資源簡介

4.2.2　等差數列的前n項和公式
第1課時　等差數列的前n項和公式
[學習目標]　1．借助教材實例了解等差數列前n項和公式的推導過程．(數學運算)
2．掌握等差數列的前n項和公式．(數學運算)
3．熟練掌握等差數列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系，能夠由其中三個量求另外兩個．(數學運算)
4．構建等差數列求和模型，解決實際問題．(數學建模、數學運算)
[討論交流]　
問題1．等差數列的前n項和公式是什么？
問題2．如何推導等差數列的前n項和公式？
問題3．求等差數列的前n項和時，如何根據已知條件選擇等差數列的前n項和公式？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　等差數列的前n項和公式
探究問題1　據說，200多年前，高斯的算術老師提出了這個問題：1＋2＋3＋…＋100＝？
當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050．
你能說說高斯在求和過程中利用了數列的什么性質嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究問題2　設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，如何求其前n項和Sn
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
等差數列的前n項和公式
已知量 首項、末項與項數 首項、公差與項數
求和 公式 Sn＝ Sn＝
[典例講評]　1．在等差數列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求等差數列的基本量的方法
等差數列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn，這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．
[學以致用]　1．(源自湘教版教材)已知一個等差數列的前10項和是310，前20項和是1 220，求該數列的前n項和．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　利用等差數列前n項和公式判斷等差數列
[典例講評]　2．若數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，求數列{an}的通項公式，并判斷數列{an}是不是等差數列．若是，請證明；若不是，請說明理由．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]　(變條件)若數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n－1，求數列{an}的通項公式，并判斷數列{an}是不是等差數列．若是，請證明；若不是，請說明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由Sn求得通項公式an的特點，若Sn是關于n的二次函數，不含常數項，則由Sn求得an，知數列{an}是等差數列；否則an＝數列{an}不是等差數列．
[學以致用]　2．已知一個數列{an}的前n項和Sn＝25n－2n2＋r．
(1)當r＝0時，求證：該數列{an}是等差數列；
(2)若數列{an}是等差數列，求r滿足的條件．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　等差數列前n項和的實際應用
[典例講評]　3．某抗洪指揮部接到預報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經計算，除現有的參戰軍民連續奮戰外，還需調用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調集25輛，那么在24小時內能否構筑成第二道防線？
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　應用等差數列解決實際問題的一般思路
[學以致用]　3．在我國古代，9是數字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計．例如，北京天壇圜丘的地面由扇環形的石板鋪成(如圖)，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板；從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈．請問：
(1)第9圈共有多少塊石板？
(2)前9圈一共有多少塊石板？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S3＝9，a5＝7，則a8＝(　　)
A． B．10 C．11 D．
2．已知等差數列{an}的前5項和S5＝35，且滿足a5＝13a1，則等差數列{an}的公差為(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．(2024·新高考Ⅱ卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝________．
4．中國古代有這樣一道數學題：今有一男子擅長走路，每日增加相同里數，九日走了1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和為390里，則該男子第三日走的里數為________．
1．知識鏈：(1)等差數列前n項和公式的推導過程．
(2)與等差數列前n項和有關的基本運算．
(3)利用等差數列前n項和公式判斷等差數列．
(4)等差數列前n項和的實際應用．
2．方法鏈：倒序相加法、公式法．
3．警示牌：由Sn求通項公式時忽略對n＝1的討論．
5/54.2.2　等差數列的前n項和公式
第1課時　等差數列的前n項和公式
[學習目標]　1．借助教材實例了解等差數列前n項和公式的推導過程．(數學運算)
2．掌握等差數列的前n項和公式．(數學運算)
3．熟練掌握等差數列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系，能夠由其中三個量求另外兩個．(數學運算)
4．構建等差數列求和模型，解決實際問題．(數學建模、數學運算)
(教師用書)
為了達到比較好的音響和觀賞效果，很多劇場的座位都是排成圓弧形的，如圖所示．如果某公司要為一個類似的劇場定做椅子，且中區座位共有8排，第一排有4個座位，后面每一排都比它的前一排多4個座位．你能幫助這個公司算出共需要多少個座位嗎？
[討論交流]　
問題1．等差數列的前n項和公式是什么？
問題2．如何推導等差數列的前n項和公式？
問題3．求等差數列的前n項和時，如何根據已知條件選擇等差數列的前n項和公式？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　等差數列的前n項和公式
探究問題1　據說，200多年前，高斯的算術老師提出了這個問題：1＋2＋3＋…＋100＝？
當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050．
你能說說高斯在求和過程中利用了數列的什么性質嗎？
[提示]　對于上述數列，設an＝n，那么高斯的計算方法可以表示為(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5 050．可以發現，高斯在計算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51這一特殊關系，這就是上一節我們學過的性質，它使不同數的求和問題轉化成了相同數(即101)的求和，從而簡化了運算，我們把這種求和的方法稱為“倒序相加法”，其本質是配對，將2n個數重新分組配對求和．
探究問題2　設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，如何求其前n項和Sn
[提示]　倒序相加法

兩式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述過程實際上用到了等差數列性質里面的首末“等距離”的兩項的和相等．
[新知生成]
等差數列的前n項和公式
已知量 首項、末項與項數 首項、公差與項數
求和 公式 Sn＝ Sn＝
【鏈接·教材例題】
例6　已知數列{an}是等差數列．
(1)若a1＝7，a50＝101，求S50；
(2)若a1＝2，a2＝，求S10；
(3)若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n．
分析：對于(1)，可以直接利用公式Sn＝求和；在(2)中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式Sn＝na1＋d求和；(3)已知公式Sn＝na1＋d中的a1，d和Sn，解方程即可求得n．
[解]　(1)因為a1＝7，a50＝101，根據公式Sn＝，可得
S50＝＝2700．
(2)因為a1＝2，a2＝，所以d＝．
根據公式Sn＝na1＋d，可得
S10＝10×2＋＝．
(3)把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得
－5＝n＋．
整理，得
n2－7n－60＝0．
解得
n＝12，或n＝－5(舍去)．
所以n＝12．
[典例講評]　1．在等差數列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d．
[解]　(1)由已知得解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85．
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5．
∴a8＝39，d＝5．
(3)由題意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15．又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－，∴n＝15，d＝－．
　求等差數列的基本量的方法
等差數列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn，這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．
[學以致用]　1．(源自湘教版教材)已知一個等差數列的前10項和是310，前20項和是1 220，求該數列的前n項和．
[解]　記該數列為{an}，公差為d．
由等差數列前n項和公式Sn＝na1＋d，得
解這個關于a1與d的方程組，得
因此，該數列的前n項和為
Sn＝4n＋×6＝3n2＋n．
探究2　利用等差數列前n項和公式判斷等差數列
【鏈接·教材例題】
例7　已知一個等差數列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220．由這些條件能確定這個等差數列的首項和公差嗎？
分析：把已知條件代入等差數列前n項和的公式(2)后，可得到兩個關于a1與d的二元一次方程．解這兩個二元一次方程所組成的方程組，就可以求得a1和d．
[解]　由題意，知
S10＝310，S20＝1220．
把它們代入公式
Sn＝na1＋d，
得
解方程組，得
所以，由所給的條件可以確定等差數列的首項和公差．
[典例講評]　2．若數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，求數列{an}的通項公式，并判斷數列{an}是不是等差數列．若是，請證明；若不是，請說明理由．
[解]　當n＝1時，S1＝a1＝－1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5．經檢驗，當n＝1時，a1＝－1滿足上式，故an＝4n－5．數列{an}是等差數列，證明如下：因為an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以數列{an}是等差數列．
[母題探究]　(變條件)若數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n－1，求數列{an}的通項公式，并判斷數列{an}是不是等差數列．若是，請證明；若不是，請說明理由．
[解]　∵Sn＝2n2－3n－1①，
∴當n＝1時，S1＝a1＝2－3－1＝－2；
當n≥2時，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1②，
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5．
經檢驗，當n＝1時，a1＝－2不滿足上式，
故an＝
∵a2－a1＝5，a3－a2＝4，即a2－a1≠a3－a2，∴數列{an}不是等差數列．
　由Sn求得通項公式an的特點，若Sn是關于n的二次函數，不含常數項，則由Sn求得an，知數列{an}是等差數列；否則an＝數列{an}不是等差數列．
[學以致用]　2．已知一個數列{an}的前n項和Sn＝25n－2n2＋r．
(1)當r＝0時，求證：該數列{an}是等差數列；
(2)若數列{an}是等差數列，求r滿足的條件．
[解]　(1)證明：當r＝0時，Sn＝25n－2n2，
令n＝1，S1＝25－2＝23，
當n≥2時，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，
此時a1＝27－4＝23，所以an＝27－4n，所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥2)，可得數列{an}是公差為－4的等差數列．
(2)Sn＝25n－2n2＋r，令n＝1，得S1＝25－2＋r＝23＋r，當n≥2時，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥3)，
可得n≥2時，數列{an}是公差為－4的等差數列，
若數列{an}是等差數列，則a1＝27－4＝23＝23＋r，所以r＝0．
探究3　等差數列前n項和的實際應用
【鏈接·教材例題】
例8　某校新建一個報告廳，要求容納800個座位，報告廳共有20排座位，從第2排起每排都比前一排多2個座位．問第1排應安排多少個座位．
分析：將第1排到第20排的座位數依次排成一列，構成數列{an}，設數列{an}的前n項和為Sn．由題意可知，{an}是等差數列，且公差及前20項的和已知，所以可利用等差數列的前n項和公式求首項．
[解]　設報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數依次排成一列，構成數列{an}，其前n項和為Sn．根據題意，數列{an}是一個公差為2的等差數列，且S20＝800．
由S20＝20a1＋×2＝800，可得
a1＝21．
因此，第1排應安排21個座位．
[典例講評]　3．某抗洪指揮部接到預報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經計算，除現有的參戰軍民連續奮戰外，還需調用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調集25輛，那么在24小時內能否構筑成第二道防線？
[解]　從第一輛車投入工作算起，各車工作時間(單位：小時)依次設為a1，a2，…，a25．由題意可知，此數列為等差數列，且a1＝24，公差d＝－．
25輛翻斗車完成的工作量為：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量為24×20＝480．∵500>480，∴在24小時內能構筑成第二道防線．
【教用·備選題】　某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為1 150元，購買當天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%．若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花費多少錢？
[解]　設每次交款數額依次為a1，a2，…，a20，則
a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10個月應付款55.5元．
由題知，20個月貸款還清．
由于{an}是以60為首項，以－0.5為公差的等差數列，
所以有S20＝×20＝1 105(元)，
即全部付清后實際付款1 105＋150＝1 255(元)．
　應用等差數列解決實際問題的一般思路
[學以致用]　3．在我國古代，9是數字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計．例如，北京天壇圜丘的地面由扇環形的石板鋪成(如圖)，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板；從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈．請問：
(1)第9圈共有多少塊石板？
(2)前9圈一共有多少塊石板？
