資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題12.28 添加輔助線構(gòu)造三角形全等的十四種方法（方法梳理與方法分類講解）
第一部分【知識點(diǎn)歸納】
幾何學(xué)是初中數(shù)學(xué)的重要部分，通過添加輔助線解決幾何問題是關(guān)鍵。作輔助線的原則要按照定義和基本圖形添輔助線，常用方法包括構(gòu)造全等三角形、按軸對稱作輔助線、構(gòu)造相似三角形等，還可以通過作底或高的輔助線等方法求面積。在解決全等三角形問題時，可以從結(jié)論、已知條件和條件和結(jié)論綜合考慮來構(gòu)造全等三角形，本專題共梳理出以下常用的幾種作輔助線構(gòu)造三角形全等的方法。
【方法1】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等 【方法2】作垂直構(gòu)造全等；
【方法3】作平行線構(gòu)造全等； 【方法4】延長相交補(bǔ)全圖形構(gòu)造全等；
【方法5】構(gòu)造雙垂直等角全等； 【方法6】倍長中線構(gòu)造全等；
【方法7】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等； 【方法8】旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等；
【方法9】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等拓展； 【方法10】作垂直構(gòu)造全等延伸與拓展；
【方法11】作平行線構(gòu)造全等拓展； 【方法12】構(gòu)造雙垂直等角全等拓展；
【方法13】延長相交構(gòu)造全等拓展； 【方法14】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等拓展.
第二部分【題型梳理與方法點(diǎn)撥】
【方法1】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等；
【例1】（23-24八年級上·山東聊城·階段練習(xí)）已知，，求證：．
【變式1】（2024·山東聊城·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，于點(diǎn)，且．若，則（　　）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·河南平頂山·期末）如圖，在中，，，將沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，折痕是，延長交邊于點(diǎn)M，若是的中點(diǎn)，則圖中的的度數(shù)為 ．
【方法2】作垂直構(gòu)造全等；
【例1】（22-23八年級上·全國·單元測試）如圖．
(1)在四邊形中，與的面積相等，求證：直線必平分
(2)寫出（1）的逆命題，并判斷這個命題是否正確，為什么
【變式1】（23-24八年級上·重慶沙坪壩·期中）如圖，點(diǎn)是等腰的邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，則的值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．16
【變式2】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，過點(diǎn)B作，且使得，連接AD．若，則的面積為 ．
【方法3】作平行線構(gòu)造全等
【例2】（23-24八年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長線上，且．
(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時（如圖1），則有______（填“”“”或“”）；
(2)猜想如圖2，與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【變式1】（21-22八年級上·貴州黔西·期末）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC至點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長為（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【變式2】如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．
求讓：
【方法4】延長相交補(bǔ)全圖形構(gòu)造全等；
【例4】（22-23八年級上·云南紅河·期末）已知，是等腰直角三角形，，A點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上方．
(1)如圖1所示，若A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)如圖2，過點(diǎn)C作軸于D，請直接寫出線段之間等量關(guān)系；
(3)如圖3，若x軸恰好平分與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作軸于F，問與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【變式1】（23-24八年級上·重慶渝北·階段練習(xí)）如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)D，，交的延長線于點(diǎn)E，若，則長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式2】（21-22七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，已知，平分，且，為上一點(diǎn)，，，則 ．
【方法5】構(gòu)造雙垂直等角；
【例5】D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN，DM，DN分別交BC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時，求證：DE=DF．
（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積．
【變式1】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，、是高，、相交于，，連接，，的面積為7．則的面積等于 ．
【方法6】倍長中線構(gòu)造全等；
【例6】（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·期中）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，，，．回答下列問題：
(1)求證：和是兄弟三角形．
(2)取的中點(diǎn)，連接，試說明．小王同學(xué)根據(jù)要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線（點(diǎn)）倍延”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題．
①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造，并證明．
②求證：．
【變式1】（2024·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·三模）生命中總有些節(jié)點(diǎn)，如同一條線段的中點(diǎn)，它既是過去與未來的交匯，也是靜默與喧囂的界碑．如圖，點(diǎn)D是的邊上的中線，，，則的取值范圍為（ ）．

A． B．
C． D．
【變式2】（23-24七年級下·山東濟(jì)南·期末）如圖，中，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接并延長交于．若，，，那么的長度為 ．
【方法7】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等；
【例7】（23-24八年級上·江西南昌·期中）綜合與實(shí)踐
問題提出
如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，則，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
方法運(yùn)用

（1）我們可以通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形來解題．如圖2，延長至點(diǎn)E，使得，連接，……，請判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并補(bǔ)充完整解題過程．
（2）以上方法叫做“補(bǔ)短法”．我們還可以采用“截長法”，即通過在上截取線段構(gòu)造全等三角形來解題．如圖3，在線段上截取，使得①______，連接②______．請補(bǔ)全空格，并在圖3中畫出輔助線．
延伸探究
（3）小明發(fā)現(xiàn)“補(bǔ)短法”或“截長法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問題．如圖4，在五邊形中，，，，若，求的度數(shù)．
【變式1】（19-20八年級上·湖北黃岡·期中）如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關(guān)系是（　　）
A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定
【變式2】（20-21七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，，，且AE=AB，連接交的延長線于點(diǎn)，，則 ．
【方法8】旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等；
【例8】（22-23八年級上·湖北孝感·期中）已知：，，．
(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．
(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）
【變式1】（21-22九年級上·湖北·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，E為直線上方的一點(diǎn)，且滿足，連接，以為腰，A為直角頂點(diǎn)作等腰，連接，當(dāng)最大，且最大值為時，則 ．
【變式2】（22-23八年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖所示，且，為直角三角形，，已知，，則四邊形的面積為（ ）
A． B．15 C． D．20
【方法9】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等拓展；
【例9】已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，CE，CE⊥AE，過點(diǎn)B作BD⊥AE，交AE的延長線于D．

