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專題12.9 角平分線的性質（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】角的平分線的性質
(1)性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.
(2)符號語言：
OC平分∠ADB，
又PE⊥AD，PF⊥BD，垂足為E、F，
PE=PF
【知識點二】角的平分線的判定
　(1)判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
(2)符號語言：
PE⊥AD，PF⊥BD，垂足為E、F，
又PE=PF
OC平分∠ADB，
【知識點三】角的平分線的尺規作圖
（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.
　　（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.
　　（3）畫射線OC.
射線OC即為所求.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】利用角平分線性質定理進行求值與證明
【例1】（23-24七年級下·山東菏澤·階段練習）如圖，在中，，于點，平分交于點，交于點，過點作，交于點，連接．
（1）求證：；
（2）求證：；
【分析】本題考查了角平分線的性質，平行線的性質，垂直的定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
（1）證明，即可證明結論成立； （2）利用角平分線性質定理即可證明結論成立．
（1）證明：∵，
∴
，
∴
∵
（2）證明：∵，
∴
平分，，
【變式1】（23-24七年級下·廣東佛山·階段練習）如圖，平分，點P是射線上一點，交于點M，點N是射線上的一個動點，連接．若，則的長度不可能是（ ）
A．18 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本題考查角平分線的性質、垂線段最短，根據角平分線的性質作出圖形轉化線段是解決問題的關鍵．
過點作，如圖所示，由角平分線的性質可得，根據點與直線上各點的距離中垂線段最短可得，從而得到答案．
解：過點作，如圖所示：
平分，點是射線上一點，于點，，
由角平分線性質可得，
點射線上的一個動點，連接，
由點與直線上各點的距離中垂線段最短可得，
綜合四個選項可知，的長度不可能是，
故選：D．
【變式2】（23-24七年級下·四川巴中·期末）如圖，在中，，的平分線交于點O，點O到邊的距離為3，且的周長為20，則的面積為 ．
【答案】30
【分析】本題考查角平分線的性質、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質是解答的關鍵．過O作于M，于N，連接，利用角平分線的性質求得，然后利用求解即可．
解：過O作于M，于N，連接，
∵點O到邊的距離為3，
∴，
∵的周長為20，
∴
∵，的平分線交于點O，，，
∴，
∴
，
故答案為：30．
【題型2】利用角平分線判定定理進行求值與證明
【例2】如圖，于于F，若，
（1）求證：平分；
（2）已知，求的長．
【答案】(1)見詳解 (2)12
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
（1）求出，根據全等三角形的判定定理得出，推出，根據角平分線性質得出即可；
（2）根據全等三角形的性質得出，即可求出答案．
（1）證明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式1】如圖，在中，，，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作于點E，作于點F，根據可證，從而可知是的平分線，進而可求出的度數．
解：如圖，作于點E，作于點F，
∵，
∴．
∵，，
∴
∴，
∴是的平分線．
∴．
故選C．
【變式2】6．（23-24八年級上·山東聊城·階段練習）如圖，在中，，三角形的外角和的平分線交于點E，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線的性質和角平分線的定義，解題的關鍵是能正確作出輔助線，證明平分；
過點E作，根據角平分線的性質可得，則有，再根據，即可得出平分即可解答．
解：過點E作，如圖所示：
三角形的外角和的平分線交于點E，
，
，
，
平分，
，
故答案為：．
【題型3】綜合運用角平分線性質定理與判定定理進行證明與求值
【例3】如圖，和中，，連接與交于點M，與交于點N．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）連接，有以下兩個結論：①平分；②平分，其中正確的一個是　　　　（請寫序號），并給出證明過程．
【答案】(1)見詳解 (2)見詳解 (3)②
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、角平分線的判定與性質定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會添加常用輔助線解決問題．
（1）欲證明，只要證明；
（2）由，推出，由可得；
（3）結論：②；作于于J．利用角平分線的判定定理證明即可．
（1）證明：∵
∴
即
在和中，
∴
∴．
（2）證明：∵
∴
∵
又，
，
∴，
∴
（3）解：結論：②
理由：作于于J．
∵
∴
∴ ，
∴，
∵作于K，于J，
∴
不妨設①成立，則，則顯然不可能，故①錯誤．
故答案為：②．
【變式1】（23-24八年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，，M是的中點，平分，且，則的度數是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質和判定，解題的關鍵是掌握角平分線上的點到兩邊距離相等．作于N，根據角平分線的性質得出，進而得出．
