資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題12.3 三角形全等的判定（SSS與SAS）
（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】三角形全等的判定方法——邊邊邊（SSS）
（1）基本事實：三條邊分別對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.
（2）書寫格式：
如圖，在△ABC和△中，
（3）書寫強調：在書寫兩個三角形全等時的條件“邊角邊”時，要按照邊角邊的順序來書寫，即要把夾角寫在中間，以突出兩邊及其夾角分別相等；在列舉三角形全等時，一般把同一個三角形的三個條件放在等號的同一側，并用大括號將其括起來
【知識點二】三角形全等的判定方法——邊角邊（SAS）
（1）基本事實：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.
（2）書寫格式：
如圖，在△ABC和△中，
（3）重點強調：有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.
如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.
【知識點三】找等角和等邊常用途徑
（1）找等角的常用途徑：①公共角相等；②對頂角相等；③等角加（減）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（補）角相等；⑤平行線的性質得到相相等等.
（2）找等角的常用途徑：①公共邊相等；②對頂角相等；③等邊加（減）等邊，其和（差）相等；④由中線得到的線段相等等等.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】用SSS證明三角形全等
【例1】如圖，.
求證：（1）； （2）
【答案】（1）見解析；（2）理由見解析.
【分析】（1）證明三角形即可解題, （2）利用全等得到∠A=∠D,即可解題.
（1）證明：
，即
在和中，
（2）
理由如下：由（1）得：
（內錯角相等，兩直線平行）
【點撥】本題考查了全等三角形的判定和平行線的判定,屬于簡單題，熟悉全等三角形的判定方法和平行線的判定定理是解題關鍵.
【變式1】如圖，AB=CD，BD=AC，用三角形全等的判定“SSS”可證明 ≌ 或 ≌ ．
【答案】 △ABC △DCB △ABD △DCA
解答：△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA，理由是：
∵在△ABC和△DCB中
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
同理△ABD≌△DCA，
故答案為△ABC，△DCB，△ABD，△DCA．
【變式2】（23-24七年級下·河南鄭州·期中）如圖，已知，點為射線上一點，用尺規按如下步驟作圖：①以點為圓心，以任意長為半徑作弧，交于點，交于點；②以點為圓心，以長為半徑作弧，交于點；③以點為圓心，以長為半徑作弧，交前面的弧于點；④連接并延長交于點．則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查尺規作角，全等三角形的判定和性質，三角形的外角和，解題的關鍵是根據題意，則，則，根據，三角形的外角和，即可．
解：由作圖可知，在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．
故選：D．
【題型2】用SSS證明三角形全等與三角形全等性質綜合求值
【例2】（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）如圖，交于點．

（1）線段與有怎樣的數量關系？證明你的結論．
（2）與有怎樣的數量關系？證明你的結論．
【答案】(1)，見解析 (2)，見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等角對等邊、三角形的外角性質：
（1）先通過證明，得，然后結合等角對等邊，即可作答．
（2）根據以及三角形的外角性質，即可作答．
（1）解：，理由如下：
∵
∴
∴
；
（2）解：，理由如下：
由（1）知
∵
．
【變式1】（23-24八年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，，，．若，則 ．

【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，由題意可證，可得，再根據三角形內角和即可得．
證明：如圖，設交于點，

