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專題4.5.整式的加減
1、掌握添括號與去括號；掌握整式的加減的步驟；
2、掌握化簡求值的步驟；
3、掌握整式比較大小的方法；
4、掌握整式在實際中的應用。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 2
考點1、去括號 2
考點2、添括號 3
考點3、整式的加減運算 4
考點4、多項式與多項式和差的結果 5
考點5、整式的化簡求值 6
考點6、整式的比較大小 7
考點7、整式的加減（不含某項） 8
考點8、整式的加減（遮擋問題） 9
考點9、整式的實際應用 10
考點10、整式中的新定義 12
模塊3：能力培優 14
去（添）括號法則：
1）括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變。
2）括號前是“-”，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里各項都改變符號。
3）括號前有系數的，去括號后，括號內所有因素都要乘此系數。
注意：去多重括號，可以先去大括號，在去中括號，后去小括號；也可以先從最內層開始，先去小括號，在去中括號，最后去大括號。可依據簡易程度，選擇合適順序。
整式的加減運算實際就是合并同類項的過程，具體步驟為：
①將同類項找出，并置與一起；②合并同類項。
注意：（1）當括號前面有數字因數時，應先利用乘法分配律計算，然后再去括號，注意不要漏乘括號內的任一項。（2）合并同類項時，只能把同類項合并，不是同類項的不能合并，合并同類項實際上就是有理數的加減運算。合并同類項要完全、徹底，不能漏項。
考點1、去括號
例1．（2022秋·浙江杭州·七年級期中）下列各項去括號所得結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據去括號法則，如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項 的符號與原來符號相反．
【詳解】解：A、，故A不正確，不符合題意；
B、，故B正確，符合題意；
C、，故C不正確，不符合題意；
D、，故D不正確，不符合題意；故選：B．
【點睛】本題主要考查的用去括號法則進行運用，解題的關鍵是掌握如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項 的符號與原來符號相反．特別注意符號的改變．
變式1．（2023秋·山東臨沂·七年級統考期末）化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據去括號法則進行計算即可求解．
【詳解】解：，故選：D．
【點睛】本題考查了去括號，掌握去括號法則是解題的關鍵．括號前面是加號時，去掉括號，括號內的算式不變，括號前面是減號時，去掉括號，括號內加號變減號，減號變加號，法則的依據實際是乘法分配律．
變式2．（2023秋·廣東深圳·七年級統考期末）下列各式去括號正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據去括號的法則對每一項進行分析，即可得出答案．
【詳解】解：A．，故選項A錯誤；
B．，故選項B正確；
C．，故選項C錯誤；
D．，故選項D錯誤；故選：B．
【點睛】本題考查去括號的方法：去括號時，運用乘法的分配律，先把括號前的數字與括號里各項相乘，再運用括號前是“”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“”，去括號后，括號里的各項都改變符號．
考點2、添括號
例1．（2023秋·廣東七年級期中）下列各式中添括號正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據添括號法則，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、，選項錯誤，不符合題意；
B、，選項錯誤，不符合題意；C、，選項錯誤，不符合題意；
D、，選項正確，符合題意；故選D．
【點睛】本題考查添括號．熟練掌握添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號，是解題的關鍵．
變式1．（2023秋·湖北武漢·八年級統考期末）等式，括號內應填上的項為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據填括號的法則解答即可．
【詳解】根據填括號的法則可知，原式故選：B．
【點睛】本題考查添括號的方法：添括號時，若括號前是“”，添括號后，括號里的各項都不改變符號；若括號前是“”，添括號后，括號里的各項都改變符號．
變式2．（2023秋·河南洛陽·七年級統考期末）添括號：（______）．
【答案】/
【分析】根據添括號法則即可直接得出答案．
【詳解】解：，故答案為：．
【點睛】本題考查了添括號法則：所添括號前面是加號，括到括號里面的各項都不變號；所添括號前面是減號，括到括號里面各項都要改變正負號；添括號可以用去括號進行檢驗，熟練掌握法則是解題的關鍵．
考點3、整式的加減運算
例1．（2023·北京昌平·七年級校聯考期中）已知，，則的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據整式的加減計算法則求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，故選C．
【點睛】本題主要考查了整式的加減計算，熟知整式的加減計算法則是解題的關鍵．
變式1．（2024·山西呂梁·七年級統考期末）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】去括號，合并同類項即可得出結果．
【詳解】解：，故選：B．
【點睛】本題考查整式的加減運算．熟練掌握去括號，合并同類項法則，是解題的關鍵．
變式2．（2023·山東·七年級專題練習）多項式M加上多項式，粗心同學卻誤算為先減去這個多項式，結果得，則多項式M是____________．
【答案】
【分析】根據被減數=減數+差計算即可．
【詳解】解：由題意得，．
故答案為：．
【點睛】本題考查了整式的加減，整式加減的運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號先去括號，然后再合并同類項．
考點4、多項式與多項式和差的結果
例1．（2024·貴州遵義·七年級校考階段練習）若A是一個三次多項式，B是一個四次多項式，則一定是（ ）
A．三次多項式 B．七次多項式 C．四次多項式或單項式 D．四次七項式或三次多項式
【答案】C
【分析】由題意根據合并同類項法則和多項式的加減法法則，即可得出答案．
【詳解】解：多項式相加，即合并同類項，合并同類項時只是把系數相加減，字母和字母的指數不變；
由于多項式的次數是“多項式中次數最高的項的次數”，A是一個三次多項式，B是一個四次多項式，因此一定是四次多項式或單項式．故選：C．
【點睛】本題考查多項式的合并同類項，解題關鍵是掌握合并同類項時只是把系數相加減，字母和字母的指數不變，多項式的次數是“多項式中次數最高的項的次數”．
變式1．（2024·陜西西安·七年級統考期中）若A是一個四次多項式，B也是一個四次多項式，則是一個（　　）
A．八次多項式 B．四次多項式 C．次數不超過四次的多項式 D．次數不超過四次的代數式
【答案】D
【分析】利用整式的運算法則判斷即可得到結果．
【詳解】解：若A是一個四次多項式，且B也是一個四次多項式，
則一定是不高于四次的多項式或單項式．故選：D．
【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
變式2．（2023秋·廣東廣州·七年級校考期末）一個五次三項式，加一個五次三項式，可能是（ ）
A．十次六項式 B．十次三項式 C．六次二項式 D．四次二項式
【答案】D
【分析】根據整式的加減和多項式的定義解答即可．
