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中小學教育資源及組卷應用平臺
專題14.3 整式的乘法（6大知識點15類題型）（知識梳理與題型分類講解）
第一部分【知識點歸納與題型目錄】
【知識點1】同底數(shù)冪的除法法則
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）
【要點提示】
（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運算.
（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.
（3）當三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質.
（4）底數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是單項式或多項式.
【知識點2】單項式的乘法法則
單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.
【要點提示】
（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應用.
（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.
（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.
（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.
【知識點3】單項式與多項式相乘的運算法則
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
即.
【要點提示】
（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質利用乘法分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.
（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.
（3）計算過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，還要注意單項式的符號.
（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.
【知識點4】多項式與多項式相乘的運算法則
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.
【要點提示】多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.
知識點與題型目錄
【知識點一】同底數(shù)冪的除法
【題型1】同底數(shù)冪的除法運算及逆運算.........................................3;
【知識點二】單項式相乘
【題型2】單項式相乘.........................................................3;
【題型3】利用單項式相乘求字母或代數(shù)式的值...................................3;
【知識點三】單項式乘以多項式
【題型4】單項式乘以多項式的運算與求值.......................................4;
【題型5】單項式乘以多項式的應用.............................................4;
【題型6】利用單項式乘以多項式求字母的值.....................................4;
【知識點四】多項式相乘
【題型7】計算多項式乘以多項式...............................................5;
【題型8】計算多項式乘以多項式化簡求值.......................................5;
【題型9】（x+p）（x+q)型多項式相乘..........................................5;
【題型10】整式乘法中的不含某個字母問題......................................5;
【題型11】多項式相乘中的幾何問題............................................6;
【知識點五】多項式除以單項式
【題型12】多項式除以單項式..................................................6;
【知識點六】多項式除以單項式
【題型13】整式乘法混合運算..................................................7;
【直通中考與拓展延伸】
【題型14】直通中考..........................................................7;
【題型15】拓展延伸..........................................................8.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】同底數(shù)的除法運算及逆運算
【例1】（23-24八年級上·天津濱海新·期末）計算：．
【變式1】（22-23七年級下·廣東深圳·階段練習）若，，則的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【變式2】（23-24七年級下·全國·單元測試）已知，則 ．
【題型2】單項式相乘
【例2】（22-23八年級上·福建廈門·期中）計算：
(1)； (2)
【變式1】（23-24七年級下·全國·單元測試）計算的結果為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·全國·單元測試）計算： ．
【題型3】利用單項式相乘求字母或代數(shù)式的值
【例3】（22-23七年級下·廣東梅州·期中）先化簡，后求值：，其中，．
【變式1】（2024·陜西榆林·三模）已知單項式與的積為，則，的值為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式2】（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）若，則的值為 ．
【題型4】單項式乘以多項式的運算與求值
【例4】（23-24八年級上·吉林·階段練習）先化簡，再求值：，其中．
【變式1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·江蘇南京·階段練習）若，代數(shù)式的值是 ．
【題型5】單項式乘以多項式的應用
【例5】（23-24七年級下·廣東佛山·階段練習）小紅的爸爸將一塊長為分米、寬分米的長方形鐵皮的四個角都剪去一個邊長為分米的小正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的盒子．
(1)用含，的整式表示盒子的外表面積；
(2)若，，現(xiàn)往盒子的外表面上噴漆，每平方分米噴漆價格為15元，求噴漆共需要多少元？
【變式1】（23-24七年級下·山東菏澤·期中）某同學在計算一個多項式乘時，因抄錯運算符號，算成了加上，得到的結果是，那么正確的計算結果是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2】（22-23八年級上·福建泉州·階段練習）已知：，則 ．
【題型6】利用單項式乘以多項式求字母的值