在和中，
，
，
，
，,，
．
故答案為：．
【變式2】（22-23八年級上·新疆吐魯番·階段練習）如圖，已知，，，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，根據證明，得出即可得出答案．
解：∵在和中
，
∴，
∴．
故選：A．
【題型3】用SAS證明三角形全等
【例3】（2023·廣東·模擬預測）如圖，，請添加一個條件，使．
（1）你添加的條件是______（只需添加一個條件）；
（2）利用（1）中添加的條件，求證：．
【答案】(1)（答案不唯一） (2)見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，直角三角形的兩銳角互余，三角形的內角和定理，垂直的定義．解題的關鍵是正確尋找判定三角形全等的條件，靈活運用所學知識解決問題．
（1）由題意得到，推出，，再根據判定定理得添加一個條件為，即可使；
（2）根據三角形全等的判定定理證明即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
由得添加一個條件為，
故答案為：（答案不唯一）；
（2）證明：，
，
，
即，
在和中，
，
．
【變式1】（22-23八年級上·河南安陽·階段練習）如圖，，，將繞D逆時針旋轉90°至，連接AE，若，則的面積是 ．
【答案】3
【分析】由旋轉可得，可求得，可求得的面積．
解：如圖，過D作于點H，過E作交的延長線于F，則四邊形是矩形，，
∴，
∴
∴，
∴，且，
∴，
故答案為：3．
【點撥】本題主要考查旋轉的性質，掌握旋轉圖形是全等圖形是解題的關鍵．
【變式2】如圖，是的中線，E，F分別是和延長線上的點，且，連接，下列說法：
①；
②和面積相等；
③；
④；
⑤．
其中正確的有（ ）
A．1個 B．5個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據三角形中線的定義可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，全等三角形對應角相等可得，再根據內錯角相等，兩直線平行可得，最后根據等底等高的三角形的面積相等判斷出②正確．
解：∵是的中線，
∴，
在和中，
，
∴，故④正確
∴，故①正確，
∵，
∴，故⑤正確，
∴，故③正確，
∵，點A到的距離相等，
∴和面積相等，故②正確，
綜上所述，正確的有5個，
故選：B．
【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法并準確識圖是解題的關鍵．
【題型4】用SAS證明三角形全等與三角形性質綜合
【例4】（23-24七年級下·遼寧阜新·期中）已知，，是過點A的直線，B、E兩點在直線上，，．
（1）如圖1，試說明：
①；
②；
（2）當繞點A旋轉到圖2的位置時，之間滿足怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并給予證明．
【答案】(1)①見解析；②見解析； (2)，證明見解析
【分析】本題考查了幾何變換綜合題，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
（1）①根據已知條件得到，根據全等三角形的判定即可證明；②根據全等三角形性質得到即可得到結論；
（2）根據角的和差得到，根據全等三角形的性質得到，根據線段的和差即可得到結論．
（1）解：①證明：∵，
∴，
即，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴；
（2）猜想：，
證明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴
【變式1】（2024·重慶沙坪壩·一模）如圖，D，E是外兩點，連接，，有，，．連接，交于點F，則的度數為 ．
【答案】/140度
【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和等知識，證明是解題的關鍵．
設交于點G，由，推導出，而，，即可根據“”證明，得，可求得，則，于是得到問題的答案．
解：設交于點G，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【變式2】（23-24七年級下·陜西西安·期中）如圖，把兩個角的直角三角板放在一起，點B在上，A、C、D三點在一條直線上，連接延長線交于點F．若，則的面積為（　　）
A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，先通過和都是等腰直角三角形，得出再證明，結合面積公式代入數值，進行計算，即可作答．
解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
故選：B．
【題型5】通過用SSS和SAS證明三角形全等進行求值
【例5】（22-23八年級上·陜西寶雞·期末）如圖，是外一點，是上一點，，，，，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，連接，證明，可得，再證明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
解：連接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式1】（2023·重慶·中考真題）如圖，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，則的長度為 ．

【答案】3
【分析】證明，得到，即可得解．
解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案為：3．
【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質．利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題的關鍵．
【變式2】（23-24八年級下·黑龍江綏化·期中）如圖，在四邊形中，，，若連接、相交于點O，則圖中全等三角形共有（ ）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
【答案】C
【分析】本題考查三角形全等的判定方法，首先證明，根據全等三角形的性質可得，，再證明，．解題的關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．
解：在和中
，
，
，，
在和中
，
，
在和中
，
，
綜上，圖中全等三角形共有3對，
故選：C．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．
求證：．
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．利用“”證明，即可解決問題．
證明：，
，即，
在和中，
，
．
【例2】（2024·四川內江·中考真題）如圖，點、、、在同一條直線上，，，
（1）求證：；
（2）若，，求的度數．
【答案】(1)見解析；(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練地掌握全等三角形的判定和性質是解決本題的關鍵.
（1）先證明，再結合已知條件可得結論；
（2）證明，再結合三角形的內角和定理可得結論.
（1）證明：∵
∴，即
∵，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
2、拓展延伸
【例1】如圖，AD＝CB，E，F是AC上兩動點，且有DE＝BF
（1）若E，F運動如圖①所示的位置，且有AF＝CE，求證：△ADE≌△CBF；
（2）若E，F運動如圖②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF還成立嗎？為什么？
（3）若E，F不重合，AD和CB平行嗎？說明理由．
【答案】（1）詳見解析；（2）成立，證明詳見解析；（3）AD與CB不一定平行，理由詳見解析.
【分析】（1）根據AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可證明△ADE≌△CBF；（2）根據AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可證明△ADE≌△CBF；（3）根據已知兩個條件，不能判定△ADE≌△CBF，不能確定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.
證明：（1）∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF.
（2）成立.理由如下：
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF.
（3）AD與CB不一定平行，理由如下：
∵只給了兩組對應相等的邊，
∴不能判定△ADE≌△CBF，
∴不能判定∠A與∠C的大小關系，
∴AD與CB不一定平行，
【點撥】本題考查全等三角形的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角
【例2】（22-23八年級上·廣東潮州·階段練習）在中，，，直線經過點，且于，于．
（1）當直線繞點旋轉到圖的位置時，求證：
①；
②；
（2）當直線繞點旋轉到圖的位置時，，，求線段的長．
【答案】(1)見解析，見解析；(2)．
【分析】（1）由已知推出，因為，，推出，根據即可得到答案；
由得到，，即可求出答案；
（）與（）證法類似可證出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案，
本題考查了全等三角形的性質和判定，同角的余角相等，垂直的定義，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
（1）證明：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
證明：由（）知：，
∴，，
∵，
∴；
（2）證明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
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專題12.3 三角形全等的判定（SSS與SAS）
（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】三角形全等的判定方法——邊邊邊（SSS）
（1）基本事實：三條邊分別對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.
（2）書寫格式：
如圖，在△ABC和△中，
（3）書寫強調：在書寫兩個三角形全等時的條件“邊角邊”時，要按照邊角邊的順序來書寫，即要把夾角寫在中間，以突出兩邊及其夾角分別相等；在列舉三角形全等時，一般把同一個三角形的三個條件放在等號的同一側，并用大括號將其括起來
【知識點二】三角形全等的判定方法——邊角邊（SAS）
（1）基本事實：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.
（2）書寫格式：
如圖，在△ABC和△中，
（3）重點強調：有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.
如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.
【知識點三】找等角和等邊常用途徑
（1）找等角的常用途徑：①公共角相等；②對頂角相等；③等角加（減）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（補）角相等；⑤平行線的性質得到相相等等.
（2）找等角的常用途徑：①公共邊相等；②對頂角相等；③等邊加（減）等邊，其和（差）相等；④由中線得到的線段相等等等.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】用SSS證明三角形全等
【例1】如圖，.
求證：（1）； （2）
【變式1】如圖，AB=CD，BD=AC，用三角形全等的判定“SSS”可證明 ≌ 或 ≌ ．
【變式2】（23-24七年級下·河南鄭州·期中）如圖，已知，點為射線上一點，用尺規按如下步驟作圖：①以點為圓心，以任意長為半徑作弧，交于點，交于點；②以點為圓心，以長為半徑作弧，交于點；③以點為圓心，以長為半徑作弧，交前面的弧于點；④連接并延長交于點．則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【題型2】用SSS證明三角形全等與三角形全等性質綜合求值
【例2】（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）如圖，交于點．

