資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題13.4 等腰三角形（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】等腰三角形的定義
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.
如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．
　　
【要點提示】等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
【知識點二】等腰三角形的性質
1.等腰三角形的性質
性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．
2.等腰三角形的性質的作用
性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據．
性質2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．
3.等腰三角形是軸對稱圖形
等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．
【知識點三】等腰三角形的判定
如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.
【要點提示】等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】等腰三角形的定義
【例1】（23-24七年級下·江蘇鎮江·階段練習）已知等腰三角形的兩邊，，滿足，求此等腰三角形的周長．
【變式1】（22-23七年級下·寧夏銀川·期中）等腰三角形的一邊長是，另一邊長是，則這個三角形的周長是（ ）
A． B． C．或 D．
【變式2】（2023·內蒙古通遼·模擬預測）一個等腰三角形，一腰上的高與另一腰所成的夾角為，則頂角的度數為 ．
【題型2】“等邊對等角”進行求值與證明
【例2】（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，，過點A作，且，求證：．
【變式1】（2024·山東臨沂·模擬預測）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏東方向，且B，C到A的距離相等，則小島A相對于小島C的方向是（　　）
A．北偏東 B．北偏東 C．南偏西 D．南偏西
【變式2】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，以為邊向外作等腰直角三角形，連接，若，則 ．
【題型3】“三線合一”進行求值與證明
【例3】（24-25八年級上·全國·課后作業）如圖，在中，，E為邊上的點，且，為線段的中點，過點作，過點作，且、相交于F．
（1）求證：； （2）求證：．
【變式1】（23-24七年級下·四川達州·期末）如圖，在等腰，，，為的角平分線，過點作交的延長線與點，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（21-22八年級上·山西臨汾·期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線為l，點D是邊的中點，點P是l上的動點，當的周長取最小值4時，則 ．
【題型4】“等角對等邊”進行求值與證明
【例4】（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，在中，平分，平分．若過點作直線和邊平行，與交于點，與交于點，則線段和，之間有怎樣的數量關系并證明？
【變式1】（23-24七年級下·山東煙臺·期末）在中，已知兩個內角的度數如下，則能判斷為等腰三角形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式2】（23-24七年級下·山東煙臺·期末）如圖，，為，的中點，，，則的長為 ．
【題型5】利用等腰三角形的性質與判定進行證明與求值
【例5】（23-24七年級下·上海·期末）如圖，，點D在邊上，和相交于點O．
（1）試說明的理由；
（2）若，試判斷和的大小關系，并說明理由．
【變式1】（23-24七年級下·重慶·階段練習）如圖，和的邊交于點，添加一個條件，不能證明和全等的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，四邊形中，，，，若的面積為32，則長為 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知，點為內部一點，點為射線、點為射線上的兩個動點，當的周長最小時，則 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·陜西咸陽·期末）【問題提出】
（1）如圖，在和中，，，，連接，，交于點，延長交于點．
試說明：；
求的度數．
【問題探究】
（2）如圖，在和中，，，，連接，，延長，交于點，請猜想與的數量關系及的度數，并說明理由．
【例2】（23-24七年級下·浙江寧波·期末）
【基礎鞏固】（1）如圖 1，在 與 中， ，求證： ；
【嘗試應用】（2）如圖 2，在 與 中， 三 點在一條直線上， 與 交于點 ，若點 為 中點，
① 求 的大小； ，求 的面積；
【拓展提高】（3）如圖 3， 與 中， 與 交于點 的面積為 32，求的長．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題13.4 等腰三角形（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】等腰三角形的定義
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.
如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．
　　
【要點提示】等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
【知識點二】等腰三角形的性質
1.等腰三角形的性質
性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．
2.等腰三角形的性質的作用
性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據．
性質2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．
3.等腰三角形是軸對稱圖形
等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．
【知識點三】等腰三角形的判定
如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.
