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專題13.13 軸對稱（精選精練）（全章常考知識點分類專題）
【考點目錄】
【考點1】識別軸對稱圖形； 【考點2】利用軸對稱圖形性質求解；
【考點3】利用軸對稱性質解決折疊問題； 【考點4】利用線段垂直平分線性質與判定證明與求值；
【考點5】利用軸對稱性質求最值； 【考點6】等腰三角形（等邊對等角與等角對等邊）；
【考點7】等腰三角形（三線合一）； 【考點8】利用等腰三角形求角或邊長（分類討論）；
【考點9】等腰三角形性質與判定求值證明；【考點10】等邊三角形的性質與判定求；
【考點11】含30度的直角三角形； 【考點12】課題學習（最短路徑問題）.
單選題
【考點1】識別軸對稱圖形；
1．（23-24八年級下·貴州黔西·期末）銀行是現代金融業的主體，是國民經濟運轉的樞紐，下列銀行標志圖案是軸對稱圖形的是( )
A． B． C． D．
2．（23-24七年級下·河南平頂山·期末）下列圖形中，是軸對稱圖形，并且只有3條對稱軸的是（ ）
A．圓 B．正方形 C．梯形 D．等邊三角形
【考點2】利用軸對稱圖形性質求解；
3．（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖，和關于直線l對稱，l交于點D，若，則五邊形的周長為（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
4．（23-24九年級上·浙江溫州·開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，點關于點對稱的點在x軸上，則m的值為（ ）
A． B． C． D．3
【考點3】利用軸對稱性質解決折疊問題；
5．（2024·浙江·模擬預測）如圖，將一張長方形紙條折疊，如果比大，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
6．（23-24八年級下·山東德州·開學考試）如圖，把紙片沿折疊，當點落在四邊形的外面時，此時測得，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【考點4】利用線段垂直平分線性質與判定證明與求值；
7．（24-25九年級上·吉林長春·開學考試）如圖，用直尺和圓規作的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖，在中，的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點．已知的周長為，則的長為（　　）
A． B． C． D．
【考點5】幾何變換（利用軸對稱性質求最值）；
9．（15-16八年級上·重慶榮昌·期末）如圖，四邊形中，，，在，上分別找一點，，使的周長最小時，則的度數為（　　）

A． B． C． D．
10．（19-20九年級·安徽·階段練習）如圖，在中，，是的平分線．若分別是和上的動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考點6】等腰三角形（等邊對等角與等角對等邊）；
11．（24-25八年級上·浙江寧波·開學考試）如圖，在中，分別是上的點，且，若，則（ ）°
A．66 B．92 C．96 D．98
12．（23-24七年級下·山東濟南·期末）如圖，在中，，分別是和的平分線，，交于點D，于點F．若，，，則的面積為（ ）

A．50 B．55 C．60 D．65
【考點7】等腰三角形（三線合一）；
13．（2024·廣西·模擬預測）如圖，在中，，分別以點A、B為圓心，以適當的長為半徑作弧，兩弧分別交于E，F，作直線，D為的中點，M為直線上任意一點．若面積為40，且長度的最小值為10，則長為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
14．（23-24七年級下·福建福州·期末）如圖，中，，，的平分線交于點，平分．下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【考點8】利用等腰三角形求角或邊長（分類討論）；
15．（23-24八年級下·貴州畢節·階段練習）已知a，b是等腰三角形的兩腰，c為底邊，若，則下列說法正確的是（　　）
A． B． C． D．或
16．（2024八年級上·江蘇·專題練習）在中，，的垂直平分線與所在直線的夾角為，則這個等腰三角形的頂角為（ ）
A． B． C．或 D．或
【考點9】利用等腰三角形的性質與判定求值證明；
17．（23-24八年級下·山東德州·開學考試）如圖，的平分線相交于F，過點F作，交于D，交于E，那么下列結論正確的是①都是等腰三角形；②；③的周長為；④．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
18．（2024·四川瀘州·二模）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點D和點E；②以點B為圓心，長為半徑作弧，交于點F；③以F為圓心，長為半徑作弧，在內部交前面的弧于點G；④過點G作射線交于點H．若，則的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考點10】利用等邊三角形的性質與判定求值證明;
19．（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，在中，，以為邊在外作等邊，過點作，垂足為，若，，則的長為（　　）
A．4 B． C．5 D．
20．（22-23八年級上·遼寧阜新·期末）如圖，在中，，分別以點B，A為圓心，，長為半徑作弧，兩弧交于點D，連接，交的延長線于點．有下列結論：①；②；③；④垂直平分線段．其中，正確結論是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考點11】含30度的直角三角形；
21．（2024·山東聊城·模擬預測）如圖，在中，，，以點為圓心，以的長為半徑畫弧交于點，連接，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點，交于點，連接，則的值是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧分別交于點和點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若的面積為8，則的面積是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【考點12】課題學習（最短路徑問題）.
23．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，中，分別是邊上的動點，則的周長的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
24．（23-24八年級上·重慶合川·期末）如圖，在五邊形中，，點P，Q分別在邊，上，連接，， ，當的周長最小時，的度數為（ ）

