資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題12.5 全等三角形的判定（ASA與AAS）
（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）
第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】
【知識(shí)點(diǎn)一】三角形全等的判定方法——角邊角（ASA）
（1）基本事實(shí)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.
（2）書寫格式：
如圖，在△ABC和△中，
【知識(shí)點(diǎn)二】三角形全等的判定方法——角角邊（AAS）
（1）基本事實(shí)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）
（2）三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
【知識(shí)點(diǎn)三】判定方法的選擇
（1）選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：
已知條件 可選擇的判定方法
一邊一角對應(yīng)相等 SAS AAS ASA
兩角對應(yīng)相等 ASA AAS
兩邊對應(yīng)相等 SAS SSS
（2）如何選擇三角形證全等
（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；
（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；
（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋?br/>（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.
第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】
【題型1】用ASA和AAS證明三角形全等
【例1】（23-24七年級下·四川成都·期中）如圖，點(diǎn)、在上，，，．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
【變式1】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）一塊三角形玻璃被摔成如圖所示的四塊，小江想去買一塊形狀、大小與原來一樣的玻璃，但是他只想帶去其中的兩塊，則這兩塊玻璃的編號(hào)可以是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【變式2】（22-23八年級上·福建龍巖·期中）如圖，已知與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)為中點(diǎn)，若，，則 ．

【題型2】用ASA和AAS證明三角形全等與三角形全等性質(zhì)綜合求值
【例2】（22-23八年級上·廣東深圳·期末）如圖，在中，為上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使得，連．
（1）求證：； （2）若，，，求的度數(shù)．
【變式1】（23-24七年級下·重慶·期中）如圖，在中，，垂足分別是D、E，、交于點(diǎn)．已知，則的長度為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式2】（23-24七年級下·吉林長春·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)E、F在線段上．，的面積為18，則與的面積之和 ．
【題型3】添加條件證明三角形全等
【例3】（2023·廣東·模擬預(yù)測）如圖，，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使．
（1）你添加的條件是______（只需添加一個(gè)條件）；
（2）利用（1）中添加的條件，求證：．
【變式1】（23-24七年級下·重慶·期中）如圖，在和中，再添兩個(gè)條件不能使和全等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式2】（23-24八年級上·北京平谷·期末）如圖，在和中，若，且，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使．添加的條件是： （寫出一個(gè)即可）．

【題型4】靈活運(yùn)用SSS、SAS、ASA、AAS證明三角形全等
【例4】（22-23七年級下·河北保定·期末）如圖，是的中線，，分別是和延長線上的點(diǎn)，且．

（1）與全等嗎？請說明你的理由；
（2）若，，的面積為3，請直接寫出的面積．
【變式1】（2024·河北邯鄲·二模）如圖所示，甲、乙兩個(gè)三角形中和全等的是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是
【變式2】（23-24八年級上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在下列各組條件中，能夠判斷和全等的有 ．
①，，；
②，，；
③，，；
④，，．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·四川涼山·中考真題）如圖，點(diǎn)在上，，，添加一個(gè)條件，不能證明的是（　　）

