資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專(zhuān)題13.7 等邊三角形（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）
第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】
【知識(shí)點(diǎn)一】等邊三角形定義
三邊都相等的三角形叫等邊三角形.　　
【要點(diǎn)提示】由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說(shuō)等腰三角形包
括等邊三角形．
【知識(shí)點(diǎn)二】等邊三角形的性質(zhì)
等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.
【知識(shí)點(diǎn)三】等邊三角形的判定
（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；
（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
【知識(shí)點(diǎn)四】含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.　
【要點(diǎn)提示】這個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.
第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】
【題型1】利用等邊三角形性質(zhì)求值與證明
【例1】（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖所示，是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使．
（1）求的度數(shù)？
（2）用尺規(guī)作圖的方法，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（3）求證：．
【答案】(1) (2)見(jiàn)解析 (3)見(jiàn)解析
【分析】此題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)、基本作圖和等腰三角形的性質(zhì)．全等和等腰三角形都是證明線(xiàn)段相等的常用方法．
（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)的方法進(jìn)行求作；
（3）根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一進(jìn)行證明．
（1）解：是等邊三角形，
，
又，為的外角，
；
（2）如圖所示：
（3）證明：是等邊三角形，是中點(diǎn)，
，又，
，
，
又，
．
【變式1】（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）如圖，是等邊的邊上的中線(xiàn)，以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握三線(xiàn)合一的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到，，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得到，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．
解：是等邊三角形，是邊上的中線(xiàn)，
，，
由作法可知，，
，
是的外角，
，
，
故選：A．
【變式2】（2023·廣東清遠(yuǎn)·一模）如圖，等邊三角形和等邊三角形的邊長(zhǎng)都是，點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)在線(xiàn)段上，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)——最短路線(xiàn)問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，連接，證明，可得，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，正好等于的長(zhǎng)，進(jìn)而可得的最小值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
解：如圖，連接，
∵和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，正好等于的長(zhǎng)，
∴的最小值為，
故答案為：．
【題型2】利用等邊三角形判定求值與證明
【例2】（21-22八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在中，，，的垂直平分線(xiàn)分別交和于點(diǎn)，．
（1）求證：；
（2）連接，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)等邊三角形，見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可求得，在中，由直角三角形的性質(zhì)可證得，則可證得結(jié)論；
（2）由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可求得，且，可證明為等邊三角形．
（1）證明：連接，
∵，
∴，
是的垂直平分線(xiàn)，
，
，
，
在中，，
；
（2）解：是等邊三角形，
理由如下：連接．
垂直平分，
∴，
，，
，
∴，
，
是等邊三角形．
【變式1】（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，， ， 則是（ ）
A．銳角且不等邊三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【答案】D
【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵． 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出和的度數(shù)，判斷的形狀即可．
解：∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
故選：D．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在中，，，點(diǎn)在邊上，連接．給出下列四種說(shuō)法：
①當(dāng)時(shí)，一定為等邊三角形；
②當(dāng)時(shí)，一定為等邊三角形；
③當(dāng)是等腰三角形時(shí)，一定為等邊三角形；
④當(dāng)是等腰三角形時(shí)，一定為等腰三角形．
其中正確的說(shuō)法是 ．（填序號(hào)）
【答案】①②④
【分析】本題主要考查了直角三角形的兩銳角互余，等邊三角形的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，由，，得．①當(dāng)時(shí)，由“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”可判定為等邊三角形；②當(dāng)時(shí)，由，得，進(jìn)而即可判定；③當(dāng)是等腰三角形，且為頂角時(shí)，不是等邊三角形；④當(dāng)是等腰三角形時(shí)，得為等邊三角形，進(jìn)而得，即可判斷為等腰三角形．從而即可得解．
解：∵，，
∴．
①當(dāng)時(shí)，由“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”可判定為等邊三角形；
②當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴為等邊三角形；
③當(dāng)是等腰三角形，且為頂角時(shí)，不是等邊三角形；
④當(dāng)是等腰三角形時(shí)，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴為等腰三角形．
綜上，正確的說(shuō)法是①②④．
故答案為：①②④．
【題型3】利用含30度的直角三角形邊的關(guān)系求值與證明
【例3】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在等邊中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，．
（1）求證：；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，若，猜想線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)．理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)可證明；
（2）先證明垂直平分，再由三線(xiàn)合一得，求出，然后根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得．
解：（1）∵為等邊三角形，
∴．
又∵，
∴．
（2）．證明如下：
∵，
∴垂直平分．
∵，
∴平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴在中，．
【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定，熟練掌握30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（22-23八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖，在中，，是高，，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)， 根據(jù)兩銳角互余得出，，再根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)得出，，最后再根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系即可得出答案．
解：∵在中，，，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【變式2】（22-23八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖，在中，，，以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)再分別以，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)有下列說(shuō)法：①線(xiàn)段是的平分線(xiàn)；②；③點(diǎn)到邊的距離與的長(zhǎng)相等；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【答案】①②③④