[解]　(1)設從第1圈到第9圈的石板數構成數列{an}，由題意可知數列{an}是等差數列，其中首項a1＝9，公差d＝9，項數n＝9．
由等差數列的通項公式，得
a9＝a1＋(n－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(塊)．
(2)由等差數列的前n項和公式，得
S9＝na1＋d＝9×9＋×9＝405(塊)．
因此，第9圈共有81塊石板，前9圈一共有405塊石板．
1．設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S3＝9，a5＝7，則a8＝(　　)
A． B．10 C．11 D．
C　[由S3＝9，得a1＋a2＋a3＝3a2＝9，所以a2＝3，
又a5＝7，a2＋a8＝2a5，所以a8＝11．故選C．]
2．已知等差數列{an}的前5項和S5＝35，且滿足a5＝13a1，則等差數列{an}的公差為(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
D　[由題意得S5＝5a1＋10d＝35，a5＝a1＋4d＝13a1，解得d＝3，a1＝1．故選D．]
3．(2024·新高考Ⅱ卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝________．
95　[因為數列{an}為等差數列，
則由題意得
解得
則S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95．]
4．中國古代有這樣一道數學題：今有一男子擅長走路，每日增加相同里數，九日走了1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和為390里，則該男子第三日走的里數為________．
120　[由題意可知該男子每天走的里數構成一個等差數列，設這個等差數列為{an}，其公差為d，前n項和為Sn．根據題意可知，S9＝1 260，a1＋a4＋a7＝390．
法一：S9＝＝9a5＝1 260，∴a5＝140．
∵a1＋a4＋a7＝3a4＝390，∴a4＝130，∴d＝a5－a4＝10，∴a3＝a4－d＝120．
法二：由題意知
即解得
∴a3＝a1＋2d＝120．]
1．知識鏈：(1)等差數列前n項和公式的推導過程．
(2)與等差數列前n項和有關的基本運算．
(3)利用等差數列前n項和公式判斷等差數列．
(4)等差數列前n項和的實際應用．
2．方法鏈：倒序相加法、公式法．
3．警示牌：由Sn求通項公式時忽略對n＝1的討論．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．等差數列的前n項和公式有哪幾種形式？
[提示]　Sn＝＝na1＋d．另有Sn＝An2＋Bn的形式．
2．常用的數列求和公式有哪些？
[提示]　1＋2＋3＋…＋n＝；
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2．
高斯的故事
高斯是德國數學家、天文學家和物理學家，被譽為歷史上偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名．
高斯1777年4月30日生于不倫瑞克的一個工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根．幼時家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進學校受教育．1795－1798年在格丁根大學學習，1798年轉入黑爾姆施泰特大學，翌年因證明代數基本定理獲博士學位．從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世．
高斯7歲那年，父親送他進了耶卡捷林寧國民小學，讀書不久，高斯在數學上就顯露出了常人難以企及的天賦，最能證明這一點的是高斯10歲那年，教師彪特耐爾布置了一道很繁雜的計算題，要求學生把1到100的所有整數加起來，教師剛敘述完題目，高斯即刻把寫著答案的小石板交了上去．彪特耐爾起初并不在意這一舉動，心想這個小家伙又在搗亂，但當他發現全班唯一正確的答案來自高斯時，才大吃一驚．而更使人吃驚的是高斯的算法，他發現：第一個數加最后一個數是101，第二個數加倒數第二個數的和也是101……共有50對這樣的數，用101乘50得到5 050．這種算法是教師未曾教過的計算等級數的方法，高斯的才華使彪特耐爾十分激動，下課后特地向校長匯報，并聲稱自己已經沒有什么可教高斯的了．
課時分層作業(五)　等差數列的前n項和公式
一、選擇題
1．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且前3項的和為－6，最后3項的和為57，Sn＝85，則n的值為(　　)
A．9 B．10 C．11 D．20
B　[依題意，a1＋a2＋a3＝－6，an－2＋an－1＋an＝57，
所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝3(a1＋an)＝51，
所以a1＋an＝17，所以Sn＝85＝×n＝n，解得n＝10．故選B．]
2．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，則S10＝(　　)
A．55 B．60 C．65 D．75
C　[設等差數列{an}的公差為d，∵3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，
∴解得a1＝2，d＝1，
∴S10＝10a1＋d＝20＋45d＝65．故選C．]
3．在等差數列{an}中，其前n項和為Sn，若a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的兩個根，那么S11的值為(　　)
A．88 B．－88 C．110 D．－55
D　[在等差數列{an}中，其前n項和為Sn，a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的兩個根，
∴a5＋a7＝－10，∴S11＝(a1＋a11)＝(a5＋a7)＝×(－10)＝－55．
故選D．]
4．設{an}是公差不為零的等差數列，且＝，則{an}的前6項和為(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
B　[設數列{an}的公差為＝，整理可得＝0，即2d(a4＋a2)＋2d(a5＋a3)＝0．又∵d≠0，∴a4＋a2＋a5＋a3＝0．∵a4＋a3＝a2＋a5，∴a3＋a4＝0．∴{an}的前6項和為＝3(a3＋a4)＝0．故選B．]
5．朱世杰是歷史上最偉大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人．”其大意為：“官府陸續派遣1 864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的比前一天多7人．”則1 864人全部派遣到位需要的天數為(　　)
A．9 B．16 C．18 D．20
B　[根據題意設每天派出的人數組成數列{an}，且該數列是首項a1＝64，公差d＝7的等差數列．設1 864人全部派遣到位需要的天數為n，則64n＋×7＝1 864，依次將選項中的n值代入檢驗得，n＝16滿足方程．故選B．]
二、填空題
6．若數列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2，且a3＋a13＝14，則其前15項和為________．
105　[根據題意，因為2an＋1＝an＋an＋2，所以數列{an}為等差數列．
所以S15＝＝＝＝105．]
7．設Sn為等差數列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝________．
5　[因為Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5．]
8．數列{an}為等差數列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是________．
－1　[等差數列前n項和Sn的形式為Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．]
三、解答題
9．已知{an}是等差數列，其中a2＝22，a6＝10．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值．
[解]　(1)設等差數列{an}的公差為d，因為a6＝a2＋4d，所以10＝22＋4d，所以d＝－3，a1＝a2－d＝25，所以an＝28－3n(n∈N*)．
(2)因為{an}是等差數列，所以a2，a4，a6，…，a20是首項為a2＝22，公差為－6的等差數列，共有10項，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋×(－6)＝－50．
10．(多選)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝0，a4＝6，則(　　)
A．Sn＝n2－3n B．Sn＝
C．an＝3n－6 D．an＝2n
BC　[設等差數列{an}的公差為d，因為S3＝0，a4＝6，所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋3(n－1)＝3n－6，Sn＝na1＋d＝－3n＋＝．故選BC．]
11．已知等差數列{an}，記Sn為數列{an}的前n項和，若a1＝1，S7＝5a5，則數列{an}的公差d＝(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
D　[在等差數列{an}中，Sn為數列{an}的前n項和，a1＝1，
由S7＝5a5可得7a1＋d＝5(a1＋4d)，即7＋21d＝5＋20d，
解得d＝－2．故選D．]
12．《九章算術》的盈不足章第19個問題中提到：“今有良馬與駑馬發長安，至齊．齊去長安三千里．良馬初日行一百九十三里，日增一十三里．駑馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”試問前4天，良馬和駑馬共走過的路程之和的里數為(　　)
A．1 235 B．1 800 C．2 600 D．3 000
A　[良馬第一天行193里，之后每天比前一天多走13里，
駑馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，
前4天，良馬和駑馬共走過的路程之和的里數為S4＝＝1 235．
故選A．]
13．植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為________米．
2 000　[假設20位同學是1號到20號依次排列，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10或第11號樹坑旁，此時兩側的同學所走的路程分別組成以20為首項，20為公差的等差數列，故所有同學往返的總路程為
S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．]
14．記Sn為數列{an}的前n項和．
(1)若數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列，求nan－Sn的表達式；
(2)若數列是公差為的等差數列，證明：{an}是等差數列．
[解]　(1)由已知得an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝＝＝n2，
所以nan－Sn＝n(2n－1)－n2＝n2－n．
(2)證明：∵＝＋(n－1)·＝，
∴nan－Sn＝，∴2nan－2Sn＝n2－n，
當n≥2時，2(n－1)an－1－2Sn－1＝(n－1)2－(n－1)，
兩式相減得，2nan－2(n－1)an－1－2(Sn－Sn－1)＝2n－2，
∴2nan－2(n－1)an－1－2an＝2n－2，
∴(2n－2)an－2(n－1)an－1＝2n－2，
∴an－an－1＝1(n≥2)，
∴數列{an}是以1為公差的等差數列．
15．7月，有一新款服裝投入某市場．7月1日該款服裝僅售出3件，以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件，當日銷售量達到最大(只有1天)后，每天售出的該款服裝都比前一天少2件，且7月31日當天剛好售出3件．
(1)7月幾日該款服裝銷售最多？最多售出幾件？
(2)按規律，當該市場銷售此服裝達到200件時，社會上就開始流行，而日銷售量連續下降并低于20件時，則不再流行．該款服裝在社會上流行幾天？
[解]　(1)設7月n日售出的服裝件數為an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件．
由題意知解得
∴7月13日該款服裝銷售最多，最多售出39件．
(2)設Sn是數列{an}的前n項和，
∵an＝
∴Sn＝
∵S13＝273>200，
∴當1≤n≤13時，由Sn>200，得12≤n≤13，
當14≤n≤31時，日銷售量連續下降，
由an<20，得23≤n≤31，
∴該款服裝在社會上流行11天(從7月12日到7月22日)．
15/15第2課時　等差數列前n項和的性質及應用
[學習目標]　1．理解等差數列前n項和的性質，并學會應用．(數學運算、邏輯推理)
2．能夠利用等差數列前n項和的函數性質求其前n項和的最值．(數學運算)
(教師用書)
我們知道，等差數列的前n項和公式是一個關于n的二次函數形式，那么等差數列的前n項和是否具有二次函數的性質呢？除此之外，它還有什么樣的性質嗎？
[討論交流]　
問題1．等差數列前n項和公式有什么樣的函數特點？
問題2．等差數列{an}中，其前n項和Sn，前2n項和S2n與前3n項和S3n有什么樣的關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　等差數列前n項和的性質
探究問題1　等差數列{an}的前n項和為Sn，試探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的關系．
[提示]　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同樣我們發現S3n＝3Sn＋3n2d，這里出現了一個有意思的數列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…是一個公差為n2d的等差數列．
探究問題2　在等差數列{an}中，如果項數為2n，那么S偶與S奇之間存在什么樣的關系？
[提示]　因為S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，
所以S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋…＋(a2n－a2n－1)＝nd．
又由等差數列的性質知a1＋a2n－1＝2an，
a2＋a2n＝2an＋1，且S奇＝，S偶＝，所以＝．
[新知生成]
1．設等差數列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構成等差數列，且公差為m2d．
2．若數列{an}是公差為d的等差數列，則數列也是等差數列，且公差為．
3．在等差數列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n)．
4．項的個數的“奇偶”性質
(1)若等差數列的項數為2n，則S偶－S奇＝nd，＝．
(2)若等差數列的項數為2n－1，則S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
5．已知等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則＝＝·．
[典例講評]　1．(1)已知Sn，Tn分別是等差數列{an}與{bn}的前n項和，且＝(n＝1，2，…)，則等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，且S10＝100，S100＝10，求S110．
(1)B　[因為數列{bn}是等差數列，所以b3＋b18＝b6＋b15，所以＝，
又因為Sn，Tn分別是等差數列{an}與{bn}的前n項和，且＝(n＝1，2，…)，
所以＝＝＝＝＝．]
(2)[解]　法一：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝110a1＋d＝110×＝－110．
法二：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差數列，設公差為d，∴該數列的前10項和為10×100＋d＝S100＝10，
解得d＝－22，
∴前11項和為
S110＝11×100＋×(－22)＝－110．
法三：由也是等差數列，構造新的等差數列b1＝＝10，
b10＝＝，
則d＝(b10－b1)＝＝－，
所以b11＝＝b10＋d＝＝－1，所以S110＝－110．
法四：直接利用性質Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110．
