資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題4.7 探究與表達(dá)規(guī)律
模塊1：學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 通過具體的問題情境，經(jīng)歷在實(shí)際問題中探索規(guī)律的過程；
2. 能歸納具體問題中蘊(yùn)含的規(guī)律，用代數(shù)式表示， 并通過計(jì)算驗(yàn)證；
3. 在解決問題過程中體驗(yàn)類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培優(yōu)良好的思維品質(zhì)。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點(diǎn) 2
考點(diǎn)1、數(shù)列的規(guī)律 3
考點(diǎn)2、數(shù)（圖）表的規(guī)律 4
考點(diǎn)3、算式的規(guī)律 5
考點(diǎn)4、圖形的規(guī)律（一次類） 7
考點(diǎn)5、圖形的規(guī)律（二次類） 9
考點(diǎn)6、圖形的規(guī)律（指數(shù)類） 10
考點(diǎn)7、循環(huán)規(guī)律類問題 12
模塊3：能力培優(yōu) 15
模塊2：知識梳理
1.規(guī)律探索型問題解題技巧
1）抓住條件中的變與不變：找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化的量。所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律。所以抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵。而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號。
2）化繁為簡，形轉(zhuǎn)化為數(shù)：有些題目看上去很大、圖形很復(fù)雜，實(shí)際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對題目做一番認(rèn)真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來，題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了。
3）要進(jìn)行計(jì)算嘗試：找規(guī)律，當(dāng)然是找數(shù)學(xué)規(guī)律。而數(shù)學(xué)規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運(yùn)算。因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數(shù)學(xué)運(yùn)算式子。所以，從運(yùn)算入手，嘗試著做一些計(jì)算，也是解答找規(guī)律題的好途徑。
4）尋找事物的循環(huán)節(jié)：有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解。
2、規(guī)律探索型問題常見類型
1）數(shù)式規(guī)律：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。
2）圖形規(guī)律：根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問題，一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律。
3）數(shù)表規(guī)律：解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時(shí)也需要看看有沒有一個數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時(shí)還需要先局部看，再整體找規(guī)律。
考點(diǎn)1、 數(shù)列的規(guī)律
例1．（2024·云南昆明·二模）數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出一組按一定規(guī)律排列的數(shù)：2，，8，，32，…，第n個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·湖北孝感·模擬預(yù)測）觀察下面兩行數(shù)：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行數(shù)的第8個數(shù)，計(jì)算這兩個數(shù)的和是（ ）
A．147 B．126 C．107 D．92
變式2．（2024·海南·一模）觀察下列一組數(shù)：，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第個數(shù)是 ，第個數(shù)是 ．
考點(diǎn)2、數(shù)（圖）表的規(guī)律
例1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）數(shù)學(xué)家萊布尼茨在研究中發(fā)現(xiàn)了下面的“單位分?jǐn)?shù)三角形”，根據(jù)前五行的規(guī)律，可以知道第六行第三個數(shù)是_________．
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
變式1．（23-24七年級下·山東青島·期中）觀察下面一組數(shù)：，2，，4，，6，…，將這組數(shù)排成如圖的形式，按照如圖規(guī)律排下去第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是（ ）
A． B．90 C． D．91
變式2．（2023·浙江杭州·七年級校考期中）已知：在數(shù)軸上有兩個點(diǎn)A 、B，A點(diǎn)表示有理數(shù)－4，B點(diǎn)表示有理數(shù)6，點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，表示有理數(shù)x，且點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和是16，觀察下面每個圖形中的四個數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定y的值是________．
考點(diǎn)3、算式的規(guī)律
例1．（2023·湖北七年級期中）觀察以下等式：
第個等式：；
第個等式：；
第個等式：；
第個等式：．……
按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第個等式：____________________．
（2）寫出你猜想的第個等式：____________________（用含的等式表示）．
（3）你認(rèn)為（2）中所寫的式子一定成立嗎？請說明理由．
變式1．（24-25七年級上·廣東·假期作業(yè)）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．
從上圖中可以發(fā)現(xiàn)：
任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和，例如．把“正方形數(shù)”36寫成兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和，正確的是（ ）．
A． B． C． D．
變式2.（2024·山西大同·三模）觀察下列等式：
，
，
，
，
照此規(guī)律，第個等式為 ．
考點(diǎn)4、圖形的規(guī)律（一次類）
例1．（2024·重慶·二模）把黑色圍棋子按如圖所示的規(guī)律擺放．其中第①個圖案有1顆棋子，第②個圖案有4顆棋子，第③個圖案有7顆棋子，第④個圖案有10顆棋子，……，按此規(guī)律排列下去，第個圖案有25顆棋子，則的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
變式1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）下面是用棋子擺成的“小屋子”．?dāng)[第1個這樣的“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個這樣的“小屋子”需要11枚棋子，……，擺第10個這樣的“小屋子”需要的棋子數(shù)為（ ）
A．53 B．59 C．65 D．50
變式2．（2024·重慶·中考真題）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個圖案中，菱形的個數(shù)是（　　）
A．20 B．21 C．23 D．26
考點(diǎn)5、圖形的規(guī)律（二次類）
例1．（23-24七年級下·重慶開州·期中）如圖，將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，第1個圖形有4個小圓，第2個圖形有8個小圓，第3個圖形有14個小圓，……，依次規(guī)律，第8個圖形的小圓個數(shù)是（ ）

A．56 B．58 C．63 D．74
變式1．（2024·四川德陽·三模）用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，其中第①個圖案用了7個圓點(diǎn)，第②個圖案用了10個圓點(diǎn)，第③個圖案用了14個圓點(diǎn)，第④個圖案用了19個圓點(diǎn)，…，按照這樣的規(guī)律擺放，則第8個圖案中共有圓點(diǎn)的個數(shù)是（　　）

A．40 B．49 C．50 D．52
變式2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，，按此歸路排列下去，第個圖形中圓的個數(shù)是（ ）個

A． B． C． D．
考點(diǎn)6、圖形的規(guī)律（指數(shù)類）
例1．（2024·山東威海·一模）如圖，將一張邊長為1的正方形紙片分割成7部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推，則．借助圖形，則（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）探索下列式子的規(guī)律：，，，…，請計(jì)算： ．
