資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題12.21 全等三角形（全章知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
一般三角形 直角三角形
判定 邊角邊（SAS） 角邊角（ASA） 角角邊（AAS） 邊邊邊（SSS） 兩直角邊對應相等 一邊一銳角對應相等 斜邊、直角邊定理（HL）
性質 對應邊相等，對應角相等 （其他對應元素也相等，如對應邊上的高相等）
備注 判定三角形全等必須有一組對應邊相等
【知識點一】全等三角形的判定與性質
【知識點二】全等三角形的證明思路
【知識點三】角平分線的性質
1.角的平分線的性質定理
　 角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
2.角的平分線的判定定理
　 角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
3.三角形的角平分線
三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.
4.與角平分線有關的輔助線
在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形；
在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.
【知識點四】全等三角形證明方法
全等三角形是平面幾何內容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質的有力工具，是解決與線段、角相關問題的一個出發點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線位置關系等常見的幾何問題.可以適當總結證明方法.
1． 證明線段相等的方法：
(1) 證明兩條線段所在的兩個三角形全等.
(2) 利用角平分線的性質證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
(3) 等式性質.
2． 證明角相等的方法：
(1) 利用平行線的性質進行證明.
(2) 證明兩個角所在的兩個三角形全等.
(3) 利用角平分線的判定進行證明.
(4) 同角（等角）的余角（補角）相等.
(5) 對頂角相等.
3． 證明兩條線段的位置關系（平行、垂直）的方法；
可通過證明兩個三角形全等，得到對應角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.
4． 輔助線的添加:
(1)作公共邊可構造全等三角形；
(2)倍長中線法；
(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；
(4)利用截長(或補短)法作旋轉變換的全等三角形.
5. 證明三角形全等的思維方法:
（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發現兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們全等的條件.
（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應根據圖形的其它性質或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.
（3）如果現有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關系，此時應添置輔助線，使之出現全等三角形，通過構造出全等三角形來研究平面圖形的性質.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】利用全等三角形的性質與判定求值或證明
【例1】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，為中點，為邊上一點，連接，并延長至點 ，使得，連接．
(1)求證：；
(2)若，，，求的度數．
【答案】(1)證明見解析；(2)．
【分析】（）由為中點得，然后用“”證明即可；
（）由，得， 三角形的內角和得，最后由平行線的性質即可求解；
本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，三角形的內角和，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
（1）證明：∵為中點，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【變式1】（23-24八年級下·江西吉安·期末）如圖，是的角平分線，，垂足為F，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形內角和定理，角平分線的定義等知識，根據，求出，再根據三角形全等證明即可．
解：∵，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
【變式2】（23-24七年級下·湖南長沙·期末）如圖，在 中，H是高和的交點，且，已知，，則的長為 ．
【答案】5
【分析】先根據證明，則可得，即可求出的長．
本題主要考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
解：∵、是 的高，
，
，，
，
在和中
，
，
，，
，
，
又，
，
．
故答案為：5.
【題型2】添加輔助線證明三角形全等并求值
【例2】（23-24八年級上·山東臨沂·期中）【基本模型】
（1）如圖1，是正方形，，當在邊上，在邊上時，請你探究、與之間的數量關系，并證明你的結論．
【模型運用】
（2）如圖2，是正方形，，當在的延長線上，在的延長線上時，請你探究、與之間的數量關系，并證明你的結論．
【答案】（1），證明見解析（2），證明見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質．本題蘊含半角模型，遇到半角經常要通過旋轉構造全等三角形．
（1）結論：．將繞點順時針旋轉，使與重合，得到，然后求出，利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，從而得解；
（2）結論：，證明方法同法（1）．
解：（1）結論：．
理由：如圖1，將繞點順時針旋轉，使與重合，得到，

則：，，，
∴，即：三點共線，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）結論：．
理由：如圖2，將繞點順時針旋轉，使與重合，得到，

則：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
【變式1】（20-21八年級上·陜西咸陽·期中）如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點A處繞著點O經過最低點B，最終蕩到最高點C處，若，點A與點B的高度差AD＝1米，水平距離BD＝4米，則點C與點B的高度差CE為（　　）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】B
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根據AAS可證△AOF≌△OCG，根據全等三角形的性質可得OG=4米，在Rt△AFO中，根據勾股定理可求AO，可求OB，再根據線段的和差關系和等量關系可求點C與點B的高度差CE．
解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，
∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COG=∠OAF，
在△AOF與△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG=AF=BD=4米，
設AO=x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，
解得x=8.5．
則CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．
故選：B．
【點撥】考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．
【變式2】如圖，線段AB=8cm，射線AN⊥AB，垂足為點A，點C是射線上一動點，分別以AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，得△ACD與△BCE，連接DE交射線AN于點M，則CM的長為 ．