　在解決與等差數列前n項和Sn的性質有關的問題時，恰當運用相關性質可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果．
利用性質解決等差數列前n項和運算的幾種思維方法：
(1)整體思路：利用公式Sn＝，設法求出整體a1＋an，再代入求解．
(2)待定系數法：當公差不為0時，利用Sn是關于n的二次函數，設Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程組求出A，B即可；也可以利用是關于n的一次函數，設＝an＋b(a≠0)進行計算．
(3)利用相關性質中的結論進行求解．
[學以致用]　1．(1)已知數列{an}是項數為偶數的等差數列，它的奇數項的和是50，偶數項的和為34，若它的末項比首項小28，則該數列的公差是________．
(2)等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則數列{an}的前3m項的和S3m為________．
(1)－4　(2)210　[(1)設共有2m項，由題意得
a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①
S偶－S奇＝md＝34－50，②
①②聯立得d＝－4．
(2)在等差數列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列，
∴30，70，S3m－100成等差數列，
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210．]
探究2　等差數列前n項和的最值問題
探究問題3　根據上節課所學，等差數列的前n項和公式有什么樣的函數特點？
[提示]　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，當d≠0時，Sn是常數項為0的二次函數．該函數的定義域是N*，公差的符號決定了該二次函數圖象的開口方向，通常簡記為Sn＝An2＋Bn(A，B∈R且A≠0)．
[新知生成]
1．等差數列前n項和的函數特征
等差數列的 前n項和公 式轉移到二 次函數的過程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以當d≠0時，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)當x＝n時的函數值
等差數列的 前n項和公 式與函數 的關系 令A＝，B＝a1－，則Sn＝An2＋Bn． (1)當A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)時，Sn＝0是關于n的常函數，{an}是各項為0的常數列． (2)當A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)時，Sn＝Bn是關于n的正比例函數，{an}為各項非零的常數列． (3)當A≠0(即d≠0)時，Sn＝An2＋Bn是關于n的二次函數(常數項為0)
2．等差數列前n項和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，則數列的前面若干項為負數項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，則數列的前面若干項為正數項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值．
特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．
【教用·微提醒】　由于n取正整數，所以Sn不一定是在頂點處取得最值，而可能是在離頂點最近的橫坐標取整數的點處取得最值．
【鏈接·教材例題】
例9　已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，則Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由．
分析：由a1＞0和d＜0，可以證明{an}是遞減數列，且存在正整數k，使得當n≥k時，an＜0，Sn遞減．這樣，就把求Sn的最大值轉化為求{an}的所有正數項的和．
另一方面，等差數列的前n項和公式可寫成Sn＝n2＋n，所以當d≠0時，Sn可以看成二次函數y＝x2＋x(x∈R)當x＝n時的函數值．如圖4.2-4，當d＜0時，Sn關于n的圖象是一條開口向下的拋物線上的一些點．因此，可以利用二次函數求相應的n，Sn的值．
解法1：由an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是遞減數列．
又由an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，可知：
當n＜6時，an＞0；
當n＝6時，an＝0；
當n＞6時，an＜0．
所以S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…．
也就是說，當n＝5或6時，Sn最大．
因為S5＝×[2×10＋(5－1)×(－2)]＝30，所以Sn的最大值為30．
解法2：因為Sn＝n2＋n＝－n2＋11n＝－＋，
所以，當n取與最接近的整數即5或6時，Sn最大，最大值為30．
[典例講評]　2．數列{an}的前n項和Sn＝33n－n2．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求{an}的前多少項和最大．
[思路引導]　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通項公式．(2)利用等差數列前n項和Sn為關于n的二次函數，可利用二次函數求解最值的方法解決．
[解]　(1)法一(公式法)：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又當n＝1時，a1＝S1，滿足an＝34－2n．
故{an}的通項公式為an＝34－2n．
法二(結構特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是關于n的常數項為0的二次函數，所以{an}是等差數列，由Sn的結構特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．
(2)法一(公式法)：令即所以16≤n≤17．
又a17＝0，故數列{an}的前16項或前17項的和最大．
法二(函數性質法)：由y＝－x2＋33x的圖象的對稱軸為x＝，
距離最近的整數為16，17．由Sn＝－n2＋33n的
圖象(圖略)可知，數列{an}的前16項或前17項的和最大．
[母題探究]　將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變為“在等差數列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求{an}的前多少項和最大？
[解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，解得d＝－2．
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169．
∴當n＝13時，Sn有最大值169．
∴數列{an}的前13項和最大．
法二：同法一，求出公差d＝－2．
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27．
∵a1＝25>0，
由得
又∵n∈N*，∴當n＝13時，Sn取得最大值．
∴數列{an}的前13項和最大．
法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
由等差數列的性質得a13＋a14＝0．
∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．
∴當n＝13時，Sn取得最大值．
∴數列{an}的前13項和最大．
法四：設Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17，
∴二次函數對稱軸為x＝＝13，且開口方向向下，∴當n＝13時，Sn取得最大值．
∴數列{an}的前13項和最大．
　1．在等差數列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第1項起到分界點對應項的各項和為最大(小)值．
(2)借助二次函數的圖象及性質求最值．
2．尋求正、負項分界點的方法
尋找正、負項的分界點，可利用等差數列的性質或利用或來尋找．
[學以致用]　2．已知等差數列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d＜0．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求數列{an}的前n項和Sn的最大值及相應的n的值．
[解]　(1)∵{an}為等差數列，
∴a2＋a5＝a3＋a4，∴
解得或
因為d＜0，所以
故解得
∴an＝10－(n－1)＝11－n．
(2)∵Sn＝＝＝－n2＋n，
又－＜0，函數y＝－x2＋x圖象的對稱軸為直線x＝，
故當n＝10或11時，Sn取得最大值，其最大值為55．
探究3　數列{|an|}的前n項和
[典例講評]　3．(2023·全國乙卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a2＝11，S10＝40．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列{|an|}的前n項和Tn．
[解]　(1)設等差數列{an}的公差為d，
則
解得a1＝13，d＝－2．
所以{an}的通項公式為an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n．
(2)由(1)得|an|＝
當n≤7時，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2，
當n≥8時，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2．
綜上，Tn＝
　1．一般地，數列{an}與數列{|an|}是兩個不同的數列，只有當數列{an}的每一項都是非負數時，它們才表示同一個數列．
2．(1)求{|an|}的前n項和，關鍵在于分清哪些項為正數，哪些項為負數，最終化為去掉絕對值符號后的數列求和；
(2)數列{|an|}的前n項和求解的易錯點在于沒有分類討論，最后結果未分段表示．
[學以致用]　3．已知數列{an}的通項公式為an＝2n－10，求數列{|an|}的前n項和Tn．
[解]　由an＝2n－10≥0，得n≥5，
所以當n≤4時，an＜0；當n≥5時，an≥0，
所以當n≤4時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝－n2＋9n；
當n≥5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a4|＋|a5|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋a4)＋(a5＋…＋an)＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－9n＋40，
所以Tn＝
1．等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，且＝，則＝(　　)
A． B． C． D．
D　[∵等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，＝，∴＝＝＝＝．]
2．等差數列{an}的前n項和為Sn，S5＝12，S10＝48，則S15為(　　)
A．84 B．108 C．144 D．156
B　[由等差數列的性質知S5，S10－S5，S15－S10也構成等差數列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，
所以2×(48－12)＝12＋S15－48，解得S15＝108．]
3．若數列{an}的通項公式an＝43－3n，則Sn取得最大值時，n＝(　　)
A．13 B．14 C．15 D．14或15
B　[由數列{an}的通項公式an＝43－3n，可得該數列為遞減數列，且公差為－3，a1＝40，
∴Sn＝＝－n2＋n．
考慮函數y＝－x2＋x，易知該函數的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為直線x＝．
又n為正整數，與最接近的一個正整數為14，故Sn取得最大值時，n＝14．]
4．已知數列{an}的通項公式為an＝－3n＋16，則數列{|an|}的前40項和為________．
1 890　[由an＝－3n＋16可知{an}前5項為正，第6項開始為負，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a40|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a40)＝＝35＋1 855＝1 890．]
1．知識鏈：(1)等差數列前n項和的最值問題．
(2)等差數列前n項和性質的應用．
(3)數列{|an|}的前n項和．
2．方法鏈：公式法、構造法、函數法、整體代換法．
3．警示牌：(1)忽視最值問題中n的個數．
(2)等差數列前n項和性質應用的前提是等差數列．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．等差數列{an}的前n項和Sn有哪幾種求最大(小)值的方法？
[提示]　(1)通項法：
若a1＞0，d＜0，則Sn必有最大值，
其中n可用不等式組來確定；
若a1＜0，d＞0，則Sn必有最小值，其中n可用不等式組來確定．
(2)二次函數法：在等差數列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，則可用求二次函數最值的方法來求前n項和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函數圖象的對稱性來確定．
2．等差數列奇數項的和與偶數項的和的性質的推理基礎是什么？
[提示]　推理基礎是等差數列的性質，如在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap．
課時分層作業(六)　等差數列前n項和的性質及應用
一、選擇題
1．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a2＋a5＋a8＝15，則S9＝(　　)
A．15 B．30 C．45 D．60
C　[已知Sn是等差數列{an}的前n項和，a2＋a5＋a8＝15，
則3a5＝15，則a5＝5，則S9＝9a5＝9×5＝45．故選C．]
2．已知等差數列{an}共有21項，若奇數項的和為110，則偶數項的和為(　　)
A．100 B．105 C．90 D．95
A　[由題意得，
故a11＝10，所以偶數項的和為100．故選A．]
3．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S2 023＜0，S2 024＞0，則當Sn最小時，n的值為(　　)
A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．2 021
C　[因為數列{an}是等差數列，
所以S2 023＝＝2 023a1 012，
S2 024＝＝1 012(a1 012＋a1 013)，
因為S2 023＜0，S2 024＞0，所以a1 012＜0，a1 013＞0，
所以n＝1 012時，Sn最小．]
4．已知等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若＝，則等于(　　)
A．2 B． C．1 D．
D　[由題意，可得＝＝·＝·＝＝＝＝．故選D．]
5．某公司技術部為了激發員工的工作積極性，準備在年終獎的基礎上再增設30個“幸運獎”，投票產生“幸運獎”，按照所得票數(假設每人所得票數各不相同)排名次，發放的獎金數成等差數列．已知前10名共發放2 000元，前20名共發放3 500元，則前30名共發放(　　)
A．4 000元 B．4 500元
C．4 800元 D．5 000元
B　[由已知可知等差數列中S10＝2 000，S20＝ 3 500，
因為S10，S20－S10，S30－S20成等差數列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)，解得S30＝4 500．]
二、填空題
6．在等差數列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，則{an}的前 ________項和最大．
5　[設等差數列{an}的公差為d，依題意，a5＞0，a4＋a7＜0，
則a5＋a6＜0，所以a6＜0，d＜0，所以{an}的前5項和最大．]
7．已知等差數列{an}的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且B－A＝45，2A＝B＋615，則an＝________．
