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專題11.5 與三角形有關的角（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°；
特別指出：三角形三個內角中最多三個銳角，至少有兩個銳角，最多有一個鈍角，且三角形中最大的內角不小于60°
【知識點二】直角三角形的性質與判定；
性質：直角三角形的兩銳角互余；
判定：有兩個內角互余的三角形是直角三角形；
直角三角形的表示：直角三角形可以用符號Rt 表示，如直角三角形ABC可以表示為Rt ABC.
【知識點三】三角形的外角
1、三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角；
2、三角形內角和定理的推論（三角形外角性質）：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；
3、三角形的外角和為等于360°.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】三角形內角和定理的證明
【例1】（23-24七年級下·廣東江門·期中）數學活動：一數學活動小組在完成課本習題時，一同學說根據平行線的性質推理證明“三角形的內角和等于180”，下面請你幫助該同學用不同方法完成該命題推理證明．
（1）如圖①，在三角形中，直線經過點，，試推理說明；
（2）如圖②，在三角形中，點在邊上，過點作交于點，作交于點，試推理說明；
（3）如圖③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，試推理說明．
【變式1】（21-22八年級上·浙江杭州·階段練習）在探究證明“三角形的內角和是180”時，綜合實踐小組的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內角和是180°”的是（ ）
A．過作∥
B．延長到，過作
C．作于點
D．過上一點作，
【變式2】如果三角形的三個內角分別是x°，y°，y°，那么x，y滿足的關系式是 ．
【題型2】利用三角形內角和求角度
【例2】（23-24七年級下·山東日照·期中）如圖，點O，P，Q分別在上，與交于M點，連接，已知，．
（1）求證：；
（2）若是的平分線，，請判斷與的位置關系，并說明理由．
【變式1】（2024八年級·全國·競賽）如圖，已知在中，，現將分別沿邊翻折得到，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·遼寧遼陽·期中）如圖，，分別是的高和角平分線，，，則的度數為 ．
【題型3】利用三角形外角性質求角度
【例3】（2024七年級下·江蘇·專題練習）如圖，在中，

（1）證明：；
（2），，求的度數．
【變式1】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖是某家具店出售的黃色木椅的側面圖，其中，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，在中，平分交于點，平分交于點，若，，則的度數為 ．
【題型4】利用直角三角形性質與判定求角度
【例4】（23-24八年級下·全國·課后作業）如圖，在中，是邊上的高，E是邊上一點，交于點M，且．求證：是直角三角形．
【變式1】（2024·陜西咸陽·三模）如圖，一束光線先后經平面鏡反射后，反射光線與平行，根據光的反射原理，，，當時，的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】如圖，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直線 DE 與 AC，BC 分別交于 D，E 兩點．若∠DEC＝∠A，則△EDC 是 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·湖北宜昌·中考真題）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點在上，其中，，，，，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·遼寧·中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點是邊上的動點，將三角形紙片沿對折，使點落在點處，當時，的度數為 ．

2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級上·山西晉中·期末）綜合與實踐
將兩個完全相同的直角三角板（），按圖1的方式放置，使邊和邊與直線重合，和的頂點O重合．
（1）如圖1， 度；
（2）如圖2，若平分，求的度數；
（3）如圖3所示，把三角板和繞點O同時以相同的速度順時針旋轉，當平分時，和的度數之間有怎樣的數量關系，請直接寫出結論．
【例2】（23-24七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，，、、分別平分的內角、外角、外角．其中不正確的結論有（ ）
A． B．
C． D．
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專題11.5 與三角形有關的角（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°；
特別指出：三角形三個內角中最多三個銳角，至少有兩個銳角，最多有一個鈍角，且三角形中最大的內角不小于60°
【知識點二】直角三角形的性質與判定；
性質：直角三角形的兩銳角互余；
判定：有兩個內角互余的三角形是直角三角形；
直角三角形的表示：直角三角形可以用符號Rt 表示，如直角三角形ABC可以表示為Rt ABC.
【知識點三】三角形的外角
1、三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角；
2、三角形內角和定理的推論（三角形外角性質）：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；
3、三角形的外角和為等于360°.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】三角形內角和定理的證明
【例1】（23-24七年級下·廣東江門·期中）數學活動：一數學活動小組在完成課本習題時，一同學說根據平行線的性質推理證明“三角形的內角和等于180”，下面請你幫助該同學用不同方法完成該命題推理證明．
（1）如圖①，在三角形中，直線經過點，，試推理說明；
（2）如圖②，在三角形中，點在邊上，過點作交于點，作交于點，試推理說明；
（3）如圖③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，試推理說明．
【分析】本題主要考查了平行線的性質以及三角形內角和定理的證明；
（1）如圖，過點作，依據平行線的性質，即可得到，，從而可求證三角形的內角和為．
（2）根據平行線的性質，將三個內角轉化為，根據平角的定義，即可求得證；
（3）作的延長線，過點作射線 ．根據平行線的性質得出＝，＝，進而根據平角的定義，即可得證．
（1）證明：如圖，過點A作，