A． B． C． D．
填空題
【考點1】識別軸對稱圖形；
25．（23-24七年級下·全國·假期作業）在線段、角、圓、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是軸對稱圖形的是 ．
26．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，小張和小亮下棋，小張執圓形棋子，小亮執方形棋子，若棋盤中心的圓形棋子位置用表示，兩人都將第枚棋子放入棋盤后，所有棋子構成軸對稱圖形，則小亮放第枚方形棋子的位置可能是 ．
【考點2】利用軸對稱圖形性質求解；
27．（22-23八年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，與關于直線對稱，，延長交于點F，當 時，．
28．（23-24八年級下·四川成都·期中）如圖，在銳角中，點O為和的角平分線交點，過點O作一條直線l，交線段，分別于點N，點M．點B關于直線l的對稱點為，連接，，分別交線段于點E，點F．連接，．若，那么的度數為 （用含有m的代數式表示）．
【考點3】利用軸對稱性質解決折疊問題；
29．（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖所示，數學拓展課上，小聰將直角三角形紙片沿向下折疊，點A落在點處，當時， 度．
30．（23-24七年級下·江蘇蘇州·開學考試）將一張長方形紙片按如圖所示方式折疊，、為折痕，點B、D折疊后的對應點分別為、，若，則的度數為 ．
【考點4】利用線段垂直平分線性質與判定證明與求值；
31．（23-24九年級下·吉林·開學考試）如圖，在中，，的平分線交于點D，分別以A、B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點M和N，直線剛好經過點D，則的度數是 ．
32．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，直線，點A是直線m上一點，點B是直線n上一點，與直線m，n均不垂直，點P為線段的中點，直線l分別與m，n相交于點C，D，若，m，n之間的距離為2，則的值為 ．
【考點5】幾何變換（利用軸對稱性質求最值）；
33．（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點，，若點是直線上一動點，是直線上的一動點，，，，，則的最小值為 ．
34．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，，點、分別是邊、上的定點，點、分別是邊、上的動點，記，，當最小時，則的值為 .
【考點6】等腰三角形（等邊對等角與等角對等邊）；
35．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，以為邊向外作等腰直角三角形，連接，若，則 ．
36．（2024八年級上·全國·專題練習）（23-24七年級下·山東煙臺·期末）如圖，，為，的中點，，，則的長為 ．

【考點7】等腰三角形（三線合一）；
37．（24-25八年級上·上海·單元測試）如圖，D為內一點，平分，，垂足為D，交與點E，．若，，則的長為 ．
38．（23-24八年級上·四川綿陽·期末）如圖，在等腰中，點是底邊的中點，過點分別作，垂足分別為點，若，則的面積為 ．

【考點8】利用等腰三角形求角或邊長（分類討論）；
39．（23-24八年級下·浙江金華·開學考試）等腰三角形一個外角是，則該等腰三角形的頂角度數是 ．
40．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）如圖，是延長線上的一點，，動點從點出發，沿以的速度移動，動點從點出發，沿以的速度移動．如果點同時出發，用表示移動的時間，那么當 時，是等腰三角形．
【考點9】利用等腰三角形的性質與判定求值證明；
41．（23-24九年級下·浙江臺州·開學考試）如圖，，D為的垂直平分線上一點，且，，則 ．