變式2．（2023·安徽安慶·校考二模）用若干個“○”與“▲”按如圖方式進(jìn)行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫完整：
圖1 圖2 圖3 圖4
○的個數(shù) 3 9 21 ______
▲的個數(shù) 1 4 10 ______
(2)根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫出圖中“○”與“▲”的個數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
考點(diǎn)7、循環(huán)規(guī)律類問題
例1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法．干支是天干和地支的總稱，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十個符號叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二個符號叫地支．把干支（天干＋地支）順序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十為一周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄，這就是俗稱的“干支表”．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
如2024年為甲辰年．依據(jù)上述規(guī)律推斷，1949年應(yīng)為（ ）
A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年
變式1．（23-24七年級·江蘇·假期作業(yè)）計(jì)算：，…，歸納各計(jì)算結(jié)果中的個位數(shù)字的規(guī)律，猜測的個位數(shù)是 ．
變式2．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有一列數(shù)，，，，，，，對于任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個數(shù)的和，如果，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時(shí)間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
2．（2024·廣東河源·一模）如圖是一個俄羅斯方塊游戲，將正整數(shù)至按一定規(guī)律排列如圖表．通過按鍵操作平移或旋轉(zhuǎn)圖表中帶陰影的方框，方框中三個數(shù)的和可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）如圖所示的是2024年2月份的月歷，其中“型”、“十字型”兩個陰影圖形分別覆蓋其中五個數(shù)字（“型”、“十字型”兩個陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設(shè)“型”覆蓋的五個數(shù)字之和為，“十字型”覆蓋的五個數(shù)字之和為．若，則的最大值為（ ）

A．39 B．44 C．65 D．71
4．（23-24八年級·廣東廣州·期中）如圖，每一幅圖中有若干個大小不同的平行四邊形，第1幅圖中有1個平行四邊形；第2幅圖中有3個平行四邊形；第3幅圖中有5個平行四邊形，…，按此規(guī)律排列下去，第n幅圖中有平行四邊形(　　)
A．個 B．個 C．個 D．個
5．（2024·浙江溫州·二模）在二維碼中常用黑白方格表示數(shù)碼1和0，若下圖表示1011，則表示0110的圖是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山東濟(jì)寧·二模）數(shù)據(jù)，□，，，，…是按照一定規(guī)律有序排列的，則“□”里應(yīng)填的數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·遼寧錦州·二模）如圖，下列各圓中三個扇形上標(biāo)記的數(shù)字之間都有相同的規(guī)律，則根據(jù)此規(guī)律，可以得出圖中b的值為( )
A．143 B．140 C．123 D．120
8．（2024·重慶渝中·二模）如圖，是由相同的小圓圈按照一定規(guī)律擺放而成的，第（1）個圖形中小圓圈的個數(shù)是 7個，第（2）個圖形中小圓圈的個數(shù)是11個，第（3）個圖形中小圓圈的個數(shù)是15個，則第（10）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（　）
A．43 B．47 C．51 D．55
9.（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖所示的三角形數(shù)陣解釋二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)，這一數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)比歐洲早近年，此三角形被后人稱為“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，兩邊上的數(shù)都是，其余每個數(shù)是它上方的（左右）兩數(shù)之和．如，，．．．，若從第三行的“”開始，按箭頭所指依次構(gòu)成一列數(shù)：，，，，，，，，，，，則這列數(shù)中第個數(shù)是（ ）
A．56 B．42 C．28 D．8
10．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）為了了解全校學(xué)生的視力情況，將初三年級的500名同學(xué)從1到500編號，并按編號從小到大的順序站成一排報(bào)數(shù)1、2、3…，報(bào)到非3的倍數(shù)的退下，3的倍數(shù)的留下，留下的同學(xué)從編號小的開始繼續(xù)報(bào)數(shù)1、2、3…，報(bào)到非3的倍數(shù)的退下，3的倍數(shù)的留下，…，如此繼續(xù)，最后留下一個同學(xué)，則最后留下的這個同學(xué)編號是（ ）
A．3 B．252 C．243 D．498
二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（24-25七年級上·浙江·假期作業(yè)）按照下面的方式堆放小球，第5堆有 個小球，第n堆有 個小球．
12．（24-25七年級上·重慶·假期作業(yè)）將自然數(shù)列按照如圖方式排列，如果2算作是第一次拐彎，那么第50次拐彎的數(shù)是 ．
13．（2024·四川成都·中考真題）在綜合實(shí)踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組對這個自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于的取法種數(shù)進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，即；當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，即；當(dāng)時(shí)，可得；……．若，則的值為 ；若，則的值為 ．
14．（2024·黑龍江大慶·三模）如圖的數(shù)字三角形被稱為“楊輝三角”，圖中兩條平行線之間的一列數(shù)：，，，，，…，我們把第一個數(shù)記為，第二個數(shù)記為，第三個數(shù)記為，…第個數(shù)記為，則 ．
15．（2024·山東臨沂·二模）把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：
第組：，；
第組：，，，；
第組：，，，，，；
第組：，，，，，，，；
現(xiàn)用表示第組從左往右數(shù)第個數(shù)，則表示的數(shù)是 ．
16．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）觀察下列圖形：第1個圖形有6根小棍，第2個圖形有15根小棍，第3個圖形有27根小棍…，則第10個圖形中有 根小棍．
17．（2024·山東泰安·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，后人也將下表稱為“楊惲三角”．則：中，第三項(xiàng)系數(shù)為 ．





18．（2024·四川成都·三模）在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)稱為質(zhì)數(shù)，否則稱為合數(shù)．若一個偶數(shù)可以寫成兩個奇合數(shù)的和，則稱這個偶數(shù)為“佳偶數(shù)”，例如：，則24和30都稱為“佳偶數(shù)”．最大的一個非“佳偶數(shù)”是 ．
19．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，觀察給出的四個點(diǎn)陣，表示每個點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個數(shù)，按照圖形中點(diǎn)的個數(shù)的變化規(guī)律，猜想第個點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個數(shù)為 ．

20．（23-24七年級下·山東青島·期中）在2024年迎新聯(lián)歡會上，數(shù)學(xué)老師和同學(xué)們做了一個游戲．她在A，B，C三個盤子里分別放了一些小球，，，記為．游戲規(guī)則如下：三個盤子中的小球數(shù)，則從小球最多的一個盤子中拿出兩個，給另外兩個盤子各放一個，記為一次操作．若，則 ， ．
三、解答題（本大題共5小題，共40分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
21．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考三模）材料題：請仔細(xì)閱讀以下信息，試著給出你的答案和解答過程這里有三組數(shù)：①，，，；②，，，，；③，，，
