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中小學教育資源及組卷應用平臺
專題12.1 全等三角形（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】全等圖形的概念與性質
（1）全等圖形的概念：能夠完全重合的圖形叫做全等圖形；
（2）全等圖形的性質：兩個圖形全等，它們的形狀、大小相同.
【要點提示】兩個全等圖形的周長和面積一定相等，但周長和面積相等的兩個圖形不一定全等。
【知識點二】全等圖形的概念
（1）全等三角形：兩個能夠完全重合的三角形叫做全等三角形；
（2）全等三角形的對應元素：對應頂點，對應邊，對應角；
兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角.
在寫兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣容易找出對應邊、對應角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應角.
【知識點三】找對應邊、對應角的方法
（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；
（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；
（3）有公共邊的，公共邊是對應邊；
（4）有公共角的，公共角是對應角；
（5）有對頂角的，對頂角一定是對應角；
（6）兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或角），等等.
【知識點四】全等三角形的性質
　　全等三角形的對應邊相等；
全等三角形的對應角相等.
【要點提示】全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質是今后研究其它全等圖形的重要工具.
【知識點五】全等變換
　 （1）全等變換：只改變圖形的位置，而不改變其形狀、大小的變化叫全等變換.
（2）幾種常見的全等幾何變換類型
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】已知圖形分割成幾個全等圖形與全等圖形的識別
【例1】（22-23七年級下·廣東·期中）知識重現：“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形．”
理解應用：我們可以把的正方形網格圖形劃分為兩個全等圖形．
范例：如圖1 和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3 與圖1視為同一種劃分方法．
要求：請你再提供2種與上面不同的劃分方法，分別在圖4 中畫出來．
（請將所劃分的兩個全等圖形之一用鉛筆描黑）
【分析】本題考查了全等圖形的概念，根據能夠完全重合的圖形為全等圖形，在圖中畫出即可，熟知全等圖形的概念是解題的關鍵．
解：如圖所示：
（答案不唯一）．
【變式1】（23-24七年級下·四川成都·期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查全等圖形的概念，形狀和大小完全相同的圖形是全等圖形，據此即可求解．
解：根據全等圖形的概念，只有B選項中的兩個圖形形狀和大小完全相同，是全等圖形，
故選：B．
【變式2】如圖，已知正方形中陰影部分的面積為3，則正方形的面積為 ．
【答案】6
【分析】利用割補法，把陰影部分移動到一邊.
解：把陰影部分移動到正方形的一邊，恰好是正方形的一半，故正方形面積是6.
【點撥】割補法，等面積轉換,可以簡便運算，化復雜為簡單.
【題型2】利用全等圖形的性質求邊或角
【例2】圖中所示的是兩個全等的五邊形，，d=5，指出它們的對應頂點、對應邊與對應角，并說出圖中標的a，b，c，e，α各字母所表示的值．
【答案】a=12，b=10，c=8， e=11，．
【分析】根據能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角，以，為突破口，可得對應頂點、對應邊與對應角，進而可得a，b，c，e，α各字母所表示的值．
解：觀察兩個圖形可知，，，
∴A和G，E和F是對應點，進而可得：
對應頂點：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H，
對應邊：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；
對應角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；
∵兩個五邊形全等，
∴，，， ，．
即a=12，b=10，c=8， e=11，．
【點撥】本題考查全等多邊形的性質，掌握全等多邊形對應頂點、對應邊與對應角的概念是解題的關鍵．
【變式1】（22-23八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖所示的網格是由9個相同的小正方形拼成的，圖形的各個頂點均為格點，則的度數為（ ）．
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】根據網格特點，可得出，，，進而可求解．
解：如圖，則，，，
∴，
故選：B．
【點撥】本題考查網格中的全等圖形、三角形的外角性質，會利用全等圖形求正方形網格中角度之和是解答的關鍵．