【詳解】解：∵合并同類項時，把同類項的系數相加，所得和作為合并后的系數，字母和字母的指數不變，
∴一個五次三項式，加一個五次三項式，所得整式的次數不可能高于五次，故A，B，C不正確，D正確，
如：．故選D．
【點睛】本題考查了整式的加減和多項式的定義，熟練掌握整式的加減法法則是解答本題的關鍵．
考點5、整式的化簡求值
例1．（2023秋·四川成都·七年級統考期末）先化簡，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】先去括號，再合并同類項，即可將原式化簡，再將x，y的值代入求解即可得到答案．
【詳解】解：
，，原式 ．
【點睛】本題考查了整式加減中的化簡求值，包含整式的加減法、去括號、合并同類項等知識點，以及有理數的乘方，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．
變式1．（2023·廣東·七年級統考期末）先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可．
【詳解】解：
當時，原式．
【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，正確計算是解題的關鍵．
變式2．（2022秋·山西呂梁·七年級統考期末）先化簡，再求值：，其中，．
【答案】；28
【分析】根據整式運算法則進行化簡，再代入求值即可．
【詳解】解：，
當，時，原式．
【點睛】本題考查了整式的化簡求值，解題關鍵是熟練運用整式加減法則進行化簡，代入數值后正確計算．
考點6、整式的比較大小
例1．（2023秋·廣西河池·七年級統考期末）若，，則A、B的大小關系（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】A
【分析】利用作差法比較A與B的大小即可．
【詳解】解：，
∵，∴，∴，即，故選：A．
【點睛】本題考查了整式的加減，以及非負數的性質，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
變式1．（2022秋·云南楚雄·七年級校考階段練習）若，，則和的大小關系是（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】D
【分析】利用作差法比較M與N的大小即可．
【詳解】解：∵，
∴==，∴．故選：D．
【點睛】本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實質上就是合并同類項是解答此題的關鍵．
變式2．（2023秋·河北保定·七年級統考期末）已知：，．則比較A與B的大小（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【分析】根據整式的加減計算法計算出，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，故選A．
【點睛】本題主要考查了整式的加減計算，正確計算是解題的關鍵．
考點7、整式的加減（不含某項）
例1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）當m=________時，關于x的多項式 與多項式的和中不含項．
【答案】
【分析】先將兩個多項式求和，根據和中不含項,即項的系數為0，據此求解即可．
【詳解】解：，
∵關于x的多項式 與多項式的和中不含項，
∴，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查合并同類項，不含某一項，即合并后此項系數為0．
變式1．（2022秋·湖南益陽·七年級統考階段練習）已知，．若計算的結果與字母b無關，則a的值是______．
【答案】/
【分析】先化簡，再代入，，進一步化簡后，令含b的項的系數為0即可．
【詳解】解：====；
∵，，
∴上式= ==，
∵的結果與字母b無關，∴，∴；故答案為：．
【點睛】本題考查了整式的化簡求值，解題關鍵是理解當整式中不含某個字母時，那么含該字母的項合并后系數為0．
變式2．（2022秋·河南新鄉·七年級校考期末）已知關于x，y的多項式與的差不含二次項，求的值（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【分析】先求出兩個多項式的差，再根據差不含二次項，二次項系數為0得出方程，即可得出答案
【詳解】解：
∵關于x，y的多項式與差不含二次項，
∴∴∴故選：A
【點睛】此題主要考查了整式的加減運算，正確合并同類項是解題關鍵．
考點8、整式的加減（遮擋問題）
例1．（2023·河北邯鄲·二模）一道求值題不小心弄污損了，嘉嘉隱約辨識：化簡，其中．系數“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的數值看成2，求上述代數式的值；
(2)若無論m取任意的一個數，這個代數式的值都是，請通過計算幫助嘉嘉確定“”中的數值．
【答案】(1)，(2)4
【分析】（1）化簡式子，再代入數值計算即可；（2）設中的數值為，則原式．根據題意可得方程，求解即可得到答案．
【詳解】（1）原式．
當時，原式；
（2）設中的數值為，則原式．
無論取任意的一個數，這個代數式的值都是，
．．答：“”中的數是4．
【點睛】此題考查的是整式的加減，掌握運算法則是解決此題關鍵．
變式1．（2023秋·河北石家莊·七年級統考期末）以下是嘉淇做填空題的結果：，已知她的計算結果是正確的，但“”處被墨水弄臟看不清了，“”處應是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意進行整式的加減運算即可．
【詳解】解：根據題意得：
，
“”處應是，故選：B．
【點睛】題目主要考查整式的加減運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
變式2．（2023秋·山西大同·七年級校考期末）疫情期間，亮亮的父母只要有時間就陪孩子一起完成家庭作業，在某天晚上，亮亮準備完成作業：化簡時發現“”處系數“ ”印刷不清楚．(1)他把“ ”猜成3，請你幫亮亮化簡：；
(2)爸爸說：“你猜錯了，我們看了標準答案的結果是常數．”請你通過計算說明來幫助亮亮得到原題中“ ”是幾．
【答案】(1)；(2)6．
【分析】（1）去括號，合并同類項即可得解；
（2）設看不清的數字為a，然后去括號合并同類項，再由結果為常數，即可得出a．
【詳解】（1）解：（1）原式；
（2）設看不清的數字為a，則原式
；
因為結果為常數，所以，解得：， 即原題中的數為6．
【點睛】此題主要考查整式的加減運算，熟練掌握，即可解題．
考點9、整式的實際應用
例1．（2023秋·浙江溫州·七年級統考期末）2022年11月3日，中國空間站“”字基本構型在軌組裝完成，“”寓意：睿智，卓越．圖1是用長方形紙板做成的四巧板（已知線段長度如圖所示），用它拼成圖2的“”字型圖形，則“”字型圖形的周長為______．（用含，的式子表示）
【答案】
【分析】結合平移，根據長方形周長公式計算即可求解．
【詳解】解：“”字型圖形的周長為．故答案為：．
【點睛】本題考查了列代數式，關鍵是熟練掌握長方形周長公式和圖形的平移．
變式1．（2023·江蘇鎮江·七年級校考期中）已知甲，乙，丙，丁，戊五位同學依次取糖果，按先后順序依次遞減相同的量來取，正好取完．若丙同學取了15顆糖果，則共有糖果（ ）顆
A．75 B．70 C．65 D．60
【答案】A
【分析】假設依次遞減的數量是n，再列式合并即可．
【詳解】解：設依次遞減的數量是n，則甲，乙，丙，丁，戊五位同學取糖果的數量依次是棵，棵，棵，棵，棵，
∴糖果總數是：（棵），故選：A．
【點睛】本題考查整式的加減法，掌握整式加減法法則是解題的關鍵．
變式1．（2023·河北廊坊·廊坊市第四中學統考一模）如果一個矩形內部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱為“優美矩形”，如圖所示，“優美矩形”的周長為52，則正方形的邊長為（ ）
