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中小學教育資源及組卷應用平臺
專題11.1 三角形的邊（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】三角形的相關概念
（1）三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
（2）三角形的基本元素：
基本元素 三個頂點 三條邊 三個內角
表示方法 點A、B、C必須用大寫字母表示 方法1：線段AB、BC、AC. A，B，C.
方法2：頂點所對的邊用a,b,c表示.
圖示 三條邊AB、BC、AC(或a、b、c)，三內角A B C 頂點：點A、B、C
（3）三角形的表示方法：頂點A、B、C的三角形，記作ABC，讀作“三角形ABC”
特別指出：符號“”代表三角形，其后表示三角形的字母必須用大寫字母表示.
【例1】三角形是指(　　)
A．由三條線段所組成的封閉圖形
B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形
C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形
D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形
【答案】C
【分析】根據三角形的定義解答即可．
解：因為三角形的定義是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形．
故選：C．
【知識點二】三角形的分類
等腰三角形
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角
等邊三角形
三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底邊和腰相等的等腰三角形是等邊三角形.
【例2】（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）若一個三角形三邊的長度比為，周長為 cm，則這個三角形三邊的長分別為 ，按邊分，這個三角形是 三角形．
【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰
【分析】本題考查了三角形的分類，根據題意設三角形三邊的長度比為，即可列方程求解．
解：設三角形三邊的長度比為，
則：，
解得：
∴
故答案為：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰
【知識點三】三角形三邊關系
圖示 文字語言 符號語言 理論依據
三角形兩邊之和大于第在邊 a+b>c; b+c>a; a+c>b 兩點之間，線段最短。
三角形兩邊之差小于第三邊 a-b≮c; b-c≮a; a-c≮b
【例3】（2023·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，，，則的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】考查了三角形的三邊關系，解題的關鍵是分別利用三邊關系確定的取值范圍，難度不大．
分別在兩個三角形中利用三角形的三邊關系得：、，從而得到，找到適合的值即可．
解：在中，，，
所以根據三角形的三邊關系得：，
即：①，
在中，，，
所以根據三角形的三邊關系得：，
即：②，
由①②得：，
只有11適合，
故選：D．
【知識點四】三角形的穩(wěn)定性
三角形的三條邊確定后，這個三角形的形狀、大小就確定了，這就是三角形的穩(wěn)定性.特別指出：穩(wěn)定性是三角形所持有的特征，在生產生活中有著廣泛的應用，四邊形不具有穩(wěn)定性.
【例4】（23-24八年級上·重慶渝中·期末）普通家用人字梯一般都會在兩旁分別設計一根“拉桿”，這樣設計是利用（ ）
A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短
C．三角形具有穩(wěn)定性 D．四邊形具有不穩(wěn)定性
【答案】C
【分析】本題考查的知識點是三角形的穩(wěn)定性，解題關鍵是熟練掌握三角形的穩(wěn)定性原理．
根據三角形的穩(wěn)定性即可求解．
解：在人字梯的中間設計的拉桿，
可從不穩(wěn)定的四邊形中構成一個穩(wěn)定的三角形，
從而達到穩(wěn)定人字梯的作用．
故選：．
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】構成三角形的條件
【例1】（22-23八年級上·新疆吐魯番·階段練習）若a，b，c為的三邊長，且a，b滿足．
（1）求c的取值范圍；
（2）若第三邊長c是整數(shù)，求c的值．
【答案】(1) ； (2)c的值為，，
【分析】本題考查絕對值的非負性、平方的非負性和三角形三邊關系，解題的關鍵是利用非負性求出，的值．
（1）利用非負性求出，的值，再利用三角形三邊關系，即可求解；
（2）根據第三邊長c是整數(shù)，求c的值即可．