【例6】（21-22七年級下·河南駐馬店·階段練習）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6對任意數(shù)都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值．
【變式1】（23-24七年級下·河南周口·階段練習）若，則a的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【變式2】（23-24七年級下·山東濟南·階段練習）要使中不含有的四次項，則 ．
【題型7】計算多項式乘以多項式
【例7】（24-25八年級上·全國·單元測試）計算：
(1)；(2)； (3)
【變式1】（22-23七年級下·甘肅張掖·期中）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（22-23七年級下·山東菏澤·期中）如果，那么x的值是 ．
【題型8】計算多項式乘以多項式化簡求值
【例8】（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）先化簡，再求值：，其中．
【變式1】（23-24七年級下·安徽合肥·期中）我們規(guī)定，例如，已知，則代數(shù)式的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【變式2】（2024·湖南長沙·模擬預測）已知，則的值為 ．
【題型9】（x+p）（x+q)型多項式相乘
【例9】（22-23七年級下·遼寧沈陽·期中）先化簡，再求值：，其中．
【變式1】（23-24七年級下·遼寧錦州·階段練習）若，則的值為（　　）
A． B．5 C． D．
【變式2】（22-23七年級下·江蘇鹽城·階段練習）若，則 ．
【題型10】整式乘法中的不含某個字母問題
【例10】（22-23七年級下·四川達州·期中）已知代數(shù)式與積是一個關于的三次多項式，且化簡后含項的系數(shù)為1，求和的值．
【變式1】（23-24七年級下·全國·期中）已知多項式與 的乘積中的項系數(shù)與的項系數(shù)之和為，則常數(shù)的值為 （ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25八年級上·吉林長春·階段練習）若的積中不含項，則 ， ．
【題型11】多項式相乘中的幾何問題
【例11】（22-23八年級上·四川綿陽·期末）學校需要設計一處長方形文化景觀，分為中央雕塑區(qū)和四周綠化區(qū)．中央雕塑區(qū)的長邊為（）米，短邊為米，綠化區(qū)外邊沿的長邊為（）米，短邊為（）米．試比較雕塑區(qū)和綠化區(qū)的面積大小．（為正數(shù)）
【變式1】（23-24七年級上·湖南長沙·期末）下面四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24七年級下·全國·單元測試）有若干張如圖所示的正方形A類、B類卡片和長方形C類卡片．如果要拼成一個長為，寬為的大長方形，那么需要C類卡片 張．

【題型12】多項式除以單項式
【例12】（22-23七年級下·寧夏銀川·期末）老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個多項式，
(1)求所捂的多項式；
(2)若，求所捂多項式的值．
【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（22-23七年級下·浙江溫州·期末）若，則A代表的整式是 ．
【題型13】整式乘法混合運算
【例13】（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期末）先化簡，再求值：
(1)，其中，．
(2)已知，求代數(shù)式的值．
【變式1】（21-22六年級下·全國·單元測試）等式 中的括號內應填入（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024·福建廈門·二模）已知，則的值為 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
【題型14】直通中考
【例1】（2024·山東青島·中考真題）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2023·黑龍江大慶·中考真題）1261年，我國宋朝數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”．
觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，展開的多項式中各項系數(shù)之和為 ．
【題型15】拓展延伸
【例1】（23-24八年級上·四川眉山·期中）觀察下列各式：
；
；
；
…
根據(jù)規(guī)律計算： 的值是（ ）
A． B． C．
【例2】（2024七年級上·全國·專題練習）按如圖所示的程序進行計算，如果第一次輸入x的值是，則第2024次計算后輸出的結果為 ．
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專題14.3 整式的乘法（6大知識點15類題型）（知識梳理與題型分類講解）
第一部分【知識點歸納與題型目錄】
【知識點1】同底數(shù)冪的除法法則
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）
【要點提示】
（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運算.
（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.
（3）當三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質.
（4）底數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是單項式或多項式.
【知識點2】單項式的乘法法則
單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.
【要點提示】
（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應用.
（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.
（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.
（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.
【知識點3】單項式與多項式相乘的運算法則
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
即.
【要點提示】
（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質利用乘法分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.
（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.
（3）計算過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，還要注意單項式的符號.
（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.
【知識點4】多項式與多項式相乘的運算法則
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.
【要點提示】多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.
