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中小學教育資源及組卷應用平臺
專題13.14 等腰三角形七種常見輔助線作法（方法梳理與題型分類講解）
第一部分【模型歸納與題型目錄】
題型目錄
【題型1】作等腰三角形底邊上高線求值或證明.................................1
【題型2】遇到中點作中線求值或證明.........................................6
【題型3】過一腰上的某一已知點作另一腰的平行線.............................10
【題型4】過一腰上的某一已知點作底邊的平行線...............................14
【題型5】倍長中線構造等腰三角形...........................................20
【題型6】截長補短構造等腰三角形...........................................24
【題型7】延長相交構造或證明等腰三角形.....................................28
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】作等腰三角形底邊上高線求值或證明
【例1】（2024·浙江·模擬預測）如圖，是等腰三角形，．設．
(1)如圖1，點D在線段上，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
(2)如圖2，已知．若，過點B作于點H，求證：．
【答案】(1) (2)見解析
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，
（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，設，，解出方程組，即可求解；
（2）延長，交于點F，過點A作于點E．根據(jù)，可得 ．再由等腰三角形的性質(zhì)可得 ，從而得到，，進而得到，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得，即可求證．
解：（1）∵，
∴．
設，，則
解得：，
即；
（2）如圖，延長，交于點F，過點A作于點E．
∵，．
∴．
又∵，
∴
∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
【變式1】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，平分交于點，是上一點，且．求證：．

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，構建全等三角形是解題的關鍵．
作于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再證明即可得出結論．
證明：如圖，作于點．

，
．
，
．
平分，
．
在和中，
，
，
，
．
【變式2】（22-23八年級上·江蘇泰州·階段練習）在中，，過點C作射線，使（點與點B在直線的異側(cè)）點D是射線上一動點（不與點C重合），點E在線段上，且．
(1)如圖1，當點E與點C重合時，與的位置關系是 ，若，則的長為 ；（用含a的式子表示）
(2)如圖 2，當點 E 與點 C 不重合時，連接 ，
①若，求 的度數(shù)；
②用等式表示與直間的數(shù)量關系，并證明．
【答案】(1)互相垂直； (2)①；②
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得與的位置關系是互相垂直，過點A作于點M，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得出；
（2）當點E與點C不重合時，①求解，可得，由，可得，可得；②過點A作于點M、于點N，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到；
解：（1）當點E與點C重合時，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即與的位置關系是互相垂直，
若，過點A作于點M，如圖：

則，
∵，
∴，
在與中，
∴，
∴，
即的長為，
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②當點E與點C不重合時，用等式表示與之間的數(shù)量關系是：，證明如下：
過點A作于點M、于點N，如圖：

則，
∴，
∵，
即，
∴，
∵，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴；
【點撥】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、垂直定義等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關鍵．
【題型2】遇到中點作中線求值或證明
【例3】（23-24七年級下·四川成都·階段練習）在中，，且的頂點E在邊上移動，在移動過程中，邊，分別與，交于點M，N，
(1)當且M與A重合時，求證：
(2)當E為中點時，連接，求證：
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，
（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，利用三角形外角的性質(zhì)與等量代換可得，在根據(jù)全等三角形的判定即可證明；
（2）連接，在上截取，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，證得，可得，，利用等量代換可得，證得，可得，即可得證．
解：（1）證明：∵，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）證明：連接，在上截取，
∵，，E為中點，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【變式1】（23-24八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，中，，是的中點，、分別是、上的點，且，求證：．

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎題目，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．
連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后即可證明，進而可得結論．
證明：連接，
，是的中點，
∴，
在和中，
，
，
．