（1）解：∵，
，，
解得，，
，，
∴．
（2）解：∵是整數(shù)，
的值為，，．
【舉一反三】
【變式1】（2024·湖南長沙·模擬預測）已知三條線段的長分別是6，m，8，若它們能構成三角形，則整數(shù)m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本題考查三角形的三邊關系，解題的關鍵是掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．利用三角形三邊關系求出m的取值范圍，從中找出最小的整數(shù)即可．
解：∵三條線段的長分別是6，m，8，它們能構成三角形，
∴，
∴，
∴整數(shù)m的最小值是3．
故選：B．
【變式2】（22-23八年級上·江西贛州·期中）給出三條線段： 、、；三邊之比為； 、、； 、、．其中能組成三角形的有 （填序號）．
【答案】
【分析】本題考查了組成三角形的條件，①滿足三角形三邊關系，據此可判斷是否符合題意；可設三邊長度為、、其中，再利用三角形三邊關系進行判斷，同理判斷、，掌握三角形三邊關系是解題的關鍵．
解：因為，，能夠組成三角形；
②設三邊長度為、、其中，，能組成三角形；
③，不能組成三角形；
④，能組成三角形．
故答案為：．
【題型2】求等腰三角形邊長或周長（分類討論思想）
【例2】（23-24八年級下·廣東茂名·階段練習）在等腰中，三邊長分別是a，b，c，并且滿足，求的周長．
【答案】的周長是13或11
【分析】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，非負數(shù)的性質，等腰三角形的定義，先利用非負數(shù)的性質求解，的值，再分類討論，根據三角形的三邊關系可得答案．
解 ：∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
又∵a，b，c分別是等腰的邊，
①當時，，符合三角形的三邊關系，
∴的周長是：，
②當時，，符合三角形的三邊關系，
∴的周長是：，
綜上分析可知，的周長是13或11．
【舉一反三】
【變式1】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）已知等腰三角形的周長為16，腰長為x，則x可能的值是（ ）
A．9 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】由三邊關系定理，得，求解即可.
解：腰長為x，則底為，
解得；
故選：C
【點撥】本題考查三角形三邊關系定理，一元一次不等式求解；由三邊關系定理構建不等式是解題的關鍵．
【變式2】一個等腰三角形的兩邊長分別為5或6，則這個等腰三角形的周長是 ．
【答案】16或17．
解：由于未說明兩邊哪個是腰哪個是底，故需分兩種情況討論：
（1）當?shù)妊切蔚难鼮?，底為6時，周長為5+5+6=16；
（2）當?shù)妊切蔚难鼮?，底為5時，周長為5+6+6=17．
∴這個等腰三角形的周長是16或17．
【題型3】利用三角形三邊關系化簡
【例3】（23-24八年級上·河南漯河·階段練習）已知，，是三邊的長．
（1）若，，滿足，試判斷的形狀；
（2）化簡．
【答案】(1)等邊三角形；(2)
【分析】本題考查化簡絕對值、不等式的性質、三角形的三邊關系和三角形分類；
（1）根據非負數(shù)的性質，可得出，進而得出結論；
（2）利用三角形的三邊關系得到，，，然后去絕對值符號后化簡即可．
解：（1），
且，
，
為等邊三角形；
（2），，是的三邊長，
，，，
，，，
．
【舉一反三】
【變式1】（22-23八年級上·湖北襄陽·期末）已知三角形的三邊長分別為，則化簡的結果為（　?。?br/>A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根據在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；即可求a的取值范圍，進而得到化簡結果．
解 ：由三角形三邊關系定理得，
即．
∴．
故選：C．
【點撥】本題主要考查了三角形三邊關系的運用，根據三角形三邊關系定理列出不等式是解本題的關鍵．
【變式2】（23-24七年級下·四川眉山·期中）若，，是的三邊，試化簡： ．
【答案】
【分析】本題考查三角形三邊關系定理，絕對值的代數(shù)意義，不等式的性質．根據三角形三邊關系得到，，然后再根據絕對值的代數(shù)意義進行化簡即可．解題的關鍵是掌握：三角形的任意兩邊之和大于第三邊．
解 ：∵，，是的三邊，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案為：．
【題型4】利用三角形三邊關系進行證明
【例4】（22-23八年級上·山西忻州·階段練習）如圖，點D是的邊上任意一點，求證：．

【分析】分別在兩個三角形中利用兩邊之和大于第三邊的得到不等式，然后相加可得結論．
證明：在中，，
在中，，
∴，
即．
【點撥】本題考查三角形的三邊關系，解題的關鍵是根據三角形的三邊關系得到不等關系．
【舉一反三】
【變式1】（2023八年級·全國·專題練習）如圖，已知點是內一點， 連接并延長交于點，求證：．