A．3 B．13 C．6 D．8
【答案】C
【分析】設正方形的邊長為，分別求得，，由“優美矩形”的周長得，列式計算即可求解．
【詳解】解：設正方形的邊長為，
“優美矩形”的周長為52，，
，，，
，，，正方形的邊長為6，故選：C．
【點睛】本題考查整式加減的應用，認真觀察圖形，根據長方形的周長公式推導出所求的答案是解題關鍵．
考點10、整式中的新定義
例1．（2023·重慶渝中·七年級校考階段練習）對任意代數式，每個字母及其左邊的符號（不包括括號外的符號）稱為一個數，如：，其中稱為“數1”，為“數2”，為“數3”，為“數4”，為“數5”，若將任意兩個數交換位置，則稱這個過程為“換位思考”，例如：對上述代數式的“數1”和“數5”進行“換位思考”，得到：，則下列說法中正確的個數是（ ）
①代數式進行一次“換位思考”，化簡后只能得到1種結果
②代數式進行一次“換位思考”，化簡后可能得到5種結果
③代數式進行一次“換位思考”，化簡后可能得到7種結果
④代數式進行一次“換位思考”，化簡后可能得到8種結果
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據括號外面是“”，去括號不改變括號里面式子的符號；括號外面是“”，去括號改變括號里面式子的符號；依此即可求解．
【詳解】解：在代數式中，將任意兩個數交換位置，均不會改變每個數的符號，故化簡后只能得到一種結果，均為，故①正確；
代數式中，有兩種情況：
（1）括號內四個數任意兩個交換位置，化簡后的結果不變，故只有一種結果，為；
（2）當a分別與括號內的四個數換位思考，化簡后得到4種結果分別為：
；；；．
故該代數式共得到5種結果，故②正確；
代數式中，有三種情況：
（1）a與b進行換位思考以及三個數中任意兩個進行換位思考，化簡后只有1種結果，均為：；
（2）a與分別進行換位思考，化簡后得到3種結果，分別為：
；
（3）b與分別進行換位思考，化簡后得到3種結果，分別為：，故該函代數式共得到7種結果，故③正確；
代數式中，有三種情況：
（1）b與c換位思考及d與換位思考，化簡后只有1種結果：；
（2）a分別與b和c換位思考，得到2種結果；分別為：；
（3）a分別與換位思考，得到1種結果為，此結果重復；
（4）b分別與換位思考，得到2種結果，分別為：；
（5）c分別與換位思考，得到2種結果；分別為：；
故該代數式共有7種結果，故④錯誤； 故選：C．
【點睛】本題考查了去括號，屬于新定義題型，關鍵是熟練掌握新定義的運算法則．
變式1．（2023·湖北武漢·校考模擬預測）在多項式中任意加括號，加括號后仍只有減法運算，然后按給出的運算順序重新運算，稱此為“加算操作”，例如，，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的運算結果共有（ ）
A．8種 B．16種 C．24種 D．32種
【答案】B
【分析】根據“加算操作”的原則可知，不會改變前兩項的符號，改變的是后四項的符號，根據題意，畫出示意圖，即可求解．
【詳解】解：依題意，根據“加算操作”的原則可知，不會改變前兩項的符號，改變的是后四項的符號，

共有16種不同結果，故選：B．
【點睛】本題考查了去括號法則，列舉法求所有可能結果，理解題意是解題的關鍵．
變式1．（2023春·重慶沙坪壩·八年級校考期中）對于多項式，在任意一個字母前加負號，稱為“加負運算”，例如：對b和d進行“加負運算”，得到：．規定甲同學每次對三個字母進行“加負運算”，乙同學每次對兩個字母進行“加負運算”，下列說法正確的個數為（ ）
①乙同學連續兩次“加負運算”后可以得到；②對于乙同學“加負運算”后得到的任何代數式，甲同學都可以通過“加負運算”后得到與之相反的代數式；③乙同學通過“加負運算”后可以得到16個不同的代數式
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①乙同學第一次對a和d，第二次對a和e進行加負運算，可得①正確；若乙同學對a和ｂ進行加負運算得：，可得其相反的代數式為，則甲同學對c、d、e進行加負運算，可得與之相反的代數式，同理乙同學可改變字母或或或或或或或或，甲同學都可以通過“加負運算”后得到與之相反的代數式，可得②正確；若固定改變a，乙同學可改變字母或或或；若固定改變b，乙同學可改變字母或或；固定改變c，乙同學可改變字母或；固定改變d，乙同學可改變字母，可得③錯誤，即可．
【詳解】解：①乙同學第一次對a和d進行加負運算得；
第二次對a和e進行加負運算得，故①正確；
②若乙同學對a和ｂ進行加負運算得：，
則其相反的代數式為，
∵甲同學對c、d、e進行加負運算得：，
同理乙同學可改變字母或或或或或或或或，甲同學都可以通過“加負運算”后得到與之相反的代數式，故②正確；
若固定改變a，乙同學可改變字母或或或；
若固定改變b，乙同學可改變字母或或；
固定改變c，乙同學可改變字母或；固定改變d，乙同學可改變字母，
所以一共有4+3+2+1=10種，故③錯誤．故選：C
【點睛】本題主要考察邏輯分析，注意甲乙同學可改變字母個數的不同是解題的關鍵．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.（2023·山西臨汾·七年級期末）不改變代數式的值，下列添括號錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將各選項代數式去括號，再與已知代數式比較即可．
【詳解】解：A、a2+（2a-b+c）=a2+2a-b+c，正確，此選項不符合題意；
B、a2-（-2a+b-c）=a2+2a-b+c，正確，此選項不符合題意；
C、a2-（2a-b+c）=a2-2a+b-c，錯誤，此選項符合題意；
D、 a2+2a+（-b+c）=a2+2a-b+c，正確，此選項不符合題意；故選：C．
【點睛】本題主要考查整式的加減，將各選項去括號，與題干整式比較是否一致是解題的關鍵．
2．（2023春·四川成都·七年級校考開學考試）下列變形，錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據去括號及添括號法則，即可一一判定．
【詳解】解：A、B、C都正確
添括號后，括號前是負號，括到括號里的各項都要變號，故，
故D不正確，故選：D．
【點睛】本題考查了去括號及添括號法則，熟練掌握和運用去括號及添括號法則是解決本題的關鍵．
3．（2024·陜西渭南·七年級統考期中）規定符號表示a，b兩個數中較小的一個，規定符號表示兩個數中較大的一個，例如，，則的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意列出代數式進行計算即可．
【詳解】解：∵符號表示a，b兩個數中較小的一個，規定符號表示兩個數中較大的一個，
∴，，
∴．故選：C．
【點睛】本題考查了新定義，有理數的大小比較，以及整式的加減，根據題意得出和的值是解題的關鍵．
4．（2024·山西太原·七年級統考期中）數學活動課上，老師做了一個有趣的游戲：開始時東東、亮亮，樂樂三位同學手中均有a張撲克牌（假定a足夠大），然后依次完成以下三個步驟：第一步，東東拿出2張撲克牌給亮亮；第二步，樂樂拿出3張撲克牌給亮亮；第三步，東東手中此時有多少張撲克牌，亮亮就拿出多少張撲克牌給東東．游戲過程中，亮亮手中撲克牌張數的變化情況正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意列出算式，進行計算即可解答．
【詳解】解：第一步東東學拿出2張牌給亮亮，則亮亮手中有張牌，東東剩余張牌；
第二步樂樂拿出3張撲克牌給亮亮，則亮亮手中有張牌，
第三步，東東手中此時有多少張撲克牌，亮亮就拿出多少張撲克牌給東東，則亮亮手中有張牌，故選：D．
【點睛】本題考查了整式的加減計算的應用，根據題目的已知找出相應的數量關系是解題的關鍵．
5．（2024·山東七年級期中）要使始終成立，則，，的值分別是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】先把等號的左邊去括號合并同類項，然后與右邊比較可求出，，的值．
【詳解】∵
，，，，，．故選D.