42．（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，已知在中，，，，是上的一點，，點從點出發沿射線方向以每秒2個單位的速度向右運動，設點的運動時間為．過點作于點．在點P的運動過程中，當t為 時，能使？
【考點10】利用等邊三角形的性質與判定求值證明.
43．（22-23八年級上·廣東湛江·期中）如圖，中，，的垂直平分線交于點，交邊于點，若，則的周長為 ．
44．（23-24七年級下·河南洛陽·期末）如圖，將長方形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B落在上，并使折痕經過點A，得到折痕，點B，E的對應點分別為G，H，展平紙片，連結，，則與的關系是 ．
【考點11】含30度的直角三角形；
45．（23-24九年級下·青海西寧·開學考試）如圖，平分，，，于點，，則 ．
46．（23-24九年級下·廣西南寧·開學考試）如圖，是等邊三角形，．過點A作于點D，點P是直線上一點，以為邊，在的下方作等邊，連接，則的最小值為 ．
【考點12】課題學習（最短路徑問題）.
47．（23-24七年級下·四川宜賓·期末）在中，，，，點E是邊的中點，的角平分線交于點D．作直線，在直線上有一點P，連結、，則的最大值是 ．
48．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在矩形中，，點E、F分別是邊AD、BC上的動點，且，當取得最小值時，AE的長為 ．
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A D A C D C B
題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C B C C B C C D A D
題號 21 22 23 24
答案 D B C B
1．D
【分析】此題考查了軸對稱圖形的概念，根據概念逐一判斷即可，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
【詳解】、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
故選：．
2．D
【分析】此題考查了軸對稱圖形，根據軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；據此判斷即可．
【詳解】解：A． 圓有無數條對稱軸，故此選項不符合題意；
B． 正方形有4條對稱軸，故此選項不符合題意；
C． 梯形中的等腰梯形是軸對稱圖形，只有1條對稱軸，故此選項不符合題意；
D．等邊三角形有3條對稱軸，故此選項符合題意．
故選：D．
3．A
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的性質．根據軸對稱圖形的性質，得到每邊的長度即可求出周長．
【詳解】解：∵和關于直線l對稱，l交于點D，
∴，
∵，
∴，
∴五邊形的周長為：．
故選：A．
4．A
【分析】本題主要考查了坐標與圖形，全等三角形的性質與判定，軸對稱的性質，過A作軸于H，則，，由軸對稱的性質得到，證明，得到，據此可得答案．
【詳解】解：過A作軸于H，
∵點，
∴，，
∵點A與點關于點對稱，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
5．D
【分析】本題考查了平行線性質及折疊的性質． 根據平行線的性質、折疊的性質得到，進而求出，結合“比大”求解即可．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∵長方形紙條折疊，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵比大，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
6．A
【分析】本題主要考查了折疊的性質，三角形外角的性質等知識點，熟練掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．
根據折疊的性質得出，根據三角形外角的性質得出，再次利用三角形外角的性質即可求出的度數．
【詳解】解：如圖，設與交于點，
，
根據折疊的性質，，
，，
，
，
，
故選：．
7．C
【分析】本題主要考查了角平分線的尺規作圖，全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的判定，由作圖方法可知，則可證明得到，進一步可證明垂直平分，據此可得答案．
【詳解】解：由作圖方法可知，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
根據現有條件無法得到，
故選：C．
8．D
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，由線段垂直平分線的性質可得，，結合的周長，得出，即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵是的垂直平分線，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∵的周長，
∴，
∴，
∴，
∴的長為；
故選：D．
9．C
【分析】作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接交于，交于，連接、、此時的周長有最小值，由對稱性求出，則有，即可求．
【詳解】
解：如圖，作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接交于，交于，連接、，