知識點與題型目錄
【知識點一】同底數(shù)冪的除法
【題型1】同底數(shù)冪的除法運算及逆運算.........................................3;
【知識點二】單項式相乘
【題型2】單項式相乘.........................................................4;
【題型3】利用單項式相乘求字母或代數(shù)式的值...................................5;
【知識點三】單項式乘以多項式
【題型4】單項式乘以多項式的運算與求值.......................................7;
【題型5】單項式乘以多項式的應用.............................................8;
【題型6】利用單項式乘以多項式求字母的值....................................10;
【知識點四】多項式相乘
【題型7】計算多項式乘以多項式..............................................11;
【題型8】計算多項式乘以多項式化簡求值......................................12;
【題型9】（x+p）（x+q)型多項式相乘.........................................14;
【題型10】整式乘法中的不含某個字母問題.....................................15;
【題型11】多項式相乘中的幾何問題...........................................16;
【知識點五】多項式除以單項式
【題型12】多項式除以單項式.................................................18;
【知識點六】多項式除以單項式
【題型13】整式乘法混合運算.................................................19;
【直通中考與拓展延伸】
【題型14】直通中考.........................................................21;
【題型15】拓展延伸.........................................................22.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】同底數(shù)的除法運算及逆運算
【例1】（23-24八年級上·天津濱海新·期末）計算：．
【答案】
【分析】本題考查了整式的混合運算的應用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可．
解：
．
【變式1】（22-23七年級下·廣東深圳·階段練習）若，，則的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了逆用同底數(shù)冪除法法則和冪的乘方的運算法則，先逆用同底數(shù)冪除法法則、然后再運用冪的乘方的運算法則將化成含有和的形式，然后代入即可解答．
解：，
故選：B．
【變式2】（23-24七年級下·全國·單元測試）已知，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了冪的乘方計算，同底數(shù)冪除法計算，先根據(jù)題意得到，再根據(jù)冪的乘方計算和同底數(shù)冪除法計算法則得到，據(jù)此求解即可．
解：∵，
∴
∴
，
故答案為：．
【題型2】單項式相乘
【例2】（22-23八年級上·福建廈門·期中）計算：
(1)； (2)
【答案】(1)0； (2)
【分析】本題考查了單項式乘以單項式，冪的乘方，積的乘方，合并同類項，熟練掌握公式是解題的關鍵．
（1）根據(jù)單項式乘以單項式，冪的乘方，合并同類項解答即可．
（2）根據(jù)積的乘方，單項式乘以單項式解答即可．
解：（1）
．
（2）
．
【變式1】（23-24七年級下·全國·單元測試）計算的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查整混合運算，熟練掌握冪的乘方和積的乘方法則、單項式乘以單項式法則是解題的關鍵．
先計算乘方，再計算運用單項式乘以單項式法則計算即可．
解：
故選：D．
【變式2】（23-24七年級下·全國·單元測試）計算： ．
【答案】0
【分析】本題主要考查了積的乘方計算，單項式乘以單項式，合并同類項，先計算積的乘方，再計算單項式乘以單項式，最后合并同類項即可．
解：
，
故答案為：．
【題型3】利用單項式相乘求字母或代數(shù)式的值
【例3】（22-23七年級下·廣東梅州·期中）先化簡，后求值：，其中，．
【答案】，
【分析】此題考查了整式的混合運算，首先根據(jù)積的乘方和單項式乘以單項式運算法則化簡，然后代入求解即可，解題的關鍵掌握運算法則．
解：
當，時，
原式
．
【變式1】（2024·陜西榆林·三模）已知單項式與的積為，則，的值為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】此題考查了單項式的乘法運算，按照單項式乘單項式計算單項與的積，再根據(jù)單項式與的積為，即可求得答案．
解：∵，單項式與的積為，
∴，，
故選：A．
【變式2】（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）若，則的值為 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，根據(jù)單項式乘以單項式的計算法則得到，據(jù)此可得，解之即可得到答案．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【題型4】單項式乘以多項式的運算與求值
【例4】（23-24八年級上·吉林·階段練習）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查整式化簡求值，熟練掌握整式混合運算法則是解題的關鍵．
先根據(jù)單項式乘以多項式法則展開，再合并同類項，即可化簡，然后把代入化簡式計算即可．
解：，
，
．
當時，原式．
【變式1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了單項式乘以多項式，正確掌握運算法則是解題關鍵．直接利用單項式乘以多項式運算法則計算得出答案．
解：
．
故選：C．
【變式2】（23-24七年級下·江蘇南京·階段練習）若，代數(shù)式的值是 ．
【答案】
【分析】此題考查了代數(shù)式的值，整體代入是解題的關鍵．首先根據(jù)，可得，把代入，然后把代入化簡后的算式計算即可．
解：∵，
