資源簡介

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專題13.15 等腰三角形八大幾何模型與九類題型（模型梳理與題型分類講解）
第一部分【模型歸納與題型目錄】
模型1:角平分線+平行線→等腰三角形
模型2:角平分線+垂線→等腰三角形
模型3:三角形一個外角等于其中一個內角2倍等腰三角形
模型4:直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形
模型5:等邊三角形中含定角問題
模型6:等邊三角形中含“手拉手”
模型7:倍半角+角平分線→等腰三角形
模型8:倍長中線構造等腰三角形
題型目錄
【題型1】角平分線+平行線→等腰三角形..................................3
【題型2】角平分線+垂線（中線）→等腰三角形............................5
【題型3】三角形一個外角等于其中一個內角2倍等腰三角形..............8
【題型4】直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形.............11
【題型5】等邊三角形中含定角問題......................................14
【題型6】等邊三角形中含“手拉手”....................................16
【題型7】倍半角+角平分線→等腰三角形.................................19
【題型8】倍長中線構造等腰三角形......................................23
【題型9】拓展延伸....................................................26
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】角平分線+平行線→等腰三角形
【例1】（2024九年級下·浙江·專題練習）如圖，在中，平分，于點，交于點，若，則 ．

【答案】4
【分析】根據角平分線的定義可得，再根據兩直線平行，內錯角相等可得，然后求出，根據等角對等邊可得，然后根據等角的余角相等求出，根據等角對等邊可得，從而得到．
解：是的平分線，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：4．
【點撥】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定與性質，以及等角的余角相等的性質，熟記性質并準確識圖，準確找出圖中相等的角是解題的關鍵．
【變式1】（2024·湖南婁底·模擬預測）如圖，在中，平分，．若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義和等腰三角形的性質以及三角形外角的性質等知識，根據角平分線定義求出根據平行線的性質得出，由得出，由三角形外角性質得出，從而得出．
解：∵平分，且，
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴,
∴，
∴
故選：C．
【變式2】（23-24八年級上·天津濱海新·期中）如圖，在中，的平分線交于點，平分，且交于點，若，則 cm．
【答案】10
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，角平分線的定義、平行線的性質，根據角平分線的定義和平行線的性質可證和是等腰三角形，從而可得，，然后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
故答案為：10．
【題型2】角平分線+垂線→等腰三角形
【例2】（23-24八年級上·福建龍巖·階段練習）如圖，在中，平分，，垂足為，，若，則的長為（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】該題主要考查了等腰三角形的性質和判定，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質和判定；延長長于點，根據平分，，證明證出再證明，即可求解；
解：延長長于點，
則，
平分，
，
，
，
，
，
，
故選：D．
【變式1】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，D為內一點，平分，，垂足為，交于點，，，，則的長為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等，先證，推出，根據等腰三角形“三線合一”可得，根據，可得，通過等量代換即可求解．
解：平分，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
故選C．
【變式2】（23-24八年級上·四川宜賓·期末）如圖，平分且于E，，若，的周長為20，則的長為 ．
【答案】8
【分析】本題考查角平分線定義，等腰三角形判定，全等三角形判定及性質，解二元一次方程組．根據題意設，再證明為等腰三角形，利用題干線段周長數據列出二元一次方程組即可得到本題答案．
解：設，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴為等腰三角形，
∴，
∵，的周長為20，
∴，解得：，
∴，
故答案為：8．
【題型3】三角形一個外角等于其中一個內角2倍等腰三角形
【例3】（23-24八年級上·吉林長春·期中）如圖，在中，，．在上取一點C，延長到點，使，連結；在上取一點D，延長到點，使，連結；……，按此操作進行下去，在以點為頂角頂點的等腰三角形的底角的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意知，，，，……均為等腰三角形，
∴由三角形內角和定理，三角形外角的性質可得，，，，
，，，然后作答即可．
解：由題意知，，，，……均為等腰三角形，
∴由三角形內角和定理，三角形外角的性質可得，，，，
，，，
故選：D．
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質．解題的關鍵在于明確角度之間的數量關系．
【變式1】（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，在中，，，，則的大小為 ．