3n－1　[根據題意，設等差數列{an}的公差為d，
若等差數列{an}的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且B－A＝45，即15d＝45，則有d＝3；
又由2A＝B＋615，變形可得
A＝B－A＋615＝45＋615＝660，
則有A＝＝15a15＝660，解得a15＝44，則an＝a15＋(n－15)d＝3n－1．]
8．在等差數列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時，Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．
　[由當且僅當n＝8時，Sn最大，
知a8＞0且a9＜0，
于是解得－1＜d＜－，
故d的取值范圍為．]
三、解答題
9．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a6＝－5，S4＝－62．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列{|an|}的前n項和Tn．
[解]　(1)因為a6＝－5，S4＝－62，設公差為d，
所以a1＋5d＝－5，4a1＋6d＝－62，
解得a1＝－20，d＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－23(n∈N*)．
(2)令an＝3n－23≥0，解得n≥，
當n≤7時，an＜0，當n≥8時，an＞0，
所以當n≤7時，Tn＝－a1－a2－…－an＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－，
當n≥8時，Tn＝－a1－a2－…－a7＋a8＋a9＋…＋an
＝－2(a1＋a2＋…＋a7)＋(a1＋a2＋…＋an)＝＋154，
所以Tn＝(n∈N*)．
10．設等差數列{an}的前n項和為Sn，a3＋a5＝－18，S9＝－72，Sn取最小值時，n的值為(　　)
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
D　[設等差數列{an}的公差為d，
因為a3＋a5＝－18，S9＝－72，
則有解得
所以an＝n－13，令an＝n－13≤0，則n≤13，
又a13＝0，所以當n＝12或13時，Sn取最小值．]
11．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一，書中有一道這樣的題目，請給出答案：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為(　　)
A． B． C． D．
A　[設分的面包，從小到大依次為a1，a2，a3，a4，a5，依題意得(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，
故3a1＋9d＝7(2a1＋d)，2d＝11a1，由S5＝5a3＝5(a1＋2d)＝100，
得a1＋2d＝12a1＝20，解得a1＝．故選A．]
12．(多選)已知無窮等差數列{an}的前n項和為Sn，S2 022＜S2 023且S2 023＞S2 024，則(　　)
A．在數列{an}中，a1最大
B．在數列{an}中，S2 023最大
C．a2 024＞0
D．當n≥2 024時，an＜0
ABD　[因為S2 022＜S2 023且S2 023＞S2 024，
所以S2 023－S2 022＝a2 023＞0，S2 024－S2 023＝a2 024＜0，
則等差數列{an}的公差d＝a2 024－a2 023＜0，
則在數列{an} 中，a1 最大，S2 023最大，故A正確，B正確；
因為a2 024＜0，故C錯誤；因為a2 023＞0，a2 024＜0，d＜0，
則當n≥2 024時，an＜0，故D正確．故選ABD．]
13．已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，對任意正整數n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn為{an}的前n項和，則S100＝________．
5 050　[當n為奇數時，an＋2－an＝1，即數列{an}的奇數項是以1為首項，1為公差的等差數列；
當n為偶數時，an＋2－an＝3，即數列{an}的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列，
所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝＝5 050．]
14．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a4＝－2，S10＝25．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求Sn的最小值及取得最小值時n的值．
[解]　(1)設等差數列{an}的公差為d，
由a4＝－2，S10＝25，得a1＋3d＝－2，10a1＋d＝25，解得a1＝－11，d＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－14．
(2)法一：由d＝3知{an}是遞增數列，
當n≤4時，an＜0；當n≥5時，an＞0．
所以當n＝4時，Sn最小，最小值為S4＝4a1＋×d＝－26．
法二：Sn＝na1＋d＝n2－n＝－，又n∈N*，所以當n＝4時，Sn最小，最小值為－26．
15．已知數列{an}是等差數列，Sn是{an}的前n項和，a8＝4，________．
(1)判斷2 024是不是數列{an}中的項，并說明理由；
(2)求Sn的最小值．
從①S11＝－22，②S5＝S6中任選一個，補充在上面的問題中并作答．
[解]　若選①，
(1)設數列{an}的公差為d，
則解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20．
令3n－20＝2 024，得n＝681 N*，
所以2 024不是數列{an}中的項．
(2)令an＝3n－20＞0，解得n＞，
所以當n≤6時，an＜0．
故當n＝6時，Sn取到最小值，為S6＝6a1＋15d＝－57．
若選②，
(1)設數列{an}的公差為d，
則
解得
所以an＝2n－12．
令2n－12＝2 024，解得n＝1 018∈N*，
所以2 024是數列{an}中的項．
(2)令2n－12＞0，得n＞6，所以當n≤6時，an≤0．
故當n＝6或n＝5時，Sn取到最小值，為S5＝S6＝－30．
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第1課時　等差數列的前n項和公式
第四章　數列
4.2　等差數列
4.2.2　等差數列的前n項和公式
整體感知
[學習目標]　1．借助教材實例了解等差數列前n項和公式的推導過程．(數學運算)
2．掌握等差數列的前n項和公式．(數學運算)
3．熟練掌握等差數列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系，能夠由其中三個量求另外兩個．(數學運算)
4．構建等差數列求和模型，解決實際問題．(數學建模、數學運算)
(教師用書)
為了達到比較好的音響和觀賞效果，很多劇場的座位都是排成圓弧形的，如圖所示．如果某公司要為一個類似的劇場定做椅子，且中區座位共有8排，第一排有4個座位，后面每一排都比它的前一排多4個座位．你能幫助這個公司算出共需要多少個座位嗎？
[討論交流]　
問題1．等差數列的前n項和公式是什么？
問題2．如何推導等差數列的前n項和公式？
問題3．求等差數列的前n項和時，如何根據已知條件選擇等差數列的前n項和公式？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　等差數列的前n項和公式
探究問題1　據說，200多年前，高斯的算術老師提出了這個問題：
1＋2＋3＋…＋100＝？
當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050．
你能說說高斯在求和過程中利用了數列的什么性質嗎？
[提示]　對于上述數列，設an＝n，那么高斯的計算方法可以表示為(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5 050．可以發現，高斯在計算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51這一特殊關系，這就是上一節我們學過的性質，它使不同數的求和問題轉化成了相同數(即101)的求和，從而簡化了運算，我們把這種求和的方法稱為“倒序相加法”，其本質是配對，將2n個數重新分組配對求和．
探究問題2　設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，如何求其前n項和Sn
[提示]　倒序相加法

兩式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述過程實際上用到了等差數列性質里面的首末“等距離”的兩項的和相等．
[新知生成]
等差數列的前n項和公式
已知量 首項、末項與項數 首項、公差與項數
求和 公式 Sn＝ Sn＝
【鏈接·教材例題】
例6　已知數列{an}是等差數列．
(1)若a1＝7，a50＝101，求S50；
(2)若a1＝2，a2＝，求S10；
(3)若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n．
分析：對于(1)，可以直接利用公式Sn＝求和；在(2)中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式Sn＝na1＋d求和；(3)已知公式Sn＝na1＋d中的a1，d和Sn，解方程即可求得n．
[解]　(1)因為a1＝7，a50＝101，根據公式Sn＝，可得
S50＝＝2700．
(2)因為a1＝2，a2＝，所以d＝．
根據公式Sn＝na1＋d，可得S10＝10×2＋＝．
(3)把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得
－5＝n＋．
整理，得
n2－7n－60＝0．
解得
n＝12，或n＝－5(舍去)．
所以n＝12．
[典例講評]　1．在等差數列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d．
[解]　(1)由已知得解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85．
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5．∴a8＝39，d＝5．
(3)由題意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15．又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－，∴n＝15，d＝－．
反思領悟　求等差數列的基本量的方法
等差數列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn，這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．
[學以致用]　1．(源自湘教版教材)已知一個等差數列的前10項和是310，前20項和是1 220，求該數列的前n項和．
[解]　記該數列為{an}，公差為d．
由等差數列前n項和公式Sn＝na1＋d，得
解這個關于a1與d的方程組，得
因此，該數列的前n項和為Sn＝4n＋×6＝3n2＋n．
【鏈接·教材例題】
例7　已知一個等差數列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220．由這些條件能確定這個等差數列的首項和公差嗎？
分析：把已知條件代入等差數列前n項和的公式(2)后，可得到兩個關于a1與d的二元一次方程．解這兩個二元一次方程所組成的方程組，就可以求得a1和d．
探究2　利用等差數列前n項和公式判斷等差數列
[解]　由題意，知
S10＝310，S20＝1220．
把它們代入公式Sn＝na1＋d，
得
解方程組，得
所以，由所給的條件可以確定等差數列的首項和公差．
[典例講評]　2．若數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，求數列{an}的通項公式，并判斷數列{an}是不是等差數列．若是，請證明；若不是，請說明理由．
[解]　當n＝1時，S1＝a1＝－1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5．經檢驗，當n＝1時，a1＝－1滿足上式，故an＝4n－5．數列{an}是等差數列，證明如下：因為an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以數列{an}是等差數列．
[母題探究]　(變條件)若數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n－1，求數列{an}的通項公式，并判斷數列{an}是不是等差數列．若是，請證明；若不是，請說明理由．
[解]　∵Sn＝2n2－3n－1①，
∴當n＝1時，S1＝a1＝2－3－1＝－2；
當n≥2時，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1②，
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5．
經檢驗，當n＝1時，a1＝－2不滿足上式，
故an＝
∵a2－a1＝5，a3－a2＝4，即a2－a1≠a3－a2，∴數列{an}不是等差數列．
反思領悟　由Sn求得通項公式an的特點，若Sn是關于n的二次函數，不含常數項，則由Sn求得an，知數列{an}是等差數列；否則an＝
數列{an}不是等差數列．
[學以致用]　2．已知一個數列{an}的前n項和Sn＝25n－2n2＋r．
(1)當r＝0時，求證：該數列{an}是等差數列；
(2)若數列{an}是等差數列，求r滿足的條件．
[解]　(1)證明：當r＝0時，Sn＝25n－2n2，
令n＝1，S1＝25－2＝23，
當n≥2時，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，
此時a1＝27－4＝23，所以an＝27－4n，所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥2)，可得數列{an}是公差為－4的等差數列．
(2)Sn＝25n－2n2＋r，令n＝1，得S1＝25－2＋r＝23＋r，當n≥2時，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，所以
an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥3)，
可得n≥2時，數列{an}是公差為－4的等差數列，
若數列{an}是等差數列，則a1＝27－4＝23＝23＋r，所以r＝0．
【鏈接·教材例題】
例8　某校新建一個報告廳，要求容納800個座位，報告廳共有20排座位，從第2排起每排都比前一排多2個座位．問第1排應安排多少個座位．
分析：將第1排到第20排的座位數依次排成一列，構成數列{an}，設數列{an}的前n項和為Sn．由題意可知，{an}是等差數列，且公差及前20項的和已知，所以可利用等差數列的前n項和公式求首項．
探究3　等差數列前n項和的實際應用
[解]　設報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數依次排成一列，構成數列{an}，其前n項和為Sn．根據題意，數列{an}是一個公差為2的等差數列，且S20＝800．
由S20＝20a1＋×2＝800，可得
a1＝21．
因此，第1排應安排21個座位．
[典例講評]　3．某抗洪指揮部接到預報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經計算，除現有的參戰軍民連續奮戰外，還需調用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調集25輛，那么在24小時內能否構筑成第二道防線？
[解]　從第一輛車投入工作算起，各車工作時間(單位：小時)依次設為a1，a2，…，a25．由題意可知，此數列為等差數列，且a1＝24，公差d＝－．
25輛翻斗車完成的工作量為：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量為24×20＝480．∵500>480，∴在24小時內能構筑成第二道防線．
【教用·備選題】　某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為1 150元，購買當天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%．若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花費多少錢？