①②兩組是由有限個數(shù)組成的，③是由無限個數(shù)組成的，它們的共同點(diǎn)：都是按一定次序排成的一列數(shù)，稱之為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個數(shù)列的第項(xiàng)或首項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，，第項(xiàng)，一般記成，，這三組數(shù)列都是從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個常數(shù)就叫公差，公差通常用字母表示．
(1)如數(shù)列①中數(shù)列②中那么數(shù)列③中 ______ ．
(2)又如，， ______ ；
(3)由此可得到 ______ ；(4)由（3）的結(jié)論你能否求得此等差數(shù)列，，，第項(xiàng)與第項(xiàng)．
22．（2023·江蘇泰州·七年級校考期中）用同樣大小的兩種正方形紙片，按下圖方式拼正方形．
(1)圖3中共有個小正方形，圖4中共有個小正方形，…，按圖示方式繼續(xù)拼下去，圖10中（未畫出）共有個小正方形；
(2)以此類推，圖n中（未畫出）共有個小正方形；
(3)借助以上結(jié)論計(jì)算：．
23．（2024·安徽宣城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的面積均為1．將左圖中黑色的小正方形移動，得到右邊拼成的長方形，根據(jù)兩種圖形方法計(jì)算小正方形的個數(shù)；如圖得出以下等式：
(1)請寫出第3個等式：__________；(2)猜想第n個等式為：__________（用含n的等式表示）；
(3)當(dāng)n為多少時(shí)，左圖中的最底端有2024個小正方形？此時(shí)左圖中共有多少個小正方形？
24．（2024·北京通州·七年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個長方形的寬為1，長為的紙片，先剪去一個正方形，余下一個長方形，在余下的長方形紙片中再剪去一個正方形，又余下一個長方形……，依此類推，如圖是剪3次后余下的長方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應(yīng)的值，請畫出（與示意圖不同）剪3次后余下的長方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應(yīng)的值．
25．（2024·廣東·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料并完成
將邊長為n（n≥2）的正方形四條邊分別n等分，連接對應(yīng)的各分點(diǎn)，則圖形中一共有多少個正方形？
問題探究：為了解決上面的問題，我們先研究特殊的情形，再逐次遞進(jìn)最后得出結(jié)論．
探究一：將一個邊長為2的正方形四條邊分別平分，連接各邊對應(yīng)的中點(diǎn)，則圖形中一共有多少個正方形？
如圖1，連接邊長為2的正方形四條邊的中點(diǎn)，邊長為1的正方形有22＝4個；邊長為2的正方形有12＝1個，總共有12+22＝1+4＝＝5個正方形．
探究二：將一個邊長為3的正方形四條邊分別三等分，連接各邊對應(yīng)的三等分點(diǎn)，則圖形中一共有多少個正方形？
如圖2，連接邊長為3的正方形四條邊對應(yīng)的三等分點(diǎn)，邊長為1的正方形有32＝9個；邊長為2的正方形有22＝4個；邊長為3的正方形有12＝1個，總共有12+22+32＝1+4+9＝＝14個正方形．
(1)探究三：請你仿照上面的方法，探究將邊長為4的正方形四條邊四等分，連接各邊對應(yīng)的四等分點(diǎn)，則圖形中一共有多少個正方形？（在圖3中畫出示意圖，并寫出探究過程）
(2)探究四：將邊長為5的正方形四條邊五等分，連接各邊對應(yīng)的五等分點(diǎn)，則圖形中一共有　 　個正方形．
(3)問題解決：將邊長為n（n≥2）的正方形四條邊分別n等分，連接各邊對應(yīng)的n等分點(diǎn)，則圖形中一共有　 　個正方形？(4)應(yīng)用拓展：計(jì)算：1+3+8+24+…+899＝　 　．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題4.7 探究與表達(dá)規(guī)律
模塊1：學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 通過具體的問題情境，經(jīng)歷在實(shí)際問題中探索規(guī)律的過程；
2. 能歸納具體問題中蘊(yùn)含的規(guī)律，用代數(shù)式表示， 并通過計(jì)算驗(yàn)證；
3. 在解決問題過程中體驗(yàn)類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培優(yōu)良好的思維品質(zhì)。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點(diǎn) 2
考點(diǎn)1、數(shù)列的規(guī)律 3
考點(diǎn)2、數(shù)（圖）表的規(guī)律 4
考點(diǎn)3、算式的規(guī)律 5
考點(diǎn)4、圖形的規(guī)律（一次類） 7
考點(diǎn)5、圖形的規(guī)律（二次類） 9
考點(diǎn)6、圖形的規(guī)律（指數(shù)類） 10
考點(diǎn)7、循環(huán)規(guī)律類問題 12
模塊3：能力培優(yōu) 15
模塊2：知識梳理
1.規(guī)律探索型問題解題技巧
1）抓住條件中的變與不變：找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化的量。所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律。所以抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵。而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號。
2）化繁為簡，形轉(zhuǎn)化為數(shù)：有些題目看上去很大、圖形很復(fù)雜，實(shí)際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對題目做一番認(rèn)真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來，題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了。
3）要進(jìn)行計(jì)算嘗試：找規(guī)律，當(dāng)然是找數(shù)學(xué)規(guī)律。而數(shù)學(xué)規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運(yùn)算。因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數(shù)學(xué)運(yùn)算式子。所以，從運(yùn)算入手，嘗試著做一些計(jì)算，也是解答找規(guī)律題的好途徑。
4）尋找事物的循環(huán)節(jié)：有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解。
2、規(guī)律探索型問題常見類型
1）數(shù)式規(guī)律：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。
2）圖形規(guī)律：根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問題，一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律。
3）數(shù)表規(guī)律：解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時(shí)也需要看看有沒有一個數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時(shí)還需要先局部看，再整體找規(guī)律。
考點(diǎn)1、 數(shù)列的規(guī)律
例1．（2024·云南昆明·二模）數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出一組按一定規(guī)律排列的數(shù)：2，，8，，32，…，第n個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，從題目中找出各數(shù)之間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．從題目中找出各數(shù)之間的變化規(guī)律，尤其要關(guān)注各數(shù)的符號，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)題意可知：一組按一定規(guī)律排列的數(shù)：2，，8，，32，，
第個數(shù)是：，故選：D
變式1．（2024·湖北孝感·模擬預(yù)測）觀察下面兩行數(shù)：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行數(shù)的第8個數(shù)，計(jì)算這兩個數(shù)的和是（ ）
A．147 B．126 C．107 D．92
【答案】C
【分析】本題考查數(shù)字的變化之類的問題，解題的關(guān)鍵是觀察得到兩行數(shù)字的變化規(guī)律．觀察第二行可知第個數(shù)為：，第一行的第個數(shù)為第2行第個數(shù)的2倍減1，從而得到答案．
【詳解】解：設(shè)第一行第個數(shù)為，第二行第個數(shù)為，
觀察第二行可知第個數(shù)為：，
∴第二行可知第個數(shù)為：，
∵第一行的第個數(shù)為第2行第個數(shù)的2倍減1，即，
∴第一行的第8個數(shù)為：，
∵，∴取每行數(shù)的第8個數(shù)，計(jì)算這兩個數(shù)的和是，故選：C．
變式2．（2024·海南·一模）觀察下列一組數(shù)：，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第個數(shù)是 ，第個數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的分子和分母的變化特點(diǎn)，從而可以寫出第個數(shù)，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的數(shù)字．
