資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題12.19 角平分線相關的幾何模型（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【模型歸納】
【模型1】角平分線+兩邊垂線=全等三角形
【基本條件】OP平分AOB，PMOA，PNOB，垂足分別為M、N，如圖1.
【模型結論】Rt POM Rt PON
圖1
【模型2】角平分線+垂線=全等三角形（等腰三角形）
【基本條件】OP平分AOB，CDOP，垂足為P，如圖2.
【模型結論】Rt POC Rt POD.
圖2
【模型3】角平分線+兩邊截取相等線段=全等三角形
【基本條件】OP平分COD，PC=PD.
【模型結論】 POC POD.
圖3
【模型4】角平分線+平行線=等腰三角形
【基本條件】OP平分MON，AB//ON.
【模型結論】 AOB為等腰三角形.
圖4
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】角平分線+兩邊垂線=全等三角形
【例1】（23-24七年級下·山西太原·期末）如圖，和的平分線交于點E，過點E作于點于點G．
(1)試說明：．
(2)猜想之間的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析；(2)，理由見解析．
【分析】本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）過點作，交于點，根據角平分線的性質可得，即可求證；
（2）先證明，得到，同理可得：，即可求解．
（1）證明：過點作，交于點，如圖：
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵平分，，，
∴，，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴．
【變式1】（23-24八年級下·河南鄭州·期中）如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線，交于點E．已知，，的面積為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】A
【分析】根據角平分線的尺規作圖可得平分．作，再根據角平分線的性質可得，再利用三角形的面積公式求解即可．
解：過點E作，如圖所示：
由題意可知：平分，
∵，，
∴，
∴，
故選：A．
【變式2】（2024·重慶·三模）如圖，四邊形中，平分，于點E，，則的長為 ．

【答案】
【分析】此題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定和性質等知識，過點C作交的延長線于點F，證明，則，證明，則，得到，即可得到的長．
解：過點C作交的延長線于點F，

∵平分，于點E，于F，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
故答案為：
【題型2】角平分線+垂線=全等三角形
【例2】（21-22八年級上·江蘇南京·期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝CD．
【答案】見解析
【分析】分別延長BE、CA交于點F，首先結合題意推出△CFE≌△CBE，從而得到BE＝EF＝BF，然后證明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出結論．
證明：分別延長BE、CA交于點F，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE與△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△CFE≌△CBE，
∴BE＝EF＝BF．
在△CFE與△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，
∴∠F＝∠ADC．
在△BFA與△CDA中，
∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，
∴BF＝CD．
∴BE＝CD．
【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質，理解角平分線的基本定義，熟練運用角平分線的性質構造輔助線，并且準確判定全等三角形是解題關鍵．
【變式1】（23-24八年級下·江西吉安·期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，若，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形內角和定理，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質．
根據，求出，，從而求得，再根據三角形全等證明即可．
解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
．
故選：B．
【變式2】（2024·安徽蚌埠·一模）如圖，在中，，是的角平分線，于點E，若，則（1） ；（2）的周長是 ．
【答案】
【分析】（1）由角平分線的性質得點D到的距離相等，然后利用三角形的面積公式求解即可；
（2）延長交于，根據ASA證明，根據全等三角形的性質得到，進而得到，證明得到，然后根據得到，然后根據三角形周長公式求解即可．
解：（1）是的角平分線，
∴點D到的距離相等，
；
（2）延長交于
平分
在和中，
，
，
∴，
∴，
．
故答案為：（1）；（2）．
【點撥】本題考查了三角形全等判定和性質，三角形外角的性質，角平分線的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握各部分知識點是本題的關鍵．
【題型3】角平分線+兩邊截取相等線段=全等三角形
【例3】（2024·江蘇南通·二模）如圖，點P是內一射線上一點，點M、N分別是邊、上的點，連接，且，．
求證：是的平分線．
小星的解答如下：
證明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分線．……第三步
(1)小星的解答從第 步開始出現錯誤；
(2)請寫出你認為正確的證明過程．
【答案】(1)一 (2)見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．
過點P作，于點D，E，根據證明，即可得到，然后根據角平分線的判定定理即可得到結論．
解：（1）小星的解答從第一步開始出現錯誤，故答案為：一；
（2）證明：過點P作，于點D，E，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的平分線．
【變式1】（22-23八年級上·吉林白城·期中）如圖，在中，平分交于點D，在上截取，則的周長為( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】利用已知條件證明，得到，從而，即可求得的周長．
解：∵是的平分線，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周長．
故選：B．
【點撥】本題考查了全等三角形的性質與判定，解決本題的關鍵是證明．
【變式2】（22-23八年級上·福建廈門·期中）如圖，在中，、的角平分線交于點，若，，則 ．