【點睛】本題考查了整式的加減，整式加減的運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號先去括號，然后再合并同類項．
6．（2023秋·重慶大足·七年級統考期末）有依次排列的3個整式：，x，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產生一個新整式串：則稱它為整式串1；將整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此類推．通過實際操作，得出以下結論：①整式串2為：；②整式串3共17個整式；③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；④整式串2022的所有整式的和為．上述四個結論錯誤的有（ ）個．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據整式的加減運算法則進行計算，從而作出判斷．
【詳解】解：①整式串2為：，故①正確；
②整式串3為：
整式串3共17個整式，故②正確；
③整式串2的和為：
整式串3的和為：
整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③正確；……
整式串n的和為：
④整式串2022的所有整式的和為，故④正確，故選：A．
【點睛】本題考查了整式加減，正確的計算是解題的關鍵．
7．（2023·廣東湛江·七年級統考期中）若和都是關于的二次三項式，則一定是（ ）
A．二次三項式 B．一次多項式 C．三項式 D．次數不高于2的整式
【答案】D
【分析】根據多項式的定義及整式加減運算法則，逐項舉例驗證即可得到結論．
【詳解】解：若，，則，顯然此種情況不一定是二次三項式；也不一定是一次多項式；也不一定是三項式；但一定是次數不高于的整式，故選：D．
【點睛】本題考查多項式的定義及相關性質，涉及整式加減運算，熟練掌握多項式定義是解決問題的關鍵．
8．（2022秋·山東·七年級期末）關于x的三次三項式（其中a、b、c、d均為常數），關于x的二次三項式（e、f均為非零常數），下列說法正確的個數是（　　）
①當是關于x的三次三項式時，則；②當中不含x3時，則；
③當時，；當時，，則，；④；⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】計算，令常數項為0可判斷①；計算，令x3項系數為0可判斷②；由當時，；當時，列出方程組可解得e和f的值，從而判斷③；用特殊值法可求出d和的值，可判斷④和⑤．
【詳解】解：＝＝，
∵是關于x的三次三項式，，∴，解得，故①正確；
＝，
∵中不含，∴，∴，故②正確；
∵時，；當時，，
∴，解得，，故③正確；
在中，令得：，∴，故④正確；
在中，令得：，
∵，∴，故⑤正確，∴正確的有①②③④⑤，共5個，故選：D．
【點睛】本題考查整式的運算，解題的關鍵是掌握整式運算相關法則．
9．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學校考二模）對于多項式：，，，，我們用任意兩個多項式求差后所得的結果，再與剩余兩個多項式的差作差，并算出結果，稱之為“全差操作”例如：，，，給出下列說法：
①不存在任何“全差操作”，使其結果為0；②至少存在一種“全差操作”，使其結果為；
③所有的“全差操作”共有5種不同的結果．以上說法中正確的是：（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】根據題意，寫出所有情況，計算結果，即可．
【詳解】令，，，，則有以下情況
第1種：
第2種：
第3種：
第4種：
第5種：
第6種：
由上可知，存在一個“全差操作”，使其結果為0；故①說法錯誤；
存在一種“全差操作”，使其結果為；故②說法正確；
所有的“全差操作”共有5種不同的結果；故③說法正確．故選：C．
【點睛】本題根據題目的要求，羅列所有情況，進行求解即可解答，是中考常考的題型．
10．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級校考期末）已知多項式，．小希在計算時把題目條件錯看成了，求得的結果為，那么小希最終計算的中不含的項為（ ）
A．五次項 B．三次項 C．二次項 D．常數項
【答案】C
【分析】先根據求出a、b的值， 繼而得出，即可得出答案．
【詳解】解∶由題意知，
而
∴，，解得：，，
∴
，
∴最終計算的中不含的項為二次項，故選∶C．
【點睛】本題主要考查整式的加減，整式的加減的實質就是去括號、合并同類項．一般步驟是∶先去括號，然后合并同類項，熟練掌握整式加減的步驟是解題的關鍵．
11．（2023·江蘇鎮江·七年級統考期末）如圖，把兩個邊長不等的正方形放置在周長為m的長方形內，兩個正方形的周長和為n，則這兩個正方形的重疊部分（圖中陰影部分所示）的周長可用代數式表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設較小的正方形邊長為，較大的正方形邊長為，陰影部分的長和寬分別為、，然后根據長方形周長公式分別得到，，由此即可得到答案．
【詳解】解：設較小的正方形邊長為，較大的正方形邊長為，陰影部分的長和寬分別為、，
兩個正方形的周長和為，，，
，，
長方形的周長為，，
，，
，，
陰影部分的周長為，故選：B．
【點睛】本題主要考查了整式加減的應用，正確理解題意求出是解題的關鍵．
12．（2023春·重慶渝北·七年級校聯考階段練習）在某學校的文化墻上有一組按照特定順序排放的一個整式隊列，第1個整式為a，第2個整式為b，第3個整式為，第4個整式為……，聰明的小敏同學發現：第3個整式是由第1個整式的2倍加上第2個整式所得，第4個整式是由第2個整式的2倍加上第3個整式所得……，以此類推，下列說法中：
①第8個整式為；②第2025個整式中a的系數比b的系數小1；
③第12個整式和第13個整式中a的所有系數與b的所有系數之和為4098；
④若將第個整式與第個整式相加，所得的多項式中a的系數與b的系數相等（其中n為正整數）；
正確的有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據寫出前8個整式，可得第奇數個整式中a的系數比b的系數大1，第偶數個整式中a的系數比b的系數小1；根據題意得：第2個整式和第3個整式中a的所有系數與b的所有系數之和為；第4個整式和第5個整式中a的所有系數與b的所有系數之和為；第6個整式和第7個整式中a的所有系數與b的所有系數之和為，……由此可得第12個整式和第13個整式中a的所有系數與b的所有系數之和為4098，即可求解．
【詳解】解：根據題意得：第1個整式為a，
第2個整式為b，第3個整式為，第4為，
第5個整式為，
第6個整式為，
第7個整式為，
第8個整式為，故①正確；……
由此發現，第奇數個整式中a的系數比b的系數大1，第偶數個整式中a的系數比b的系數小1，
∴將第個整式與第個整式相加，所得的多項式中a的系數與b的系數相等，故④正確；
∴第2025個整式中a的系數比b的系數大1，故②錯誤；
根據題意得：第2個整式和第3個整式中a的所有系數與b的所有系數之和為；
第4個整式和第5個整式中a的所有系數與b的所有系數之和為；