【分析】由由基本作圖可知：是的平分線(xiàn)，即可得出①正確，由角平分線(xiàn)的定義以及三角形外角的定義以及性質(zhì)可得出，可得出②正確，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可得出③正確，由含角的直角三角形性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得出，最后根據(jù)三角形的面積公式即可得出④正確．
解：由基本作圖可知：是的平分線(xiàn)，故①正確，
∵，，
∴，
∵是的平分線(xiàn)，
∴，
∴，
∴，故②正確，
∵點(diǎn)D在的角平分線(xiàn)上，
∴點(diǎn)到邊的距離與的長(zhǎng)相等，故③正確；
∵
∴，，
∵，
∴，故④正確，
∴結(jié)論①②③④都正確，
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線(xiàn)的定義以及作圖，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義以及性質(zhì)等知識(shí)，掌握這次定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型4】利用等邊三角形性質(zhì)與判定求值與證明
【例4】（22-23八年級(jí)上·廣東湛江·期中）已知：如圖，、都是等邊三角形，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）求證：是等邊三角形．
【答案】(1)見(jiàn)解析； (2)； (3)見(jiàn)解析．
【分析】本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行推理，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的代表性．
（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，，求出，證即可；
（2）根據(jù)全等求出，進(jìn)而求出的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；
（3）求出，根據(jù)證，推出，求出即可．
（1）證明：、都是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
．
（2）解：，
，
等邊三角形，
，
，
，
（3）證明：，
，，，
又點(diǎn)、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)，
，，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
是等邊三角形．
【變式1】（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期末）如圖，，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)A，D，再以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與弧交于點(diǎn)B，連接、，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)C，若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由題意得，則可得是等邊三角形，則，進(jìn)而可得，則可得．
本題主要考查這了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
解：由題意得，
是等邊三角形，
，
，
，
，
．
故選：B
【變式2】（22-23八年級(jí)下·安徽宿州·期中）如圖，在中，，，是內(nèi)的兩點(diǎn)，平分，．
（1） °；
（2）若，，則的長(zhǎng)為 cm．
【答案】 30 16
【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)與交于，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，證為等邊三角形得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，，然后再中由三角形的內(nèi)角和定理可得出的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)，
（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，則，在中根據(jù)得，由此可得，，由此可得的長(zhǎng)．
解：（1）設(shè)與交于，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，如圖所示：
為等邊三角形，
，
在中，，平分，
，，
為直角三角形，
，
，
故答案為：30．
（2）為等邊三角形，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案為：16．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段上，，，．
（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明是等邊三角形是解答的關(guān)鍵．
（1）直接根據(jù)全等三角形的判定證明結(jié)論即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，再證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可．
解：（1）證明：在與中，
，
所以；
（2）解：因?yàn)椋?br/>所以，，
所以是等邊三角形．
所以．
【例2】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】12
【分析】過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，在中，，，當(dāng)，，在同一直線(xiàn)上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線(xiàn)段的長(zhǎng)．
解：過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，如圖所示：
在中，，
，
，
當(dāng)，，在同一直線(xiàn)上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，
此時(shí)，，
是等邊三角形，
，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值為12，
故答案為：12．
【點(diǎn)撥】本題考查垂線(xiàn)段最短、等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），則有__________（填“>”“<”或“=”）；
（2）如圖2，若點(diǎn)E為上任意一點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線(xiàn)上，點(diǎn)D在直線(xiàn)上，且，若的邊長(zhǎng)為2，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】(1) (2)，理由見(jiàn)解析 (3)的長(zhǎng)為2或6
【分析】（1）根據(jù)三線(xiàn)合一定理和三角形外角的性質(zhì)證明即可得到答案；
（2）過(guò)作交于，先證明是等邊三角形，再證明即可得到答案；
（3）分在的延長(zhǎng)線(xiàn)和在的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況討論求解即可．
解：（1）解：∵三角形是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴平分，，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如圖，過(guò)作交于，
∵是等邊三角形，
，
∴，
即．
∴是等邊三角形．
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：∵三角形是等邊三角形，
，
如圖所示：當(dāng)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交直線(xiàn)于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于，
同理可以求得，
，
，
故的長(zhǎng)為2或6．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
【例2】（23-24八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）在等腰中，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，平分交于點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，在上取點(diǎn)，使，連接．求證：是等邊三角形；
（3）如圖3，當(dāng)，且時(shí)，求證：．
【分析】（1）利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，等量代換證明結(jié)論；
（2）在上截取，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明為等邊三角形；
（3）延長(zhǎng)交于，證明，得到，再證明，得到，等量代換得到答案．
解：（1）證明：∵平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：如圖，在上截取，連接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴為等邊三角形；
（3）證明：如圖3，延長(zhǎng)、交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專(zhuān)題13.7 等邊三角形（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）
第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】
【知識(shí)點(diǎn)一】等邊三角形定義
三邊都相等的三角形叫等邊三角形.　　