【答案】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，設，則，根據等邊對等角得出．然后在中，利用三角形內角和定理列出方程，解方程即可求出的大?。?br/>解：設，，則，．
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，∵，
∴＝180°，
解得，
∴．
故答案為：．
【變式2】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，，平分交于點，交于點，交于點，則圖中等腰三角形共有（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形判定和性質、角平分線的性質、平行線的性質，由已知條件利用相關的性質求得各個角相等是本題的關鍵．根據等腰三角形的判定和性質定理以及平行線的性質即可得到結論．
解：∵，，
∴為等腰三角形，，
∵
∴，
∴，為等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴，，
∴為等腰三角形，為等腰三角形，
同理可得：為等腰三角形，為等腰三角形，為等腰三角形．
綜上所述：共有七個等腰三角形．
故選C．
【題型4】直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形
【例4】（21-22八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，，高與角平分線相交于點．
(1)求證：是等邊三角形；
(2)若，求的長度．
【答案】(1)證明見解析 (2)
【分析】本題考查了直角三角形的性質，角平分線的定義，對頂角相等，等邊三角形的判定和性質．
（1）根據直角三角形兩個銳角互余可得，根據一般地，從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線求出，根據直角三角形兩個銳角互余可得，，結合對頂角相等得出，即可證明；
（2）根據直角三角形兩個銳角互余可得，根據等角對等邊可得，根據等邊三角形的三條邊相等可得，根據根據直角三角形中所對的邊是斜邊的一半求得，即可求解．
解：（1）證明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知是等邊三角形，
∴，
在中，，
∴，
故．
【變式1】（24-25八年級上·全國·假期作業）如圖，在中，，是邊上的高，是的角平分線，與交于點F，求證：是等腰三角形．
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，直角三角形來那個銳角互余，三角形外角性質，角平分線的定義等知識，首先根據直角三角形兩銳角互余求得，然后根據三角形外角的性質求得，根據等角對等邊求得，從而求得是等腰三角形．
證明：在中，，
，
是邊上的高，
，
，
是的角平分線，
，
，即，
，
是等腰三角形．
【變式2】（22-23八年級下·湖南永州·期末）如圖，中，的平分線交于點，平分．給出下列結論：①；②；③；④；⑤．正確結論有（ ）個.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的內角和定理，直角三角形的性質，等腰三角形三線合一的性質．根據同角的余角相等求出，再根據等角的余角相等可以求出；根據等腰三角形三線合一的性質求出．
解：∵，
∴，
∴，故①正確；
∵是的平分線，
∴，
∵，，
∴，
∵（對頂角相等），
∴，故②正確；
假設，
∵，
∴，
∴，
∴只有時，故③錯誤；
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，故④正確．
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴,故⑤正確．
綜上所述，正確的結論是①②④⑤．
故選：C．
【題型5】等邊三角形中含定角問題
【例5】（2024七年級下·上?！ｎ}練習）如圖，等邊中，，和相交于，垂足為，求的度數．
【答案】
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，先根據定理得出，故可得出，再由三角形外角的性質得到，，再根據可知，根據直角三角形的性質即可得出結論．
解：是等邊三角形，
，，
在與中，
，
，
，
∴，
，
，
．
【變式1】（23-24八年級下·河南鄭州·期末）已知：如圖，點D，E 分別是等邊三角形的兩邊上的點，且.
(1)求證：； (2)求的度數.
【答案】(1)見解析(2)
【分析】此題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，證明是解題的關鍵.
（1）根據等邊三角形的性質和已知即可證明；
（2）根據全等三角形的性質得到．利用三角形內角和定理進行解答即可.
解：（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，．
又∵，
∴．
（2）∵
∴．
∴．
【變式2】（2024·浙江杭州·二模）如圖，是等邊三角形，D，E分別是，邊上的點，且，連接，相交于點F，則下列說法正確的是（ ）
①；②；
A．① B．② C．①② D．都錯
【答案】C