A． B． C． D．
【例2】（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，，．
若________，則．
請從①；②；③這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），使結(jié)論成立，并說明理由．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級上·河北邢臺(tái)·期中）在中，是的中點(diǎn)．
（1）如圖1，在邊上取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，求證：．
（2）如圖2，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，另兩邊分別與相交于點(diǎn)，，求證：．
【例2】（22-23八年級上·全國·期末）如圖1，直線于點(diǎn)B，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，一條光線從點(diǎn)A射向D，反射后與直線l交于點(diǎn)E（提示：作法線）．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)H，，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，求的最小值．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題12.5 全等三角形的判定（ASA與AAS）
（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）
第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】
【知識(shí)點(diǎn)一】三角形全等的判定方法——角邊角（ASA）
（1）基本事實(shí)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.
（2）書寫格式：
如圖，在△ABC和△中，
【知識(shí)點(diǎn)二】三角形全等的判定方法——角角邊（AAS）
（1）基本事實(shí)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）
（2）三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
【知識(shí)點(diǎn)三】判定方法的選擇
（1）選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：
已知條件 可選擇的判定方法
一邊一角對應(yīng)相等 SAS AAS ASA
兩角對應(yīng)相等 ASA AAS
兩邊對應(yīng)相等 SAS SSS
（2）如何選擇三角形證全等
（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；
（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；
（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋?br/>（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.
第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】
【題型1】用ASA和AAS證明三角形全等
【例1】（23-24七年級下·四川成都·期中）如圖，點(diǎn)、在上，，，．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析 (2)∠D的度數(shù)是
【分析】（1）由，推導(dǎo)出，由，證明，即可根據(jù)“”證明；
（2）由，，根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”得，，求得．
此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，推導(dǎo)出，，進(jìn)而證明是解題的關(guān)鍵．
（1）證明：，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，，
，
，
的度數(shù)是．
【變式1】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）一塊三角形玻璃被摔成如圖所示的四塊，小江想去買一塊形狀、大小與原來一樣的玻璃，但是他只想帶去其中的兩塊，則這兩塊玻璃的編號(hào)可以是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【答案】A
【分析】
本題考查了全等三角形的應(yīng)用，學(xué)會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解答的關(guān)鍵．
①②兩塊玻璃是已知兩角及其一夾邊，可用證明全等來說理．
解：A、①②兩塊玻璃是已知兩角及其一夾邊，可用證明全等，故本選項(xiàng)符合題意；
B、②④兩塊玻璃是已知兩角，無法證明全等，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、③④兩塊玻璃是已知一角，無法證明全等，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、①④兩塊玻璃是已知兩角，無法證明全等，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【變式2】（22-23八年級上·福建龍巖·期中）如圖，已知與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)為中點(diǎn)，若，，則 ．

【答案】4
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和線段中點(diǎn)，證明，得到，再根據(jù)，即可求出的長．
解：，
，，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案為：4．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【題型2】用ASA和AAS證明三角形全等與三角形全等性質(zhì)綜合求值
【例2】（22-23八年級上·廣東深圳·期末）如圖，在中，為上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使得，連．
（1）求證：； （2）若，，，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析 (2)
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．
（1）利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）根據(jù)（1）求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)，結(jié)合角的和差關(guān)系即可得答案．
（1）證明：∵為中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式1】（23-24七年級下·重慶·期中）如圖，在中，，垂足分別是D、E，、交于點(diǎn)．已知，則的長度為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用證明得出，即可求解．
解：∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴
又，
∴，
故選：C．
【變式2】（23-24七年級下·吉林長春·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)E、F在線段上．，的面積為18，則與的面積之和 ．
【答案】12
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，和三角形的面積求法，能夠證明是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)與等高，底邊值為，得出與面積比為1∶2，再證，即可得出和的面積和，即可選出答案．
解：標(biāo)記角度如下：
∵在等腰中，，，
∴與等高，底邊比值為
∴與的面積比為，
∵的面積為18
∴的面積為6，的面積為12，
∵,即，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴與的面積相等，
∴，
故答案為：12．
【題型3】添加條件證明三角形全等
【例3】（2023·廣東·模擬預(yù)測）如圖，，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使．
（1）你添加的條件是______（只需添加一個(gè)條件）；
（2）利用（1）中添加的條件，求證：．
【答案】(1)（答案不唯一） (2)見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定義．解題的關(guān)鍵是正確尋找判定三角形全等的條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
（1）由題意得到，推出，，再根據(jù)判定定理得添加一個(gè)條件為，即可使；
（2）根據(jù)三角形全等的判定定理證明即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
由得添加一個(gè)條件為，
故答案為：（答案不唯一）；
（2）證明：，
，
，
在和中，
，
．
【變式1】（23-24七年級下·重慶·期中）如圖，在和中，再添兩個(gè)條件不能使和全等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本題考查了三角形全等的判定方法，根據(jù)全等三角形的判定方法分別進(jìn)行判定即可．
解：A、∵，
∴，
又∵，
∴，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、 ∵，，，不能根據(jù)判定兩三角形全等，故B選項(xiàng)符合題意；
C、∵，，
又，
∴，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、 ∵，
∴，
又∵，，
∴，故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【變式2】（23-24八年級上·北京平谷·期末）如圖，在和中，若，且，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使．添加的條件是： （寫出一個(gè)即可）．

