資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題11.7 多邊形及其內角和（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】多邊形及其相關概念
1.多邊形的概念：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.如果一個多邊形由n（n是大于或等于3的自然數）條線段組成，那么這個多邊形就叫做n邊形.
2.多邊形的相關概念
（1）多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.
（2）多邊形的頂點：相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.
（3）多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內部的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角.
（4）多邊形的外角：多邊形的一邊和它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.
（5）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.
特別提醒：①多邊形的邊數、頂點數及角的個數相等；②把多邊形問題轉化成三角形問題求解的常用方法是連接對角線.
【知識點二】正多邊形
各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形必須滿同時滿足以下兩個條件：①各邊都相等；②各角都相等.
【知識點三】凸多邊形與凹多邊形
如圖①所示，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這條直線的同一側，這樣的多邊形成為凸多邊形；
而圖②就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我們畫出CD所在的直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側，所以我們稱它為凹多邊形.
我們在學習中提到的多邊形大都是凸多邊形.
【知識點四】多邊形內角和定理
n邊形的內角和等于（n-2）×180°.特別地，正n邊形每個內角的度數是.
【知識點五】多邊形外角和定理
1.多邊形的外角和：在多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.
2.多邊形外角和定理：多邊形的外角和等于360°.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】由多邊形內角和公式求度數
【例1】（23-24八年級上·河南許昌·階段練習）求圖中的x的值
(1)
(2)
【答案】(1)80； (2)110
【分析】本題主要考查了多邊形內角和定理：
（1）根據四邊形內角和為360度列出方程求解即可；
（2）根據五邊形內角和為列出方程求解即可．
（1）解：由題意得，，
解得；
（2）解：由題意得，，
解得．
【變式1】（23-24七年級下·全國·假期作業）若多邊形的邊數增加1，則其內角和的度數（ ）
A．增加 B．為 C．不變 D．減少
【答案】A
【分析】本題主要考查了多邊形的內角和，掌握多邊形的內角和公式（n為多邊形的邊數）成為解題的關鍵.
根據多邊形的內角和公式（n為多邊形的邊數），然后進行判斷解答.
解：設多邊形的邊數為n，則原多邊形的內角和為，
邊數增加1后的多邊形的內角和為，
∴，
∴其內角和的度數增加．
故選A．
【變式2】（2024·四川自貢·中考真題）凸七邊形的內角和是 度．
【答案】900
【分析】本題主要考查了多邊形內角和定理．應用多邊形的內角和公式計算即可．
解：七邊形的內角和，
故答案為：900．
【題型2】由多邊形內角和公式求邊數
【例2】（23-24八年級上·江西贛州·期末）下面是正多邊形M和N的對話：
求M和N的邊數．
【答案】M和N的邊數分別是4和6
【分析】本題主要考查多邊形的內角和，掌握多邊形內角和的計算方法以及多邊形的性質是正確解答的關鍵．
根據對話和多邊形的內角和公式列方程求解即可；
解：設M的邊數為，N的邊數為，
由題意得：
解得：，
，，
M和N的邊數分別是4和6．
【變式1】（22-23八年級上·山東威海·期末）如果一個正多邊形每個內角都為，那么該正多邊形的邊數是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】D
【分析】此題主要考查了多邊形的外角與內角．首先根據求出外角度數，再利用外角和定理求出邊數．
解：∵正多邊形的一個內角是，
∴它的外角是：，
．
即這個正多邊形是九邊形．
故選：D．
【變式2】一個正多邊形的內角和是，則這個多邊形的邊數 ．
【答案】10
【分析】本題考查了多邊形的內角和公式，熟記公式是解題的關鍵．根據多邊形的內角和公式列式求解即可．
解：設這個多邊形的邊數是，
則，
解得．
故答案為：10．
【題型3】由多邊形內角和與外角和度數求邊數
【例3】（23-24七年級下·福建泉州·期中）已知一個多邊形的內角和與外角和的差剛好等于一個十邊形的內角和，求這個多邊形的邊數．
【答案】這個多邊形的邊數為12．
【分析】設這個多邊形的邊數為n，根據題意得出方程，求出方程的解即可．
解：設這個多邊形的邊數為n，根據題意得：
，
解得：．
答：這個多邊形的邊數為12．