【變式2】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，過的中點D作，，垂足分別為點E，F(xiàn)．
(1)求證：； (2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析；(2)。
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．
（1）通過證明，即可求證；
（2）連接，易得，則平分，，根據(jù)．推出，即可解答．
（1）證明：∵，，
∴．
∵D是的中點，
∴．
在和中，
∴．
∴．
（2）解：連接．
∵，
∴，
∵D是的中點，
∴平分，，
∴．
∴．
∴．
【題型3】過一腰上的某一已知點作另一腰的平行線
【例3】（23-24八年級上·福建泉州·階段練習）如圖，是等邊三角形，是的中點，點在上，點在直線上，
(1)當點與重合時，判斷的形狀，并說明理由
(2)當點在的延長線上時，求證：．
【答案】(1)等邊三角形，證明見詳解 (2)證明過程見詳解
【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
（1）根據(jù)，得，從而證明，即可證明是等邊三角形；
（2）過點作交于點，證明，即可求解；
解：（1）根據(jù)題意作圖如下：
，
為等邊三角形
，
，
為等邊三角形．
（2）證明：過點作交于點，
是等邊三角形，
，，
，
，
，，
又，
為等邊三角形
，，
，
，
即，
點是的中點，
，
，
在和中，
，
．
【變式1】（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，在等邊中，點D、E分別在和邊上，以為邊作等邊，連接．若，．則的長是 ．
【答案】2
【分析】本題考查的是的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．
過D點作于M，證明為等邊三角形，再證明，結合全等三角形的性質(zhì)可得答案．
解：∵等邊，
∴，，
過D點作于M，
∴，，
∴為等邊三角形，
∴， ，
∴，

∵為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，．
∴．
∴．
故答案為：2．
【變式2】（22-23八年級下·廣西南寧·開學考試）如圖，等邊三角形中，D為上一點，E為延長線上一點，交于點F，且．若，則的長為 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，作，交于M，得為等邊三角形，再證得到；根據(jù)，，可得，由此得出，最后根據(jù)即可求得的長．
解：如圖，作，交于M，
∴，，，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
在和中，
，
∴.
∴，，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：4．
【題型4】過一腰上的某一已知點作底邊的平行線
【例4】（23-24八年級上·湖南懷化·期末）如圖，在等邊中，點M為上任意一點，延長至點N，使，連接交于點P．
(1)求證：；
(2)作于點H，設，請用含的式子表示的長度．
【答案】(1)證明見解析 (2)
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，
（1）在等邊中過點作與交于，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，然后利用證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一得出是的中點，再利用全等三角形的性質(zhì)得出，然后利用線段的和與差即可得出答案．
解：（1）證明：如圖，在等邊中過點作與交于，

∴，，
∵是等邊三角形，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
又∵，
∴，
在與中，
，
，
；
（2）∵于點，且是等邊三角形，
∴是的中點，
又∵由（1）知，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
【變式1】（23-24七年級下·陜西榆林·階段練習）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．如圖，已知E是的中點，點A在上，且．求證：．
(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．
①如圖1，延長到點F，使，連接；
②如圖2，過點B作，交的延長線于點F，過點C作，垂足為G．
請你在圖3中添加不同于（1）中的輔助線，并對原題進行證明．
【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)見解析
【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
（1）①證明，則，由得到，則，即可證明結論；②證明，則，再證明，即可得到結論；
（2）過點C作，交的延長線于點M，則，證明，則，由，得到，則，即可證明結論．
解：（1）證明：①如圖1，延長到點F，使，連接
∵E是的中點，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴；
②如圖2，過點B作，交的延長線于點F，過點C作，垂足為G．
∵E是的中點，
∴
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）如圖，過點C作，交的延長線于點M，則，
∵E是的中點，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
【變式2】（21-22八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在等邊三角形中，點D在上，延長至點E，使于點F．
(1)如圖①，若點D是的中點，求證：；
(2)如圖②，若點D是上任意一點，是否仍然成立？請證明你的結論；
(3)如圖③，若點D是延長線上的任意一點，其他條件不變，（2）中的結論是否仍然成立？畫圖并寫出你的結論，不必證明．
【答案】(1)見解析 (2)仍然成立，證明見解析 (3)（2）中的結論仍然成立，圖見解析
【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)，
（1）根據(jù)等邊三角形得到，，三線合一推出，證得，，而證得，利用三線合一證得；
（2）過點D作，交于點M，得到是等邊三角形，由此證明，得到，根據(jù)三線合一證得；
（3）過點E作，交的延長線于點N，得到等邊三角形，證明，得到，根據(jù)三線合一證得．
解：（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，
∵點D是的中點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴；
（2）仍然成立，
證明：過點D作，交于點M，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）（2）中的結論仍然成立，
證明：如圖，過點E作，交的延長線于點N，
∴，，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【題型5】倍長中線構造等腰三角形
【例5】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，D是的中點，E是上一點，，的延長線交于點F，若，，則求的度數(shù)為 ．