【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查全等三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，對頂角性質(zhì)．
先證明，又因?yàn)椋鶕?jù)全等三角形的判定定理，在與中只需要再加一對對應(yīng)邊相等即可使，所此求解即可．
解：如圖，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴當(dāng)添加時(shí)，則在與中，
，
∴
故答案為：（答案不唯一）．
【題型4】靈活運(yùn)用SSS、SAS、ASA、AAS證明三角形全等
【例4】（22-23七年級下·河北保定·期末）如圖，是的中線，，分別是和延長線上的點(diǎn)，且．

（1）與全等嗎？請說明你的理由；
（2）若，，的面積為3，請直接寫出的面積．
【答案】(1)，見解析；(2)6
【分析】（1）根據(jù)中線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定即可證明；
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，的面積為3，根據(jù)三角形的面積公式求得，即可求解．
（1）解：，理由如下：
∵是的中線，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖：

∵，的面積為3，
∴，的面積為3，
∴，
則的面積為．
【點(diǎn)撥】本題考查了中線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2024·河北邯鄲·二模）如圖所示，甲、乙兩個(gè)三角形中和全等的是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟知判定全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)判定三角形全等的條件，逐一判斷即可解答．
解：甲的邊的夾角和的邊的夾角不對應(yīng)，故甲三角形與不全等；
乙的角和邊b與的角和邊b對應(yīng)，故可利用“角邊角”證明乙三角形與全等，
故選：B．
【變式2】（23-24八年級上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在下列各組條件中，能夠判斷和全等的有 ．
①，，；
②，，；
③，，；
④，，．
【答案】①②③
【分析】全等三角形的判定定理有，，，，根據(jù)以上知識(shí)點(diǎn)逐個(gè)判斷即可．
解：①、符合全等三角形的判定定理，即兩三角形全等，故符合題意；
②、符合全等三角形的判定定理，即兩三角形全等，故符合題意；
③、符合全等三角形的判定定理，即兩三角形全等，故符合題意；
④、不符合全等三角形的判定定理，即兩三角形不全等，故不符合題意；
故答案為：①②③．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判斷定理有，，，．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·四川涼山·中考真題）如圖，點(diǎn)在上，，，添加一個(gè)條件，不能證明的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有等．根據(jù)求出，再根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．
解：∵，
∴，即，
，
∴當(dāng)時(shí)，利用可得；
當(dāng)時(shí)，利用可得；
當(dāng)時(shí)，利用可得；
當(dāng)時(shí)，無法證明；
故選：D．
【例2】（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，，．
若________，則．
請從①；②；③這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），使結(jié)論成立，并說明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析
【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形即可證明；②得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的判定得出，結(jié)合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
解：選擇①；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
選擇②；
無法證明，
無法得出；
選擇③；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即；
故答案為：①或③（答案不唯一）
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級上·河北邢臺(tái)·期中）在中，是的中點(diǎn)．
（1）如圖1，在邊上取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，求證：．
（2）如圖2，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，另兩邊分別與相交于點(diǎn)，，求證：．
【分析】（1）運(yùn)用證明即可解題；
（2）如圖，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接．推導(dǎo)，即可得到結(jié)論．
解：（1）證明：是的中點(diǎn)，
．
，
，
，
．
（2）如圖，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接．
由（1）知．
．
，
，
．
在中，，
．
【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的不等關(guān)系，能作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【例2】（22-23八年級上·全國·期末）如圖1，直線于點(diǎn)B，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，一條光線從點(diǎn)A射向D，反射后與直線l交于點(diǎn)E（提示：作法線）．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)H，，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，求的最小值．
【答案】(1)見解析； (2)見解析；(3)5
【分析】（1）由可證，可得；
（2）由可證，可得，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）由可證，可得，則當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值為的長，由面積法可以求解．
（1）證明：如圖1，過點(diǎn)D作，
由題意可得：，
∴，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值為的長，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值為．
【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，尋找條件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