∴，
∴
．
∵，
∴，
∴原式
．
故答案為：．
【題型5】單項式乘以多項式的應用
【例5】（23-24七年級下·廣東佛山·階段練習）小紅的爸爸將一塊長為分米、寬分米的長方形鐵皮的四個角都剪去一個邊長為分米的小正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的盒子．
(1)用含，的整式表示盒子的外表面積；
(2)若，，現(xiàn)往盒子的外表面上噴漆，每平方分米噴漆價格為15元，求噴漆共需要多少元？
【答案】(1)（平方分米）； (2)360元
【分析】此題考查了整式的混合運算，以及代數(shù)式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
（1）根據(jù)題意列出關系式，去括號合并即可得到結果；
（2）把a與b的值代入計算，再根據(jù)每平方分米噴漆價格為15元，求出噴漆的費用即可．
解：（1）根據(jù)題意得：
（平方分米）
∴盒子的外表面積為平方分米；
（2）當，時，
（平方分米）
則噴漆的費用為（元）．
答：噴漆共需要360元．
【變式1】（23-24七年級下·山東菏澤·期中）某同學在計算一個多項式乘時，因抄錯運算符號，算成了加上，得到的結果是，那么正確的計算結果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設這個多項式為，根據(jù)題意可得，最后利用單項式乘以多項式的運算法則即可解答．本題考查了整式的加減運算法則，單項式乘以多項式的運算法則，掌握單項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．
解：設這個多項式為，
∵計算一個多項式乘時，因抄錯運算符號，算成了加上，得到的結果是，
∴，
∴，
∴正確的結果為，
故選．
【變式2】（22-23八年級上·福建泉州·階段練習）已知：，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了整式的乘法的應用，熟練掌握求高次式子時的思路：降次是解題的關鍵．將變形為，利用降次的思想求即可．
解：∵，
∴，
∴
故答案為：．
【題型6】利用單項式乘以多項式求字母的值
【例6】（21-22七年級下·河南駐馬店·階段練習）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6對任意數(shù)都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值．
【答案】-7
【分析】把x（x﹣m）+n（x+m）去括號、合并同類項，然后根據(jù)與+5x-6對應項的系數(shù)相同，即可求得m、n的值，然后代入求值即可．
解：x（x﹣m）+n（x+m）
＝﹣mx+nx+mn
＝+（n﹣m）x+mn，
∴，
則m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7．
【點撥】此題考查單項式乘多項式和代數(shù)式求值，解題關鍵在于掌握運算法則．
【變式1】（23-24七年級下·河南周口·階段練習）若，則a的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本題主要考查了單項式乘以多項式，根據(jù)單項式乘以多項式的計算法則求出的結果即可得到答案．
解：∵，
∴，
∴，
故選：C．
【變式2】（23-24七年級下·山東濟南·階段練習）要使中不含有的四次項，則 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了多項式的混合運算．先算乘法，再合并，然后根據(jù)原多項式中不含有的四次項，可得，即可求解．
解：
，
∵中不含有的四次項，
∴，
∴．
故答案為：2
【題型7】計算多項式乘以多項式
【例7】（24-25八年級上·全國·單元測試）計算：
(1)；(2)； (3)
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】本題考查了多項式的乘法：
（1）根據(jù)多項式乘多項式的運算法則計算，再合并同類項即可；
（2）根據(jù)多項式乘多項式的運算法則計算，再合并同類項即可；
（3）根據(jù)多項式乘多項式的運算法則計算，再合并同類項即可．
解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
【變式1】（22-23七年級下·甘肅張掖·期中）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，多項式乘以多項式，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算正確，符合題意；
故選：D．
【變式2】（22-23七年級下·山東菏澤·期中）如果，那么x的值是 ．
【答案】1
【分析】本題考查了多項式乘以多項式，以及解一元一次方程，熟練掌握多項式乘以多項式的法則是解題的關鍵．根據(jù)多項式乘以多項式的法則進行計算，然后解一元一次方程即可．
解：
，
解得，
故答案為：1．
【題型8】計算多項式乘以多項式化簡求值
【例8】（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據(jù)單項式乘以多項式的計算法則，多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可．
解：
，
當時，原式．
【變式1】（23-24七年級下·安徽合肥·期中）我們規(guī)定，例如，已知，則代數(shù)式的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本題主要查了整式的混合運算．根據(jù)新定義可得，從而得到，再代入，即可求解．
解：根據(jù)題意得：，
∴，
即，
∴，
∴．
故選：D
【變式2】（2024·湖南長沙·模擬預測）已知，則的值為 ．
【答案】5
【分析】本題考查整式的化簡求值，把要求的式子展開化簡后，利用整體思想求值即可．
解：∵，
∴．
故答案為：5．
【題型9】（x+p）（x+q)型多項式相乘
【例9】（22-23七年級下·遼寧沈陽·期中）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查了整式的化簡求值．熟練掌握平方差公式，完全平方公式，多頂式乘多項式法則，是解題的關鍵．
先根據(jù)平方差公式，完全平方公式，多頂式乘多項式法則展開，合并同類項化簡，最后將字母的值代入求解即可．
解：
，
當時，
原式．
【變式1】（23-24七年級下·遼寧錦州·階段練習）若，則的值為（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了多項式的乘法，根據(jù)多項式的乘法法則展開對比得到，求出m、n的值，即可得到答案.