[解]　設每次交款數額依次為a1，a2，…，a20，則
a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10個月應付款55.5元．
由題知，20個月貸款還清．
由于{an}是以60為首項，以－0.5為公差的等差數列，
所以有S20＝×20＝1 105(元)，
即全部付清后實際付款1 105＋150＝1 255(元)．
反思領悟　應用等差數列解決實際問題的一般思路
[學以致用]　3．在我國古代，9是數字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計．例如，北京天壇圜丘的地面由扇環形的石板鋪成(如圖)，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板；從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈．請問：
(1)第9圈共有多少塊石板？
(2)前9圈一共有多少塊石板？
[解]　(1)設從第1圈到第9圈的石板數構成數列{an}，由題意可知數列{an}是等差數列，其中首項a1＝9，公差d＝9，項數n＝9．
由等差數列的通項公式，得
a9＝a1＋(n－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(塊)．
(2)由等差數列的前n項和公式，得
S9＝na1＋d＝9×9＋×9＝405(塊)．
因此，第9圈共有81塊石板，前9圈一共有405塊石板．
2
4
3
題號
1
應用遷移
1．設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S3＝9，a5＝7，則a8＝(　　)
A．　　B．10　　C．11　　D．
√
C　[由S3＝9，得a1＋a2＋a3＝3a2＝9，所以a2＝3，
又a5＝7，a2＋a8＝2a5，所以a8＝11．故選C．]
2
3
題號
1
4
2．已知等差數列{an}的前5項和S5＝35，且滿足a5＝13a1，則等差數列{an}的公差為(　　)
A．－3　　B．－1　　C．1　　D．3
√
D　[由題意得S5＝5a1＋10d＝35，a5＝a1＋4d＝13a1，解得d＝3，a1＝1．故選D．]
2
3
題號
4
1
3．(2024·新高考Ⅱ卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝________．
95　[因為數列{an}為等差數列，
則由題意得
解得
則S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95．]
95
2
4
3
題號
1
4．中國古代有這樣一道數學題：今有一男子擅長走路，每日增加相同里數，九日走了1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和為390里，則該男子第三日走的里數為________．
120　[由題意可知該男子每天走的里數構成一個等差數列，設這個等差數列為{an}，其公差為d，前n項和為Sn．根據題意可知，S9＝1 260，a1＋a4＋a7＝390．
法一：S9＝＝9a5＝1 260，∴a5＝140．
∵a1＋a4＋a7＝3a4＝390，∴a4＝130，∴d＝a5－a4＝10，∴a3＝a4－d＝120．
120
2
4
3
題號
1
法二：由題意知
即解得
∴a3＝a1＋2d＝120．]
1．知識鏈：(1)等差數列前n項和公式的推導過程．
(2)與等差數列前n項和有關的基本運算．
(3)利用等差數列前n項和公式判斷等差數列．
(4)等差數列前n項和的實際應用．
2．方法鏈：倒序相加法、公式法．
3．警示牌：由Sn求通項公式時忽略對n＝1的討論．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．等差數列的前n項和公式有哪幾種形式？
[提示]　1＋2＋3＋…＋n＝；
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2．
[提示]　Sn＝＝na1＋d．另有Sn＝An2＋Bn的形式．
2．常用的數列求和公式有哪些？
閱讀材料·拓展數學視野
高斯的故事
高斯是德國數學家、天文學家和物理學家，被譽為歷史上偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名．
高斯1777年4月30日生于不倫瑞克的一個工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根．幼時家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進學校受教育．1795－1798年在格丁根大學學習，1798年轉入黑爾姆施泰特大學，翌年因證明代數基本定理獲博士學位．從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世．
閱讀材料·拓展數學大視野
高斯7歲那年，父親送他進了耶卡捷林寧國民小學，讀書不久，高斯在數學上就顯露出了常人難以企及的天賦，最能證明這一點的是高斯10歲那年，教師彪特耐爾布置了一道很繁雜的計算題，要求學生把1到100的所有整數加起來，教師剛敘述完題目，高斯即刻把寫著答案的小石板交了上去．彪特耐爾起初并不在意這一舉動，心想這個小家伙又在搗亂，但當他發現全班唯一正確的答案來自高斯
閱讀材料·拓展數學大視野
時，才大吃一驚．而更使人吃驚的是高斯的算法，他發現：第一個數加最后一個數是101，第二個數加倒數第二個數的和也是101……共有50對這樣的數，用101乘50得到5 050．這種算法是教師未曾教過的計算等級數的方法，高斯的才華使彪特耐爾十分激動，下課后特地向校長匯報，并聲稱自己已經沒有什么可教高斯的了．
課時分層作業(五)　等差數列的前n項和公式
題號
一、選擇題
1．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且前3項的和為－6，最后3項的和為57，Sn＝85，則n的值為(　　)
A．9　　B．10　　C．11　　D．20
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
B　[依題意，a1＋a2＋a3＝－6，an－2＋an－1＋an＝57，
所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝3(a1＋an)＝51，
所以a1＋an＝17，所以Sn＝85＝×n＝n，解得n＝10．故選B．]
題號
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，則S10＝(　　)
A．55　　B．60　　C．65　　D．75
√
14
15
C　[設等差數列{an}的公差為d，∵3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，
∴解得a1＝2，d＝1，
∴S10＝10a1＋d＝20＋45d＝65．故選C．]
題號
3
2
4
5
6
8
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9
10
11
12
13
1
3．在等差數列{an}中，其前n項和為Sn，若a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的兩個根，那么S11的值為(　　)
A．88　　B．－88　　C．110　　D．－55
√
14
15
D　[在等差數列{an}中，其前n項和為Sn，a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的兩個根，
∴a5＋a7＝－10，∴S11＝(a1＋a11)＝(a5＋a7)＝×(－10)＝
－55．故選D．]
題號
4
2
3
5
6
8
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9
10
11
12
13
1
4．設{an}是公差不為零的等差數列，且＝，則{an}的前6項和為(　　)
A．－2　　B．0　　C．2　　D．4
√
14
15
B　[設數列{an}的公差為＝，整理可得＝0，即2d(a4＋a2)＋2d(a5＋a3)＝0．又∵d≠0，∴a4＋a2＋a5＋a3＝0．∵a4＋a3＝a2＋a5，∴a3＋a4＝0．∴{an}的前6項和為＝3(a3＋a4)＝0．故選B．]
題號
2
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5
3
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13
1
5．朱世杰是歷史上最偉大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人．”其大意為：“官府陸續派遣1 864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的比前一天多7人．”則1 864人全部派遣到位需要的天數為(　　)
A．9　　B．16　　C．18　　D．20
√
14
15
題號
2
4
5
3
6
8
7
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11
12
13
1
B　[根據題意設每天派出的人數組成數列{an}，且該數列是首項a1＝64，公差d＝7的等差數列．設1 864人全部派遣到位需要的天數為n，則64n＋×7＝1 864，依次將選項中的n值代入檢驗得，n＝16滿足方程．故選B．]
14
15
題號
2
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3
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11
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13
1
二、填空題
6．若數列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2，且a3＋a13＝14，則其前15項和為________．
14
15
105　[根據題意，因為2an＋1＝an＋an＋2，所以數列{an}為等差數列．
所以S15＝＝＝＝105．]
105
題號
2
4
5
3
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11
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13
1
7．設Sn為等差數列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝________．
14
15
5　[因為Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5．]
5
題號
2
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3
8
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10
11
12
13
1
8．數列{an}為等差數列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是________．
14
15
－1　[等差數列前n項和Sn的形式為Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．]
－1
題號
9
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8
6
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10
11
12
13
1
三、解答題
9．已知{an}是等差數列，其中a2＝22，a6＝10．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值．
14
15
題號
9
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13
1
[解]　(1)設等差數列{an}的公差為d，因為a6＝a2＋4d，所以10＝22＋4d，所以d＝－3，a1＝a2－d＝25，所以an＝28－3n(n∈N*)．
(2)因為{an}是等差數列，所以a2，a4，a6，…，a20是首項為a2＝22，公差為－6的等差數列，共有10項，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋×(－6)＝－50．
14
15
題號
9
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1
10．(多選)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝0，a4＝6，則(　　)
A．Sn＝n2－3n　　 B．Sn＝
C．an＝3n－6　　 D．an＝2n
√
14
15
√
題號
9
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13
1
BC　[設等差數列{an}的公差為d，因為S3＝0，a4＝6，所以
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋
3(n－1)＝3n－6，Sn＝na1＋d＝－3n＋＝．故選BC．]
14
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題號
9
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1
11．已知等差數列{an}，記Sn為數列{an}的前n項和，若a1＝1，S7＝5a5，則數列{an}的公差d＝(　　)
A．1　　B．2　　C．－1　　D．－2
√
14
15
D　[在等差數列{an}中，Sn為數列{an}的前n項和，a1＝1，
由S7＝5a5可得7a1＋d＝5(a1＋4d)，即7＋21d＝5＋20d，
解得d＝－2．故選D．]
題號
9
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13
1
12．《九章算術》的盈不足章第19個問題中提到：“今有良馬與駑馬發長安，至齊．齊去長安三千里．良馬初日行一百九十三里，日增一十三里．駑馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”試問前4天，良馬和駑馬共走過的路程之和的里數為(　　)
A．1 235　　B．1 800　　C．2 600　　D．3 000
√
14
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題號
9
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8
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10
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1
A　[良馬第一天行193里，之后每天比前一天多走13里，
駑馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，
前4天，良馬和駑馬共走過的路程之和的里數為S4＝＝1 235．
故選A．]
14
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題號
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3
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1
13．植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為________米．
14
15
2 000
題號
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2
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1
2 000　[假設20位同學是1號到20號依次排列，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10或第11號樹坑旁，此時兩側的同學所走的路程分別組成以20為首項，20為公差的等差數列，故所有同學往返的總路程為
S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．]
14
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題號
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1
14．記Sn為數列{an}的前n項和．
(1)若數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列，求nan－Sn的表達式；
