資源簡介

課時分層作業(二)　集合的表示
一、選擇題
1．用描述法表示函數y＝3x＋1圖象上的所有點的是(　　)
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
2．集合{x|x2－4x－5＝0}用列舉法表示為(　　)
A．{x＝－1，x＝5}
B．{x|x＝－1或x＝5}
C．{x2－4x－5＝0}
D．{－1，5}
3．已知集合A＝{x，x∈Z}，則一定有(　　)
A．－1∈A B．∈A
C．0∈A D．1 A
4．下列集合表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{2，3}，N＝{3，2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
5．(多選)方程組的解集可表示為(　　)
A．
B．
C．(2，1)
D．{(2，1)}
二、填空題
6．用描述法表示大于0且小于9的實數x的集合為________．
7．若集合{x|x2＋ax＝0}與集合{0，1}相等，則實數a的值為________．
8．用列舉法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N*}為________．
三、解答題
9．用適當的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然數集內，小于1 000的奇數構成的集合；
(3)不等式x－2>6的解構成的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然數的全體構成的集合；
(5)方程組的解集．
10．(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x Q}，則M＝(　　)
A．{1}　　　B．{2}　　　C．{3}　　　D．{1，2，3}
11．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一個元素，則實數k的值為(　　)
A．0　　　B．1　　　C．0或1　　　D．2
12．已知A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，則由a的值構成的集合是(　　)
A．－　　　B．{－1，－}　　　C．{－1}　　　D．{－}
13．若一數集的任一元素的倒數仍在該集合中，則稱該數集為可倒數集，則集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒數集．試寫出一個含三個元素的可倒數集________．
14．設集合B＝．
(1)試判斷元素1和2與集合B的關系；
(2)用列舉法表示集合B．
15．設集合S具有如下性質：①元素都是正整數；②若x∈S，則10－x∈S．
(1)請你寫出符合條件，且分別含有一個、二個、三個元素的集合S各一個．
(2)是否存在恰有6個元素的集合S？若存在，寫出所有的集合S；若不存在，請說明理由．
3/3(共31張PPT)
第1課時　集合的含義
第一章　集合與常用邏輯用語
1.1　集合的概念
[學習目標]　1．通過實例了解集合與元素的含義，理解元素與集合的“屬于”關系．(數學抽象)
2．能利用集合中元素的三個特征解決一些簡單的問題．(數學運算)
3．掌握常用數集的表示符號并會應用．(數學抽象)
整體感知
[討論交流]　預習教材P2－P3，并思考以下問題：
問題1．集合和元素的概念是什么？
問題2．如何用字母表示集合和元素？
問題3．元素和集合之間有哪兩種關系？
問題4．常見的數集有哪些？分別用什么符號表示？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　元素與集合的基本概念
探究問題1　閱讀下面的例子，思考并回答提出的問題：
①1～10之間的所有奇數；
②某校高一(1)班所有性格開朗的女生；
③所有的平行四邊形；
④到定點O的距離等于2的所有點．
探究建構
(1)以上例子中，我們研究的對象分別是什么？
(2)哪個例子中的對象劃分標準不明確？為什么？
(3)上述實例①③④有什么共同的特點？
提示：(1)①1，3，5，7，9；②某校高一(1)班性格開朗的每一位女生；③平行四邊形；④以O為圓心，以2為半徑的圓．
(2)②中的對象劃分標準不明確，因為“性格開朗”沒有明確的界線．
(3)實例①③④中指的都是“所有的”，即某種研究對象的全體．
[新知生成]
1．元素：一般地，我們把________統稱為元素．元素通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素組成的____叫做集合(簡稱為集)．集合通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．
【教用·微提醒】　研究對象可以是數、點、代數式，也可以是現實生活中各種各樣的事物或人等．
研究對象
總體
探究2　集合中元素的特征
探究問題2　英文單詞book的所有字母能否組成一個集合？若能組成一個集合，則該集合中有幾個元素？為什么？
提示：能．因為集合中的元素是確定的(確定性)；三個元素．因為集合中的元素是互不相同的(互異性)．
探究問題3　分別由元素1，2，3和3，2，1組成的兩個集合有什么關系？集合中的元素有沒有先后順序？
提示：兩個集合相等．集合中的元素沒有先后順序(無序性)．
[新知生成]
1．集合中元素的特征：______，______，______．
2．集合相等：只要構成兩個集合的元素是______，我們就稱這兩個集合是相等的．
【教用·微提醒】　集合中的元素必須是確定的，不能是模棱兩可的，任何兩個元素不能相同，且與順序無關．
確定性
互異性
無序性
一樣的
[典例講評]　1．(1)(多選)以下元素的全體能構成集合的是(　　)
A．中國古代四大發明 B．地球上的小河流
C．方程x2－1＝0的實數根 D．自然數
(2)集合M中含有兩個元素3和－1，集合N中含有兩個元素－1和m2－2m，若集合M與N相等，則m＝________．
(1)ACD　(2)－1或3　[(1)A中，中國古代四大發明具有確定性，能構成集合；B中，地球上的小河流不確定，因此不能構成集合；C中，方程x2－1＝0的實數根為－1和1，能構成集合；D中，自然數具有確定性，能構成集合．
(2)由題意得m2－2m＝3，所以m＝－1或3．]
√
√
√
－1或3
[母題探究]　若將例1(2)改為“若集合N中含有兩個元素－1和m2－2m”，求m的取值范圍．
[解]　由元素是互不相同的，得m2－2m≠－1，即m≠1．
反思領悟　(1)判斷一組對象能否構成集合，關鍵是能否滿足確定性、互異性．
(2)若兩個集合相等，則這兩個集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按順序對應相等．求解中注意檢驗集合中元素的互異性．
[學以致用]　1．下列說法中正確的是(　　)
A．在一個集合中可以找到兩個相同的元素
B．好聽的歌能構成一個集合
C．方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有實數根組成的集合有3個元素
D．分別由元素0，1，2和2，0，1組成的兩個集合是相等的
√
D　[集合中的元素是互不相同的，故A錯誤；
好聽的歌是不確定的，所以好聽的歌不能構成一個集合，故B錯誤；方程(x－1)2(x＋2)＝0的實數根為－2或1，所以方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有實數根組成的集合有2個元素，故C錯誤；
根據集合相等的定義知，兩個集合元素相同，則兩個集合相等，故D正確．]
探究3　元素與集合的關系
探究問題4　若集合A是由小于10的質數構成的集合，則2和4與集合A是什么關系？
提示：2是集合A中的元素，4不是集合A中的元素．
[新知生成]
1．元素和集合之間的關系
關系 概念 記法 讀法
屬于 如果a是集合A的元素 ______ a屬于集合A
不屬于 如果a不是集合A中的元素 ______ a不屬于集合A
a∈A
a A
名稱 非負整數集 (或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N ____或____ Z __ R
【教用·微提醒】　0是自然數，0∈N．
2．常用數集及其記法
N*
N＋
Q
[典例講評]　2．(1)用符號“∈”或“ ”填空：
____N；|－2|____ N*；0．5____Z；－____Q；3._____Q；
π_____R．
(2)已知集合A中的元素x滿足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，則實數a的取值范圍為________．
(1)∈　∈　 　∈　∈　∈　(2)a>－4　[(1)＝0是自然數；|－2|＝2是正整數；0.5不是整數，不屬于整數集；－是有理數；3.是無限循環小數，是有理數；π是無理數，屬于實數集．
(2)因為2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4．]
∈
∈

∈
∈
∈
a>－4
反思領悟　判斷元素與集合關系的2種方法
直接法 判斷該元素在已知集合中是否出現即可
推理法 判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可