【答案】/度
【分析】在上取，連接，，首先利用證明，得，，再證明，進而可得．
解：在上取，連接，，

平分，
，
又，
，
，，
，
，
，
、的平分線相交于點，
平分，
．
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，平行線的判定與性質等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
【題型4】角平分線+平行線=等腰三角形
【例4】（2024·廣西·一模）如圖，已知，平分．
(1)尺規作圖：作的平分線交于點O，交于點D；（要求：保留作圖浪跡，不寫作法，標明字母）
(2)求證：．
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，角平分線的尺規作圖，角平分線的定義和平行線的性質：
（1）根據角平分線的尺規作圖方法作圖即可；
（2）先由平行線的性質得到，再由角平分線的定義分別證明，，據此可利用證明．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）證明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
【變式1】（23-24八年級上·河南安陽·階段練習）如圖，在四邊形中，，若的角平分線交于，連接，且平分，則下列結論：①；②為的中點；③；④其中正確的是（　?。?br/>
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①由角平分線的定義即可求解；延長，交于點，可證、，即可判斷②③④．
解：①∵
∴
∵平分，平分
∴
∴
故①正確；
②延長，交于點，如圖所示：

∵
∵
即為的中點
故②正確；
∵
∴
故③正確；
∴
∴
故④正確；
故選：D
【點撥】本題重點考查了全等三角形的判定與性質．正確作出輔助線是解題關鍵．
【變式2】下面是小星同學設計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規作圖過程： 已知：如圖，直線 l 和直線 l 外一點 A
求作：直線 AP，使得 AP∥l
作法：如圖
①在直線 l 上任取一點 B（AB 與 l 不垂直），以點 A 為圓心，AB 為半徑作圓，與直線 l
交于點 C．
②連接 AC，AB，延長 BA 到點 D；
③作∠DAC的平分線AP．
所以直線AP就是所求作的直線，
根據小星同學設計的尺規作圖過程，完成下面的證明證明：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB （填推理的依據）
∵∠DAC 是△ABC 的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB
∴∠DAC＝2∠ABC
∵AP 平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP
∴∠DAP＝∠ABC
∴AP∥l （填推理的依據）
【答案】 （等邊對等角）； （同位角相等，兩直線平行）．
【分析】首先要根據角平分線的尺規作圖即，再分別根據等腰三角形的性質、三角形外角的性質和平行線的判定求解可得．
解：（1）如圖所示，直線即為所求．
（2）證明：，
（等邊對等角），
是的外角，
.
，
平分，
，
，
（同位角相等，兩直線平行），
故答案為：（等邊對等角）；（同位角相等，兩直線平行）．
【點撥】本題主要考查作圖復雜作圖，解題的關鍵是掌握角平分線的尺規作圖、等腰三角形的性質、三角形外角的性質和平行線的判定．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·天津·中考真題）如圖，中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點；再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧（所在圓的半徑相等）在的內部相交于點；畫射線，與相交于點，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質，由直角三角形兩銳角互余可求出，由作圖得，由三角形的外角的性質可得，故可得答案
解：∵，
∴，
由作圖知，平分，
∴，
又
∴
故選：B
【例2】（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，直線，直線分別與，交于點，，小明同學利用尺規按以下步驟作圖：

（1）點為圓心，以任意長為半徑作弧交射線于點，交射線于點；
（2）分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；
（3）作射線交直線于點；若，則 度．
【答案】58
【分析】由作圖得平分，再根據平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”易得，即可獲得答案．
解：由作圖得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點撥】本題主要考查了尺規作圖-基本作圖以及平行線的性質，由作圖得到平分是解題關鍵．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習）如圖1，在中，為邊上的高，是的角平分線，點為上一點，連接，．
(1)求證：平分
(2)如圖2，連接交于點，若與的面積相等，求證：
【分析】本題主要考查了全等三角形的證明以及性質運用，角平分線的判定以及基本性質，熟練掌握全等三角形的幾種判定方法以及角平分線的判定是解答該題的關鍵．
（1）根據是的角平分線和，為邊上的高，可得，由得，即可證明；
（2）過點E作于點M，于點N，由角平分線性質可以得，由與的面積相等可得，證明，得出，，
即可得出，再根據垂直模型證明，即可得出結論．
（1）證明：∵為邊上的高，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：平分．
（2）過點E作于點M，于點N，
平分，且，，
．
，
，
平分，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
為邊上的高，
，
，
．
在和中，
．
.
【例2】（23-24八年級上·江西宜春·期末）課本再現：
思考如圖12.3-3，任意作一個角，作出的平分線．在上任取一點P，過點P畫出，的垂線，分別記垂足為D、E，測量、并作比較，你得到什么結論？在上再取幾個點試一試． 通過以上測量，你發現了角的平分線的什么性質？
【實驗猜想】針對以上問題，同學們進行了小組實驗探究，并猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
【推理證明】為了證明該定理，小明同學根據書上的圖形（如圖12.3-3）寫出了“已知”和“求證”，請你利用全等的知識完成證明過程．
（1）已知：點P是的平分線上一點，過點P作于點D，于點E．求證：．
【知識應用】（2）如圖2，的平分線與的外角的平分線相交于點O，過點O作于點D，于點E，連接．
①證明：平分；
②若，則________．
【答案】（1）證明見解析 （2）①證明見解析；②
【分析】（1）根據條件證明，從而．
（2）①過點O作于點F， 由（1）的結論易證，根據“到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”得到平分；
②根據三角形的內角和，再利用角平分線的定義和“三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角的和”，推導出，從而求解．
（1）證明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）①證明：過點O作于點F，
是的平分線，，，
，
是的平分線，，，
，
，
，，
平分，
②平分，平分，
，，
．
故答案為：．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的定義、角平分線的性質和判定以及三角形的內角和定理、三角形外角的性質等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
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專題12.19 角平分線相關的幾何模型（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【模型歸納】
【模型1】角平分線+兩邊垂線=全等三角形
【基本條件】OP平分AOB，PMOA，PNOB，垂足分別為M、N，如圖1.
【模型結論】Rt POM Rt PON
圖1
【模型2】角平分線+垂線=全等三角形（等腰三角形）
【基本條件】OP平分AOB，CDOP，垂足為P，如圖2.
【模型結論】Rt POC Rt POD.
圖2
【模型3】角平分線+兩邊截取相等線段=全等三角形
【基本條件】OP平分COD，PC=PD.
【模型結論】 POC POD.
圖3
【模型4】角平分線+平行線=等腰三角形
【基本條件】OP平分MON，AB//ON.
【模型結論】 AOB為等腰三角形.
圖4
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】角平分線+兩邊垂線=全等三角形
【例1】（23-24七年級下·山西太原·期末）如圖，和的平分線交于點E，過點E作于點于點G．
（1）試說明：．
（2）猜想之間的數量關系，并說明理由．
【變式1】（23-24八年級下·河南鄭州·期中）如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線，交于點E．已知，，的面積為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【變式2】（2024·重慶·三模）如圖，四邊形中，平分，于點E，，則的長為 ．

