資源簡介

(共75張PPT)
第1課時　數列的概念與簡單表示法
第四章　數列
4.1　數列的概念
整體感知
[學習目標]　1．借助實例了解數列的相關概念．(數學抽象)
2．理解數列的通項公式，能根據數列的通項公式寫出數列的任意項．(邏輯推理)
3．理解數列與函數的關系，能根據數列的前幾項寫出數列的通項公式．(數學運算、邏輯推理)
(教師用書)
某種樹木的分枝生長規律如圖所示，你能預計到第6年時，樹木的分枝數是多少嗎？
年份 1 2 3 4 5 6
分枝數 1 1 2 3 5 ？
[討論交流]　
問題1．數列的概念是什么？
問題2．什么是數列的通項公式？
問題3．數列與函數之間有什么關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　數列的概念與分類
探究問題1　觀察以下幾列數：
(1)古埃及“阿默斯”畫了一個階梯，上面的數字依次為：7，49，343，2 401，16 807．
(2)從學號1開始，記下本班的每一個同學參加高考的時間：2025，2025，…，2025．
(3)小明為了記住剛設置的手機密碼，只聽他不停地說：“7，0，2，5，7，0，2，5，…．”
(4)－2的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數：－2，4，－8，16，…．
你能找到上述例子中的共同點和不同點嗎？
[提示]　共同點：都是按照確定的順序進行排列的．不同點：從項數上來看：(1)(2)項數有限，(3)(4)項數無限；從項的變化上來看：(1)每一項在依次變大，(2)項沒有發生變化，(3)項呈現周期性的變化，(4)項的大小交替變化．
[新知生成]
1．數列的概念
(1)一般地，我們把按照__________排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的__．數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第__項，常用符號a1表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第__項，用a2表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用____表示．其中第1項也叫做____．
(2)數列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為____．
確定的順序
項
1
2
an
首項
{an}
2．數列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的 個數　 有窮數列 項數____的數列
無窮數列 項數____的數列
按項的 變化趨勢　　 遞增數列 從第2項起，每一項都____它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起，每一項都____它的前一項的數列
有限
無限
大于
小于
分類標準 名稱 含義
按項的 變化趨勢　　 常數列 各項都____的數列
周期數列 項呈現周期性變化
擺動數列 從第2項起，有些項____它的前一項，有些項____它的前一項
相等
大于
小于
【教用·微提醒】　(1)數列不同于集合，其中的項既有順序，又可重復．
(2){an}表示一個數列，an表示數列中的第n項，小寫字母a也可以換成其他小寫字母．
(3)遞增(減)數列要確保從第2項起每一項均大于(小于)前一項，不能有例外．
[典例講評]　1．已知下列數列：
(1)2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2 024；
(2)1，，…，，…；
(3)1，－，…，，…；
(4)1，0，－1，…，sin ，…；
(5)2，4，8，16，32，…；
(6)－1，－1，－1，－1．
其中，有窮數列是______，無窮數列是___________，遞增數列是________，遞減數列是________，常數列是________．(填序號)
(1)(6)
(2)(3)(4)(5)
(1)(5)
(2)
(6)
(1)(6)　(2)(3)(4)(5)　(1)(5)　(2)　(6)[(1)是有窮數列且是遞增數列；(2)是無窮、遞減數列；(3)是無窮數列；(4)是無窮數列；(5)是遞增數列且是無窮數列；(6)是有窮數列且是常數列．]
反思領悟　數列的判定方法及其分類
(1)判斷所給的對象是否為數列，關鍵看它們是不是按一定次序排列的數；
(2)判斷所給的數列是遞增、遞減、擺動還是常數列，要從項的變化趨勢來分析；而判斷它是有窮還是無窮數列，則看項的個數是有限的還是無限的．
[學以致用]　1．給出下列數列：
(1)1，2，22，23，24，…，263；
(2)－，－，－，…，－，…；
(3)1，2，3，…，10 000；
(4)－1，1，－1，1，－1，1，…；
(5)1，2，3，5，8，13，21，…；
(6)，…．
其中，________為有窮數列，____________為無窮數列，________為遞增數列，________為遞減數列，________為常數列．(填序號)
(1)(3)
(2)(4)(5)(6)
(1)(3)(5)
(2)
(6)
(1)(3)　(2)(4)(5)(6)　(1)(3)(5)　(2)　(6)　[根據數列的分類，容易得到，(1)(3)為有窮數列，(2)(4)(5)(6)為無窮數列，(1)(3)(5)為遞增數列，(2)為遞減數列，(6)為常數列．]
探究2　數列的通項公式
探究問題2　我們發現探究問題1中的(1)(2)(4)，項與項數之間存在某種聯系，你能發現它們的聯系嗎？
[提示]　對于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}；
對于(2)，an＝2 025，n∈{x|x是本班學生的學號}；
對于(4)，an＝，n∈N*．
[新知生成]
如果數列{an}的第n項an與它的______之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．表達形式為an＝f (n)．
【教用·微提醒】　數列的通項公式可能有多個，也可能不存在．
序號n
【鏈接·教材例題】
例2　根據下列數列的前4項，寫出數列的一個通項公式：
(1)1，－，－，…；(2)2，0，2，0，…．
[解]　(1)這個數列的前4項的絕對值都是序號的倒數，并且奇數項為正，偶數項為負，所以它的一個通項公式為an＝．
(2)這個數列前4項的奇數項是2，偶數項是0，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n+1＋1．
[典例講評]　2．已知數列的前幾項，寫出下面數列的一個通項公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)9，99，999，9 999，…；
(3)－，－，－，…；
(4)1，2，1，2，1，2，…．
[解]　(1)觀察發現各項分別加上1后，數列變為2，4，8，16，32，…，新數列的通項為2n，故原數列的通項公式為an＝2n－1．
(2)各項加上1后，數列變成10，100，1 000，10 000，…，新數列的通項為10n，故原數列的通項公式為an＝10n－1．
(3)數列的符號負正相間，可用(－1)n調整，分數的分子依次為自然數，而分母則是分子加上1后的平方，故可表示為，所以該數列的通項公式為an＝(－1)n．
(4)法一：可寫成分段函數形式：
an＝
法二：an＝＝，
即an＝．
[母題探究]　(1)根據本例中的第(2)題，試寫出前4項為3，33，333，3 333的一個通項公式．
(2)試寫出前4項為0.9，0.99，0.999，0.999 9的一個通項公式．
[解]　(1)由本例中的第(2)題可知，每一項乘即可，即an＝(10n－1)，n∈N*．
(2)因為a1＝1－0.1；a2＝1－0.01＝1－(0.1)2；
a3＝1－0.001＝1－(0.1)3；a4＝1－0.000 1＝1－(0.1)4，
所以an＝1－(0.1)n，n∈N*．
反思領悟　根據數列的前幾項求其通項公式的方法
(1)先統一各項的結構，如都化成分數、根式等．
(2)分析結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規律與對應序號間的函數解析式．
(3)對于符號交替出現的情況，可先觀察其絕對值，再用(－1)n或
(－1)n+1調整．
(4)對于周期數列，可考慮拆成幾個簡單數列和的形式，或者利用周期函數，如三角函數等．
[學以致用]　2．(源自人教B版教材)寫出以下各數列{an}的一個通項公式．
(1)2，4，6，8，10，…；
(2)1，3，5，7，9，…；
(3)0，2，0，2，0，…；
(4)－，－，－，…．
[解]　(1)觀察數列的前5項可知，每一項都是序號的2倍，因此數列的一個通項公式為an＝2n．
(2)因為這個數列每一項都比(1)中數列的對應項小1，因此數列的一個通項公式為an＝2n－1．
(3)因為數列的第1，3，5，…項都是0，而第2，4，…項都是2，因此它的一個通項公式為
an＝
(4)忽略正負號時，數列每一項的分子構成的數列是2，4，6，8，10，…，其中每一個數都是序號的2倍；數列每一項的分母都是分子的平方減去1．又因為負號、正號是交替出現的，因此它的一個通項公式為an＝(－1)n．
探究3　數列與函數的關系
探究問題3　回顧函數的表示方法：列表法、圖象法、解析法，并思考：數列可以用上述方法表示嗎？
[提示]　可以．但是對于解析法來說，數列不同于連續函數的表示，需要重新作定義．
[新知生成]
從函數的觀點看，數列可以看作是特殊的函數，關系如表：
定義域 ____________(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 數列的通項公式
值域 自變量從1開始，按照______________________時，對應的一列函數值構成
表示方法 (1)通項公式(解析法)；(2)______；(3)______
正整數集N*
從小到大的順序依次取值
列表法
圖象法
【鏈接·教材例題】
例1　根據下列數列{an}的通項公式，寫出數列的前5項，并畫出它們的圖象．
(1)an＝；(2)an＝cos ．
[解]　(1)當通項公式中的n＝1，2，3，4，5時，數列{an}的前5項依次為1，3，6，10，15．
圖象如圖4.1-2(1)所示．

(2)當通項公式中的n＝1，2，
3，4，5時，數列{an}的前5項依次為1，0，－1，0，1．
圖象如圖4.1-2(2)所示．
[典例講評]　3．若數列{an}的通項公式為an＝－2n2＋13n(n∈N*)，畫出它在x軸上方的圖象，根據圖象求出an的最大值，并在同一平面直角坐標系中畫出函數f (x)＝－2x2＋13x的圖象，根據圖象求出f (x)的最大值，并與an的最大值比較．若用函數來求an＝－2n2＋13n的最大值，應如何處理？
[解]　由－2n2＋13n＞0，可得0＜n＜．
又因為n∈N*，所以n＝1，2，3，4，5，6，分別代入通項公式an，可得a1＝11，a2＝18，a3＝21，a4＝20，a5＝15，a6＝6，
圖象為如圖所示中的點，
根據圖象得a3最大，且a3＝21．
因為f (x)＝－2x2＋13x＝－2＋，
當x＝時，f (x)max＝．
f (x)的圖象是如圖所示的拋物線，顯然＞21．
因為3＜＜4，且離3較近，所以當n＝3時，an取到最大值a3＝－2×32＋13×3＝21．
【教用·備選題】　已知函數f (x)＝2x－2－x，數列{an}滿足f (log2an)＝－2n．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)討論數列{an}的單調性，并證明你的結論．
[解]　(1)∵f (x)＝2x－2－x，f (log2an)＝
＝－2n，∴an－＝－2n，
＋2nan－1＝0，解得an＝－n±．
∵an＞0，∴an＝－n．
(2)數列{an}是遞減數列，理由如下：
∵＝＝＜1，an＞0，
∴an＋1＜an，∴數列{an}是遞減數列．
反思領悟　求數列最值的方法
(1)函數的單調性法：令an＝f (n)，通過研究f (n)的單調性來研究最大(小)項．
(2)不等式組法：先假設有最大(小)項．不妨設an最大，則滿足
(n≥2)，解不等式組便可得到n的取值范圍，從而確定n的值；求最小項用不等式組(n≥2)求得n的取值范圍，從而確定n的值．
[學以致用]　3．設an＝－3n2＋15n－18，則數列{an}中的最大項的值是(　　)
A．　　　B．　　　C．4　　　D．0
√
D　[an＝－3＋，由二次函數的性質，得當n＝2或3時，an最大，最大值為0．]
【鏈接·教材例題】
例3　如果數列{an}的通項公式為an＝n2＋2n，那么120是不是這個數列的項？如果是，是第幾項？
分析：要判斷120是不是數列{an}中的項，就是要回答是否存在正整數n，使得n2＋2n＝120．也就是判斷上述關于n的方程是否有正整數解．
探究4　數列通項公式的應用
[解]　令n2＋2n＝120，
解這個關于n的方程，得
n＝－12(舍去)，或n＝10．
所以，120是數列{an}的項，是第10項．
[典例講評]　4．已知數列{an}的通項公式為an＝3n2－28n．
(1)寫出數列的第4項和第6項；
(2)－49是不是該數列的一項？如果是，是哪一項？68是不是該數列的一項呢？
(3)數列{an}中有多少個負數項？
[思路引導]　(1)已知數列的通項公式，將n＝4，n＝6分別代入通項公式可求得a4和a6的值．
(2)假設－49與68是數列中的項．建立n的方程，求出結果觀察n是否為正整數即可．
(3)令an＜0，解出n的范圍，進而求n．
[解]　(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60．
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以n＝7，即－49是該數列的第7項．
令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2．
因為 N*，－2 N*，所以68不是該數列的項．
(3)an＝n(3n－28)，令an＜0，結合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即數列{an}中有9個負數項．
反思領悟　求項或判斷某數是否為數列的項的方法
(1)如果已知數列的通項公式，那么只要將相應序號代入通項公式，就可以求出數列中的指定項．
(2)判斷某數是否為數列的項，只需將此數代入數列的通項公式中，求出n的值．若求出的n為正整數，則該數是數列的項，否則該數不是數列的項．
[學以致用]　4．數列的第5項為(　　)
A．0 B．－1 C． D．－
C　[由題意，可知數列的第5項為(－1)5cos ＝－1×
＝．故選C．]
√
2
4
3
題號
1
應用遷移
1．下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是(　　)
A．1，，…
B．－1，－2，－3，－4
C．－1，－，－，－，…
D．1，，…，
√
C　[A，B都是遞減數列，D是有窮數列，只有C符合題意．]
2
3
題號
1
4
2．數列，…的一個通項公式可以是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
√
D　[根據題意，數列，…，
即，…，
故該數列的一個通項公式可以為．故選D．]
2
3
題號
4
1
3．(多選)下面四個結論中正確的是(　　)
A．數列可以看作是一個定義在正整數集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})到實數集上的函數