[學以致用]　2．(1)(多選)下列結論中，正確的是(　　)
A．若a∈N，則 N B．若a∈Z，則a2∈Z
C．若a∈Q，則|a|∈Q D．若a∈R，則∈R
(2)若集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，則實數a的取值范圍是______．
(1)BC　(2)a≥2　[(1)A不正確，如a＝1∈N，＝1∈N；D不正確，如a＝－1∈R，無意義；B，C都正確．
(2)∵集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，∴2－a≤0，即a≥2．]
√
√
a≥2
【教用·備選題】　定義滿足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A為“閉集”．試問數集N，Z，Q，R是否分別為“閉集”？若是，請說明理由；若不是，請舉反例說明．
[解]　(1)數集N，Z不是“閉集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5 N；
3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5 Z，故N，Z不是閉集．
(2)數集Q，R是“閉集”．
由于兩個有理數a與b的和，差，積，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理數，故Q是閉集．同理R也是閉集．
1．設由“我和我的祖國”中的所有漢字組成集合A，則A中的元素個數為(　　)
A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[由題意可知，集合A中的元素分別為：我、和、的、祖、國，共5個．故選B．]
2．(多選)下列關系中，正確的有(　　)
A．∈R　　　B． Q　　　C．|－3|∈N　　　D．∈Q
2
3
題號
1
4
√
AC　[是實數，＝2是有理數，|－3|＝3是非負整數，是無理數．因此AC正確，BD錯誤．故選AC．]
√
3．已知集合M有兩個元素3和a＋1，且4∈M，則實數a＝_____．
2
3
題號
4
1
3　[因為4∈M，且集合M有兩個元素3和a＋1，
所以4＝a＋1，所以a＝3．]
3　
4．給出下列說法：
①某校高一年級的數學教師組成一個集合；
②由－1，0，1，，3，－3組成的集合中有8個元素；
③由a，b，c組成的集合與由c，b，a組成的集合是不相同的．
其中不正確的是________(填序號)．
2
4
3
題號
1
②③
②③　[①根據集合元素的性質可判斷某校高一年級的數學教師具有確定性，能組成一個集合，故①正確；
②＝3，由集合中元素的互異性知，這個集合中有6個元素，故②不正確；
③兩個集合中的元素相同，只是排列順序不同，由集合中元素的無序性知，它們表示同一個集合，故③不正確．]
2
4
3
題號
1
1．知識鏈：(1)元素與集合的概念．
(2)集合中元素的特征．
(3)元素與集合的關系．
(4)常用數集的記法．
2．方法鏈：直接法、推理法．
3．警示牌：(1)自然數集中容易遺忘0這個元素．
(2)集合中忽略互異性的判斷．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．集合中的元素有哪些特性，判斷一組對象能否構成集合的關鍵是什么？
[提示]　集合中的元素有確定性、互異性和無序性，其中確定性是判斷一組對象能否構成集合的關鍵．
2．元素與集合間存在哪些關系？
[提示]　元素與集合間只有“屬于”和“不屬于”兩種關系．
3．學習了哪些常用數集？
[提示]　自然數集(或非負整數集)(N)、正整數集(N*或N＋)、整數集(Z)、有理數集(Q)和實數集(R)．
課時分層作業(一)
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集合的含義
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS課時分層作業(一)　集合的含義
一、選擇題
1．(多選)下列各組對象能構成集合的有(　　)
A．參加2023年杭州亞運會的全體電競選手
B．未來世界的高科技產品
C．小于0的實數
D．直角坐標系中橫、縱坐標相等的點
2．已知集合M由小于5的數構成，則有(　　)
A．3∈M B．－3 M
C．0 M D．7∈M
3．第24屆冬奧會吉祥物“冰墩墩”“雪容融”兩個吉祥物的中文名字中的漢字組成集合M，則M中元素的個數為(　　)
A．3 　　　B．4 　　　C．5 　　　D．6
4．如果集合中的元素是三角形的邊長，那么這個三角形一定不可能是(　　)
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
5．由三個數a，，1組成的集合與由a2，a＋b，0組成的集合相等，則a2 024＋b2 024的值為(　　)
A．0 　　　B．1　　　 C．2 　　　D．4
二、填空題
6．已知集合A是由偶數組成的，集合B是由奇數組成的，若a∈A，b∈B，則a＋b______A，ab________A．(填“∈”或“ ”)
7．方程x2－1＝0與方程x＋1＝0所有根組成的集合中共有________個元素．
8．若集合A中含有兩個元素x，x2－2x，則元素x應滿足的條件為________．
三、解答題
9．已知集合A含有兩個元素a－3，2a－1，a∈R．
(1)若－3∈A，試求實數a的值；
(2)若a∈A，試求實數a的值．
10．由a2，2－a，4組成一個集合A，且集合A中含有3個元素，則實數a的取值可以是(　　)
A．1 　　　B．－2　　　 C．－1 　　　D．2
11．由實數x，－x，所組成的集合，最多含元素(　　)
A．2個 B．3個
C．4個 D．5個
12．已知集合P中的元素x滿足：x∈N，且213．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值構成集合M，則集合M中的元素為________．
14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，求的可能取值所組成的集合中所有元素的和．
15．設集合A中的元素均為實數，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1，且a≠0)．
求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個元素；
(2)集合A中不可能只有一個元素．
3/31.1　集合的概念
第1課時　集合的含義
[學習目標]　1．通過實例了解集合與元素的含義，理解元素與集合的“屬于”關系．(數學抽象)
2．能利用集合中元素的三個特征解決一些簡單的問題．(數學運算)
3．掌握常用數集的表示符號并會應用．(數學抽象)
[討論交流]　預習教材P2－P3，并思考以下問題：
問題1．集合和元素的概念是什么？
問題2．如何用字母表示集合和元素？
問題3．元素和集合之間有哪兩種關系？
問題4．常見的數集有哪些？分別用什么符號表示？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　元素與集合的基本概念
探究問題1　閱讀下面的例子，思考并回答提出的問題：
①1～10之間的所有奇數；
②某校高一(1)班所有性格開朗的女生；
③所有的平行四邊形；
④到定點O的距離等于2的所有點．
(1)以上例子中，我們研究的對象分別是什么？
(2)哪個例子中的對象劃分標準不明確？為什么？
(3)上述實例①③④有什么共同的特點？
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[新知生成]
1．元素：一般地，我們把________統稱為元素．元素通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素組成的________叫做集合(簡稱為集)．集合通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．
探究2　集合中元素的特征
探究問題2　英文單詞book的所有字母能否組成一個集合？若能組成一個集合，則該集合中有幾個元素？為什么？
探究問題3　分別由元素1，2，3和3，2，1組成的兩個集合有什么關系？集合中的元素有沒有先后順序？
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[新知生成]
1．集合中元素的特征：________，________，________．
2．集合相等：只要構成兩個集合的元素是________，我們就稱這兩個集合是相等的．
[典例講評]　1．(1)(多選)以下元素的全體能構成集合的是(　　)
A．中國古代四大發明
B．地球上的小河流
C．方程x2－1＝0的實數根
D．自然數
(2)集合M中含有兩個元素3和－1，集合N中含有兩個元素－1和m2－2m，若集合M與N相等，則m＝________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　若將例1(2)改為“若集合N中含有兩個元素－1和m2－2m”，求m的取值范圍．