【要點提示】等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】等腰三角形的定義
【例1】（23-24七年級下·江蘇鎮江·階段練習）已知等腰三角形的兩邊，，滿足，求此等腰三角形的周長．
【答案】11或13
【分析】根據偶次方和絕對值的非負性，建立關于a、b的二元一次方程，即可分別求出a、b，再根據三角形三邊關系、等腰三角形的概念計算即可求得．
解：，
，
，
當這個等腰三角形的腰長為3時，則這個等腰三角形的三邊長分別為3、3、5，
，
能構成三角形，
∴這個等腰三角形的周長為：；
當這個等腰三角形的腰長為5時，則這個等腰三角形的三邊長分別為3、5、5，
，
能構成三角形，
∴這個等腰三角形的周長為：；
綜上，這個等腰三角形的周長為：11或13．
【點撥】本題考查的是偶次方的非負性、解二元一次方程組，等腰三角形的性質以及三角形三邊之間的關系．
【變式1】（22-23七年級下·寧夏銀川·期中）等腰三角形的一邊長是，另一邊長是，則這個三角形的周長是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，分是腰長和底邊兩種情況，求出三角形的三邊，再根據三角形的三邊關系判定求解．
解：①若是腰長，則三角形的三邊分別為，，；能組成三角形，
周長，
②若是底邊，則三角形的三邊分別為能組成三角形，
周長，
綜上所述，這個等腰三角形的周長是或
故選：C．
【變式2】（2023·內蒙古通遼·模擬預測）一個等腰三角形，一腰上的高與另一腰所成的夾角為，則頂角的度數為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質、等腰三角形的性質．此題難度適中，解題的關鍵在于正確的畫出圖形，結合圖形，利用數形結合思想求解．首先根據題意畫出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數為．另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數為．
解：①如圖，等腰三角形為銳角三角形，
，，
，
即頂角的度數為；
②如圖，等腰三角形為鈍角三角形，
，，
，
，
即頂角的度數為
綜上，頂角的度數為或
故答案為：或．
【題型2】“等邊對等角”進行求值與證明
【例2】（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，，過點A作，且，求證：．
【分析】根據等邊對等角得到，再利用平行線的性質可以得到，進而證明，即可得到結論．
證明：∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【變式1】（2024·山東臨沂·模擬預測）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏東方向，且B，C到A的距離相等，則小島A相對于小島C的方向是（　　）
A．北偏東 B．北偏東 C．南偏西 D．南偏西
【答案】C
【分析】根據題意可得，，，再根據等腰三角形的性質可得，從而求出的度數，然后利用平行線的性質可得，從而求出的度數，即可解答．
解：如圖：
由題意得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴小島C相對于小島A的方向是北偏東，
小島A相對于小島C的方向是南偏西．
故選C
【點撥】本題考查了方向角，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
【變式2】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，以為邊向外作等腰直角三角形，連接，若，則 ．
【答案】
【分析】如圖所示，過點B作交延長線于E，連接，證明得到，則，再利用面積公式可得答案．
解：如圖所示，過點B作交延長線于E，連接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是以B為直角頂點，為直角邊作等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
【題型3】“三線合一”進行求值與證明
【例3】（24-25八年級上·全國·課后作業）如圖，在中，，E為邊上的點，且，為線段的中點，過點作，過點作，且、相交于F．
（1）求證：；
（2）求證：．
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，余角的性質，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵．
（1）由等腰三角形的性質可得，由余角的性質可得；
（2）由“”可證，可得．
（1）證明： ，為線段的中點，
，
，
，
，
；
（2）證明：∵，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【變式1】（23-24七年級下·四川達州·期末）如圖，在等腰，，，為的角平分線，過點作交的延長線與點，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識，延長交的延長線于點，證明，得，再證，得，然后由等腰三角形的性質得，即可得出結論．掌握等腰三角形三線合一性質是解題的關鍵．
解：如圖，延長交的延長線于點，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的長為．
故選：B．
【變式2】（21-22八年級上·山西臨汾·期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線為l，點D是邊的中點，點P是l上的動點，當的周長取最小值4時，則 ．
【答案】2或6/6或2
【分析】連接，由于，點D是邊的中點，故，再根據三角形的面積公式求出，再根據直線l是線段的垂直平分線可知，點C關于直線l的對稱點為點B，故BD的長為的最小值，得，由此即可得出結論．
解：連接，
∵，點D是邊的中點，
∴，
∴，
解得，
∵直線l是線段的垂直平分線，
∴點C關于直線l的對稱點為點B，
∴的長為的最小值，
∴的周長最短，
∴，
∴，
解得或6．
故答案為：2或6．
【點撥】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．
【題型4】“等角對等邊”進行求值與證明
【例4】（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，在中，平分，平分．若過點作直線和邊平行，與交于點，與交于點，則線段和，之間有怎樣的數量關系并證明？
【答案】．理由見解析
【分析】此題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質，利用了等量代換的思想，熟練掌握性質與判定是解本題的關鍵．由為角平分線，利用角平分線的性質得到一對角相等，再由與平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換可得出，利用等角對等邊得到，同理得到，再由，等量代換可得證．
解：．
理由：，分別是，的平分線，
，．
又∵，
，，
，，
即，，
．
【變式1】（23-24七年級下·山東煙臺·期末）在中，已知兩個內角的度數如下，則能判斷為等腰三角形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內角和定理．