【詳解】解：，，，，…，這組數(shù)為：，，，…，
這一組數(shù)的第個數(shù)是，第個數(shù)是，故答案為：，．
考點(diǎn)2、數(shù)（圖）表的規(guī)律
例1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）數(shù)學(xué)家萊布尼茨在研究中發(fā)現(xiàn)了下面的“單位分?jǐn)?shù)三角形”，根據(jù)前五行的規(guī)律，可以知道第六行第三個數(shù)是_________．
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
【答案】
【分析】根據(jù)題干中給出的三角形中數(shù)字規(guī)律，得出第n行第1個數(shù)表示為，第n行第2個數(shù)表示為，再根據(jù)第n行第2個數(shù)是第行第2個數(shù)和第三個數(shù)的和進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題目中給出數(shù)的特點(diǎn)，第n行第1個數(shù)表示為，第n行第2個數(shù)表示為，
∴第6行第1個數(shù)為，第6行第2個數(shù)為 ，
∴第六行第三個數(shù)表示的是．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的數(shù)字找出規(guī)律．
變式1．（23-24七年級下·山東青島·期中）觀察下面一組數(shù)：，2，，4，，6，…，將這組數(shù)排成如圖的形式，按照如圖規(guī)律排下去第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是（ ）
A． B．90 C． D．91
【答案】B
【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，先找到規(guī)律前n行共有個數(shù)，進(jìn)而得到第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是第90個數(shù)，再找到規(guī)律當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，第k個數(shù)是，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，第k個數(shù)為，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：第一行有1個數(shù)，
前兩行有個數(shù)，
前三行有個數(shù)，
前四行有個數(shù)，……，
以此類推，前n行共有個數(shù)，
∴前9行一共有個數(shù)，
∴第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是第90個數(shù)，
觀察可知，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，第k個數(shù)是，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，第k個數(shù)為，
∴第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是，故選：B．
變式2．（2023·浙江杭州·七年級校考期中）已知：在數(shù)軸上有兩個點(diǎn)A 、B，A點(diǎn)表示有理數(shù)－4，B點(diǎn)表示有理數(shù)6，點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，表示有理數(shù)x，且點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和是16，觀察下面每個圖形中的四個數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定y的值是________．
【答案】50
【分析】根據(jù)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和是16，確定有理數(shù)x的值，再按照規(guī)律確定y的值．
【詳解】解：∵點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和是16，且點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，
∴點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，∴(-4-x)+(6-x)=16，解得：x=-7，
觀察圖形中的四個數(shù)，左上角的數(shù)是右上角的數(shù)的絕對值少1，左下角的數(shù)比左上角的數(shù)多2，從第2個圖形開始，右下角的數(shù)是左上角的數(shù)與左下角的數(shù)的積再加2，
∴m===6，n=m+2=8，∴y=mn+2=48+2=50，故答案為：50．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)字類圖形變化題．注意觀察總結(jié)出規(guī)律，能正確的應(yīng)用規(guī)律．
考點(diǎn)3、算式的規(guī)律
例1．（2023·湖北七年級期中）觀察以下等式：
第個等式：；
第個等式：；
第個等式：；
第個等式：．……
按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第個等式：____________________．
（2）寫出你猜想的第個等式：____________________（用含的等式表示）．
（3）你認(rèn)為（2）中所寫的式子一定成立嗎？請說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)題中等式的規(guī)律可得；（2）觀察等式的規(guī)律可得；
（3）將等式的左邊進(jìn)行整式的混合運(yùn)算，判斷與等式右邊是否相等即可．
【詳解】（1）根據(jù)題中規(guī)律可得：
（2）觀察式子可得：
（3）等式左邊===3=等式右邊
∴（2）中所寫式子一定成立．
【點(diǎn)睛】本題通過找規(guī)律的方式考查整式的混合運(yùn)算．分析所給等式，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
變式1．（24-25七年級上·廣東·假期作業(yè)）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．
從上圖中可以發(fā)現(xiàn)：
任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和，例如．把“正方形數(shù)”36寫成兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和，正確的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了數(shù)字（圖形）變化的規(guī)律，觀察圖形和等式，發(fā)現(xiàn)正方形數(shù)是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方數(shù)；三角形數(shù)是1、3、6、10、15、21、28…；相鄰兩個數(shù)的差依次增加1；從“三角形數(shù)”中找出哪兩個相鄰的數(shù)相加，和是“正方形數(shù)”36即可.
【詳解】圖1：正方形數(shù)是4，；
圖2：正方形數(shù)是9，；
圖3：正方形數(shù)是16，；
圖4：正方形數(shù)是25，；
圖5：正方形數(shù)是36，.故選：C.
變式2.（2024·山西大同·三模）觀察下列等式：
，
，
，
，
照此規(guī)律，第個等式為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律，較強(qiáng)的類比歸納能力是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已有等式類比歸納出第n個等式即可．
【詳解】解：①；②；③；④；⑤，……
第n個等式為：．故答案為：．
考點(diǎn)4、圖形的規(guī)律（一次類）
例1．（2024·重慶·二模）把黑色圍棋子按如圖所示的規(guī)律擺放．其中第①個圖案有1顆棋子，第②個圖案有4顆棋子，第③個圖案有7顆棋子，第④個圖案有10顆棋子，……，按此規(guī)律排列下去，第個圖案有25顆棋子，則的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本題主要考查圖形規(guī)律探究，根據(jù)題意易得第n個圖案棋子的顆數(shù)為；由此問題可求解．
【詳解】解：∵第①個圖案有1顆棋子，第②個圖案有4顆棋子，第③個圖案有7顆棋子，第④個圖案有10顆棋子，…；∴第n個圖案棋子的顆數(shù)為，
依題意，解得：故選：C．
變式1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）下面是用棋子擺成的“小屋子”．?dāng)[第1個這樣的“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個這樣的“小屋子”需要11枚棋子，……，擺第10個這樣的“小屋子”需要的棋子數(shù)為（ ）
A．53 B．59 C．65 D．50
【答案】B
【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究，根據(jù)已有圖形抽象出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由已知圖形可知，后一個小屋子所需的棋子的數(shù)量比前一個多6個；
∴第個圖形需要：枚棋子，
∴擺第10個這樣的“小屋子”需要的棋子數(shù)為；故選B．
變式2．（2024·重慶·中考真題）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個圖案中，菱形的個數(shù)是（　　）
A．20 B．21 C．23 D．26
【答案】C