B．數列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點
C．數列2，4，6，8可表示為{2，4，6，8}
D．對所有的n∈N*，都有an＋3＝an，則數列{an}是以3為周期的周期數列
ABD　[{2，4，6，8}表示一個集合，不是數列，C項錯誤；ABD正確．故選ABD．]
√
√
√
2
4
3
題號
1
4．已知數列{an}的通項公式為an＝則a2·a3等于________．
20　[根據題意，數列{an}的通項公式為
an＝
則a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，則a2·a3＝20．]
20
1．知識鏈：(1)數列的概念與分類．
(2)數列的通項公式．
(3)數列與函數的關系．
2．方法鏈：觀察法、歸納法、聯想轉化法．
3．警示牌：(1)歸納法求數列的通項公式時歸納不全面．
(2)不注意用(－1)n或(－1)n+1進行調節，不注意分子、分母間的聯系．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．數列是怎樣定義的？數列中的項具有什么特點？
[提示]　按項數可分為：有窮數列和無窮數列．
按項的變化趨勢可以分為：遞增數列、周期數列、遞減數列、常數列和擺動數列．
相等數列是指項數相等，對應項也相等的數列．
[提示]　數列是按確定的順序排列的一列數．數列中的項有三個特征：有序性、確定性和可重復性．
2．你是如何對數列進行分類的？相等數列應具備什么條件？
3．所有數列都能寫出它的通項公式嗎？當數列確定后，它的通項公式唯一嗎？你能否各舉出一個例子？
[提示]　并不是所有數列都能寫出通項公式，如π的近似值數列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，…．
當數列確定后，它的通項公式也不一定唯一．如數列1，－1，1，－1，1，－1，
…，可以用an＝
也可以用an＝(－1)n+1，an＝sin ，an＝cos [(n－1)π]表示．
課時分層作業(一)　數列的概念與簡單表示法
題號
1．是數列，…的(　　)
A．第6項　　B．第7項　　C．第8項　　D．第9項
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
A　[由題意可知，該數列為，…，
故是數列，…的第6項．故選A．]
題號
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．數列－，…的一個通項公式為an＝(　　)
A．(－1)n· B．(－1)n+1·
C．(－1)n· D．(－1)n+1·
√
14
15
C　[通過觀察可知，a1＜0，(－1)1＝－1，(－1)2＝1，所以BD選項錯誤．
對比AC選項，注意到數列的分母的間隔不是常數5，所以A選項錯誤．
故選C．]
題號
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．下列說法中正確的是(　　)
A．如果一個數列不是遞增數列，那么它一定是遞減數列
B．數列1，0，－1，－2與－2，－1，0，1是相同的數列
C．數列的第k項為1＋
D．數列0，2，4，6，…可記為{2n}
√
14
15
題號
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
C　[對于A，常數列既不是遞增數列也不是遞減數列，故A錯誤；
對于B，數列是按順序排列的，故B說法錯誤；
對于C，數列的第k項是1＋，故C正確；
對于D，數列中的第1項無法用an＝2n(n∈N*)表示，故D錯誤．
故選C．]
14
15
題號
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．已知數列{an}的通項公式為an＝2n-1－1，則下列各數是{an}中的項的是(　　)
A．2 047　　B．2 048　　C．2 044　　D．2 041
√
14
15
A　[分別令2n-1－1等于選項中給出的4個數，只有A選項中，求得的n為正整數．故選A．]
題號
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．數列{an}的通項公式為an＝n2＋kn，那么“k≥－2”是“{an}為遞增數列”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
√
14
15
題號
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
A　[當k≥－2時，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k≥2n－1≥1＞0，
∴數列{an}為遞增數列，即由“k≥－2”可以推出“{an}為遞增數列”，
當數列{an}為遞增數列時，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k＞0，
∴k＞－(2n＋1)恒成立，又[－(2n＋1)]max＝－(2×1＋1)＝－3，
∴k＞－3，即由“{an}為遞增數列”推不出“k≥－2”，
∴“k≥－2”是“{an}為遞增數列”的充分不必要條件．
故選A．]
14
15
題號
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空題
6．已知數列{an}的通項公式為an＝，則a10＝________，若an＝，則n＝________．
14
15
　12　[，
由，得n(n＋2)＝168，解得n＝12(負值舍去)．]
12
題號
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．數列－，…的一個通項公式是an＝________．
14
15
　[＝(－1)1×＝(－1)2×＝(－1)3×
＝(－1)4×，所以一個通項公式是an＝．]
題號
2
4
5
3
8
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11
12
13
1
8．已知數列{an}的通項公式為an＝，則an的最小值為________，此時n的值為________．
14
15
　3　[依題意，an＝
當n≤3且n∈N*時，an單調遞減，所以最小值為a3＝；
當n≥4且n∈N*時，an單調遞增，所以最小值為a4＝；
綜上，an的最小值為，此時n的值為3．]
3
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答題
9．寫出下列數列的前10項，并作出它們的圖象．
(1)當自變量x依次取1，2，3，…時，函數f (x)＝2x＋1的值構成的數列{an}；
(2)數列{an}的通項公式為an＝
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題號
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1
[解]　(1)根據題意，依次將x的值代入函數f (x)＝2x＋1，
可得數列的前10項依次為3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，
其圖象如圖：
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1
(2)an＝
則數列的前10項依次為2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，
圖象如圖：
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題號
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1
10．(多選)下列四個命題中，正確的有(　　)
A．若數列{an}是遞增數列，則數列{an·an＋1}也是遞增數列
B．已知數列{an}的通項公式為an＝n2－n－50，n∈N*，則－8是該數列的第7項
C．數列3，5，9，17，33，…的一個通項公式為an＝2n－1
D．數列{an}的通項公式為an＝，n∈N*，則數列{an}是遞增數列
√
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√
題號
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1
BD　[對于A，若數列an的前幾項為－2，－1，0，1，2，3，則{an·an＋1}不是遞增數列，故A錯誤；
對于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，故B正確；
對于C，將3，5，9，17，33，…的各項減去1，得2，4，8，16，32，…，
設該數列為{bn}，則其通項公式為bn＝2n(n∈N*)，
因此數列3，5，9，17，33，…的一個通項公式為an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，故C錯誤；
對于D，an＝＝1－，則an＋1－an＝＝＞0，
因此數列{an}是遞增數列，故D正確．
故選BD．]
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1
11．已知函數f (x)＝(x∈R)，設數列{an}的通項公式為an＝
f (n)(n∈N*)，則下列選項錯誤的是(　　)
A．f (x)的值域是R
B．an的最小值為a1＝
C．an＜1
D．數列{an}是遞增數列
√
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1
A　[由于函數f (x)＝，所以f (n)＝＝1－2×，
故an＝1－2×，由于∈，
所以an＝1－2×∈，故A錯誤，C正確；
由于f (x)＝＝1－2×，故函數f (x)為增函數，故數列{an}是遞增數列，故D正確；由于函數f (x)為增函數，故an的最小值為a1＝，故B正確．故選A．]
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12．在數列{an}中，an＝，則an的最大值是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
√
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1
D　[由題意可得an＝＝．根據對勾函數與復合函數的單調性，y＝在(0，)上單調遞增，在(，＋∞)上單調遞減，所以在{an}中，a1＜a2＜a3，a4＞a5＞a6＞…．當n＝3時，n＋＝，a3＝；
當n＝4時，n＋＝，a4＝，因為＜，
所以an的最大值是a4＝．故選D．]
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13．已知數列{an}的通項公式為an＝若ak＝a20(k≠20)，則k＝________．
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1 023　[因為an＝所以a20＝＝210．
因為ak＝a20(k≠20)，顯然k不能為偶數，則k為奇數，即k＋1＝210＝1 024，解得k＝1 023．]
1 023
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14．已知數列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4．
(1)30是不是數列{an}中的項？70呢？
(2)數列中有多少項是負數？
(3)當n為何值時，an有最小值？求出這個最小值．
14
15
[解]　(1)根據題意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＝30，即n2－5n－26＝0，無正整數解，則30不是數列的項．若an＝n2－5n＋4＝70，即n2－5n－66＝0，解得n＝11或n＝－6(舍)，則70是數列的第11項．
題號
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1
(2)根據題意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4，又由n∈N*，則n＝2或3，所以數列中有2項是負數．
(3)根據題意，an＝n2－5n＋4＝－，
故當n＝2或3時，an有最小值，其最小值為－2．
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15．如圖1是第七屆國際數學教育大會(簡稱ICME－7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把圖2中的直角三角形繼續作下去，
記OA1，OA2，…，OAn，…
的長度構成數列{an}，則此
數列的通項公式為an＝________．
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2　　[因為OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1(i＝1，2，3，…)為直角三角形＝，OA3＝，OA4＝＝2，依此類推可歸納為OAn＝an＝．]
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THANKS(共63張PPT)
第2課時　數列的遞推公式及前n項和
第四章　數列
4.1　數列的概念
整體感知
[學習目標]　1．理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項．(數學運算)
2．會用累加法、累乘法由遞推公式求通項公式．(邏輯推理、數學運算)
3．會用an與Sn的關系求通項公式．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
觀察某次智力測試中的一道題：數列1，3，6，10，15，…中數字出現的規律是：
a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，
…．
(1)你能寫出該數列的第8個數嗎？
(2)你能用an＋1與an的一個數學表達式描述該數列相鄰兩項之間的關系嗎？
[討論交流]　
問題1．遞推公式的含義是什么？
問題2．一般的數列{an}，該如何表示其前n項和？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　數列的遞推公式
探究問題1　觀察鋼管堆放示意圖，尋求規律，建立數學模型．
自上而下，第1層鋼管數為4，第2層鋼管數為5，第3層鋼管數為6，第4層鋼管數為7，第5層鋼管數為8，第6層鋼管數為9，第7層鋼管數為10．若用an表示鋼管數，n表示層數，則可得出各層的鋼管數為一個數列，
且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相鄰兩層的鋼管數之
間有沒有關系？即an＋1與an有沒有關系？
探究建構
[提示]　有，an＋1＝an＋1(1≤n≤6，n∈N*)．
[新知生成]
遞推公式：如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用________來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．
一個式子
【教用·微提醒】　(1)與數列的通項公式一樣，并不是所有的數列都有遞推公式．
(2)數列的通項公式和遞推公式是給出數列的兩種不同表示方法，但它們的用途一致，都能確定一個數列．