【題型2】角平分線+垂線=全等三角形
【例2】（21-22八年級上·江蘇南京·期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝CD．
【變式1】（23-24八年級下·江西吉安·期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，若，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【變式2】（2024·安徽蚌埠·一模）如圖，在中，，是的角平分線，于點E，若，則（1） ；（2）的周長是 ．
【題型3】角平分線+兩邊截取相等線段=全等三角形
【例3】（2024·江蘇南通·二模）如圖，點P是內一射線上一點，點M、N分別是邊、上的點，連接，且，．
求證：是的平分線．
小星的解答如下：
證明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分線．……第三步
（1）小星的解答從第 步開始出現錯誤；
（2）請寫出你認為正確的證明過程．
【變式1】（22-23八年級上·吉林白城·期中）如圖，在中，平分交于點D，在上截取，則的周長為( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【變式2】（22-23八年級上·福建廈門·期中）如圖，在中，、的角平分線交于點，若，，則 ．

【題型4】角平分線+平行線=等腰三角形
【例4】（2024·廣西·一模）如圖，已知，平分．
（1）尺規作圖：作的平分線交于點O，交于點D；（要求：保留作圖浪跡，不寫作法，標明字母）
（2）求證：．
【變式1】（23-24八年級上·河南安陽·階段練習）如圖，在四邊形中，，若的角平分線交于，連接，且平分，則下列結論：①；②為的中點；③；④其中正確的是（　?。?br/>
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【變式2】下面是小星同學設計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規作圖過程： 已知：如圖，直線 l 和直線 l 外一點 A
求作：直線 AP，使得 AP∥l
作法：如圖
①在直線 l 上任取一點 B（AB 與 l 不垂直），以點 A 為圓心，AB 為半徑作圓，與直線 l
交于點 C．
②連接 AC，AB，延長 BA 到點 D；
③作∠DAC的平分線AP．
所以直線AP就是所求作的直線，
根據小星同學設計的尺規作圖過程，完成下面的證明證明：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB （填推理的依據）
∵∠DAC 是△ABC 的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB
∴∠DAC＝2∠ABC
∵AP 平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP
∴∠DAP＝∠ABC
∴AP∥l （填推理的依據）
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·天津·中考真題）如圖，中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點；再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑相等）在的內部相交于點；畫射線，與相交于點，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【例2】（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，直線，直線分別與，交于點，，小明同學利用尺規按以下步驟作圖：

（1）點為圓心，以任意長為半徑作弧交射線于點，交射線于點；
（2）分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；
（3）作射線交直線于點；若，則 度．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習）如圖1，在中，為邊上的高，是的角平分線，點為上一點，連接，．
（1）求證：平分
（2）如圖2，連接交于點，若與的面積相等，求證：
【例2】（23-24八年級上·江西宜春·期末）課本再現：
思考如圖12.3-3，任意作一個角，作出的平分線．在上任取一點P，過點P畫出，的垂線，分別記垂足為D、E，測量、并作比較，你得到什么結論？在上再取幾個點試一試． 通過以上測量，你發現了角的平分線的什么性質？
【實驗猜想】針對以上問題，同學們進行了小組實驗探究，并猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
【推理證明】為了證明該定理，小明同學根據書上的圖形（如圖12.3-3）寫出了“已知”和“求證”，請你利用全等的知識完成證明過程．
（1）已知：點P是的平分線上一點，過點P作于點D，于點E．求證：．
【知識應用】（2）如圖2，的平分線與的外角的平分線相交于點O，過點O作于點D，于點E，連接．
①證明：平分；
②若，則________．
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