資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題11.9 三角形（全章知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)
1.三角形三邊的關(guān)系：
定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.
理論依據(jù)：兩點之間線段最短.
（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．
2.三角形按“邊”分類：
3.三角形的重要線段：
（1）三角形的高
從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．
三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內(nèi)；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.
（2）三角形的中線
三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線，
一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.
（3）三角形的角平分線
三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心.
【知識點二】三角形的穩(wěn)定性
　　如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．
【知識點三】三角形的內(nèi)角和與外角和
1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．
推論：1.直角三角形的兩個銳角互余；2.有兩個角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性質(zhì)：
（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【知識點四】多邊形及有關(guān)概念
1. 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.
2.正多邊形：各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．
3.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)從n邊形一個頂點可以引（n－3）條對角線，將多邊形分成（n－2）個三角形；
(2)n邊形共有條對角線．
【知識點五】多邊形的內(nèi)角和及外角和公式
1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù)) ．
2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】利用三角形三邊關(guān)系求邊或證明
【例1】（23-24七年級下·江蘇揚州·期中）已知的三邊長是．
（1）若，且三角形的周長是小于22的偶數(shù)，求的值；
（2）化簡．
【變式1】（23-24九年級下·湖南長沙·開學(xué)考試）在周長為25的三角形中，最短邊是x，另一邊是，則x的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期中）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和7，那么它的周長為 ．
【題型2】利用三角形三條重要線段進行求值或證明
【例2】（22-23七年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖：中，點D在上，且，E是的中點，交于點F.

（1）寫出圖中哪條線段是哪個三角形的角平分線，哪條線段是哪個三角形的中線？
（2）若，且的面積為3，求出的面積.
【變式1】（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，為的中線，為的中線．若的面積為12，，則中邊上的高為（　　）
A．1 B．4 C．3 D．2
【變式2】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，則∠DAE= .
【題型3】利用三角形內(nèi)角和定理進行求值或證明
【例3】（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，中，是上一點，過作交于點，是上一點，連接．若．
（1）求證：．
（2）若，平分，求的度數(shù)．
【變式1】（23-24七年級下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，將長方形紙片沿對角線折疊，點C的對應(yīng)點為點E，交于點O．若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024七年級下·江蘇·專題練習(xí)）將一副三角尺按如圖所示放置，直角頂點重合于點，，，斜邊，垂足為，則 ．
【題型4】利用三角形外角性質(zhì)進行求值或證明
【例4】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知是的角平分線，是的外角的平分線，延長，分別交于點F，P．
（1）求證：；
（2）小軒同學(xué)探究后提出等式：，請通過推理論證判斷“小軒發(fā)現(xiàn)”是否正確；
（3）若，求的度數(shù)．
【變式1】（2024·河南·三模）如圖所示的是一輛自動變速自行車的實物圖，圖2是抽象出來的部分示意圖，已知直線EF與BD相交于點P，，，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．85°
【變式2】（2024·河北邯鄲·三模）如圖，從A觀察公路的走向是北偏東，在A的北偏東方向上有一點C，在點B處測得點C在北偏東的方向上．
（1）點B位于點C的 方向上；
（2） °．
【題型5】利用直角三角形兩銳角關(guān)系進行求值
【例5】如圖，中，．
（1）試說明是的高；
（2）如果 ，求的長．
【變式1】（22-23八年級上·山東德州·階段練習(xí)）在下列條件中不能判定為直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24七年級下·河南鄭州·期中）在直角三角形中，比的3倍還多，則的大小為 ．
【題型6】利用多邊形內(nèi)角和與外角和求邊數(shù)或度數(shù)
【例6】（23-24八年級下·河南平頂山·期中）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多．
（1）求這個多邊形是幾邊形？并求出這個多邊形的內(nèi)角和．
（2）求這個多邊形的對角線的條數(shù)．
【變式1】（23-24七年級下·四川德陽·階段練習(xí)）如圖，平分交于點E，，，M，N分別是延長線上的點，和的平分線交于點F．則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級下·浙江湖州·階段練習(xí)）若一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的倍，則這個多邊形的邊數(shù)為 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川德陽·中考真題）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024·四川達州·中考真題）如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則 度．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·湖北武漢·期中）如圖，，N為上一點，直線交于M，交于F，且，若點P為射線上一點，平分，平分交于H，交于T，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C．或 D．或
【例2】（23-24七年級下·河北保定·期中）如圖1，在中，，的角平分線交于點O，則．
如圖2，在中，，的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于，，則，則 ．
根據(jù)以上閱讀理解，如圖3、猜想（n等分時，內(nèi)部有個點）（用n的代數(shù)式表示） ．
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專題11.9 三角形（全章知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)
1.三角形三邊的關(guān)系：
定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.
