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專題12.7 全等三角形的判定（HL）（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】直角三角形全等的判定方法——斜邊、直角邊（HL）
（1）判定方法：斜邊和一條直角邊分別對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.
（2）書寫格式：
如圖，在Rt△ABC和△Rt中，
【知識點二】判定兩個直角三角形全等的方法
判定一般三角形全等的方法對判定兩個直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”這五種方法來判定兩個直角三角形全等.
【知識點三】判定兩個直角三角形全等的思路
已知一條直角邊對應相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；
已知斜邊對應相等，可用判定方法“HL”“AAS”;
已知一銳角對應相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】用“HL”證明直角三角形全等
【例1】（23-24八年級上·廣西南寧·期中）已知，如圖，點、、、在同一條直線上，，，，
（1）求證：；
（2）若，求的度數
【答案】(1)見解析； (2)
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理：
（1）先證，再證即可；
（2）根據可得，再根據三角形內角和定理即可求解．
（1）證明：，，
和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【變式1】如圖，已知，，若用判定和全等，則需要添加的條件是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圖示可知為公共邊，若想用判定證明和全等，必須添加．
解：∵，，
∴，
.，符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項符合題意；
.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項不符合題意；
.，不符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項不符合題意；
.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項不符合題意；
故選：．
【點撥】此題考查了對全等三角形判定定理的理解和掌握，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
【變式2】（23-24八年級上·北京朝陽·階段練習）如圖，，于點D，于點E，，若，則 ．

【答案】/度
【分析】證得，即可求解；
解：∵，，
∴是直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點撥】本題主要考查三角形的全等證明及性質，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．
【題型2】全等的性質與“HL”綜合
【例2】（23-24八年級下·山東青島·期中）已知：如圖為的高，為上一點，交于且有，．
（1）問與的數量和位置關系分別是什么？并說明理由．
（2）直接寫出的度數．
【答案】(1)，，見解析； (2)
【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質、直角三角形的兩個銳角互余、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和等知識，證明是解題的關鍵．
（1）由已知得，由，，，根據“”證明，得，所以，則；
（2）由全等三角形的性質得，而，所以．
解：（1），，
理由：由已知得，
為的高，
于點，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）的度數是，
理由：由（1）得，
，
，
．
【變式1】（23-24八年級上·山東菏澤·期末）如圖，中，，于點D，于點F，交于點E，，連接交于點G．下列結論：①；②；③．其中正確的有（ ）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】D
【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質，余角的性質，外角的性質，先根據，，證明，得到，，，結合，，繼而得到，得，判斷即可．
解：∵，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
故①②③都正確．
故選D．
【變式2】（23-24八年級上·吉林·期末）如圖，在中，M為邊的中點，于點E ，于點F，且．若，則 °．
【答案】50
【分析】證明，可得，利用三角形內角和計算即可得答案．此題考查了直角三角形全等的證明方法和性質，三角形內角和定理，證明是解題的關鍵．
解：∵M為邊的中點，于點E ，于點F，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：50．
【題型3】全等三角形的綜合問題
【例3】（23-24七年級下·廣東佛山·階段練習）如圖，中，，D是延長線上一點，點E是的平分線上一點，過點E作于F，于G．
（1）求證：；
（2）若，，，求的長．
【答案】(1)見詳解； (2)1
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
（1）由角平分線的定義以及垂直的定義，利用即可證明；
（2）先利用證明，得到，繼而得到，而，則，即可求解．
（1）證明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
【變式1】（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，交于點，交于點，，，，給出下列結論：；②；③；，其中正確的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質，證明得出，即可判斷①②；證明即可判斷③；證明得出，即可判斷④，從而得出答案．
解：，，，
，
，，故②正確，符合題意；
，即，故①正確，符合題意；
，
，
，，
，故③正確，符合題意；
，
，
，
，
，
，，
，
，
和不一定相等，故④錯誤，不符合題意；
綜上所述，正確的有①②③，
故選：A．
【變式2】（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，中，，平分，，，以下四個結論：
①，
②，
③，
④．正確的是 ．
【答案】①②④
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，由即可判斷①；根據角平分線的定義和平行線的性質即可證明，可判斷②；不能證明與不一定全等，即可判斷③；根據和互余，和互余，而，可得，即可判斷④．
解：∵，
∴，故①正確；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正確；
∵，而與不一定垂直，
∴與不一定全等，
故與不一定相等，故③錯誤；
∵，
∴和互余，和互余，而，
∴，故④正確．
故答案為：①②④．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·陜西·中考真題）如圖，在中，，．過點作，垂足為，延長至點．使．在邊上截取，連接．求證：．