第6個整式和第7個整式中a的所有系數與b的所有系數之和為；……
第12個整式和第13個整式中a的所有系數與b的所有系數之和為，故③錯誤；故選：B
【點睛】本題考查數字的變化規律，通過計算，探索出整式各項系數之間的關系，找到系數和的規律是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（2022·天津市北倉七年級期中）化簡，結果是________．
【答案】##
【分析】根據去括號法則和合并同類項，即可解答．
【詳解】解：原式===
【點睛】本題考查了去括號法則和合并同類項，熟練掌握相關知識是解本題的關鍵．
14．（2022秋·廣東深圳·七年級校考期末）定義：若，則稱與互為平衡數，若與互為平衡數，則代數式___________．
【答案】
【分析】根據題意，與互為平衡數，得，得到，然后再整體代入即可得出答案．
【詳解】解：∵與互為平衡數，
∴，∴，∴，
∴．故答案為：．
【點睛】本題考查整式的加減，求代數式的值，運用了恒等變換的思想．解題的關鍵根據題意建立等式，再運用整體代入法求值．
15．（2024·山東煙臺·七年級校考期末）已知無論x，y取什么值，多項式的值都等于定值11，則的值等于___________．
【答案】
【分析】先把原式化簡，再根據無論x，y取什么值，多項式的值都等于定值11，可得，即可求解．
【詳解】解：，
∵無論x，y取什么值，多項式的值都等于定值11，
∴，解得：，∴．故答案為：
【點睛】本題主要考查了整式加減混合運算，熟練掌握整式加減混合運算法則是解題的關鍵．
16．（2023·河南濮陽·統考一模）將大小不一的正方形紙片甲、乙、丙、丁放置在如圖所示的長方形內（相同紙片之間不重疊），其中，若正方形“乙”的邊長是m，陰影部分“戊”與陰影部分“己”的周長之差為___________．
【答案】
【分析】設正方形“甲”的邊長是a，則陰影部分“戊”是長為，寬為m的矩形，陰影部分“己”的周長等同于，再求面積差即可．
【詳解】解：設正方形“甲”的邊長是a，則陰影部分“戊”是長為，寬為m的矩形，陰影部分“己”的周長等同于，∴陰影部分“戊”的周長為，
∵，∴陰影部分“戊”與陰影部分“己”的周長之差為．故答案為：．
【點睛】本題考查正方形的性質，矩形的性質和平移的性質等知識，解題的關鍵是學會用 m , a 表示陰影部分“戊”與陰影部分“己”的周長解決問題．
17．（2024·安徽阜陽·七年級校考期末）如果整式A與整式B的和為一個實數a，我們稱A，B為數a的“友好整式”，例如：和為數1的“友好整式”．若關于x的整式與為數n的“友好整式”，則的值為 _____．
【答案】4
【分析】根據“友好整式”的定義，整式與相加二次項和一次項系數為0，即可算出k的值，即可算出的值．
【詳解】解：∵關于x的整式與為數n的“友好整式”，∴，
∵，
∵，∴，∴5+k＝n，即，
∴n＝2，∴．故答案為：4．
【點睛】本題考查了新定義，以及整式的加減，讀懂題目中所給的概念是解決本題的關鍵．
18．（2023春·重慶江津·七年級校聯考期中）一個兩位數m的十位上的數字是a，個位上的數字是b，記為這個兩位數m的“衍生數”．如．現有2個兩位數x和y，且滿足，則_______．
【答案】10或19
【分析】依據2個兩位數和，且滿足，分兩種情況進行討論，依據進行計算即可得到的值．
【詳解】解：①當2個兩位數和的個位數字為0，且滿足時，和的十位數字的和為10，個位數字的和為0，故；
②當2個兩位數和的個位數字均不為0，且滿足時，和的十位數字的和為9，個位數字的和為10，故；
綜上所述，的值為10或19．故答案為：10或19．
【點睛】本題主要考查了整式的加減和列代數式，關鍵是正確理解和運用兩位數的“衍生數”，即．
三、解答題（本大題共8小題，共69分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023春·浙江·七年級專題練習）先化簡，再求值：
(1)，其中；
(2)已知：，求的值．
【答案】(1)；0(2)；2
【分析】（1）根據整式的加減運算法則將原式化簡，再將代入化簡后的式子求值即可；
（2）根據平方和絕對值的非負性即得出．再根據整式的加減運算法則將原式化簡，最后將代入化簡后的式子求值即可．
【詳解】（1）解：．
當時，原式；
（2）解：∵，，，
∴，∴．
．
當，原式．
【點睛】本題考查整式加減中的化簡求值，非負數的性質．掌握整式的加減混合運算法則是解題關鍵．
20．（2023·河北衡水·校考二模）在活動課上，有三位同學各拿一張卡片，卡片上分別為A，B，C三個代數式，三張卡片如圖所示，其中C的代數式是未知的．
(1)若A為二次二項式，則k的值為___________；
(2)若的結果為常數，則這個常數是___________，此時k的值為___________；
(3)當時，，求C．
【答案】(1)1(2)5，(3)
【分析】（1）由“二次二項式”確定，從而求解即可；
（2）根據整式的加減運算法則化簡出的結果，然后根據要求推出結果即可；
（3）當時，確定代數式A的形式，然后根據要求進行整式加減運算即可．
【詳解】（1）解：∵，A為二次二項式，
∴，解得；故答案為：1．
（2）解：∵，，
∴
，
∵的結果為常數，∴，解得，
即若的結果為常數，則這個常數是5，此時k的值為；故答案為：5；．
（3）解：當時，，，
∵，∴
∴．
【點睛】本題考查整式加減運算以及取值無關型問題，掌握整式加減運算法則，注意求解過程中符號問題是解題關鍵．
21．（2023秋·吉林通化·七年級統考期末）已知，．
(1)化簡；(2)當，，求的值：
(3)若的值與y的取值無關，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據整式的加減計算法則求解即可；
（2）把，整體代入（1）中的計算結果中求解即可；
（3）根據與y的取值無關即含y的項的系數為0求出x的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：∵的值與y的取值無關，
∴，∴，∴．
【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，整式加減中的無關型問題，熟知整式的加減計算法則是解題的關鍵．
22．（2024·吉林松原·七年級統考期末）給出如下定義：我們把有序實數對叫做關于的二次多項式的特征系數對，把關于的二次多項式叫做有序實數對的特征多項式．
(1)關于的二次多項式的特征系數對為___________；
(2)求有序實數對的特征多項式與有序實數對的特征多項式的差；
(3)有序實數對的特征多項式與有序實數對的特征多項式的和中不含項，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據定義得到a，b，c的值即可得到答案；（2）根據特征多項式的定義得到兩個多項式，根據多項式與多項式差的計算法則計算可得答案；（3）根據定義得到特征多項式，計算多項式的和，根據特征多項式的和不含項得到項的系數等于，由此求出a．
【詳解】（1）∵有序實數對叫做關于的二次多項式的特征系數對，
∴二次多項式的特征系數對為，故答案為：；
（2）∵把關于的二次多項式叫做有序實數對的特征多項式，
∴有序實數對的特征多項式為，有序實數對的特征多項式為，
∴
（3）有序實數對的特征多項式為，