解：∵，，
∴，
解得
∴，
故選：C
【變式2】（22-23七年級下·江蘇鹽城·階段練習）若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查多項式乘以多項式，利用多項式乘以多項式的法則，將等式左邊展開，進而求出的值，進一步求出代數(shù)式的值即可．
解：，
∴，
∴，
∴；
故答案為：8．
【題型10】整式乘法中的不含某個字母問題
【例10】（22-23七年級下·四川達州·期中）已知代數(shù)式與積是一個關于的三次多項式，且化簡后含項的系數(shù)為1，求和的值．
【答案】，
【分析】此題考查了多項式乘多項式的計算能力，運用多項式乘多項式的運算法則進行求解即可．
解：
，
由題意得，，，
解得，．
【變式1】（23-24七年級下·全國·期中）已知多項式與 的乘積中的項系數(shù)與的項系數(shù)之和為，則常數(shù)的值為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則得，然后根據(jù)“乘積中的項系數(shù)與的項系數(shù)之和為”，據(jù)此得到，解此方程即可求出．
解：
，
乘積中的項系數(shù)與的項系數(shù)之和為，
，
，
故答案為：A．
【變式2】（24-25八年級上·吉林長春·階段練習）若的積中不含項，則 ， ．
【答案】 3 9
【分析】本題主要考查了多項式乘法中的無關型問題，先根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則求出的結果，再根據(jù)乘積中不含項，即含項的系數(shù)為0進行求解即可．
解：
，
∵的積中不含項，
∴，
∴，
故答案為：3；9．
【題型11】多項式相乘中的幾何問題
【例11】（22-23八年級上·四川綿陽·期末）學校需要設計一處長方形文化景觀，分為中央雕塑區(qū)和四周綠化區(qū)．中央雕塑區(qū)的長邊為（）米，短邊為米，綠化區(qū)外邊沿的長邊為（）米，短邊為（）米．試比較雕塑區(qū)和綠化區(qū)的面積大小．（為正數(shù)）
【答案】綠化區(qū)面積大于雕塑區(qū)面積．
【分析】本題考查的是多項式的乘法運算與圖形面積，先分別列式計算綠化區(qū)面積，雕塑區(qū)面積，再作差比較大小即可．
解：綠化區(qū)面積為
．
雕塑區(qū)面積為．
因為，
由為正數(shù)，所以得，即，
所以，綠化區(qū)面積大于雕塑區(qū)面積．
【變式1】（23-24七年級上·湖南長沙·期末）下面四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查整式與圖形，根據(jù)題意，結合圖形，分別判斷得到答案即可．
解：．圖中陰影部分面積用整個長方形的面積空白部分的面積，即，故該選項不符合題意；
．圖中陰影部分面積用右邊陰影部分長方形的面積左邊陰影部分正方形的面積，即，故該選項不符合題意；
．只有左邊陰影部分正方形的面積右邊上面陰影部分長方形的面積，缺少右邊下面長方形的面積，故該選項符合題意；
．圖中陰影部分面積用上面陰影長方形的面積右邊下面長方形的面積，即故該選項不符合題意；
故選：C．
【變式2】（23-24七年級下·全國·單元測試）有若干張如圖所示的正方形A類、B類卡片和長方形C類卡片．如果要拼成一個長為，寬為的大長方形，那么需要C類卡片 張．

【答案】7
【分析】本題考查了多項式乘以多項式，計算出長為，寬為的大長方形的面積以及A類、B類卡片和長方形C類卡片的面積，即可得出答案．
解：長為，寬為的大長方形的面積為，
A類卡片的面積為：，
B類卡片的面積為：，
C類卡片的面積為：，
∴要拼成一個長為，寬為的大長方形，需要塊A類卡片，塊B類卡片，塊C類卡片，
故答案為：．
【題型12】多項式除以單項式
【例12】（22-23七年級下·寧夏銀川·期末）老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個多項式，
(1)求所捂的多項式；
(2)若，求所捂多項式的值．
【答案】(1); (2)4.