(2)若數列是公差為的等差數列，證明：{an}是等差數列．
14
15
[解]　(1)由已知得an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝＝＝n2，
所以nan－Sn＝n(2n－1)－n2＝n2－n．
題號
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13
1
(2)證明：∵＝＋(n－1)·＝，
∴nan－Sn＝，∴2nan－2Sn＝n2－n，
當n≥2時，2(n－1)an－1－2Sn－1＝(n－1)2－(n－1)，
兩式相減得，2nan－2(n－1)an－1－2(Sn－Sn－1)＝2n－2，
∴2nan－2(n－1)an－1－2an＝2n－2，
∴(2n－2)an－2(n－1)an－1＝2n－2，
∴an－an－1＝1(n≥2)，
∴數列{an}是以1為公差的等差數列．
14
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題號
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1
15．7月，有一新款服裝投入某市場．7月1日該款服裝僅售出3件，以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件，當日銷售量達到最大(只有1天)后，每天售出的該款服裝都比前一天少2件，且7月31日當天剛好售出3件．
(1)7月幾日該款服裝銷售最多？最多售出幾件？
(2)按規律，當該市場銷售此服裝達到200件時，社會上就開始流行，而日銷售量連續下降并低于20件時，則不再流行．該款服裝在社會上流行幾天？
14
15
題號
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1
[解]　(1)設7月n日售出的服裝件數為an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件．
由題意知解得
∴7月13日該款服裝銷售最多，最多售出39件．
14
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1
(2)設Sn是數列{an}的前n項和，
∵an＝
∴Sn＝
∵S13＝273>200，
∴當1≤n≤13時，由Sn>200，得12≤n≤13，
當14≤n≤31時，日銷售量連續下降，
由an<20，得23≤n≤31，
∴該款服裝在社會上流行11天(從7月12日到7月22日)．
14
15
THANKS課時分層作業(六)　等差數列前n項和的性質及應用
一、選擇題
1．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a2＋a5＋a8＝15，則S9＝(　　)
A．15 B．30 C．45 D．60
2．已知等差數列{an}共有21項，若奇數項的和為110，則偶數項的和為(　　)
A．100 B．105 C．90 D．95
3．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S2 023＜0，S2 024＞0，則當Sn最小時，n的值為(　　)
A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．2 021
4．已知等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若＝，則等于(　　)
A．2 B． C．1 D．
5．某公司技術部為了激發員工的工作積極性，準備在年終獎的基礎上再增設30個“幸運獎”，投票產生“幸運獎”，按照所得票數(假設每人所得票數各不相同)排名次，發放的獎金數成等差數列．已知前10名共發放2 000元，前20名共發放3 500元，則前30名共發放(　　)
A．4 000元 B．4 500元
C．4 800元 D．5 000元
二、填空題
6．在等差數列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，則{an}的前 ________項和最大．
7．已知等差數列{an}的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且B－A＝45，2A＝B＋615，則an＝________．
8．在等差數列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時，Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．
三、解答題
9．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a6＝－5，S4＝－62．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列{|an|}的前n項和Tn．
10．設等差數列{an}的前n項和為Sn，a3＋a5＝－18，S9＝－72，Sn取最小值時，n的值為(　　)
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
11．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一，書中有一道這樣的題目，請給出答案：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為(　　)
A． B． C． D．
12．(多選)已知無窮等差數列{an}的前n項和為Sn，S2 022＜S2 023且S2 023＞S2 024，則(　　)
A．在數列{an}中，a1最大
B．在數列{an}中，S2 023最大
C．a2 024＞0
D．當n≥2 024時，an＜0
13．已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，對任意正整數n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn為{an}的前n項和，則S100＝________．
14．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a4＝－2，S10＝25．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求Sn的最小值及取得最小值時n的值．
15．已知數列{an}是等差數列，Sn是{an}的前n項和，a8＝4，________．
(1)判斷2 024是不是數列{an}中的項，并說明理由；
(2)求Sn的最小值．
從①S11＝－22，②S5＝S6中任選一個，補充在上面的問題中并作答．
3/3課時分層作業(五)　等差數列的前n項和公式
一、選擇題
1．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且前3項的和為－6，最后3項的和為57，Sn＝85，則n的值為(　　)
A．9 B．10 C．11 D．20
2．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，則S10＝(　　)
A．55 B．60 C．65 D．75
3．在等差數列{an}中，其前n項和為Sn，若a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的兩個根，那么S11的值為(　　)
A．88 B．－88 C．110 D．－55
4．設{an}是公差不為零的等差數列，且＝，則{an}的前6項和為(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
5．朱世杰是歷史上最偉大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人．”其大意為：“官府陸續派遣1 864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的比前一天多7人．”則1 864人全部派遣到位需要的天數為(　　)
A．9 B．16 C．18 D．20
二、填空題
6．若數列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2，且a3＋a13＝14，則其前15項和為________．
7．設Sn為等差數列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝________．
8．數列{an}為等差數列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是________．
三、解答題
9．已知{an}是等差數列，其中a2＝22，a6＝10．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值．
10．(多選)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝0，a4＝6，則(　　)
A．Sn＝n2－3n B．Sn＝
C．an＝3n－6 D．an＝2n
11．已知等差數列{an}，記Sn為數列{an}的前n項和，若a1＝1，S7＝5a5，則數列{an}的公差d＝(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
12．《九章算術》的盈不足章第19個問題中提到：“今有良馬與駑馬發長安，至齊．齊去長安三千里．良馬初日行一百九十三里，日增一十三里．駑馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”試問前4天，良馬和駑馬共走過的路程之和的里數為(　　)
A．1 235 B．1 800 C．2 600 D．3 000
13．植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為________米．
14．記Sn為數列{an}的前n項和．
(1)若數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列，求nan－Sn的表達式；
(2)若數列是公差為的等差數列，證明：{an}是等差數列．
15．7月，有一新款服裝投入某市場．7月1日該款服裝僅售出3件，以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件，當日銷售量達到最大(只有1天)后，每天售出的該款服裝都比前一天少2件，且7月31日當天剛好售出3件．
(1)7月幾日該款服裝銷售最多？最多售出幾件？
(2)按規律，當該市場銷售此服裝達到200件時，社會上就開始流行，而日銷售量連續下降并低于20件時，則不再流行．該款服裝在社會上流行幾天？
3/3(共73張PPT)
第2課時　等差數列前n項和的性質及應用
第四章　數列
4.2　等差數列
4.2.2　等差數列的前n項和公式
整體感知
[學習目標]　1．理解等差數列前n項和的性質，并學會應用．(數學運算、邏輯推理)
2．能夠利用等差數列前n項和的函數性質求其前n項和的最值．(數學運算)
(教師用書)
我們知道，等差數列的前n項和公式是一個關于n的二次函數形式，那么等差數列的前n項和是否具有二次函數的性質呢？除此之外，它還有什么樣的性質嗎？
[討論交流]　
問題1．等差數列前n項和公式有什么樣的函數特點？
問題2．等差數列{an}中，其前n項和Sn，前2n項和S2n與前3n項和S3n有什么樣的關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　等差數列前n項和的性質
探究問題1　等差數列{an}的前n項和為Sn，試探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的關系．
[提示]　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同樣我們發現S3n＝3Sn＋3n2d，這里出現了一個有意思的數列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…是一個公差為n2d的等差數列．
[提示]　因為S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，
所以S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋…＋(a2n－a2n－1)＝nd．
又由等差數列的性質知a1＋a2n－1＝2an，
a2＋a2n＝2an＋1，且S奇＝，S偶＝，所以＝．
探究問題2　在等差數列{an}中，如果項數為2n，那么S偶與S奇之間存在什么樣的關系？
[新知生成]
1．設等差數列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構成等差數列，且公差為m2d．
2．若數列{an}是公差為d的等差數列，則數列也是等差數列，且公差為．
3．在等差數列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n)．
4．項的個數的“奇偶”性質
(1)若等差數列的項數為2n，則S偶－S奇＝nd，＝．
(2)若等差數列的項數為2n－1，則S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
5．已知等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則＝＝·．
[典例講評]　1．(1)已知Sn，Tn分別是等差數列{an}與{bn}的前n項和，且＝(n＝1，2，…)，則等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，且S10＝100，S100＝10，求S110．
√
(1)B　[因為數列{bn}是等差數列，所以b3＋b18＝b6＋b15，所以＝，
又因為Sn，Tn分別是等差數列{an}與{bn}的前n項和，且＝(n＝1，2，…)，
所以＝＝＝＝＝．]
(2)[解]　法一：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝110a1＋d＝110×＝－110．
法二：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差數列，設公差為d，∴該數列的前10項和為10×100＋d＝S100＝10，
解得d＝－22，
∴前11項和為S110＝11×100＋×(－22)＝－110．
法三：由也是等差數列，構造新的等差數列b1＝＝10，
b10＝＝，
則d＝(b10－b1)＝＝－，
所以b11＝＝b10＋d＝＝－1，所以S110＝－110．
法四：直接利用性質Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝
－110．
反思領悟　在解決與等差數列前n項和Sn的性質有關的問題時，恰當運用相關性質可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果．
利用性質解決等差數列前n項和運算的幾種思維方法：
(1)整體思路：利用公式Sn＝，設法求出整體a1＋an，再代入求解．
(2)待定系數法：當公差不為0時，利用Sn是關于n的二次函數，設Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程組求出A，B即可；也可以利用是關于n的一次函數，設＝an＋b(a≠0)進行計算．
(3)利用相關性質中的結論進行求解．
[學以致用]　1．(1)已知數列{an}是項數為偶數的等差數列，它的奇數項的和是50，偶數項的和為34，若它的末項比首項小28，則該數列的公差是________．
(2)等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則數列{an}的前3m項的和S3m為________．
－4
210
(1)－4　(2)210　[(1)設共有2m項，由題意得
a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①
S偶－S奇＝md＝34－50，②
①②聯立得d＝－4．
(2)在等差數列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列，
∴30，70，S3m－100成等差數列，
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210．]
探究2　等差數列前n項和的最值問題
探究問題3　根據上節課所學，等差數列的前n項和公式有什么樣的函數特點？
[提示]　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，當d≠0時，Sn是常數項為0的二次函數．該函數的定義域是N*，公差的符號決定了該二次函數圖象的開口方向，通常簡記為Sn＝An2＋Bn(A，B∈R且A≠0)．
[新知生成]
1．等差數列前n項和的函數特征
等差數列的 前n項和公 式轉移到二 次函數的過程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以當d≠0時，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)當x＝n時的函數值