【答案】/32度
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．延長到G使，連接，通過，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，即可得到，進而利用三角形內(nèi)角和解答即可．
解：如圖，延長到G使，連接，

在與中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案為：
【變式1】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖在四邊形中，是的中點，連接，平分，，，則線段的長為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構造全等三角形是解題關鍵．延長、交于點，證明，得到，，結合角平分線的定義，得到，進而得到，求出的長即可求解．
解：如圖，延長、交于點，
是的中點，
，
在和中，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：
【變式2】（24-25八年級上·陜西西安·開學考試）小明同學在學習完全等三角形后，發(fā)現(xiàn)可以通過添加輔助線構造全等三角形來解決問題．
(1)如圖（1），是的中線，且，延長至點，使，連接，可證得，其中判定兩個三角形全等的依據(jù)為________．
(2)如圖（2），在中，點在上，且，過作，且．求證：平分．
【答案】(1)；(2)見解析.
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握倍長中線法構造全等三角形，是解題的關鍵．
（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，進行作答即可；
（2）延長至，使得，連接，先證明，得到，，平行線的性質(zhì)，得到，等量代換結合等邊對等角，得到，再利用等量代換，得到，即可．
解：（1）∵是的中線，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：；
（2）證明：如圖，延長至，使得，連接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵．
∴，
∴，
∴，
∴平分
【題型6】截長補短構造等腰三角形
【例6】（23-24八年級上·廣東深圳·期末）如圖，在中，，，三角形內(nèi)有一點，連接，，，若平分，，則 ．

【答案】/度
【分析】如圖所示，延長到H使得，連接，先求出，再由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到，則，可推出，證明，得到，再求出，，進而證明是等邊三角形，推出，則．
解：如圖所示，延長到H使得，連接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，通過作出輔助線證明是解題的關鍵．
【變式1】（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在中，，平分交于點D，點E在的延長線上，，若，則線段的長為 ．
【答案】4
【分析】如圖，在上截取，使，連接，證明，則，，，由，可得，則，計算求解即可．
解：如圖，在上截取，使，連接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：4．
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．
【變式2】（2024·陜西西安·三模）如圖，是等邊三角形，D為外一點，且，連接，若，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關鍵．在上截取，連接，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)可得結論．
解：證明：在上截取，連接，如圖所示，
，
為等邊三角形，
，，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【題型7】延長相交構造或證明等腰三角形
【例7】（23-24八年級上·福建泉州·階段練習）如圖，在中，，，動點在射線上，交于，的平分線交于．則當時， ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，全等三角形的判定和性質(zhì)，延長交于點，由平行線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，得到，即得，進而得到，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
解：延長交于點，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式1】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·開學考試）如圖，為外一點，，平分的一個外角，若，，，則的長為 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握等角對等邊是解題的關鍵．
延長交于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)可證，可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，，由此即可求解．
解：如圖所示，延長交于點，
∵平分，，
∴，，是公共邊，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：4．
【變式2】（23-24九年級下·山東臨沂·期中）如圖，，，點E為的中點，若，，，則的長為 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，如圖所示，延長交于F，證明，得到，，再證明是等邊三角形，得到，則．
解：如圖所示，延長交于F，
∵，
∴，
∵點E為的中點，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
故答案為：3．
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專題13.14 等腰三角形七種常見輔助線作法（方法梳理與題型分類講解）
第一部分【模型歸納與題型目錄】
題型目錄
【題型1】作等腰三角形底邊上高線求值或證明.................................1
【題型2】遇到中點作中線求值或證明.........................................2
【題型3】過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線.............................3
【題型4】過一腰上的某一已知點做底邊的平行線...............................4
【題型5】倍長中線構造等腰三角形...........................................5
【題型6】截長補短構造等腰三角形...........................................6
【題型7】延長相交構造或證明等腰三角形.....................................7
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】作等腰三角形底邊上高線求值或證明
【例1】（2024·浙江·模擬預測）如圖，是等腰三角形，．設．
(1)如圖1，點D在線段上，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
(2)如圖2，已知．若，過點B作于點H，求證：．
【變式1】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，平分交于點，是上一點，且．求證：．

