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專題13.10 最短路徑（將軍飲馬）問題（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【模型一： 兩定交點型】如圖1，直線和的異側兩點A.B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小；
圖1
【模型二： 兩定一動型】如圖2，直線和的同側兩點A.B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小（同側轉化為異側）；
圖2
【模型三： 一定兩動型】如圖3，點P是∠MON內的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使△PAB的周長最小。
圖3
【模型四： 兩定兩動型】如圖4，點P，Q為∠MON內的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的 周長最小。
圖4
【模型五： 一定兩動（垂線段最短）型】如圖5，點A是∠MON外的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小。
圖5
【模型六：一定兩動，找（作）對稱點轉化型】如圖6，點A是∠MON內的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小。
圖6
【考點1】兩定一動型； 【考點2】一定兩動（兩點之間線段最短）型；
【考點3】一定兩動（垂線段最短）型； 【考點4】兩定兩動型；
【考點5】一定兩動（等線段）轉化型；.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【考點1】兩定一動型；
【例1】（23-24八年級上·全國·課后作業）如圖，在中，，垂直平分，交于點D，則周長的最小值是（　　）

A．12 B．6 C．7 D．8
【變式】（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，，．將沿射線折疊，使點A與邊上的點D重合，E為射線上的一個動點，則周長的最小值 ．

【考點2】一定兩動（兩點之間線段最短）型；
【例2】（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·期末）如圖，，P為內一點，A為上一點，B為上一點，當的周長取最小值時，的度數為（ ）

A． B． C． D．
【變式】（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，，點分別在射線上，，，點P是直線上的一個動點，點P關于的對稱點為，點P關于的對稱點為，連接、、，當點P在直線上運動時，則面積的最小值是 ．
【考點3】 一定兩動型（垂線段最短）；
【例3】（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在中，，，，，點P、Q分別是邊、上的動點，則的最小值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【變式】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在中，，，，，是的角平分線，若分別是和邊上的動點，則的最小值是 ．

【考點4】兩定兩動型；
【例4】如圖，已知，平分，，在上，在上，在上．當取最小值時，此時的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式】（23-24八年級上·河南商丘·階段練習）如圖，，點，分別是邊，上的定點，點，分別是邊，上的動點，記，，當最小時，則與的數量關系為 ．
【考點5】一定兩動（等線段）轉化型；
【例5】（20-21八年級上·湖北鄂州·期中）如圖，AD 為等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分別為線段AD，AC 上的動點，且 AE=CF， 當 BF＋CE 取最小值時，∠AFB的度數為（ ）
A．75° B．90° C．95° D．105°
【變式】（23-24七年級下·四川宜賓·期末）在中，，，，點E是邊的中點，的角平分線交于點D．作直線，在直線上有一點P，連結、，則的最大值是 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2020·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為 ．
【例2】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值為 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級上·江蘇鎮江·階段練習）如圖，、在的同側，點為線段中點，，，，若，則的最大值為（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【例2】（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，銳角中，，的面積是6，D、E、F分別是三邊上的動點，則周長的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
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專題13.10 最短路徑（將軍飲馬）問題（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【模型一： 兩定交點型】如圖1，直線和的異側兩點A.B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小；
圖1
【模型二： 兩定一動型】如圖2，直線和的同側兩點A.B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小（同側轉化為異側）；
圖2
【模型三： 一定兩動型】如圖3，點P是∠MON內的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使△PAB的周長最小。
圖3
【模型四： 兩定兩動型】如圖4，點P，Q為∠MON內的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的 周長最小。
圖4
【模型五： 一定兩動（垂線段最短）型】如圖5，點A是∠MON外的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小。
圖5
【模型六：一定兩動，找（作）對稱點轉化型】如圖6，點A是∠MON內的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小。
圖6
【考點1】兩定一動型； 【考點2】一定兩動（兩點之間線段最短）型；
【考點3】一定兩動（垂線段最短）型； 【考點4】兩定兩動型；
【考點5】一定兩動（等線段）轉化型；.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【考點1】兩定一動型；
【例1】（23-24八年級上·全國·課后作業）如圖，在中，，垂直平分，交于點D，則周長的最小值是（　　）