【變式2】（22-23八年級上·河南新鄉·階段練習）如圖，四邊形四邊形，則的大小是 ．
【答案】/95度
【分析】本題考查了全等形的性質及四邊形的內角和定理，熟練掌握全等形的性質是解題的關鍵．
利用全等圖形的性質即可求解．
解：∵四邊形四邊形，
∴，
∴．
故答案為：．
【題型3】全等三角形及相關概念的認識
【例3】（23-24八年級上·全國·課后作業）如圖，與全等，請用數學符號表示出這兩個三角形全等，并寫出相等的邊和角．

【答案】；相等的邊為，，；相等的角為，，
【分析】根據圖形可得出對應點并可確定對應關系，然后用全等符號表示這兩個三角形全等，然后根據全等的性質即可得出相等的邊和角．
解：∵如圖，與全等，
∴點與點，點與點，點與點是對應頂點，
∴；
相等的邊為，，；
相等的角為，，．
【點撥】本題考查全等三角形表示及性質，掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．
【變式1】（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 B．全等三角形的面積相等
C．全等三角形是指面積相等的兩個三角形 D．等邊三角形都全等
【答案】B
【分析】本題考查的是全等三角形的定義和性質，掌握全等形的概念、全等三角形的性質是解題的關鍵．根據全等三角形的定義和性質判斷即可．
解：A、全等三角形是指形狀和大小相同的兩個三角形，該選項錯誤；
B、全等三角形的面積相等，該選項正確；
C、面積相等的兩個三角形不一定都是全等三角形，該選項錯誤；
D、等邊三角形不一定都是全等三角形，該選項錯誤．
故選：B．
【變式2】（23-24八年級上·福建泉州·期中）如圖①，將長為，寬為2a的長方形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖②），得到大小不同的兩個正方形，則圖②中小正方形的面積為 ．（用含a的代數式表示）
【答案】
【分析】主要考查了完全平方公式在圖形中的應用，四個全等三角形的直角邊分別為和，結合圖形可得圖②中小正方形的邊長為：，問題隨之得解．
解：結合圖形可得，四個全等三角形的直角邊分別為和，
則圖②中小正方形的邊長為：，
圖②中小正方形的面積為：，
故答案為：．
【題型4】利用全等三角形的性質求線段或角度
【例4】（23-24八年級上·江蘇鎮江·階段練習）如圖，點A、D、C、F在同一直線上，．
（1）若，求的度數．
（2）若，求的長．
【答案】(1)； (2)
【分析】本題考查了全等三角形的性質，主要利用了全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等，熟記性質是解題的關鍵．
（1）根據全等三角形對應角相等可得，再根據三角形的內角和定理求出的度數；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得，然后直接計算即可．
（1）解：∵，
∴，
在中，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴
【變式1】（2024七年級下·上海·專題練習）已知圖中的兩個三角形全等，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查全等三角形的知識．解題時要認準對應關系．全等圖形要根據已知的對應邊去找對應角，并運用“全等三角形對應角相等”即可得答案．
解：圖中的兩個三角形全等
與，與分別是對應邊，那么它們的夾角就是對應角
故選：D．
【變式2】（23-24八年級上·浙江臺州·階段練習）如圖，，點在同一條直線上，且，，則的長 ．
【答案】4
【分析】本題考查了全等三角形的性質，線段的和差，熟練掌握運用全等三角形的性質是解決本題的關鍵．
首先根據全等三角形的性質可得，，再由，即可求解．
解：，，
，
．
故答案為：4．
【題型5】利用全等三角形的性質進行證明
【例5】（23-24八年級上·山西呂梁·期中）如圖，，，三點在同一條直線上，且．
（1）求證：；
（2）當滿足什么條件時，？并說明理由．
【答案】(1)見解析 (2)當時，．理由見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的性質、平行線的判定．
（1）由得出，，再進行相應等量代換；
（2）當時，．由，得出，進而，從而得證．
解：（1）證明：∵，
∴，，
∴；
（2）解：當時，．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式1】（23-24八年級下·遼寧遼陽·期中）如圖，沿邊所在直線向右平移得到，則下列結論不一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了圖形的平移，全等三角形的判定和性質，掌握圖形平移的性質是解題的關鍵．
根據圖形平移是改變圖形的位置，不改變其大小，對應邊相等，對應角相等，由此即可求解．
解：根據平移，，則A正確，不符合題意；
根據對應角相等，則，則B正確，不符合題意；
根據平移的性質，，則，C正確，不符合題意；
根據平移可得，，與不一定相等，則D錯誤，符合題意；
故選： D．
【變式2】（23-24八年級上·云南昭通·階段練習）下列命題中：
①形狀相同的兩個三角形是全等三角形；
②在兩個全等三角形中，相等的角是對應角，相等的邊是對應邊；
③全等三角形對應邊上的高、中線及對應的角平分線分別相等；
④同一平面上，兩個全等三角形一定可以沿某條直線翻折．
其中真命題的是 ．
【答案】③
【分析】利用全等三角形的定義及性質逐項判斷即可得到答案．