等差數列的 前n項和公 式與函數 的關系 令A＝，B＝a1－，則Sn＝An2＋Bn．
(1)當A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)時，Sn＝0是關于n的常函數，{an}是各項為0的常數列．
(2)當A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)時，Sn＝Bn是關于n的正比例函數，{an}為各項非零的常數列．
(3)當A≠0(即d≠0)時，Sn＝An2＋Bn是關于n的二次函數
(常數項為0)
2．等差數列前n項和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，則數列的前面若干項為負數項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最__值．
(2)若a1>0，d<0，則數列的前面若干項為正數項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最__值．
特別地，若a1>0，d>0，則__是{Sn}的最__值；若a1<0，d<0，則___是{Sn}的最大值．
小
大
S1
小
S1
【教用·微提醒】　由于n取正整數，所以Sn不一定是在頂點處取得最值，而可能是在離頂點最近的橫坐標取整數的點處取得最值．

【鏈接·教材例題】
例9　已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，則Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由．
分析：由a1＞0和d＜0，可以證明{an}是遞減數列，且存在正整數k，使得當n≥k時，an＜0，Sn遞減．這樣，就把求Sn的最大值轉化為求{an}的所有正數項的和．
另一方面，等差數列的前n項和公式可寫成Sn＝n2＋n，所以當d≠0時，Sn可以看成二次函數y＝x2＋x(x∈R)當x＝n時的函數值．如圖4.2-4，當d＜0時，Sn關于n的圖象是一條開口向下的拋物線上的一些點．因此，可以利用二次函數求相應的n，Sn的值．
解法1：由an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是遞減數列．
又由an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，可知：
當n＜6時，an＞0；
當n＝6時，an＝0；
當n＞6時，an＜0．
所以S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…．
也就是說，當n＝5或6時，Sn最大．
因為S5＝×[2×10＋(5－1)×(－2)]＝30，所以Sn的最大值為30．
解法2：因為Sn＝n2＋n＝－n2＋11n＝－＋，
所以，當n取與最接近的整數即5或6時，Sn最大，最大值為30．
[典例講評]　2．數列{an}的前n項和Sn＝33n－n2．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求{an}的前多少項和最大．
[思路引導]　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通項公式．(2)利用等差數列前n項和Sn為關于n的二次函數，可利用二次函數求解最值的方法解決．
[解]　(1)法一(公式法)：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又當n＝1時，a1＝S1，滿足an＝34－2n．
故{an}的通項公式為an＝34－2n．
法二(結構特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是關于n的常數項為0的二
次函數，所以{an}是等差數列，由Sn的結構特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．
(2)法一(公式法)：令即所以16≤n≤17．
又a17＝0，故數列{an}的前16項或前17項的和最大．
法二(函數性質法)：由y＝－x2＋33x的圖象的對稱軸為x＝，
距離最近的整數為16，17．由Sn＝－n2＋33n的
圖象(圖略)可知，數列{an}的前16項或前17項的和最大．
[母題探究]　將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變為“在等差數列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求{an}的前多少項和最大？
[解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，解得d＝－2．
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169．
∴當n＝13時，Sn有最大值169．
∴數列{an}的前13項和最大．
法二：同法一，求出公差d＝－2．
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27．
∵a1＝25>0，
由得
又∵n∈N*，∴當n＝13時，Sn取得最大值．
∴數列{an}的前13項和最大．
法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
由等差數列的性質得a13＋a14＝0．
∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．
∴當n＝13時，Sn取得最大值．
∴數列{an}的前13項和最大．
法四：設Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17，
∴二次函數對稱軸為x＝＝13，且開口方向向下，∴當n＝13時，Sn取得最大值．
∴數列{an}的前13項和最大．
反思領悟　1．在等差數列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第1項起到分界點對應項的各項和為最大(小)值．
(2)借助二次函數的圖象及性質求最值．
2．尋求正、負項分界點的方法
尋找正、負項的分界點，可利用等差數列的性質或利用或來尋找．
[學以致用]　2．已知等差數列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d＜0．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求數列{an}的前n項和Sn的最大值及相應的n的值．
[解]　(1)∵{an}為等差數列，
∴a2＋a5＝a3＋a4，∴
解得或
因為d＜0，所以
故解得
∴an＝10－(n－1)＝11－n．
(2)∵Sn＝＝＝－n2＋n，
又－＜0，函數y＝－x2＋x圖象的對稱軸為直線x＝，
故當n＝10或11時，Sn取得最大值，其最大值為55．
探究3　數列{|an|}的前n項和
[典例講評]　3．(2023·全國乙卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a2＝11，S10＝40．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列{|an|}的前n項和Tn．
[解]　(1)設等差數列{an}的公差為d，
則
解得a1＝13，d＝－2．
所以{an}的通項公式為an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n．
(2)由(1)得|an|＝
當n≤7時，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2，
當n≥8時，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2．
綜上，Tn＝
反思領悟　1．一般地，數列{an}與數列{|an|}是兩個不同的數列，只有當數列{an}的每一項都是非負數時，它們才表示同一個數列．
2．(1)求{|an|}的前n項和，關鍵在于分清哪些項為正數，哪些項為負數，最終化為去掉絕對值符號后的數列求和；
(2)數列{|an|}的前n項和求解的易錯點在于沒有分類討論，最后結果未分段表示．
[學以致用]　3．已知數列{an}的通項公式為an＝2n－10，求數列{|an|}的前n項和Tn．
[解]　由an＝2n－10≥0，得n≥5，
所以當n≤4時，an＜0；當n≥5時，an≥0，
所以當n≤4時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝－n2＋9n；
當n≥5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a4|＋|a5|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋a4)＋(a5＋…＋an)＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－9n＋40，
所以Tn＝
2
4
3
題號
1
應用遷移
1．等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，且＝，則
＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
√
D　[∵等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，＝，∴＝＝＝＝．]
2
3
題號
1
4
2．等差數列{an}的前n項和為Sn，S5＝12，S10＝48，則S15為(　　)
A．84　　B．108　　C．144　　D．156
√
B　[由等差數列的性質知S5，S10－S5，S15－S10也構成等差數列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，
所以2×(48－12)＝12＋S15－48，解得S15＝108．]
2
3
題號
4
1
3．若數列{an}的通項公式an＝43－3n，則Sn取得最大值時，n＝(　　)
A．13　　B．14　　C．15　　D．14或15
√
2
3
題號
4
1
B　[由數列{an}的通項公式an＝43－3n，可得該數列為遞減數列，且公差為－3，a1＝40，
∴Sn＝＝－n2＋n．
考慮函數y＝－x2＋x，易知該函數的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為直線x＝．
又n為正整數，與最接近的一個正整數為14，故Sn取得最大值時，n＝14．]
2
4
3
題號
1
4．已知數列{an}的通項公式為an＝－3n＋16，則數列{|an|}的前40項和為________．
1 890　[由an＝－3n＋16可知{an}前5項為正，第6項開始為負，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a40|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a40)＝＝35＋1 855＝1 890．]
1 890
1．知識鏈：(1)等差數列前n項和的最值問題．
(2)等差數列前n項和性質的應用．
(3)數列{|an|}的前n項和．
2．方法鏈：公式法、構造法、函數法、整體代換法．
3．警示牌：(1)忽視最值問題中n的個數．
(2)等差數列前n項和性質應用的前提是等差數列．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．等差數列{an}的前n項和Sn有哪幾種求最大(小)值的方法？
[提示]　(1)通項法：
若a1＞0，d＜0，則Sn必有最大值，其中n可用不等式組來確定；
若a1＜0，d＞0，則Sn必有最小值，其中n可用不等式組來確定．
(2)二次函數法：在等差數列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，則可用求二次函數最值的方法來求前n項和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函數圖象的對稱性來確定．
2．等差數列奇數項的和與偶數項的和的性質的推理基礎是什么？
[提示]　推理基礎是等差數列的性質，如在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap．
課時分層作業(六)　等差數列前n項和的性質及應用
題號
一、選擇題
1．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a2＋a5＋a8＝15，則S9＝(　　)
A．15　　B．30　　C．45　　D．60
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
C　[已知Sn是等差數列{an}的前n項和，a2＋a5＋a8＝15，
則3a5＝15，則a5＝5，則S9＝9a5＝9×5＝45．故選C．]
題號
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知等差數列{an}共有21項，若奇數項的和為110，則偶數項的和為(　　)
A．100　　B．105　　C．90　　D．95
√
14
15
A　[由題意得，
故a11＝10，所以偶數項的和為100．故選A．]
題號
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S2 023＜0，S2 024＞0，則當Sn最小時，n的值為(　　)
A．1 010　　B．1 011　　C．1 012　　D．2 021
√
14
15
C　[因為數列{an}是等差數列，
所以S2 023＝＝2 023a1 012，
S2 024＝＝1 012(a1 012＋a1 013)，
因為S2 023＜0，S2 024＞0，所以a1 012＜0，a1 013＞0，
所以n＝1 012時，Sn最小．]
題號
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．已知等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若＝，則等于(　　)
A．2　　B．　　C．1　　D．
√
14
15
D　[由題意，可得＝＝·＝·＝＝＝＝．故選D．]
題號
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．某公司技術部為了激發員工的工作積極性，準備在年終獎的基礎上再增設30個“幸運獎”，投票產生“幸運獎”，按照所得票數(假設每人所得票數各不相同)排名次，發放的獎金數成等差數列．已知前10名共發放2 000元，前20名共發放3 500元，則前30名共發放(　　)
A．4 000元　　 B．4 500元
C．4 800元　　 D．5 000元
√
14
15
題號
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
B　[由已知可知等差數列中S10＝2 000，S20＝ 3 500，
因為S10，S20－S10，S30－S20成等差數列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)，解得S30＝4 500．]
14
15
題號
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空題
6．在等差數列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，則{an}的前 ________項和最大．
14
15
5　[設等差數列{an}的公差為d，依題意，a5＞0，a4＋a7＜0，
則a5＋a6＜0，所以a6＜0，d＜0，所以{an}的前5項和最大．]
5
題號
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．已知等差數列{an}的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且B－A＝45，2A＝B＋615，則an＝________．
14
15
3n－1　[根據題意，設等差數列{an}的公差為d，
若等差數列{an}的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且B－A＝45，即15d＝45，則有d＝3；
又由2A＝B＋615，變形可得
A＝B－A＋615＝45＋615＝660，
則有A＝＝15a15＝660，解得a15＝44，則an＝a15＋(n－15)d＝3n－1．]
3n－1
題號
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．在等差數列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時，Sn取得最大值，則d的取值范圍為______________．
14
15
　[由當且僅當n＝8時，Sn最大，
知a8＞0且a9＜0，
于是解得－1＜d＜－，
故d的取值范圍為．]