理論依據(jù)：兩點之間線段最短.
（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．
2.三角形按“邊”分類：
3.三角形的重要線段：
（1）三角形的高
從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．
三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內(nèi)；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.
（2）三角形的中線
三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線，
一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.
（3）三角形的角平分線
三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心.
【知識點二】三角形的穩(wěn)定性
　　如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．
【知識點三】三角形的內(nèi)角和與外角和
1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．
推論：1.直角三角形的兩個銳角互余；2.有兩個角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性質(zhì)：
（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【知識點四】多邊形及有關(guān)概念
1. 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.
2.正多邊形：各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．
3.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)從n邊形一個頂點可以引（n－3）條對角線，將多邊形分成（n－2）個三角形；
(2)n邊形共有條對角線．
【知識點五】多邊形的內(nèi)角和及外角和公式
1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù)) ．
2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】利用三角形三邊關(guān)系求邊或證明
【例1】（23-24七年級下·江蘇揚州·期中）已知的三邊長是．
（1）若，且三角形的周長是小于22的偶數(shù)，求的值；
（2）化簡．
【答案】(1)或；(2)
【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系、化簡絕對值，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．
（1）由三角形三邊關(guān)系結(jié)合三角形的周長是小于22的偶數(shù)，得出，即可得出答案；
（2）由三角形三邊關(guān)系得，再利用絕對值的性質(zhì)化簡即可．
（1）解：的三邊長是，，
，即，
三角形的周長是小于22的偶數(shù)，
，
或；
（2）解：由三角形三邊關(guān)系得：，
，，
．
【變式1】（23-24九年級下·湖南長沙·開學(xué)考試）在周長為25的三角形中，最短邊是x，另一邊是，則x的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了三角形三邊關(guān)系、一元一次不等式組的解法，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和最短邊是x列出不等式組，即可求出答案．
解：∵周長為25的三角形中，最短邊是x，另一邊是，
∴第三邊長為，
∴，或
∴或
解得，或
∵最短邊是x，
∴
解得，，
綜上可知， ．
故選：B．
【變式2】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期中）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和7，那么它的周長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長，題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和7，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形，解題的關(guān)鍵是驗證能否組成三角形．
解：若3為腰長，7為底邊長，
∵，
∴三角形不存在，
若7為腰長，3為底邊長，則符合三角形的兩邊之各大于第三邊，
∴這個三角形的周長，
故答案為：．
【題型2】利用三角形三條重要線段進行求值或證明
【例2】（22-23七年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖：中，點D在上，且，E是的中點，交于點F.

（1）寫出圖中哪條線段是哪個三角形的角平分線，哪條線段是哪個三角形的中線？
（2）若，且的面積為3，求出的面積.
【答案】(1)是的角平分線，是的角平分線，是的中線，是的中線 (2)18
【分析】（1）根據(jù)三角形角平分線、中線的定義即可求解；（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求解．
（1）解：由題意知，是的角平分線，是的角平分線，是的中線，是的中線．
（2）解：的面積為3，E是的中點，
，
，
．
【點撥】本題考查三角形有關(guān)的線段，三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“等高三角形的面積比等于底邊長度之比”．
【變式1】（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，為的中線，為的中線．若的面積為12，，則中邊上的高為（　　）
A．1 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形中線平分三角形的面積得到的面積是3，設(shè)中邊上的高h，列得，求出h即可．
解：∵為的中線，的面積為12，
∴的面積為6，
∵為的中線，
∴的面積是3，
設(shè)中邊上的高h，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
【點撥】此題考查了三角形中線的性質(zhì)：三角形的中線平分三角形的面積，熟記該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，則∠DAE= .