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．由“”可證，根據全等三角形的性質可得，由三角形外角的性質可求．
解：是等邊三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故①②正確，符合題意；
故選：C
【題型6】等邊三角形中含“手拉手”
【例6】（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖所示，A、C、B三點共線，與都是等邊三角形，相交于點P，且分別與交于點M，N．
(1)求證： (2)求的度數
【答案】(1)證明見解析 (2)
【分析】考查了等邊三角形的性質及全等三角形的判定方法，關鍵是根據等邊三角形的性質解答．
（1）根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定證明即可；
（2）根據三角形的內角和相等，對頂角相等，即可求解；
解：（1）證明：與都是等邊三角形，
，
,
,
在和中
，
（2）解：，
，
在和中，
，
又，
【變式1】（2024·重慶南岸·模擬預測）如圖，都是等邊三角形，將繞點旋轉，使得點在同一直線上，連接．若，則的長是 ．
【答案】3
【分析】根據等邊三角形的性質，,解答即可．
本題考查了等邊三角形性質，三角形全等的判定和性質，熟練掌握等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．
解：∵是等邊三角形，
∴，，
，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
答案為：3．
【變式2】（23-24八年級上·福建南平·期末）如圖，和都是等邊三角形，點E，F分別在邊和上，且，若的周長最小時，則的大小是 ．
【答案】/30度
【分析】本題考查了等邊三角形的性質以及垂線段最短，全等三角形的性質與判定：先通過等邊三角形的性質證明，得，因為，所以是等邊三角形，則當時，的周長最小，此時，即可作答．
解：∵和都是等邊三角形，且，
∴，
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
則的周長，
∴當時，有最小值，
∵等邊三角形的三線合一，
∴．
故答案為：．
【題型7】倍半角→等腰三角形
【例7】（22-23八年級上·北京·期中）如圖，在中，，為上一個動點．
(1)已知，求證：．
下面是兩位同學分享的思路：
小快同學：從求證目標出發，倍長到，即，又，則只需證．
小樂同學：從已知條件角的關系出發，發現若將關于直線對稱得到，則可證為等腰三角形．
請你選擇一種思路，完成證明
(2)已知，，請直接寫出的大?。ㄓ煤阶颖硎荆?br/>【答案】(1)見解析 (2)
【分析】（1）延長到，使，連接．證得等腰，然后利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理求解即可；
（2）延長到E，使，連接CE，證得等腰和等腰，然后利用等三角形的性質與三角形外角的性質、三角形內角和定理即可求解．
解：（1）證明：延長到，使，連接．
∵，
∴為線段的中垂線，
∴，
∴．
在中，．
又，
∴．
在中，，
∴．
∴
∴．
即．
（2）解：延長到E，使，連接CE，
∵，
∴為線段的中垂線，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點撥】本題考查等腰三角形的判定與性質，垂直平分線的性質，三角形外角性質，三角形內角和定理，通過作輔助線構造等腰三角形是解題的關鍵．
【變式】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，中，，分別為的高，角平分線，下列四個結論：
①；②；③；④．
其中所有正確結論的序號是 ．
【答案】①③④
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，三角形外角的性質，正確作出輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．
在上取一點F，使得，連接，根據全等三角形的判定和性質得出，再由三角形外角的性質及等量代換即可判斷③；在上截取，利用全等三角形的判定和性質及等量代換可判斷②③；設，則，分別表示出各個角即可判斷④．
解：如圖所示，在上取一點F，使得，連接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正確；
如圖在上截取，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
設，則，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，故①正確，
∵，
∴，故②錯誤；
設，則，
∴，，
∵為的角平分線，
∴，
∴，
∴，故④正確；
故答案為：①③④．
【題型8】倍長中線構造等腰三角形模型
【例8】（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，是的中線，是上一點，交于，若，，，則的長度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質,延長到使得，連接，證明，根據全等三角形的性質可得到，等量代換得到，再由已知條件即可解決問題；
解：如圖，延長到使得，連接，