∵，
∴，，
∴的周長，此時的周長有最小值，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，三角形內角和定理是解題的關鍵．
10．B
【分析】由題意可以把關于對稱到的點，如此的最小值問題即變為與線段上某一點的最短距離問題，最后根據垂線段最短的原理得解．
【詳解】解：如圖，作關于的對稱點，則，連接，過點作于點，所以、、三點共線時，，此時有可能取得最小值，
當垂直于即移到位置時，的長度最小，
的最小值即為的長度，
，
，即的最小值為．
故選：B．
【點睛】本題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段最短，通過軸對稱把線段和最小的問題轉化為線段外一點到線段某點連線段最短問題是解題關鍵．
11．C
【分析】根據等腰三角形的性質得出兩個底角相等，即，同理得出，因為，運用平角性質算出，結合三角形內角和，列式計算，即可作答．本題考查等腰三角形的性質、三角形內角和定理及平角，熟練掌握相關判定定理及性質是解題關鍵．
【詳解】解：，
，
如圖：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在中，
故選：B．
12．B
【分析】本題考查了角平分線的性質、平行線的性質的綜合應用以及等角對等邊的應用；解題的關鍵是熟練掌握相關性質．過E作于M，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可求得，根據平行線和角平分線的性質易證，根據等角對等邊求得，從而求得，最后根據三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：過E作于M，
平分，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
13．C
【分析】本題考查線段的垂直平分線的作圖，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的三線合一的性質，垂線段最短等知識．如圖，連接，過點作于點．根據等腰三角形的三線合一的性質得出點與點重合，再根據垂線段最短，線段的垂直平分線的性質判斷出最后利用三角形的面積公式求出即可．
【詳解】解：如圖，連接，過點作于點．
∵為中點，，
∴點與點重合，
垂直平分線段，
，
，
，
，
故選：C．
14．C
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質、平行線的判定、線段垂直平分線的性質等知識，熟練掌握等腰三角形的判定與性質是解題關鍵．根據直角三角形的性質可得，，再根據角平分線的定義可得，由此即可判斷①正確；假設成立，可求出，根據已知條件即可判斷②錯誤；先證出，是等腰三角形，再根據等腰三角形的三線合一即可判斷③正確；先根據等腰三角形的性質可得，從而可得，再根據平行線的判定即可判斷④正確．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，結論①正確；
假設成立，
∵，，
∴，但已知條件不能得出這個結論，則假設不成立，結論②錯誤；
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，是等腰三角形，
∴，垂直平分（等腰三角形的三線合一），結論③正確；
∴，
∴，
∴，
∴，結論④正確；
綜上，正確的結論是①③④，
故選：C．
15．B
【分析】該題主要考查了等腰三角形的定義以及整式加減運算，解題的關鍵是得出．
根據題意得出，代入即可求解；
【詳解】解：∵a，b是等腰三角形的兩腰，
∴，
∴，
故選：B．
16．C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，分類討論是正確解答本題的關鍵．
根據題意分兩種情況，當是銳角三角形時，當是鈍角三角形時，討論求解即可；
【詳解】解：分兩種情況：
當是銳角三角形時，如圖：
是的垂直平分線，
，
，
；
當是鈍角三角形時，如圖：
是的垂直平分線，
，
，
，
；
綜上所述：這個等腰三角形的頂角為或，
故選：C．
17．C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質及角平分線的定義及平行線的性質；題目利用了兩直線平行，內錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關鍵．由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據平行線的性質及等腰三角形的判定和性質，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
，，
是的平分線，是的平分線，
，，
，，
，都是等腰三角形．故①正確，
，，即有，故②正確，
的周長．故③正確，
不一定相等，故④錯誤，
故選：C．
18．D
【分析】本題考查復雜作圖，等腰三角形的判定和性質等知識，證明，，推出即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由作圖可知，
∴
∴，
∴
∴，
∴．
故選：D．
19．A
【分析】根據等邊可得，再根據可以得出，過點作于點，進而證明全等三角形，將線段一分為二，分別求出兩段的長度，進而求出的長度．
【詳解】解：等邊，
，．
．
，
．
．
過點作于點，
．
，
．
在和中，
．
．
，
．
在中，，
∴，
．
故選：A．
【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，含的直角三角形的性質，利用已知條件構造全等三角形，靈活運用含有的直角三角形的性質求解，是解決本題的關鍵．
20．D
【分析】連接，，根據等角對等邊可得，再利用三角形的外角性質可得，然后根據題意可得：，，從而可得是的垂直平分線，進而可得，再利用直角三角形的兩個銳角互余可得，，從而在中，利用含30度角的直角三角形的性質可得，進而利用三角形的面積公式，進行計算可得，最后再根據等邊三角形的判定可得是等邊三角形，從而可得，即可解答．
【詳解】解：連接，，
，
，
是的一個外角，
，
由題意得：，，
是的垂直平分線，
，
，，
，
，
，，
是等邊三角形，
，
所以，上列結論，其中正確的是①②③④，
故選：D．
【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
21．D
【分析】先根據角的直角三角形的性質得到，證明，再根據全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
由題意得：，平分，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查作圖—基本作圖，直角三角形兩銳角互余，角的直角三角形，全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，等底同高的三角形面積相等．掌握基本作圖及全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
22．B
【分析】本題考查了尺規作圖，含的直角三角形的性質，等腰三角形的判定等知識， 由作圖知平分，則可求，利用含的直角三角形的性質得出，利用等角對等邊得出，進而得出，然后利用面積公式即可求解．
【詳解】解： ∵，
∴，
由作圖知：平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面積為8，
∴的面積是，
故選B．
23．C
【分析】如圖作關于直線的對稱點，作關于直線的對稱點，連接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共線，由，，可知當、、、共線時，且時，的值最小，最小值，求出的值即可解決問題．
【詳解】解：如圖，作關于直線的對稱點，作關于直線的對稱點，連接，，，，，，．
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴M、C、N共線，
∵，
∵，
∴當M、F、E、N共線時，且時，的值最小，
最小值為，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為．
故選：C．
【點睛】本題考查了軸對稱-最短問題、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
24．B
【分析】本題考查軸對稱圖形的性質．延長到點G使得，延長到點F使得，連接交、于點、，則這時的周長最小，根據無變形的內角和求出的度數，根據軸對稱的性質得到，，然后計算解題即可．
【詳解】解：延長到點G使得，延長到點F使得，