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　(1)判斷一組對象能否構成集合，關鍵是能否滿足確定性、互異性．
(2)若兩個集合相等，則這兩個集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按順序對應相等．求解中注意檢驗集合中元素的互異性．
[學以致用]　1．下列說法中正確的是(　　)
A．在一個集合中可以找到兩個相同的元素
B．好聽的歌能構成一個集合
C．方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有實數根組成的集合有3個元素
D．分別由元素0，1，2和2，0，1組成的兩個集合是相等的
探究3　元素與集合的關系
探究問題4　若集合A是由小于10的質數構成的集合，則2和4與集合A是什么關系？
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[新知生成]
1．元素和集合之間的關系
關系 概念 記法 讀法
屬于 如果a是集合A的元素 ______ a屬于集合A
不屬于 如果a不是集合A中的元素 ______ a不屬于集合A
2．常用數集及其記法
名稱 非負整數 集(或自然數集) 正整數集 整數集 有理 數集 實數集
記法 N __或__ Z __ R
[典例講評]　2．(1)用符號“∈”或“ ”填空：
________N；|－2|________ N*；0．5________Z；－________Q；
3.________Q；π________R．
(2)已知集合A中的元素x滿足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，則實數a的取值范圍為________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　判斷元素與集合關系的2種方法
直接法 判斷該元素在已知集合中是否出現即可
推理法 判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可
[學以致用]　2．(1)(多選)下列結論中，正確的是(　　)
A．若a∈N，則 N
B．若a∈Z，則a2∈Z
C．若a∈Q，則|a|∈Q
D．若a∈R，則∈R
(2)若集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，則實數a的取值范圍是__________．
1．設由“我和我的祖國”中的所有漢字組成集合A，則A中的元素個數為(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
2．(多選)下列關系中，正確的有(　　)
A．∈R B． Q
C．|－3|∈N D．∈Q
3．已知集合M有兩個元素3和a＋1，且4∈M，則實數a＝________．
4．給出下列說法：
①某校高一年級的數學教師組成一個集合；
②由－1，0，1，，3，－3組成的集合中有8個元素；
③由a，b，c組成的集合與由c，b，a組成的集合是不相同的．
其中不正確的是________(填序號)．
1．知識鏈：(1)元素與集合的概念．
(2)集合中元素的特征．
(3)元素與集合的關系．
(4)常用數集的記法．
2．方法鏈：直接法、推理法．
3．警示牌：(1)自然數集中容易遺忘0這個元素．
(2)集合中忽略互異性的判斷．
5/5(共33張PPT)
第2課時　集合的表示
第一章　集合與常用邏輯用語
1.1　集合的概念
[學習目標]　1．掌握集合的兩種表示方法：列舉法和描述法．(數學抽象)
2．會用集合的兩種表示方法表示一些簡單的集合．(數學運算)
[討論交流]　預習教材P3－P5，并思考以下問題：
問題1．集合有哪兩種表示方法？它們如何定義？
問題2．列舉法的使用條件是什么？如何用符號表示？
問題3．描述法的使用條件是什么？如何用符號表示？
整體感知
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究問題1　觀察下面兩個集合，思考并回答下列問題：
①A是由中國的“五岳”組成的集合；
②B是由“方程x2－3x＋2＝0 的所有實數根”組成的集合．
(1)集合A，B中的元素能一一列舉出來嗎？
(2)集合A與B除了用自然語言描述外，還可以用什么方式表示呢？如何表示？
探究建構
提示：(1)能．集合A中的元素為：泰山、華山、衡山、恒山、嵩山；集合B中的元素為1，2．
(2)列舉法．A＝{泰山，華山，衡山，恒山，嵩山}，B＝{1，2}．
[新知生成]
把集合的所有元素________出來，并用__________________括起來表示集合的方法叫做列舉法．
【教用·微提醒】　(1)列舉法表示集合，元素與元素之間用“，”隔開．
(2)這里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整數}，即代表整數集Z，而不能用{全體整數}，即不能出現“全體”“所有”等字眼．
一一列舉
花括號“{　}”
【鏈接·教材例題】
例1　用列舉法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然數組成的集合；
(2)方程x2＝x的所有實數根組成的集合．
解：(1)設小于10的所有自然數組成的集合為A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2)設方程x2＝x的所有實數根組成的集合為B，那么B＝{0，1}．
[典例講評]　1．用列舉法表示下列給定的集合：
(1)不大于10的非負偶數組成的集合A；
(2)小于8的質數組成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的實數根組成的集合C；
(4)一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D．
[解]　(1)不大于10的非負偶數有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．
(2)小于8的質數有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的實數根為－1，，
所以C＝．
(4)由 得
所以一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點為(1，4)，
所以D＝{(1，4)}．
反思領悟　用列舉法表示集合的3個步驟
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．
(3)將所有元素用花括號括起來．
[學以致用]　1．用列舉法表示下列集合：
(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的根組成的集合M；
(3)方程組的根組成的集合B；
(4)15的正約數組成的集合N．
[解]　(1)因為－2≤x≤2，x∈Z，所以x＝－2，－1，0，1，2，
所以A＝{－2，－1，0，1，2}．
(2)因為2和3是方程的根，所以M＝{2，3}．
(3)解方程組所以B＝{(3，2)}．
(4)因為15的正約數有1，3，5，15，所以N＝{1，3，5，15}．
探究2　描述法
探究問題2　能否用列舉法表示由“不等式x－1>3的解”組成的集合，為什么？
提示：不能．不等式x－1>3的解是x>4，因為滿足x>4的實數有無數個，且無規律可循，所以x－1>3的解集無法用列舉法表示．
探究問題3　偶數有什么特征，偶數集如何表示？
提示：偶數的特征：x＝2k，k∈Z，偶數集可表示為{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
[新知生成]　一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為___________，這種表示集合的方法稱為描述法．
{x∈A|P(x)}
【教用·微提醒】　(1)寫清該集合中元素的代表符號，如{x|x>1}不能寫成{x>1}．
(2)語言簡明、準確，不能出現未被說明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被說明，故此集合中的元素是不確定的．
(3)所有描述的內容都要寫在花括號內，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，應將“m∈N*”寫進“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}．
(4)元素的取值(或變化)范圍，從上下文的關系來看，若x∈R是明確的，則x∈R可省略不寫，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示為D＝{x|x<20}．
【鏈接·教材例題】
例2　試分別用描述法和列舉法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有實數根組成的集合A；
(2)由大于10且小于20的所有整數組成的集合B．
解：(1)設x∈A，則x是一個實數，且x2－2＝0．
因此，用描述法表示為A＝{x∈R|x2－2＝0}．
方程x2－2＝0有兩個實數根，因此，用列舉法表示為A＝{}．