有序實數對的特征多項式為，∴
∵和中不含項，∴解得：，
【點睛】此題考查了新定義、多項式的加減運算以及多項式不含項的應用，正確理解新定義得到多項式是解題的關鍵．
23．（2023·河北滄州·校考二模）【發現】如果一個整數的個位數字能被5整除，那么這個整數就能被5整除．
【驗證】如：∵
又∵100和10都能被5整除，5能被5整除
∴能被5整除 即：345能被5整除
(1)請你照著上面的例子驗證343不能被5整除
(2)把一個千位是a、百位是b、十位是c、個位是d的四位數記為．
請照例說明：只有d等于5或0時，四位數才能被5整除
【遷移】(3)設是一個三位數，請證明；當的和能被3整除時，能被3整除．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析
【分析】（1）參照題干，進行驗證即可；（2）參照題干，進行驗證即可；（3）參照題干，進行驗證即可．
【詳解】（1）解：∵
又∵100和10都能被5整除，3不能被5整除，
∴不能被5整除．即：343不能被5整除；
（2）∵，
又∵1000，100和10都能被5整除，∴當能被5整除時，四位數才能被5整除，
即只有d等于5或0時，四位數才能被5整除；
（3）∵，
∵99和9都能被3整除，∴當的和能被3整除時，能被3整除．
【點睛】本題考查整式的加減運算，列代數式．熟練掌握數的表示方法，是解題的關鍵．
24．（2023春·安徽六安·九年級校聯考階段練習）【閱讀】根據等式和不等式的基本性質，我們可以得到比較兩數大小的方法：若，則；若，則；若，則．反之也成立．
這種比較大小的方法稱為“作差法比較大小”．
【理解】（1）若，則______（填“”、“”或“”）
【運用】（2）若，，試比較，的大小．
【拓展】（3）請運用“作差法比較大小”解決下面這個問題．制作某產品有兩種用料方案，方案一：用5塊A型鋼板，6塊型鋼板．方案二：用4塊A型鋼板，7塊型鋼板．每塊A型鋼板的面積比每塊型鋼板的面積小．方案一的總面積記為，方案二的總面積記為，試比較，的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據題干信息得出答案即可；（2）用作差法比較，的大小即可；（3）設每塊A型鋼板的面積為x，每塊B型鋼板的面積為y，且（），則，，作差法比較，的大小即可．
【詳解】解：（1）若，則，因此；故答案為：；
（2）∵，
又∵，∴，∴，∴；
（3）設每塊A型鋼板的面積為x，每塊B型鋼板的面積為y，且（），則，，
∵，
又∵，∴，∴，∴．
【點睛】本題主要考查了整式加減的應用，解題的關鍵是熟練掌握整式加減運算法則，準確計算．
25．（2024·江西撫州·七年級金溪一中校考期中）數學中有很多可逆的推理，例如：
(1)若輸入7時，輸出___________.
(2)拓展：如果，那么利用可逆推理，已知可求的運算，記為，如，則；，則.①根據定義，填空：___________；___________.
②若有如下運算性質 ：，根據運算性質填空，填空：若，則___________；___________.
③表中與數對應的有且只有兩個是錯誤的，請找出錯誤，說明理由并改正.
1.5 3 5 6 8 9 12 27
【答案】(1)23 (2)①1，3，②0.6020，0.6990，③和錯誤，， ，理由見解析
【分析】（1）把代入計算相應的的值即可．
（2）①根據定義可得：，即可求得結論；②根據運算性質：，進行計算；③通過，，可以判斷（3）是否正確，同樣依據，假設（5）正確，可以求得（2）的值，即可通過（8），作出判斷．
【詳解】（1）解：當時，，故答案為：23．
（2）解：①根據定義知：，
，．故答案為：1，3．
②根據運算性質，得：（4）（2）（2）（2），
（5）（2）．故答案為：0.6020；0.6990．
③若（3），則（9）（3），
（3），
從而表中有三個對應的是錯誤的，與題設矛盾，（3）；
若（5），則（2）（5），
（8）（2），（6）（3）（2），
表中也有三個對應的是錯誤的，與題設矛盾，（5），
表中只有和的對應值是錯誤的，應改正為：
（3）（2），
（6）（3）．
【點睛】本題考查了有理數的混合運算，整式的運算，求代數式的值的應用，新定義運算等，解題的關鍵是深刻理解所給出的定義或規則，將它們轉化為我們所熟悉的運算．
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專題4.5.整式的加減
1、掌握添括號與去括號；掌握整式的加減的步驟；
2、掌握化簡求值的步驟；
3、掌握整式比較大小的方法；
4、掌握整式在實際中的應用。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 2
考點1、去括號 2
考點2、添括號 3
考點3、整式的加減運算 4
考點4、多項式與多項式和差的結果 5
考點5、整式的化簡求值 6
考點6、整式的比較大小 7
考點7、整式的加減（不含某項） 8
考點8、整式的加減（遮擋問題） 9
考點9、整式的實際應用 10
考點10、整式中的新定義 12
模塊3：能力培優 14
去（添）括號法則：
1）括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變。
2）括號前是“-”，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里各項都改變符號。
3）括號前有系數的，去括號后，括號內所有因素都要乘此系數。
注意：去多重括號，可以先去大括號，在去中括號，后去小括號；也可以先從最內層開始，先去小括號，在去中括號，最后去大括號。可依據簡易程度，選擇合適順序。
整式的加減運算實際就是合并同類項的過程，具體步驟為：
①將同類項找出，并置與一起；②合并同類項。
注意：（1）當括號前面有數字因數時，應先利用乘法分配律計算，然后再去括號，注意不要漏乘括號內的任一項。（2）合并同類項時，只能把同類項合并，不是同類項的不能合并，合并同類項實際上就是有理數的加減運算。合并同類項要完全、徹底，不能漏項。
考點1、去括號
例1．（2022秋·浙江杭州·七年級期中）下列各項去括號所得結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2023秋·山東臨沂·七年級統考期末）化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023秋·廣東深圳·七年級統考期末）下列各式去括號正確的是（　　）
A． B．
C． D．
考點2、添括號
例1．（2023秋·廣東七年級期中）下列各式中添括號正確的是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2023秋·湖北武漢·八年級統考期末）等式，括號內應填上的項為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023秋·河南洛陽·七年級統考期末）添括號：（______）．
考點3、整式的加減運算