∵是的中線，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故選：D．
【變式】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，D是的中點，E是上一點，，的延長線交于點F，若，，則求的度數為 ．

【答案】/32度
【分析】
本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．延長到G使，連接，通過，根據全等三角形的性質得到，，等量代換得到，由等腰三角形的性質得到，即可得到，進而利用三角形內角和解答即可．
解：如圖，延長到G使，連接，

在與中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案為：
第三部分【拓展延伸】
【題型9】拓展延伸
【例1】（23-24八年級上·北京·期末）如圖，中，分別平分和，過點作交于點，交于點，那么下列結論：
①；
②為等腰三角形；
③的周長等于的周長；
④．其中正確的是

【答案】①②④
【分析】本題考查角平分線的定義、平行線的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的內角和定理、三角形的三邊關系等知識，熟練掌握等腰三角形的判定與性質是解答的關鍵．
①根據角平分線的定義、平行線的性質，借助于等量代換可求出；
②同理可得②的結論；③用特殊值法，當為等邊三角形時，連接，根據等邊三角形的性質，角平分線定義和等腰三角形的判定便可得出，
進而得，便可得出：的周長不等于的周長；
④利用兩次三角形的內角和定理，以及角平分線的定義，進行等量代換，可求的和之間的關系式．
解：①∵是的角平分線，
∴，
又，
，
，故①正確；
②同理，
，
為等腰三角形，故②正確；
③假設為等邊三角形，則，如圖，連接，
∵，
，
的周長，
∵F是的平分線的交點，
∴第三條平分線必過其點，即平分，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
即的周長的周長，故③錯誤；
④在中，（1），
在中，，
即（2），
得，故④正確；
故答案為：①②④
【例2】（23-24八年級上·上海普陀·期末）【圖形新發現】小普同學發現：如果一個三角形的一條角平分線與一條中線互相垂直，那么這個三角形的某兩條邊必有倍半關系．
如圖1，已知在中，BD是的角平分線，是的中線，，垂足為點F．
（1）根據圖1，寫出中小普同學所發現的結論，并給出證明；
【圖形再探究】現將小普同學所研究的三角形稱為“線垂”三角形，并將被這條內角平分線所平分的內角叫做“分角”．下面我們跟著小普同學再探究：
（2）在如圖1中，“線垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度數；如果不可以，請說明理由；
（3）已知線段，是否存在一點P，使得以為一邊的“線垂”三角形PMN為等腰三角形？如果存在，請在圖2中用直尺和圓規做出為“分角”的“線垂”等腰三角形（不寫作法，僅保留作圖痕跡，在圖中清楚地標注出點P），并用文字語言歸納表述成一條與“線垂”等腰三角形的邊或角有關的真命題；如果不存在，請說明理由．

【答案】（1），證明見解析；（2）；（3）見解析
【模型】綜合模型
【分析】本題考查垂直平分線性質及畫法，角平分線性質，中線定義
（1）利用角平分線性質及垂直的定義得到，即為等腰三角形，再根據中線定義即可得到本題答案；
（2）根據（1）中結論即角平分線性質即可得到本題答案；
（3）畫出線段的垂直平分線找出點，根據垂直平分線性質寫出真命題即可．
解：（1）解：，證明如下：
∵BD是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AE是的中線，
∴，
∴，
∴；
（2）解：可以，證明如下：
當，
∵，
∴，
∴，
∵BD是的角平分線，
∴，
∴；
（3）解：存在，
∵根據題意描述，點在線段的垂直平分線上，作圖如下：
真命題：垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．
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專題13.15 等腰三角形八大幾何模型與九類題型（模型梳理與題型分類講解）
第一部分【模型歸納與題型目錄】
模型1:角平分線+平行線→等腰三角形
模型2:角平分線+垂線→等腰三角形
模型3:三角形一個外角等于其中一個內角2倍等腰三角形
模型4:直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形
模型5:等邊三角形中含定角問題
模型6:等邊三角形中含“手拉手”
模型7:倍半角+角平分線→等腰三角形
模型8:倍長中線構造等腰三角形
題型目錄
【題型1】角平分線+平行線→等腰三角形..................................3
【題型2】角平分線+垂線（中線）→等腰三角形............................4
【題型3】三角形一個外角等于其中一個內角2倍等腰三角形..............4
【題型4】直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形..............5
【題型5】等邊三角形中含定角問題.......................................6
【題型6】等邊三角形中含“手拉手”.....................................7
【題型7】倍半角+角平分線→等腰三角形..................................8
【題型8】倍長中線構造等腰三角形.......................................9
【題型9】拓展延伸.....................................................9
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】角平分線+平行線→等腰三角形
【例1】（2024九年級下·浙江·專題練習）如圖，在中，平分，于點，交于點，若，則 ．

【變式1】（2024·湖南婁底·模擬預測）如圖，在中，平分，．若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級上·天津濱海新·期中）如圖，在中，的平分線交于點，平分，且交于點，若，則 cm．
【題型2】角平分線+垂線→等腰三角形
【例2】（23-24八年級上·福建龍巖·階段練習）如圖，在中，平分，，垂足為，，若，則的長為（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式1】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，D為內一點，平分，，垂足為，交于點，，，，則的長為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【變式2】（23-24八年級上·四川宜賓·期末）如圖，平分且于E，，若，的周長為20，則的長為 ．
【題型3】三角形一個外角等于其中一個內角2倍等腰三角形
【例3】（23-24八年級上·吉林長春·期中）如圖，在中，，．在上取一點C，延長到點，使，連結；在上取一點D，延長到點，使，連結；……，按此操作進行下去，在以點為頂角頂點的等腰三角形的底角的度數為（ ）