∵，
∴、垂直平分、，
連接交、于點、，
則，，
∴，這時的周長最小，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
故選：B．
25．直角梯形
【分析】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；根據軸對稱圖形概念進行分析即可；
【詳解】解：線段、角、圓、等腰三角形和正方形都能找到一條(或多條) 直線，使圖形沿一條直線折疊直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
直角梯形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
所以不是軸對稱圖形的是直角梯形，
故答案為：直角梯形．
26．
【分析】根據題意建立平面直角坐標系，再根據軸對稱圖形的定義確定第4枚方形的位置，即可解答．此題主要考查了軸對稱圖形的性質以及點的坐標，正確得出原點位置是解題關鍵．
【詳解】解：如圖：符合題意的點為．
故答案為：．
27．36
【分析】本題考查軸對稱的性質，三角形內角和定理，三角形的外角的性質等知識，證明，利用三角形內角和定理構建方程求解即可．
【詳解】解：與關于直線對稱，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：36．
28．
【分析】此題考查了角平分線的性質定理，全等三角形的性質和判定，軸對稱性質等知識，
過點O作，，，，，根據角平分線的性質定理得到，然后證明出，得到，，然后求出，然后根據對稱的性質得到，進而求解即可．
【詳解】如圖所示，過點O作，，，，
∵點O為和的角平分線交點，
∴
∵點B關于直線l的對稱點為，
∴平分，平分
∴，
∴
∵，
∴
∴
同理可得，
∴
∵點B關于直線l的對稱點為，
∴
∵
∴
∴．
故答案為：．
29．70
【分析】本題主要考查了折疊的性質，平行線的性質以及三角形內角和定理．先根據已知條件求出的度數，然后根據折疊可知：∠AED＝∠A′ED＝45°，再利用平行線的性質求出，最后利用三角形內角和求出即可．
【詳解】解：由折疊可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案為：70．
30．/41度
【分析】本題考查了折疊的性質，由長方形和折疊的性質結合題意可求出．再根據，即可求出答案．掌握折疊的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由長方形的性質可知：
，
∴，
即，
由折疊的性質可知，，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
31．/75度
【分析】本題考查了尺規作圖—基本作圖，線段垂直平分線的性質、角平分線的定義、三角形內角和定理，由線段垂直平分線的性質得出，推出，由角平分線的定義得出，最后再由三角形內角和定理計算即可得解．
【詳解】解：由作法可得：垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案為：．
32．
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質，延長交于點，過點作，證明，得到，進而得到，證明，得到，再根據等積法，得到，等量代換，即可得出結果．
【詳解】解：延長交于點，過點作，
∵，
∴，，
∴，，
∵點P為線段的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案為：．
33．
【分析】本題考查了最短線段問題及線段的垂直平分線的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質，過點A作，交直線于點G，連接，此時的值最小，根據面積法求得，再根據線段垂直平分線的性質可得答案．
【詳解】如圖，過點A作，交直線于點G，連接，此時的值最小，
是的垂直平分線，
，
，
，
，
，
，
故答案為：
34．/40度
【分析】本題考查軸對稱最短問題、三角形的內角和定理．作關于的對稱點，關于的對稱點，連接交于，交于，則最小易知，，根據三角形的外角的性質和平角的定義即可得到結論．
【詳解】如圖，作關于的對稱點，關于的對稱點，連接交于，交于，則最小，
，，
，
，
，
故答案為：．
35．
【分析】如圖所示，過點B作交延長線于E，連接，證明得到，則，再利用面積公式可得答案．
【詳解】解：如圖所示，過點B作交延長線于E，連接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是以B為直角頂點，為直角邊作等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
36．2
【分析】本題考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質，熟練掌握等腰三角形的判定是解答的關鍵．先證明得到，，再根據等角對等邊得到，，設，由結合已知列方程求解x值即可．
【詳解】解： 為，的中點，
，，
又，
，，
，
，
，，
設，
，，
，，
，
解得，
，
故答案為：2．
37．
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是根據平分，，證出，得到，即可．
【詳解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
38．
【分析】由等腰三角形的性質得，由，得，根據證明得，，求出的長，進而可求出的面積．
【詳解】解：∵點D是等腰的底邊的中點，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】此題考查了等腰三角形的“三線合一”，全等三角形的判定與性質，三角形的面積公式等知識，證明是解題的關鍵．
39．或
【分析】本題考查了等腰三角形的兩底角相等的性質，要注意分兩種情況討論求解．學會分類討論思想解決數學問題是解題的關鍵．根據外角與相鄰的內角的和為求這個內角的度數，再分這個角是頂角與底角兩種情況討論求解．
【詳解】解：一個外角是，
與這個外角相鄰的內角是，
當角是頂角時，它的頂角度數是，
當角是底角時，它的頂角度數是，
綜上所述，它的頂角度數是或．
故答案為：或．
40．或10
【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，一元一次方程解決實際問題，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．
根據點P，Q的移動時間與速度，表示出，的長，分兩種情況討論：①當點在線段上時，②當點在的延長線上時，根據建立方程求解即可．
【詳解】解：點P，Q移動時，
，．
分兩種情況：
①當點在線段上時，
若是等腰三角形，則，
即，
解得，；
②當點在的延長線上時，
，
若是等腰三角形，又，
則是等邊三角形，
∴，
即，
解得，；
綜上所述，當或時，是等腰三角形．
故答案為：或10．
41．/36度
【分析】連接，過點D作交于點，與交于點，根據垂直平分線的性質得出，根據等邊對等角得出，等量代換得出，根據三條邊對應相等的兩個三角形是全等三角形，全等三角形的對應角相等得出，根據等角對等邊得出，推得，根據等邊對等角得出，結合對頂角相等得出，即，據此設，則，根據三角形內角和定理列出方程，求得，即．
【詳解】解：連接，過點D作交于點，與交于點，如圖：