例1．（2023·北京昌平·七年級校聯考期中）已知，，則的結果為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·山西呂梁·七年級統考期末）若，，則（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023·山東·七年級專題練習）多項式M加上多項式，粗心同學卻誤算為先減去這個多項式，結果得，則多項式M是____________．
考點4、多項式與多項式和差的結果
例1．（2024·貴州遵義·七年級校考階段練習）若A是一個三次多項式，B是一個四次多項式，則一定是（ ）
A．三次多項式 B．七次多項式 C．四次多項式或單項式 D．四次七項式或三次多項式
變式1．（2024·陜西西安·七年級統考期中）若A是一個四次多項式，B也是一個四次多項式，則是一個（　　）
A．八次多項式 B．四次多項式 C．次數不超過四次的多項式 D．次數不超過四次的代數式
變式2．（2023秋·廣東廣州·七年級校考期末）一個五次三項式，加一個五次三項式，可能是（ ）
A．十次六項式 B．十次三項式 C．六次二項式 D．四次二項式
考點5、整式的化簡求值
例1．（2023秋·四川成都·七年級統考期末）先化簡，再求值：，其中，．
變式1．（2023·廣東·七年級統考期末）先化簡，再求值：，其中，．
變式2．（2022秋·山西呂梁·七年級統考期末）先化簡，再求值：，其中，．
考點6、整式的比較大小
例1．（2023秋·廣西河池·七年級統考期末）若，，則A、B的大小關系（ ）
A． B． C． D．不能確定
變式1．（2022秋·云南楚雄·七年級校考階段練習）若，，則和的大小關系是（ ）
A． B． C． D．無法確定
變式2．（2023秋·河北保定·七年級統考期末）已知：，．則比較A與B的大小（ ）
A． B． C． D．無法確定
考點7、整式的加減（不含某項）
例1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）當m=________時，關于x的多項式 與多項式的和中不含項．
變式1．（2022秋·湖南益陽·七年級統考階段練習）已知，．若計算的結果與字母b無關，則a的值是______．
變式2．（2022秋·河南新鄉·七年級校考期末）已知關于x，y的多項式與的差不含二次項，求的值（ ）
A． B．1 C．3 D．
考點8、整式的加減（遮擋問題）
例1．（2023·河北邯鄲·二模）一道求值題不小心弄污損了，嘉嘉隱約辨識：化簡，其中．系數“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的數值看成2，求上述代數式的值；
(2)若無論m取任意的一個數，這個代數式的值都是，請通過計算幫助嘉嘉確定“”中的數值．
變式1．（2023秋·河北石家莊·七年級統考期末）以下是嘉淇做填空題的結果：，已知她的計算結果是正確的，但“”處被墨水弄臟看不清了，“”處應是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023秋·山西大同·七年級校考期末）疫情期間，亮亮的父母只要有時間就陪孩子一起完成家庭作業，在某天晚上，亮亮準備完成作業：化簡時發現“”處系數“ ”印刷不清楚．(1)他把“ ”猜成3，請你幫亮亮化簡：；
(2)爸爸說：“你猜錯了，我們看了標準答案的結果是常數．”請你通過計算說明來幫助亮亮得到原題中“ ”是幾．
考點9、整式的實際應用
例1．（2023秋·浙江溫州·七年級統考期末）2022年11月3日，中國空間站“”字基本構型在軌組裝完成，“”寓意：睿智，卓越．圖1是用長方形紙板做成的四巧板（已知線段長度如圖所示），用它拼成圖2的“”字型圖形，則“”字型圖形的周長為______．（用含，的式子表示）
變式1．（2023·江蘇鎮江·七年級校考期中）已知甲，乙，丙，丁，戊五位同學依次取糖果，按先后順序依次遞減相同的量來取，正好取完．若丙同學取了15顆糖果，則共有糖果（ ）顆
A．75 B．70 C．65 D．60
變式1．（2023·河北廊坊·廊坊市第四中學統考一模）如果一個矩形內部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱為“優美矩形”，如圖所示，“優美矩形”的周長為52，則正方形的邊長為（ ）
A．3 B．13 C．6 D．8
考點10、整式中的新定義
例1．（2023·重慶渝中·七年級校考階段練習）對任意代數式，每個字母及其左邊的符號（不包括括號外的符號）稱為一個數，如：，其中稱為“數1”，為“數2”，為“數3”，為“數4”，為“數5”，若將任意兩個數交換位置，則稱這個過程為“換位思考”，例如：對上述代數式的“數1”和“數5”進行“換位思考”，得到：，則下列說法中正確的個數是（ ）
①代數式進行一次“換位思考”，化簡后只能得到1種結果
②代數式進行一次“換位思考”，化簡后可能得到5種結果
③代數式進行一次“換位思考”，化簡后可能得到7種結果
④代數式進行一次“換位思考”，化簡后可能得到8種結果
A．0 B．2 C．3 D．4
變式1．（2023·湖北武漢·校考模擬預測）在多項式中任意加括號，加括號后仍只有減法運算，然后按給出的運算順序重新運算，稱此為“加算操作”，例如，，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的運算結果共有（ ）
A．8種 B．16種 C．24種 D．32種
變式1．（2023春·重慶沙坪壩·八年級校考期中）對于多項式，在任意一個字母前加負號，稱為“加負運算”，例如：對b和d進行“加負運算”，得到：．規定甲同學每次對三個字母進行“加負運算”，乙同學每次對兩個字母進行“加負運算”，下列說法正確的個數為（ ）
①乙同學連續兩次“加負運算”后可以得到；②對于乙同學“加負運算”后得到的任何代數式，甲同學都可以通過“加負運算”后得到與之相反的代數式；③乙同學通過“加負運算”后可以得到16個不同的代數式
A．0 B．1 C．2 D．3
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.（2023·山西臨汾·七年級期末）不改變代數式的值，下列添括號錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川成都·七年級校考開學考試）下列變形，錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西渭南·七年級統考期中）規定符號表示a，b兩個數中較小的一個，規定符號表示兩個數中較大的一個，例如，，則的結果為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山西太原·七年級統考期中）數學活動課上，老師做了一個有趣的游戲：開始時東東、亮亮，樂樂三位同學手中均有a張撲克牌（假定a足夠大），然后依次完成以下三個步驟：第一步，東東拿出2張撲克牌給亮亮；第二步，樂樂拿出3張撲克牌給亮亮；第三步，東東手中此時有多少張撲克牌，亮亮就拿出多少張撲克牌給東東．游戲過程中，亮亮手中撲克牌張數的變化情況正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·山東七年級期中）要使始終成立，則，，的值分別是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