(2)設x∈B，則x是一個整數，即x∈Z，且10B＝{x∈Z|10大于10且小于20的整數有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列舉法表示為B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．
[典例講評]　2．用描述法表示下列集合：
(1)方程－2x2＋x＝0的解組成的集合；
(2)大于2小于7的整數；
(3)平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合D．
[解]　(1)方程－2x2＋x＝0的解組成的集合可表示為{x|－2x2＋x＝0}．
(2)用描述法表示為{x∈Z|2(3)平面直角坐標系中第二象限內的點的橫坐標為負，縱坐標為正，即x<0，y>0，故第二象限內的點的集合為D＝{(x，y)|x<0，y>0}．
反思領悟　用描述法表示集合的2個步驟
提醒：用描述法表示集合時，不能出現未被說明的字母．
[學以致用]　2．下列三個集合：
A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它們是不是相同的集合？
(2)它們各自的含義分別是什么？
[解]　(1)不是．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，
即A＝R，可以認為集合A表示函數y＝x2＋1中自變量x的取值組成的集合；
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，滿足條件y＝x2＋1的y的取值范圍是y≥1，
所以B＝{y|y≥1}，
可以認為集合B表示函數y＝x2＋1中因變量y的取值組成的集合；
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是滿足y＝x2＋1的數對，
可以認為集合C是由坐標平面內滿足y＝x2＋1的點(x，y)構成的集合．
【教用·備選題】　中國古代數學專著《孫子算經》中有一問題“今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸，問：三女幾何日相會？”
請將此三女前三次相會經過的天數組成的集合分別用列舉法表示，并將此三女相會經過的天數組成的集合用描述法表示．
[解]　因為三女相會經過的天數是5，4，3的公倍數，且它們的最小公倍數為60，
所以三女前三次相會經過的天數組成的集合用列舉法可表示為{60，120，180}．
此三女相會經過的天數組成的集合用描述法可表示為．
探究3　集合表示方法的綜合應用
[典例講評]　3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一個元素，求a的值．
[解]　當a＝0時，原方程變為2x＋1＝0，此時x＝－，符合題意；
當a≠0時，原方程ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，
故當Δ＝4－4a＝0，即a＝1時，原方程的根為x＝－1，符合題意．
故當a＝0或a＝1時，原方程只有一個根，此時A中只有一個元素．
[母題探究]　在本例條件下，若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．
[解]　A中至多有一個元素，即A中有一個元素或沒有元素．
當A中只有一個元素時，由例題可知，a＝0或a＝1．
當A中沒有元素時，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1．
故當A中至多有一個元素時，a的取值范圍為{a|a＝0或a≥1}．
反思領悟　若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關鍵，如本例集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數問題轉化為方程的根的個數問題．
[學以致用]　3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一個，求m的取值范圍．
[解]　①當m＝0時，原方程為－2x＋3＝0，解得x＝，符合題意．
②當m≠0時，方程mx2－2x＋3＝0為一元二次方程，由Δ＝4－12m≥0，得m≤，
即當m≤且m≠0時，方程mx2－2x＋3＝0至少有一個實數根，符合題意．
由①②知m≤．
1．集合{x∈N*|x－3<2}用列舉法可表示為(　　)
A．{0，1，2，3，4}　　　 B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}　　　 D．{1，2，3，4，5}
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[由題意可得x<5，x∈N*，
∴x＝1，2，3，4，即用列舉法可表示為{1，2，3，4}．故選B．]
2．若P＝{(1，1)，(1，2)}，則集合P中元素的個數是(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
2
3
題號
1
4
√
B　[集合P中元素為(1，1)，(1，2)，共2個．
故選B．]
3．集合{1，，…}用描述法可表示為(　　)
A．{x|x≥1}　　　 B．{x|x≤}　　　
C．{x|x＝}　　　 D．{x|x＝，n∈N*}
2
3
題號
4
1
√
D　，…}中的元素滿足，所以{1，，…}＝{x|x＝，n∈N*}，故選D．]
4．設集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列舉法表示集合A為___________．
2
4
3
題號
1
{－1，4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．]
{－1，4}
1．知識鏈：(1)列舉法．
(2)描述法．
(3)集合與方程、不等式的關系．
2．方法鏈：分類討論．
3．警示牌：(1)列舉法與描述法的亂用．
(2)涉及x2的系數不確定時，忽略討論方程是一次方程還是二次方程．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．本節課學習的集合的表示方法有哪些？
[提示]　列舉法和描述法．
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含義有什么不同？
[提示]　(1)前兩個集合為數集，后一個集合為點集；
(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自變量x的取值組成的集合；
{y|y＝x＋1，x∈R}表示因變量y的取值組成的集合；
{(x，y)|y＝x＋1}表示函數y＝x＋1圖象上的點(x，y)組成的集合．
課時分層作業(二)
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集合的表示
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS第2課時　集合的表示
[學習目標]　1．掌握集合的兩種表示方法：列舉法和描述法．(數學抽象)
2．會用集合的兩種表示方法表示一些簡單的集合．(數學運算)
[討論交流]　預習教材P3－P5，并思考以下問題：
問題1．集合有哪兩種表示方法？它們如何定義？
問題2．列舉法的使用條件是什么？如何用符號表示？
問題3．描述法的使用條件是什么？如何用符號表示？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　列舉法
探究問題1　觀察下面兩個集合，思考并回答下列問題：
①A是由中國的“五岳”組成的集合；
②B是由“方程x2－3x＋2＝0 的所有實數根”組成的集合．
(1)集合A，B中的元素能一一列舉出來嗎？
(2)集合A與B除了用自然語言描述外，還可以用什么方式表示呢？如何表示？
提示：(1)能．集合A中的元素為：泰山、華山、衡山、恒山、嵩山；集合B中的元素為1，2．
(2)列舉法．A＝{泰山，華山，衡山，恒山，嵩山}，B＝{1，2}．
[新知生成]
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
【教用·微提醒】　(1)列舉法表示集合，元素與元素之間用“，”隔開．
(2)這里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整數}，即代表整數集Z，而不能用{全體整數}，即不能出現“全體”“所有“等字眼．
【鏈接·教材例題】
例1　用列舉法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然數組成的集合；
(2)方程x2＝x的所有實數根組成的集合．
解：(1)設小于10的所有自然數組成的集合為A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2)設方程x2＝x的所有實數根組成的集合為B，那么B＝{0，1}．
[典例講評]　1．用列舉法表示下列給定的集合：
(1)不大于10的非負偶數組成的集合A；
(2)小于8的質數組成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的實數根組成的集合C；