【分析】本題考查了圖形類的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．利用規(guī)律求解．通過觀察圖形找到相應(yīng)的規(guī)律，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：第①個圖案中有個菱形，
第②個圖案中有個菱形，
第③個圖案中有個菱形，
第④個圖案中有個菱形，
∴第個圖案中有個菱形，
∴第⑧個圖案中菱形的個數(shù)為，故選：C．
考點(diǎn)5、圖形的規(guī)律（二次類）
例1．（23-24七年級下·重慶開州·期中）如圖，將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，第1個圖形有4個小圓，第2個圖形有8個小圓，第3個圖形有14個小圓，……，依次規(guī)律，第8個圖形的小圓個數(shù)是（ ）

A．56 B．58 C．63 D．74
【答案】D
【分析】此題考查圖形的規(guī)律探究，由題意可知：第一個圖形有個小圓，第二個圖形有個小圓，第三個圖形有個小圓，第四個圖形有個小圓由此得出，第個圖形的小圓數(shù)量個，由此得出答案即可．
【詳解】解：第一個圖形的小圓數(shù)量；第二個圖形的小圓數(shù)量；
第三個圖形的小圓數(shù)量；第個圖形的小圓數(shù)量個，
則第8個圖形的小圓數(shù)量個故選：D．
變式1．（2024·四川德陽·三模）用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，其中第①個圖案用了7個圓點(diǎn)，第②個圖案用了10個圓點(diǎn)，第③個圖案用了14個圓點(diǎn)，第④個圖案用了19個圓點(diǎn)，…，按照這樣的規(guī)律擺放，則第8個圖案中共有圓點(diǎn)的個數(shù)是（　　）

A．40 B．49 C．50 D．52
【答案】B
【分析】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論，利用規(guī)律解決問題．
【詳解】觀察圖形可知，第1個圖形共有圓點(diǎn)個；
第2個圖形共有圓點(diǎn)個；第3個圖形共有圓點(diǎn)個；
第4個圖形共有圓點(diǎn)個；…；
第n個圖形共有圓點(diǎn)個；
∴第8個圖案中共有圓點(diǎn)的個數(shù)是．故選：B．
變式2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，，按此歸路排列下去，第個圖形中圓的個數(shù)是（ ）個

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了圖形的變換規(guī)律，根據(jù)圖形得出第個圖形中圓的個數(shù)是進(jìn)行解答即可求解，根據(jù)圖形的排列規(guī)律得到第個圖形中圓的個數(shù)是是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，
第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，
可得第個圖形中圓的個數(shù)是， ∴第個圖形中圓的個數(shù)為，故選：．
考點(diǎn)6、圖形的規(guī)律（指數(shù)類）
例1．（2024·山東威海·一模）如圖，將一張邊長為1的正方形紙片分割成7部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推，則．借助圖形，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查圖形的變化類，根據(jù)題意可發(fā)現(xiàn)各部分面積的變化規(guī)律，再根據(jù)圖形可知陰影部分的面積和部分⑥的面積相等，從而根據(jù)規(guī)律，即可求解．
【詳解】解：依題意，故選：B．
變式1．（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）探索下列式子的規(guī)律：，，，…，請計(jì)算： ．
【答案】
【分析】本題考查了整式的規(guī)律探究．根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
由題意可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：，即，，，……，，將等式左右同時(shí)相加得，，即，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：∵，，，
∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：，
∴，，，……
，，將等式左右同時(shí)相加得，，
∴，
解得，，故答案為：．
變式2．（2023·安徽安慶·校考二模）用若干個“○”與“▲”按如圖方式進(jìn)行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫完整：
圖1 圖2 圖3 圖4
○的個數(shù) 3 9 21 ______
▲的個數(shù) 1 4 10 ______
(2)根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫出圖中“○”與“▲”的個數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)45，22(2)圖n中，○的個數(shù)，▲的個數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)圖形總結(jié)規(guī)律，直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）即可得到規(guī)律．
【詳解】（1）解：圖1，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，
圖2，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，
圖3，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，
圖4，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，故答案為：45，22；
（2）解：由（1）得到規(guī)律，圖n，○的個數(shù)，▲的個數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查探求規(guī)律的問題，能夠結(jié)合圖形的數(shù)目探求規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)7、循環(huán)規(guī)律類問題
例1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法．干支是天干和地支的總稱，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十個符號叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二個符號叫地支．把干支（天干＋地支）順序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十為一周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄，這就是俗稱的“干支表”．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
如2024年為甲辰年．依據(jù)上述規(guī)律推斷，1949年應(yīng)為（ ）
A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年
【答案】B
【分析】本題主要考查了周期性問題，分別計(jì)算天干與地支是本題解題的關(guān)鍵．
天干年為一周期，地支年為一周期，計(jì)算出從年到年過了多少年，然后進(jìn)行解答．
【詳解】解：(年),，，
∴天干為己，地支為丑，∴1949年應(yīng)為己丑年.故選: B．
變式1．（23-24七年級·江蘇·假期作業(yè)）計(jì)算：，…，歸納各計(jì)算結(jié)果中的個位數(shù)字的規(guī)律，猜測的個位數(shù)是 ．
【答案】4
【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類以及尾數(shù)特征，根據(jù)尾數(shù)的變化找出計(jì)算結(jié)果中的個位數(shù)字循環(huán)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)計(jì)算結(jié)果中的個位數(shù)字的變化，可得出計(jì)算結(jié)果中的個位數(shù)字的規(guī)律為4、0、8、2依次循環(huán)，結(jié)合余1，可得出的個位數(shù)字．
【詳解】解：∵，…，
∴計(jì)算結(jié)果中的個位數(shù)字按4、0、8、2依次循環(huán)．
∵余1，∴的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同．故答案為：4．
變式2．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有一列數(shù)，，，，，，，對于任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個數(shù)的和，如果，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個數(shù)的和求得到分別是多少，即可找出規(guī)律，求得答案.
【詳解】解：任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個數(shù)的和，，
，，，，，.
每6個數(shù)為一循環(huán)，且6個數(shù)的和為0，
.故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，學(xué)生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力.涉及到有理數(shù)的加法法則，解題的關(guān)鍵在于分析題意，找到規(guī)律并進(jìn)行推導(dǎo).