（1）如圖1，求證BD=AE；
（2）如圖2，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M為CH上的一點(diǎn)，連接EM，點(diǎn)F為EM的中點(diǎn)，連接FH，過點(diǎn)D作DG⊥FH，交FH的延長線于點(diǎn)G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長．
【變式1】（23-24八年級上·安徽馬鞍山·期末）如圖，已知，，為平面內(nèi)一動點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，上兩點(diǎn)，，．下面能表示最小值的線段是（ ）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
【變式2】（23-24七年級下·遼寧丹東·期中）如圖，在中，，的角平分線，相交于點(diǎn)P，過P作交的延長線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論①；②；③；④；⑤，正確的序號是 ．
【方法10】作垂直構(gòu)造全等延伸與拓展；
【例10】（23-24八年級上·福建莆田·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，．

(1)求的值；
(2)當(dāng)時．
①求三角形的面積；
②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使與全等？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式1】如圖，AOOM，OA=8，點(diǎn)B為射線OM上的一個動點(diǎn)，分別以O(shè)B、AB為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，在OM兩側(cè)作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，連接EF交OM于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上移動時，PB的長度是 ( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的長度隨B點(diǎn)的運(yùn)動而變化
【變式2】（22-23八年級上·湖北宜昌·期中）如圖所示，平分，，于點(diǎn)，，，那么的長度為 ．
【方法11】作平行線構(gòu)造全等拓展；
【例11】（20-21八年級上·浙江·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)Q在x軸的負(fù)半軸上，且分別以、為腰，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)在第一、第二象限作等腰、等腰，連接交y軸于P點(diǎn)，則的值為 ．
【變式1】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖所示，中，，M、N分別為、上動點(diǎn)，且，連、，當(dāng)最小時，（　　）．
A．2 B． C． D．1
【變式2】（20-21八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，等邊△ABC，D為CA延長線上一點(diǎn)，E在BC邊上，且AD＝CE，連接DE交AB于點(diǎn)F，連接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面積為2，則DB＝ ．
【方法12】構(gòu)造雙垂直等角全等拓展；
【例12】在中，，點(diǎn)是射線上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時，那么 度；
(2)設(shè)，．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，時，請你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，時，請將圖3補(bǔ)充完整，并直接寫出此時與之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．
【變式1】 如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，則四邊形ABCD的面積為 ．
【變式2】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)B、A分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，，則等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【方法13】延長相交構(gòu)造全等拓展；
【例13】（20-21八年級上·湖北武漢·期中）如圖，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分線交于點(diǎn)O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x，其中60°＜x＜90°，則∠OAC的度數(shù)是 °．（用含x的式子表示）
【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠ACB外角的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長線于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接CE并延長交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正確的有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤
【變式2】如圖，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,連CD,下列結(jié)論:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正確的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【方法14】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等拓展.
【例14】（23-24八年級上·貴州遵義·期末）在中，，點(diǎn)E為上一動點(diǎn)，過點(diǎn)A作于D，連接．