A．12 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本題主要考查了，軸對稱﹣最短路線問題的應用，解此題的關鍵是找出P的位置．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，根據題意知點B關于直線的對稱點為點C，故當點P與點D重合時，的值最小，即可得到周長最小．
解：∵垂直平分，
∴點B，C關于對稱．
∴當點P和點D重合時，的值最小．
此時，
∵，
周長的最小值是，
故選：C．
【變式】（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，，．將沿射線折疊，使點A與邊上的點D重合，E為射線上的一個動點，則周長的最小值 ．

【答案】24
【詳解】 設與的交點為點F，連接，先根據折疊的性質可得，，，，再根據兩點之間線段最短可得當點E與點F重合時，周長最小，進而求解即可．
解：如圖，設與的交點為點F，連接，，

由折疊的性質得：，，，，
，
周長，
要使周長最小，只需最小，
由兩點之間線段最短可知，當點E與點F重合時，最小值為，
∴周長為：．
故答案為：24．
【點撥】本題考查了折疊的性質等知識點，熟練掌握折疊的性質是解題關鍵．
【考點2】一定兩動（兩點之間線段最短）型；
【例2】（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·期末）如圖，，P為內一點，A為上一點，B為上一點，當的周長取最小值時，的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了最短路線問題、四邊形的內角和定理、軸對稱的性質等知識點，掌握兩點之間線段最短的知識畫出圖形是解題的關鍵．
如圖：作P點關于的對稱點，連接，此時的周長最小為，求出即可．
解：如圖：作P點關于的對稱點，然后連接，

