資源簡介

第十章　概率
10.1　隨機事件與概率
10.1.1　有限樣本空間與隨機事件
【學習目標】
　　1.結合具體實例理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣本點的關系.
　　2.了解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.
◆ 知識點一　有限樣本空間
1.(1)隨機試驗的概念
對隨機現象的實現和對它的觀察稱為　　　　,簡稱　　　　,常用字母E表示.
(2)隨機試驗的特點
①試驗可以在相同條件下　　　　;
②試驗的所有可能結果是　　　　　的,并且不止一個;
③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的　　　　,但事先不能確定出現哪一個結果.
2.樣本點、樣本空間的概念與表示
定義 字母表示
樣本點 隨機試驗E的　　　　　　　　　　稱為樣本點 用ω表示
樣本空間 　　　　樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間 用　　　 表示
有限 樣本空間 如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1,ω2,…,ωn, 則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為　　　　　 Ω={ω1, ω2,…,ωn}
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)一次隨機試驗所有可能出現的結果只有一個. (　 )
(2)樣本空間中可能含有多個樣本點. (　 )
(3)拋擲一枚硬幣,觀察它落地時哪一面朝上,該試驗的樣本空間中含有兩個樣本點. (　 )
2.某校高一年級要組建數學、計算機、航空模型三個興趣小組,某學生任意選報其中的兩個,試確定該試驗的樣本點的個數.
◆ 知識點二　隨機事件
1.隨機事件
(1)概念:樣本空間Ω的子集稱為　　　　,簡稱事件. 只包含一個樣本點的事件稱為　　　　.
(2)表示:隨機事件一般用大寫字母A,B,C,…表示.
(3)在每次試驗中,當且僅當A中某個樣本點出現時,稱為事件A發生.
2.必然事件
Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有一個　　　　發生,所以Ω總會發生,稱Ω為　　　　.
3.不可能事件
空集 不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發生,稱 為　　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)連續兩周,每周的周五都下雨,可以斷定第三周的周五還要下雨. (　 )
(2)在體育彩票搖號試驗中,“搖出球的號碼為奇數”是隨機事件. (　 )
(3)必然事件與不可能事件不具有隨機性. (　 )
2.“2024年李歡的高考數學成績在130分以上”是隨機事件嗎 試以“2024年李歡的高考數學成績”為背景寫一個不可能事件.
◆ 探究點一　隨機試驗的樣本空間
例1 寫出下列隨機試驗的樣本空間:
(1)擲一枚骰子,記錄出現的點數;
(2)將一枚骰子擲兩次,記錄出現的點數;
(3)一個口袋中有5只外形完全相同的球,編號分別為1,2,3,4,5,從中同時取出3只球,觀察其編號.
變式 寫出下列試驗的樣本空間:
(1)連續拋擲一枚硬幣2次,觀察正面、反面出現的情況;
(2)甲、乙、丙、丁四位同學參加演講比賽,通過抽簽確定演講的順序,記錄抽簽的結果;
(3)連續拋擲一枚骰子2次,觀察2次擲出的點數之和;
(4)設袋中裝有4個白球和6個黑球,從中不放回地逐個取出,直至白球全部取出,記錄取球的次數.
[素養小結]
如何不重不漏地寫出試驗的樣本空間:
(1)樣本點是相對于條件而言的,要弄清試驗的樣本點,首先必須明確試驗中的條件;
(2)根據日常生活經驗,按照一定的順序列舉出所有樣本點,也可應用畫樹狀圖、列表等方法解決.
◆ 探究點二　隨機事件、必然事件、不可能事件
例2 (1)下列事件中,隨機事件的個數為 (　 )
①甲、乙兩人下棋,甲獲勝;
②小明過馬路,遇見車的車牌號尾號是奇數;
③某種彩票的中獎率為99%,某人買一張此種彩票中獎;
④用任意平面截球,所得截面圖形是橢圓.　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知下列事件:①任取一個整數,被2整除;②小明同學在某次數學測試中成績不低于120分;③甲、乙兩人進行競技比賽,甲的實力遠勝于乙,在一次比賽中甲一定獲勝;④當圓的半徑變為原來的2倍時,圓的面積是原來的4倍.其中必然事件的個數是 (　 )
A.0 B.1
C.3 D.4
變式 指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件:
(1)某人購買一注福利彩票,中獎500萬元;
(2)三角形的內角和為180°;
(3)沒有空氣和水,人類可以生存下去;
(4)同時拋擲兩枚硬幣一次,都出現正面向上;
(5)從分別標有1,2,3,4的四張標簽中任取一張,抽到1號標簽;
(6)科學技術達到一定水平后,不需任何能量的“永動機”將會出現.
[素養小結]
對事件分類的兩個關鍵點
條件 事件的分類是與一定的條件相對而言的,沒有條件,無法判斷事件是否發生
結果發 生與否 有時結果較復雜,要準確理解結果包含的各種情況
◆ 探究點三　隨機事件的集合表示
例3 試驗E:連續拋擲一枚硬幣3次,觀察正面、反面出現的情況.
(1)寫出試驗的樣本空間;
(2)設事件A表示“第一次出現正面”,事件B表示“3次出現同一面”,事件C表示“至少出現一次正面”,試用集合表示事件A,B,C.
變式1 寫出下列隨機試驗的樣本空間,并用樣本點組成的集合表示給出的隨機事件.
(1)在1,2,3,4四個數字中可重復地取出兩個數.