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時(shí)間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
【答案】D
【分析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答．
本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類問題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】這一列數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)為一組，每一組前2個數(shù)為奇數(shù)，第3個數(shù)為偶數(shù)．
由于，即前2024個數(shù)共有674組，且余2個數(shù)，
∴奇數(shù)有個．故選：D
2．（2024·廣東河源·一模）如圖是一個俄羅斯方塊游戲，將正整數(shù)至按一定規(guī)律排列如圖表．通過按鍵操作平移或旋轉(zhuǎn)圖表中帶陰影的方框，方框中三個數(shù)的和可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了列代數(shù)式以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，設(shè)方框中中間的數(shù)字為，則另外兩個數(shù)分別為，或，，將三個數(shù)相加，可得出三個數(shù)之和為，進(jìn)而可得出三個數(shù)之和為的倍數(shù)，即可得出結(jié)論．根據(jù)各數(shù)之間的關(guān)系，找出三個數(shù)之和為3的倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)方框中中間的數(shù)字為，則另外兩個數(shù)分別為，或，，
∴三個數(shù)之和為或，∴三個數(shù)之和為的倍數(shù)，
又∵，，，，
∴方框中三個數(shù)的和可能是．故選：B．
3．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）如圖所示的是2024年2月份的月歷，其中“型”、“十字型”兩個陰影圖形分別覆蓋其中五個數(shù)字（“型”、“十字型”兩個陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設(shè)“型”覆蓋的五個數(shù)字之和為，“十字型”覆蓋的五個數(shù)字之和為．若，則的最大值為（ ）

A．39 B．44 C．65 D．71
【答案】B
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，整式的加減的應(yīng)用，設(shè)“型”中間數(shù)為，“十字型”中間數(shù)為，則，求出，表示出，由圖形可得：的最大值為，此時(shí)，代入計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)“型”中間數(shù)為，“十字型”中間數(shù)為，
由題意得：,,
∵，∴，∴，∴，
由圖形可得：的最大值為，此時(shí)，
∴，∴的最大值為，故選：B．
4．（23-24八年級·廣東廣州·期中）如圖，每一幅圖中有若干個大小不同的平行四邊形，第1幅圖中有1個平行四邊形；第2幅圖中有3個平行四邊形；第3幅圖中有5個平行四邊形，…，按此規(guī)律排列下去，第n幅圖中有平行四邊形(　　)
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【分析】本題考查了圖形的規(guī)律探究．根據(jù)每一個圖案比前一個多個平行四邊形可得，第幅圖中共有個平行四邊形，由此可計(jì)算此題的結(jié)果．
【詳解】解：第幅圖中有個；第幅圖中有(個)
第幅圖中有(個)；可以發(fā)現(xiàn)，每個圖形都比前一個圖形多個平行四邊形，
所以第幅圖有個平行四邊形．故選：B．
5．（2024·浙江溫州·二模）在二維碼中常用黑白方格表示數(shù)碼1和0，若下圖表示1011，則表示0110的圖是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了圖形規(guī)律，理解圖示，掌握圖形規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)材料提示，黑色的為1，白色的為0，由此即可求解．
【詳解】解：根據(jù)材料提示，黑色的為1，白色的為0，
∴的圖形規(guī)律為：白黑黑白，故選：D ．
6．（2024·山東濟(jì)寧·二模）數(shù)據(jù)，□，，，，…是按照一定規(guī)律有序排列的，則“□”里應(yīng)填的數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，觀察數(shù)據(jù)，原數(shù)據(jù)的分子部分都是質(zhì)數(shù)，故所求的分子為，分母都是合數(shù)，分別為，，，，，則所求分母為，據(jù)此即可求解．
【詳解】原數(shù)據(jù)為：，□，，，，…
∵原數(shù)據(jù)的分子部分都是質(zhì)數(shù)，故所求的分子為，分母都是合數(shù)，分別為，，，，，則所求分母為，∴□為故選：A．
7．（2024·遼寧錦州·二模）如圖，下列各圓中三個扇形上標(biāo)記的數(shù)字之間都有相同的規(guī)律，則根據(jù)此規(guī)律，可以得出圖中b的值為( )
A．143 B．140 C．123 D．120
【答案】A
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，先求出前幾個數(shù)之間的關(guān)系，找到規(guī)律為，再代入計(jì)算．
【詳解】解：，，，，，
第個圓中規(guī)律為：，
當(dāng)時(shí)，，故選：A．
8．（2024·重慶渝中·二模）如圖，是由相同的小圓圈按照一定規(guī)律擺放而成的，第（1）個圖形中小圓圈的個數(shù)是 7個，第（2）個圖形中小圓圈的個數(shù)是11個，第（3）個圖形中小圓圈的個數(shù)是15個，則第（10）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（　）
A．43 B．47 C．51 D．55
【答案】A
【分析】本題考查了圖形規(guī)律探索，由題意知，其規(guī)律是每次增加4個圓圈，依此規(guī)律則可求得第（10）個圖形中小圓圈的個數(shù)．找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：第（1）個圖形中小圓圈的個數(shù)是 7個，
第（2）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（個），
第（3）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（個），
第（4）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（個），……，
則第（10）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（個）；故選：A．
9.（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖所示的三角形數(shù)陣解釋二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)，這一數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)比歐洲早近年，此三角形被后人稱為“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，兩邊上的數(shù)都是，其余每個數(shù)是它上方的（左右）兩數(shù)之和．如，，．．．，若從第三行的“”開始，按箭頭所指依次構(gòu)成一列數(shù)：，，，，，，，，，，，則這列數(shù)中第個數(shù)是（ ）
A．56 B．42 C．28 D．8
【答案】A
【分析】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，由題意得出第24個數(shù)在從開始的第行的第個數(shù)，觀察可得由從開始的第行的數(shù)依次為，，，，，，，由此即可得出答案．
【詳解】解：，，
第24個數(shù)在從開始的第行的第個數(shù)，
觀察可得：由從開始的第行的數(shù)依次為：，，，，，
由從開始的第行的數(shù)依次為：，，，，，，
由從開始的第行的數(shù)依次為，，，，，，，第24個數(shù)為，故選：A．
10．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）為了了解全校學(xué)生的視力情況，將初三年級的500名同學(xué)從1到500編號，并按編號從小到大的順序站成一排報(bào)數(shù)1、2、3…，報(bào)到非3的倍數(shù)的退下，3的倍數(shù)的留下，留下的同學(xué)從編號小的開始繼續(xù)報(bào)數(shù)1、2、3…，報(bào)到非3的倍數(shù)的退下，3的倍數(shù)的留下，…，如此繼續(xù)，最后留下一個同學(xué)，則最后留下的這個同學(xué)編號是（ ）
A．3 B．252 C．243 D．498
【答案】C
【分析】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律探究，先分析得到經(jīng)過n輪后（n為正整數(shù)），剩下同學(xué)的編號為；由，可得，從而可得答案．
【詳解】解：由題意第一輪剩下：，，，，，，
第二輪剩下：，，，，∴經(jīng)過n輪后（n為正整數(shù)），剩下同學(xué)的編號為；
∵，即，∴當(dāng)圓圈只剩一個人時(shí)，，∴這個同學(xué)的編號為．故選C．