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】
如圖①，與的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)【嘗試探究】
點(diǎn)E在運(yùn)動過程中，的大小是否改變，若改變，請說明理由，若不變，求的度數(shù)；
(3)【深入思考】
如圖②，若E為中點(diǎn)，探索與的數(shù)量關(guān)系．
【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，則線段EF的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式2】（2024八年級·全國·競賽）如圖，在中，，，分別為的角平分線，求證：．
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專題12.28 添加輔助線構(gòu)造三角形全等的十四種方法（方法梳理與方法分類講解）
第一部分【知識點(diǎn)歸納】
幾何學(xué)是初中數(shù)學(xué)的重要部分，通過添加輔助線解決幾何問題是關(guān)鍵。作輔助線的原則要按照定義和基本圖形添輔助線，常用方法包括構(gòu)造全等三角形、按軸對稱作輔助線、構(gòu)造相似三角形等，還可以通過作底或高的輔助線等方法求面積。在解決全等三角形問題時，可以從結(jié)論、已知條件和條件和結(jié)論綜合考慮來構(gòu)造全等三角形，本專題共梳理出以下常用的幾種作輔助線構(gòu)造三角形全等的方法。
【方法1】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等 【方法2】作垂直構(gòu)造全等；
【方法3】作平行線構(gòu)造全等； 【方法4】延長相交補(bǔ)全圖形構(gòu)造全等；
【方法5】構(gòu)造雙垂直等角全等； 【方法6】倍長中線構(gòu)造全等；
【方法7】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等； 【方法8】旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等；
【方法9】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等拓展； 【方法10】作垂直構(gòu)造全等延伸與拓展；
【方法11】作平行線構(gòu)造全等拓展； 【方法12】構(gòu)造雙垂直等角全等拓展；
【方法13】延長相交構(gòu)造全等拓展； 【方法14】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等拓展.
第二部分【題型梳理與方法點(diǎn)撥】
【方法1】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等；
【例1】（23-24八年級上·山東聊城·階段練習(xí)）已知，，求證：．
【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，連接，證明．即可得到結(jié)論．
解：如圖，連接，
∵，，，
∴
∴．
【變式1】（2024·山東聊城·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，于點(diǎn)，且．若，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：連接，先證明得到，再證明得到，由于，則利用等線段代換得到，構(gòu)建與全等是解決問題的關(guān)鍵．
解：連接，如圖，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
故選：B．
【變式2】（23-24七年級下·河南平頂山·期末）如圖，在中，，，將沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，折痕是，延長交邊于點(diǎn)M，若是的中點(diǎn)，則圖中的的度數(shù)為 ．
【答案】/度
【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先由三角形內(nèi)角和定理求出，再由折疊的性質(zhì)可得由折疊的性質(zhì)可得，，證明，即可得到．
解：∵在中，，，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【方法2】作垂直構(gòu)造全等；
【例2】（22-23八年級上·全國·單元測試）如圖．
(1)在四邊形中，與的面積相等，求證：直線必平分
(2)寫出（1）的逆命題，并判斷這個命題是否正確，為什么
(2)逆命題為：若四邊形的對角線平分對角線，則必將四邊形分成面積相等的兩個三角形．通過證明，判定是真命題
【分析】（1）過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F ，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)G，證明，再證明，得到，即可證明直線平分．
（2）根據(jù)題意，其逆命題為：若四邊形的對角線平分對角線，則必將四邊形分成面積相等的兩個三角形．通過證明，判定是真命題．
本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，逆命題的書寫與真假判定，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
解：（1）證明：過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F ，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)G，
∵與的面積相等，
∴，
∴，
∵
∴．
∴，
∴直線平分．
（2）解：根據(jù)題意，其逆命題為：若四邊形的對角線平分對角線，則必將四邊形分成面積相等的兩個三角形．
證明：過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F ，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)G，
∵直線平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴與的面積相等．
故逆命題是真命題．
【變式1】（23-24八年級上·重慶沙坪壩·期中）如圖，點(diǎn)是等腰的邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，則的值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．16
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，正確作出輔助線，證明是解題關(guān)鍵．過作于，由是等腰直角三角形，得到，，由余角的性質(zhì)推出，進(jìn)而證明，得到，即可求出面積．
解：如圖，過作于，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【變式2】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，過點(diǎn)B作，且使得，連接AD．若，則的面積為 ．
【答案】8
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，與三角形高有關(guān)的計算，過點(diǎn)D作的延長線的垂線，作，垂足為E，先求出，再證明從而得到，利用三角形面積公式即可求解．
解：如圖，過點(diǎn)D作的延長線的垂線，作，垂足為E，
，，
，
，
，，
，
，
，
故答案為：8．
【方法3】作平行線構(gòu)造全等
【例3】（23-24八年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長線上，且．
(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時（如圖1），則有______（填“”“”或“”）；
(2)猜想如圖2，與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】(1) (2)，證明見解析
【知識點(diǎn)】全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)
【分析】（1）由是等邊三角形，得到，，由三線合一得到，，由，得，由外角的性質(zhì)得到，得到，則，證得；
（2）過作交于，先證明是等邊三角形，得到，再用證明，得到，進(jìn)而證得猜想
解：（1）∵是等邊三角形，
∴，．
∵E為的中點(diǎn)，
∴，，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
（2）解：．理由如下：
過E作交于F，