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答題
9．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a6＝－5，S4＝－62．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列{|an|}的前n項和Tn．
14
15
[解]　(1)因為a6＝－5，S4＝－62，設公差為d，
所以a1＋5d＝－5，4a1＋6d＝－62，
解得a1＝－20，d＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－23(n∈N*)．
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)令an＝3n－23≥0，解得n≥，
當n≤7時，an＜0，當n≥8時，an＞0，
所以當n≤7時，Tn＝－a1－a2－…－an＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－，
當n≥8時，Tn＝－a1－a2－…－a7＋a8＋a9＋…＋an
＝－2(a1＋a2＋…＋a7)＋(a1＋a2＋…＋an)＝＋154，
所以Tn＝(n∈N*)．
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題號
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1
10．設等差數列{an}的前n項和為Sn，a3＋a5＝－18，S9＝－72，Sn取最小值時，n的值為(　　)
A．11或12　　 B．12
C．13　　 D．12或13
√
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1
D　[設等差數列{an}的公差為d，
因為a3＋a5＝－18，S9＝－72，
則有解得
所以an＝n－13，令an＝n－13≤0，則n≤13，
又a13＝0，所以當n＝12或13時，Sn取最小值．]
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題號
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11．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一，書中有一道這樣的題目，請給出答案：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
√
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A　[設分的面包，從小到大依次為a1，a2，a3，a4，a5，依題意得(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，
故3a1＋9d＝7(2a1＋d)，2d＝11a1，由S5＝5a3＝5(a1＋2d )＝100，
得a1＋2d＝12a1＝20，解得a1＝．故選A．]
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12．(多選)已知無窮等差數列{an}的前n項和為Sn，S2 022＜S2 023且
S2 023＞S2 024，則(　　)
A．在數列{an}中，a1最大
B．在數列{an}中，S2 023最大
C．a2 024＞0
D．當n≥2 024時，an＜0
√
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√
√
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ABD　[因為S2 022＜S2 023且S2 023＞S2 024，
所以S2 023－S2 022＝a2 023＞0，S2 024－S2 023＝a2 024＜0，
則等差數列{an}的公差d＝a2 024－a2 023＜0，
則在數列{an} 中，a1 最大，S2 023最大，故A正確，B正確；
因為a2 024＜0，故C錯誤；因為a2 023＞0，a2 024＜0，d＜0，
則當n≥2 024時，an＜0，故D正確．故選ABD．]
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13．已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，對任意正整數n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn為{an}的前n項和，則S100＝________．
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5 050　[當n為奇數時，an＋2－an＝1，即數列{an}的奇數項是以1為首項，1為公差的等差數列；
當n為偶數時，an＋2－an＝3，即數列{an}的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列，
所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝＝5 050．]
5 050
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14．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a4＝－2，S10＝25．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求Sn的最小值及取得最小值時n的值．
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[解]　(1)設等差數列{an}的公差為d，
由a4＝－2，S10＝25，得a1＋3d＝－2，10a1＋d＝25，解得a1＝－11，d＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－14．
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(2)法一：由d＝3知{an}是遞增數列，
當n≤4時，an＜0；當n≥5時，an＞0．
所以當n＝4時，Sn最小，最小值為S4＝4a1＋×d＝－26．
法二：Sn＝na1＋d＝n2－n＝－，又n∈N*，所以當n＝4時，Sn最小，最小值為－26．
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15．已知數列{an}是等差數列，Sn是{an}的前n項和，a8＝4，________．
(1)判斷2 024是不是數列{an}中的項，并說明理由；
(2)求Sn的最小值．
從①S11＝－22，②S5＝S6中任選一個，補充在上面的問題中并作答．
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[解]　若選①，
(1)設數列{an}的公差為d，
則解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20．
令3n－20＝2 024，得n＝681 N*，
所以2 024不是數列{an}中的項．
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(2)令an＝3n－20＞0，解得n＞，
所以當n≤6時，an＜0．
故當n＝6時，Sn取到最小值，為S6＝6a1＋15d＝－57．
若選②，
(1)設數列{an}的公差為d，
則解得
所以an＝2n－12．
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令2n－12＝2 024，解得n＝1 018∈N*，
所以2 024是數列{an}中的項．
(2)令2n－12＞0，得n＞6，所以當n≤6時，an≤0．
故當n＝6或n＝5時，Sn取到最小值，為S5＝S6＝－30．
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THANKS第2課時　等差數列前n項和的性質及應用
[學習目標]　1．理解等差數列前n項和的性質，并學會應用．(數學運算、邏輯推理)
2．能夠利用等差數列前n項和的函數性質求其前n項和的最值．(數學運算)
[討論交流]　
問題1．等差數列前n項和公式有什么樣的函數特點？
問題2．等差數列{an}中，其前n項和Sn，前2n項和S2n與前3n項和S3n有什么樣的關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　等差數列前n項和的性質
探究問題1　等差數列{an}的前n項和為Sn，試探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的關系．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究問題2　在等差數列{an}中，如果項數為2n，那么S偶與S奇之間存在什么樣的關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．設等差數列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構成等差數列，且公差為m2d．
2．若數列{an}是公差為d的等差數列，則數列也是等差數列，且公差為．
3．在等差數列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n)．
4．項的個數的“奇偶”性質
(1)若等差數列的項數為2n，則S偶－S奇＝nd，＝．
(2)若等差數列的項數為2n－1，則S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
5．已知等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則＝＝·．
[典例講評]　1．(1)已知Sn，Tn分別是等差數列{an}與{bn}的前n項和，且＝(n＝1，2，…)，則等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，且S10＝100，S100＝10，求S110．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　在解決與等差數列前n項和Sn的性質有關的問題時，恰當運用相關性質可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果．
利用性質解決等差數列前n項和運算的幾種思維方法：
(1)整體思路：利用公式Sn＝，設法求出整體a1＋an，再代入求解．
(2)待定系數法：當公差不為0時，利用Sn是關于n的二次函數，設Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程組求出A，B即可；也可以利用是關于n的一次函數，設＝an＋b(a≠0)進行計算．
(3)利用相關性質中的結論進行求解．
[學以致用]　1．(1)已知數列{an}是項數為偶數的等差數列，它的奇數項的和是50，偶數項的和為34，若它的末項比首項小28，則該數列的公差是________．
(2)等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則數列{an}的前3m項的和S3m為________．
探究2　等差數列前n項和的最值問題
探究問題3　根據上節課所學，等差數列的前n項和公式有什么樣的函數特點？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．等差數列前n項和的函數特征
等差數列的 前n項和公 式轉移到二 次函數的過程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以當d≠0時，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)當x＝n時的函數值
等差數列的 前n項和公 式與函數 的關系 令A＝，B＝a1－，則Sn＝An2＋Bn． (1)當A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)時，Sn＝0是關于n的常函數，{an}是各項為0的常數列． (2)當A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)時，Sn＝Bn是關于n的正比例函數，{an}為各項非零的常數列． (3)當A≠0(即d≠0)時，Sn＝An2＋Bn是關于n的二次函數(常數項為0)
2．等差數列前n項和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，則數列的前面若干項為負數項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最________值．
(2)若a1>0，d<0，則數列的前面若干項為正數項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最________值．
特別地，若a1>0，d>0，則________是{Sn}的最________值；若a1<0，d<0，則________是{Sn}的最大值．
[典例講評]　2．數列{an}的前n項和Sn＝33n－n2．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求{an}的前多少項和最大．
[思路引導]　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通項公式．(2)利用等差數列前n項和Sn為關于n的二次函數，可利用二次函數求解最值的方法解決．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]　將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變為“在等差數列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求{an}的前多少項和最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．在等差數列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第1項起到分界點對應項的各項和為最大(小)值．
(2)借助二次函數的圖象及性質求最值．
2．尋求正、負項分界點的方法
尋找正、負項的分界點，可利用等差數列的性質或利用或來尋找．
[學以致用]　2．已知等差數列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d＜0．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求數列{an}的前n項和Sn的最大值及相應的n的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　數列{|an|}的前n項和
[典例講評]　3．(2023·全國乙卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a2＝11，S10＝40．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列{|an|}的前n項和Tn．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．一般地，數列{an}與數列{|an|}是兩個不同的數列，只有當數列{an}的每一項都是非負數時，它們才表示同一個數列．
2．(1)求{|an|}的前n項和，關鍵在于分清哪些項為正數，哪些項為負數，最終化為去掉絕對值符號后的數列求和；
(2)數列{|an|}的前n項和求解的易錯點在于沒有分類討論，最后結果未分段表示．
[學以致用]　3．已知數列{an}的通項公式為an＝2n－10，求數列{|an|}的前n項和Tn．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，且＝，則＝(　　)
A． B． C． D．
2．等差數列{an}的前n項和為Sn，S5＝12，S10＝48，則S15為(　　)
A．84 B．108 C．144 D．156
3．若數列{an}的通項公式an＝43－3n，則Sn取得最大值時，n＝(　　)
A．13 B．14 C．15 D．14或15
4．已知數列{an}的通項公式為an＝－3n＋16，則數列{|an|}的前40項和為________．
1．知識鏈：(1)等差數列前n項和的最值問題．
(2)等差數列前n項和性質的應用．
(3)數列{|an|}的前n項和．
2．方法鏈：公式法、構造法、函數法、整體代換法．
3．警示牌：(1)忽視最值問題中n的個數．
(2)等差數列前n項和性質應用的前提是等差數列．
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