【鏈接·教材例題】
例4　圖4.1-3中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形．在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數依次構成一個數列的前4項，寫出這個數列的一個通項公式．
[解]　在圖4.1-3(1)(2)(3)(4)中，著色三角形的個數依次為
1，3，9，27，
即所求數列的前4項都是3的指數冪，指數為序號減1．
因此，這個數列的一個通項公式是an＝3n-1．
【鏈接·教材例題】
例5　已知數列{an}的首項為a1＝1，遞推公式為an＝1＋(n≥2)，寫出這個數列的前5項．
[解]　由題意可知
a1＝1，a2＝1＋＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝．
[典例講評]　1．若數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6．
[解]　a2＝＝＝－3，a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，a5＝＝＝2，a6＝＝＝－3．
【教用·備選題】　設數列{an}滿足a1＝，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，寫出這個數列的前5項．
[解]　由題意，a1＝，a2＝＝＝2＋，a3＝＝－，a4＝＝＝2－，a5＝＝．
反思領悟　根據遞推公式寫出數列的前幾項，要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可．另外，解答這類問題時還需注意：若已知首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式；若已知末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式；若項數很大，則應考慮數列的周期性．
[學以致用]　1．(源自人教B版教材)分別寫出下列數列{an}的一個遞推關系，并求出各個數列的第7項．
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)－1，2，5，8，11，…；
(3)1，－2，4，－8，16，…．
[解]　(1)因為a2－a1＝2－1＝1，
a3－a2＝4－2＝2，
a4－a3＝7－4＝3，
a5－a4＝11－7＝4，
所以an＋1－an＝n，
即an＋1＝an＋n．
從而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22．
(2)因為a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3，
所以an＋1－an＝3，
即an＋1＝an＋3．
從而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17．
(3)因為＝＝＝＝－2，
所以＝－2．
即an＋1＝－2an．
從而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64．
探究2　an與Sn的關系
探究問題2　如果已知數列{an}的前n項和，如何求a6呢？
[提示]　用{an}的前6項和減去前5項和．
[新知生成]
1．數列{an}的前n項和：把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝_________________．
2．數列的前n項和公式：如果數列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的前n項和公式．
3．數列{an}的通項an與前n項和Sn之間的關系為an＝
a1＋a2＋…＋an
【教用·微提醒】　由Sn求an，應分n＝1與n≥2兩種情況，分別進行計算后，再驗證兩種情形可否用統一的式子表示．若不能，則用分段的形式表示．
[典例講評]　2．已知Sn為數列{an}的前n項和，根據條件求{an}的通項公式．
(1)Sn＝3n－7；(2)Sn＝2n2－30n．
[解]　(1)當n＝1時，a1＝S1＝－4，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－7－(3n-1－7)＝2×3n-1，顯然a1＝－4不適合上式，
所以an＝
(2)因為Sn＝2n2－30n，
所以當n＝1時，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．
顯然a1＝－28適合上式，所以an＝4n－32，n∈N*．
[母題探究]　將本例(2)的條件“Sn＝2n2－30n”改為“Sn＝2n2－30n＋1”，其他條件不變，求an．
[解]　因為Sn＝2n2－30n＋1，
所以當n＝1時，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32．
當n＝1時不適合上式．
所以an＝
發現規律　由前n項和求通項公式的步驟
(1)先利用_______，求出a1．
(2)用n－1(n≥2)替換Sn中的n得到一個新的關系Sn－1，利用an＝_________(n≥2)便可求出當n≥2時an的解析式．
(3)注意檢驗_____時的值是否符合n≥2時an的解析式，若符合，則合并；若不符合，則用分段函數表示通項公式an．
a1＝S1
Sn－Sn－1
n＝1
[學以致用]　2．已知數列{an}的前n項和Sn＝－n2＋n，求數列{an}的通項公式．
[解]　a1＝S1＝－×12＋×1＝101．
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104．
∵n＝1也適合上式，
∴數列{an}的通項公式為an＝－3n＋104(n∈N*)．
探究3　利用遞推公式求通項公式
[典例講評]　3．(1)已知數列{an}滿足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通項公式an；
(2)設數列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通項公式an．
[思路引導]　(1)先將遞推公式變形為an－an－1＝(n≥2)，再利用累加法求通項公式．(2)先將遞推公式化為＝(n≥2)，再利用累乘法求通項公式．
[解]　(1)由an－an－1＝(n≥2)得，
a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝．
以上各式累加得，an－a1＝＋…＋＝＋…＋＝1－．
∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1時，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，an＝×…××a1＝×…××1＝．
又∵n＝1時，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
反思領悟　由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法：根據數列的某項和遞推公式，求出數列的前幾項，歸納出通項公式．(只適用于選擇題、填空題)
(2)迭代法、累加法或累乘法，遞推公式對應的有以下幾類：
①an＋1－an＝常數，或an＋1－an＝f (n)( f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．
②an＋1＝pan(p為非零常數且p≠1)，或an＋1＝f (n)an( f (n)是可以求積的)，使用累乘法或迭代法．
③an＋1＝pan＋q(p，q為非零常數且p≠1)，適當變形后轉化為第②類解決．
[學以致用]　3．(1)在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，則an＝(　　)
A．2＋ln n　　　　 B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n　　 D．1＋n＋ln n
(2)設{an}是首項為1的正項數列，且＋2an＋1an＝0，則通項公式an＝________．
√
(1)A　(2)　[(1)法一(歸納法)：由題意得a1＝2，a2＝2＋ln (1＋1)＝2＋ln 2，
a3＝(2＋ln 2)＋ln ＝2＋ln 3，
a4＝(2＋ln 3)＋ln ＝2＋ln 4，
a5＝(2＋ln 4)＋ln ＝2＋ln 5，…，由此猜想數列的一個通項公式為an＝2＋ln n，經檢驗符合題意．
法二(迭代法)：由題意得an＝an－1＋ln ＝an－1＋ln (n≥2)，
則an＝an－1＋ln ＝an－2＋ln ＋ln ＝…
＝a1＋ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln
＝a1＋ln
＝2＋ln n(n≥2)．
又a1＝2＝2＋ln 1，符合上式．
所以an＝2＋ln n．
法三(累加法)：由題意得an＋1－an＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，
因此a1＝2，a2－a1＝ln 2，
a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，
…，
an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)．
以上各式兩邊分別相加，
得an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln n－ln (n－1)]＝
2＋ln n(n≥2)．
因為a1＝2也適合上式，所以an＝2＋ln n．
(2)由＋2an＋1an＝0，
得[(n＋2)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，
因為an＞0，所以an＋1＋an＞0，所以(n＋2)an＋1－nan＝0，
所以＝，
所以an＝a1····…·＝1××…×＝(n≥2)，
又a1＝1滿足上式，所以an＝．]
2
4
3
題號
1
應用遷移
1．若數列{an}的前n項和Sn＝n2－1，則a4＝(　　)
A．7　　B．8　　C．9　　D．17
√
A　[∵數列{an}的前n項和Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝(16－1)－(9－1)＝7．故選A．]
2
3
題號
1
4
2．已知數列{an}滿足a1＝0，a2＝1，an＝(n≥3)，則數列{an}的前9項和為(　　)
A．35　　B．48　　C．50　　D．51
√
A　[由題意得當n＝3時，a3＝2＋0＝2，當n＝4時，a4＝2×1＝2，當n＝5時，a5＝2＋2＝4，當n＝6時，a6＝2×2＝4，當n＝7時，a7＝2＋4＝6，當n＝8時，a8＝2×4＝8，當n＝9時，a9＝2＋6＝8，所以{an}的前9項和S9＝a1＋a2＋…＋a9＝0＋1＋2＋2＋4＋4＋6＋8＋8＝35．故選A．]
2
3
題號
4
1
3．在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，則an＝____________．
(n2－n＋4)　[因為an＋1＝an＋n，
所以an＋1－an＝n，
所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，
以上各式相加可得an－a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＝n·(n－1)，
所以an＝n(n－1)＋a1＝n(n－1)＋2＝(n2－n＋4)．]
(n2－n＋4)
2
4
3
題號
1
4．已知數列{an}的首項a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，則a4＝________，猜想其通項公式an＝________．
　[∵數列{an}的首項a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，∴a2＝＝．同理可得a3＝，a4＝．猜想其通項公式an＝．]
1．知識鏈：(1)數列的遞推公式．
(2)數列的前n項和Sn與an的關系．
(3)由遞推公式求通項公式．
2．方法鏈：歸納法、累加法、累乘法、迭代法．
3．警示牌：(1)運用累加法、累乘法時，不注意驗證首項是否符合通項公式．
(2)由Sn求an時忽略驗證n＝1時的情況．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．數列的遞推公式有什么特點？它與通項公式的區別是什么？
[提示]　n≥2，n∈N*，而不能只是n∈N*，這是因為當n＝1時Sn－1＝S0，數列中S0無意義．
[提示]　數列的遞推公式是反映數列的相鄰兩項或多項之間的關系式，而通項公式是數列中的項與序號之間滿足的函數關系式．
2．若數列{an}的前n項和為Sn，則關系式an＝Sn－Sn－1的使用條件是什么？
課時分層作業(二)　數列的遞推公式及前n項和
題號
一、選擇題
1．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n，則a6＝(　　)
A．11　　B．12　　C．13　　D．14
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
C　[由題可知a6＝S6－S5＝62＋2×6－(52＋2×5)＝13，故選C．]
題號
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知數列{an}的首項為a1＝1，且滿足an＋1＝2an＋2n，則此數列的第3項是(　　)
A．4　　B．12　　C．24　　D．32
√
14
15
B　[由題意，a2＝2a1＋21＝4，a3＝2a2＋22＝12．故選B．]
題號
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．設Sn為數列{an}的前n項和，若2Sn＝3an－3，則a4＝(　　)
A．27　　B．81　　C．93　　D．243
√
14
15
B　[根據2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，兩式相減得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an．當n＝1時，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，則a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81．]
題號
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．已知數列{an}滿足anan＋1＝，a3＝，則a1＝(　　)
A．　　B．　　C．1　　D．2
√
14
15
C　[因為a3＝，anan＋1＝，
所以a2a3＝a2×＝，解得a2＝．
由a1a2＝a1×＝得a1＝1．故選C．]
題號
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1
5．函數f (x)的定義如表所示，數列{xn}滿足x0＝2，且對任意的自然數n均有xn＋1＝f (xn)，則x2 024＝(　　)
A．1　　B．2　　
C．4　　D．5
√
14
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x 1 2 3 4 5