(4)一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D．
[解]　(1)不大于10的非負偶數有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．
(2)小于8的質數有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的實數根為－1，，
所以C＝．
(4)由
得
所以一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點為(1，4)，
所以D＝{(1，4)}．
　用列舉法表示集合的3個步驟
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．
(3)將所有元素用花括號括起來．
[學以致用]　1．用列舉法表示下列集合：
(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的根組成的集合M；
(3)方程組的根組成的集合B；
(4)15的正約數組成的集合N．
[解]　(1)因為－2≤x≤2，x∈Z，
所以x＝－2，－1，0，1，2，
所以A＝{－2，－1，0，1，2}．
(2)因為2和3是方程的根，
所以M＝{2，3}．
(3)解方程組
所以B＝{(3，2)}．
(4)因為15的正約數有1，3，5，15，
所以N＝{1，3，5，15}．
探究2　描述法
探究問題2　能否用列舉法表示由”不等式x－1>3的解“組成的集合，為什么？
提示：不能．不等式x－1>3的解是x>4，因為滿足x>4的實數有無數個，且無規律可循，所以x－1>3的解集無法用列舉法表示．
探究問題3　偶數有什么特征，偶數集如何表示？
提示：偶數的特征：x＝2k，k∈Z，偶數集可表示為{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
[新知生成]　一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．
【教用·微提醒】　(1)寫清該集合中元素的代表符號，如{x|x>1}不能寫成{x>1}．
(2)語言簡明、準確，不能出現未被說明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被說明，故此集合中的元素是不確定的．
(3)所有描述的內容都要寫在花括號內，如”{x∈Z|x＝2m}，m∈N*“不符合要求，應將”m∈N*“寫進”{　}“中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}．
(4)元素的取值(或變化)范圍，從上下文的關系來看，若x∈R是明確的，則x∈R可省略不寫，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示為D＝{x|x<20}．
【鏈接·教材例題】
例2　試分別用描述法和列舉法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有實數根組成的集合A；
(2)由大于10且小于20的所有整數組成的集合B．
解：(1)設x∈A，則x是一個實數，且x2－2＝0．
因此，用描述法表示為
A＝{x∈R|x2－2＝0}．
方程x2－2＝0有兩個實數根，因此，用列舉法表示為A＝{}．
(2)設x∈B，則x是一個整數，即x∈Z，且10B＝{x∈Z|10大于10且小于20的整數有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列舉法表示為
B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．
[典例講評]　2．用描述法表示下列集合：
(1)方程－2x2＋x＝0的解組成的集合；
(2)大于2小于7的整數；
(3)平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合D．
[解]　(1)方程－2x2＋x＝0的解組成的集合可表示為{x|－2x2＋x＝0}．
(2)用描述法表示為{x∈Z|2(3)平面直角坐標系中第二象限內的點的橫坐標為負，縱坐標為正，即x<0，y>0，故第二象限內的點的集合為D＝{(x，y)|x<0，y>0}．
　用描述法表示集合的2個步驟
提醒：用描述法表示集合時，不能出現未被說明的字母．
[學以致用]　2．下列三個集合：
A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它們是不是相同的集合？
(2)它們各自的含義分別是什么？
[解]　(1)不是．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，
即A＝R，可以認為集合A表示函數y＝x2＋1中自變量x的取值組成的集合；
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，滿足條件y＝x2＋1的y的取值范圍是y≥1，
所以B＝{y|y≥1}，
可以認為集合B表示函數y＝x2＋1中因變量y的取值組成的集合；
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是滿足y＝x2＋1的數對，
可以認為集合C是由坐標平面內滿足y＝x2＋1的點(x，y)構成的集合．
【教用·備選題】　中國古代數學專著《孫子算經》中有一問題“今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸，問：三女幾何日相會？”
請將此三女前三次相會經過的天數組成的集合分別用列舉法表示，并將此三女相會經過的天數組成的集合用描述法表示．
[解]　因為三女相會經過的天數是5，4，3的公倍數，且它們的最小公倍數為60，
所以三女前三次相會經過的天數組成的集合用列舉法可表示為{60，120，180}．
此三女相會經過的天數組成的集合用描述法可表示為．
探究3　集合表示方法的綜合應用
[典例講評]　3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一個元素，求a的值．
[解]　當a＝0時，原方程變為2x＋1＝0，此時x＝－，符合題意；
當a≠0時，原方程ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，
故當Δ＝4－4a＝0，即a＝1時，原方程的根為x＝－1，符合題意．
故當a＝0或a＝1時，原方程只有一個根，此時A中只有一個元素．
[母題探究]　在本例條件下，若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．
[解]　A中至多有一個元素，即A中有一個元素或沒有元素．
當A中只有一個元素時，由例題可知，a＝0或a＝1．
當A中沒有元素時，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1．
故當A中至多有一個元素時，a的取值范圍為{a|a＝0或a≥1}．
　若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關鍵，如本例集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數問題轉化為方程的根的個數問題．
[學以致用]　3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一個，求m的取值范圍．
[解]　①當m＝0時，原方程為－2x＋3＝0，解得x＝，符合題意．
②當m≠0時，方程mx2－2x＋3＝0為一元二次方程，由Δ＝4－12m≥0，得m≤，
即當m≤且m≠0時，方程mx2－2x＋3＝0至少有一個實數根，符合題意．
由①②知m≤．
1．集合{x∈N*|x－3<2}用列舉法可表示為(　　)
A．{0，1，2，3，4}　　　 B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}　　　 D．{1，2，3，4，5}
B　[由題意可得x<5，x∈N*，
∴x＝1，2，3，4，即用列舉法可表示為{1，2，3，4}．故選B．]
2．若P＝{(1，1)，(1，2)}，則集合P中元素的個數是(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
B　[集合P中元素為(1，1)，(1，2)，共2個．
故選B．]
3．集合{1，，…}用描述法可表示為(　　)
A．{x|x≥1}　　　B．{x|x≤}　　　C．{x|x＝}　　　D．{x|x＝，n∈N*}
D　，…}中的元素滿足，所以{1，，…}＝{x|x＝，n∈N*}，故選D．]
4．設集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列舉法表示集合A為________．
{－1，4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．]
1．知識鏈：(1)列舉法．
(2)描述法．
(3)集合與方程、不等式的關系．
2．方法鏈：分類討論．
3．警示牌：(1)列舉法與描述法的亂用．