A=“一個數是另一個數的兩倍”;B=“兩個數互素”.
(2)甲、乙兩人下一盤棋,觀察結果.
A=“甲不輸”;B=“沒有人輸”.
變式2 在試驗“連續拋擲一枚質地均勻的骰子兩次,觀察每次擲出的點數”中,指出下列隨機事件的含義:
(1)A={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)};
(2)B={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.
[素養小結]
(1)隨機事件的表示:先列出所有的樣本點,再確定要求的隨機事件包含哪些樣本點,把這些樣本點作為元素表示成集合即可.
(2)說明隨機事件的含義:要先理解事件中樣本點的意義,觀察它們的規律,進而確定隨機事件的含義.
第十章　概率
10.1　隨機事件與概率
10.1.1　有限樣本空間與隨機事件
【課前預習】
知識點一
1.(1)隨機試驗　試驗　(2)①重復進行　②明確可知　③一個
2.每個可能的基本結果　全體　Ω　有限樣本空間
診斷分析
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.解:該學生選報興趣小組的所有可能結果有數學和計算機、數學和航空模型、計算機和航空模型,所以該試驗的樣本點的個數為3.
知識點二
1.(1)隨機事件　基本事件
2.樣本點　必然事件
3.不可能事件
診斷分析
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.解:“2024年李歡的高考數學成績在130分以上”是隨機事件. “2024年李歡的高考數學成績是256分”是不可能事件.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)擲一枚骰子,記錄出現的點數,該試驗的樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6}.
(2)將一枚骰子擲兩次,記錄出現的點數,該試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
(3)一個口袋中有5只外形完全相同的球,編號分別為1,2,3,4,5,從中同時取出3只球,觀察其編號,
該試驗的樣本空間Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}.
變式　解:(1)第一次硬幣向上的面與第二次硬幣向上的面構成一個樣本點,樣本空間為{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.
(2)四位同學的一個排列構成一個樣本點,樣本空間為{甲乙丙丁,甲乙丁丙,甲丙乙丁,甲丙丁乙,甲丁乙丙,甲丁丙乙,乙甲丙丁,乙甲丁丙,乙丙甲丁,乙丙丁甲,乙丁甲丙,乙丁丙甲,丙乙甲丁,丙乙丁甲,丙甲乙丁,丙甲丁乙,丙丁乙甲,丙丁甲乙,丁乙丙甲,丁乙甲丙,丁丙乙甲,丁丙甲乙,丁甲乙丙,丁甲丙乙}.
(3)第一枚骰子和第二枚骰子的點數和構成一個樣本點,樣本空間為{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
(4)白球全部取出,最少取4次,最多取10次,樣本空間為{4,5,6,7,8,9,10}.
探究點二
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)根據隨機事件的定義可知①②③是隨機事件,④是不可能事件,所以隨機事件的個數為3.故選C.
(2)①②③均可能發生也可能不發生,為隨機事件,④一定發生,為必然事件.故選B.
變式　解:(1)某人購買一注福利彩票,可能中獎,也可能不中獎,所以是隨機事件.
(2)所有三角形的內角和都為180°,所以是必然事件.
(3)空氣和水是人類生存的必要條件,沒有空氣和水,人類無法生存,所以是不可能事件.
(4)同時拋擲兩枚硬幣一次,不一定都是正面向上,所以是隨機事件.
(5)任意抽取,可能得到1,2,3,4號標簽中的任意一張,所以是隨機事件.
(6)由能量守恒定律可知,不需要任何能量的“永動機”不會出現,所以是不可能事件.
探究點三
例3　解:(1)試驗E的所有可能結果共有8種,下面用字母H表示出現正面,字母T表示出現反面,則試驗E的樣本空間可以記為Ω={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}.
(2)因為事件A表示“第一次出現正面”,所以滿足要求的樣本點共有4個,為(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),所以事件A={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T)}.
事件B表示“3次出現同一面”,所以滿足要求的樣本點共有2個,為(H,H,H),(T,T,T),所以事件B={(H,H,H),(T,T,T)}.
事件C表示“至少出現一次正面”,所以滿足要求的樣本點共有7個,為(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H).因此,事件C={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H)}.
變式1　解:(1)在1,2,3,4四個數字中可重復地取出兩個數,該試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.A=“一個數是另一個數的兩倍”,則A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)}.
B=“兩個數互素”,則B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)}.
(2)甲、乙兩人下一盤棋,觀察結果,該試驗的樣本空間Ω={甲勝,乙勝,和棋}.A=“甲不輸”,則A={甲勝,和棋}.B=“沒有人輸”,則B={和棋}.
變式2　解:(1)觀察事件A中所含的樣本點(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)可知,每個樣本點中第二個數均比第一個數大1,
因此,若事件A中所含的樣本點出現其中一個,則“第二次擲出的點數比第一次的大1”發生,
同時,若“第二次擲出的點數比第一次的大1”發生,則事件A中的樣本點必出現其中一個,
故事件A的含義為“連續拋擲一枚質地均勻的骰子兩次,第二次擲出的點數比第一次的大1”.
(2)觀察事件B中所含的樣本點(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)可知,每個樣本點中兩個數的和均為5,
因此,若事件B中所含的樣本點出現其中一個,則“兩次擲出的點數之和為5”發生,
同時,若“兩次擲出的點數之和為5”發生,則事件B中的樣本點必出現其中一個,
故事件B的含義為“連續拋擲一枚質地均勻的骰子兩次,兩次擲出的點數之和為5”.

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