f (x) 5 1 3 4 2
D　[∵x1＝f (x0)＝f (2)＝1，x2＝f (x1)＝f (1)＝5，x3＝f (x2)＝f (5)＝2，…，∴該數列的周期為3，∴x2 024＝x2＝5．故選D．]
題號
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1
二、填空題
6．已知數列{an}的前n項和為Sn＝2n2－2n＋3，則數列{an}的通項公式為an＝_______________．
14
15
　[當n＝1時，a1＝S1＝3，當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝2n2－2n＋3－[2(n－1)2－2(n－1)＋3]＝4n－4，
當n＝1時，a1＝3不符合上式，∴an＝]
題號
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1
7．若數列{an}滿足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，則a100＝________．
14
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5 050　[由(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝(n≥2，n∈N*)，
則a100＝a1···…·＝1××…×＝5 050．]
5 050
題號
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1
8．已知數列{an}的前n項和為Sn＝log2(3×2n)，則{an}的通項公式為
_________________________．
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an＝　[由已知得當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝log2(3×2n)－log2(3×2n-1)＝log2 ＝log22＝1，又當n＝1時，a1＝S1＝log2(3×2)＝1＋log23≠1，所以{an}的通項公式為an＝]
an＝
題號
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1
三、解答題
9．設數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝n2－n＋1．
(1)寫出a1，a2，a3的值；
(2)求數列{an}的通項公式．
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題號
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[解]　(1)因為Sn＝n2－n＋1，取n＝1可得S1＝1，故a1＝1；取n＝2可得S2＝4－2＋1＝3，即a1＋a2＝3，故a2＝2；取n＝3可得S3＝9－3＋1＝7，即a1＋a2＋a3＝7，故a3＝4．所以a1＝1，a2＝2，a3＝4．
(2)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－n＋1－(n－1)2＋(n－1)－1＝2n－2，又a1＝1，不滿足上式．
所以數列{an}的通項公式為an＝
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題號
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10．已知各項均為正數的數列{an}滿足：a1＝＝an(an＋1＋2an)．則數列{an}的通項公式是an＝(　　)
A．2n+1　　B．2n-1　　C．2n　　D．3n
√
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題號
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1
C　[由題意得＝，化簡得
(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0，
又an＞0，則an＋1－2an＝0，即＝2，
∴an＝···…···a1＝2n-1×2＝2n，
當n＝1時，a1＝2滿足上式，則an＝2n．]
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11．在數列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin ，則a2 024＝(　　)
A．11　　B．0　　C．1　　D．2
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B　[由an＋1－an＝sin ，得an＋1＝an＋sin ，
所以a2＝a1＋sin π＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin ＝1＋(－1)＝0，
a4＝a3＋sin 2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin ＝0＋1＝1＝a1，
又sin 的值以4為周期循環出現，所以數列{an}是以4為周期的數列，
所以a2 024＝a4×505＋4＝a4＝0．故選B．]
√
題號
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1
12．已知數列{an}滿足a1＝1，＝(n∈N*)，則an＝________．
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　[由＝，得＝2·．
∵a1＝1，∴＝＋…＋＝2＋1＝2＋1＝(n≥2)，當n＝1時，滿足上式，∴an＝．]
題號
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13．在數列{an}中，a1＝1，當n≥2時，an＝a1＋a2＋…＋an－1，則其通項公式為an＝________．
14
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　[當n＝2時，a2＝a1＝1．當n≥2時，an＝a1＋a2＋…＋an－1①．
當n≥3時，an－1＝a1＋a2＋…＋an－2②．
題號
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1
①－②得an－an－1＝an－1，則an＝an－1(n≥3)，因此＝(n≥3)，即＝，所以an＝(n≥3)．
當n＝2時，a2＝＝1，當n＝1時，a1＝≠1，
所以an＝]
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14．已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通項公式an．
14
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[解]　將an＋1＝兩邊同時取倒數，
得＝，則＝，
即＝，
∴＝＝，…，＝(n≥2)，
題號
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1
把以上(n－1)個式子累加，得＝．
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
又∵a1＝1滿足an＝，
∴an＝(n∈N*)．
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15．(多選)已知函數f (x)＝若數列{an}滿足a1＝，an＋1＝f (an)，n∈N*，則下列說法正確的是(　　)
A．該數列是周期數列且周期為3 B．該數列不是周期數列
C．a2 023＋a2 024＝1 D．a2 023＋a2 024＝
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√
√
題號
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BD　[a2＝f ＝－1＝；a3＝f ＝－1＝；
a4＝f ＝＝；a5＝f ＝2×－1＝；
a6＝f ＝2×－1＝；a7＝f ＝＝；
…
∴從a3開始數列{an}是以3為周期的周期數列，但數列{an}并不是周期數列，故A錯誤，B正確．而a2 023＋a2 024＝a4＋a5＝，∴C錯誤，D正確．故選BD．]
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THANKS課時分層作業(一)　數列的概念與簡單表示法
一、選擇題
1．是數列，…的(　　)
A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項
2．數列－，…的一個通項公式為an＝(　　)
A．(－1)n·
B．(－1)n+1·
C．(－1)n·
D．(－1)n+1·
3．下列說法中正確的是(　　)
A．如果一個數列不是遞增數列，那么它一定是遞減數列
B．數列1，0，－1，－2與－2，－1，0，1是相同的數列
C．數列的第k項為1＋
D．數列0，2，4，6，…可記為{2n}
4．已知數列{an}的通項公式為an＝2n-1－1，則下列各數是{an}中的項的是(　　)
A．2 047 B．2 048 C．2 044 D．2 041
5．數列{an}的通項公式為an＝n2＋kn，那么“k≥－2”是“{an}為遞增數列”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
二、填空題
6．已知數列{an}的通項公式為an＝，則a10＝________，若an＝，則n＝________．
7．數列－，…的一個通項公式是an＝________．
8．已知數列{an}的通項公式為an＝，則an的最小值為________，此時n的值為________．
三、解答題
9．寫出下列數列的前10項，并作出它們的圖象．
(1)當自變量x依次取1，2，3，…時，函數f (x)＝2x＋1的值構成的數列{an}；
(2)數列{an}的通項公式為
10．(多選)下列四個命題中，正確的有(　　)
A．若數列{an}是遞增數列，則數列{an·an＋1}也是遞增數列
B．已知數列{an}的通項公式為an＝n2－n－50，n∈N*，則－8是該數列的第7項
C．數列3，5，9，17，33，…的一個通項公式為an＝2n－1
D．數列{an}的通項公式為an＝，n∈N*，則數列{an}是遞增數列
11．已知函數f (x)＝(x∈R)，設數列{an}的通項公式為an＝f (n)(n∈N*)，則下列選項錯誤的是(　　)
A．f (x)的值域是R
B．an的最小值為a1＝
C．an＜1
D．數列{an}是遞增數列
12．在數列{an}中，an＝，則an的最大值是(　　)
A． B． C． D．
13．已知數列{an}的通項公式為an＝若ak＝a20(k≠20)，則k＝________．
14．已知數列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4．
(1)30是不是數列{an}中的項？70呢？
(2)數列中有多少項是負數？
(3)當n為何值時，an有最小值？求出這個最小值．
15．如圖1是第七屆國際數學教育大會(簡稱ICME－7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把圖2中的直角三角形繼續作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構成數列{an}，則此數列的通項公式為an＝________．
4/4第2課時　數列的遞推公式及前n項和
[學習目標]　1．理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項．(數學運算)
2．會用累加法、累乘法由遞推公式求通項公式．(邏輯推理、數學運算)
3．會用an與Sn的關系求通項公式．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　
問題1．遞推公式的含義是什么？
問題2．一般的數列{an}，該如何表示其前n項和？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　數列的遞推公式
探究問題1　觀察鋼管堆放示意圖，尋求規律，建立數學模型．
自上而下，第1層鋼管數為4，第2層鋼管數為5，第3層鋼管數為6，第4層鋼管數為7，第5層鋼管數為8，第6層鋼管數為9，第7層鋼管數為10．若用an表示鋼管數，n表示層數，則可得出各層的鋼管數為一個數列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相鄰兩層的鋼管數之間有沒有關系？即an＋1與an有沒有關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
遞推公式：如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用________來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．
[典例講評]　1．若數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根據遞推公式寫出數列的前幾項，要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可．另外，解答這類問題時還需注意：若已知首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式；若已知末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式；若項數很大，則應考慮數列的周期性．
[學以致用]　1．(源自人教B版教材)分別寫出下列數列{an}的一個遞推關系，并求出各個數列的第7項．
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)－1，2，5，8，11，…；
(3)1，－2，4，－8，16，…．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　an與Sn的關系
探究問題2　如果已知數列{an}的前n項和，如何求a6呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．數列{an}的前n項和：把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝________．
2．數列的前n項和公式：如果數列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的前n項和公式．
3．數列{an}的通項an與前n項和Sn之間的關系為an＝
[典例講評]　2．已知Sn為數列{an}的前n項和，根據條件求{an}的通項公式．
(1)Sn＝3n－7；
(2)Sn＝2n2－30n．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]　將本例(2)的條件“Sn＝2n2－30n”改為“Sn＝2n2－30n＋1”，其他條件不變，求an．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由前n項和求通項公式的步驟