∵是等邊三角形，
∴，．
∴，，即．
∴是等邊三角形．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中
∴．
∴，即．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，在等邊三角形中通過作平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（21-22八年級上·貴州黔西·期末）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC至點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長為（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】過作的平行線交于，通過證明≌，得，再由是等邊三角形，即可得出．
解：過作的平行線交于，
，
是等邊三角形，
，，
是等邊三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在中和中，
，
≌，
，
于，是等邊三角形，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式2】如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．
求讓：
【分析】過點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于點(diǎn)F，根據(jù)等邊三角形和平行線的性質(zhì)得∠MDF=∠MEC，DF=CE，從而證明 FMD CME，進(jìn)而即可得到結(jié)論．
證明：過點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于點(diǎn)F，
∵是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC，
∴是等邊三角形，
∴BD=DF，
∵，
∴DF=CE，
又∵∠FMD=∠CME，
∴ FMD CME，
∴．
【點(diǎn)撥】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，是解題的關(guān)鍵．
【方法4】延長相交補(bǔ)全圖形構(gòu)造全等；
【例4】（22-23八年級上·云南紅河·期末）已知，是等腰直角三角形，，A點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上方．
(1)如圖1所示，若A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)如圖2，過點(diǎn)C作軸于D，請直接寫出線段之間等量關(guān)系；
(3)如圖3，若x軸恰好平分與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作軸于F，問與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)，理由見解析．
【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、全等三角形綜合問題、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）
【分析】（1）如圖1，過點(diǎn)作軸，軸，則四邊形為矩形，證明，得到，，即可確定的坐標(biāo)；
（2）；證明，得到，，即可解答；
（3），如圖3，延長，相交于，證明，得到，再證明，得到，即可解答．
本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等，并利用全等三角形的性質(zhì)得到相等的線段．
解：（1）如圖1，過點(diǎn)作軸，軸，則四邊形為矩形，
的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
，，
軸，
，，
，
，
，
在和中，
∴，
，，
，
；
（2）解：；過程如下：
軸，
，，
，
，
，
在和中，
∴，
，，
，
．
（3）解：，過程如下：
如圖3，延長，相交于，
證明，．
軸恰好平分，
，
軸，
，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
【變式1】（23-24八年級上·重慶渝北·階段練習(xí)）如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)D，，交的延長線于點(diǎn)E，若，則長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計算、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．延長、交于點(diǎn)，先證明，得到，再證明，得到，即可求出長．
解：如圖，延長、交于點(diǎn)，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故選：C．
【變式2】（21-22七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，已知，平分，且，為上一點(diǎn)，，，則 ．
【答案】/12度
【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計算、三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線．
延長交于點(diǎn)F，先證明，則，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)并結(jié)合已知條件可逐步推得．
解：如圖，延長交于點(diǎn)F．
∵平分，且，
∴，
又，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故答案為：．
【方法5】構(gòu)造雙垂直等角全等；
【例5】D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN，DM，DN分別交BC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時，求證：DE=DF．
（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積．
【答案】（1）證明見解析．（2）．
分析：（1）連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，則∠BCD=45°，∠CDA=90°，由DM⊥DN得∠EDF=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根據(jù)全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到結(jié)論；（2）由△DCE≌△ADF，則S△DCE=S△ADF，于是四邊形DECF的面積=S△ACD，而AB=2可得CD=DA=1，根據(jù)三角形的面積公式易求得S△ACD，從而得到四邊形DECF的面積．
解：（1）連CD，如圖，
∵D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，
∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，
∵DM⊥DN，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠ADF，
在△DCE和△ADF中，
，
∴△DCE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF；
（2）∵△DCE≌△ADF，
∴S△DCE=S△ADF，
∴四邊形DECF的面積=S△ACD，
而AB=2，
∴CD=DA=1，
∴四邊形DECF的面積=S△ACD=CD DA=．
【變式1】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了梯形面積的計算，本題中求證是解題的關(guān)鍵．作，易證，求四邊形的面積即可解題．
解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)A，于點(diǎn)E，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四邊形的面積＝四邊形的面積，
∵四邊形的面積，
∴四邊形的面積為；
故選C．
【變式2】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，、是高，、相交于，，連接，，的面積為7．則的面積等于 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積計算，先證明得到；；如圖所示，過點(diǎn)E分別作的垂線，垂足分別為G、H，則可證明得到，根據(jù)三角形面積公式得到，進(jìn)而得到，由此求解即可．
解：∵在中，、是高，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如圖所示，過點(diǎn)E分別作的垂線，垂足分別為G、H，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【方法6】倍長中線構(gòu)造全等；
【例6】（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·期中）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，，，．回答下列問題：
(1)求證：和是兄弟三角形．
(2)取的中點(diǎn)，連接，試說明．小王同學(xué)根據(jù)要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線（點(diǎn)）倍延”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題．
①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造，并證明．
②求證：．
【分析】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）證出，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；
（2）①延長至，使，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出；
②證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論．
（1）證明：，
，
又，，
和是兄弟三角形；
（2）證明：①延長至，使，
為的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
∴，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
【變式1】（2024·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·三模）生命中總有些節(jié)點(diǎn)，如同一條線段的中點(diǎn)，它既是過去與未來的交匯，也是靜默與喧囂的界碑．如圖，點(diǎn)D是的邊上的中線，，，則的取值范圍為（ ）．

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定以及三角形的三邊關(guān)系．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
延長到，使，連接，證，推出，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出即可．
解：延長到，使，連接，
點(diǎn)D是的邊上的中線，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
故選：A．
【變式2】（23-24七年級下·山東濟(jì)南·期末）如圖，中，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接并延長交于．若，，，那么的長度為 ．
【答案】12
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，延長到使，連接，通過，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，推出即可得解決問題．
解：如圖，延長到使，連接，
在與中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，即，
，
故答案為：．
【方法7】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等；
【例7】（23-24八年級上·江西南昌·期中）綜合與實(shí)踐
問題提出
如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，則，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
方法運(yùn)用

（1）我們可以通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形來解題．如圖2，延長至點(diǎn)E，使得，連接，……，請判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并補(bǔ)充完整解題過程．
（2）以上方法叫做“補(bǔ)短法”．我們還可以采用“截長法”，即通過在上截取線段構(gòu)造全等三角形來解題．如圖3，在線段上截取，使得①______，連接②______．請補(bǔ)全空格，并在圖3中畫出輔助線．
延伸探究
（3）小明發(fā)現(xiàn)“補(bǔ)短法”或“截長法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問題．如圖4，在五邊形中，，，，若，求的度數(shù)．
【答案】（1），見解析（2）①AC ②DF，見解析（3）
【分析】（1）利用證明，得出，從而證得，所以，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)語言描述作出圖形即可；
（3）延長至點(diǎn)G，使，連接，利用證明，得出，，從而可證得．即可利用證明，得出，即可由求解．
解：（1）．
理由：∵平分，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）①AC ②DF．
輔助線如圖1所示．