(2)涉及x2的系數不確定時，忽略討論方程是一次方程還是二次方程．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．本節課學習的集合的表示方法有哪些？
[提示]　列舉法和描述法．
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含義有什么不同？
[提示]　(1)前兩個集合為數集，后一個集合為點集；
(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自變量x的取值組成的集合；
{y|y＝x＋1，x∈R}表示因變量y的取值組成的集合；
{(x，y)|y＝x＋1}表示函數y＝x＋1圖象上的點(x，y)組成的集合．
課時分層作業(二)　集合的表示
一、選擇題
1．用描述法表示函數y＝3x＋1圖象上的所有點的是(　　)
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3x＋1}
C　[因為集合是點集，所以代表元素是(x，y)，所以用描述法表示為{(x，y)|y＝3x＋1}．故選C．]
2．集合{x|x2－4x－5＝0}用列舉法表示為(　　)
A．{x＝－1，x＝5}
B．{x|x＝－1或x＝5}
C．{x2－4x－5＝0}
D．{－1，5}
D　[根據題意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列舉法表示為{－1，5}．]
3．已知集合A＝{x，x∈Z}，則一定有(　　)
A．－1∈A　　　B．∈A　　　C．0∈A　　　D．1 A
C　[因為－1<0<，且0∈Z，所以0∈A．]
4．下列集合表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{2，3}，N＝{3，2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
B　[選項A中的集合M是由點(3，2)組成的點集，集合N是由點(2，3)組成的點集，故集合M與N不是同一個集合；選項C中的集合M是由一次函數y＝1－x圖象上的所有點組成的集合，集合N是由一次函數y＝1－x圖象上的所有點的縱坐標組成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M與N不是同一個集合；選項D中的集合M是數集，而集合N是點集，故集合M與N不是同一個集合；對于選項B，由集合中元素的無序性，可知M，N表示同一個集合．]
5．(多選)方程組的解集可表示為(　　)
A．
B．
C．(2，1)
D．{(2，1)}
ABD　[由故結合選項可知ABD均正確．]
二、填空題
6．用描述法表示大于0且小于9的實數x的集合為________．
{x∈R|0＜x＜9}　[大于0且小于9的實數x的集合為{x∈R |07．若集合{x|x2＋ax＝0}與集合{0，1}相等，則實數a的值為________．
－1　[由題意，x2＋ax＝0的根為0，1，利用根與系數的關系得0＋1＝－a，所以a＝－1．]
8．用列舉法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N*}為________．
{(0，3)，(1，2)，(2，1)}　[集合A是由方程x＋y＝3的部分整數解組成的集合，由條件可知，當x＝0時，y＝3；當x＝1時，y＝2；當x＝2時，y＝1．故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．]
三、解答題
9．用適當的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然數集內，小于1 000的奇數構成的集合；
(3)不等式x－2>6的解構成的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然數的全體構成的集合；
(5)方程組的解集．
[解]　(1){0，－1}．
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}．
(3){x|x>8}．
(4){1，2，3，4，5，6}．
(5)解集用描述法表示為 ，
解集用列舉法表示為{(2，－1)}．
10．(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x Q}，則M＝(　　)
A．{1}　　　B．{2}　　　C．{3}　　　D．{1，2，3}
A　[∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x Q}，
∴M＝{1}．故選A．]
11．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一個元素，則實數k的值為(　　)
A．0　　　B．1　　　C．0或1　　　D．2
C　[集合A中只有一個元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一個根．當k＝0時，方程為一元一次方程，只有一個根；當k≠0時，方程為一元二次方程，若只有一根，則Δ＝16－16k＝0，即k＝1．所以實數k的值為0或1．]
12．已知A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，則由a的值構成的集合是(　　)
A．－　　　B．{－1，－}　　　C．{－1}　　　D．{－}
D　[∵－3∈A，A＝{a－2，2a2＋5a，12}，
∴
解得a＝－．
故由a的值構成的集合是{－}．]
13．若一數集的任一元素的倒數仍在該集合中，則稱該數集為可倒數集，則集合A＝{－1，1，2}________(填”是“或”不是“)可倒數集．試寫出一個含三個元素的可倒數集________．
不是　{1，2，}(答案不唯一)　[由于2的倒數不在集合A中，故集合A不是可倒數集．若一個元素a∈A，則∈A．若集合中有三個元素，故必有a＝，即a＝±1，故可取的集合有{1，2，}，{－1，3，}等．]
14．設集合B＝．
(1)試判斷元素1和2與集合B的關系；
(2)用列舉法表示集合B．
[解]　(1)當x＝1時，＝2∈N；
當x＝2時， N，
所以1∈B，2 B．
(2)因為∈N，x∈N，
所以2＋x只能取2，3，6，
所以x只能取0，1，4，所以B＝{0，1，4}．
15．設集合S具有如下性質：①元素都是正整數；②若x∈S，則10－x∈S．
(1)請你寫出符合條件，且分別含有一個、二個、三個元素的集合S各一個．
(2)是否存在恰有6個元素的集合S？若存在，寫出所有的集合S；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)若集合S中只有一個元素，則只需滿足x＝10－x，故x＝5，則S＝{5}，
若集合S中有兩個元素，則S＝{1，9}符合條件，(答案不唯一)
若集合S中有三個元素，則S＝{1，5，9}符合條件；(答案不唯一)
(2)由于S中的元素是成對的，6個元素只要確定3個，另外的3個自然就確定了，
因為5＋5＝10，5＝5，所以三個不同的元素應在1，2，3，4中選出(也可以在6，7，8，9中選出)，
選法有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4，四種，
所以一共有四個：S＝{1，2，3，7，8，9}或S＝{1，2，4，6，8，9}或S＝{1，3，4，6，7，9}或S＝{2，3，4，6，7，8}．
11/11第2課時　集合的表示
[學習目標]　1．掌握集合的兩種表示方法：列舉法和描述法．(數學抽象)
2．會用集合的兩種表示方法表示一些簡單的集合．(數學運算)
[討論交流]　預習教材P3－P5，并思考以下問題：
問題1．集合有哪兩種表示方法？它們如何定義？
問題2．列舉法的使用條件是什么？如何用符號表示？
問題3．描述法的使用條件是什么？如何用符號表示？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　列舉法
探究問題1　觀察下面兩個集合，思考并回答下列問題：
①A是由中國的“五岳”組成的集合；
②B是由“方程x2－3x＋2＝0 的所有實數根”組成的集合．
(1)集合A，B中的元素能一一列舉出來嗎？
(2)集合A與B除了用自然語言描述外，還可以用什么方式表示呢？如何表示？
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[新知生成]
把集合的所有元素________出來，并用____________括起來表示集合的方法叫做列舉法．
[典例講評]　1．用列舉法表示下列給定的集合：
(1)不大于10的非負偶數組成的集合A；
(2)小于8的質數組成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的實數根組成的集合C；
(4)一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　用列舉法表示集合的3個步驟
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．
(3)將所有元素用花括號括起來．
[學以致用]　1．用列舉法表示下列集合：
(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的根組成的集合M；