二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（24-25七年級上·浙江·假期作業(yè)）按照下面的方式堆放小球，第5堆有 個小球，第n堆有 個小球．
【答案】 15
【分析】本題考查了圖形規(guī)律探索，第一堆1層1個；第二堆2層3個；第三堆3層6個；第四堆4層10個；根據(jù)每一堆的層數(shù)和個數(shù)，發(fā)現(xiàn)可以用梯形的面積公式來計(jì)算出個數(shù)，上底是1，下底與它的堆數(shù)相同，高與底相同，據(jù)此求出第5堆和第n堆小球的個數(shù)即可．
【詳解】解：由圖可知：第一堆1層1個；第二堆2層3個；第三堆3層6個；第四堆4層10個，
則第n堆小球共有：，
第五堆小球共有：（個），故答案為：15；．
12．（24-25七年級上·重慶·假期作業(yè)）將自然數(shù)列按照如圖方式排列，如果2算作是第一次拐彎，那么第50次拐彎的數(shù)是 ．
【答案】651
【分析】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖找出拐彎外數(shù)的數(shù)與次數(shù)的規(guī)律，然后再根據(jù)規(guī)律解答．
第一拐彎處是2，第二次拐彎處是3，第三次拐彎處是5，第四次拐彎處是7，第五次拐彎處是10…可以得到n個拐彎處的數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．第50次為偶數(shù)，代入即可計(jì)算出此處拐彎處的數(shù)．
【詳解】解：由分析可知，第50次拐彎處的數(shù)為：
．故答案為：651．
13．（2024·四川成都·中考真題）在綜合實(shí)踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組對這個自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于的取法種數(shù)進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，即；當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，即；當(dāng)時(shí)，可得；……．若，則的值為 ；若，則的值為 ．
【答案】 9 144
【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，理解題意，能夠從特殊到一般，得到當(dāng)n為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)的不同取法是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)前幾個n值所對應(yīng)k值，找到變化規(guī)律求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有，，，四種取法，則；
故當(dāng)時(shí)，有，，，，，六種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有，，，，，，，，九種取法，則；
依次類推，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，故答案為：9，144．
14．（2024·黑龍江大慶·三模）如圖的數(shù)字三角形被稱為“楊輝三角”，圖中兩條平行線之間的一列數(shù)：，，，，，…，我們把第一個數(shù)記為，第二個數(shù)記為，第三個數(shù)記為，…第個數(shù)記為，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確歸納出該組數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律．
通過歸納出第個數(shù)的表達(dá)式為進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意得，
，
，
，
，
，
第個數(shù)記為，
故答案為：．
15．（2024·山東臨沂·二模）把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：
第組：，；
第組：，，，；
第組：，，，，，；
第組：，，，，，，，；
現(xiàn)用表示第組從左往右數(shù)第個數(shù)，則表示的數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律的探究，根據(jù)已知條件數(shù)字的排列找到規(guī)律，用含的代數(shù)式表示出第組最后一個數(shù)，判斷出第組最后一個奇數(shù)，進(jìn)而可得答案，找到數(shù)字類規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】依題意得：第組中奇數(shù)的個數(shù)有個，
∴第組最后一個奇數(shù)為：，
∴當(dāng)時(shí)，第組最后一個奇數(shù)為：，
當(dāng)時(shí)，第組從左往右奇數(shù)依次是為：，，，，，，
則表示的數(shù)是，故答案為：．
16．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）觀察下列圖形：第1個圖形有6根小棍，第2個圖形有15根小棍，第3個圖形有27根小棍…，則第10個圖形中有 根小棍．
【答案】195
【分析】本題考查了圖形規(guī)律探索：先觀察第1、2、3這三個圖形，得出第個圖形的小棍的數(shù)量是，再把代入，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．
【詳解】解：結(jié)合圖形，得出
第1個圖形的小棍的數(shù)量是；第2個圖形的小棍的數(shù)量是，
第3個圖形的小棍的數(shù)量是，
以此類推：得出第個圖形的小棍的數(shù)量是，
，，
當(dāng)時(shí)，則，故答案為：195．
17．（2024·山東泰安·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，后人也將下表稱為“楊惲三角”．則：中，第三項(xiàng)系數(shù)為 ．





【答案】
【分析】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意得到第三項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律即可解答，能夠根據(jù)所給楊輝三角，觀察得出系數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得，的第三項(xiàng)系數(shù)為，的第三項(xiàng)系數(shù)為，
的第三項(xiàng)系數(shù)為，的第三項(xiàng)系數(shù)為，，
的第三項(xiàng)系數(shù)為，故答案為：．
18．（2024·四川成都·三模）在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)稱為質(zhì)數(shù)，否則稱為合數(shù)．若一個偶數(shù)可以寫成兩個奇合數(shù)的和，則稱這個偶數(shù)為“佳偶數(shù)”，例如：，則24和30都稱為“佳偶數(shù)”．最大的一個非“佳偶數(shù)”是 ．
【答案】38
【分析】本題是自定義類規(guī)律題，主要考查奇數(shù)偶數(shù)和合數(shù)的概念．
通過理解奇合數(shù)的定義，然后通過舉例和推理，找出不能表示為兩個奇合數(shù)之和的最大偶數(shù)．
【詳解】奇合數(shù)有：，以上分別為：，
可以知道：為兩個奇數(shù)之積，一定是奇合數(shù)，
所以大于等于 40 的偶數(shù)都能寫成兩個奇合數(shù)之和，
而， 均不為兩個奇合數(shù)之和，所以 38 即為不能寫成兩個奇合數(shù)之和的最大偶數(shù)；
故最大的一個非“佳偶數(shù)”是最大的一個是 38 ．故答案為：38．
19．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，觀察給出的四個點(diǎn)陣，表示每個點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個數(shù)，按照圖形中點(diǎn)的個數(shù)的變化規(guī)律，猜想第個點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個數(shù)為 ．

【答案】/
【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類．觀察前面幾個圖形中點(diǎn)的排列規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)后面一個圖形比前一個多4個點(diǎn)，據(jù)此求解即可．
【詳解】∵第1個點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個數(shù)，第2個點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個數(shù)，
第3個點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個數(shù)，第4個點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個數(shù)，…
∴第個點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個數(shù)．故選答案為：．
20．（23-24七年級下·山東青島·期中）在2024年迎新聯(lián)歡會上，數(shù)學(xué)老師和同學(xué)們做了一個游戲．她在A，B，C三個盤子里分別放了一些小球，，，記為．游戲規(guī)則如下：三個盤子中的小球數(shù)，則從小球最多的一個盤子中拿出兩個，給另外兩個盤子各放一個，記為一次操作．若，則 ， ．