則，．(兩直線平行，內錯角相等）
∵點，，在同一條直線上，
∴．（平角的定義）
．
即三角形的內角和為．
（2）∵
∴
∵
∴
∴
，
，
（3）證明：作的延長線，過點作射線 ．
＝，＝
＋＋＝
＋＋＝
【舉一反三】
【變式1】（21-22八年級上·浙江杭州·階段練習）在探究證明“三角形的內角和是180”時，綜合實踐小組的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內角和是180°”的是（ ）
A．過作∥
B．延長到，過作
C．作于點
D．過上一點作，
【答案】C
【分析】運用轉化的思想作出相應的平行線，把三角形的內角進行轉化，再根據平角的定義解決此題．
解：由，則，．
由，得．故A不符合題意；
由，則，．
由，得．故B不符合題意；
由于，則，
無法證得三角形內角和是．故C符合題意，
由，得，．由，得，，那么．
由，得．故D不符合題意；
故選：C．
【點撥】本題主要考查三角形內角和的定理的證明，平行線的性質，熟練掌握轉化的思想以及平角的定義是解決本題的關鍵．
【變式2】如果三角形的三個內角分別是x°，y°，y°，那么x，y滿足的關系式是 ．
【答案】x+2y=180
【分析】根據三角形內角和定理可得x+2y=180．
解：∵三角形的三個內角分別是x°，y°，y°，
∴x+y+y=180，即x+2y=180，
故答案為x+2y=180．
【點撥】本題主要考查三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握三角形內角和定理：三角形內角和是180°．
【題型2】利用三角形內角和求角度
【例2】（23-24七年級下·山東日照·期中）如圖，點O，P，Q分別在上，與交于M點，連接，已知，．
（1）求證：；
（2）若是的平分線，，請判斷與的位置關系，并說明理由．
【答案】(1)見詳解；(2)，理由見詳解
【分析】本題考查了平行線的判定與性質，角平分線的定義，鄰補角的性質，三角形內角和性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）先根據鄰補角的性質，得出，證明，結合，即可作答．
（2）由角平分線的定義得出，再進行角的等量代換，得出，且，得出，再根據三角形的內角性質，進行計算，即可作答．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
【舉一反三】
【變式1】（2024八年級·全國·競賽）如圖，已知在中，，現將分別沿邊翻折得到，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查三角形的內角和定理，通過方程求解，，的度數是解題的關鍵．由題意設，，，利用三角形的內角和定理可求解值，即可求解各內角的度數，再由折疊的性質可求得的度數，根據周角的定義可求解．
解：，
設，，，
，
解得，
，，，
由折疊可知：，
，
故選：B．
【變式2】（23-24七年級下·遼寧遼陽·期中）如圖，，分別是的高和角平分線，，，則的度數為 ．
【答案】16
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、三角形的角平分線和高等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．首先根據三角形內角和定理可得的值，結合角平分線的性質可得，再根據是的高解得的值，然后根據求解即可．
解：∵，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
又∵是的高，
∴，
∴，
∴．
故答案為：16．
【題型3】利用三角形外角性質求角度
【例3】（2024七年級下·江蘇·專題練習）如圖，在中，

