資源簡介

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專題13.1 軸對稱（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】軸對稱圖形
軸對稱圖形的定義：一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.
【要點提示】軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.
【知識點二】軸對稱
1.軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸．折疊后重合的點是對應點，也叫做對稱點
【要點提示】軸對稱指的是兩個圖形的位置關系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合．成軸對稱的兩個圖形一定全等.
2.軸對稱與軸對稱圖形的區別與聯系
軸對稱與軸對稱圖形的區別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關于這條直線（原對稱軸）對稱.
【知識點三】軸對稱與軸對稱圖形的性質
1.軸對稱的性質：若兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；
2.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．
【知識點四】線段的垂直平分線
定義：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．
性質：
性質1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；
　 性質2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
【要點提示】線段的垂直平分線的性質是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創造條件.
三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】軸對稱圖形的識別
【例1】（23-24八年級上·江西宜春·階段練習）如圖，在四邊形中，，點分別在，上，．
（1）判斷該圖形是否是軸對稱圖形 （填“是”或“否”）；
（2）求證：．
【答案】(1)是 (2)見解析
【分析】（1）連接，證明得到，證明，即可得到答案；
（2）由（1）得，即可得到答案．
解：（1）如圖，連接，

在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
該圖形沿直線折疊后能夠完全重合，
該圖形是軸對稱圖形，
故答案為：是；
（2）證明：由（1）得，
．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、軸對稱圖形的定義，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵．
【變式1】下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
解：A，C，D選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，
B選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．
故選：B．
【變式2】（23-24七年級下·全國·假期作業）在線段、角、圓、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是軸對稱圖形的是 ．
【答案】直角梯形
【分析】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；根據軸對稱圖形概念進行分析即可；
解：線段、角、圓、等腰三角形和正方形都能找到一條(或多條) 直線，使圖形沿一條直線折疊直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
直角梯形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
所以不是軸對稱圖形的是直角梯形，
故答案為：直角梯形．
【題型2】成軸對稱的兩個圖形的識別與判斷
【例2】（23-24八年級上·吉林·期中）如圖，和關于直線對稱，與的交點在直線上．
（1）圖中點的對應點是點______，的對應邊是______；
（2）若，，求的度數．
【答案】(1)， (2)
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質，解題的關鍵是熟練掌握性質，準確計算．
（1）本題考查軸對稱的性質，根據軸對稱的性質解答即可．
（2）本題根據軸對稱性質推出，從而得出，最后根據即可解題．
（1）解：由題意可得：圖中點的對應點是點，的對應邊是，
故答案為：，．
（2）解：，
，
，
．
【變式1】（2024·廣西·中考真題）端午節是中國傳統節日，下列與端午節有關的文創圖案中，成軸對稱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查成軸對稱的定義，掌握成軸對稱的定義是解題的關鍵．把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫作對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫作對稱點．根據兩個圖形成軸對稱的定義，逐一判斷選項即可．
解：A．圖案不成軸對稱，故不符合題意；
B．圖案成軸對稱，故符合題意；
C．圖案不成軸對稱，故不符合題意；
D．圖案不成軸對稱，故不符合題意；
故你：B．
【變式2】（21-22八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，△ABD和△ACD關于直線AD對稱，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】5
【分析】根據軸對稱的性質解決問題即可；
解：∵△ABD和△ACD關于直線AD對稱，
∴S△CEF=S△BEF，
∴陰影部分的面積=S△ABC=×10=5，
故答案為：5；
【點撥】本題考查軸對稱的性質，軸對稱的兩個圖形是全等圖形；掌握軸對稱的性質是解題關鍵．
【題型3】由軸對稱的性質特征求值
【例3】（24-25八年級上·全國·假期作業）如圖，O為內部一點，，P、R為O分別以直線、為對稱軸的對稱點．
（1）請指出當是什么角度時，會使得的長度等于7？并完整說明的長度為何在此時等于7的理由．
（2）承（1）小題，請判斷當不是你指出的角度時，的長度小于7還是大于7？并完整說明你判斷的理由．
【答案】(1)時，．證明見解析 (2)的長度小于7，理由見解析
【分析】本題考查軸對稱的性質、三角形的三邊關系，（1）連接、，根據軸對稱的性質可得，，然后判斷出點P、B、R三點共線時，再根據平角的定義求解；（2）根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊解答．
解：（1）如圖，時，，證明如下：
連接、，
∵P、R為O分別以直線、為對稱軸的對稱點，
∴，，
∵，
，
∴點P、B、R三點共線，
∴；
（2）的長度小于7，理由如下：
當，則點P、B、R三點不在同一直線上，
∴，
∵，
∴，
即的長度小于7．
【變式1】（23-24八年級上·河北承德·期末）如圖，點是外的一點，點，分別是兩邊上的點，點關于的對稱點恰好落在線段上，點關于的對稱點落在的延長線上．若，，，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查軸對稱，線段和差的計算，掌握軸對稱的性質，線段和差的計算方法是解題的關鍵．
利用軸對稱圖形的性質得出，，結合圖形即可求解．
解：點關于的對稱點恰好落在線段上，點關于的對稱點落在的延長線上，
，，
，，
，，
∵，
∴，
故選：D．
【變式2】（23-24七年級下·四川達州·期末）如圖，在中，，點是邊上一點，點關于直線的對稱點為，當時，則的度數為 ．
【答案】/度
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質，三角形內角和定理，平行線的性質，利用平行線的性質得到，則由平角的定義可得，然后根據軸對稱的性質得到，則可得∠CDB的度數，進而問題可求解．
解：∵
∴，
∴,
∵點B關于直線的對稱點為，
∴，
∴．
故答案為：.
