shù)比教材原題要高，屬于中高檔題．
[試題評價]　試題考查圓的方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想，體現(xiàn)了數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)．
4/4探源1　直線與圓、圓與圓的位置關系
[命題點分析]　直線與圓的位置關系是近幾年高考的熱點和重點，每年必考，主要考查判斷直線與圓的位置關系、由直線與圓的位置關系求參數(shù)、直線與圓相切的問題及弦長問題等，以基礎題和中檔題為主，題型多為選擇題、填空題．雖然難度不大，但從趨勢來看，其綜合性日漸增強，且青睞于多選題，有時也以解答題的形式出現(xiàn)，考查考生的數(shù)形結合思想以及轉化與化歸思想．
【案例1】　(2023·全國乙卷)已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　B．4　　C．1＋3　　D．7
C　[將方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圓心為(2，1)，半徑為3的圓．設z＝x－y，數(shù)形結合知，只有當直線x－y－z＝0與圓相切時，z才能取到最值，此時＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值為1＋3，故選C．]
[考題來源]　本題來源于教材P91例1，教材題目命題點是判斷直線與圓的位置關系并求弦長，本題命題點是已知(x，y)是圓上的點(直線和圓相交或相切)，利用位置關系求最值，難度系數(shù)比教材稍高．
[試題評價]　本題以圓的一般方程為載體，考查直線與圓的位置關系及點到直線的距離等基礎知識，體現(xiàn)了考生的邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．
【案例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程______________．
y＝－x＋　[圓x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑為1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心O1為(3, 4) ，半徑為4，
兩圓圓心距為＝5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，
當切線為l時，因為＝，所以kl＝－，設方程為y＝－x＋t(t＞0)，
O到l的距離d＝＝1，解得t＝，所以l的方程為y＝－x＋，
當切線為m時，設直線方程為kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由題意
解得y＝x－，
當切線為n時，易知切線方程為x＝－1．]
[考題來源]　本題來源于教材P99習題2.5T15，教材題目命題點是判斷圓的公切線，求相交圓的公共弦方程，本題命題點是求兩外切圓的公切線方程，難度系數(shù)比教材稍高，主要考查學生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．
[試題評價]　圓與圓的位置關系在高考中也經常涉及，一般考查圓與圓的位置關系的判定、求公切線的條數(shù)或公切線方程、求公共弦所在直線的方程或公共弦長等知識，一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度系數(shù)較低，屬于基礎題．本題以圓與圓的位置關系的判定和公切線的求解為命題點，主要考查了直線方程以及直線與圓的位置關系等基礎知識，屬于中等難度試題．
【案例3】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個值________．
2　[設直線x－my＋1＝0為直線l，由條件知⊙C的圓心C(1，0)，半徑R＝2，C到直線l的距離d＝＝2＝2＝．由S△ABC＝，得××＝＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以為2．]
[考題來源]　本題來源于教材P103復習參考題2T20，兩題條件中給出的都是過定點的直線系，并借助弦長公式求參數(shù)的值，命題角度高度一致，考查難度稍高于教材．
[試題評價]　試題主要考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離及圓內三角形的性質等．根據題設，利用數(shù)形結合思想，厘清三角形面積的要素，問題即可迎刃而解．試題要求只寫出一個滿足條件的m值即可，具有一定的開放性，屬于中檔題，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．
【案例4】　(2020·全國Ⅰ卷)已知圓x2＋y2－6x＝0，過點(1，2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
B　[將圓的方程x2＋y2－6x＝0化為標準方程(x－3)2＋y2＝9，設圓心為C，則C(3，0)，半徑r＝3．記點(1，2)為點A，過點A(1，2)的直線為l，因為(1－3)2＋22<9，所以點A(1，2)在圓C的內部，則直線l與圓C必相交，設交點分別為B，D．易知當直線l⊥AC時，直線l被該圓所截得的弦的長度最小，設此時圓心C到直線l的距離為d，則d＝|AC|＝＝2min＝2＝2＝2，即弦的長度的最小值為2，故選B．]
[考題來源]　本題來源于教材P103復習參考題2T20．教材題目條件給出的是過定點的直線系方程，求直線被圓截得的最長弦和最短弦長，以及此時參數(shù)的值，本題直接給出定點，求最短弦長，比教材原題題目難度稍低，考查比較基礎，屬于中檔題．
[試題評價]　本題以直線與圓的位置關系為載體，考查求所截弦的長度，難度中等，對考生綜合應用知識能力要求較高，體現(xiàn)了考生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．
探源2　直線與圓的方程及其綜合應用
[命題點分析]　圓的方程的求解近幾年考查趨勢加大，一般考查圓的標準方程和圓的一般方程的求解，大多與圓的性質等知識綜合考查，以基礎題為主，常以選擇、填空題形式出現(xiàn)，難度很小，主要考查學生的計算能力和邏輯分析能力．
直線與圓的方程的綜合應用問題在高考中常以直線和圓的位置關系為背景考查最值、定點或定值問題，且常與圓錐曲線(下章學)綜合考查，難度一般較大．
【案例5】　(多選)(2021·新高考Ⅰ卷)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4，0)，B(0，2)，則(　　)
A．點P到直線AB的距離小于10
B．點P到直線AB的距離大于2
C．當∠PBA最小時，|PB|＝3
D．當∠PBA最大時，|PB|＝3
ACD　[設圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5，5)，由題易知直線AB的方程為＋＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝＝＞4，所以直線AB與圓M相離，所以點P到直線AB的距離的最大值為4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正確．
易知點P到直線AB的距離的最小值為d－4＝－4，－4＜－4＝1，故B不正確．
過點B作圓M的兩條切線，切點分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當∠PBA最小時，點P與N重合，|PB|＝＝＝3＝3，故C，D都正確．綜上，選ACD．
]
[考題來源]　本題來源于教材P98習題2.5T12．教材題目求解的是圓上動點到三個定點的距離的平方和的最大值和最小值，而考題是圓上動點到定直線的距離的最大值和最小值，以及過定點的直線與圓有公共點時與定直線的夾角的最值求解，難度系數(shù)比教材原題要高，屬于中高檔題．
[試題評價]　試題考查圓的方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想，體現(xiàn)了數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)．
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