解：作于N，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵M是的中點，
∴，
∴，
又，，
∴，
故選：B．

【變式2】（23-24八年級上·重慶永川·期末）如圖，在中，，，的平分線與的外角平分線交于點，連接，則的大小等于 ．
【答案】/34度
【分析】本題考查了角平分線的判定與性質，三角形外角的性質等知識，先根據角平分線的判定與性質得出平分，然后利用三角形外角的性質，即可求解．
解：過點D作于H，于E，于F，
∵的平分線與的外角平分線交于點，
∴，，
∴平分，
∴，
∵，
∴
，
故答案為：．
【題型4】通過作圖（作角平分線）進行求值或證明
【例4】（23-24八年級上·廣東珠海·期中）請回答下列問題：
（1）如圖1，已知，利用直尺和圓規，作的平分線交于點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）如圖2所示，是的角平分線分別是上的點，且，求證：．
【分析】（1）根據角平分線的基本作圖方法作圖即可；
（2）過點作于點，作于點，證明，得出，即可得出答案．
（1）解：如圖，作的平分線交于點；
（2）證明：如圖，過點作于點，作于點，
則，
平分，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
．
【點撥】本題主要考查了角平分線的基本作圖，角平分線的性質，三角形全等的判定和性質，補角的性質，解題的關鍵作圖輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．
【變式1】（2024·湖南湘西·模擬預測）如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線，交于點E．已知，，的面積為（ ）
A．6 B．11 C．14 D．28
【答案】C
【分析】此題考查了角平分線的性質定理，根據角平分線的性質得到點E到和的距離相等，點E到的距離等于的長度，利用三角形面積公式即可得到答案．
解：由基本作圖得到平分，
∴點E到和的距離相等，
∴點E到的距離等于的長度，即點E到的距離為4，
∴．
故選：C．
【變式2】（2024·湖南·中考真題）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點E，F為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內，兩弧交于點P，作射線，交于點M，過點M作于點N．若，，則 ．
【答案】6
【分析】本題考查了尺規作圖，角平分線的性質等知識，根據作圖可知平分，根據角平分線的性質可知，結合求出，．
解：作圖可知平分，
∵是邊上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：6．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】1．（2024·天津·中考真題）如圖，中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點；再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧（所在圓的半徑相等）在的內部相交于點；畫射線，與相交于點，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質，由直角三角形兩銳角互余可求出，由作圖得，由三角形的外角的性質可得，故可得答案
解：∵，
∴，
由作圖知，平分，
∴，
又
∴
故選：B
【例2】．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若是中的內角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質．請你根據上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內角平分線，則的邊上的中線長的取值范圍是
【答案】
【分析】根據題意得到，設AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三邊關系可求出k的范圍，反向延長中線至，使得，連接，最后根據三角形三邊關系解題．
解：如圖，反向延長中線至，使得，連接，
是的內角平分線，
可設AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三邊關系可知，
∴
故答案為：．
【點撥】本題考查角平分線的性質、中線的性質、全等三角形的判定與性質、三角形三邊關系等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習）如圖1，在中，為邊上的高，是的角平分線，點為上一點，連接，．
（1）求證：平分
（2）如圖2，連接交于點，若與的面積相等，求證：
【分析】本題主要考查了全等三角形的證明以及性質運用，角平分線的判定以及基本性質，熟練掌握全等三角形的幾種判定方法以及角平分線的判定是解答該題的關鍵．
（1）根據是的角平分線和，為邊上的高，可得，由得，即可證明；
（2）過點E作于點M，于點N，由角平分線性質可以得，由與的面積相等可得，證明，得出，，
即可得出，再根據垂直模型證明，即可得出結論．
（1）證明：∵為邊上的高，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：平分．
（2）過點E作于點M，于點N，
平分，且，，
．
，
，
平分，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
為邊上的高，
，
，
．
在和中，
．
.