(1)先利用________，求出a1．
(2)用n－1(n≥2)替換Sn中的n得到一個新的關系Sn－1，利用an＝________(n≥2)便可求出當n≥2時an的解析式．
(3)注意檢驗________時的值是否符合n≥2時an的解析式，若符合，則合并；若不符合，則用分段函數表示通項公式an．
[學以致用]　2．已知數列{an}的前n項和Sn＝－n2＋n，求數列{an}的通項公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　利用遞推公式求通項公式
[典例講評]　3．(1)已知數列{an}滿足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通項公式an；
(2)設數列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通項公式an．
[思路引導]　(1)先將遞推公式變形為an－an－1＝(n≥2)，再利用累加法求通項公式．(2)先將遞推公式化為＝(n≥2)，再利用累乘法求通項公式．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法：根據數列的某項和遞推公式，求出數列的前幾項，歸納出通項公式．(只適用于選擇題、填空題)
(2)迭代法、累加法或累乘法，遞推公式對應的有以下幾類：
①an＋1－an＝常數，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．
②an＋1＝pan(p為非零常數且p≠1)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求積的)，使用累乘法或迭代法．
③an＋1＝pan＋q(p，q為非零常數且p≠1)，適當變形后轉化為第②類解決．
[學以致用]　3．(1)在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，則an＝(　　)
A．2＋ln n　　　　 B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
(2)設{an}是首項為1的正項數列，且＋2an＋1an＝0，則通項公式an＝________．
1．若數列{an}的前n項和Sn＝n2－1，則a4＝(　　)
A．7 B．8 C．9 D．17
2．已知數列{an}滿足a1＝0，a2＝1，an＝(n≥3)，則數列{an}的前9項和為(　　)
A．35 B．48 C．50 D．51
3．在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，則an＝________．
4．已知數列{an}的首項a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，則a4＝________，猜想其通項公式an＝________．
1．知識鏈：(1)數列的遞推公式．
(2)數列的前n項和Sn與an的關系．
(3)由遞推公式求通項公式．
2．方法鏈：歸納法、累加法、累乘法、迭代法．
3．警示牌：(1)運用累加法、累乘法時，不注意驗證首項是否符合通項公式．
(2)由Sn求an時忽略驗證n＝1時的情況．
5/54.1　數列的概念
第1課時　數列的概念與簡單表示法
[學習目標]　1．借助實例了解數列的相關概念．(數學抽象)
2．理解數列的通項公式，能根據數列的通項公式寫出數列的任意項．(邏輯推理)
3．理解數列與函數的關系，能根據數列的前幾項寫出數列的通項公式．(數學運算、邏輯推理)
(教師用書)
某種樹木的分枝生長規律如圖所示，你能預計到第6年時，樹木的分枝數是多少嗎？
年份 1 2 3 4 5 6
分枝數 1 1 2 3 5 ？
[討論交流]　
問題1．數列的概念是什么？
問題2．什么是數列的通項公式？
問題3．數列與函數之間有什么關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　數列的概念與分類
探究問題1　觀察以下幾列數：
(1)古埃及“阿默斯”畫了一個階梯，上面的數字依次為：7，49，343，2 401，16 807．
(2)從學號1開始，記下本班的每一個同學參加高考的時間：2025，2025，…，2025．
(3)小明為了記住剛設置的手機密碼，只聽他不停地說：“7，0，2，5，7，0，2，5，…．”
(4)－2的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數：－2，4，－8，16，…．
你能找到上述例子中的共同點和不同點嗎？
[提示]　共同點：都是按照確定的順序進行排列的．不同點：從項數上來看：(1)(2)項數有限，(3)(4)項數無限；從項的變化上來看：(1)每一項在依次變大，(2)項沒有發生變化，(3)項呈現周期性的變化，(4)項的大小交替變化．
[新知生成]
1．數列的概念
(1)一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用a2表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．
(2)數列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為{an}．
2．數列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的 個數　 有窮數列 項數有限的數列
無窮數列 項數無限的數列
按項的 變化趨 勢　　 遞增數列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列
常數列 各項都相等的數列
周期數列 項呈現周期性變化
擺動數列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項
【教用·微提醒】　(1)數列不同于集合，其中的項既有順序，又可重復．
(2){an}表示一個數列，an表示數列中的第n項，小寫字母a也可以換成其他小寫字母．
(3)遞增(減)數列要確保從第2項起每一項均大于(小于)前一項，不能有例外．
[典例講評]　1．已知下列數列：
(1)2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2 024；
(2)1，，…，，…；
(3)1，－，…，，…；
(4)1，0，－1，…，sin ，…；
(5)2，4，8，16，32，…；
(6)－1，－1，－1，－1．
其中，有窮數列是________，無窮數列是________，遞增數列是________，遞減數列是________，常數列是________．(填序號)
(1)(6)　(2)(3)(4)(5)　(1)(5)　(2)　(6)[(1)是有窮數列且是遞增數列；(2)是無窮、遞減數列；(3)是無窮數列；(4)是無窮數列；(5)是遞增數列且是無窮數列；(6)是有窮數列且是常數列．]
　數列的判定方法及其分類
(1)判斷所給的對象是否為數列，關鍵看它們是不是按一定次序排列的數；
(2)判斷所給的數列是遞增、遞減、擺動還是常數列，要從項的變化趨勢來分析；而判斷它是有窮還是無窮數列，則看項的個數是有限的還是無限的．
[學以致用]　1．給出下列數列：
(1)1，2，22，23，24，…，263；
(2)－，－，－，…，－，…；
(3)1，2，3，…，10 000；
(4)－1，1，－1，1，－1，1，…；
(5)1，2，3，5，8，13，21，…；
(6)，…．
其中，________為有窮數列，________為無窮數列，________為遞增數列，________為遞減數列，________為常數列．(填序號)
(1)(3)　(2)(4)(5)(6)　(1)(3)(5)　(2)　(6)　[根據數列的分類，容易得到，(1)(3)為有窮數列，(2)(4)(5)(6)為無窮數列，(1)(3)(5)為遞增數列，(2)為遞減數列，(6)為常數列．]
探究2　數列的通項公式
探究問題2　我們發現探究問題1中的(1)(2)(4)，項與項數之間存在某種聯系，你能發現它們的聯系嗎？
[提示]　對于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}；
對于(2)，an＝2 025，n∈{x|x是本班學生的學號}；
對于(4)，an＝，n∈N*．
[新知生成]
如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．表達形式為an＝f (n)．
【教用·微提醒】　數列的通項公式可能有多個，也可能不存在．
【鏈接·教材例題】
例2　根據下列數列的前4項，寫出數列的一個通項公式：
(1)1，－，－，…；
(2)2，0，2，0，…．
[解]　(1)這個數列的前4項的絕對值都是序號的倒數，并且奇數項為正，偶數項為負，所以它的一個通項公式為an＝．
(2)這個數列前4項的奇數項是2，偶數項是0，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n+1＋1．
[典例講評]　2．已知數列的前幾項，寫出下面數列的一個通項公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)9，99，999，9 999，…；
(3)－，－，－，…；
(4)1，2，1，2，1，2，…．
[解]　(1)觀察發現各項分別加上1后，數列變為2，4，8，16，32，…，新數列的通項為2n，故原數列的通項公式為an＝2n－1．
(2)各項加上1后，數列變成10，100，1 000，10 000，…，新數列的通項為10n，故原數列的通項公式為an＝10n－1．
(3)數列的符號負正相間，可用(－1)n調整，分數的分子依次為自然數，而分母則是分子加上1后的平方，故可表示為，所以該數列的通項公式為an＝(－1)n．
(4)法一：可寫成分段函數形式：
an＝
法二：an＝＝，
即an＝．
[母題探究]　(1)根據本例中的第(2)題，試寫出前4項為3，33，333，3 333的一個通項公式．
(2)試寫出前4項為0.9，0.99，0.999，0.999 9的一個通項公式．
[解]　(1)由本例中的第(2)題可知，每一項乘即可，即an＝(10n－1)，n∈N*．
(2)因為a1＝1－0.1；a2＝1－0.01＝1－(0.1)2；
a3＝1－0.001＝1－(0.1)3；a4＝1－0.000 1＝1－(0.1)4，
所以an＝1－(0.1)n，n∈N*．
　根據數列的前幾項求其通項公式的方法
(1)先統一各項的結構，如都化成分數、根式等．
(2)分析結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規律與對應序號間的函數解析式．
(3)對于符號交替出現的情況，可先觀察其絕對值，再用(－1)n或(－1)n+1調整．
(4)對于周期數列，可考慮拆成幾個簡單數列和的形式，或者利用周期函數，如三角函數等．
[學以致用]　2．(源自人教B版教材)寫出以下各數列{an}的一個通項公式．
(1)2，4，6，8，10，…；
(2)1，3，5，7，9，…；
(3)0，2，0，2，0，…；
(4)－，－，－，…．
[解]　(1)觀察數列的前5項可知，每一項都是序號的2倍，因此數列的一個通項公式為an＝2n．
(2)因為這個數列每一項都比(1)中數列的對應項小1，因此數列的一個通項公式為an＝2n－1．
(3)因為數列的第1，3，5，…項都是0，而第2，4，…項都是2，因此它的一個通項公式為
an＝
(4)忽略正負號時，數列每一項的分子構成的數列是2，4，6，8，10，…，其中每一個數都是序號的2倍；數列每一項的分母都是分子的平方減去1．又因為負號、正號是交替出現的，因此它的一個通項公式為an＝(－1)n．
探究3　數列與函數的關系
探究問題3　回顧函數的表示方法：列表法、圖象法、解析法，并思考：數列可以用上述方法表示嗎？
[提示]　可以．但是對于解析法來說，數列不同于連續函數的表示，需要重新作定義．
[新知生成]
從函數的觀點看，數列可以看作是特殊的函數，關系如表：
定義域 正整數集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 數列的通項公式
值域 自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應的一列函數值構成
表示方法 (1)通項公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法
【鏈接·教材例題】
例1　根據下列數列{an}的通項公式，寫出數列的前5項，并畫出它們的圖象．
(1)an＝；(2)an＝cos ．
[解]　(1)當通項公式中的n＝1，2，3，4，5時，數列{an}的前5項依次為1，3，6，10，15．
圖象如圖4.1-2(1)所示．
(2)當通項公式中的n＝1，2，3，4，5時，數列{an}的前5項依次為
1，0，－1，0，1．
圖象如圖4.1-2(2)所示．
[典例講評]　3．若數列{an}的通項公式為an＝－2n2＋13n(n∈N*)，畫出它在x軸上方的圖象，根據圖象求出an的最大值，并在同一平面直角坐標系中畫出函數f (x)＝－2x2＋13x的圖象，根據圖象求出f (x)的最大值，并與an的最大值比較．若用函數來求an＝－2n2＋13n的最大值，應如何處理？
[解]　由－2n2＋13n＞0，可得0＜n＜．
又因為n∈N*，所以n＝1，2，3，4，5，6，分別代入通項公式an，可得a1＝11，a2＝18，a3＝21，a4＝20，a5＝15，a6＝6，
圖象為如圖所示中的點，
根據圖象得a3最大，且a3＝21．
因為f (x)＝－2x2＋13x＝－2＋，
當x＝時，f (x)max＝．
f (x)的圖象是如圖所示的拋物線，顯然＞21．
因為3＜＜4，且離3較近，所以當n＝3時，an取到最大值a3＝－2×32＋13×3＝21．
【教用·備選題】　已知函數f (x)＝2x－2－x，數列{an}滿足f (log2an)＝－2n．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)討論數列{an}的單調性，并證明你的結論．
[解]　(1)∵f (x)＝2x－2－x，f (log2an)＝＝－2n，
∴an－＝－2n，
＋2nan－1＝0，解得an＝－n±．
∵an＞0，∴an＝－n．
(2)數列{an}是遞減數列，理由如下：
∵＝＝＜1，an＞0，
∴an＋1＜an，∴數列{an}是遞減數列．
　求數列最值的方法
(1)函數的單調性法：令an＝f (n)，通過研究f (n)的單調性來研究最大(小)項．
(2)不等式組法：先假設有最大(小)項．不妨設an最大，則滿足(n≥2)，解不等式組便可得到n的取值范圍，從而確定n的值；求最小項用不等式組(n≥2)求得n的取值范圍，從而確定n的值．
[學以致用]　3．設an＝－3n2＋15n－18，則數列{an}中的最大項的值是(　　)
A．　　　B．　　　C．4　　　D．0
D　[an＝－3＋，由二次函數的性質，得當n＝2或3時，an最大，最大值為0．]
探究4　數列通項公式的應用
【鏈接·教材例題】
例3　如果數列{an}的通項公式為an＝n2＋2n，那么120是不是這個數列的項？如果是，是第幾項？
分析：要判斷120是不是數列{an}中的項，就是要回答是否存在正整數n，使得n2＋2n＝120．也就是判斷上述關于n的方程是否有正整數解．
[解]　令n2＋2n＝120，
解這個關于n的方程，得
n＝－12(舍去)，或n＝10．
所以，120是數列{an}的項，是第10項．
[典例講評]　4．已知數列{an}的通項公式為an＝3n2－28n．
(1)寫出數列的第4項和第6項；
(2)－49是不是該數列的一項？如果是，是哪一項？68是不是該數列的一項呢？
