資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題14.1 冪的運算（3大知識點7類題型）（知識梳理與題型分類講解）
第一部分【知識點歸納與題型目錄】
【知識點1】同底數冪的乘法法則
　(其中都是正整數).即同底數冪相乘，底數不變，指數相加.
【要點提示】
同底數冪是指底數相同的冪，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.
三個或三個以上同底數冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數）. （3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數冪的積，其中它們的底數與原來的底數相同，它們的指數之和等于原來的冪的指數。即（都是正整數）.
【知識點2】冪的乘方法則
(其中都是正整數).即冪的乘方，底數不變，指數相乘.
【要點提示】
公式的推廣： (，均為正整數)
（2）逆用公式： ，根據題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.
【知識點3】積的乘方法則
(其中是正整數).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.
【要點提示】
公式的推廣： (為正整數).
逆用公式：逆用公式適當的變形可簡化運算過程，尤其是遇到底數互為倒數時，計算更簡便.如：
【知識點4】注意事項
底數可以是任意實數，也可以是單項式、多項式.
同底數冪的乘法時，只有當底數相同時,指數才可以相加.指數為1，計算時不要遺漏.
冪的乘方運算時，指數相乘，而同底數冪的乘法中是指數相加.
積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數)都要分別乘方.
靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.
帶有負號的冪的運算，要養成先化簡符號的習慣.
【題型目錄】
【題型1】同底數冪的乘法運算及逆運算...........................................2;
【題型2】冪的乘方運算及逆運算.................................................3;
【題型3】積的乘方運算及逆運算.................................................3;
【題型4】冪的混合運算.........................................................4;
【題型5】冪的運算的應用.......................................................4;
【題型6】直通中考.............................................................5;
【題型7】拓展與延伸...........................................................5.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】同底數冪的乘法運算及逆運算
【例1】（23-24七年級上·河南周口·期中）在學習第一章有理數時，類比小學兩個正數的運算法則學習了有理數的加減法、有理數的乘除法，在第二章整式的加減時，類比第一章有理數的學習過程學習了整式的加減，那么整式的乘法是否可以類比有理數的乘法進行學習呢 我們從特殊情況入手對兩個同底數冪相乘進行探究．
（1）探究
根據乘方的意義填空，觀察計算結果，你能發現什么規律
①，
②，
③，
（2）規律
（都是正整數）．
即______．（文字表達）
（3）應用
①計算；
②把看成一個整體，計算．
【變式1】（23-24七年級下·全國·單元測試）計算（　　　）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·全國·單元測試）已知，則 ．
【例2】（2024七年級下·全國·專題練習）（1）已知，求的值；
（2）若，求a的值．
【變式1】（23-24七年級下·江蘇淮安·期中）已知，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024七年級上·上海·專題練習）已知，則x的值為 ．
【題型2】冪的乘方運算及逆運算
【例3】（21-22七年級上·上海·期末）計算：．
【變式1】（2022·江蘇鎮江·中考真題）下列運算中，結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】．若 ,則 ．
【例4】（2023八年級上·全國·專題練習）（1）若，求的值；
（2）若，求x的值．
【變式1】已知，，，則a、b、c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級上·重慶九龍坡·階段練習）已知，則 ．
【題型3】積的乘方運算及逆運算
【例5】（22-23八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）
（1） ; （2）
【變式1】（2022·廣東深圳·中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（20-21七年級下·江蘇揚州·期末）已知am＝10，bm＝2，則（ab）m＝ ．