【答案】
【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律．根據(jù)題意先列出前10個數(shù)列，得出從開始每3次為一個周期循環(huán)的規(guī)律，據(jù)此可得答案．
【詳解】解： ，，，，
，，，
，，，……，從開始每3次為一個周期循環(huán)，
，，故答案為：，．
三、解答題（本大題共5小題，共40分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
21．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考三模）材料題：請仔細(xì)閱讀以下信息，試著給出你的答案和解答過程這里有三組數(shù)：①，，，；②，，，，；③，，，
①②兩組是由有限個數(shù)組成的，③是由無限個數(shù)組成的，它們的共同點(diǎn)：都是按一定次序排成的一列數(shù)，稱之為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個數(shù)列的第項(xiàng)或首項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，，第項(xiàng)，一般記成，，這三組數(shù)列都是從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個常數(shù)就叫公差，公差通常用字母表示．
(1)如數(shù)列①中數(shù)列②中那么數(shù)列③中 ______ ．
(2)又如，， ______ ；
(3)由此可得到 ______ ；(4)由（3）的結(jié)論你能否求得此等差數(shù)列，，，第項(xiàng)與第項(xiàng)．
【答案】(1)(2)(3)(4)第項(xiàng)為：，第項(xiàng)為：
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)所給的式子進(jìn)行求解即可；
（3）結(jié)合（2）進(jìn)行總結(jié)即可；（4）利用（3）的結(jié)論進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：，，中的，故答案為：；
（2）解：，，
，故答案為：；
（3）解：由（2）得：，故答案為：；
（4）解：，，，第項(xiàng)為：，第項(xiàng)為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是對由所給的式子總結(jié)出存在的規(guī)律．
22．（2023·江蘇泰州·七年級校考期中）用同樣大小的兩種正方形紙片，按下圖方式拼正方形．
(1)圖3中共有個小正方形，圖4中共有個小正方形，…，按圖示方式繼續(xù)拼下去，圖10中（未畫出）共有個小正方形；
(2)以此類推，圖n中（未畫出）共有個小正方形；
(3)借助以上結(jié)論計(jì)算：．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）觀察圖形根據(jù)已知圖形得出第2個圖形比第1個圖形多：個；第3個圖形比第2個圖形多：個；第4個圖形比第3個圖形多：個；即可得出后面一個圖形比第前個圖形多的個數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，寫出式子即可求解．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）圖3中共有個小正方形，圖4中共有個小正方形，…，按圖示方式繼續(xù)拼下去，圖10中（未畫出）共有個小正方形；故答案為：；
（2）∵第2個圖形比第1個圖形多：個；第3個圖形比第2個圖形多：個；
第4個圖形比第3個圖形多：個；
∴第n個圖形比第個圖形多：個；第個圖中有個小正方形，
此類推，圖n中（未畫出）共有個小正方形故答案為：；
（3）解：∵，∴
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
23．（2024·安徽宣城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的面積均為1．將左圖中黑色的小正方形移動，得到右邊拼成的長方形，根據(jù)兩種圖形方法計(jì)算小正方形的個數(shù)；如圖得出以下等式：
(1)請寫出第3個等式：__________；(2)猜想第n個等式為：__________（用含n的等式表示）；
(3)當(dāng)n為多少時(shí)，左圖中的最底端有2024個小正方形？此時(shí)左圖中共有多少個小正方形？
【答案】(1)(2)(3)，共有1025156個小正方形
【分析】（1）根據(jù)給出的等式寫出答案即可；（2）根據(jù)這3個等式寫出答案即可；
（3）因?yàn)樽畹锥擞?024個小正方形，所以，得出n的值，再計(jì)算有多少個小正方形即可．
【詳解】（1）解： ；
（2）解：；
（3）解：因?yàn)樽畹锥擞?024個小正方形，所以，解得：
所以（個）
答：，共有1025156個小正方形．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形的規(guī)律，根據(jù)給出的式子找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
24．（2024·北京通州·七年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個長方形的寬為1，長為的紙片，先剪去一個正方形，余下一個長方形，在余下的長方形紙片中再剪去一個正方形，又余下一個長方形……，依此類推，如圖是剪3次后余下的長方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應(yīng)的值，請畫出（與示意圖不同）剪3次后余下的長方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應(yīng)的值．
【答案】見解析
【分析】有四個值：當(dāng)時(shí)，三個最大的正方形邊長都為1，余下的正方形邊長為1；當(dāng)時(shí)，第一個和第二個正方形邊長都為1，第三個正方形邊長為，余下的正方形邊長為；當(dāng)時(shí)，第一個正方形邊長為1，第二個正方形邊長為，第三個正方形邊長為，余下的正方形邊長為；當(dāng)時(shí)，第一個正方形邊長為1，第二個和第三個正方形邊長都為，余下的正方形邊長為．
【詳解】①如圖，
；
②如圖，
；
③如圖，
；
④如圖，
．
【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是：依次找最大正方形，且最后余下的也是一個正方形；運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化．
25．（2024·廣東·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料并完成
將邊長為n（n≥2）的正方形四條邊分別n等分，連接對應(yīng)的各分點(diǎn)，則圖形中一共有多少個正方形？
問題探究：為了解決上面的問題，我們先研究特殊的情形，再逐次遞進(jìn)最后得出結(jié)論．
探究一：將一個邊長為2的正方形四條邊分別平分，連接各邊對應(yīng)的中點(diǎn)，則圖形中一共有多少個正方形？
如圖1，連接邊長為2的正方形四條邊的中點(diǎn)，邊長為1的正方形有22＝4個；邊長為2的正方形有12＝1個，總共有12+22＝1+4＝＝5個正方形．
探究二：將一個邊長為3的正方形四條邊分別三等分，連接各邊對應(yīng)的三等分點(diǎn)，則圖形中一共有多少個正方形？
如圖2，連接邊長為3的正方形四條邊對應(yīng)的三等分點(diǎn)，邊長為1的正方形有32＝9個；邊長為2的正方形有22＝4個；邊長為3的正方形有12＝1個，總共有12+22+32＝1+4+9＝＝14個正方形．
(1)探究三：請你仿照上面的方法，探究將邊長為4的正方形四條邊四等分，連接各邊對應(yīng)的四等分點(diǎn)，則圖形中一共有多少個正方形？（在圖3中畫出示意圖，并寫出探究過程）
(2)探究四：將邊長為5的正方形四條邊五等分，連接各邊對應(yīng)的五等分點(diǎn)，則圖形中一共有　 　個正方形．
(3)問題解決：將邊長為n（n≥2）的正方形四條邊分別n等分，連接各邊對應(yīng)的n等分點(diǎn)，則圖形中一共有　 　個正方形？(4)應(yīng)用拓展：計(jì)算：1+3+8+24+…+899＝　 　．
【答案】(1)30個，圖見解析(2)55(3)(4)9411
【分析】（1）先畫出圖形，再根據(jù)探究二的思路即可得；（2）根據(jù)探究三的思路得出規(guī)律即可解決問題；
（3）根據(jù)探究一、二、三歸納類推出一般規(guī)律即可得；
（4）將原式轉(zhuǎn)化為，再利用規(guī)律計(jì)算即可得．
【詳解】（1）解：畫圖如下：
由圖可知，邊長為1的正方形有個；邊長為2的正方形有個；邊長為3的正方形有個，邊長為4的正方形有個，則總共有個正方形．
（2）解：將邊長為5的正方形四條邊五等分，連接各邊對應(yīng)的五等分點(diǎn)，則圖形中正方形的個數(shù)為（個），故答案為：55．
（3）解：當(dāng)時(shí)，圖形中正方形的個數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，圖形中正方形的個數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，
歸納類推得：將邊長為的正方形四條邊分別等分，連接各邊對應(yīng)的等分點(diǎn)，圖形中一共有正方形的個數(shù)為，故答案為：．
（4）解：原式
，故答案為：9411．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