A． B． C． D．
【變式1】（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，在中，，，，則的大小為 ．

【變式2】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，，平分交于點，交于點，交于點，則圖中等腰三角形共有（　?。?br/>A．個 B．個 C．個 D．個
【題型4】直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形
【例4】（21-22八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，，高與角平分線相交于點．
（1）求證：是等邊三角形；
（2）若，求的長度．
【變式1】（24-25八年級上·全國·假期作業）如圖，在中，，是邊上的高，是的角平分線，與交于點F，求證：是等腰三角形．
【變式2】（22-23八年級下·湖南永州·期末）如圖，中，的平分線交于點，平分．給出下列結論：①；②；③；④；⑤．正確結論有（ ）個.
A．2 B．3 C．4 D．5
【題型5】等邊三角形中含定角問題
【例5】（2024七年級下·上?！ｎ}練習）如圖，等邊中，，和相交于，垂足為，求的度數．
【變式1】（23-24八年級下·河南鄭州·期末）已知：如圖，點D，E 分別是等邊三角形的兩邊上的點，且.
（1）求證：；
（2）求的度數.
【變式2】（2024·浙江杭州·二模）如圖，是等邊三角形，D，E分別是，邊上的點，且，連接，相交于點F，則下列說法正確的是（ ）
①；②；
A．① B．② C．①② D．都錯
【題型6】等邊三角形中含“手拉手”
【例6】（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖所示，A、C、B三點共線，與都是等邊三角形，相交于點P，且分別與交于點M，N．
（1）求證：
（2）求的度數
【變式1】（2024·重慶南岸·模擬預測）如圖，都是等邊三角形，將繞點旋轉，使得點在同一直線上，連接．若，則的長是 ．
【變式2】（23-24八年級上·福建南平·期末）如圖，和都是等邊三角形，點E，F分別在邊和上，且，若的周長最小時，則的大小是 ．
【題型7】倍半角→等腰三角形
【例7】（22-23八年級上·北京·期中）如圖，在中，，為上一個動點．
（1）已知，求證：．
下面是兩位同學分享的思路：
小快同學：從求證目標出發，倍長到，即，又，則只需證．
小樂同學：從已知條件角的關系出發，發現若將關于直線對稱得到，則可證為等腰三角形．
請你選擇一種思路，完成證明
（2）已知，，請直接寫出的大?。ㄓ煤阶颖硎荆?br/>【變式1】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，中，，分別為的高，角平分線，下列四個結論：
①；②；③；④．
其中所有正確結論的序號是 ．
【題型8】倍長中線構造等腰三角形模型
【例8】（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，是的中線，是上一點，交于，若，，，則的長度為（ ）

A． B． C． D．
【變式】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，D是的中點，E是上一點，，的延長線交于點F，若，，則求的度數為 ．

第三部分【拓展延伸】
【題型9】拓展延伸
【例1】（23-24八年級上·北京·期末）如圖，中，分別平分和，過點作交于點，交于點，那么下列結論：
①；
②為等腰三角形；
③的周長等于的周長；
④．其中正確的是

【例2】（23-24八年級上·上海普陀·期末）【圖形新發現】小普同學發現：如果一個三角形的一條角平分線與一條中線互相垂直，那么這個三角形的某兩條邊必有倍半關系．
如圖1，已知在中，BD是的角平分線，是的中線，，垂足為點F．
（1）根據圖1，寫出中小普同學所發現的結論，并給出證明；
【圖形再探究】現將小普同學所研究的三角形稱為“線垂”三角形，并將被這條內角平分線所平分的內角叫做“分角”．下面我們跟著小普同學再探究：
（2）在如圖1中，“線垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度數；如果不可以，請說明理由；
（3）已知線段，是否存在一點P，使得以為一邊的“線垂”三角形PMN為等腰三角形？如果存在，請在圖2中用直尺和圓規做出為“分角”的“線垂”等腰三角形（不寫作法，僅保留作圖痕跡，在圖中清楚地標注出點P），并用文字語言歸納表述成一條與“線垂”等腰三角形的邊或角有關的真命題；如果不存在，請說明理由．

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