【例6】（2023九年級·全國·專題練習）用簡便方法計算：
(1)； (2)．
【變式1】（22-23七年級下·河北滄州·期中）若為正整數．且，則的值為（ ）
A．4 B．16 C．64 D．192
【變式2】已知，則= ．
【題型4】冪的混合運算
【例7】（21-22八年級上·全國·課后作業）計算：
（1）； （2）．
【變式1】（20-21七年級下·甘肅蘭州·階段練習）下列各式計算正確的是（ ）
A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12
C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3
【變式2】已知，則 = .（用含的代數式表示）
【題型5】冪的運算的應用
【例8】（23-24八年級上·山西長治·階段練習）我們知道，一般的數學公式、法則、定義可以正向運用，也可以逆向運用．對于“同底數冪的乘法”“冪的乘方”“積的乘方”這幾個法則的逆向運用表現為，，；（，為正整數）．
請運用這個思路和冪的運算法則解決下列問題：
(1)已知，，，請把，，用“”連接起來： ；
(2)若，，求的值；
(3)計算：．
【變式1】（21-22八年級上·河南三門峽·期末）下列運算中，錯誤的個數是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式2】（20-21九年級下·湖南永州·期中）將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進行對折，記第1次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，請根據圖2化簡， ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
【題型6】直通中考
【例9】（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數，且滿足，則a與b的關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【例10】（2024·山東煙臺·中考真題）下列運算結果為的是（ ）
A． B． C． D．
【題型7】拓展延伸
【例11】（2024·河北·中考真題）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數乘法運算轉化為一位數乘法和簡單的加法運算．淇淇受其啟發，設計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示，運算結果為3036．圖2表示一個三位數與一個兩位數相乘，表格中部分數據被墨跡覆蓋，根據圖2中現有數據進行推斷，正確的是（ ）
A．“20”左邊的數是16 B．“20”右邊的“□”表示5
C．運算結果小于6000 D．運算結果可以表示為
【例12】（19-20七年級下·江蘇南京·期中）觀察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　）
A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0
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專題14.1 冪的運算（3大知識點7類題型）（知識梳理與題型分類講解）
第一部分【知識點歸納與題型目錄】
【知識點1】同底數冪的乘法法則
　(其中都是正整數).即同底數冪相乘，底數不變，指數相加.
【要點提示】
同底數冪是指底數相同的冪，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.
三個或三個以上同底數冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數）. （3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數冪的積，其中它們的底數與原來的底數相同，它們的指數之和等于原來的冪的指數。即（都是正整數）.
【知識點2】冪的乘方法則
(其中都是正整數).即冪的乘方，底數不變，指數相乘.
【要點提示】
公式的推廣： (，均為正整數)
（2）逆用公式： ，根據題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.
【知識點3】積的乘方法則
(其中是正整數).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.
【要點提示】
公式的推廣： (為正整數).
逆用公式：逆用公式適當的變形可簡化運算過程，尤其是遇到底數互為倒數時，計算更簡便.如：
【知識點4】注意事項
底數可以是任意實數，也可以是單項式、多項式.
同底數冪的乘法時，只有當底數相同時,指數才可以相加.指數為1，計算時不要遺漏.
冪的乘方運算時，指數相乘，而同底數冪的乘法中是指數相加.
積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數)都要分別乘方.
靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.
帶有負號的冪的運算，要養成先化簡符號的習慣.
【題型目錄】
【題型1】同底數冪的乘法運算及逆運算...........................................2;
【題型2】冪的乘方運算及逆運算.................................................4;