【答案】10°
【分析】在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BAC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得出∠CAD的度數(shù)，在△ACE中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠CAE的度數(shù)，再根據(jù)∠DAE=∠CAD-∠CAE即可求出結(jié)論．
∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80°．
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠CAD=∠BAC=40°.
∵∠ACB=60°，AE⊥BC，∠CAE+∠AEC+∠ACB=180°，
∴∠AEC=90°，∠CAE=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°.
故答案為10°．
【點撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理（角平分線的性質(zhì)）求出∠CAD、∠CAE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【題型3】利用三角形內(nèi)角和定理進行求值或證明
【例3】（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，中，是上一點，過作交于點，是上一點，連接．若．
（1）求證：．
（2）若，平分，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析；(2)
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得，推得，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可證明；
（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，再根據(jù)角的平分線可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和是即可求解．
（1）證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴．
故的度數(shù)為．
【變式1】（23-24七年級下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，將長方形紙片沿對角線折疊，點C的對應(yīng)點為點E，交于點O．若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可以得到的度數(shù)，然后再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到的度數(shù)，最后由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．
解：由折疊的性質(zhì)得到，，
∵，
∴，
∵四邊形是長方形，
∴，
∴，
∴
故選：A．
【變式2】（2024七年級下·江蘇·專題練習(xí)）將一副三角尺按如圖所示放置，直角頂點重合于點，，，斜邊，垂足為，則 ．
【答案】/15度
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，垂線，角的計算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．
先在中，利用直角三角形的兩個銳角互余求出，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用對頂角相等可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理求出，最后利用角的和差關(guān)系進行計算，即可解答．
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【題型4】利用三角形外角性質(zhì)進行求值或證明
【例4】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知是的角平分線，是的外角的平分線，延長，分別交于點F，P．
（1）求證：；
（2）小軒同學(xué)探究后提出等式：，請通過推理論證判斷“小軒發(fā)現(xiàn)”是否正確；
（3）若，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；(2)“小軒發(fā)現(xiàn)”正確，理由見解析；(3)
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論變形后可得結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的外角和角平分線的定義，綜合已知，等量代換可得結(jié)論．
（1）證明：∵是的平分線，
∴．
∵是的平分線，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
即：
∴“小軒發(fā)現(xiàn)”是正確的；
（3）在中，，
在中，，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點撥】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
【變式1】（2024·河南·三模）如圖所示的是一輛自動變速自行車的實物圖，圖2是抽象出來的部分示意圖，已知直線EF與BD相交于點P，，，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．85°
【答案】C
【分析】由平行線的性質(zhì)得到，再由三角形外角定理即可求解．此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．
解：，，
，
，，
，
故選：C．
【變式2】（2024·河北邯鄲·三模）如圖，從A觀察公路的走向是北偏東，在A的北偏東方向上有一點C，在點B處測得點C在北偏東的方向上．
（1）點B位于點C的 方向上；
（2） °．
【答案】 南偏西（或西偏南）
【分析】本題考查了方向角，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識．熟練掌握方向角，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)方向角求解作答即可；
（2）如圖，由題意知，，則，，，根據(jù)，求解作答即可．
（1）解：∵點B處測得點C在北偏東的方向上，
∴點B位于點C的南偏西方向上，
故答案為：南偏西；
（2）解：如圖，
由題意知，，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
【題型5】利用直角三角形兩銳角關(guān)系進行求值
【例5】如圖，中，．
（1）試說明是的高；
（2）如果 ，求的長．
【答案】(1)見解析；(2)．
【分析】（1）由等量代換可得到，故是直角三角形，即；
（2）由面積法可求得的長．
（1）∵
∴
∵
∴
∴是直角三角形，即，
∴是的高；
（2）∵
∴，
∵，
∴．