（3）如圖2，延長至點(diǎn)G，使，連接，．

∵，，
∴．
∵，，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（19-20八年級上·湖北黃岡·期中）如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關(guān)系是（　　）
A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定
【答案】C
【分析】在AB上截取AF＝AD，連接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再證明△BCE≌△BFE，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得出三條線段之間的關(guān)系.
解：如圖所示，在AB上截取AF＝AD，連接EF，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠DAB=180°，
又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB
∴∠ABE+∠EAB==90°，
∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，
在△ADE和△AFE中，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
所以∠1＝∠2，
又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，
所以∠3＝∠4，
在△BCE和△BFE中，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
所以BC＝BF，
所以AB＝AF+BF＝AD+BC；
故選C．
【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，截長補(bǔ)短是證明線段和差關(guān)系的常用方法.
【變式2】（20-21七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，，，且AE=AB，連接交的延長線于點(diǎn)，，則 ．
【答案】
【分析】在CD上截取CG=CF，連接AG，可得，設(shè)AC=CD=3x，則CF=CG=2x，GD=x，再證明，進(jìn)而即可求解．
解：在CD上截取CG=CF，連接AG，
∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°，
∴，
∴∠AGC=∠CFD，
設(shè)AC=CD=3x，則CF=CG=2x，GD=x，
∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB，
又∵AE=AB，
∴，
∴AF=BG=5x，
∴BD=BG-GD=4x，
∴．
【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．
【方法8】旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等；
【例8】（22-23八年級上·湖北孝感·期中）已知：，，．
(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．
(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）
【答案】(1) (2)，理由見解析
【分析】（1）由全等可知，所以當(dāng)點(diǎn)在上時，為等腰三角形，依據(jù)已知計算即可．
（2）因為兩個三角形中有一邊相等，只要找到這兩個底對應(yīng)高之間的關(guān)系即可．
解： （1），
，
又，，
，
在中，，
故答案為：．
（2）如下圖所示：過點(diǎn)作的邊上的高，過點(diǎn)作的邊上的高，由作圖及知：
，，，
（同角的余角相等），
在與中有：
（），
，
，，
，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是使用分析法找到:兩個三角形面積相等時，底相等則高相等，從而構(gòu)造全等證明對應(yīng)高相等．
【變式1】（21-22九年級上·湖北·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，E為直線上方的一點(diǎn)，且滿足，連接，以為腰，A為直角頂點(diǎn)作等腰，連接，當(dāng)最大，且最大值為時，則 ．
【答案】2
【分析】如圖1中，將線段CA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AH，連接CH，DC．首先證明△DAH≌△EAC（SAS），推出DH＝CE，由CD≤DH＋CH，推出當(dāng)D，C，H共線時，DC最大，如圖2中，設(shè)AC=x，則BC=CE=DH=x，CH=，列方程，即可解決問題．
解：如圖1中，將線段CA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AH，連接CH，DC．
∵∠DAE＝∠HAC＝90°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∵DA＝EA，HA＝CA，
∴△DAH≌△EAC（SAS），
∴DH＝CE，
∵CD≤DH＋CH，，
∴當(dāng)D，C，H共線時，DC最大值=，如圖2中，
設(shè)AC=x，則BC=CE=DH=x，CH=，
∴+x=，解得：x=1，
∴AB=2AC=2．
故答案是：2．
【點(diǎn)撥】點(diǎn)評：本題考查旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形．
【變式2】（22-23八年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖所示，且，為直角三角形，，已知，，則四邊形的面積為（ ）
A． B．15 C． D．20
【答案】C
【分析】過A作，過D作，垂足為E，證明，根據(jù)四邊形的面積即可求解．
解：過A作，過D作，垂足為E，如圖，
∴，
∵且，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴四邊形的面積為
．
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【方法9】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等拓展；
【例9】已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，CE，CE⊥AE，過點(diǎn)B作BD⊥AE，交AE的延長線于D．