(3)方程組的根組成的集合B；
(4)15的正約數組成的集合N．
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探究2　描述法
探究問題2　能否用列舉法表示由“不等式x－1>3的解”組成的集合，為什么？
探究問題3　偶數有什么特征，偶數集如何表示？
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[新知生成]　一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為________，這種表示集合的方法稱為描述法．
[典例講評]　2．用描述法表示下列集合：
(1)方程－2x2＋x＝0的解組成的集合；
(2)大于2小于7的整數；
(3)平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　用描述法表示集合的2個步驟
提醒：用描述法表示集合時，不能出現未被說明的字母．
[學以致用]　2．下列三個集合：
A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它們是不是相同的集合？
(2)它們各自的含義分別是什么？
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探究3　集合表示方法的綜合應用
[典例講評]　3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一個元素，求a的值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　在本例條件下，若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．
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　若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關鍵，如本例集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數問題轉化為方程的根的個數問題．
[學以致用]　3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一個，求m的取值范圍．
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1．集合{x∈N*|x－3<2}用列舉法可表示為(　　)
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．若P＝{(1，1)，(1，2)}，則集合P中元素的個數是(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
3．集合{1，，…}用描述法可表示為(　　)
A．{x|x≥1} B．{x|x≤}
C．{x|x＝} D．{x|x＝，n∈N*}
4．設集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列舉法表示集合A為________．
1．知識鏈：(1)列舉法．
(2)描述法．
(3)集合與方程、不等式的關系．
2．方法鏈：分類討論．
3．警示牌：(1)列舉法與描述法的亂用．
(2)涉及x2的系數不確定時，忽略討論方程是一次方程還是二次方程．
5/51.1　集合的概念
第1課時　集合的含義
[學習目標]　1．通過實例了解集合與元素的含義，理解元素與集合的“屬于”關系．(數學抽象)
2．能利用集合中元素的三個特征解決一些簡單的問題．(數學運算)
3．掌握常用數集的表示符號并會應用．(數學抽象)
[討論交流]　預習教材P2－P3，并思考以下問題：
問題1．集合和元素的概念是什么？
問題2．如何用字母表示集合和元素？
問題3．元素和集合之間有哪兩種關系？
問題4．常見的數集有哪些？分別用什么符號表示？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　元素與集合的基本概念
探究問題1　閱讀下面的例子，思考并回答提出的問題：
①1～10之間的所有奇數；
②某校高一(1)班所有性格開朗的女生；
③所有的平行四邊形；
④到定點O的距離等于2的所有點．
(1)以上例子中，我們研究的對象分別是什么？
(2)哪個例子中的對象劃分標準不明確？為什么？
(3)上述實例①③④有什么共同的特點？
提示：(1)①1，3，5，7，9；②某校高一(1)班性格開朗的每一位女生；③平行四邊形；④以O為圓心，以2為半徑的圓．
(2)②中的對象劃分標準不明確，因為“性格開朗”沒有明確的界線．
(3)實例①③④中指的都是“所有的”，即某種研究對象的全體．
[新知生成]
1．元素：一般地，我們把研究對象統稱為元素．元素通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)．集合通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．
【教用·微提醒】　研究對象可以是數、點、代數式，也可以是現實生活中各種各樣的事物或人等．
探究2　集合中元素的特征
探究問題2　英文單詞book的所有字母能否組成一個集合？若能組成一個集合，則該集合中有幾個元素？為什么？
提示：能．因為集合中的元素是確定的(確定性)；三個元素．因為集合中的元素是互不相同的(互異性)．
探究問題3　分別由元素1，2，3和3，2，1組成的兩個集合有什么關系？集合中的元素有沒有先后順序？
提示：兩個集合相等．集合中的元素沒有先后順序(無序性)．
[新知生成]
1．集合中元素的特征：確定性，互異性，無序性．
2．集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的．
【教用·微提醒】　集合中的元素必須是確定的，不能是模棱兩可的，任何兩個元素不能相同，且與順序無關．
[典例講評]　1．(1)(多選)以下元素的全體能構成集合的是(　　)
A．中國古代四大發明
B．地球上的小河流
C．方程x2－1＝0的實數根
D．自然數
(2)集合M中含有兩個元素3和－1，集合N中含有兩個元素－1和m2－2m，若集合M與N相等，則m＝________．
(1)ACD　(2)－1或3　[(1)A中，中國古代四大發明具有確定性，能構成集合；B中，地球上的小河流不確定，因此不能構成集合；C中，方程x2－1＝0的實數根為－1和1，能構成集合；D中，自然數具有確定性，能構成集合．
(2)由題意得m2－2m＝3，所以m＝－1或3．]
[母題探究]　若將例1(2)改為“若集合N中含有兩個元素－1和m2－2m”，求m的取值范圍．
[解]　由元素是互不相同的，得m2－2m≠－1，即m≠1．
　(1)判斷一組對象能否構成集合，關鍵是能否滿足確定性、互異性．
(2)若兩個集合相等，則這兩個集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按順序對應相等．求解中注意檢驗集合中元素的互異性．
[學以致用]　1．下列說法中正確的是(　　)
A．在一個集合中可以找到兩個相同的元素
B．好聽的歌能構成一個集合
C．方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有實數根組成的集合有3個元素
D．分別由元素0，1，2和2，0，1組成的兩個集合是相等的
D　[集合中的元素是互不相同的，故A錯誤；
好聽的歌是不確定的，所以好聽的歌不能構成一個集合，故B錯誤；方程(x－1)2(x＋2)＝0的實數根為－2或1，所以方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有實數根組成的集合有2個元素，故C錯誤；
根據集合相等的定義知，兩個集合元素相同，則兩個集合相等，故D正確．]
探究3　元素與集合的關系
探究問題4　若集合A是由小于10的質數構成的集合，則2和4與集合A是什么關系？
提示：2是集合A中的元素，4不是集合A中的元素．
[新知生成]
1．元素和集合之間的關系
關系 概念 記法 讀法
屬于 如果a是集合A的元素 a∈A a屬于集合A
不屬于 如果a不是集合A中的元素 a A a不屬于集合A
2．常用數集及其記法
名稱 非負整數集 (或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或N＋ Z Q R
【教用·微提醒】　0是自然數，0∈N．
[典例講評]　2．(1)用符號“∈”或“ ”填空：
________N；|－2|________ N*；0．5________Z；－________Q；
3.________Q；π________R．
(2)已知集合A中的元素x滿足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，則實數a的取值范圍為________．
(1)∈　∈　 　∈　∈　∈　(2)a>－4　[(1)＝0是自然數；|－2|＝2是正整數；0.5不是整數，不屬于整數集；－是有理數；3.是無限循環小數，是有理數；π是無理數，屬于實數集．
(2)因為2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4．]