解：A. ∵，
∴，不能判斷為等腰三角形，故該選項不正確，不符合題意；
B. ∵，
∴，不能判斷為等腰三角形，故該選項不正確，不符合題意；
C. ∵，
∴，
∴，
∴，則為等腰三角形，故該選項正確，符合題意；
D. ∵，
∴，不能判斷為等腰三角形，故該選項不正確，不符合題意；
故選：C．
【變式2】（23-24七年級下·山東煙臺·期末）如圖，，為，的中點，，，則的長為 ．
【答案】2
【分析】本題考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質，熟練掌握等腰三角形的判定是解答的關鍵．先證明得到，，再根據等角對等邊得到，，設，由結合已知列方程求解x值即可．
解：∵為，的中點，
∴,，又，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，，
設，
∵，，
∴，，
∴，解得，
∴，
故答案為：2．
【題型5】利用等腰三角形的性質與判定進行證明與求值
【例5】（23-24七年級下·上海·期末）如圖，，點D在邊上，和相交于點O．
（1）試說明的理由；
（2）若，試判斷和的大小關系，并說明理由．
【答案】(1)詳見解析 (2)，理由見解析
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，對頂角相等，等腰三角形的判定與性質，熟練運用全等三角形的判定定理與性質定理是解題的關鍵．
（1）根據三角形內角和定理求出，則，利用即可證明；
（2）過點E作，垂足為H ，根據全等三角形的性質及等腰三角形的性質求出，結合三角形內角和定理求出，等量代換求解即可．
（1）解：，，
又，，
，
，
，
，
即 ，
在與中，
，
；
（2）如圖，過點E作，垂足為H ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
【變式1】（23-24七年級下·重慶·階段練習）如圖，和的邊交于點，添加一個條件，不能證明和全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定方法，根據等腰三角形性質可知，再根據已知條件和添加條件，結合全等三角形的判斷方法即可解答．
解：∵，
∴，
當添加，則，
又∵，，
∴，故選項A不符合題意；
當添加，
又∵，，
∴，故選項B不符合題意；
當添加，
又∵，，
∴，故選項C不符合題意；
當添加，
又∵，，
∴由不能證明和全等，故選項D符合題意；
故選：D．
【變式2】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，四邊形中，，，，若的面積為32，則長為 ．
【答案】8
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，作交的延長線于，連接，則為等腰直角三角形，證明，得出，，證明，結合的面積為32，得出，計算即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
解：如圖，作交的延長線于，連接，
，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∵在，，，
∴，
∴，即，
∵的面積為32，
∴，
∵，
∴
故答案為：8．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質．根據等腰三角形的性質，可得，再由三角形外角的性質，即可求解．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：B
【例2】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知，點為內部一點，點為射線、點為射線上的兩個動點，當的周長最小時，則 ．
【答案】/度
【分析】本題考查了軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質，三角形內角和定理的應用；作點P關于，的對稱點．連接．則當，是與，的交點時，的周長最短，根據對稱的性質結合等腰三角形的性質即可求解．
解：作關于，的對稱點．連接．則當，是與，的交點時，的周長最短，連接，
關于對稱，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案為：．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年級下·陜西咸陽·期末）【問題提出】
（1）如圖，在和中，，，，連接，，交于點，延長交于點．
試說明：；
求的度數．
【問題探究】
（2）如圖，在和中，，，，連接，，延長，交于點，請猜想與的數量關系及的度數，并說明理由．
【答案】（1）證明見解析；
（2），，理由見解析
【分析】（1）利用證明，即可得出結論；由全等三角形的性質以及三角形外角的性質可得出結論；
（2）利用證明，由全等三角形的性質即可得出；然后，根據等腰三角形的性質，三角形的內角和定理以及三角形外角的性質即可求出的度數．
解：（1），
，即，
在和中，
，
，
；
如圖，設與交于點，
，
，
，
，
；
（2），，理由如下：
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，，
，
．
【點撥】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，三角形外角的性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．
【例2】（23-24七年級下·浙江寧波·期末）
【基礎鞏固】（1）如圖 1，在 與 中， ，求證： ；
【嘗試應用】（2）如圖 2，在 與 中， 三 點在一條直線上， 與 交于點 ，若點 為 中點，
① 求 的大小； ，求 的面積；
【拓展提高】（3）如圖 3， 與 中， 與 交于點 的面積為 32，求的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）①，②；（3）
【分析】（1）由證即可；
（2）①同（1）得，得，即可得出結論；
②過點A作于點G，證，得，，再由等腰直角三角形的性質得，則，然后由三角形面積關系即可得出結論；
（3）連接，同（2）得，則，，得，再證，得，，然后證，得，進而由，得，則，即可得出結論．
（1）證明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：①，，
，
，
同（1）得：，
，
；
②如圖2，過點A作于點G，
則，
由①可知，，
，
點F為中點，
，
又，
，
，，
，，
，
，
；
（3）解：如圖3，連接，
同（2）得：，
，，
，
在和中，
，
，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，負值舍去，
即的長為8．
【點撥】本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質以及三角形面積等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考常考題型．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