【答案】4cm.
【分析】過點E作EF⊥AN于F，先利用AAS證出△ABC≌△FCE，從而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS證出△DCM≌△EFM,從而求出CM的長.
解：過點E作EF⊥AN于F，如圖所示

∵AN⊥AB，△BCE和△ACD為等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，
∴∠ABC =∠FCE，
在△ABC和△FCE中
∴△ABC≌△FCE
∴AB=FC=8cm，AC=FE
∴CD= FE
在△DCM和△EFM中
∴△DCM≌△EFM
∴CM=FM=FC=4cm.
故答案為：4cm.
【點撥】此題考查的是全等三角形的判定及性質，掌握用AAS證兩個三角形全等是解決此題的關鍵.
【題型3】全等三角形的動態問題
【例3】（23-24七年級下·上海閔行·期末）如圖，已知在 中， 射線 點P為射線上的動點(點P不與點A重合)，連接，將線段繞點B順時針旋轉角度α后， 得到線段， 連接、．
(1)試說明 的理由；
(2)延長交射線于點D，在點P的移動過程中， 的大小是否發生變化 若改變請說明理由，若不改變，請求出 的大小(用含α的代數式表示)；
(3)當時， 過點Q作垂直射線， 垂足為E，那么 (用m、 n的代數式表示) ．
【答案】(1)理由見解析 (2)不改變， (3)
【分析】（1）先證明，再根據兩條邊相等，即可證得兩個三角形全等；
（2）先證明，得到，，再計算出的值，再證明，最后根據三角形外角定理即可求得的大小；
（3）證明是的角平分線，根據角平分線定理得到，，再根據，，即可得到和，根據三角形面積公式進行計算即可．
（1）證明：根據旋轉的性質得到，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如下圖所示，連接，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴大小不改變，且；
（3）解：如下圖所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分線，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案為：．
【點撥】本題考查全等三角形的判斷和性質、三角形外角定理、直角三角形的性質和角平分線定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定條件．
【變式1】（23-24八年級上·內蒙古興安盟·階段練習）如圖，在四邊形中，，連接，，垂足為，并且，，，，點是邊上一動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的性質定理，垂線段的定義等知識點，由三角形的內角和定理和角的和差求出，角平分線的性質定理得，垂線段定義證明最短，求出長的最小值為．
重點掌握角平分線的性質定理，難點是作垂線段找線段的最小值．
解：過點作交于點，如圖所示：
，
，
又，，，，
，
是的角平分線，
又，，
，
又，
，
又點是直線外一點，
當點在上運動時，點運動到與點重合時最短，其長度為長等于，
即長的最小值為．
故選：．
【變式2】（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，，垂足為，，，射線，垂足為，動點從點出發以的速度沿射線運動，點為射線上一動點，滿足，隨著點運動而運動，當點運動時間為 秒時，與點、、為頂點的三角形全等（）．
【答案】6或12或18
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握判定定理和性質是解題關鍵．
此題要分兩種情況：①當在線段上時，②當在上，再分別分兩種情況或進行計算即可．
解：①當在線段上，時，，
，
，
，
∴的運動時間為秒；
②當在線段上，時，，
這時，因此時間為0秒（舍去）；
③當在上，時，，
，
，
，
點的運動時間為(秒)；
④當在上，時，，
，
，
，
點的運動時間為(秒)，
∴點的運動時間為6或12或18．
故答案為：6或12或18．
【題型4】全等三角形的綜合問題
【例4】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）數學興趣小組在探討全等三角形相關問題的解決方法時發現：當條件中出現“中線”或“中點”時，可考慮倍長中線或作一條邊的平行線來解決問題．

(1)【問題初探】如圖1：在中，，，為邊上的中線，則的取值范圍為__________．
(2)【類比分析】如圖2：在中，，，是的中線，于點C，且．求的長度．
(3)【拓展延伸】如圖3：在中，于點F，在右側作于點A，且，在左側作于點A，且，連接DE，延長交于點O．求證：點O為中點．
【答案】(1) (2)18 (3)證明見解析
【分析】本題考查三角形三邊的關系，全等三角形的判定與性質：
（1）延長到點，使，連接，證明，得到，再根據在中，，即，求解即可；
（2）延長到點F，使，連接，先證明，得到，，再證明E、C、F三點共線，得到，然后證明，得到解決問題；
（3）過點E作交延長線于M，先證明，得到，再證明，得到，即可得出結論．
（1）解：如圖，延長到點，使，連接，
∵為邊上的中線，
，
，
，
，
中，
∴，
，
；
（2）解：延長到點F，使，連接，如圖4，
∵為邊上的中線，
，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴E、C、F三點共線，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）證明：過點E作交延長線于M，如圖4，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴O為中點．
【變式1】（23-24八年級上·重慶渝中·期末）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形是一個箏形，，，下列說法：①；②；③；④．其中正確的是（ ）