　判斷元素與集合關系的2種方法
直接法 判斷該元素在已知集合中是否出現即可
推理法 判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可
[學以致用]　2．(1)(多選)下列結論中，正確的是(　　)
A．若a∈N，則 N B．若a∈Z，則a2∈Z
C．若a∈Q，則|a|∈Q D．若a∈R，則∈R
(2)若集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，則實數a的取值范圍是__________．
(1)BC　(2)a≥2　[(1)A不正確，如a＝1∈N，＝1∈N；D不正確，如a＝－1∈R，無意義；B，C都正確．
(2)∵集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，∴2－a≤0，即a≥2．]
【教用·備選題】　定義滿足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A為“閉集”．試問數集N，Z，Q，R是否分別為“閉集”？若是，請說明理由；若不是，請舉反例說明．
[解]　(1)數集N，Z不是“閉集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5 N；
3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5 Z，故N，Z不是閉集．
(2)數集Q，R是“閉集”．
由于兩個有理數a與b的和，差，積，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理數，故Q是閉集．
同理R也是閉集．
1．設由“我和我的祖國”中的所有漢字組成集合A，則A中的元素個數為(　　)
A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7
B　[由題意可知，集合A中的元素分別為：我、和、的、祖、國，共5個．故選B．]
2．(多選)下列關系中，正確的有(　　)
A．∈R　　　B． Q　　　C．|－3|∈N　　　D．∈Q
AC　[是實數，＝2是有理數，|－3|＝3是非負整數，是無理數．因此AC正確，BD錯誤．故選AC．]
3．已知集合M有兩個元素3和a＋1，且4∈M，則實數a＝________．
3　[因為4∈M，且集合M有兩個元素3和a＋1，
所以4＝a＋1，所以a＝3．]
4．給出下列說法：
①某校高一年級的數學教師組成一個集合；
②由－1，0，1，，3，－3組成的集合中有8個元素；
③由a，b，c組成的集合與由c，b，a組成的集合是不相同的．
其中不正確的是________(填序號)．
②③　[①根據集合元素的性質可判斷某校高一年級的數學教師具有確定性，能組成一個集合，故①正確；
②＝3，由集合中元素的互異性知，這個集合中有6個元素，故②不正確；
③兩個集合中的元素相同，只是排列順序不同，由集合中元素的無序性知，它們表示同一個集合，故③不正確．]
1．知識鏈：(1)元素與集合的概念．
(2)集合中元素的特征．
(3)元素與集合的關系．
(4)常用數集的記法．
2．方法鏈：直接法、推理法．
3．警示牌：(1)自然數集中容易遺忘0這個元素．
(2)集合中忽略互異性的判斷．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．集合中的元素有哪些特性，判斷一組對象能否構成集合的關鍵是什么？
[提示]　集合中的元素有確定性、互異性和無序性，其中確定性是判斷一組對象能否構成集合的關鍵．
2．元素與集合間存在哪些關系？
[提示]　元素與集合間只有“屬于”和“不屬于”兩種關系．
3．學習了哪些常用數集？
[提示]　自然數集(或非負整數集)(N)、正整數集(N*或N＋)、整數集(Z)、有理數集(Q)和實數集(R)．
課時分層作業(一)　集合的含義
一、選擇題
1．(多選)下列各組對象能構成集合的有(　　)
A．參加2023年杭州亞運會的全體電競選手
B．未來世界的高科技產品
C．小于0的實數
D．直角坐標系中橫、縱坐標相等的點
ACD　[對于A，“2023年杭州亞運會的全體電競選手”的標準確定，能構成集合；
對于B，未來世界的高科技產品不具有確定性，不能構成一個集合；
對于C，小于0是一個明確的標準，能構成集合；
對于D，直角坐標系中橫、縱坐標相等的點具有確定性，可以構成集合．]
2．已知集合M由小于5的數構成，則有(　　)
A．3∈M　　　B．－3 M　　　C．0 M　　　D．7∈M
A　[∵3<5，∴3是集合M中的元素，故3∈M．故選A．]
3．第24屆冬奧會吉祥物“冰墩墩”“雪容融“兩個吉祥物的中文名字中的漢字組成集合M，則M中元素的個數為(　　)
A．3　　　　B．4　　　C．5　　　D．6
C　[由集合中元素的互異性知，兩個”墩“相同，去掉一個，”容““融”不同都保留，所以有5個元素．故選C．]
4．如果集合中的元素是三角形的邊長，那么這個三角形一定不可能是(　　)
A．直角三角形　　　 B．銳角三角形　　　
C．鈍角三角形　　　 D．等腰三角形
D　[根據集合元素的互異性可知，該三角形一定不可能是等腰三角形．故選D．]
5．由三個數a，，1組成的集合與由a2，a＋b，0組成的集合相等，則a2 024＋b2 024的值為(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．4
B　[由a，，1組成一個集合，可知a≠0，a≠1，由題意可得
解得(不滿足集合元素的互異性，舍去)．
所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋0＝1．]
二、填空題
6．已知集合A是由偶數組成的，集合B是由奇數組成的，若a∈A，b∈B，則a＋b______A，ab________A．(填“∈”或“ ”)
　∈　[∵a是偶數，b是奇數，
∴a＋b是奇數，ab是偶數，故a＋b A，ab∈A．]
7．方程x2－1＝0與方程x＋1＝0所有根組成的集合中共有________個元素．
2　[由x2－1＝0，得x＝±1，由x＋1＝0，得x＝－1，
所以兩個方程的根組成的集合共有2個元素．]
8．若集合A中含有兩個元素x，x2－2x，則元素x應滿足的條件為________．
x≠0且x≠3　[由集合中元素的互異性可得x2－2x≠x，解得x≠0且x≠3．]
三、解答題
9．已知集合A含有兩個元素a－3，2a－1，a∈R．
(1)若－3∈A，試求實數a的值；
(2)若a∈A，試求實數a的值．
[解]　(1)因為－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．
若－3＝a－3，則a＝0，此時集合A含有兩個元素－3，－1，符合題意；
若－3＝2a－1，則a＝－1，此時集合A含有兩個元素－4，－3，符合題意．
綜上所述，實數a的值為0或－1．
(2)因為a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1．
當a＝a－3時，有0＝－3，不成立；
當a＝2a－1時，有a＝1，此時A中有兩個元素－2，1，符合題意．
綜上，實數a的值為1．
10．由a2，2－a，4組成一個集合A，且集合A中含有3個元素，則實數a的取值可以是(　　)
A．1　　　B．－2　　　C．－1　　　D．2
C　[由題意知，a2≠4且2－a≠4且a2≠2－a，
解得a≠±2且a≠1，結合選項知C正確．故選C．]
11．由實數x，－x，所組成的集合，最多含元素(　　)
A．2個　　　B．3個　　　C．4個　　　D．5個
A　[在x，－x，中，＝－x．
又|x|要么等于x，要么等于－x，故集合中最多含2個元素．]
12．已知集合P中的元素x滿足：x∈N，且26　3，4，5　[因為x∈N，213．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值構成集合M，則集合M中的元素為________．
0，1，2，5　[因為x∈N，且∈Z，
則x＋1＝1，2，3，6，即x＝0，1，2，5，
所以集合M中的元素是0，1，2，5．]
14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，求的可能取值所組成的集合中所有元素的和．
[解]　當a，b同正時，＝1＋1＝2．
當a，b同負時，＝－1－1＝－2．
當a，b異號時，＝0．
∴的可能取值所組成的集合中元素共有3個，且3個元素的和為2＋(－2)＋0＝0．
15．設集合A中的元素均為實數，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1，且a≠0)．
求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個元素；
(2)集合A中不可能只有一個元素．
[證明]　(1)由題意知，若a∈A，則∈A．
又因為2∈A，所以＝－1∈A．
因為－1∈A，所以∈A．
因為∈A，所以＝2∈A．
所以A中另外兩個元素為－1，．
(2)若A中只有一個元素，則a＝，
即a2－a＋1＝0，方程無實數根．
所以a≠，
即集合A中不可能只有一個元素．
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