（1）證明：；
（2），，求的度數．
【答案】(1）見解析；(2)
【分析】本題考查三角形內角和定理，三角形外角的性質等知識，
（1）利用三角形的外角的性質解決問題即可．
（2）利用三角形的外角的性質和等量代換得到，利用三角形內角和定理得到的度數，即可求解．
（1）證明：∵，
，，
∴．
（2）∵，，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴．
【舉一反三】
【變式1】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖是某家具店出售的黃色木椅的側面圖，其中，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先根據平行線的性質定理得到，再由三角形的外角定理即可求解．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故選：A．
【變式2】（23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，在中，平分交于點，平分交于點，若，，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線的定義、三角形內角和定理、三角形外角的性質，先根據三角形內角和定理，計算，再根據角平分線的定義，求出和的度數，最后根據三角形外角的性質計算，得出答案即可，熟練掌握三角形內角和定理、三角形外角的性質是解題的關鍵．
解：∵，，
∴，
∵平分交于點，平分交于點，
∴，，
∴，
故答案為：．
【題型4】利用直角三角形性質與判定求角度
【例4】（23-24八年級下·全國·課后作業）如圖，在中，是邊上的高，E是邊上一點，交于點M，且．求證：是直角三角形．
【分析】本題考查了直角三角形的性質與判定；由是邊上的高，得；再由，即可得結論成立．
解：∵是邊上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【舉一反三】
【變式1】（2024·陜西咸陽·三模）如圖，一束光線先后經平面鏡反射后，反射光線與平行，根據光的反射原理，，，當時，的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了直角三角形兩個銳角互余，先得出，結合，得出，即可作答．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【變式2】如圖，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直線 DE 與 AC，BC 分別交于 D，E 兩點．若∠DEC＝∠A，則△EDC 是 ．
【答案】直角三角形
【分析】根據直角三角形的兩個銳角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A進而可得出結論.
解: 在Rt△ABC 中，
∵∠B＝90°,
∴∠A+∠C=90°,
∵∠DEC＝∠A,
∴∠DEC+∠C=90°,
∴∠EDC=90°,
∴△EDC 是直角三角形,
故答案為 直角三角形.
【點撥】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余及有兩個角互余的三角形是直角三角形，是基礎知識要熟練掌握.
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·湖北宜昌·中考真題）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點在上，其中，，，，，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設AB與EF交于點M，根據，得到，再根據三角形的內角和定理求出結果．
解：設AB與EF交于點M，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∵,
∴=，
故選：A．
．
【點撥】此題考查平行線的性質，三角形的內角和定理，熟記平行線的性質并應用是解題的關鍵．
【例2】（2023·遼寧·中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點是邊上的動點，將三角形紙片沿對折，使點落在點處，當時，的度數為 ．

【答案】或
【分析】分兩種情況考慮，利用對稱的性質及三角形內角和等知識即可完成求解．
解：由折疊的性質得：；
∵，
∴；
①當在下方時，如圖，
∵，
∴，
∴；

②當在上方時，如圖，
∵，
∴，
∴；

綜上，的度數為或；
故答案為：或．
【點撥】本題考查了折疊的性質，三角形內角和，注意分類討論．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級上·山西晉中·期末）綜合與實踐
將兩個完全相同的直角三角板（），按圖1的方式放置，使邊和邊與直線重合，和的頂點O重合．
（1）如圖1， 度；
（2）如圖2，若平分，求的度數；
（3）如圖3所示，把三角板和繞點O同時以相同的速度順時針旋轉，當平分時，和的度數之間有怎樣的數量關系，請直接寫出結論．
【答案】(1)90；(2)；(3)或，見解析
【分析】（1）根據直角三角形的性質可得，再根據即可求解；
（2）根據平角的定義求得，再根據角平分線的定義可得，再利用求解即可；
（3）由可得，，從而可得，再根據角平分線的定義可得，再利用求解即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：，
，
平分，
，
；
（3）解：或，
理由：
．
【例2】（23-24七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，，、、分別平分的內角、外角、外角．其中不正確的結論有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據角平分線定義得出，，，根據三角形的內角和定理得出，根據三角形外角性質得出，，根據已知結論逐步推理，即可判斷各項．
解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
故選項A的結論正確，不符合題意；
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
故選項B的結論正確，不符合題意；
∵，
∴，
即，
故選項C的結論不正確，符合題意；
在中，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故選項D的結論正確，不符合題意．
故選：C．
【點撥】本題考查三角形外角的性質，角平分線定義，平行線的判定和性質，三角形內角和定理的應用等知識點，掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．
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