(3)數列{an}中有多少個負數項？
[思路引導]　(1)已知數列的通項公式，將n＝4，n＝6分別代入通項公式可求得a4和a6的值．
(2)假設－49與68是數列中的項．建立n的方程，求出結果觀察n是否為正整數即可．
(3)令an＜0，解出n的范圍，進而求n．
[解]　(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60．
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以n＝7，即－49是該數列的第7項．
令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2．
因為 N*，－2 N*，所以68不是該數列的項．
(3)an＝n(3n－28)，令an＜0，結合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即數列{an}中有9個負數項．
　求項或判斷某數是否為數列的項的方法
(1)如果已知數列的通項公式，那么只要將相應序號代入通項公式，就可以求出數列中的指定項．
(2)判斷某數是否為數列的項，只需將此數代入數列的通項公式中，求出n的值．若求出的n為正整數，則該數是數列的項，否則該數不是數列的項．
[學以致用]　4．數列的第5項為(　　)
A．0 B．－1 C． D．－
C　[由題意，可知數列的第5項為(－1)5cos ＝－1×＝．故選C．]
1．下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是(　　)
A．1，，…
B．－1，－2，－3，－4
C．－1，－，－，－，…
D．1，，…，
C　[A，B都是遞減數列，D是有窮數列，只有C符合題意．]
2．數列，…的一個通項公式可以是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
D　[根據題意，數列，…，
即，…，
故該數列的一個通項公式可以為．故選D．]
3．(多選)下面四個結論中正確的是(　　)
A．數列可以看作是一個定義在正整數集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})到實數集上的函數
B．數列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點
C．數列2，4，6，8可表示為{2，4，6，8}
D．對所有的n∈N*，都有an＋3＝an，則數列{an}是以3為周期的周期數列
ABD　[{2，4，6，8}表示一個集合，不是數列，C項錯誤；ABD正確．故選ABD．]
4．已知數列{an}的通項公式為an＝則a2·a3等于________．
20　[根據題意，數列{an}的通項公式為
an＝
則a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，則a2·a3＝20．]
1．知識鏈：(1)數列的概念與分類．
(2)數列的通項公式．
(3)數列與函數的關系．
2．方法鏈：觀察法、歸納法、聯想轉化法．
3．警示牌：(1)歸納法求數列的通項公式時歸納不全面．
(2)不注意用(－1)n或(－1)n+1進行調節，不注意分子、分母間的聯系．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．數列是怎樣定義的？數列中的項具有什么特點？
[提示]　數列是按確定的順序排列的一列數．數列中的項有三個特征：有序性、確定性和可重復性．
2．你是如何對數列進行分類的？相等數列應具備什么條件？
[提示]　按項數可分為：有窮數列和無窮數列．
按項的變化趨勢可以分為：遞增數列、周期數列、遞減數列、常數列和擺動數列．
相等數列是指項數相等，對應項也相等的數列．
3．所有數列都能寫出它的通項公式嗎？當數列確定后，它的通項公式唯一嗎？你能否各舉出一個例子？
[提示]　并不是所有數列都能寫出通項公式，如π的近似值數列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，…．
當數列確定后，它的通項公式也不一定唯一．如數列1，－1，1，－1，1，－1，…，可以用an＝
也可以用an＝(－1)n+1，an＝sin ，an＝cos [(n－1)π]表示．
課時分層作業(一)　數列的概念與簡單表示法
一、選擇題
1．是數列，…的(　　)
A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項
A　[由題意可知，該數列為，…，
故是數列，…的第6項．故選A．]
2．數列－，…的一個通項公式為an＝(　　)
A．(－1)n·
B．(－1)n+1·
C．(－1)n·
D．(－1)n+1·
C　[通過觀察可知，a1＜0，(－1)1＝－1，(－1)2＝1，所以BD選項錯誤．
對比AC選項，注意到數列的分母的間隔不是常數5，所以A選項錯誤．
故選C．]
3．下列說法中正確的是(　　)
A．如果一個數列不是遞增數列，那么它一定是遞減數列
B．數列1，0，－1，－2與－2，－1，0，1是相同的數列
C．數列的第k項為1＋
D．數列0，2，4，6，…可記為{2n}
C　[對于A，常數列既不是遞增數列也不是遞減數列，故A錯誤；
對于B，數列是按順序排列的，故B說法錯誤；
對于C，數列的第k項是1＋，故C正確；
對于D，數列中的第1項無法用an＝2n(n∈N*)表示，故D錯誤．
故選C．]
4．已知數列{an}的通項公式為an＝2n-1－1，則下列各數是{an}中的項的是(　　)
A．2 047 B．2 048 C．2 044 D．2 041
A　[分別令2n-1－1等于選項中給出的4個數，只有A選項中，求得的n為正整數．故選A．]
5．數列{an}的通項公式為an＝n2＋kn，那么“k≥－2”是“{an}為遞增數列”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[當k≥－2時，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k≥2n－1≥1＞0，
∴數列{an}為遞增數列，即由“k≥－2”可以推出“{an}為遞增數列”，
當數列{an}為遞增數列時，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k＞0，
∴k＞－(2n＋1)恒成立，又[－(2n＋1)]max＝－(2×1＋1)＝－3，
∴k＞－3，即由“{an}為遞增數列”推不出“k≥－2”，
∴“k≥－2”是“{an}為遞增數列”的充分不必要條件．
故選A．]
二、填空題
6．已知數列{an}的通項公式為an＝，則a10＝________，若an＝，則n＝________．
　12　[，
由，得n(n＋2)＝168，解得n＝12(負值舍去)．]
7．數列－，…的一個通項公式是an＝________．
　[＝(－1)1×＝(－1)2×＝(－1)3×＝(－1)4×，所以一個通項公式是an＝．]
8．已知數列{an}的通項公式為an＝，則an的最小值為________，此時n的值為________．
　3　[依題意，an＝
當n≤3且n∈N*時，an單調遞減，所以最小值為a3＝；
當n≥4且n∈N*時，an單調遞增，所以最小值為a4＝；
綜上，an的最小值為，此時n的值為3．]
三、解答題
9．寫出下列數列的前10項，并作出它們的圖象．
(1)當自變量x依次取1，2，3，…時，函數f (x)＝2x＋1的值構成的數列{an}；
(2)數列{an}的通項公式為
an＝
[解]　(1)根據題意，依次將x的值代入函數f (x)＝2x＋1，
可得數列的前10項依次為3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，
其圖象如圖：
(2)an＝
則數列的前10項依次為2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，
圖象如圖：
10．(多選)下列四個命題中，正確的有(　　)
A．若數列{an}是遞增數列，則數列{an·an＋1}也是遞增數列
B．已知數列{an}的通項公式為an＝n2－n－50，n∈N*，則－8是該數列的第7項
C．數列3，5，9，17，33，…的一個通項公式為an＝2n－1
D．數列{an}的通項公式為an＝，n∈N*，則數列{an}是遞增數列
BD　[對于A，若數列an的前幾項為－2，－1，0，1，2，3，則{an·an＋1}不是遞增數列，故A錯誤；
對于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，故B正確；
對于C，將3，5，9，17，33，…的各項減去1，得2，4，8，16，32，…，
設該數列為{bn}，則其通項公式為bn＝2n(n∈N*)，
因此數列3，5，9，17，33，…的一個通項公式為an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，故C錯誤；
對于D，an＝＝1－，則an＋1－an＝＝＞0，
因此數列{an}是遞增數列，故D正確．
故選BD．]
11．已知函數f (x)＝(x∈R)，設數列{an}的通項公式為an＝f (n)(n∈N*)，則下列選項錯誤的是(　　)
A．f (x)的值域是R
B．an的最小值為a1＝
C．an＜1
D．數列{an}是遞增數列
A　[由于函數f (x)＝，所以f (n)＝＝1－2×，
故an＝1－2×，由于∈，
所以an＝1－2×∈，故A錯誤，C正確；
由于f (x)＝＝1－2×，故函數f (x)為增函數，故數列{an}是遞增數列，故D正確；由于函數f (x)為增函數，故an的最小值為a1＝，故B正確．
故選A．]
12．在數列{an}中，an＝，則an的最大值是(　　)
A． B． C． D．
D　[由題意可得an＝＝．根據對勾函數與復合函數的單調性，y＝在(0，)上單調遞增，在(，＋∞)上單調遞減，所以在{an}中，a1＜a2＜a3，a4＞a5＞a6＞…．當n＝3時，n＋＝，a3＝；
當n＝4時，n＋＝，a4＝，因為＜，
所以an的最大值是a4＝．故選D．]
13．已知數列{an}的通項公式為an＝若ak＝a20(k≠20)，則k＝________．
1 023　[因為an＝所以a20＝＝210．
因為ak＝a20(k≠20)，顯然k不能為偶數，則k為奇數，即k＋1＝210＝1 024，解得k＝1 023．]
14．已知數列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4．
(1)30是不是數列{an}中的項？70呢？
(2)數列中有多少項是負數？
(3)當n為何值時，an有最小值？求出這個最小值．
[解]　(1)根據題意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＝30，即n2－5n－26＝0，無正整數解，則30不是數列的項．若an＝n2－5n＋4＝70，即n2－5n－66＝0，解得n＝11或n＝－6(舍)，則70是數列的第11項．
(2)根據題意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4，又由n∈N*，則n＝2或3，所以數列中有2項是負數．
(3)根據題意，an＝n2－5n＋4＝－，
故當n＝2或3時，an有最小值，其最小值為－2．
15．如圖1是第七屆國際數學教育大會(簡稱ICME－7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把圖2中的直角三角形繼續作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構成數列{an}，則此數列的通項公式為an＝________．
2　　[因為OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1(i＝1，2，3，…)為直角三角形＝，OA3＝，OA4＝＝2，依此類推可歸納為OAn＝an＝．]
17/17課時分層作業(二)　數列的遞推公式及前n項和
一、選擇題
1．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n，則a6＝(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
2．已知數列{an}的首項為a1＝1，且滿足an＋1＝2an＋2n，則此數列的第3項是(　　)
A．4 B．12 C．24 D．32
3．設Sn為數列{an}的前n項和，若2Sn＝3an－3，則a4＝(　　)
A．27 B．81 C．93 D．243
4．已知數列{an}滿足anan＋1＝，a3＝，則a1＝(　　)
A． B． C．1 D．2
5．函數f (x)的定義如表所示，數列{xn}滿足x0＝2，且對任意的自然數n均有xn＋1＝f (xn)，則x2 024＝(　　)
x 1 2 3 4 5
f (x) 5 1 3 4 2
A．1 B．2 C．4 D．5
二、填空題
6．已知數列{an}的前n項和為Sn＝2n2－2n＋3，則數列{an}的通項公式為an＝________．
7．若數列{an}滿足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，則a100＝________．
8．已知數列{an}的前n項和為Sn＝log2(3×2n)，則{an}的通項公式為________．
三、解答題
9．設數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝n2－n＋1．
(1)寫出a1，a2，a3的值；
(2)求數列{an}的通項公式．
10．已知各項均為正數的數列{an}滿足：a1＝＝an(an＋1＋2an)．則數列{an}的通項公式是an＝(　　)
A．2n+1 B．2n-1 C．2n D．3n
11．在數列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin ，則a2 024＝(　　)
A．11 B．0 C．1 D．2
12．已知數列{an}滿足a1＝1，＝(n∈N*)，則an＝________．
13．在數列{an}中，a1＝1，當n≥2時，an＝a1＋a2＋…＋an－1，則其通項公式為an＝________．
14．已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通項公式an．
15．(多選)已知函數f (x)＝若數列{an}滿足a1＝，an＋1＝f (an)，n∈N*，則下列說法正確的是(　　)
A．該數列是周期數列且周期為3
B．該數列不是周期數列
C．a2 023＋a2 024＝1
D．a2 023＋a2 024＝
3/34.1　數列的概念
第1課時　數列的概念與簡單表示法
[學習目標]　1．借助實例了解數列的相關概念．(數學抽象)
2．理解數列的通項公式，能根據數列的通項公式寫出數列的任意項．(邏輯推理)
3．理解數列與函數的關系，能根據數列的前幾項寫出數列的通項公式．(數學運算、邏輯推理)
[討論交流]　
問題1．數列的概念是什么？
問題2．什么是數列的通項公式？
問題3．數列與函數之間有什么關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　數列的概念與分類
探究問題1　觀察以下幾列數：
(1)古埃及“阿默斯”畫了一個階梯，上面的數字依次為：7，49，343，2 401，16 807．
(2)從學號1開始，記下本班的每一個同學參加高考的時間：2025，2025，…，2025．
(3)小明為了記住剛設置的手機密碼，只聽他不停地說：“7，0，2，5，7，0，2，5，…．”