【變式】（23-24八年級下·浙江溫州·期中）若邊形的內角和等于外角和的3倍，則邊數是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】本題主要考查了多邊形的內角和以及多邊形的外角和；利用多邊形的外角和是度，一個邊形的內角和等于它外角和的倍，則內角和是，而邊形的內角和是，則可得到方程，解方程即可．
解：根據題意列方程，得：
，
解得：，
故選：C．
【題型4】由多邊形內、外角和公式求角度
【例4】（23-24八年級下·湖南永州·期中）一個正多邊形的內角和是外角和的倍，求這個正多邊形一個內角的度數．
【答案】
【分析】本題考查了多邊形的內角和與外角和，設此多邊形的邊數為，根據題意得出，求出的值即可．
解：∵該正多邊形的內角和等于外角和的倍，
設此多邊形的邊數為，則有：，
解得：，
內角的度數為．
【變式1】（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，在四邊形中，，是四邊形的外角，且，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質和多邊形內角和定理，掌握邊形內角和定理是解題的關鍵．根據，得出，再求出，根據四邊形的內角和定理解答即可．
解：，，
，
，
是四邊形的外角，
，
，
，
．
故選：C
【變式2】（23-24七年級下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在五邊形中，分別是的外角，則的度數為 ．
【答案】/度
【分析】
此題主要考查了多邊形的內角和，平行線的性質，熟練掌握多邊形的內角和，平行線的性質是解決問題的關鍵．先根據多邊形的內角和定理求出，再根據得，進而得，然后根據鄰補角的定義的，，，由此可得的度數．
解：∵五邊形的內角和為：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
故答案為：．
【題型5】由多邊形對角線數量求角度或對角線條數
【例5】（23-24八年級上·安徽阜陽·期中）【觀察思考】

【規律發現】
（1）七邊形的對角線條數為______．
（2）三邊形的對角線條數可表示為，四邊形對角線條數可表示為，五邊形的對角線條數可表示為，…，n邊形的對角線條數可表示為______．
(3)【規律應用】若一個多邊形的內角和為，求這個多邊形的邊數和對角線的條數．
【答案】(1)14 ；(2)
(3)這個多邊形的邊數為11，對角線的條數為44．
【分析】此題考查多邊形對角線計算公式，多邊形內角和公式，圖形類規律探究，
（1）根據各圖形分別求出對角線條數，由規律即可得到答案；
（2）利用（1）的計算結果即可得到規律；
（3）設多邊形的邊數為n，則列方程為，解得，再根據（2）求出對角線．
（1）三邊形的對角線條數可表示為，
四邊形對角線條數可表示為，
五邊形對角線條數可表示為，
六邊形對角線條數可表示為，
七邊形對角線條數可表示為，
故答案為：14；
（2）三邊形的對角線條數可表示為，
四邊形對角線條數可表示為，
五邊形對角線條數可表示為，
…
n邊形的對角線條數可表示為，
故答案為：；
（3）設多邊形的邊數為n，則
，解得，
對角線為（條），
∴這個多邊形的邊數為11，對角線的條數為44．
【變式1】（23-24八年級上·河北唐山·期中）若從一個正多邊形的一個頂點出發，最多可以引6條對角線，則它的一個內角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了多邊形的對角線，多邊形內角和公式及正多邊形的內角，根據邊形從一個頂點出發可引出條對角線，求得多邊形的邊數，結合多邊形內角和公式及正多邊形的內角求解是解決問題的關鍵．
解：設正多邊形邊數為，由題意得：，
可得，
則內角和：，
∴它的一個內角度數為：，
故選：C．
【變式2】（2024·陜西咸陽·三模）已知某正多邊形的每個外角均為，則該正多邊形的對角線共有 條．
【答案】5
【分析】根據正多邊形的每一個外角都相等，多邊形的邊數，進而求得多邊形的對角線條數．本題考查了多邊形的內角與外角的關系，熟記正多邊形的邊數與外角的關系是解題的關鍵．
解：這個正多邊形的邊數：，
則對角線的條數是：．
故答案為：5．
【題型6】由多邊形截角問題
【例6】（22-23八年級上·廣東惠州·階段練習）閱讀下題及解題過程．
如圖（），我們知道四邊形的內角和為，現在將一張四邊形的紙剪掉一個角后，剩余紙所有內角的和是多少？
如圖（），剩余紙為五邊形，所以剩余紙所有內角的和為．
上面的解答過程是否正確？若正確，說出你的判斷根據；若不正確，請說明原因，并寫出你認為正確的結論．
【答案】不正確，見解析，正確結論是將一張四邊形紙剪掉一個角后，剩余紙所有內角的和是或或．
【分析】一個多邊形切去一個角后形成的多邊形邊數有三種可能：比原多邊形邊數小1、相等、大1，由此即可解決問題，考慮到不過頂點，只有一種情形，據此分析即可得出答案．
上面的解答不正確，出錯的原因是思考問題不全面．除了題目中的解法外，還要補充正確的解答如下：
如圖（）所示，剪掉一個角后，剩余紙的所有內角的和是；
如圖（）所示，剪掉一個角后，剩余紙的所有內角的和是．
所以將一張四邊形紙剪掉一個角后，剩余紙所有內角的和是或或．
【點撥】本題考查了多邊形的內角和公式，解題的關鍵是記住一個多邊形截去一個角后它的邊數可能增加1，可能減少1，或不變，掌握多邊形的內角和公式是解題的關鍵．
【變式1】（22-23八年級上·貴州安順·期末）將一個五邊形紙片，剪去一個角后得到另一個多邊形，則得到的多邊形的內角和是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形的內角和，找出五邊形紙片剪去一個角出現的情況，再根據邊形內角和公式得出多邊形的內角和，即可解題．