（1）如圖1，求證BD=AE；
（2）如圖2，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M為CH上的一點(diǎn)，連接EM，點(diǎn)F為EM的中點(diǎn)，連接FH，過點(diǎn)D作DG⊥FH，交FH的延長線于點(diǎn)G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長．
【答案】（1）見解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BD即可；
（2）根據(jù)全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（3）過點(diǎn)M作MS⊥FH于點(diǎn)S，過點(diǎn)E作ER⊥FH，交HF的延長線于點(diǎn)R，過點(diǎn)E作ET∥BC，根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)解答即可．
解：證明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ACE＝∠BAD，
在△CAE與△ABD中
∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴AE＝BD；
（2）連接AH
∵AB＝AC，BH＝CH，
∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴AH＝BH，
∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，
∴∠EAH＝∠DBH，
在△AEH與△BDH中
∴△AEH≌△BDH（SAS），
∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，
∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°
即∠EHD＝90°，
∴∠EDH＝∠DEH＝；
（3）過點(diǎn)M作MS⊥FH于點(diǎn)S，過點(diǎn)E作ER⊥FH，交HF的延長線于點(diǎn)R，過點(diǎn)E作ET∥BC，交HR的延長線于點(diǎn)T．
∵DG⊥FH，ER⊥FH，
∴∠DGH＝∠ERH＝90°，
∴∠HDG+∠DHG＝90°
∵∠DHE＝90°，
∴∠EHR+∠DHG＝90°，
∴∠HDG＝∠HER
在△DHG與△HER中
∴△DHG≌△HER （AAS），
∴HG＝ER，
∵ET∥BC，
∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，
∠ETF＝∠FHM，
∵∠EHB＝∠BHG，
∴∠HET＝∠ETF，
∴HE＝HT，
在△EFT與△MFH中
，
∴△EFT≌△MFH（AAS），
∴HF＝FT，
∴，
∴ER＝MS，
∴HG＝ER＝MS，
設(shè)GH＝6k，F(xiàn)H＝5k，則HG＝ER＝MS＝6k，
，
k＝，
∴ER=，
∴HE＝．
【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于壓軸題．
【變式1】（23-24八年級上·安徽馬鞍山·期末）如圖，已知，，為平面內(nèi)一動點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，上兩點(diǎn)，，．下面能表示最小值的線段是（ ）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
【答案】B
【分析】連接，根據(jù)， ， ， ，證明 ，結(jié)合，證明，得到，根據(jù)，得到 的最小值為的長．
本題主要考查了全等三角形，線段和的最小值．熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．
解：如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值為的長．
故選：B．
【變式2】（23-24七年級下·遼寧丹東·期中）如圖，在中，，的角平分線，相交于點(diǎn)P，過P作交的延長線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論①；②；③；④；⑤，正確的序號是 ．
【答案】①②④⑤
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理則可判斷結(jié)論①；證明，可判斷結(jié)論②；無法得出結(jié)論③；證明，可判斷結(jié)論④；連接，，證明，結(jié)合全等的性質(zhì)可得，，，最后根據(jù)進(jìn)行恒等變換后即可判斷結(jié)論⑤．
解：在中，，
∴，
又∵、分別平分、，
∴，
，，
∴，故結(jié)論①正確；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，故結(jié)論②正確；
∴，
無法得出，故結(jié)論③錯誤；
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，故結(jié)論④正確；
連接，，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，故結(jié)論⑤正確．
故答案為：①②④⑤．
【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，平行線的判定等知識點(diǎn)．證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【方法10】作垂直構(gòu)造全等延伸與拓展；
【例10】（23-24八年級上·福建莆田·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，．

(1)求的值；
(2)當(dāng)時．
①求三角形的面積；
②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使與全等？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)1 (2)①②存在，符合條件的的坐標(biāo)是或或
【分析】（1）過點(diǎn)C作軸于E，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，即可得出答案．
（2）根據(jù)梯形面積減去兩個三角形的面積，可得出答案；
（3）分為三種情況討論，分別畫出符合條件的圖形，構(gòu)造直角三角形，證出三角形全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得出答案．
解：（1）解：過點(diǎn)C作軸于E，如圖：

∵，
∴，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
則
（2）解：①如圖

因為
所以，，
所以三角形的面積為；
②存在點(diǎn)，使與全等，
分為三種情況：
第一種情況：如圖，過作軸于，則，

∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即的坐標(biāo)是；
第二種情況：如圖，過作軸于，過作軸于，

則，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
設(shè)點(diǎn)
∴，，
∵，軸，
∴，
故，
則，
即的坐標(biāo)是；
第三種情況：如圖，過作軸于，