∵D為的垂直平分線上一點，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
設，則，
故，
解得：，
即．
故答案為：．
【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，對頂角的性質等．熟練掌握等腰三角形的判定和性質是解題的關鍵．
42．5或11
【分析】本題考查了等腰三角形的性質、勾股定理，根據動點運動的不同位置利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：①點在線段上時，過點作于，如圖2所示：
則，
，
平分，
，
又，
∴，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②點在線段的延長線上時，過點作于，如圖3所示：
同①得：，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
綜上所述，在點的運動過程中，當的值為5或11時，能使．
故答案為：5或11．
43．15
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質，以及等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵．
根據線段垂直平分線的性質可，從而利用等腰三角形的性質可得，進而利用三角形外角的性質可得，然后結合已知可得是等邊三角形，從而利用等邊三角形的性質進行計算即可解答．
【詳解】解：∵是的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴的周長為15，
故答案為：15，
44．相等
【分析】本題考查了翻折變換，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，掌握翻折變換的性質、證明三角形全等是解題的關鍵．由翻折知，垂直平分，則；又由翻折知，，；從而得是等邊三角形，則得；再證明得，即可得兩角的關系．
【詳解】解：由第一次翻折知，垂直平分，
；
又由第二次翻折知，，；
，
是等邊三角形，
，
，；
點的對應點為點H，
；
，
，
，
．
故答案為：相等．
45．
【分析】本題主要考查角平分線的性質及含的直角三角形的性質，能夠熟練運用性質是解題關鍵．過作于，根據角平分線的性質可得，根據平行線的性質可得，由直角三角形中的角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求得，即可求得．
【詳解】 解：如圖，過作于，
∵，，，
∴（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，（在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半），
∴，
故答案是：．
46．1
【分析】連接，先證，則可得，由此可知Q點在過B點且與成角的直線上運動．根據垂線段最短可知，當時，最小，求出的值即可．
本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，以及垂線段最短．熟練掌握以上知識，找出Q點的運動軌跡是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，
∵和都是等邊三角形，
，，，
，
即，
，
，
∵是等邊三角形，，
，，
，
，，
，
∴Q點在過B點且與成角的直線上運動．
當時，最小，
此時，
∴的最小值為1．
故答案為：1．
47．2
【分析】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，在上取點，使得，可知，得，可知，利用轉化思想和線段的和差是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點是邊的中點，
∴，
在上取點，使得，
∵的角平分線交于點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2．
48．
【分析】作，點關于的對稱點，過點作的平行線，過點作的平行線，由矩形,，，得到，，，根據對稱的性質得到，由，得到，由是平行四邊形，得到，，進而得到，由，點到當點在點時，取得最小值，長即為所求，由，求出，由為梯形的中位線，求出，根據，即可求解，
本題考查了，矩形的性質，平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，特殊角三角函數，梯形的中位線，解題的關鍵是：通過對稱、平移找到．
【詳解】解：過點作，垂足為，作點關于的對稱點，連接，過點作的平行線，過點作的平行線，交于點，連接與交于點，
∵矩形,，，
∴，，，
∵、關于對稱，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
在中，
∴當點在點時，取得最小值，長即為所求，
∵，，
∴，
∴,
∴，
∵為中點，，
∴為梯形的中位線，
∴，
∴，
故答案為：．專題13.13 軸對稱（精選精練）（全章常考知識點分類專題）
【考點目錄】
【考點1】識別軸對稱圖形； 【考點2】利用軸對稱圖形性質求解；
【考點3】利用軸對稱性質解決折疊問題； 【考點4】利用線段垂直平分線性質與判定證明與求值；
【考點5】利用軸對稱性質求最值； 【考點6】等腰三角形（等邊對等角與等角對等邊）；
【考點7】等腰三角形（三線合一）； 【考點8】利用等腰三角形求角或邊長（分類討論）；
【考點9】等腰三角形性質與判定求值證明；【考點10】等邊三角形的性質與判定求；
【考點11】含30度的直角三角形； 【考點12】課題學習（最短路徑問題）.
單選題
【考點1】識別軸對稱圖形；
1．（23-24八年級下·貴州黔西·期末）銀行是現代金融業的主體，是國民經濟運轉的樞紐，下列銀行標志圖案是軸對稱圖形的是( )
A． B． C． D．
2．（23-24七年級下·河南平頂山·期末）下列圖形中，是軸對稱圖形，并且只有3條對稱軸的是（ ）
A．圓 B．正方形 C．梯形 D．等邊三角形
【考點2】利用軸對稱圖形性質求解；
3．（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖，和關于直線l對稱，l交于點D，若，則五邊形的周長為（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
4．（23-24九年級上·浙江溫州·開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，點關于點對稱的點在x軸上，則m的值為（ ）
A． B． C． D．3
【考點3】利用軸對稱性質解決折疊問題；
5．（2024·浙江·模擬預測）如圖，將一張長方形紙條折疊，如果比大，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
6．（23-24八年級下·山東德州·開學考試）如圖，把紙片沿折疊，當點落在四邊形的外面時，此時測得，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【考點4】利用線段垂直平分線性質與判定證明與求值；
7．（24-25九年級上·吉林長春·開學考試）如圖，用直尺和圓規作的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖，在中，的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點．已知的周長為，則的長為（　　）
A． B． C． D．
【考點5】幾何變換（利用軸對稱性質求最值）；
9．（15-16八年級上·重慶榮昌·期末）如圖，四邊形中，，，在，上分別找一點，，使的周長最小時，則的度數為（　　）