6．（2023秋·重慶大足·七年級統考期末）有依次排列的3個整式：，x，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產生一個新整式串：則稱它為整式串1；將整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此類推．通過實際操作，得出以下結論：①整式串2為：；②整式串3共17個整式；③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；④整式串2022的所有整式的和為．上述四個結論錯誤的有（ ）個．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2023·廣東湛江·七年級統考期中）若和都是關于的二次三項式，則一定是（ ）
A．二次三項式 B．一次多項式 C．三項式 D．次數不高于2的整式
8．（2022秋·山東·七年級期末）關于x的三次三項式（其中a、b、c、d均為常數），關于x的二次三項式（e、f均為非零常數），下列說法正確的個數是（　　）
①當是關于x的三次三項式時，則；②當中不含x3時，則；
③當時，；當時，，則，；④；⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學校考二模）對于多項式：，，，，我們用任意兩個多項式求差后所得的結果，再與剩余兩個多項式的差作差，并算出結果，稱之為“全差操作”例如：，，，給出下列說法：
①不存在任何“全差操作”，使其結果為0；②至少存在一種“全差操作”，使其結果為；
③所有的“全差操作”共有5種不同的結果．以上說法中正確的是：（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
10．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級校考期末）已知多項式，．小希在計算時把題目條件錯看成了，求得的結果為，那么小希最終計算的中不含的項為（ ）
A．五次項 B．三次項 C．二次項 D．常數項
11．（2023·江蘇鎮江·七年級統考期末）如圖，把兩個邊長不等的正方形放置在周長為m的長方形內，兩個正方形的周長和為n，則這兩個正方形的重疊部分（圖中陰影部分所示）的周長可用代數式表示為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·重慶渝北·七年級校聯考階段練習）在某學校的文化墻上有一組按照特定順序排放的一個整式隊列，第1個整式為a，第2個整式為b，第3個整式為，第4個整式為……，聰明的小敏同學發現：第3個整式是由第1個整式的2倍加上第2個整式所得，第4個整式是由第2個整式的2倍加上第3個整式所得……，以此類推，下列說法中：
①第8個整式為；②第2025個整式中a的系數比b的系數小1；
③第12個整式和第13個整式中a的所有系數與b的所有系數之和為4098；
④若將第個整式與第個整式相加，所得的多項式中a的系數與b的系數相等（其中n為正整數）；
正確的有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（2022·天津市北倉七年級期中）化簡，結果是________．
14．（2022秋·廣東深圳·七年級校考期末）定義：若，則稱與互為平衡數，若與互為平衡數，則代數式___________．
15．（2024·山東煙臺·七年級校考期末）已知無論x，y取什么值，多項式的值都等于定值11，則的值等于___________．
16．（2023·河南濮陽·統考一模）將大小不一的正方形紙片甲、乙、丙、丁放置在如圖所示的長方形內（相同紙片之間不重疊），其中，若正方形“乙”的邊長是m，陰影部分“戊”與陰影部分“己”的周長之差為___________．
17．（2024·安徽阜陽·七年級校考期末）如果整式A與整式B的和為一個實數a，我們稱A，B為數a的“友好整式”，例如：和為數1的“友好整式”．若關于x的整式與為數n的“友好整式”，則的值為 _____．
18．（2023春·重慶江津·七年級校聯考期中）一個兩位數m的十位上的數字是a，個位上的數字是b，記為這個兩位數m的“衍生數”．如．現有2個兩位數x和y，且滿足，則_______．
三、解答題（本大題共8小題，共69分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023春·浙江·七年級專題練習）先化簡，再求值：
(1)，其中；
(2)已知：，求的值．
20．（2023·河北衡水·校考二模）在活動課上，有三位同學各拿一張卡片，卡片上分別為A，B，C三個代數式，三張卡片如圖所示，其中C的代數式是未知的．
(1)若A為二次二項式，則k的值為___________；
(2)若的結果為常數，則這個常數是___________，此時k的值為___________；
(3)當時，，求C．
21．（2023秋·吉林通化·七年級統考期末）已知，．
(1)化簡；(2)當，，求的值：
(3)若的值與y的取值無關，求的值．
22．（2024·吉林松原·七年級統考期末）給出如下定義：我們把有序實數對叫做關于的二次多項式的特征系數對，把關于的二次多項式叫做有序實數對的特征多項式．
(1)關于的二次多項式的特征系數對為___________；
(2)求有序實數對的特征多項式與有序實數對的特征多項式的差；
(3)有序實數對的特征多項式與有序實數對的特征多項式的和中不含項，求的值．
23．（2023·河北滄州·校考二模）【發現】如果一個整數的個位數字能被5整除，那么這個整數就能被5整除．
【驗證】如：∵
又∵100和10都能被5整除，5能被5整除
∴能被5整除 即：345能被5整除
(1)請你照著上面的例子驗證343不能被5整除
(2)把一個千位是a、百位是b、十位是c、個位是d的四位數記為．
請照例說明：只有d等于5或0時，四位數才能被5整除
【遷移】(3)設是一個三位數，請證明；當的和能被3整除時，能被3整除．
24．（2023春·安徽六安·九年級校聯考階段練習）【閱讀】根據等式和不等式的基本性質，我們可以得到比較兩數大小的方法：若，則；若，則；若，則．反之也成立．
這種比較大小的方法稱為“作差法比較大小”．
【理解】（1）若，則______（填“”、“”或“”）
【運用】（2）若，，試比較，的大小．
【拓展】（3）請運用“作差法比較大小”解決下面這個問題．制作某產品有兩種用料方案，方案一：用5塊A型鋼板，6塊型鋼板．方案二：用4塊A型鋼板，7塊型鋼板．每塊A型鋼板的面積比每塊型鋼板的面積小．方案一的總面積記為，方案二的總面積記為，試比較，的大小．
25．（2024·江西撫州·七年級金溪一中校考期中）數學中有很多可逆的推理，例如：
(1)若輸入7時，輸出___________.
(2)拓展：如果，那么利用可逆推理，已知可求的運算，記為，如，則；，則.①根據定義，填空：___________；___________.
②若有如下運算性質 ：，根據運算性質填空，填空：若，則___________；___________.
③表中與數對應的有且只有兩個是錯誤的，請找出錯誤，說明理由并改正.
1.5 3 5 6 8 9 12 27
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