(4)－2的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數：－2，4，－8，16，…．
你能找到上述例子中的共同點和不同點嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．數列的概念
(1)一般地，我們把按照________排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的________．數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第________項，常用符號a1表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第________項，用a2表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用________表示．其中第1項也叫做________．
(2)數列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為________．
2．數列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的 個數　 有窮數列 項數________的數列
無窮數列 項數________的數列
按項的 變化趨 勢　　 遞增數列 從第2項起，每一項都________它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起，每一項都________它的前一項的數列
常數列 各項都________的數列
周期數列 項呈現周期性變化
擺動數列 從第2項起，有些項________它的前一項，有些項________它的前一項
[典例講評]　1．已知下列數列：
(1)2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2 024；
(2)1，，…，，…；
(3)1，－，…，，…；
(4)1，0，－1，…，sin ，…；
(5)2，4，8，16，32，…；
(6)－1，－1，－1，－1．
其中，有窮數列是________，無窮數列是________，遞增數列是________，遞減數列是________，常數列是________．(填序號)
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　數列的判定方法及其分類
(1)判斷所給的對象是否為數列，關鍵看它們是不是按一定次序排列的數；
(2)判斷所給的數列是遞增、遞減、擺動還是常數列，要從項的變化趨勢來分析；而判斷它是有窮還是無窮數列，則看項的個數是有限的還是無限的．
[學以致用]　1．給出下列數列：
(1)1，2，22，23，24，…，263；
(2)－，－，－，…，－，…；
(3)1，2，3，…，10 000；
(4)－1，1，－1，1，－1，1，…；
(5)1，2，3，5，8，13，21，…；
(6)，…．
其中，________為有窮數列，________為無窮數列，________為遞增數列，________為遞減數列，________為常數列．(填序號)
探究2　數列的通項公式
探究問題2　我們發現探究問題1中的(1)(2)(4)，項與項數之間存在某種聯系，你能發現它們的聯系嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
如果數列{an}的第n項an與它的________之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．表達形式為an＝f (n)．
[典例講評]　2．已知數列的前幾項，寫出下面數列的一個通項公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)9，99，999，9 999，…；
(3)－，－，－，…；
(4)1，2，1，2，1，2，…．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]　(1)根據本例中的第(2)題，試寫出前4項為3，33，333，3 333的一個通項公式．
(2)試寫出前4項為0.9，0.99，0.999，0.999 9的一個通項公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根據數列的前幾項求其通項公式的方法
(1)先統一各項的結構，如都化成分數、根式等．
(2)分析結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規律與對應序號間的函數解析式．
(3)對于符號交替出現的情況，可先觀察其絕對值，再用(－1)n或(－1)n+1調整．
(4)對于周期數列，可考慮拆成幾個簡單數列和的形式，或者利用周期函數，如三角函數等．
[學以致用]　2．(源自人教B版教材)寫出以下各數列{an}的一個通項公式．
(1)2，4，6，8，10，…；
(2)1，3，5，7，9，…；
(3)0，2，0，2，0，…；
(4)－，－，－，…．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　數列與函數的關系
探究問題3　回顧函數的表示方法：列表法、圖象法、解析法，并思考：數列可以用上述方法表示嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
從函數的觀點看，數列可以看作是特殊的函數，關系如表：
定義域 ________(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 數列的通項公式
值域 自變量從1開始，按照________時，對應的一列函數值構成
表示方法 (1)通項公式(解析法)；(2)________；(3)________
[典例講評]　3．若數列{an}的通項公式為an＝－2n2＋13n(n∈N*)，畫出它在x軸上方的圖象，根據圖象求出an的最大值，并在同一平面直角坐標系中畫出函數f (x)＝－2x2＋13x的圖象，根據圖象求出f (x)的最大值，并與an的最大值比較．若用函數來求an＝－2n2＋13n的最大值，應如何處理？
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求數列最值的方法
(1)函數的單調性法：令an＝f (n)，通過研究f (n)的單調性來研究最大(小)項．
(2)不等式組法：先假設有最大(小)項．不妨設an最大，則滿足(n≥2)，解不等式組便可得到n的取值范圍，從而確定n的值；求最小項用不等式組(n≥2)求得n的取值范圍，從而確定n的值．
[學以致用]　3．設an＝－3n2＋15n－18，則數列{an}中的最大項的值是(　　)
A．　　　B．　　　C．4　　　D．0
探究4　數列通項公式的應用
[典例講評]　4．已知數列{an}的通項公式為an＝3n2－28n．
(1)寫出數列的第4項和第6項；
(2)－49是不是該數列的一項？如果是，是哪一項？68是不是該數列的一項呢？
(3)數列{an}中有多少個負數項？
[思路引導]　(1)已知數列的通項公式，將n＝4，n＝6分別代入通項公式可求得a4和a6的值．
(2)假設－49與68是數列中的項．建立n的方程，求出結果觀察n是否為正整數即可．
(3)令an＜0，解出n的范圍，進而求n．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求項或判斷某數是否為數列的項的方法
(1)如果已知數列的通項公式，那么只要將相應序號代入通項公式，就可以求出數列中的指定項．
(2)判斷某數是否為數列的項，只需將此數代入數列的通項公式中，求出n的值．若求出的n為正整數，則該數是數列的項，否則該數不是數列的項．
[學以致用]　4．數列的第5項為(　　)
A．0 B．－1 C． D．－
1．下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是(　　)
A．1，，…
B．－1，－2，－3，－4
C．－1，－，－，－，…
D．1，，…，
2．數列，…的一個通項公式可以是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
3．(多選)下面四個結論中正確的是(　　)
A．數列可以看作是一個定義在正整數集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})到實數集上的函數
B．數列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點
C．數列2，4，6，8可表示為{2，4，6，8}
D．對所有的n∈N*，都有an＋3＝an，則數列{an}是以3為周期的周期數列
4．已知數列{an}的通項公式為an＝則a2·a3等于________．
1．知識鏈：(1)數列的概念與分類．
(2)數列的通項公式．
(3)數列與函數的關系．
2．方法鏈：觀察法、歸納法、聯想轉化法．
3．警示牌：(1)歸納法求數列的通項公式時歸納不全面．
(2)不注意用(－1)n或(－1)n+1進行調節，不注意分子、分母間的聯系．
7/7第2課時　數列的遞推公式及前n項和
[學習目標]　1．理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項．(數學運算)
2．會用累加法、累乘法由遞推公式求通項公式．(邏輯推理、數學運算)
3．會用an與Sn的關系求通項公式．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
觀察某次智力測試中的一道題：數列1，3，6，10，15，…中數字出現的規律是：
a2－a1＝3－1＝2，
a3－a2＝6－3＝3，
a4－a3＝10－6＝4，
a5－a4＝15－10＝5，
…．
(1)你能寫出該數列的第8個數嗎？
(2)你能用an＋1與an的一個數學表達式描述該數列相鄰兩項之間的關系嗎？
[討論交流]　
問題1．遞推公式的含義是什么？
問題2．一般的數列{an}，該如何表示其前n項和？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　數列的遞推公式
探究問題1　觀察鋼管堆放示意圖，尋求規律，建立數學模型．
自上而下，第1層鋼管數為4，第2層鋼管數為5，第3層鋼管數為6，第4層鋼管數為7，第5層鋼管數為8，第6層鋼管數為9，第7層鋼管數為10．若用an表示鋼管數，n表示層數，則可得出各層的鋼管數為一個數列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相鄰兩層的鋼管數之間有沒有關系？即an＋1與an有沒有關系？
[提示]　有，an＋1＝an＋1(1≤n≤6，n∈N*)．
[新知生成]
遞推公式：如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．
【教用·微提醒】　(1)與數列的通項公式一樣，并不是所有的數列都有遞推公式．
(2)數列的通項公式和遞推公式是給出數列的兩種不同表示方法，但它們的用途一致，都能確定一個數列．
【鏈接·教材例題】
例4　圖4.1-3中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形．在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數依次構成一個數列的前4項，寫出這個數列的一個通項公式．
[解]　在圖4.1-3(1)(2)(3)(4)中，著色三角形的個數依次為
1，3，9，27，
即所求數列的前4項都是3的指數冪，指數為序號減1．
因此，這個數列的一個通項公式是
an＝3n-1．
【鏈接·教材例題】
例5　已知數列{an}的首項為a1＝1，遞推公式為an＝1＋(n≥2)，寫出這個數列的前5項．
[解]　由題意可知
a1＝1，
a2＝1＋＝1＋＝2，
a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝．
[典例講評]　1．若數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6．
[解]　a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2，
a6＝＝＝－3．
【教用·備選題】　設數列{an}滿足a1＝，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，寫出這個數列的前5項．
[解]　由題意，a1＝，a2＝＝＝2＋，a3＝＝－，a4＝＝＝2－，a5＝＝．
　根據遞推公式寫出數列的前幾項，要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可．另外，解答這類問題時還需注意：若已知首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式；若已知末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式；若項數很大，則應考慮數列的周期性．
[學以致用]　1．(源自人教B版教材)分別寫出下列數列{an}的一個遞推關系，并求出各個數列的第7項．
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)－1，2，5，8，11，…；
(3)1，－2，4，－8，16，…．
[解]　(1)因為a2－a1＝2－1＝1，
a3－a2＝4－2＝2，
a4－a3＝7－4＝3，
a5－a4＝11－7＝4，
所以an＋1－an＝n，
即an＋1＝an＋n．
從而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22．
(2)因為a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3，
所以an＋1－an＝3，
即an＋1＝an＋3．
從而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17．
(3)因為＝＝＝＝－2，
所以＝－2．
即an＋1＝－2an．
從而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64．
探究2　an與Sn的關系
探究問題2　如果已知數列{an}的前n項和，如何求a6呢？
[提示]　用{an}的前6項和減去前5項和．
[新知生成]
1．數列{an}的前n項和：把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
2．數列的前n項和公式：如果數列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的前n項和公式．
3．數列{an}的通項an與前n項和Sn之間的關系為an＝
【教用·微提醒】　由Sn求an，應分n＝1與n≥2兩種情況，分別進行計算后，再驗證兩種情形可否用統一的式子表示．若不能，則用分段的形式表示．
[典例講評]　2．已知Sn為數列{an}的前n項和，根據條件求{an}的通項公式．
(1)Sn＝3n－7；
(2)Sn＝2n2－30n．
[解]　(1)當n＝1時，a1＝S1＝－4，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－7－(3n-1－7)＝2×3n-1，顯然a1＝－4不適合上式，
所以an＝
(2)因為Sn＝2n2－30n，
所以當n＝1時，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．