解：如圖，將一個五邊形沿虛線裁去一個角后得到的多邊形的邊數是或或，
其中四邊形內角和為，五邊形內角和為，六邊形內角和為，
得到的多邊形的內角和是或或，
故選：D．
【變式2】（23-24八年級下·全國·課后作業）小明同學在計算一個多邊形的內角和時，由于粗心少算一個內角，結果得到的結果是，則少算的這個內角的度數為 ．
【答案】/度
【分析】本題主要考查了多邊形內角和定理，解不等式，設多邊形的邊數是n（，且n為整數），根據多邊形內角和定理列出不等式，進而求出，再計算出該多邊形內角和即可得到答案．
解：設多邊形的邊數是n（，且n為整數），
依題意得，
解得．
∵少算一個內角，且該內角小于，
∴．
∴多邊形的內角和是，
∴少算的這個內角的度數為，
故答案為：．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·四川攀枝花·中考真題）同學們在探索“多邊形的內角和”時，利用了“三角形的內角和”．請你在不直接運用結論“n邊形的內角和為”計算的條件下，利用“一個三角形的內角和等于180°”，結合圖形說明：五邊形的內角和為540°．
【分析】如下圖，連接，，將五邊形分成三個三角形，然后利用三角形的內角和定理求解即可．
解：連接，，
五邊形的內角和等于，，的內角和的和，
五邊形的內角和．
【點撥】此題考查了三角形的內角和定理，熟練運用三角形內角和定理，并將五邊形轉化為三個三角形是解答此題的關鍵．
【例2】（2024·四川遂寧·中考真題）佩佩在“黃娥古鎮”研學時學習扎染技術，得到了一個內角和為的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正多邊形的外角，設這個正多邊形的邊數為，先根據內角和求出正多邊形的邊數，再用外角和除以邊數即可求解，掌握正多邊形的性質是解題的關鍵．
解：設這個正多邊形的邊數為，
則，
∴，
∴這個正多邊形的每個外角為，
故選：．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·江蘇·期中）在平面內有個點，其中每三個點都能構成等腰三角形，我們把具有這樣性質的個點構成的點集稱為愛爾特希點集，如圖，四邊形的四個頂點構成愛爾特希點集，若平面內存在一個點與，，，也構成愛爾特希點集，則 ．
【答案】或
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，正多邊形的內角，三角形內角和定理；由題意知為某正五邊形的任意四個頂點時，即滿足題意，分點為正五邊形的中心和頂點兩種情況討論．
解：依題意，當為正五邊形的中心點時即滿足題意，
．
當為正五邊形的頂點時即滿足題意，
∴
故答案為：或．
【例2】一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分：又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了45個48邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】根據題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，則各部分的內角和增加．于是，剪過k次后，可得個多邊形，這些多邊形的內角和為．因為這個多邊形中有45個48邊形，可求它們的內角和，其余多邊形有（個），而這些多邊形的內角和不少于．可得不等式，解不等式即可求得答案．
解：根據題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，則各部分的內角和增加．
于是，設剪過k次后，可得個多邊形，這些多邊形的內角和為．
因為這個多邊形中有45個48邊形，它們的內角和，
其余多邊形有（個），而這些多邊形的內角和不少．
所以，
解得：．
故至少要剪的刀數是刀．
故選C．
【點撥】此題考查了多邊形的內角和的應用，關鍵是理解用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內角和增加．
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專題11.7 多邊形及其內角和（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】多邊形及其相關概念
1.多邊形的概念：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.如果一個多邊形由n（n是大于或等于3的自然數）條線段組成，那么這個多邊形就叫做n邊形.
2.多邊形的相關概念
（1）多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.
（2）多邊形的頂點：相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.
（3）多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內部的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角.
（4）多邊形的外角：多邊形的一邊和它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.
（5）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.