解：①形狀相同、大小相等的兩個三角形是全等三角形，故原說法錯誤，不符合題意；
②在兩個全等三角形 ，對應角相等，對應邊相等，故原說法錯誤，不符合題意；
③全等三角形對應邊上的高、中線及對應的角平分線分別相等，故原說法正確，符合題意；
④同一平面上，兩個全等三角形不一定可以沿某條直線翻折，故原說法錯誤，不符合題意；
綜上所述，真命題的是③，
故答案為：③．
【點撥】本題考查了判斷命題的真假、全等三角形的定義及性質，熟練掌握全等三角形的相關知識點是解此題的關鍵．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數為 ．
【答案】/100度
【分析】本題考查了三角形的內角和定理和全等三角形的性質，先利用全等三角形的性質，求出，再利用三角形內角和求出的度數即可．
解：由，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：
【例2】（2020·山東淄博·中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結論中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【分析】根據全等三角形的性質即可得到結論．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D選項錯誤，B選項正確，
故選：B．
【點撥】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．
2、拓展延伸（動點問題）
【例1】（23-24七年級下·江西宜春·期中）如圖所示，在中，，，，D為的中點，點P在線段上由點B出發向點C運動，同時點Q在線段上由點C出發向點A運動，設運動時間為．
（1）若點P與點Q的速度都是，則經過多長時間與全等？請說明理由．
（2）若點P的速度比點Q的速度慢，則經過多長時間與全等？請求出此時兩點的速度．
【答案】(1)2s，理由見解答過程
(2)經過1s，點P的速度是9，則點Q的速度是12時，與全等
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質以及一元一次方程的應用；
（1）根據等腰三角形的性質可得出，由點、同速同時出發可得出，結合全等三角形的判定定理可得出當時與全等，進而即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論；
（2）設點的速度為，則點的速度為，由、結合全等三角形的性質可得出、，進而即可得出關于、的方程組，解之即可得出結論．
（1）解：點與點的速度都是，
，
，，，
要使與全等，則需，
即，
，
即經過的時間與全等；
（2）解：設點的速度是，則點的速度是，
，，
，
，要使與全等，則需，，
，
解得：，
經過，點的速度是，則點的速度是時，與全等．
【例2】 如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC的邊BC、AC上的點，連接AD、BE交于點O，且△ABD≌△BCE．
（1）若AB=3，AE=2，則BD= ；
（2）若∠CBE=15°，則∠AOE= ；
（3）若∠BAD=a，猜想∠AOE的度數，并說明理由．
【答案】（1）BD=1；（2）60°；（3）∠AOE =60°．
【分析】（1）根據等邊三角形的性質求出AC，得到EC，根據全等三角形的性質解答；
（2）根據全等三角形的性質得到∠BAD=∠CBE=15°，根據三角形的外角性質計算即可；
（3）仿照（2）的作法解答．
解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=3，
∴EC=AC-AE=1，
∵△ABD≌△BCE，
∴BD=EC=1，
故答案為1；
（2）∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE=15°，
∵∠CBE=15°，
∴∠ABO=45°，
∴∠AOE=∠BAD+∠ABO=60°，
故答案為60°；
（3）由（2）得，∠BAD=∠CBE，
∵∠ABO+∠CBE=60°，
∴∠AOE=∠BAD+∠ABO=60°．
【點撥】本題考查的是全等三角形的性質、三角形的外角性質、等邊三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等是解題的關鍵．
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專題12.1 全等三角形（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】全等圖形的概念與性質
（1）全等圖形的概念：能夠完全重合的圖形叫做全等圖形；
（2）全等圖形的性質：兩個圖形全等，它們的形狀、大小相同.
【要點提示】兩個全等圖形的周長和面積一定相等，但周長和面積相等的兩個圖形不一定全等。
【知識點二】全等圖形的概念
（1）全等三角形：兩個能夠完全重合的三角形叫做全等三角形；
（2）全等三角形的對應元素：對應頂點，對應邊，對應角；
兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角.
在寫兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣容易找出對應邊、對應角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應角.