顯然a1＝－28適合上式，所以an＝4n－32，n∈N*．
[母題探究]　將本例(2)的條件“Sn＝2n2－30n”改為“Sn＝2n2－30n＋1”，其他條件不變，求an．
[解]　因為Sn＝2n2－30n＋1，
所以當n＝1時，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32．
當n＝1時不適合上式．
所以an＝
　由前n項和求通項公式的步驟
(1)先利用a1＝S1，求出a1．
(2)用n－1(n≥2)替換Sn中的n得到一個新的關系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的解析式．
(3)注意檢驗n＝1時的值是否符合n≥2時an的解析式，若符合，則合并；若不符合，則用分段函數表示通項公式an．
[學以致用]　2．已知數列{an}的前n項和Sn＝－n2＋n，求數列{an}的通項公式．
[解]　a1＝S1＝－×12＋×1＝101．
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104．
∵n＝1也適合上式，
∴數列{an}的通項公式為an＝－3n＋104(n∈N*)．
探究3　利用遞推公式求通項公式
[典例講評]　3．(1)已知數列{an}滿足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通項公式an；
(2)設數列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通項公式an．
[思路引導]　(1)先將遞推公式變形為an－an－1＝(n≥2)，再利用累加法求通項公式．(2)先將遞推公式化為＝(n≥2)，再利用累乘法求通項公式．
[解]　(1)由an－an－1＝(n≥2)得，
a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝．
以上各式累加得，an－a1＝＋…＋＝＋…＋＝1－．
∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1時，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，an＝×…××a1＝×…××1＝．
又∵n＝1時，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
　由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法：根據數列的某項和遞推公式，求出數列的前幾項，歸納出通項公式．(只適用于選擇題、填空題)
(2)迭代法、累加法或累乘法，遞推公式對應的有以下幾類：
①an＋1－an＝常數，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．
②an＋1＝pan(p為非零常數且p≠1)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求積的)，使用累乘法或迭代法．
③an＋1＝pan＋q(p，q為非零常數且p≠1)，適當變形后轉化為第②類解決．
[學以致用]　3．(1)在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，則an＝(　　)
A．2＋ln n　　　　 B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
(2)設{an}是首項為1的正項數列，且＋2an＋1an＝0，則通項公式an＝________．
(1)A　(2)　[(1)法一(歸納法)：由題意得a1＝2，a2＝2＋ln (1＋1)＝2＋ln 2，
a3＝(2＋ln 2)＋ln ＝2＋ln 3，
a4＝(2＋ln 3)＋ln ＝2＋ln 4，
a5＝(2＋ln 4)＋ln ＝2＋ln 5，…，由此猜想數列的一個通項公式為an＝2＋ln n，經檢驗符合題意．
法二(迭代法)：由題意得an＝an－1＋ln ＝an－1＋ln (n≥2)，
則an＝an－1＋ln ＝an－2＋ln ＋ln ＝…
＝a1＋ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln
＝a1＋ln
＝2＋ln n(n≥2)．
又a1＝2＝2＋ln 1，符合上式．
所以an＝2＋ln n．
法三(累加法)：由題意得an＋1－an＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，
因此a1＝2，
a2－a1＝ln 2，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
…，
an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)．
以上各式兩邊分別相加，
得an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln n－ln (n－1)]＝2＋ln n(n≥2)．
因為a1＝2也適合上式，所以an＝2＋ln n．
(2)由＋2an＋1an＝0，
得[(n＋2)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，
因為an＞0，所以an＋1＋an＞0，所以(n＋2)an＋1－nan＝0，
所以＝，
所以an＝a1····…·＝1××…×＝(n≥2)，
又a1＝1滿足上式，所以an＝．]
1．若數列{an}的前n項和Sn＝n2－1，則a4＝(　　)
A．7 B．8 C．9 D．17
A　[∵數列{an}的前n項和Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝(16－1)－(9－1)＝7．故選A．]
2．已知數列{an}滿足a1＝0，a2＝1，an＝(n≥3)，則數列{an}的前9項和為(　　)
A．35 B．48 C．50 D．51
A　[由題意得當n＝3時，a3＝2＋0＝2，當n＝4時，a4＝2×1＝2，當n＝5時，a5＝2＋2＝4，當n＝6時，a6＝2×2＝4，當n＝7時，a7＝2＋4＝6，當n＝8時，a8＝2×4＝8，當n＝9時，a9＝2＋6＝8，所以{an}的前9項和S9＝a1＋a2＋…＋a9＝0＋1＋2＋2＋4＋4＋6＋8＋8＝35．故選A．]
3．在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，則an＝________．
(n2－n＋4)　[因為an＋1＝an＋n，
所以an＋1－an＝n，
所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，
以上各式相加可得an－a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＝n·(n－1)，
所以an＝n(n－1)＋a1＝n(n－1)＋2＝(n2－n＋4)．]
4．已知數列{an}的首項a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，則a4＝________，猜想其通項公式an＝________．
　[∵數列{an}的首項a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，∴a2＝＝．同理可得a3＝，a4＝．猜想其通項公式an＝．]
1．知識鏈：(1)數列的遞推公式．
(2)數列的前n項和Sn與an的關系．
(3)由遞推公式求通項公式．
2．方法鏈：歸納法、累加法、累乘法、迭代法．
3．警示牌：(1)運用累加法、累乘法時，不注意驗證首項是否符合通項公式．
(2)由Sn求an時忽略驗證n＝1時的情況．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．數列的遞推公式有什么特點？它與通項公式的區別是什么？
[提示]　數列的遞推公式是反映數列的相鄰兩項或多項之間的關系式，而通項公式是數列中的項與序號之間滿足的函數關系式．
2．若數列{an}的前n項和為Sn，則關系式an＝Sn－Sn－1的使用條件是什么？
[提示]　n≥2，n∈N*，而不能只是n∈N*，這是因為當n＝1時Sn－1＝S0，數列中S0無意義．
課時分層作業(二)　數列的遞推公式及前n項和
一、選擇題
1．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n，則a6＝(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
C　[由題可知a6＝S6－S5＝62＋2×6－(52＋2×5)＝13，故選C．]
2．已知數列{an}的首項為a1＝1，且滿足an＋1＝2an＋2n，則此數列的第3項是(　　)
A．4 B．12 C．24 D．32
B　[由題意，a2＝2a1＋21＝4，a3＝2a2＋22＝12．故選B．]
3．設Sn為數列{an}的前n項和，若2Sn＝3an－3，則a4＝(　　)
A．27 B．81 C．93 D．243
B　[根據2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，兩式相減得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an．當n＝1時，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，則a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81．]
4．已知數列{an}滿足anan＋1＝，a3＝，則a1＝(　　)
A． B． C．1 D．2
C　[因為a3＝，anan＋1＝，
所以a2a3＝a2×＝，解得a2＝．
由a1a2＝a1×＝得a1＝1．故選C．]
5．函數f (x)的定義如表所示，數列{xn}滿足x0＝2，且對任意的自然數n均有xn＋1＝f (xn)，則x2 024＝(　　)
x 1 2 3 4 5
f (x) 5 1 3 4 2
A．1 B．2 C．4 D．5
D　[∵x1＝f (x0)＝f (2)＝1，x2＝f (x1)＝f (1)＝5，x3＝f (x2)＝f (5)＝2，…，∴該數列的周期為3，∴x2 024＝x2＝5．故選D．]
二、填空題
6．已知數列{an}的前n項和為Sn＝2n2－2n＋3，則數列{an}的通項公式為an＝________．
　[當n＝1時，a1＝S1＝3，當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝2n2－2n＋3－[2(n－1)2－2(n－1)＋3]＝4n－4，
當n＝1時，a1＝3不符合上式，
∴an＝]
7．若數列{an}滿足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，則a100＝________．
5 050　[由(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝(n≥2，n∈N*)，
則a100＝a1···…·＝1××…×＝5 050．]
8．已知數列{an}的前n項和為Sn＝log2(3×2n)，則{an}的通項公式為________．
an＝　[由已知得當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝log2(3×2n)－log2(3×2n-1)＝log2 ＝log22＝1，又當n＝1時，a1＝S1＝log2(3×2)＝1＋log23≠1，所以{an}的通項公式為an＝]
三、解答題
9．設數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝n2－n＋1．
(1)寫出a1，a2，a3的值；
(2)求數列{an}的通項公式．
[解]　(1)因為Sn＝n2－n＋1，取n＝1可得S1＝1，故a1＝1；取n＝2可得S2＝4－2＋1＝3，即a1＋a2＝3，故a2＝2；取n＝3可得S3＝9－3＋1＝7，即a1＋a2＋a3＝7，故a3＝4．所以a1＝1，a2＝2，a3＝4．
(2)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－n＋1－(n－1)2＋(n－1)－1＝2n－2，又a1＝1，不滿足上式．
所以數列{an}的通項公式為an＝
10．已知各項均為正數的數列{an}滿足：a1＝＝an(an＋1＋2an)．則數列{an}的通項公式是an＝(　　)
A．2n+1 B．2n-1 C．2n D．3n
C　[由題意得＝，化簡得
(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0，
又an＞0，則an＋1－2an＝0，即＝2，
∴an＝···…···a1＝2n-1×2＝2n，
當n＝1時，a1＝2滿足上式，則an＝2n．]
11．在數列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin ，則a2 024＝(　　)
A．11 B．0 C．1 D．2
B　[由an＋1－an＝sin ，得an＋1＝an＋sin ，
所以a2＝a1＋sin π＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin ＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin 2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin ＝0＋1＝1＝a1，
又sin 的值以4為周期循環出現，所以數列{an}是以4為周期的數列，
所以a2 024＝a4×505＋4＝a4＝0．故選B．]
12．已知數列{an}滿足a1＝1，＝(n∈N*)，則an＝________．
　[由＝，得＝2·．
∵a1＝1，∴＝＋…＋＝2＋1＝2＋1＝(n≥2)，當n＝1時，滿足上式，
∴an＝．]
13．在數列{an}中，a1＝1，當n≥2時，an＝a1＋a2＋…＋an－1，則其通項公式為an＝________．
　[當n＝2時，a2＝a1＝1．當n≥2時，an＝a1＋a2＋…＋an－1①．
當n≥3時，an－1＝a1＋a2＋…＋an－2②．
①－②得an－an－1＝an－1，則an＝an－1(n≥3)，因此＝(n≥3)，即＝，所以an＝(n≥3)．
當n＝2時，a2＝＝1，當n＝1時，a1＝≠1，
所以an＝]
14．已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通項公式an．
[解]　將an＋1＝兩邊同時取倒數，
得＝，則＝，
即＝，
∴＝＝，…，＝(n≥2)，
把以上(n－1)個式子累加，得＝．
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
又∵a1＝1滿足an＝，
∴an＝(n∈N*)．
15．(多選)已知函數f (x)＝若數列{an}滿足a1＝，an＋1＝f (an)，n∈N*，則下列說法正確的是(　　)
A．該數列是周期數列且周期為3
B．該數列不是周期數列
C．a2 023＋a2 024＝1
D．a2 023＋a2 024＝
BD　[a2＝f ＝－1＝；
a3＝f ＝－1＝；
a4＝f ＝＝；
a5＝f ＝2×－1＝；
a6＝f ＝2×－1＝；
a7＝f ＝＝；
…
∴從a3開始數列{an}是以3為周期的周期數列，但數列{an}并不是周期數列，故A錯誤，B正確．而a2 023＋a2 024＝a4＋a5＝，∴C錯誤，D正確．故選BD．]
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