【題型4】利用軸對稱的性質求最值
【例4】（23-24八年級上·河南周口·階段練習）已知點P在內．
（1）如圖①，點P關于射線的對稱點分別是G、H，連接．
①若，則是什么特殊三角形？為什么？
②若，試判斷與的數量關系，并說明理由；
（2）如圖②，若， A、B分別是射線上的點，于點B，點P、Q分別為上的兩個定點，且，，在上有一動點E，試求的最小值．
【答案】(1)①是等邊三角形，理由見解析；②，理由見解析
(2)的最小值為5．
【分析】（1）①由軸對稱的性質可得，，．根據“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”即可得出是等邊三角形；②當時，，G、O、H在同一直線上，由此可得與的數量關系；
（2）過Q作的對稱點，連接，交于點E，連接，則的最小值為，由已知條件可得，易得，，由此可得是等邊三角形，即可得的長，即的最小值．
解：（1）①是等邊三角形，
∵點P關于對稱的點為G，
∴，，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形．
②，
當時，，
∴G、O、H在同一直線上，．
∵，
∴；
（2）過Q作的對稱點，連接，交于點E，連接，

∴ 最小值為．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵點Q與關于對稱，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
即的最小值為5．
【點撥】本題主要考查了軸對稱--最短路線問題，軸對稱的性質和等邊三角形的判定和性質．熟練掌握軸對稱的性質及等邊三角形的判定和性質，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的關鍵．
【變式1】（23-24八年級上·山東日照·期中）已知，點P是內部任意一點，點M，N分別在上，當的周長取得最小值時，，則與的關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了軸對稱的性質，三角形內角和定理，四邊形內角和定理．根據軸對稱的性質和等腰三角形的性質可證，，然后證明，利用四邊形內角和可得答案．
解：作P關于的對稱點C、D，連接CD交于N、M．
此時周長有最小值；
∵P關于的對稱點C、D，
∴OB垂直平分垂直平分PD，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在四邊形中，可得：，
∴，
∴，即，
故選：D．
【變式2】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在中，，，，，是的角平分線，若分別是和邊上的動點，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】本題考查利用軸對稱求最短距離，全等三角形的性質和判定，能夠利用軸對稱將線段和的最小值轉化為線段長求解是關鍵．在上截取，連接，，可證，根據全等三角形的性質可知點和點關于對稱，再根據軸對稱的性質及最短路徑結合面積法即可得出答案．
解：如圖，在上截取，連接，，
是的平分線，
在與中
點和點關于對稱，連接，與交于點，連接，此時，
是動點，
也是動點，當與垂直時，最小，即最小．
此時，由面積法得．
故答案為：．
【題型5】折疊問題
【例5】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖1，點M，N分別在長方形紙條的邊和上，將長方形紙條沿折疊得到圖2，點A，B的對應點分別為點，，折疊后與相交于點E．
（1）若，求的度數；
（2）設，．
①請用含α的代數式表示β；
②當α的值為_________時，是等邊三角形；當α的值為______時，是直角三角形．
【答案】(1) (2)①②，是等邊三角形；時，是直角三角形．
【分析】（1）根據題意，得長方形紙條，折疊性質，得，，結合，利用平行線的性質求的度數即可；
（2）①根據(1)得，根據折疊的性質，得即，解答即可．
②根據是等邊三角形，得到，結合，解得；當是直角三角形時，．
解：（1）∵將長方形紙條進行折疊，
∴，，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）①根據(1)得，根據折疊的性質，得即，
故．
②解：根據是等邊三角形，得到，又，
解得；
當是直角三角形時，．
故答案為：．
【點撥】本題考查了折疊的性質，長方形的性質，平行線的性質，特殊三角形的性質，熟練掌握折疊性質，平行線性質是解題的關鍵．
【變式1】（2024·山東東營·模擬預測）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片折疊，使點C，D落在邊上的點，處，折痕為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了四邊形內角和定理，三角形內角和定理，折疊的性質，根據四邊形內角和定理得到，進而由折疊的性質得到，再由平角的定義得到，由此利用三角形內角和定理即可求出答案．
解：∵四邊形中，，
∴，
由折疊的性質可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選B．
【變式2】（23-24七年級下·湖南株洲·期末）折紙是一門古老而有趣的藝術，現代數學家們甚至為折紙建立了一套完整的“折紙幾何學公理”．如圖，小明在課余時間把一張長方形紙片沿折疊，，則 °．