【點撥】此題考查了同角的余角相等，三角形的面積，直角三角形的判定，正確理解直角三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（22-23八年級上·山東德州·階段練習(xí)）在下列條件中不能判定為直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判定三角形是否為直角三角形，即計算各個角的度數(shù)，有一角為直角就是直角三角形，若無直角就不是直角三角形．
解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；
B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；
C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合題意；
D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意
故答案為：C
【點撥】本題考查了直角三角形的定義及判定，根據(jù)三個角的數(shù)量關(guān)系進行細致的計算是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（23-24七年級下·河南鄭州·期中）在直角三角形中，比的3倍還多，則的大小為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是注意進行分類討論，分兩種情況：當(dāng)為直角時，當(dāng)為直角時，分別求出結(jié)果即可．
解：當(dāng)為直角時，，
當(dāng)為直角時，，
∵比的3倍還多，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：或．
【題型6】利用多邊形內(nèi)角和與外角和求邊數(shù)或度數(shù)
【例6】（23-24八年級下·河南平頂山·期中）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多．
（1）求這個多邊形是幾邊形？并求出這個多邊形的內(nèi)角和．
（2）求這個多邊形的對角線的條數(shù)．
【答案】(1)這個多邊形的內(nèi)角和是，是十二邊形；(2)54
【分析】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識點，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程求解即可．
（1）設(shè)外角為，則內(nèi)角為，根據(jù)內(nèi)角與相鄰的外角是互補關(guān)系可得，解方程可得的值，再利用外角和外角的度數(shù)可得邊數(shù)；利用內(nèi)角和公式可得該多邊形內(nèi)角和
（2）利用公式解答即可．
解：（1）設(shè)外角為，
由題意得：，
解得：，
，
，
這個多邊形的內(nèi)角和是，是十二邊形；
（2）時，
對角線的條數(shù)為：．
【變式1】（23-24七年級下·四川德陽·階段練習(xí)）如圖，平分交于點E，，，M，N分別是延長線上的點，和的平分線交于點F．則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了四邊形的內(nèi)角和，垂直的定義，角平分線的定義．利用平角的定義結(jié)合角平分線的定義求得，再利用四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．
解：∵和的平分線交于點F，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
【變式2】（23-24八年級下·浙江湖州·階段練習(xí)）若一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的倍，則這個多邊形的邊數(shù)為 ．
【答案】7/七
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和的公式是解題的關(guān)鍵．
設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和外角和為列方程求解即可得出答案．
解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為
邊形的內(nèi)角和為，多邊形的外角和為
解得
這個多邊形的邊數(shù)為
故答案為：7．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川德陽·中考真題）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)．首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)垂直與三角形的內(nèi)角和即可求出．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
故選：B．
【例2】（2024·四川達州·中考真題）如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則 度．
【答案】
【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
先分別對運用三角形的外角定理，設(shè)，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．
解：如圖：
∵，，
∴設(shè)，，則，，
由三角形的外角的性質(zhì)得：，，
∴，
如圖：
同理可求：，
∴，
……，
∴，
即，
故答案為：．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·湖北武漢·期中）如圖，，N為上一點，直線交于M，交于F，且，若點P為射線上一點，平分，平分交于H，交于T，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的計算，三角形的外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，分點在線段上和在射線上，兩種情況進行討論求解即可．
解：當(dāng)點在線段上時，如圖：
∵平分，平分，
∴，
設(shè)，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
當(dāng)點在射線上時，如圖：
∵平分，平分，
∴，
設(shè)，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
綜上：或；
故選D．
【例2】（23-24七年級下·河北保定·期中）如圖1，在中，，的角平分線交于點O，則．
如圖2，在中，，的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于，，則，則 ．
根據(jù)以上閱讀理解，如圖3、猜想（n等分時，內(nèi)部有個點）（用n的代數(shù)式表示） ．
【答案】
【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的計算等知識．如圖2，根據(jù)三等分線定義和三角形內(nèi)角和得到，進而得到再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，化簡即可得到；如圖3，求出，，，，問題得解．
解：如圖2，∵中，的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于，，
∴
，
如圖3，
，
，
，
……，
∴
．
故答案為：，
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