【分析】在中運用三角形三邊關系可得，再根據線段的和差可得，可得：；同理可得：，最后運用等量代換即可證明結論．
證明：∵在中，可得，，
∴可得：．
∵在中，可得③，，
∴，
∴．
【點撥】本題主要考查三角形的三邊關系，找準三角形并靈活運用三角形的三邊關系是解答本題的關鍵．
【變式2】（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知O為內的任一點，求證：．

【分析】對于證明線段之間不等關系的題目，常常把線段轉化為一個或多個三角形的邊，然后利用三角形三邊關系證明．
證明：如圖，延長交于點D．
∵三角形兩邊的和大于第三邊，
∴，①
，②
①+②，得，
即．
同理可得，，
∴，
即．
∴，，，
∴，
即．
∴．
【點撥】本題考查三角形的三邊關系．解題的關鍵是構造三角形，利用三角形的三邊關系進行證明．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【答案】D
【分析】根據三角形的三邊關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行分析判斷．
解：A、，不能構成三角形，故此選項不合題意；
B、，不能構成三角形，故此選項不合題意；
C、，不能構成三角形，故此選項不合題意；
D、，能構成三角形，故此選項符合題意．
故選：D．
【點撥】此題考查了三角形三邊關系，看能否組成三角形的簡便方法：看較小的兩個數(shù)的和能否大于第三個數(shù)．
【例2】（2021·黑龍江大慶·中考真題）三個數(shù)3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構成三角形，則的取值范圍為
【答案】
【分析】根據三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得到，再根據三角形的三邊關系得到，求解不等式組即可．
解：∵3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，
∴，解得，
∵這三個數(shù)為邊長能構成三角形，
∴，解得，
綜上所述，的取值范圍為，
故答案為：．
【點撥】本題考查不等式組的應用、三角形的三邊關系，根據題意列出不等式組是解題的關鍵．
2、拓展延伸
【例1】（21-22七年級下·江蘇蘇州·期末）閱讀下列材料：
解方程組：
解：由①得
x﹣y＝1 ③，
將③代入②，得
4×1﹣y＝5，
解這個一元一次方程，得
y＝﹣1
從而求得．
這種思想被稱為“整體思想”．請用“整體思想”解決下面問題：
（1）解方程組：；
（2）在（1）的條件下，若x，y是△ABC兩條邊的長，且第三邊的長是奇數(shù)，求△ABC的周長．
【答案】(1)； (2)16或18或20
【分析】（1）由第一個方程求出2x-3y的值，代入第二個方程求出y的值，進而求出x的值，即可確定出方程組的解．
（2）根據三角形的三邊關系確定第三邊的取值范圍，從而確定第三邊的值，即可解答．
（1）解：
由①得：2x﹣3y＝2③，
將③代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
將y＝4代入③得：x＝7，
則方程組的解為．
（2）解：∵△ABC兩條邊長是7和4，
∴第三邊長小于11并且大于3，
∵第三邊的長是奇數(shù)，
∴第三邊長是5或7或9，
∴△ABC的周長是7+4+5＝16
或7+4+7＝18
或7+4+9＝20．
∴△ABC的周長為16或18或20．
【點撥】此題考查了解二元一次方程組和三角形的三邊關系，解決本題的關鍵是解二元一次方程組．
【例2】（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）定義：三角形各邊均為整數(shù)的三角形稱為整邊三角形，已知是整邊三角形，三角形的三邊長分別為a，b，c，且，當時，則符合條件的有 個．
【答案】
【分析】先確定的整數(shù)解，再根據三邊關系，求解即可．
解：∵三角形的三邊長分別為a，b，c，且，，
∴，
∴，即：，
∴的值為：，的值為，
當時，不存在；
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
∴符合條件的有個；
故答案為：．
【點撥】本題考查三角形的三邊關系．熟練掌握兩短邊之和大于第三邊時，三條線段能夠組成三角形，是解題的關鍵．
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專題11.1 三角形的邊（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】三角形的相關概念
（1）三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
（2）三角形的基本元素：
基本元素 三個頂點 三條邊 三個內角
表示方法 點A、B、C必須用大寫字母表示 方法1：線段AB、BC、AC. A，B，C.
方法2：頂點所對的邊用a,b,c表示.