【知識點三】找對應邊、對應角的方法
（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；
（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；
（3）有公共邊的，公共邊是對應邊；
（4）有公共角的，公共角是對應角；
（5）有對頂角的，對頂角一定是對應角；
（6）兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或角），等等.
【知識點四】全等三角形的性質
　　全等三角形的對應邊相等；
全等三角形的對應角相等.
【要點提示】全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質是今后研究其它全等圖形的重要工具.
【知識點五】全等變換
　 （1）全等變換：只改變圖形的位置，而不改變其形狀、大小的變化叫全等變換.
（2）幾種常見的全等幾何變換類型
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】已知圖形分割成幾個全等圖形與全等圖形的識別
【例1】（22-23七年級下·廣東·期中）知識重現：“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形．”
理解應用：我們可以把的正方形網格圖形劃分為兩個全等圖形．
范例：如圖1 和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3 與圖1視為同一種劃分方法．
要求：請你再提供2種與上面不同的劃分方法，分別在圖4 中畫出來．
（請將所劃分的兩個全等圖形之一用鉛筆描黑）
【變式1】（23-24七年級下·四川成都·期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（ ）
B．
C． D．
【變式2】如圖，已知正方形中陰影部分的面積為3，則正方形的面積為 ．
【題型2】利用全等圖形的性質求邊或角
【例2】圖中所示的是兩個全等的五邊形，，d=5，指出它們的對應頂點、對應邊與對應角，并說出圖中標的a，b，c，e，α各字母所表示的值．
【變式1】（22-23八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖所示的網格是由9個相同的小正方形拼成的，圖形的各個頂點均為格點，則的度數為（ ）．
A．30° B．45° C．55° D．60°
【變式2】（22-23八年級上·河南新鄉·階段練習）如圖，四邊形四邊形，則的大小是 ．
【題型3】全等三角形及相關概念的認識
【例3】（23-24八年級上·全國·課后作業）如圖，與全等，請用數學符號表示出這兩個三角形全等，并寫出相等的邊和角．

【變式1】（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 B．全等三角形的面積相等
C．全等三角形是指面積相等的兩個三角形 D．等邊三角形都全等
【變式2】（23-24八年級上·福建泉州·期中）如圖①，將長為，寬為2a的長方形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖②），得到大小不同的兩個正方形，則圖②中小正方形的面積為 ．（用含a的代數式表示）
【題型4】利用全等三角形的性質求線段或角度
【例4】（23-24八年級上·江蘇鎮江·階段練習）如圖，點A、D、C、F在同一直線上，．
（1）若，求的度數．
（2）若，求的長．
【變式1】（2024七年級下·上海·專題練習）已知圖中的兩個三角形全等，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級上·浙江臺州·階段練習）如圖，，點在同一條直線上，且，，則的長 ．
【題型5】利用全等三角形的性質進行證明
【例5】（23-24八年級上·山西呂梁·期中）如圖，，，三點在同一條直線上，且．
（1）求證：；
（2）當滿足什么條件時，？并說明理由．
【變式1】（23-24八年級下·遼寧遼陽·期中）如圖，沿邊所在直線向右平移得到，則下列結論不一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級上·云南昭通·階段練習）下列命題中：
①形狀相同的兩個三角形是全等三角形；
②在兩個全等三角形中，相等的角是對應角，相等的邊是對應邊；
③全等三角形對應邊上的高、中線及對應的角平分線分別相等；
④同一平面上，兩個全等三角形一定可以沿某條直線翻折．
其中真命題的是 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數為 ．
【例2】（2020·山東淄博·中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結論中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
2、拓展延伸（動點問題）
【例1】（23-24七年級下·江西宜春·期中）如圖所示，在中，，，，D為的中點，點P在線段上由點B出發向點C運動，同時點Q在線段上由點C出發向點A運動，設運動時間為．
（1）若點P與點Q的速度都是，則經過多長時間與全等？請說明理由．
（2）若點P的速度比點Q的速度慢，則經過多長時間與全等？請求出此時兩點的速度．
【例2】 如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC的邊BC、AC上的點，連接AD、BE交于點O，且△ABD≌△BCE．
（1）若AB=3，AE=2，則BD= ；
（2）若∠CBE=15°，則∠AOE= ；
（3）若∠BAD=a，猜想∠AOE的度數，并說明理由．
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