則，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即的坐標(biāo)是，
綜合上述，符合條件的的坐標(biāo)是或或．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，割補(bǔ)法求三角形的面積，垂線模型，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，難度較大，綜合性較強(qiáng)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，用了分類討論思想．
【變式1】如圖，AOOM，OA=8，點(diǎn)B為射線OM上的一個動點(diǎn)，分別以O(shè)B、AB為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，在OM兩側(cè)作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，連接EF交OM于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上移動時，PB的長度是 ( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的長度隨B點(diǎn)的運(yùn)動而變化
【答案】B
【分析】作輔助線，首先證明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；進(jìn)而證明△BPF≌△MPE，即可解決問題．
解：如圖，過點(diǎn)E作EN⊥BM，垂足為點(diǎn)N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均為等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO與△BEN中，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF與△NPE中，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP=BN；而BN=AO，
∴BP=AO=×8=4，
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析或解答．
【變式2】（22-23八年級上·湖北宜昌·期中）如圖所示，平分，，于點(diǎn)，，，那么的長度為 ．
【答案】
【分析】過C作的延長線于點(diǎn)F，由條件可證，得到．再由條件，由，由全等的性質(zhì)可得，問題可得解．
解：證明：如圖，
過C作的延長線于點(diǎn)F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵cm，cm，
∴，
∴cm，
∴cm．
故答案為：3
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握常用的判定方法為： 是解決問題的關(guān)鍵．
【方法11】作平行線構(gòu)造全等拓展；
【例11】（20-21八年級上·浙江·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)Q在x軸的負(fù)半軸上，且分別以、為腰，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)在第一、第二象限作等腰、等腰，連接交y軸于P點(diǎn)，則的值為 ．
【答案】7．
【分析】先過N作NH∥CM，交y軸于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根據(jù)點(diǎn)C（0，4），S△CQA＝12，求得AQ＝6，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝3，即可求得OP．
解：過N作NH∥CM，交y軸于H，則∠CNH+∠MCN＝180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN＝180°，
∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，
∴∠CNH＝∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO＝90°，∠QAC+∠ACO＝90°，
∴∠HCN＝∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH＝AQ，HN＝QC，
∵QC＝MC，
∴HN＝CM，
∵點(diǎn)C（0，4），S△CQA＝12，
∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12，
∴AQ＝6，
∴CH＝6，
∵NH∥CM，
∴∠PNH＝∠PMC，
∴在△PNH和△PMC中，
，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP＝PH＝CH＝3，
又∵CO＝4，
∴OP＝3+4＝7；
故答案為：7．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積計算以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)計算．
【變式1】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖所示，中，，M、N分別為、上動點(diǎn)，且，連、，當(dāng)最小時，（　　）．
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】過B點(diǎn)在下方作，且，鏈接，，先證明，即有，則，當(dāng)A、M、H三點(diǎn)共線時，值最小，再證明，問題隨之得解．
解：如圖，過B點(diǎn)在下方作，且，鏈接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)A、M、H三點(diǎn)共線時，值最小，
如圖，
此時∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2】（20-21八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，等邊△ABC，D為CA延長線上一點(diǎn)，E在BC邊上，且AD＝CE，連接DE交AB于點(diǎn)F，連接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面積為2，則DB＝ ．
【答案】2
【分析】過點(diǎn)D作DG∥BC，與BA的延長線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，證明△ADG是等邊三角形，再證明△BDG≌△DEC，得DB＝DE，進(jìn)而證明∠BDE＝30°，得EH＝BD，再根據(jù)三角形的面積公式求得BD．
解：過點(diǎn)D作DG∥BC，與BA的延長線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠C＝60°＝∠ABC＝∠AGD，
∵∠DAG＝∠BAC＝60°，
∴△ADG是等邊三角形，
∴AD＝AG＝DG，
∵AD＝CE，
∴AB+AG＝AC+AD，
∴BG＝CD，
在△BDG和△DEC中，
，
∴△BDG≌△DEC（SAS），
∴∠BDG＝∠DEC，BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠BFE＝45°，∠EBF＝60°，
∴∠DEB＝∠DBE＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝75°，
∴∠BDE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴EH＝DE，
∴EH＝BD，
∵△DBE的面積為2，
∴，即，
∴BD＝2 ．
故答案為2．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，關(guān)鍵在于作平行線構(gòu)造全等三角形．
【方法12】構(gòu)造雙垂直等角全等拓展；
【例12】在中，，點(diǎn)是射線上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時，那么 度；
(2)設(shè)，．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，時，請你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，時，請將圖3補(bǔ)充完整，并直接寫出此時與之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．
【答案】(1)90
(2)①，證明見解析；②，圖見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可得；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形兩個銳角互余即可求解；
（2）①根據(jù)題意可得；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°即可求解；
②根據(jù)題意可得；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和推得，即可求解．
解：（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①解：，理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴；
②如圖：；
證明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
【變式1】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，則四邊形ABCD的面積為 ．
【答案】12.5
【分析】過A作AE⊥AC，交CB的延長線于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，根據(jù)S△ACE=×5×5=12.5，即可得出結(jié)論．
解：如圖，過A作AE⊥AC，交CB的延長線于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB（ASA），
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，
∵S△ACE=×5×5=12.5，
∴四邊形ABCD的面積為12.5，
故答案為12.5．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題
【變式2】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)B、A分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，，則等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】過C作軸于M，軸于N，推出證，推出，求出，代入求出即可．
解：過C作軸于M，軸于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
．
故選:A．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，關(guān)鍵是推出AM=BN和推出．
【方法13】延長相交構(gòu)造全等拓展；
【例13】（20-21八年級上·湖北武漢·期中）如圖，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分線交于點(diǎn)O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x，其中60°＜x＜90°，則∠OAC的度數(shù)是 °．（用含x的式子表示）
【答案】（180﹣）
【分析】延長CA至E，使AE＝AB，連接BO，EO，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠E＝＝90°﹣，由“SAS”可證△EAO≌△BAO，可得∠E＝∠ABO＝90°﹣，由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解．
解：如圖，延長CA至E，使AE＝AB，連接BO，EO，
∵AB＝OC﹣AC，
∴AB+AC＝OC＝AE+AC，
∴EC＝OC，
∴∠E＝∠EOC，
∴∠E＝＝90°﹣，
∵AO平分∠NAC，
∴∠NAO＝∠OAC，
∵∠BAC＝∠EAN，
∴∠EAO＝∠BAO，
在△EAO和△BAO中，
，
∴△EAO≌△BAO（SAS），
∴∠E＝∠ABO＝90°﹣，
∵△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分線交于點(diǎn)O，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABO＝180°﹣x°，
∵∠NAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠NAC＝180°﹣x+180°﹣2x＝360°﹣3x，
∴∠OAC＝180°﹣，
故答案為：（180﹣）．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．
【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠ACB外角的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長線于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接CE并延長交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正確的有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤
【答案】D
解：試題解析：①利用公式：∠CDA=∠ABC=45°，①正確；
②如圖：延長GD與AC交于點(diǎn)P'，
由三線合一可知CG=CP'，
∵∠ADC=45°，DG⊥CF，
∴∠EDA=∠CDA=45°，
∴∠ADP=∠ADF，
∴△ADP'≌△ADF（ASA），
∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正確；
③如圖：
∵∠EDA=∠CDA，
∠CAD=∠EAD，
從而△CAD≌△EAD，
故DC=DE，③正確；
④∵BF⊥CG，GD⊥CF，
∴E為△CGF垂心，
∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均為等腰直角三角形，
∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+CD，故④錯誤；
⑤如圖：作ME⊥CE交CF于點(diǎn)M，
則△CEM為等腰直角三角形，從而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，
∵∠MFE=∠CGE，
∠CEG=∠EMF=135°，
∴△EMF≌△CEG（AAS），
∴GE=MF，
∴CF=CM+MF=2CD+GE，
故⑤正確；
故選D
點(diǎn)撥：本題考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形垂心的定義和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等多個知識點(diǎn)，技巧性很強(qiáng)，難度較大，要求學(xué)生具有較高的幾何素養(yǎng)．對于這一類多個結(jié)論的判斷型問題，熟悉常見的結(jié)論及重要定理是解決問題的關(guān)鍵，比如對第一個結(jié)論的判定，若熟悉該模型則可以秒殺．
【變式2】如圖，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,連CD,下列結(jié)論:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正確的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】①作高線EH，先根據(jù)角平分線定理得：CE=EH，再證明△ACE≌△AHE(AAS)可得：AH=AC，根據(jù)線段的和可得結(jié)論；
②先證明點(diǎn)A，B，D，C在以AB為直徑的圓上，得∠ADC=∠ABC=45°，所以可得∠BDC=135°；
③作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△ACE≌△BCG，根據(jù)等腰三角形三線合一得BD=DG，知道：△BDC和△CDG的面積相等，由此可得：；
④根據(jù)③知：AB=AG=AC+CG，在△CDG中，可知CD>CG，從而得結(jié)論．
解：①過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，如圖1，
∵∠ABC=45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
∵AE平分∠CAB，
∴EH=CE，
∴CE=BH，
在△ACE和△AHE中，
∵ ，
∴△ACE≌△AHE(AAS)，
∴AH=AC，
∴AB AC=AB AH=BH=CE，
故①正確；
②∵∠ACB=90°，BD⊥AE于D，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴點(diǎn)A，B，D，C在以AB為直徑的圓上，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°+45°=135°
故②正確；
③如圖2，延長BD、AC交于點(diǎn)G，
∵AD平分∠BAG，AD⊥BG，
∴BD=DG，
∴CD是Rt△BCG的斜邊的中線，
∴CD=BD， ，
∴∠DBC=∠DCB=22.5°，
∴∠CBG=∠CAE=22.5°，
∵AC=BC，∠ACE=∠BCG，
∴△ACE≌△BCG，
∴ ，
故③正確；
④∵AB=AG=AC+CG，
∵BG=2CD>AC，CD>CG，
∴AB≠3CD，
故④錯誤，
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的形判定和性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線，掌握輔助線的做法證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.
【方法14】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等拓展.
【例14】（23-24八年級上·貴州遵義·期末）在中，，點(diǎn)E為上一動點(diǎn)，過點(diǎn)A作于D，連接．