【題型3】積的乘方運算及逆運算.................................................7;
【題型4】冪的混合運算.........................................................9;
【題型5】冪的運算的應用.......................................................11;
【題型6】直通中考.............................................................13;
【題型7】拓展與延伸...........................................................14.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】同底數冪的乘法運算及逆運算
【例1】（23-24七年級上·河南周口·期中）在學習第一章有理數時，類比小學兩個正數的運算法則學習了有理數的加減法、有理數的乘除法，在第二章整式的加減時，類比第一章有理數的學習過程學習了整式的加減，那么整式的乘法是否可以類比有理數的乘法進行學習呢 我們從特殊情況入手對兩個同底數冪相乘進行探究．
（1）探究
根據乘方的意義填空，觀察計算結果，你能發現什么規律
①，
②，
③，
（2）規律
（都是正整數）．
即__________________________．（文字表達）
（3）應用
①計算；
②把看成一個整體，計算．
【答案】（1）①8；②6；③（2）同底數冪相乘，底數不變，指數相加（3）①；②
【分析】本題考查了同底數冪的乘法公式的推導和應用.掌握同底數冪的乘法公式的計算公式是關鍵；
（1）（2）（3）根據同底數冪相乘，底數不變，指數相加解答即可；
解：（1）①，
②，
③，
故答案為：
（2），
即同底數冪相乘，底數不變，指數相加；
故答案為：同底數冪相乘，底數不變，指數相加；
（3）①；
②
【變式1】（23-24七年級下·全國·單元測試）計算（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了同底數冪的乘法法則，把看作一個整體，利用同底數冪的乘法法則即可求解．解題的關鍵是熟練的掌握同底數冪的乘法法則．
解：，
故選：B．
【變式2】（23-24七年級下·全國·單元測試）已知，則 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查了同底數冪的乘法運算，根據同底數冪相乘，底數不變指數相加，將變形為：，從而得出，再求出x的值即可．
解：，
∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案為：4．
【例2】（2024七年級下·全國·專題練習）（1）已知，求的值；
（2）若，求a的值．
【答案】（1）24；（2）
【分析】本題考查的是同底數冪的乘法運算的逆運算，熟記運算法則是解本題的關鍵；
（1）由，再代入數據計算即可；
（2）由，再建立方程求解即可．
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
【變式1】（23-24七年級下·江蘇淮安·期中）已知，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了同底數冪的乘法的逆用，根據同底數冪的乘法法則進行變形即可求解，解題的關鍵是熟練掌握同底數冪的乘法法則．
解：由，
故選：．
【變式2】（2024七年級上·上海·專題練習）已知，則x的值為 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查同底數冪的乘法運算以及提取公因式法分解因式，熟練并正確掌握相關運算法則是解題的關鍵．
解：∵，
∴，
故，
解得：
故答案為：3．
【題型2】冪的乘方運算及逆運算
【例3】（21-22七年級上·上海·期末）計算：．
【答案】
【分析】先計算冪的乘方和同底數冪的乘法，再合并同類項即可．
解：
．
【點撥】本題考查了整式的運算法則，解題的關鍵是熟記冪的乘方，同底數冪的乘法，合并同類項的知識．
【變式1】（2022·江蘇鎮江·中考真題）下列運算中，結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據合并同類項法則，同底數冪的乘法法則，冪的乘方法則逐項計算即可判斷選擇．
解：，故A計算錯誤，不符合題意；
，故B計算錯誤，不符合題意；
，故C計算正確，符合題意；
，故D計算錯誤，不符合題意．
故選C．
【點撥】本題考查合并同類項，同底數冪的乘法，冪的乘方．熟練掌握各運算法則是解題關鍵．
【變式2】．若 ,則 ．
【答案】
【分析】根據已知條件可得，根據冪的乘方運算以及同底數冪的乘法進行計算即可求解．
解：∵
∴，
∴，
故答案為：．
【點撥】本題考查了冪的乘方運算以及同底數冪的乘法，熟練掌握冪的運算法則是解題的關鍵．
【例4】（2023八年級上·全國·專題練習）（1）若，求的值；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）72；（2）5
【分析】（1）利用冪的乘方和同底數冪的乘法法則進行變形，再利用整體代入計算即可；
（2）把變形為，得到關于x的方程，解方程即可得到答案；
熟練掌握冪的乘方、同底數冪的乘法法則，并利用整體思想是解題的關鍵．
解：（1）∵，
∴
；
（2），
，
，
，
，
．