∵點與點P關于直線對稱，點與點P關于對稱，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由三角形的內角和定理可知：，
∴，
∴．
故選：B．
【變式】（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，，點分別在射線上，，，點P是直線上的一個動點，點P關于的對稱點為，點P關于的對稱點為，連接、、，當點P在直線上運動時，則面積的最小值是 ．
【答案】18
【分析】本題考查了軸對稱、垂線段最短等知識點，掌握軸對稱的性質是關鍵．
連接，過點作交的延長線于，先利用三角形的面積公式求出，再根據軸對稱的性質可得，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得的面積為，根據垂線段最短可得當點與點重合時，取得最小值，的面積最小，由此即可得．
解：如圖，連接，過點作交的延長線于，
∵，且，
∴，
∵點關于對稱的點為，點關于對稱的點為，
∴的面積為，
由垂線段最短可知，當點與點重合時，取得最小值，最小值為，
面積的最小值是
故答案為：18．
【考點3】 一定兩動型（垂線段最短）；
【例3】（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在中，，，，，點P、Q分別是邊、上的動點，則的最小值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】作過于的對稱點，過點作，交于點，交于點，根據對稱可得：，得到當三點共線時，最小，再根據垂線段最短，得到時，最小，進行求解即可．
解：作過于的對稱點，過點作，交于點，交于點，
∵，
∴當三點共線時，最小，
∵垂線段最短，
∴時，最小，
連接，
∵關于對稱，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
故選B．
【點撥】本題考查利用軸對稱求線段和最小問題．熟練掌握通過構造軸對稱，解決線段和最小，以及點到直線，垂線段最短，是解題的關鍵．
【變式】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在中，，，，，是的角平分線，若分別是和邊上的動點，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】本題考查利用軸對稱求最短距離，全等三角形的性質和判定，能夠利用軸對稱將線段和的最小值轉化為線段長求解是關鍵．在上截取，連接，，可證，根據全等三角形的性質可知點和點關于對稱，再根據軸對稱的性質及最短路徑結合面積法即可得出答案．
解：如圖，在上截取，連接，，
是的平分線，
在與中
點和點關于對稱，連接，與交于點，連接，此時，
是動點，
也是動點，當與垂直時，最小，即最小．
此時，由面積法得．
故答案為：．
【考點4】兩定兩動型；
【例4】如圖，已知，平分，，在上，在上，在上．當取最小值時，此時的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接、、、、，則由軸對稱知識可知，所以依據垂線段最短知：當在一條直線上，且時，取最小值，根據直角三角形的兩銳角互余及三角形外角的性質可以求出.
解：∵，平分，
∴，
作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接、、、、，
則，，，，，
∴，，，，
當在一條直線上，且時，取最小值，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D.
【點撥】本題考查了最短路徑問題，等腰三角形等邊對等角，直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質，垂線段最短，通過作對稱點化折為直是解題的關鍵.
【變式】（23-24八年級上·河南商丘·階段練習）如圖，，點，分別是邊，上的定點，點，分別是邊，上的動點，記，，當最小時，則與的數量關系為 ．
【答案】
【分析】本題考查軸對稱—最短問題、三角形的內角和定理．三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
作關于的對稱點，關于的對稱點，連接交于，交于，則最小，易知，，根據三角形的外角的性質和平角的定義即可得到結論．
解：如圖，作關于的對稱點，關于的對稱點，連接交于，交于，則最小，
，，
，
，
故答案為：．
【考點5】一定兩動（等線段）轉化型；
【例5】（20-21八年級上·湖北鄂州·期中）如圖，AD 為等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分別為線段AD，AC 上的動點，且 AE=CF， 當 BF＋CE 取最小值時，∠AFB的度數為（ ）
A．75° B．90° C．95° D．105°
【答案】C
【分析】先構造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，當FH+BF最小時，即是BF+CE最小時，此時求出∠AFB的度數即可．
解：如圖，作CH⊥BC，且CH=BC，連接HB，交AC于F，此時△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小，
∵AC=BC，
∴CH=AC，
∵∠HCB=90°，AD⊥BC，
∴AD//CH，
∵∠ACB=50°，
∴∠ACH=∠CAE=40°，
∴△CFH≌△AEC，
∴FH=CE，
∴FH+BF=CE+BF最小，
此時∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．
故選：C．
【點撥】本題考查全等三角形的性質和判定、等腰三角形的性質、最短路徑問題，關鍵是作出輔助線，有一定難度．
【變式】（23-24七年級下·四川宜賓·期末）在中，，，，點E是邊的中點，的角平分線交于點D．作直線，在直線上有一點P，連結、，則的最大值是 ．
【答案】2
【分析】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，在上取點，使得，可知，得，可知，利用轉化思想和線段的和差是解題的關鍵．
解：∵點是邊的中點，
∴，
在上取點，使得，
∵的角平分線交于點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2020·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為 ．
【答案】12
【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據三角形的三邊關系即可得出結論．
解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6∴2∴2∴則的最大值與最小值的差為12．
故答案為：12
【點撥】本題考查三角形全等與三角形的三邊關系，解題關鍵在于添加輔助線構建全等三角形把AD轉化為BE從而求解，是一道較好的中考題．
【例2】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值為 ．
【答案】12
【分析】過點作射線，使，再過動點作，垂足為點，連接，在中，，，當，，在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長．
解：過點作射線，使，再過動點作，垂足為點，連接，如圖所示：
在中，，
，
，
當，，在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長，
此時，，
是等邊三角形，
，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值為12，
故答案為：12．
【點撥】本題考查垂線段最短、等邊三角形的判定和性質，含30度的直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造數學模型，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級上·江蘇鎮江·階段練習）如圖，、在的同側，點為線段中點，，，，若，則的最大值為（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】C
【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質，兩點之間線段最短，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用兩點之間線段最短解決最值問題．如圖，作點A關于的對稱點，點B關于的對稱點，證明為等邊三角形，即可解決問題．
解：如圖，作點A關于的對稱點，點B關于的對稱點，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴為等邊三角形
∵，
∴的最大值為14，
故選：C．
【例2】（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，銳角中，，的面積是6，D、E、F分別是三邊上的動點，則周長的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段最短，等邊三角形的性質與判定等等，作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，，，根據軸對稱的性質可得，，，，則可得，進一步可得當點在一條直線上時，最小，即此時周長最小，最小值為，此時三角形是等邊三角形，則根據點到直線垂線段最短，可知當時，最小，即周長最小，利用面積法求出的長即可得到答案．
解：如圖所示，作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵周長，
∴當點在一條直線上時，最小，即此時周長最小，最小值為，此時三角形是等邊三角形，
∴，
根據點到直線垂線段最短，可知當時，最小，即周長最小，
∵的面積是，，即，
∴，即周長最小6，
故選C．
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