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形的面積等，解答此題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的對應邊相等、對應角相等．
根據已知條件，結合圖形依據“”可判定和全等，故①正確；與不一定相等，故無法證明，故②錯誤；由定理可知，故③正確；由①可知，再根據三角形的面積公式，然后由可知④正確．
解：①在和與中，
∴，故①正確；
②∵與不一定相等，
∴無法證明，故②錯誤；
③由①知，
在與中，
∴，
∴，故③正確；
④由③知，
又
故④正確，
故選：C．
【變式2】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，延長到E，使得，連接，過點A作，且．連接與的延長線交于D點，則的長為 ．
【答案】
【分析】此題重點考查了全等三角形的判定與性質等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
作，交的延長線于點，可證明，得，因為，所以以，求得，再證明，得，則，于是得到問題的答案．
解：作，交的延長線于點，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故答案為：．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H，畫射線，若，則 ．
【答案】2
【分析】此題主要考查了角平分線的尺規作圖和性質，坐標與圖形的性質，根據作圖方法可得點H在第一象限的角平分線上，根據角平分線的性質和第一象限內點的坐標符號可得答案．
解：根據作圖方法可得點H在第一象限角平分線上；點H橫縱坐標相等且為正數；
，
解得：，
故答案為：．
【例2】（2020·湖北鄂州·中考真題）如圖，在和中，，，，．連接、交于點，連接．下列結論：
①；②；③平分；④平分
其中正確的結論個數有（ ）個．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正確；
根據全等三角形的性質得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分，④正確；
由∠AOB＝∠COD，得出當∠DOM＝∠AOM時，OM才平分∠BOC，假設∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③錯誤；即可得出結論．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性質得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正確；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：
則∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正確；
∵∠AOB＝∠COD，
∴當∠DOM＝∠AOM時，OM才平分∠BOC，
假設∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
與矛盾，
∴③錯誤；
正確的有①②④；
故選B．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關鍵．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·江蘇南通·期末）已知中，，，動點，分別在邊和射線上，連接，．
(1)如圖1，點在延長線上，且．
①若，求的長；
②判斷和的關系，并證明；
(2)如圖2，，，點在邊上，且，當的值最小時，求的長．
【答案】(1)①8；②且，證明見詳解 (2)3
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題關鍵．
（1）①利用“”證明，由全等三角形的性質可得，然后由，即可獲得答案；②延長，交與，由全等三角形的性質可得，結合，，易得，即可證明；
（2）首先證明，由全等三角形的性質可得，易得，故當點在同一直線上時，取最小值，即取最小值，再證明，由全等三角形的性質可得，故，即可獲得答案．
（1）解：①∵，動點，分別在邊和射線上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②且，證明如下：
如下圖，延長，交與，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
如下圖，
當點在同一直線上時，取最小值，即取最小值，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【例2】（23-24七年級下·重慶·期末）在中，和的角平分線相交于點．
(1)若，求的度數；
(2)延長至點，過點作的平行線交于點，若，求證：．
【答案】(1)；(2)證明見解析．
【分析】（）根據角平分線的定義，三角形內角和定理即可求解；
（）在上截取，連接，證明，，再根據性質即可求證；
本題考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，三角形全等的性質與判定，平行線的性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分線相交于點，
∴，，
∴，
∴；
（2）證明：如圖，在上截取，連接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題12.21 全等三角形（全章知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
一般三角形 直角三角形
判定 邊角邊（SAS） 角邊角（ASA） 角角邊（AAS） 邊邊邊（SSS） 兩直角邊對應相等 一邊一銳角對應相等 斜邊、直角邊定理（HL）
性質 對應邊相等，對應角相等 （其他對應元素也相等，如對應邊上的高相等）
備注 判定三角形全等必須有一組對應邊相等
【知識點一】全等三角形的判定與性質
【知識點二】全等三角形的證明思路
【知識點三】角平分線的性質
1.角的平分線的性質定理
　 角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
2.角的平分線的判定定理
　 角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
3.三角形的角平分線
三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.
4.與角平分線有關的輔助線
在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形；
在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.
【知識點四】全等三角形證明方法
全等三角形是平面幾何內容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質的有力工具，是解決與線段、角相關問題的一個出發點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線位置關系等常見的幾何問題.可以適當總結證明方法.
1． 證明線段相等的方法：
(1) 證明兩條線段所在的兩個三角形全等.
(2) 利用角平分線的性質證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
(3) 等式性質.
2． 證明角相等的方法：
(1) 利用平行線的性質進行證明.
(2) 證明兩個角所在的兩個三角形全等.
(3) 利用角平分線的判定進行證明.
(4) 同角（等角）的余角（補角）相等.
(5) 對頂角相等.
3． 證明兩條線段的位置關系（平行、垂直）的方法；
可通過證明兩個三角形全等，得到對應角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.
4． 輔助線的添加:
(1)作公共邊可構造全等三角形；
(2)倍長中線法；
(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；
(4)利用截長(或補短)法作旋轉變換的全等三角形.
5. 證明三角形全等的思維方法:
（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發現兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們全等的條件.
（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應根據圖形的其它性質或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.
（3）如果現有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關系，此時應添置輔助線，使之出現全等三角形，通過構造出全等三角形來研究平面圖形的性質.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】利用全等三角形的性質與判定求值或證明
【例1】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，為中點，為邊上一點，連接，并延長至點 ，使得，連接．
(1)求證：；
(2)若，，，求的度數．
【變式1】（23-24八年級下·江西吉安·期末）如圖，是的角平分線，，垂足為F，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·湖南長沙·期末）如圖，在 中，H是高和的交點，且，已知，，則的長為 ．
【題型2】添加輔助線證明三角形全等并求值
【例2】（23-24八年級上·山東臨沂·期中）【基本模型】
（1）如圖1，是正方形，，當在邊上，在邊上時，請你探究、與之間的數量關系，并證明你的結論．
【模型運用】
（2）如圖2，是正方形，，當在的延長線上，在的延長線上時，請你探究、與之間的數量關系，并證明你的結論．
【變式1】（20-21八年級上·陜西咸陽·期中）如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點A處繞著點O經過最低點B，最終蕩到最高點C處，若，點A與點B的高度差AD＝1米，水平距離BD＝4米，則點C與點B的高度差CE為（　　）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【變式2】如圖，線段AB=8cm，射線AN⊥AB，垂足為點A，點C是射線上一動點，分別以AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，得△ACD與△BCE，連接DE交射線AN于點M，則CM的長為 ．