【答案】
【分析】根據折疊的性質和平行線的性質，平角的定義解答即可．本題考查了折疊的性質和平行線的性質，平角的定義，熟練掌握性質是解題的關鍵．
解：根據折疊的性質，得，
故；
由長方形紙片，
∴，
∴，
故答案為：70．
【題型6】線段垂直平分線的性質
【例6】（23-24七年級下·江西景德鎮·期末）如圖，在中，，的平分線交于點，垂直平分，垂足為點．
（1）請說明：；
（2）若的面積為4， 求的面積．
【答案】(1)見詳解 (2)8
【分析】（1）先利用角平分線的定義可得，再利用線段垂直平分線的性質可得，從而可得，然后利用等量代換可得，即可解答；
（2）根據線段垂直平分線的性質可得，，然后利用證明，再利用證明，從而可得，即可解答．
本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
解：（1）平分，
，
垂直平分，
，
，
；
（2）垂直平分，
，，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的面積為4，
的面積的面積，
的面積為8．
【變式1】（2024·吉林·三模）如圖，在中，根據圖中尺規作圖的痕跡推斷，以下結論不一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是尺規作角平分線和垂直平分線，熟知角平分線的作法和垂直平分線性質是解答此題的關鍵．
根據題意得到是的角平分線，垂直平分，進而求解即可．
解：由作圖知，是的角平分線，
∴，故A不符合題意；
由作圖知垂直平分，
∴，，故C，D不符合題意；
無法證明，故B符合題意，
故選：B．
【變式2】（23-24七年級下·山東青島·期末）如圖，在中，邊的垂直平分線，分別交，于點D，E兩點，連接，，，則的度數是 ．
【答案】85
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，根據線段垂直平分線的性質得出，再根據角的和差關系即可得出，最后根據三角形內角和定理即可得出的度數．
解：∵是的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：85．
【題型7】線段垂直平分線的判定
【例7】（23-24七年級下·湖南長沙·期末）如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點E，F，的垂直平分線分別交，于點M，N，直線，交于點P．
（1）求證：點P在線段的垂直平分線上；
（2）已知，求的度數．
【答案】(1)證明見解析 (2)
【分析】此題考查了線段垂直平分線的判定和性質，三角形內角和定理和四邊形內角和，熟練掌握各個知識點是解題的關鍵．
（1）連接、，根據線段垂直平分線的性質和判定即可；
（2）由線段垂直平分線的性質、三角形內角和定理和四邊形內角和定理進行求解．
解：（1）證明：連接、，
垂直平分，垂直平分，
，，
點P在線段的垂直平分線上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，，
在中，，，
，
即，，
在四邊形中，，
【變式1】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”如圖，四邊形是一個箏形，其中，，點O為對角線、的交點，在探究箏形性質時，我們得到以下結論：①圖中有三對全等三角形．②互相平分．③．其中錯誤的結論有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】本題題考查了全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的判定，三角形的面積．根據可證明，從而得到，可證明，；再由線段垂直平分線的判定定理可得垂直平分；再由三角形的面積公式可得，即可．
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴圖中有三對全等三角形，故①正確；
∵，，
∴垂直平分，
根據題中的條件無法得到平分，故②錯誤；
∵，
∴，故③錯誤；
故選：C
【變式2】（2024·四川廣元·中考真題）點F是正五邊形邊的中點，連接并延長與延長線交于點G，則的度數為 ．

【答案】/18度
【分析】連接，，根據正多邊形的性質可證，得到，進而得到是的垂直平分線，即，根據多邊形的內角和公式可求出每個內角的度數，進而得到，再根據三角形的內角和定理即可解答．
解：連接，，

∵五邊形是正五邊形，
∴，
∴，
∴，
∵點F是的中點，
∴是的垂直平分線，
∴，
∵在正五邊形中，，
∴，
∴．
故答案為：
【點撥】本題考查正多邊形的性質，內角，全等三角形的判定及性質，垂直平分線的判定，三角形的內角和定理，正確作出輔助線，綜合運用相關知識是解題的關鍵．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形中，，，，．以點為圓心，以長為半徑作圖，與相交于點，連接．以點為圓心，適當長為半徑作弧，分別與，相交于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點，作射線，與相交于點，則的長為 （用含的代數式表示）．
【答案】
【分析】本題考查了作圖﹣作角平分線，平行線的性質，等腰三角形的判定，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