圖示 三條邊AB、BC、AC(或a、b、c)，三內角A B C 頂點：點A、B、C
（3）三角形的表示方法：頂點A、B、C的三角形，記作ABC，讀作“三角形ABC”
特別指出：符號“”代表三角形，其后表示三角形的字母必須用大寫字母表示.
【例1】三角形是指(　　)
A．由三條線段所組成的封閉圖形
B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形
C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形
D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形
【知識點二】三角形的分類
等腰三角形
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角
等邊三角形
三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底邊和腰相等的等腰三角形是等邊三角形.
【例2】（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）若一個三角形三邊的長度比為，周長為 cm，則這個三角形三邊的長分別為 ，按邊分，這個三角形是 三角形．
【知識點三】三角形三邊關系
圖示 文字語言 符號語言 理論依據
三角形兩邊之和大于第在邊 a+b>c; b+c>a; a+c>b 兩點之間，線段最短。
三角形兩邊之差小于第三邊 a-b≮c; b-c≮a; a-c≮b
【例3】（2023·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，，，則的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【知識點四】三角形的穩(wěn)定性
三角形的三條邊確定后，這個三角形的形狀、大小就確定了，這就是三角形的穩(wěn)定性.特別指出：穩(wěn)定性是三角形所持有的特征，在生產生活中有著廣泛的應用，四邊形不具有穩(wěn)定性.
【例4】（23-24八年級上·重慶渝中·期末）普通家用人字梯一般都會在兩旁分別設計一根“拉桿”，這樣設計是利用（ ）
A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短
C．三角形具有穩(wěn)定性 D．四邊形具有不穩(wěn)定性
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】構成三角形的條件
【例1】（22-23八年級上·新疆吐魯番·階段練習）若a，b，c為的三邊長，且a，b滿足．
（1）求c的取值范圍；
（2）若第三邊長c是整數(shù)，求c的值．
【舉一反三】
【變式1】（2024·湖南長沙·模擬預測）已知三條線段的長分別是6，m，8，若它們能構成三角形，則整數(shù)m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【變式2】（22-23八年級上·江西贛州·期中）給出三條線段： 、、；三邊之比為； 、、； 、、．其中能組成三角形的有 （填序號）．
【題型2】求等腰三角形邊長或周長（分類討論思想）
【例2】（23-24八年級下·廣東茂名·階段練習）在等腰中，三邊長分別是a，b，c，并且滿足，求的周長．
【舉一反三】
【變式1】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）已知等腰三角形的周長為16，腰長為x，則x可能的值是（ ）
A．9 B．3 C．5 D．4
【變式2】一個等腰三角形的兩邊長分別為5或6，則這個等腰三角形的周長是 ．
【題型3】利用三角形三邊關系化簡
【例3】（23-24八年級上·河南漯河·階段練習）已知，，是三邊的長．
（1）若，，滿足，試判斷的形狀；
（2）化簡．
【舉一反三】
【變式1】（22-23八年級上·湖北襄陽·期末）已知三角形的三邊長分別為，則化簡的結果為（　?。?br/>A． B． C．4 D．
【變式2】（23-24七年級下·四川眉山·期中）若，，是的三邊，試化簡： ．
【題型4】利用三角形三邊關系進行證明
【例4】（22-23八年級上·山西忻州·階段練習）如圖，點D是的邊上任意一點，求證：．

【舉一反三】
【變式1】（2023八年級·全國·專題練習）如圖，已知點是內一點， 連接并延長交于點，求證：．

【變式2】（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知O為內的任一點，求證：．

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【例2】（2021·黑龍江大慶·中考真題）三個數(shù)3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構成三角形，則的取值范圍為
2、拓展延伸
【例1】（21-22七年級下·江蘇蘇州·期末）閱讀下列材料：
解方程組：
解：由①得
x﹣y＝1 ③，
將③代入②，得
4×1﹣y＝5，
解這個一元一次方程，得
y＝﹣1
從而求得．
這種思想被稱為“整體思想”．請用“整體思想”解決下面問題：
（1）解方程組：；
（2）在（1）的條件下，若x，y是△ABC兩條邊的長，且第三邊的長是奇數(shù)，求△ABC的周長．
【例2】（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）定義：三角形各邊均為整數(shù)的三角形稱為整邊三角形，已知是整邊三角形，三角形的三邊長分別為a，b，c，且，當時，則符合條件的有 個．
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