【題型3】全等三角形的動態問題
【例3】（23-24七年級下·上海閔行·期末）如圖，已知在 中， 射線 點P為射線上的動點(點P不與點A重合)，連接，將線段繞點B順時針旋轉角度α后， 得到線段， 連接、．
(1)試說明 的理由；
(2)延長交射線于點D，在點P的移動過程中， 的大小是否發生變化 若改變請說明理由，若不改變，請求出 的大小(用含α的代數式表示)；
(3)當時， 過點Q作垂直射線， 垂足為E，那么 (用m、 n的代數式表示) ．
【變式1】（23-24八年級上·內蒙古興安盟·階段練習）如圖，在四邊形中，，連接，，垂足為，并且，，，，點是邊上一動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，，垂足為，，，射線，垂足為，動點從點出發以的速度沿射線運動，點為射線上一動點，滿足，隨著點運動而運動，當點運動時間為 秒時，與點、、為頂點的三角形全等（）．
【題型4】全等三角形的綜合問題
【例4】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）數學興趣小組在探討全等三角形相關問題的解決方法時發現：當條件中出現“中線”或“中點”時，可考慮倍長中線或作一條邊的平行線來解決問題．

(1)【問題初探】如圖1：在中，，，為邊上的中線，則的取值范圍為__________．
(2)【類比分析】如圖2：在中，，，是的中線，于點C，且．求的長度．
(3)【拓展延伸】如圖3：在中，于點F，在右側作于點A，且，在左側作于點A，且，連接DE，延長交于點O．求證：點O為中點．
【變式1】（23-24八年級上·重慶渝中·期末）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形是一個箏形，，，下列說法：①；②；③；④．其中正確的是（ ）

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【變式2】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，延長到E，使得，連接，過點A作，且．連接與的延長線交于D點，則的長為 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H，畫射線，若，則 ．
【例2】（2020·湖北鄂州·中考真題）如圖，在和中，，，，．連接、交于點，連接．下列結論：
①；②；③平分；④平分
其中正確的結論個數有（ ）個．
A．4 B．3 C．2 D．1
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·江蘇南通·期末）已知中，，，動點，分別在邊和射線上，連接，．
(1)如圖1，點在延長線上，且．
①若，求的長；
②判斷和的關系，并證明；
(2)如圖2，，，點在邊上，且，當的值最小時，求的長．
【例2】（23-24七年級下·重慶·期末）在中，和的角平分線相交于點．
(1)若，求的度數；
(2)延長至點，過點作的平行線交于點，若，求證：．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