【變式1】已知，，，則a、b、c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把a、b、c三個數變成指數相同的冪，通過底數可得出a、b、c的大小關系．
解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，
又∵，
∴．
故選：A．
【點撥】本題考查了冪的乘方的逆運算，解答本題關鍵是掌握冪的乘方法則，把各數的指數變成相同．
【變式2】（23-24八年級上·重慶九龍坡·階段練習）已知，則 ．
【答案】16
【分析】直接根據同底數冪的乘法以及冪的乘方運算法則進行計算即可得到答案．
解：∵，
∴
故答案為：16．
【點撥】本題主要考查了同底數冪的乘法以及冪的乘方，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
【題型3】積的乘方運算及逆運算
【例5】（22-23八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）
（1） ; （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據同底數冪乘法法則及冪的乘方計算法則計算，再合并同類項即可；
（2）根據積的乘方計算法則去括號，再合并同類項即可．
解：（1）
；
（2）
．
【點撥】此題考查了整式的計算，正確掌握同底數冪乘法法則及冪的乘方計算法則、積的乘方計算法則、合并同類項法則是解題的關鍵．
【變式1】（2022·廣東深圳·中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別根據同底數冪的乘法法則，積的乘方運算法則，單項式乘多項式及合并同類項的法則逐一判斷即可．
解：A、，計算正確，故此選項符合題意；
B、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
C、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
D、，不是同類項不能合并，原計算錯誤，故此選項不符合題意．
故選：A．
【點撥】本題考查了同底數冪的乘法，合并同類項以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵．
【變式2】（20-21七年級下·江蘇揚州·期末）已知am＝10，bm＝2，則（ab）m＝ ．
【答案】20
【分析】根據積的乘方計算法則解答．
解：∵am＝10，bm＝2，
∴（ab）m＝，
故答案為：20．
【點撥】此題考查積的乘方計算法則：積的乘方等于積中每個因式分別乘方，再把結果相乘，熟記法則是解題的關鍵．
【例6】（2023九年級·全國·專題練習）用簡便方法計算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）原式逆用積的乘方運算法則進行計算即可；
（2）先將變形為，再逆用積的乘方運算法則進行計算即可．
解：（1）
；
（2）
．
【點撥】本題主要考查了積的乘方的逆運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
【變式1】（22-23七年級下·河北滄州·期中）若為正整數．且，則的值為（ ）
A．4 B．16 C．64 D．192
【答案】D
【分析】根據積的乘方以及逆運算對式子進行化簡求解即可．
解：
，
故選D．
【點撥】此題考查了冪的有關運算，解題的關鍵是熟練掌握冪的有關運算法則．同底數冪相乘（除），底數不變，指數相加（減）；冪的乘方，底數不變，指數相乘；積的乘方，把每個因式分別乘方．
【變式2】已知，則= ．
【答案】8．
【分析】根據積的乘方和冪的乘方的逆運算，把等式變形，根據指數相同求解即可．
解：，
根據積的乘方和冪的乘方，等式可變形為：，
即，
，
解得，
故答案為：8．
【點撥】本題考查了冪的運算的逆運算，解題關鍵是把等式恰當變形，依據底數相同，指數也相同列方程．
【題型4】冪的混合運算
【例7】（21-22八年級上·全國·課后作業）計算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先計算冪的乘方，再計算同底數冪，最后合并同類項即可；
（3）先計算冪的乘方，再計算同底數冪，最后合并同類項即可．
解：（1），
=，
=，
=；
（2），
=，
=，
=，
=．
【點撥】本題考查整式的冪指數運算，掌握冪的乘方，同底數冪的乘法，合并同類項是解題關鍵．
【變式1】（20-21七年級下·甘肅蘭州·階段練習）下列各式計算正確的是（ ）
A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12
C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3
【答案】D
【分析】根據冪的運算法則逐一計算，可得結果．
解：A、，故選項錯誤；
B、，故選項錯誤；
C、，故選項錯誤；
D、，故選項正確；
故選D．
【點撥】本題考查了冪的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
【變式2】已知，則 = .（用含的代數式表示）
【答案】
解：∵2x=a，3x=t，
∴24x=（23×3）x=23x×3x=（2x）3×3x=a3t．
故答案為a3t．
【題型5】冪的運算的應用
【例8】（23-24八年級上·山西長治·階段練習）我們知道，一般的數學公式、法則、定義可以正向運用，也可以逆向運用．對于“同底數冪的乘法”“冪的乘方”“積的乘方”這幾個法則的逆向運用表現為，，；（，為正整數）．