特別提醒：①多邊形的邊數、頂點數及角的個數相等；②把多邊形問題轉化成三角形問題求解的常用方法是連接對角線.
【知識點二】正多邊形
各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形必須滿同時滿足以下兩個條件：①各邊都相等；②各角都相等.
【知識點三】凸多邊形與凹多邊形
如圖①所示，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這條直線的同一側，這樣的多邊形成為凸多邊形；
而圖②就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我們畫出CD所在的直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側，所以我們稱它為凹多邊形.
我們在學習中提到的多邊形大都是凸多邊形.
【知識點四】多邊形內角和定理
n邊形的內角和等于（n-2）×180°.特別地，正n邊形每個內角的度數是.
【知識點五】多邊形外角和定理
1.多邊形的外角和：在多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.
2.多邊形外角和定理：多邊形的外角和等于360°.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】由多邊形內角和公式求度數
【例1】（23-24八年級上·河南許昌·階段練習）求圖中的x的值
(1)
(2)
【變式1】（23-24七年級下·全國·假期作業）若多邊形的邊數增加1，則其內角和的度數（ ）
A．增加 B．為 C．不變 D．減少
【變式2】（2024·四川自貢·中考真題）凸七邊形的內角和是 度．
【題型2】由多邊形內角和公式求邊數
【例2】（23-24八年級上·江西贛州·期末）下面是正多邊形M和N的對話：
求M和N的邊數．
【變式1】（22-23八年級上·山東威海·期末）如果一個正多邊形每個內角都為，那么該正多邊形的邊數是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
【變式2】一個正多邊形的內角和是，則這個多邊形的邊數 ．
【題型3】由多邊形內角和與外角和度數求邊數
【例3】（23-24七年級下·福建泉州·期中）已知一個多邊形的內角和與外角和的差剛好等于一個十邊形的內角和，求這個多邊形的邊數．
【變式】（23-24八年級下·浙江溫州·期中）若邊形的內角和等于外角和的3倍，則邊數是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【題型4】由多邊形內、外角和公式求角度
【例4】（23-24八年級下·湖南永州·期中）一個正多邊形的內角和是外角和的倍，求這個正多邊形一個內角的度數．
【變式1】（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，在四邊形中，，是四邊形的外角，且，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在五邊形中，分別是的外角，則的度數為 ．
【題型5】由多邊形對角線數量求角度或對角線條數
【例5】（23-24八年級上·安徽阜陽·期中）【觀察思考】

【規律發現】
（1）七邊形的對角線條數為______．
（2）三邊形的對角線條數可表示為，四邊形對角線條數可表示為，五邊形的對角線條數可表示為，…，n邊形的對角線條數可表示為______．
(3)【規律應用】若一個多邊形的內角和為，求這個多邊形的邊數和對角線的條數．
【變式1】（23-24八年級上·河北唐山·期中）若從一個正多邊形的一個頂點出發，最多可以引6條對角線，則它的一個內角為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024·陜西咸陽·三模）已知某正多邊形的每個外角均為，則該正多邊形的對角線共有 條．
【題型6】由多邊形截角問題
【例6】（22-23八年級上·廣東惠州·階段練習）閱讀下題及解題過程．
如圖（），我們知道四邊形的內角和為，現在將一張四邊形的紙剪掉一個角后，剩余紙所有內角的和是多少？
如圖（），剩余紙為五邊形，所以剩余紙所有內角的和為．
上面的解答過程是否正確？若正確，說出你的判斷根據；若不正確，請說明原因，并寫出你認為正確的結論．
【變式1】（22-23八年級上·貴州安順·期末）將一個五邊形紙片，剪去一個角后得到另一個多邊形，則得到的多邊形的內角和是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【變式2】（23-24八年級下·全國·課后作業）小明同學在計算一個多邊形的內角和時，由于粗心少算一個內角，結果得到的結果是，則少算的這個內角的度數為 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·四川攀枝花·中考真題）同學們在探索“多邊形的內角和”時，利用了“三角形的內角和”．請你在不直接運用結論“n邊形的內角和為”計算的條件下，利用“一個三角形的內角和等于180°”，結合圖形說明：五邊形的內角和為540°．
【例2】（2024·四川遂寧·中考真題）佩佩在“黃娥古鎮”研學時學習扎染技術，得到了一個內角和為的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（ ）
A． B． C． D．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·江蘇·期中）在平面內有個點，其中每三個點都能構成等腰三角形，我們把具有這樣性質的個點構成的點集稱為愛爾特希點集，如圖，四邊形的四個頂點構成愛爾特希點集，若平面內存在一個點與，，，也構成愛爾特希點集，則 ．
【例2】一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分：又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了45個48邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
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