A． B． C． D．
10．（19-20九年級·安徽·階段練習）如圖，在中，，是的平分線．若分別是和上的動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考點6】等腰三角形（等邊對等角與等角對等邊）；
11．（24-25八年級上·浙江寧波·開學考試）如圖，在中，分別是上的點，且，若，則（ ）°
A．66 B．92 C．96 D．98
12．（23-24七年級下·山東濟南·期末）如圖，在中，，分別是和的平分線，，交于點D，于點F．若，，，則的面積為（ ）

A．50 B．55 C．60 D．65
【考點7】等腰三角形（三線合一）；
13．（2024·廣西·模擬預測）如圖，在中，，分別以點A、B為圓心，以適當的長為半徑作弧，兩弧分別交于E，F，作直線，D為的中點，M為直線上任意一點．若面積為40，且長度的最小值為10，則長為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
14．（23-24七年級下·福建福州·期末）如圖，中，，，的平分線交于點，平分．下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【考點8】利用等腰三角形求角或邊長（分類討論）；
15．（23-24八年級下·貴州畢節·階段練習）已知a，b是等腰三角形的兩腰，c為底邊，若，則下列說法正確的是（　　）
A． B． C． D．或
16．（2024八年級上·江蘇·專題練習）在中，，的垂直平分線與所在直線的夾角為，則這個等腰三角形的頂角為（ ）
A． B． C．或 D．或
【考點9】利用等腰三角形的性質與判定求值證明；
17．（23-24八年級下·山東德州·開學考試）如圖，的平分線相交于F，過點F作，交于D，交于E，那么下列結論正確的是①都是等腰三角形；②；③的周長為；④．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
18．（2024·四川瀘州·二模）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點D和點E；②以點B為圓心，長為半徑作弧，交于點F；③以F為圓心，長為半徑作弧，在內部交前面的弧于點G；④過點G作射線交于點H．若，則的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考點10】利用等邊三角形的性質與判定求值證明;
19．（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，在中，，以為邊在外作等邊，過點作，垂足為，若，，則的長為（　　）
A．4 B． C．5 D．
20．（22-23八年級上·遼寧阜新·期末）如圖，在中，，分別以點B，A為圓心，，長為半徑作弧，兩弧交于點D，連接，交的延長線于點．有下列結論：①；②；③；④垂直平分線段．其中，正確結論是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考點11】含30度的直角三角形；
21．（2024·山東聊城·模擬預測）如圖，在中，，，以點為圓心，以的長為半徑畫弧交于點，連接，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點，交于點，連接，則的值是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧分別交于點和點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若的面積為8，則的面積是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【考點12】課題學習（最短路徑問題）.
23．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，中，分別是邊上的動點，則的周長的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
24．（23-24八年級上·重慶合川·期末）如圖，在五邊形中，，點P，Q分別在邊，上，連接，， ，當的周長最小時，的度數為（ ）