利用基本作圖得到，平分，，接著證明得到，然后利用求解．
解：由作法得，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【例2】（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，點D為邊的中點，過點B作交的延長線于點E．
（1）求證：．
（2）若，求證：
【答案】(1)見解析 (2)見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質：
（1）由中點，得到，由，得到，即可得證；
（2）由全等三角形的性質，得到，進而推出垂直平分，即可得證．
解：（1）證明：為的中點，
．
；
在和中，

；
（2）證明：
垂直平分，
．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·山東濟南·期末）如圖，已知長方形紙片，點E，F分別在邊和上，且，H和G分別是邊和上的動點，現將點A，B，C，D分別沿、折疊至點N，M，P，K處，若，則的度數為 ．
【答案】或
【分析】分兩種情況討論：當在上方時，延長，相交于Q點，證明，則，求出，則可得的度數；當在下方時，延長交于Q點，證明，則．求出，則可得的度數．
本題考查了矩形中的折疊問題，分類討論，掌握平行線的性質和折疊的性質是解題的關鍵．
解：①如圖，在上方時，
延長，相交于Q點，
由折疊知：，，
，
，
，
，
，
，，
，
由折疊知：，
，
，
；
②如圖，在下方時，
延長，交于Q點，
由折疊知：，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由折疊知：，
，
．
故答案為：或
【例2】（23-24七年級下·湖北孝感·期末）如圖，在三角形中，點D，E是邊上兩點，點F在邊 上，將三角形沿折疊得三角形，交于點H，將三角形沿折疊恰好得到三角形，且．下列四個結論：
①；
②；
③；
④；
⑤若，則．
其中，一定正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】由折疊的性質可得；由折疊的性質可得，，則，，，由，可得，，則，由，可得，則，進而可判斷②的正誤；由題意知，無法判斷與的關系，進而可判斷③的正誤；由，則，，可得，即，進而可判斷④的正誤；根據，可得，整理得，即，則，進而可判斷⑤的正誤；
解：由折疊的性質可得；①正確，故符合要求；
由折疊的性質可得，，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，②正確，故符合要求；
∵，無法判斷與的關系，③錯誤，故不符合要求；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，④正確，故符合要求；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，⑤正確，故符合要求；
綜上：①②④⑤正確．
故選：C．
【點撥】本題考查了折疊的性質，平行線的性質，全等的性質，三角形內角和、三角形外角的性質等知識．解題的關鍵在于明確角度之間的數量關系．
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專題13.1 軸對稱（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】軸對稱圖形
軸對稱圖形的定義：一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.
【要點提示】軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.
【知識點二】軸對稱
1.軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸．折疊后重合的點是對應點，也叫做對稱點
【要點提示】軸對稱指的是兩個圖形的位置關系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合．成軸對稱的兩個圖形一定全等.
2.軸對稱與軸對稱圖形的區別與聯系
軸對稱與軸對稱圖形的區別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關于這條直線（原對稱軸）對稱.
【知識點三】軸對稱與軸對稱圖形的性質
1.軸對稱的性質：若兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；
2.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．
【知識點四】線段的垂直平分線
定義：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．
性質：
性質1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；
　 性質2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
【要點提示】線段的垂直平分線的性質是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創造條件.