【例2】（23-24八年級上·江西宜春·期末）課本再現：
思考如圖12.3-3，任意作一個角，作出的平分線．在上任取一點P，過點P畫出，的垂線，分別記垂足為D、E，測量、并作比較，你得到什么結論？在上再取幾個點試一試． 通過以上測量，你發現了角的平分線的什么性質？
【實驗猜想】針對以上問題，同學們進行了小組實驗探究，并猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
【推理證明】為了證明該定理，小明同學根據書上的圖形（如圖12.3-3）寫出了“已知”和“求證”，請你利用全等的知識完成證明過程．
（1）已知：點P是的平分線上一點，過點P作于點D，于點E．求證：．
【知識應用】（2）如圖2，的平分線與的外角的平分線相交于點O，過點O作于點D，于點E，連接．
①證明：平分；
②若，則________．
【答案】（1）證明見解析 （2）①證明見解析；②
【分析】（1）根據條件證明，從而．
（2）①過點O作于點F， 由（1）的結論易證，根據“到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”得到平分；
②根據三角形的內角和，再利用角平分線的定義和“三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角的和”，推導出，從而求解．
（1）證明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）①證明：過點O作于點F，
是的平分線，，，
，
是的平分線，，，
，
，
，，
平分，
②平分，平分，
，，
．
故答案為：．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的定義、角平分線的性質和判定以及三角形的內角和定理、三角形外角的性質等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
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專題12.9 角平分線的性質（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】角的平分線的性質
(1)性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.
(2)符號語言：
OC平分∠ADB，
又PE⊥AD，PF⊥BD，垂足為E、F，
PE=PF
【知識點二】角的平分線的判定
　(1)判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
(2)符號語言：
PE⊥AD，PF⊥BD，垂足為E、F，
又PE=PF
OC平分∠ADB，
【知識點三】角的平分線的尺規作圖
（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.
　　（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.
　　（3）畫射線OC.
射線OC即為所求.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】利用角平分線性質定理進行求值與證明
【例1】（23-24七年級下·山東菏澤·階段練習）如圖，在中，，于點，平分交于點，交于點，過點作，交于點，連接．
（1）求證：；
（2）求證：；
【變式1】（23-24七年級下·廣東佛山·階段練習）如圖，平分，點P是射線上一點，交于點M，點N是射線上的一個動點，連接．若，則的長度不可能是（ ）
A．18 B． C．6 D．
【變式2】（23-24七年級下·四川巴中·期末）如圖，在中，，的平分線交于點O，點O到邊的距離為3，且的周長為20，則的面積為 ．
【題型2】利用角平分線判定定理進行求值與證明
【例2】如圖，于于F，若，
（1）求證：平分； （2）已知，求的長．
【變式1】如圖，在中，，，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】6．（23-24八年級上·山東聊城·階段練習）如圖，在中，，三角形的外角和的平分線交于點E，則 ．
【題型3】綜合運用角平分線性質定理與判定定理進行證明與求值
【例3】如圖，和中，，連接與交于點M，與交于點N．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）連接，有以下兩個結論：①平分；②平分，其中正確的一個是　　　　（請寫序號），并給出證明過程．
【變式1】（23-24八年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，，M是的中點，平分，且，則的度數是（　　）

A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級上·重慶永川·期末）如圖，在中，，，的平分線與的外角平分線交于點，連接，則的大小等于 ．
【題型4】通過作圖（作角平分線）進行求值或證明
【例4】（23-24八年級上·廣東珠海·期中）請回答下列問題：
（1）如圖1，已知，利用直尺和圓規，作的平分線交于點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）如圖2所示，是的角平分線分別是上的點，且，求證：．
【變式1】（2024·湖南湘西·模擬預測）如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線，交于點E．已知，，的面積為（ ）
A．6 B．11 C．14 D．28
【變式2】（2024·湖南·中考真題）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點E，F為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內，兩弧交于點P，作射線，交于點M，過點M作于點N．若，，則 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】1．（2024·天津·中考真題）如圖，中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點；再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧（所在圓的半徑相等）在的內部相交于點；畫射線，與相交于點，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【例2】．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若是中的內角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質．請你根據上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內角平分線，則的邊上的中線長的取值范圍是
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習）如圖1，在中，為邊上的高，是的角平分線，點為上一點，連接，．
（1）求證：平分
（2）如圖2，連接交于點，若與的面積相等，求證：
【例2】（23-24八年級上·江西宜春·期末）課本再現：
思考如圖12.3-3，任意作一個角，作出的平分線．在上任取一點P，過點P畫出，的垂線，分別記垂足為D、E，測量、并作比較，你得到什么結論？在上再取幾個點試一試． 通過以上測量，你發現了角的平分線的什么性質？
【實驗猜想】針對以上問題，同學們進行了小組實驗探究，并猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
【推理證明】為了證明該定理，小明同學根據書上的圖形（如圖12.3-3）寫出了“已知”和“求證”，請你利用全等的知識完成證明過程．
（1）已知：點P是的平分線上一點，過點P作于點D，于點E．求證：．
【知識應用】（2）如圖2，的平分線與的外角的平分線相交于點O，過點O作于點D，于點E，連接．
①證明：平分；
②若，則________．
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