【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，多項式除以單項式：
（1）根據(jù)乘除法互為逆運算，只需要計算出的結果即可得到答案；
（2）把代入（1）所求結果中計算求解即可．
解：（1）
，
∴所捂的多項式為；
（2）當時，
．
【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了多項式除以單項式，根據(jù)一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)，即可解答．
解：∵，
∴，
故選：B．
【變式2】（22-23七年級下·浙江溫州·期末）若，則A代表的整式是 ．
【答案】
【分析】本題考查的是多項式除以單項式，多項式除以單項式的運算法則的實質是把多項式除以單項式的的運算轉化為單項式的除法運算．根據(jù)多項式除以單項式的運算法則計算即可．
解：
．
故答案為：．
【題型13】整式乘法混合運算
【例13】（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期末）先化簡，再求值：
(1)，其中，．
(2)已知，求代數(shù)式的值．
【答案】(1)；16; (2).
【分析】本題主要考查了整式化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握整式混合運算法則，準確計算．
（1）先根據(jù)整式混合運算法則進行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)進行計算即可；
（2）先根據(jù)整式混合運算法則進行化簡，然后再整體代入進行計算即可．
解：（1）
，
當，時，
原式
．
（2）
，
∵，
∴，
∴原式
．
【變式1】（21-22六年級下·全國·單元測試）等式 中的括號內應填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】運用整式的乘法運算法則、乘除法互為逆運算及冪的運算法則求解．
解：由原式，得
∴括號中式子應為．
故選C．
【點撥】本題主要考查整式的乘法運算、乘除法互為逆運算、冪的運算法則等知識；能夠運算乘、除法互為逆運算的性質，對原等式進行變形是解題關鍵．
【變式2】（2024·福建廈門·二模）已知，則的值為 ．
【答案】2
【分析】本題考查整式的混合運算、代數(shù)式求值，熟練掌握運算法則，利用整體代入思想求解是解答的關鍵．先根據(jù)得出，然后利用完全平方公式、單項式乘多項式化簡原式，再整體代值求解即可．
解：∵，
∴，
．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
【題型14】直通中考
【例1】（2024·山東青島·中考真題）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了整式的運算，根據(jù)合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘除法、積的乘方逐項運算即可判斷求解，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．
解：、，該選項錯誤，不合題意；
、，該選項正確，符合題意；
、，該選項錯誤，不合題意；
、，該選項錯誤，不合題意；
故選：．
【例2】（2023·黑龍江大慶·中考真題）1261年，我國宋朝數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”．
觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，展開的多項式中各項系數(shù)之和為 ．
【答案】
【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結果．
解：根據(jù)題意得：展開后系數(shù)為：，
系數(shù)和：，
展開后系數(shù)為：，
系數(shù)和：，
展開后系數(shù)為：，
系數(shù)和：，
故答案為：．
【點撥】此題考查了多項式的乘法運算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關鍵是弄清系數(shù)中的規(guī)律．
【題型15】拓展延伸
【例1】（23-24八年級上·四川眉山·期中）觀察下列各式：
；
；
；
…
根據(jù)規(guī)律計算： 的值是（ ）
A． B． C．
【答案】A
【分析】根據(jù)題中規(guī)律每一個式子的結果等于兩項的差，被減數(shù)的指數(shù)比第二個因式中第一項大1，減數(shù)都為1，即可得到規(guī)律為，利用規(guī)律，當，時，代入其中即可求解．
本題考查了平方差公式、及數(shù)字類的規(guī)律題，解題的關鍵是認真閱讀，總結規(guī)律，并利用規(guī)律解決問題．
解：由；
；
；
…
觀察發(fā)現(xiàn)： ，
當，時，得
，
∴，
∴．
故選：A．
【例2】（2024七年級上·全國·專題練習）按如圖所示的程序進行計算，如果第一次輸入x的值是，則第2024次計算后輸出的結果為 ．
【答案】
【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，代數(shù)式求值，仔細計算，觀察出即從第2次開始，以、、為一個循環(huán)組循環(huán)出現(xiàn)，是解題的關鍵．總結規(guī)律后結合，即可得到答案．
解：第1次輸出的結果為：；
第2次輸出的結果為：；
第3次輸出的結果為：；
第4次輸出的結果為：；
第5次輸出的結果為：；
第6次輸出的結果為：
…，
則從第1次輸出開始，以、、為一個循環(huán)組循環(huán)出現(xiàn)，
∵，
∴第次輸出的結果為．
故答案為：．
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