【分析】利用三角形內角和定理得的度數，再根據全等三角形的判定與性質可得結論．
證明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【點撥】此題考查的是全等三角形的判定與性質，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．
【例2】（2023·山東·中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點均在小正方形方格的頂點上，線段交于點，若，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三角形外角的性質及平行線的性質可進行求解．
解：如圖，

由圖可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選C．
【點撥】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，從點O引射線，，點A，B分別在射線，上，點C為平面內一點，連接，，有．
（1）如圖1，若，則和的位置關系是______；
（2）如圖2，若，，請求出和的度數的等量關系式；
（3）在（2）的條件下，過點C作交射線于點D，當時，求的度數．
【答案】(1)； (2)；(3)
【分析】此題考查了平行線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質、三角形的外角性質是解題的關鍵．
（1）根據平行線的性質得到，結合題意判定，根據全等三角形的性質得出，即可判定；
（2）根據全等三角形的性質及題意得到，再利用三角形內角和定理及三角形外角性質即可得解；
（3）根據三角形外角性質、平行線的性質及題意即可得解．
（1）證明：，過程如下
，
，
在和中，
，
，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
由（2）得，，
，
．
【例2】（22-23九年級下·山東濱州·期中）（1）如圖1，在四邊形中，，，且，求證：．
（2）如圖2，若在四邊形中，，，分別是上的點，且，上述結論是否仍然成立？請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）結論仍然成立；理由見解析
【分析】本題主要考查的是三角形的綜合題，主要涉及三角形全等的判定與性質，作輔助線構造全等三角形是解此題的關鍵．
（1）延長到，使，連接，根據證明可得，再證明，可得，即可得出結論；
（2）延長到，使，連接，根據證明可得，再證明，可得，即可得出結論．
證明：如圖，延長到，使，連接，
則，
又，
∴，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）結論仍然成立，理由如下：
如圖，延長到，使，連接，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
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專題12.7 全等三角形的判定（HL）（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】直角三角形全等的判定方法——斜邊、直角邊（HL）
（1）判定方法：斜邊和一條直角邊分別對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.
（2）書寫格式：
如圖，在Rt△ABC和△Rt中，
【知識點二】判定兩個直角三角形全等的方法
判定一般三角形全等的方法對判定兩個直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”這五種方法來判定兩個直角三角形全等.
【知識點三】判定兩個直角三角形全等的思路
已知一條直角邊對應相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；
已知斜邊對應相等，可用判定方法“HL”“AAS”;
已知一銳角對應相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】用“HL”證明直角三角形全等
【例1】（23-24八年級上·廣西南寧·期中）已知，如圖，點、、、在同一條直線上，，，，
（1）求證：；
（2）若，求的度數
【變式1】如圖，已知，，若用判定和全等，則需要添加的條件是（　　）

A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級上·北京朝陽·階段練習）如圖，，于點D，于點E，，若，則 ．

【題型2】全等的性質與“HL”綜合
【例2】（23-24八年級下·山東青島·期中）已知：如圖為的高，為上一點，交于且有，．
（1）問與的數量和位置關系分別是什么？并說明理由．
（2）直接寫出的度數．
【變式1】（23-24八年級上·山東菏澤·期末）如圖，中，，于點D，于點F，交于點E，，連接交于點G．下列結論：①；②；③．其中正確的有（ ）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式2】（23-24八年級上·吉林·期末）如圖，在中，M為邊的中點，于點E ，于點F，且．若，則 °．
【題型3】全等三角形的綜合問題
【例3】（23-24七年級下·廣東佛山·階段練習）如圖，中，，D是延長線上一點，點E是的平分線上一點，過點E作于F，于G．
（1）求證：；
（2）若，，，求的長．
【變式1】（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，交于點，交于點，，，，給出下列結論：；②；③；，其中正確的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【變式2】（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，中，，平分，，，以下四個結論：
①，
②，
③，
④．正確的是 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·陜西·中考真題）如圖，在中，，．過點作，垂足為，延長至點．使．在邊上截取，連接．求證：．

【例2】（2023·山東·中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點均在小正方形方格的頂點上，線段交于點，若，則等于（ ）

A． B． C． D．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，從點O引射線，，點A，B分別在射線，上，點C為平面內一點，連接，，有．
（1）如圖1，若，則和的位置關系是______；
（2）如圖2，若，，請求出和的度數的等量關系式；
（3）在（2）的條件下，過點C作交射線于點D，當時，求的度數．
【例2】（22-23九年級下·山東濱州·期中）（1）如圖1，在四邊形中，，，且，求證：．
（2）如圖2，若在四邊形中，，，分別是上的點，且，上述結論是否仍然成立？請說明理由．
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