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】
如圖①，與的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)【嘗試探究】
點(diǎn)E在運(yùn)動過程中，的大小是否改變，若改變，請說明理由，若不變，求的度數(shù)；
(3)【深入思考】
如圖②，若E為中點(diǎn)，探索與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1) (2)的大小不變， (3)
【分析】此題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．
（1）由，得，而，所以，于是得到問題的答案；
（2）作交于點(diǎn)F，則，而，即可證明，得，則，所以的大小不改變，；
（3）作交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，可證明，得，由，得，則，由，得，則，所以，即可推導(dǎo)出．
解：（1）∵
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
（2）的大小不改變，
如圖①，作交于點(diǎn)F，則，

∴，
由（1）得，
∵
∴，
∴，
∴，
∴的大小不改變，．
（3）E，
理由：如圖②，作交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，則

∴，
∵E為中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，則線段EF的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】在BE上截取BG＝DF，先證△ADF≌△ABG，再證△AEG≌△AEF即可解答．
解：在BE上截取BG＝DF，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ADF與△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAE＝∠GAE，
在△AEG與△AEF中
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．
故選：B．
【點(diǎn)撥】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2】（2024八年級·全國·競賽）如圖，在中，，，分別為的角平分線，求證：．
【分析】本題考查了角平分線定義，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，在上截取，連接，證明，得到，，由三角形內(nèi)角和定理得到，由三角形外角性質(zhì)得到，得到，進(jìn)而得到，由平分，可得到，進(jìn)而得到，即可求證，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
證明：在上截取，連接，
∵平分，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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