【變式2】（22-23八年級上·江蘇泰州·階段練習）在中，，過點C作射線，使（點與點B在直線的異側(cè)）點D是射線上一動點（不與點C重合），點E在線段上，且．
(1)如圖1，當點E與點C重合時，與的位置關系是 ，若，則的長為 ；（用含a的式子表示）
(2)如圖 2，當點 E 與點 C 不重合時，連接 ，
①若，求 的度數(shù)；
②用等式表示與直間的數(shù)量關系，并證明．
【題型2】遇到中點作中線求值或證明
【例3】（23-24七年級下·四川成都·階段練習）在中，，且的頂點E在邊上移動，在移動過程中，邊，分別與，交于點M，N，
(1)當且M與A重合時，求證：
(2)當E為中點時，連接，求證：
【變式1】（23-24八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，中，，是的中點，、分別是、上的點，且，求證：．

【變式2】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，過的中點D作，，垂足分別為點E，F(xiàn)．
(1)求證：； (2)若，求的度數(shù)．
【題型3】過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線
【例3】（23-24八年級上·福建泉州·階段練習）如圖，是等邊三角形，是的中點，點在上，點在直線上，
(1)當點與重合時，判斷的形狀，并說明理由
(2)當點在的延長線上時，求證：．
【變式1】（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，在等邊中，點D、E分別在和邊上，以為邊作等邊，連接．若，．則的長是 ．
【變式2】（22-23八年級下·廣西南寧·開學考試）如圖，等邊三角形中，D為上一點，E為延長線上一點，交于點F，且．若，則的長為 ．
【題型4】過一腰上的某一已知點做底邊的平行線
【例4】（23-24八年級上·湖南懷化·期末）如圖，在等邊中，點M為上任意一點，延長至點N，使，連接交于點P．
(1)求證：；
(2)作于點H，設，請用含的式子表示的長度．
【變式1】（23-24七年級下·陜西榆林·階段練習）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．如圖，已知E是的中點，點A在上，且．求證：．
(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．
①如圖1，延長到點F，使，連接；
②如圖2，過點B作，交的延長線于點F，過點C作，垂足為G．
請你在圖3中添加不同于（1）中的輔助線，并對原題進行證明．
【變式2】（21-22八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在等邊三角形中，點D在上，延長至點E，使于點F．
(1)如圖①，若點D是的中點，求證：；
(2)如圖②，若點D是上任意一點，是否仍然成立？請證明你的結論；
(3)如圖③，若點D是延長線上的任意一點，其他條件不變，（2）中的結論是否仍然成立？畫圖并寫出你的結論，不必證明．
【題型5】倍長中線構造等腰三角形
【例5】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，D是的中點，E是上一點，，的延長線交于點F，若，，則求的度數(shù)為 ．

【變式1】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖在四邊形中，是的中點，連接，平分，，，則線段的長為 ．
【變式2】（24-25八年級上·陜西西安·開學考試）小明同學在學習完全等三角形后，發(fā)現(xiàn)可以通過添加輔助線構造全等三角形來解決問題．
(1)如圖（1），是的中線，且，延長至點，使，連接，可證得，其中判定兩個三角形全等的依據(jù)為________．
(2)如圖（2），在中，點在上，且，過作，且．求證：平分．
【題型6】截長補短構造等腰三角形
【例6】（23-24八年級上·廣東深圳·期末）如圖，在中，，，三角形內(nèi)有一點，連接，，，若平分，，則 ．

【變式1】（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在中，，平分交于點D，點E在的延長線上，，若，則線段的長為 ．
【變式2】（2024·陜西西安·三模）如圖，是等邊三角形，D為外一點，且，連接，若，則的長為 ．
【題型7】延長相交構造或證明等腰三角形
【例7】（23-24八年級上·福建泉州·階段練習）如圖，在中，，，動點在射線上，交于，的平分線交于．則當時， ．
【變式1】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·開學考試）如圖，為外一點，，平分的一個外角，若，，，則的長為 ．
【變式2】（23-24九年級下·山東臨沂·期中）如圖，，，點E為的中點，若，，，則的長為 ．
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