A． B． C． D．
填空題
【考點1】識別軸對稱圖形；
25．（23-24七年級下·全國·假期作業）在線段、角、圓、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是軸對稱圖形的是 ．
26．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，小張和小亮下棋，小張執圓形棋子，小亮執方形棋子，若棋盤中心的圓形棋子位置用表示，兩人都將第枚棋子放入棋盤后，所有棋子構成軸對稱圖形，則小亮放第枚方形棋子的位置可能是 ．
【考點2】利用軸對稱圖形性質求解；
27．（22-23八年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，與關于直線對稱，，延長交于點F，當 時，．
28．（23-24八年級下·四川成都·期中）如圖，在銳角中，點O為和的角平分線交點，過點O作一條直線l，交線段，分別于點N，點M．點B關于直線l的對稱點為，連接，，分別交線段于點E，點F．連接，．若，那么的度數為 （用含有m的代數式表示）．
【考點3】利用軸對稱性質解決折疊問題；
29．（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖所示，數學拓展課上，小聰將直角三角形紙片沿向下折疊，點A落在點處，當時， 度．
30．（23-24七年級下·江蘇蘇州·開學考試）將一張長方形紙片按如圖所示方式折疊，、為折痕，點B、D折疊后的對應點分別為、，若，則的度數為 ．
【考點4】利用線段垂直平分線性質與判定證明與求值；
31．（23-24九年級下·吉林·開學考試）如圖，在中，，的平分線交于點D，分別以A、B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點M和N，直線剛好經過點D，則的度數是 ．
32．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，直線，點A是直線m上一點，點B是直線n上一點，與直線m，n均不垂直，點P為線段的中點，直線l分別與m，n相交于點C，D，若，m，n之間的距離為2，則的值為 ．
【考點5】幾何變換（利用軸對稱性質求最值）；
33．（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點，，若點是直線上一動點，是直線上的一動點，，，，，則的最小值為 ．
34．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，，點、分別是邊、上的定點，點、分別是邊、上的動點，記，，當最小時，則的值為 .
【考點6】等腰三角形（等邊對等角與等角對等邊）；
35．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，以為邊向外作等腰直角三角形，連接，若，則 ．
36．（2024八年級上·全國·專題練習）（23-24七年級下·山東煙臺·期末）如圖，，為，的中點，，，則的長為 ．

【考點7】等腰三角形（三線合一）；
37．（24-25八年級上·上海·單元測試）如圖，D為內一點，平分，，垂足為D，交與點E，．若，，則的長為 ．
38．（23-24八年級上·四川綿陽·期末）如圖，在等腰中，點是底邊的中點，過點分別作，垂足分別為點，若，則的面積為 ．

【考點8】利用等腰三角形求角或邊長（分類討論）；
39．（23-24八年級下·浙江金華·開學考試）等腰三角形一個外角是，則該等腰三角形的頂角度數是 ．
40．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）如圖，是延長線上的一點，，動點從點出發，沿以的速度移動，動點從點出發，沿以的速度移動．如果點同時出發，用表示移動的時間，那么當 時，是等腰三角形．
【考點9】利用等腰三角形的性質與判定求值證明；
41．（23-24九年級下·浙江臺州·開學考試）如圖，，D為的垂直平分線上一點，且，，則 ．

42．（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，已知在中，，，，是上的一點，，點從點出發沿射線方向以每秒2個單位的速度向右運動，設點的運動時間為．過點作于點．在點P的運動過程中，當t為 時，能使？
【考點10】利用等邊三角形的性質與判定求值證明.
43．（22-23八年級上·廣東湛江·期中）如圖，中，，的垂直平分線交于點，交邊于點，若，則的周長為 ．
44．（23-24七年級下·河南洛陽·期末）如圖，將長方形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B落在上，并使折痕經過點A，得到折痕，點B，E的對應點分別為G，H，展平紙片，連結，，則與的關系是 ．
【考點11】含30度的直角三角形；
45．（23-24九年級下·青海西寧·開學考試）如圖，平分，，，于點，，則 ．
46．（23-24九年級下·廣西南寧·開學考試）如圖，是等邊三角形，．過點A作于點D，點P是直線上一點，以為邊，在的下方作等邊，連接，則的最小值為 ．
【考點12】課題學習（最短路徑問題）.
47．（23-24七年級下·四川宜賓·期末）在中，，，，點E是邊的中點，的角平分線交于點D．作直線，在直線上有一點P，連結、，則的最大值是 ．
48．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在矩形中，，點E、F分別是邊AD、BC上的動點，且，當取得最小值時，AE的長為 ．
試卷第1頁，共3頁

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