（1）線段與有怎樣的數量關系？證明你的結論．
（2）與有怎樣的數量關系？證明你的結論．
【變式1】（23-24八年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，，，．若，則 ．

【變式2】（22-23八年級上·新疆吐魯番·階段練習）如圖，已知，，，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【題型3】用SAS證明三角形全等
【例3】（2023·廣東·模擬預測）如圖，，請添加一個條件，使．
（1）你添加的條件是______（只需添加一個條件）；
（2）利用（1）中添加的條件，求證：．
【變式1】（22-23八年級上·河南安陽·階段練習）如圖，，，將繞D逆時針旋轉90°至，連接AE，若，則的面積是 ．
【變式2】如圖，是的中線，E，F分別是和延長線上的點，且，連接，下列說法：
①；
②和面積相等；
③；
④；
⑤．
其中正確的有（ ）
A．1個 B．5個 C．3個 D．4個
【題型4】用SAS證明三角形全等與三角形性質綜合
【例4】（23-24七年級下·遼寧阜新·期中）已知，，是過點A的直線，B、E兩點在直線上，，．
（1）如圖1，試說明：
①；
②；
（2）當繞點A旋轉到圖2的位置時，之間滿足怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并給予證明．
【變式1】（2024·重慶沙坪壩·一模）如圖，D，E是外兩點，連接，，有，，．連接，交于點F，則的度數為 ．
【變式2】（23-24七年級下·陜西西安·期中）如圖，把兩個角的直角三角板放在一起，點B在上，A、C、D三點在一條直線上，連接延長線交于點F．若，則的面積為（　　）
A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6
【題型5】通過用SSS和SAS證明三角形全等進行求值
【例5】（22-23八年級上·陜西寶雞·期末）如圖，是外一點，是上一點，，，，，則的度數為 ．
【變式1】（2023·重慶·中考真題）如圖，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，則的長度為 ．

【變式2】（23-24八年級下·黑龍江綏化·期中）如圖，在四邊形中，，，若連接、相交于點O，則圖中全等三角形共有（ ）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．
求證：．
【例2】（2024·四川內江·中考真題）如圖，點、、、在同一條直線上，，，
（1）求證：；
（2）若，，求的度數．
2、拓展延伸
【例1】如圖，AD＝CB，E，F是AC上兩動點，且有DE＝BF
（1）若E，F運動如圖①所示的位置，且有AF＝CE，求證：△ADE≌△CBF；
（2）若E，F運動如圖②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF還成立嗎？為什么？
（3）若E，F不重合，AD和CB平行嗎？說明理由．
【例2】（22-23八年級上·廣東潮州·階段練習）在中，，，直線經過點，且于，于．
（1）當直線繞點旋轉到圖的位置時，求證：
①；
②；
（2）當直線繞點旋轉到圖的位置時，，，求線段的長．
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