【要點(diǎn)提示】由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說(shuō)等腰三角形包
括等邊三角形．
【知識(shí)點(diǎn)二】等邊三角形的性質(zhì)
等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.
【知識(shí)點(diǎn)三】等邊三角形的判定
（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；
（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
【知識(shí)點(diǎn)四】含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.　
【要點(diǎn)提示】這個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.
第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】
【題型1】利用等邊三角形性質(zhì)求值與證明
【例1】（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖所示，是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使．
（1）求的度數(shù)？
（2）用尺規(guī)作圖的方法，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（3）求證：．
【變式1】（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）如圖，是等邊的邊上的中線(xiàn)，以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·廣東清遠(yuǎn)·一模）如圖，等邊三角形和等邊三角形的邊長(zhǎng)都是，點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)在線(xiàn)段上，則的最小值為 ．
【題型2】利用等邊三角形判定求值與證明
【例2】（21-22八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在中，，，的垂直平分線(xiàn)分別交和于點(diǎn)，．
（1）求證：；
（2）連接，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
【變式1】（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，， ， 則是（ ）
A．銳角且不等邊三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【變式2】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在中，，，點(diǎn)在邊上，連接．給出下列四種說(shuō)法：
①當(dāng)時(shí)，一定為等邊三角形；
②當(dāng)時(shí)，一定為等邊三角形；
③當(dāng)是等腰三角形時(shí)，一定為等邊三角形；
④當(dāng)是等腰三角形時(shí)，一定為等腰三角形．
其中正確的說(shuō)法是 ．（填序號(hào)）
【題型3】利用含30度的直角三角形邊的關(guān)系求值與證明
【例3】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在等邊中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，．
（1）求證：；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，若，猜想線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【變式1】（22-23八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖，在中，，是高，，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．
【變式2】（22-23八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖，在中，，，以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)再分別以，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)有下列說(shuō)法：①線(xiàn)段是的平分線(xiàn)；②；③點(diǎn)到邊的距離與的長(zhǎng)相等；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【題型4】利用等邊三角形性質(zhì)與判定求值與證明
【例4】（22-23八年級(jí)上·廣東湛江·期中）已知：如圖，、都是等邊三角形，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）求證：是等邊三角形．
【變式1】（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期末）如圖，，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)A，D，再以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與弧交于點(diǎn)B，連接、，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)C，若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式2】（22-23八年級(jí)下·安徽宿州·期中）如圖，在中，，，是內(nèi)的兩點(diǎn)，平分，．
（1） °；
（2）若，，則的長(zhǎng)為 cm．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段上，，，．
（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)．
【例2】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），則有__________（填“>”“<”或“=”）；
（2）如圖2，若點(diǎn)E為上任意一點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線(xiàn)上，點(diǎn)D在直線(xiàn)上，且，若的邊長(zhǎng)為2，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【例2】（23-24八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）在等腰中，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，平分交于點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，在上取點(diǎn)，使，連接．求證：是等邊三角形；
（3）如圖3，當(dāng)，且時(shí)，求證：．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