請運用這個思路和冪的運算法則解決下列問題：
(1)已知，，，請把，，用“”連接起來： ；
(2)若，，求的值；
(3)計算：．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（）根據逆用冪的乘方，化成指數相同的冪，再比較大小；
（）根據逆用同底數冪的乘法和逆用冪的乘方即可求解；
（）根據逆用同底數冪的乘法和逆用冪的乘方，化成指數相同的冪，再計算即可求解；
本題主要考查了同底數冪的乘法、冪的乘方法則，掌握法則的逆用是解題的關鍵．
（1）解：∵，
，
．
又∵，
∴，
故答案為：；
（2）解：
，
，
∵，，
∴原式，
，
；
（3）解：
，
，
，
，
，
，
．
【變式1】（21-22八年級上·河南三門峽·期末）下列運算中，錯誤的個數是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】利用同底數冪的乘法運算法則，合并同類項的法則對各式進行運算，即可得出結果．
解：（1），故（1）錯誤；
（2），故（2）錯誤；
（3），故（3）錯誤；
（4），故（4）錯誤，
綜上所述，錯誤的個數為4個，
故選：D．
【點撥】本題主要考查同底數冪的乘法運算法則、合并同類項運算等知識，解題的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
【變式2】（20-21九年級下·湖南永州·期中）將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進行對折，記第1次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，請根據圖2化簡， ．
【答案】
【分析】先具體計算出S1，S2，S3，S4的值，得出面積規律，表示S2021，再設①，兩邊都乘以，得到②，利用① ②，求解S，從而可得答案．
解：∵
設①
②
①-②得，
故答案為：．
【點撥】本題考查的是圖形的面積規律的探究，有理數的乘方運算的靈活應用，同底數冪的乘法與除法的應用，方程思想的應用，正方形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
【題型6】直通中考
【例9】（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數，且滿足，則a與b的關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方的運算的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
由題意得：，利用同底數冪的乘法，冪的乘方化簡即可．
解：由題意得：，
∴，
∴，
故選：A．
【例10】（2024·山東煙臺·中考真題）下列運算結果為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了同底數冪的乘法，同底數冪的除法，合并同類項，冪的乘方，解題的關鍵是熟練掌握以上運算法則；
根據同底數冪的乘法同底數冪的除法，合并同類項，冪的乘方，運算法則計算即可
解：A．，故選項不符合題意；
B． ，故選項不符合題意；
C．，故選項不符合題意；
D．，故選項符合題意；
故選：D．
【題型7】拓展延伸
【例11】（2024·河北·中考真題）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數乘法運算轉化為一位數乘法和簡單的加法運算．淇淇受其啟發，設計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示，運算結果為3036．圖2表示一個三位數與一個兩位數相乘，表格中部分數據被墨跡覆蓋，根據圖2中現有數據進行推斷，正確的是（ ）
A．“20”左邊的數是16 B．“20”右邊的“□”表示5
C．運算結果小于6000 D．運算結果可以表示為
【答案】D
【分析】本題考查了整式的加法運算，整式的乘法運算，理解題意，正確的邏輯推理時解決本題的關鍵．
設一個三位數與一個兩位數分別為和，則，即，可確定時，則，由題意可判斷A、B選項，根據題意可得運算結果可以表示為：，故可判斷C、D選項．
解：設一個三位數與一個兩位數分別為和
如圖：
則由題意得：
，
∴，即，
∴當時，不是正整數，不符合題意，故舍；
當時，則，如圖：
，
∴A、“20”左邊的數是，故本選項不符合題意；
B、“20”右邊的“□”表示4，故本選項不符合題意；
∴上面的數應為，如圖：
∴運算結果可以表示為：，
∴D選項符合題意，
當時，計算的結果大于6000，故C選項不符合題意，
故選：D．
【例12】（19-20七年級下·江蘇南京·期中）觀察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　）
A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0
【答案】D
【分析】存在3種情況：一種是指數為0，底數不為0；第二種是底數為1，指數為任意值；第三種是底數為－1，指數為偶數，分別求解可得．
解：情況一：指數為0，底數不為0
即：a+2=0，2a－1≠0
解得：a=－2
情況二：底數為1，指數為任意值
即：2a－1=1
解得：a=1
情況三：底數為－1，指數為偶數
即：2a－1=－1，解得a=0
代入a+2=2，為偶數，成立
故答案為：D
【點撥】本題考查0指數和底數為±1的指數的特點，本題底數為－1的情況容易遺漏，需要關注．
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