三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】軸對稱圖形的識別
【例1】（23-24八年級上·江西宜春·階段練習）如圖，在四邊形中，，點分別在，上，．
（1）判斷該圖形是否是軸對稱圖形 （填“是”或“否”）； （2）求證：．
【變式1】下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·全國·假期作業）在線段、角、圓、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是軸對稱圖形的是 ．
【題型2】成軸對稱的兩個圖形的識別與判斷
【例2】（23-24八年級上·吉林·期中）如圖，和關于直線對稱，與的交點在直線上．
（1）圖中點的對應點是點______，的對應邊是______；
（2）若，，求的度數．
【變式1】（2024·廣西·中考真題）端午節是中國傳統節日，下列與端午節有關的文創圖案中，成軸對稱的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（21-22八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，△ABD和△ACD關于直線AD對稱，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為 ．
【題型3】由軸對稱的性質特征求值
【例3】（24-25八年級上·全國·假期作業）如圖，O為內部一點，，P、R為O分別以直線、為對稱軸的對稱點．
（1）請指出當是什么角度時，會使得的長度等于7？并完整說明的長度為何在此時等于7的理由．
（2）承（1）小題，請判斷當不是你指出的角度時，的長度小于7還是大于7？并完整說明你判斷的理由．
【變式1】（23-24八年級上·河北承德·期末）如圖，點是外的一點，點，分別是兩邊上的點，點關于的對稱點恰好落在線段上，點關于的對稱點落在的延長線上．若，，，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·四川達州·期末）如圖，在中，，點是邊上一點，點關于直線的對稱點為，當時，則的度數為 ．
【題型4】利用軸對稱的性質求最值
【例4】（23-24八年級上·河南周口·階段練習）已知點P在內．
（1）如圖①，點P關于射線的對稱點分別是G、H，連接．
①若，則是什么特殊三角形？為什么？
②若，試判斷與的數量關系，并說明理由；
（2）如圖②，若， A、B分別是射線上的點，于點B，點P、Q分別為上的兩個定點，且，，在上有一動點E，試求的最小值．
【變式1】（23-24八年級上·山東日照·期中）已知，點P是內部任意一點，點M，N分別在上，當的周長取得最小值時，，則與的關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在中，，，，，是的角平分線，若分別是和邊上的動點，則的最小值是 ．

【題型5】折疊問題
【例5】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖1，點M，N分別在長方形紙條的邊和上，將長方形紙條沿折疊得到圖2，點A，B的對應點分別為點，，折疊后與相交于點E．
（1）若，求的度數；
（2）設，．
①請用含α的代數式表示β；
②當α的值為_________時，是等邊三角形；當α的值為______時，是直角三角形．
【變式1】（2024·山東東營·模擬預測）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片折疊，使點C，D落在邊上的點，處，折痕為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·湖南株洲·期末）折紙是一門古老而有趣的藝術，現代數學家們甚至為折紙建立了一套完整的“折紙幾何學公理”．如圖，小明在課余時間把一張長方形紙片沿折疊，，則 °．
【題型6】線段垂直平分線的性質
【例6】（23-24七年級下·江西景德鎮·期末）如圖，在中，，的平分線交于點，垂直平分，垂足為點．
（1）請說明：；
（2）若的面積為4， 求的面積．
【變式1】（2024·吉林·三模）如圖，在中，根據圖中尺規作圖的痕跡推斷，以下結論不一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24七年級下·山東青島·期末）如圖，在中，邊的垂直平分線，分別交，于點D，E兩點，連接，，，則的度數是 ．
【題型7】線段垂直平分線的判定
【例7】（23-24七年級下·湖南長沙·期末）如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點E，F，的垂直平分線分別交，于點M，N，直線，交于點P．
（1）求證：點P在線段的垂直平分線上；
（2）已知，求的度數．
【變式1】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”如圖，四邊形是一個箏形，其中，，點O為對角線、的交點，在探究箏形性質時，我們得到以下結論：①圖中有三對全等三角形．②互相平分．③．其中錯誤的結論有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式2】（2024·四川廣元·中考真題）點F是正五邊形邊的中點，連接并延長與延長線交于點G，則的度數為 ．

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形中，，，，．以點為圓心，以長為半徑作圖，與相交于點，連接．以點為圓心，適當長為半徑作弧，分別與，相交于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點，作射線，與相交于點，則的長為 （用含的代數式表示）．
【例2】（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，點D為邊的中點，過點B作交的延長線于點E．
（1）求證：．
（2）若，求證：
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·山東濟南·期末）如圖，已知長方形紙片，點E，F分別在邊和上，且，H和G分別是邊和上的動點，現將點A，B，C，D分別沿、折疊至點N，M，P，K處，若，則的度數為 ．
【例2】（23-24七年級下·湖北孝感·期末）如圖，在三角形中，點D，E是邊上兩點，點F在邊 上，將三角形沿折疊得三角形，交于點H，將三角形沿折疊恰好得到三角形，且．下列四個結論：
①；
②；
③；
④；
⑤若，則．
其中，一定正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
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